数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 ()

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数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (10)

（利用聚类分析对省、自治区分类）摘要本题旨在通过聚类分析将这些省、自治区进行分类。

我们利用spss软件，对数据进行分类。

通过对其所包含的信息量的比重来选择应该分为几类。

关键词：聚类分析Ⅰ问题重述1.1 表49 是1999 年中国省、自治区的城市规模结构特征的一些数据，试通过聚类分析将这些省、自治区进行分类。

表49城市规模结构特征数据Ⅱ模型假设Ⅲ符号说明Ⅳ模型建立及求解5.1.问题分析本题通过给出1999 年中国省、自治区的城市规模结构特征的一些数据，让我们利用聚类分析的方法，将这些省、自治区进行分类。

5.2.模型建立及求解我们可以利用spss软件对该问题进行求解。

在计算过程当中，我们不妨先检验其是否能包含题中数据信息的85%以上。

所以，我们先检验其是否符合因子分析，经验证P 值为0，适合做因子分析（详见表一）。

所以我们开始验证能分几组就能包含总信息的85%以上。

经验证，当分为三类时，其所包含的信息量为90.274%（详见表二）。

所以，我们不妨将省、自治区分为3类。

通过应用spss软件16.0版本，得到问题的求解。

具体为表三所示。

即其具体的分类为：Ⅴ模型评价与改进该题应用聚类分析将这些省、自治区进行分类。

通过图表的形式呈现较为简便。

但是在分类的过程中，由于我们只将其分为3类，不能包含题中数据所呈现的全部内容。

所以不具有普遍性。

对此，我们应尽量的多分几组，使得其涵盖的内容更为全面。

参考文献[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。

[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。

[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (5)

（习题11.1 单样本方差分析——关于抗生素与血浆蛋白质结合有无显著性差异的研究）摘要将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。

所以，通过研究5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，来对其进行相关的研究。

本题利用单样本方差分析的方法，研究在样本服从正态分布且方差相等的情况下，各类抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著性的差异。

通过建立模型以及求解得知，P值为6.7398e-08小于α（α的取值为0.05）。

所以我们认为各类抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有显著性的差异。

关键词：单样本方差分析描述分布特征的统计量Ⅰ问题重述1.1将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。

所以该题研究了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。

试在水平α= 0.05 下检验这些百分比的均值有无显著的差异。

设各总体服从正Ⅱ模型假设假设一：该样本数据真实可靠。

能够反映真实情况。

假设二：各样本总体服从正态分布，且方差相同。

假设三：所选的牛的体质是一样的。

忽略其他因素对实验数据的影响。

Ⅲ符号说明1μ表示青霉素1x 的均值。

2μ表示四环素2x 的均值。

3μ表示链霉素3x 的均值。

4μ表示红霉素4x 的均值。

5μ表示氯霉素5x 的均值。

IV 模型建立及求解3.1对该问题的分析对于该问题，是研究抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著性的差异。

即只考虑血浆蛋白质对抗生素的影响，而其他影响因素都保持不变。

3.2模型建立及求解假设各总体服从正态分布，且方差相同。

即各类抗生素均服从总体i x 的正态分布2(,)i N μσ，1,2,3,4,5i =。

又设j n 为第j 次试验，1,2,3,4j =。

所以我们不妨提出原假设0H :12345μμμμμ====；112345:,,,,H μμμμμ不全相等。

故其模型为：()51200,,1,2,3,4,5;1,2,3,4ij i ij i i ij x N i j μαεαεα=⎧=++⎪⎪=⎨⎪⎪==⎩∑ 注：μ为总均值。

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (44)

一问题重述分析4 种化肥和3 个小麦品种对小麦产量的影响，把一块试验田等分成36 小块，对种子和化肥的每一种组合种植 3 小块田，问品种、化肥及二者的交互作用对小麦产量有无显著影响。

