一道最值问题的多种解法

一道最值问题的多种解法

浙江省宁波市李惠利中学 沈国标

求变量的最值，是生产生活中最常见的数学问题．解决最值问题的方法很多，若能精选例题，通过一题多解的形式给出解决问题的方法，既能启迪学生发散性思维，又是让学生掌握数学思想方法的最佳途径．在竞赛辅导过程中，笔者研究了文[1]中的一道练习题，发现此题用作介绍有关解决最值问题的方法甚佳．

例 若x ，y 为实数，且x 2+xy+y 2=19，求x 2+y 2

的最值． 一． 代换法

１．二元对称代换

解：因为约束条件是关于x ，y 的对称式，所以可设x ＝a+b ，y ＝a-b

代入x 2+xy+y 2＝3a 2+b 2＝19，∴0≤b 2

≤19

这时x 2

+y 2

＝2(a 2

+b 2

)＝2⎪⎭⎫

⎝⎛+-22b 3b 19＝338+3

4

b 2

∵0≤b 2

≤19 ∴3

38

≤x 2

+y 2

≤38

∴当b 2＝19，a 2

＝0，即x ＝

19，y ＝-19或x ＝-19，y ＝19时，x 2

+y 2

的最大值

是38．当b 2

＝0，a 2

＝3

19

，即x ＝y ＝

319，或x ＝y ＝-

3

19

时，x 2+y 2

的最小值是

3

38．

２．三角代换之一 解：∵x 2

+xy+y 2

＝(x+

2y )2

+4

3

y 2

＝19 ∴可设 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧θ=θ-θ=⇒π∈θθ=θ=+)sin 332(19y )sin 33

(cos 19x )2,0[(sin 19y 2

3cos 192y x ∴x 2

+y 2

＝19[)sin 33(cos θ-

θ2

+θ2sin 3

4

] ＝19(θ-θ+θ2sin 3

3sin 35cos

22

)

＝19(

θ-θ-⨯+θ+2sin 3

322cos 13522cos 1)

＝

338[2-)3

2cos(π-θ] ∴当3

532π

π=

θ或，即x ＝-19，y ＝19或x ＝19，y ＝-19时，x 2

+y 2

的最大值是38．当6

76π

π=θ或，即x ＝y ＝

319，或x ＝y ＝-

319

时，x 2

+y 2

的最小值是3

38

．

３．三角代换之二

解：令x 2

+y 2

＝r 2

(r>0)，设x ＝r θcos ， y ＝r θsin ，)2,0[π∈θ

∴19sin r sin cos r cos r 22222

=θ+θθ+θ

∴θ+=

2sin 2

1

119

r

2

∴3

38≤r

2

＝x 2+y 2

≤38

∴当4

743π

π=

θ或，即x ＝-19，y ＝19或x ＝19，y ＝-19时，x 2

+y 2

的最大值是38．当4

54π

π=

θ或，即x ＝y ＝

319，或x ＝y ＝-

3

19

时，x 2+y 2

的最小值是

3

38． 二． 构造法 解：设xy ＝t

∵x 2+xy+y 2＝(x+y)2

-xy ＝19

∴x+y ＝t 19+±

且t ≥-19

构造以x ，y 为根的二次方程a 2

- (t 19+±)a+t ＝0

(＊)

显然方程有解，∴△＝19+ t-4t ≥0，∴t ≤

3

19 ∴-19≤t ≤3

19

又∵x 2

+ y 2

＝19-xy ＝19-t ∴

3

38

≤x 2

+y 2

≤38

当t ＝-19或

3

19时，分别解方程(＊)可得：当x ＝19，y ＝-19或x ＝-19，y ＝19时，x 2+y 2

有最大值38．当x ＝y ＝±

3

19时，x 2

+y 2

有最小值

3

38． 三． 用基本不等式

解：∵x 2+ y 2≥2xy ，x 2+ y 2

≥-2xy (x ，y ∈R ，当且仅当x ＝y 时或x ＝-y 时，取等号)

∴x 2+xy+y 2≥3xy ，x 2+xy+y 2

≥-xy

∴-19≤xy ≤

3

19 又∵x 2

+ y 2

＝19-xy ∴

3

38

≤x 2

+y 2

≤38 ∴当x ＝

19，

y ＝-19或x ＝-19，y ＝19时，x 2

+y 2

有最大值38．当x ＝y ＝±3

19

时，x 2

+y 2

有最小值3

38

．

参考文献

1 刘凯年主编．高中数学奥林匹克同步教材（第二册）．重庆：西南师范大学出版社，2000