二问题分析在进行小麦产量影响条件实验时，有两个因素A 、B 在变动。

其中化肥为因素A,取r 个不同的水平：r A A A ,,21。

小麦品种为因素B,取3个不同的水平：sB B B ,,21,在水平组合()jiB A ,下ij x 服从正态分布()s j r i N ij ,2,1,2,1,,2==σμ,又在水平组合()J I B A ,下做了t 个实验，所得的结果记作ijk x ，ijk x 服从()t k s j r i N ij ,2,1,2,12,1,,2===σμ ，且相互独立，将这些数据列成表1的形式：表1三模型假设()tk s j r i H H H kj i ,,2,1,,2,1,,2,10:30:)2(0:)1(030201 ======γβα四符号说明交互作用的平方和因素的平方和因素的平方和因素误差平方和均值AB S B S A S x AB B A ::::S :E五模型建立将ijk x 分解为：t k s j r i x ijk ij ijk ,2,1,2,12,1,===+=εμ 其中 ()2,0~σεN ijk ，且相互独立，记∑∑∑====r i s j tk ijk x rs x 1111∑∑∑∑∑====∙∙∙∙=∙===s j r i tk ijk tk j ijk i t k ijk ij x rt x x st x x t x 111111,1,1 将全体数据对x 的偏差平方和 ()∑∑∑===-=ri sj tk ijk T x x S 1112进行分解得：AB B A E T S S S S S +++= 其中 ()∑∑∑===∙-=ri sj tk ij ijk E x x S 1112()∑=∙∙-=ri i Ax x st S12()∑=∙∙-=sj j B x x rt S 12()∑=∙∙∙∙∙+--=ri j i ij AB x x x x st S 12x x x x xx j ij i -=-=-=∙∙∙∙∙γβα建立模型s.t.()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====+++=∑∑∑===tk s j r i N x x ijktk k sj j ri i k j i ijk ,2,1,2,1,,2,1,,0~002111σεγβαγβα六模型求解利用spss13.0软件通过编写程序（程序见）得出：由表可知：化肥对小麦的产量影响较大，品种次之，交互作用对产量基本没有影响。

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等(74)

利用主成分分析法建立多元回归模型一问题重述对某种商品的销量y 进行调查，并考虑有关的四个因素：—居民可支配收入，－该商品的平均价格指数，－该商品的社会保有量，－其它消费品平均价格指数。

表16是调查数据。

利用主成分方法建立y 与的回归方程。

二问题分析该问题要求我们利用主成分分析法建立的回归方程，首先我们从题目条件可知该问题属于回归分析方面的问题。

因此，我们先从题目所给的数据入手，首先对原始数据进行标准化处理，即利用标准化公式将观测值化为标准值；接着我们求出相关系数矩阵，从而求出该相关系数矩阵的特征值和特征向量；然后我们得到主成分，从而得到主成分回归方程；最后根据以上过程建立回归模型。

三模型假设四符号说明五模型建立与求解5.1对数据进行标准化处理标准化处理[1]:所谓标准化处理，是指对数据同时进行中心化——压缩处理，即将的n次观测值分别记作,,然后利用公式；其中根据以上公式得到标准化数据。

同理，将的观测值也进行标准化处理，并记作5.2根据标准化数据计算相关系数矩阵R相关系数矩阵R=,其中。

5.3根据相关系数矩阵计算特征值和特征向量编写相应的程序，利用matlab7.0.1运行程序（程序见附录）求的相关系数矩阵的4个特征值分别为它们对应的四个标准正交化特征向量分别为因此求得的四个主成分分别为：从而求得前两个主成分的贡献率为，所以我们剔除第三个和第四个主成分，只取第一个和第二个主成分。

综上得到关于主成分的回归方程为化为关于标准数据的回归方程最后得到关于观测值的回归模型为并且该模型的剩余标准差为参考文献[１] 司守奎，数学建模算法与程序：国防工业出版社，2011年8月1日。

附录利用matlab7.0.1编写的程序clc,clearload sn.txt[m,n]=size(sn);X0=sn(:1:n-1);y0=sn(:,n);r=corrcoef(x0);xb=zscore(x0);yb=zscore(y0);[c,s,t]=princomp(xb)Contr=cumsum(t)/sum(t)Num=input(‘qingxuanzezhuchengfendegeshu:’)Hg=s(:,1:num)ybhg=c(:,1:num)*hghg2=[mean(y0)-std(y0)*mean(x0)./std(x0)*hg,std’(y0)*hg’./std(x0)] fprintf(‘y=%f,hg2(1));for i=1:n-1fprintf(+%f*x%d,hg2(i+1)，i)；endfprintf(‘\n’)rmse2=sqrt(s um((x0*hg2(2:end)’+hg2(1)-y0).^2)/(m-num-1))。

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (32)

第五章第八题摘要关键词：Ⅰ问题重述某公司计划推出一种新型产品，需要一系列完成的工作(详见图表)问题一:根据所给表格及其各个作业的相关关系画出产品的计划网络图问题二:求完成新产品的最短时间，列出各项作业的最早开始时间、最迟开始时间和计划网络的关键路线问题三:假定公司计划在17 周内推出该产品，各项作业的最短时间和缩短1 周的费，求产品在17 周内上市的最小费用问题四：如果各项作业的完成时间并不能完全确定，而是根据以往的经验估计出来的，其估计值如表所示。

试计算出产品在21 周内上市的概率和以95％的概率完成新产品上市所需的周数。

Ⅱ问题分析Ⅲ模型假设Ⅳ符号说明（1）x是事件i的开始时间，i（2）1为最初事件，n为最终事件（3）t是作业()j i,的计划时间ijⅤ模型建立Ⅵ模型求解根据图表所给紧前作业与作业的先后顺序我们可以画出如图示的计划网图图一计划网络图x是事件i的开始时间，1为最初事件，n为最终事件。

希望总的工期最设i短，即极小化1x x n -。

设ij t 是作业()j i ,的计划时间，因此，对于事件i 与事件j 有不等式设 i x 是事件i 的开始时间，1为最初事件，n 为最终事件。

希望总的工期最短，即极小化1x x n -。

设ij t 是作业()j i ,的计划时间，因此，对于事件i 与事件j 有不等式ij i j t x x +≥由此得到相应的数学规划问题1min x x n -..t s ()⎩⎨⎧∈≥∈∈+≥Vi x Vj i A j i t x x i ij i j ,0,,,, 其中V 是所有的事件集合，A 是所有的作业集合。

根据题目要求用lingo11.0编写程序（见附录）得到问题的解：图二新产品最短时间根据图示结果可得：01=x ，则作业B A ,的开工时间均是第0天，62=x 作业C 的开工时间是第6天；03=x 则作业F 的工时间是第6天；等等。

每个作业只要按规定的时间开工，整个项目的最短工期为20天Ⅶ模型评价与改进参考文献[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。

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第11章第3题摘要商品的销售量与商品销售点所在的地理位置、销售点处的广告和销售点的装潢，服务态度，售后服务等多种因素有关，本题考察了销售点所在地理位置、销售点处得广告和销售点的装潢三个因素对销售量得影响。

需进行多因素方差分析，从而判断三因素的显著性。

关键词：显著性三因素方差分析不同水平一．问题重述某集团为了研究商品销售点所在的地理位置、销售点处的广告和销售点的装潢这三个因素对商品的影响程度，选择了三个位置，分别为市中心黄金地段、非中心的地段、城乡结合部，两种不同的广告形式，两种不同的装潢档次在四个城市进行了搭配试验。

表1是试验的销售量的数据。

问：在显著水平0.05下，检验不同地理位置、不同广告、不同装潢下的销售量是否有显著差异？二．问题分析本题为了研究商品销售点所在的不同地理位置、销售点处的广告和销售点的装潢这三个因素对商品的影响程度，所以将地理位置、销售点处的广告和销售点的装潢作为三个因素。

市中心黄金地段、非中心的地段、城乡结合部这三个位置看作是地理位置的三个水平，两种广告形式视为销售点处的广告的两个不同水平，两种不同装潢档次视为销售点装潢的两个不同水平。

要求三个因素是否存在显著性差异，就是对三个因素进行多因素方差分析，可得三个因素的显著性。

三．模型假设1.假设只考虑商品销售点所在的地理位置、销售点处的广告和销售点的装潢这三个因素，不存在其他因素对结果构成影响。

2.假设试验时数据真实，没有记录错误。

3.假设试验中所有产品质量等各因素相同。

四．符号说明A1——市中心黄金地段A2——非中心的地段A3——城乡结合部B1,B2——两种不同的广告形式C1,C2——两种不同的装潢档次五．模型建立根据题意，想要分析销售点所在的地理位置、销售点处的广告和销售点的装潢这三个因素对销售量的影响，就是进行显著性差异分析。

将表1的数据转化整理得到表2如下：异。

六．模型求解通过spss软件求解，得到结果如下表：表3表4由表4可以知道，三个不同的地理位置、两种不同的广告形式和两个不同的装潢档次的p值均为0，小于显著水平0.05，所以都存在显著性差异。

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（习题12.2）关于样本点距离与该点处某金属含量的回归关系摘要本文通过建立回归模型，运用进行多曲线拟合，对距离样本点的距离与该点处某金属的含量建立线性回归关系。

对于题中所给的有限组数据，我们编写程序，运用MATLAB8.1.0软件对其先做散点图分析，通过观察图示，初步定性的得出，二者之间的确存在着某种线性关联。

然后，根据经验，确定满足条件的若干条曲线，运用spss16.0软件，对其进行多曲线拟合，由所得结果确定最佳拟合曲线为二次曲线，然后建立二次曲线线性回归模型2210y a x a x a =++，最后求解出参数，模型为20.00280.1692108.8969y x x =-++。

该模型在建立时，进行多次定性定量的分析，具有较高的可行性，所得结果具有一定的科学性和较高的可信度，对于解决实际问题具有较大的参考价值。

关键词：线性回归模型、散点图、曲线拟合、定性分析、定量分析一问题重述一矿脉有13个相邻样本点，人为地设定一原点，现测得各样本点对原点的距离x ，与该样本点处某种金属含量y 的一组数据如表1，画出散点图观测二者的关系，试建立合适的回归模型，如二次曲线、双曲线、对数曲线等。

表1二问题分析由题意可得，x 和y 存在某种线性回归关系。

在表1中所给的13组数据中，可先画出散点图，对两者的关系做一个定性的判断，然后，模拟多种模型，从中选择出模拟效果最好的一个，建立模型，最后求解模型系数，确定二者之间的线性关系。

三模型假设3.1 该题中所给的13组数据具有一定的代表性和概括性。

3.2 所求解的模型基于人工设定的该原点的条件下。

四符号说明4.1 210,,:a a a 模拟方程的系数。

五模型建立与求解5.1 模型的分析我们对表1中的数据进行录入，编写程序（源程序见附件程序1）用MATLAB8.1.0软件，得出x 与y 的散点图（图1）图1.散点图由图1可知，x与y的确存在某种线性关系。

进而，我们又用spss16.0软件，假定存在多种曲线关系，根据经验，我们选定一次曲线、二次曲线、对数曲线对图1上的点进行拟合，得到如下结果以及图2的拟合效果曲线。

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（用二人非常数和对策解决两人摸三张牌问题）摘要该题讲有三张牌，点数分别为1,2,3，大小顺序按照3>2>1，通过对两人摸牌原则和给谁钱原则的分析，该问题总结为二人非常数和对策纯策略问题。

首先就问题进行分析，要设置局中人A 和B 的赢得矩阵，设局中人A 有m 个策略m αα ,1，局中人B 有n 个策略n ββ ,1，分别记为{}m s αα ,11=，{}n s ββ ,12=。

所谓的常数和对策是指局中人A 和局中人B 所赢得的值之和为一常数，二人非常数和对策问题也称为双矩阵对策，也有纯策略对策和混策略对策两种，在这里要用纯策略对策，要用Nash 平衡点来求最优纯策略和策略值。

问题一:说明A ，B 各有多少纯策略，首先要分析A 的摸牌情况和A 喊大或喊小，在逐个列出B 的摸牌情况和是否选择翻牌或弃权，列出各种情况，在分析A,B 各有多少纯策略。

问题二：根据优超原则淘汰具有劣势的策略，并列出A 的赢得矩阵，要再解决问题一的基础上，根据A,B 的纯策略找到A 的赢得矩阵。

问题三：求解双方的最优策略和对策值，要在问题一和问题二的基础上，列出A 和B 的赢得矩阵，在赢得矩阵中交叉部分即为对策值，最优策略转化成用Nash 平衡点来求。

我们通过大量不同模型的筛选，发现二人非常数和对策纯策略模型很好的解决该问题。

关键词：二人非常数和对策纯策略赢得矩阵最优策略对策值Ⅰ 问题重述1.1所谓的常数和对策是指局中人A 和局中人B 所赢得的值之和为一常数，二人非常数和对策问题也称为双矩阵对策，也有纯策略对策和混策略对策两种，在这里要用纯策略对策。

1.2首先要解决A,B 有多少个纯策略，再按照优超原则淘汰具有劣势的策略，列出A 和B 的赢得矩阵，从中找出A 的赢得矩阵，找到对策值，把最优策略的求解转化成用Nash 平衡点来求。

Ⅱ 问题分析这是一个二人非常数和对策问题从题中分析，A 可能摸牌的情况有三种，分别为1,2,3。

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (75)

基于影响商品销量的多个因素线性回归分析在对商品的销量进行调查时，考虑有关的四个影响因素：居民可支配收入、该商品的平均价格指数、该商品的社会保有量以及其它消费品平均价格指数。

针对此问题，我们先对原始数据进行标准化处理，计算出相关系数矩阵R 相关系数矩阵m m ij r R ⨯=)(，计算出对应的特征值和特征向量，前两个主成分的贡献率为：0.9959因此，我们剔除第三个和第四个主成分，只保留前两个注册主成分，得到关于主成分的回归方程 ,1515.05003.021~z z y -=化为关于标准变量的回归方程~4~3~2~1~1852.03562.01754.02868.0x x x x y +++=最后得到关于原始变量的回归方程为：43211236.01195.00938.00342.08846.16x x x x y ++++-=并且求出该模型的剩余标准差为0.5415。

关键词：回归分析影响销量的因素主成分分析回归方程Ⅰ 问题重述对某种商品的销量进行调查，并考虑有关的四个因素： -居民可支配收入 -该商品的平均价格指数， -该商品的社会保有量， -其它消费品平均价格指数。

表一是调查数据。

利用主成分方法建立与的回归方程。

Ⅱ 问题分析对于某种商品销量进行调查，并且考虑到有关的四个因素，有居民可支配周茹，商品的平均价格指数，商品的社会保有量等多重因素，可归纳用主成分分析方法建立有关的线性回归方程。

Ⅴ 模型建立及其求解（1）对原始数据进行标准化处理4321,,,x x x x 的n （这里n =10）次观测值分别记做10,,2,1),,,,(4321⋅⋅⋅=i x x x x i i i i 将各观测值ij x 转化成标准化值~ij x ，)4,3,2,1;10,,2,1(,~=⋅⋅⋅=-=j i s x x jjij ij μ其中)4,3,2,1(,)(91,10121101=-===∑∑==j x s x j ni ij j i ij j μμ，即j j s ,μ为j x 的样本均值和样本标准差。

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第十二章回归分析3题摘要本文主要研究的是矿物分布的模型建立，通过对已知数据的分析，先画出散点图，在建立合适的回归模型，有线性模型，二次模型，双曲线模型，对数模型等。

运用matlab 软件，通过比较模型的剩余标准差，选出最合适的模型是二次模型。

关键词：散点图回归模型剩余标准差Ⅰ 问题重述1.1 一矿脉有13个相邻样本点，人为地设定一原点，得出样本点到原点的距离为x ，并设每一样本点处的金属含量为y,画出散点图，并建立合适的回归模型。

Ⅱ 问题分析 Ⅲ 模型假设本题需要先画出散点图，然后对其进行分析，建立模型。

从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，根据一个样本计算的系数，只是它们的一个点估计，应该对它们做区间估计或假设检验，如果置信区间太大，甚至包含了零点，则系数的估计值就显得毫无意义。

这样也可以用方差分析的方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。

具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：（1）建立因变量y 与自变量之间的回归模型：（2）对回归模型的可信度进行检验；（3）判断每个自变量对y 的影响是否显著；（4）诊断回归模型是否适合这组数据；（5）利用回归模型对y 进行预报和控制。

Ⅳ 符号说明Ⅴ 模型建立和求解Matlab 统计工具箱用命令regress 实现多元线性回归，用的方法是最小二乘法,用法是：b=regress(Y.X),其中12n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111111m n nm x x X x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,b 为回归系数估计值01,,,.mβββ∧∧∧[](),int,,int,,,b b r r stats regress Y X alpha =，这里Y,X 同上，alpha 为显著性水平（缺省时设定为0.05），b,bint 为回归系数估计值和它们的置信区间，r,rint 为残差（向量）及其置信区间。

Stats 是用于检验回归模型的统计量，有四个数值，第一个是R 2,第二个是F,第三个是与F 对应的概率P ，P<α拒绝H 0，回归模型成立，第四个是残差的方差。

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (17)

m
Min
j=1
fj
5
A′ = A′ ij N = A′ A s. t.
m
′T
= nij
N×N
fj ∙ a′ ij = 4
j=1
Ⅵ 模型求解问题一
下面是用 Lingo13.0 求解得到的部分结果，不同学生数所需要的最少老师数。
6
分析：由图中可直观看出函数成阶梯状单调递增趋势，说明老师每增加一个，可能面试的学生数增加多个。
T T
(i = j) (i ≠ j) j, k ∈ (1, m)
αj ，αk
N×M M×M N×N
M = A A = mij N = A A = nij s. t.
m
aij = 4
j=1
i = 1 2 ⋯n
nij < 4 (�� ≠ ��) aij = {0,1}
问题三
基于问题一的模型，以聘用的老师数最少为目标，建立 0-1 整数规划模型如下：
结论：
(2.1) N 中对角线上元素表示 “面试第i个学生的老师数 (2.2) 非对角线元素表示“两学生的面试组中相同老师个数” (2.3) N 为一个实对称阵，其对角线元素为 4 “老师——老师”矩阵令矩阵 M 等于矩阵 A 的转置阵承以它本身，即M = AT A，则得到一个 m 阶方阵： a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2n ⋮ ⋮ ⋮ M = AT A = (Aij )M×M = ⋮ ⋮ aij ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ am1 am2 ⋯ amm
Ⅰ 问题重述
Ⅱ 问题分析
对于问题一，在学生数给出的情况下，基于任“两位学生的“面试组”都没有两位、三位面试老师相同”的要求，设法将要求转化为只含 0-1 变量的矩阵表达式来约束，用原矩阵（学生——老师矩阵）和矩阵转置相乘得到的矩阵（学生——学生矩阵）中的量作为限制约束，建立模型，来实现最优化求解。对于问题二，依次分析给定的几个要求，将每位老师面试的学生数量尽量均衡转化为方差最小；对于不同考生的面试组中，成员不能完全相同、任两学生的面试组两三位老师相同的数量尽量少，用（学生——学生）矩阵中的量进行表示。对于“被任意两位

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (106)

对省自治区进行聚类分析
根据表中所给数据，由城市规模，城市首位度，城市指数，基尼系数，城市规模中位值这些指标，对题目中所给省，自治区进行聚类分析。

因为题目中所给数据单位不一样，首先利用spss13.0对数据进行标准化处理，得到处理后的数据，利用spss13.0聚类分析操作，得到如下表，由表1可以看出，根据省市规模，城市首位度，城市指数，基尼系数，城市规模中位值这些指标所决定的，京津冀和苏沪为一类，山西、内蒙古、吉林、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖南、广西、海南、云南、贵州、西藏、甘肃、青海、。

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (1)

11.1抗生素显著性检验问题摘要在已知抗生素效果情况服从正态分布，且方差相同条件下。

通过用SPSS13.0软件编写程序，进行单因素方差分析。

检验五种抗生素之间是否存在明显差异。

关键词：抗生素方差分析显著性检验一问题重述抗生素注入人体后会与人体血浆蛋白质结合，以致减少了药效。

现在将常用的抗生素注入到牛的体内，得到抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。

在总体服从正态分布，且方差相同的条件下分析五种抗生素效果是否存在显著性差异。

二问题分析题目显示各类抗生素效果情况服从正态分布，为了进一步说明抗生素使用效果的差异，需要检查不同抗生素是否有显著性差异，即对数据进行显著性检验。

首先，应该提出抗生素之间没有显著性差异的假设。

然后通过SPSS13.0版本软件进行单因素方差检验[1]。

验证假设是否成立。

三模型假设四符号说明五模型建立与求解题目显示各类抗生素与血浆蛋白质结合的百分比情况属于正态总体，要对各类抗生素是否存在显著性差异。

应用软件SPSS13.0进行单因素方差检验。

其检验步骤如下：Step1. 提出假设:H:各类抗生素之间没有显著性差异；H:各类抗生素之间有显著性差异。

1α0.05。

Step2. 选定显著性水平=Step3. 用软件SPSS13.0进行单因素方差检验用SPSS13.0编写程序得到问题的解：即不同抗生素效果明显不同。

（各抗生素之间具体分析见附录一）六模型评价与改进参考文献[1]薛薇 ,《SPSS统计分析方法及应用》，出版地：电子工业出版社，2009。

[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。

[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。

附录附录一PSS13.0编写程序得到问题的解：11.2化肥与小麦种子的不同对小麦产量的影响问题摘要化肥与小麦的品种的差异将影响小麦的产量，进而影响农民的生活水平。

本文建立数学模型，就化肥的不同，小麦品种的不同这两种因素定量分析化肥与小麦品种对小麦实际产量的影响。

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (83)

mod/:p,z,goal;
variable/1..4/:x;
s_con_num/1..3/:g,dminus;
s_con(s_con_num,variable):c;
obj(level,s_con_num)/1 1,1 2,2 3/:wminus;
endsets
Ⅱ问题分析
建立目标规划模型前，先找出目标函数和约束条件，然后建立模型，利用Lingo程序求解。
由题可知，无论生产产品Ⅰ或Ⅱ每小时的盈利不超过4元，每周的生产时间不超过160小时，因而最大利润不超过640。
Ⅲ模型假设
（1）生产过程中没有出现其他问题；
Ⅳ符号说明
（1）为产品在允许的时间内生产的件数；
data:
ctr=?;
goal=? 0;
g=120 160 640;
c=3 2.5 0 0 3 2.5 3 2.5 10 8 8.5 7;
wminus=1 1 1;
enddata
min=@sum(level:p*z);
p(ctr)=1;
@for(level(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);
@for(level(i):z(i)=@sum(obj(i,j):wminus(i,j)*dminus(j)));
二十一章第三题
摘要
建立目标规划模型，先找出目标函数和约束条件，然后建立模型，利用Lingo程序求解。
关键词：Lingo目标规划
Ⅰ问题重述
某工厂生产两种产品,每件产品I可获利10元，每件产品II可获利8元。每生产一件产品I，需要3小时；每生产一件产品II，需要2.5小时。每周总的有效时间为120小时。若加班生产，则每件产品I的利润降低1.5元；每件产品II的利润降低1元。决策者希望在允许的工作及加班时间内取得最大利润，试建立该问题的目标规划模型并求解

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (20)

附件
1）naiyongxing.txt
4
Ⅶ 模型评价与改进参考文献
[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。
附录
附录一
clc,clear load naiyongpin.txt; naiyongpin=naiyongpin';x0=naiyongpin(:)'; m1=length(x0); plot(linspace(46,71,m1),x0) x=log(x0); s=4; n=8; for i=s+1:m1
σ2 2
, 则X
这个例子中，Xt 是对数正态序列，Ŷk m 代表Yt 在时刻k k = 100 的 m 步预报， σk m 代表预报标准差， Xk m 代表Xt 在时刻k k = 100 的 m 步预报值，则有 1 Xk m = exp Ŷk m + σ2 m 2 k 由此算得 Xt 的 8 个季度预报值如下 62.0814 57.1926 62.1615 56.8057 63.1847 57.2762 57.9186 52.0800
用 ARMA 序列对美国各季耐用品支出的预测
摘要
关键词：时间序列 ARMA 序列耐用性 AIC 准则正态分布 Box－Jenkins 方法
1
Ⅰ 问题重述
1.1 根据所给数据建立相应的数学模型 1.2 根据所建的数学模型预测八个季度的耐用品支出
Ⅱ 问题分析 Ⅲ 模型假设
假设一：近几年没有出台新的相关政策。假设二：近几年没有出现自然灾害。
附录二
clc,clear load bdata spec2= garchset('R',3,'M',0,'Display','off'); [coeffX,errorsX,LLFX] = garchfit(spec2,w); [sigmaForecast,w_Forecast] = garchpred(coeffX,w,n); yhat=y(m2)+cumsum(w_Forecast); for j=1:n x(m1+j)=yhat(j)+x(m1+j-s); end x_hat=x(m1+1:end); x0_hat=exp(x_hat+sigmaForecast.^2/2) x0_hat_check=exp(x_hat)

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (77)

用主成分方法解决销量问题摘要本文运用主成分方法研究销量及与其有关的四个因素之间关系。

针对问题，首先对题中所给的数据进行标准化处理，结合matlab 软件编写程序得出协方差矩阵进而求出主成分，剔除贡献率小的的主成分，得到关于主成分的回归方程，最后得到关于原始变量的回归方程为yˆ=-15.5820+0.09821x -0.20882x +0.00493x +0.37224x 。

本文我们用主成分回归模型，近似的描述了销量及与其有关的四个因素之间的关系。

在文章的最后对模型的适用范围做出了推广，在实际应用中有较大的参考价值。

关键字：主成分方法标准化处理协方差矩阵主成分一、问题重述商品的销量与众多因素密切相联。

通过对某种商品的销量进行调查，并考虑有关的四个因素：居民可支配收入，该商品的平均价格指数，该商品的社会保有量，其它消费品平均价格指数。

结合调查数据，建立一种模型能够更好的预测商品的销量，从而也能够给商家带来更多的利益。

二、模型假设1、商品的销量仅与上述四种因素有关，不会受到其他因素的影响。

2、调查数据都为真实数据，不存在错误数据。

四、模型的建立和求解4.1问题一影响商品销量的因素众多，本问题对影响商品销量的四个因素：居民可支配收入，该商品的平均价格指数，该商品的社会保有量，其它消费品平均价格指数，进行调查，并得到对应的商品销量。

本问题旨在结合所给调查数据，利用主成分方法建立商品的销量与上述四个因素的回归方程，从而预测商品的销量。

4.1.1 问题一的分析本问题要求我们利用主成分方法建立商品的销量与上述四个因素的回归方程。

通过数据观察可知四种因素之间存在很高的相关性。

因而利用主成分分析法将许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量，并选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中的变异的几个新变量，即所谓主成分，用以解释资料的综合性指标[1]。

并通过计算得到主成分的贡献率，进而得到关于主成分的回归方程，最后得到商品的销量与上述四个因素的回归方程。

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (23)

生化检验问题
摘要
为了使化验者在化验结果中，能够快速的得到自己的健康状况，从而要对各因子进行因子分析，得到一个总因子。

从而对表中的数据进行主成分分析。

关键词：因子分析主成分分析
一．问题重述
医院为了将化验结果进行排序，从而更方便的从一个结果中看出化验这的健康情况，从而进行因子分析，得到一个结果来评判患者的健康状况。

二．模型假设
1.假设表中的数据表示检验者偏离正常指标的情况。

三．模型求解
利用spss进行数据分析得到表3.1见附录一。

由表中的数据进行主成分分析得到一个因子分析表3.2，见附录一。

由表3.3和图一知当选择三个因子时，保留了原有信息的94.828%，其分析得到的结果更有可信度。

由碎石图曲线知，显然在因子达到三个时，去先知先下降，因而达到因子分析的目的，是结果可信度更高。

由主成分分析并排序后，有假设可知绝对值越小的患者越越健康。

附录一
表2 因子分析表
图一：碎石图如下：。

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (32)

山猫的生长规律及以后两年的预测摘要本文针对山猫的生长规律建立了一元时间序列模型。

利用matlab编程求解，得出原始数据的序列图，对原始数据做消除季节趋势，得到差分后的序列平稳图，最后求得下两个年度的预测值。

关键词：时间序列差分平稳问题重述某地区山猫的数量在前连续114年的统计数据如表2示。

分析该数据，得出山猫的生长规律，并预测以后两个年度山猫的数量。

问题分析针对该问题，描述山猫的生长规律，使用matlab编程得出年份与山猫数量的散点连线图，可以用差分消除季节趋势，使得山猫数据的时序图基本平稳。

求得下两个年度的预测值。

问题假设1.假设山猫按正常情况生长；2.假设山猫的生长数据准确；模型建立与求解（1）序列时序图记原始序列为{x t}，序列时序图如图1所示，时序图显示该序列大致具有12个周期变化，周期的长度为9年或10年，下面使用周期T=10年进行计算。

图1 山猫原始数据的时序图（2）差分平稳对原始序列做12步差分，消除季节趋势，得到序列{y t}，其中x xy t t t-=+10，差分后序列图如图2所示。

时序图显示差分后序列基本平稳了。

图2 季节差分后数据的时序图（3）模型拟合根据差分后序列的自相关（图3）和偏自相关（图4）的性质，尝试拟合ARMA 模型，拟合的ARMA（1,10）模型较理想，并且通过了白噪声检验，说明低阶的ARMA模型不适合拟合这个序列。

图3 自相关函数图图4 偏自相关函数图（4）求预测值利用matlab2011a软件（程序见附录一）求得下两个年度的预测值为4296,3656附录一Matlab程序：a=textread('data6.txt');%把原始数据保存到纯文本文件data6.txt a=a';a=nonzeros(a);n=length(a);plot(a,'.-');for i=11:nb(i-10)=a(i)-a(i-10);%进行季节差分变换endb=b';figure,plot(b,'.-')figure,subplot(121),autocorr(b)subplot(122),parcorr(b)cs=armax(b,[1,10])%拟合模型figure,myres=resid(cs,b);%计算残差向量并画出残差的自相关函数图[h1,p1,st1]=lbqtest(myres,'lags',6)%进行LBQ检验[h2,p2,st2]=lbqtest(myres,'lags',12)[h3,p3,st3]=lbqtest(myres,'lags',18)bhat1=predict(cs,[b;0]);bhat(1)=bhat1{:}(end);%求差分序列第一个预测值bhat2=predict(cs,[b;bhat(1);0]);bhat(2)=bhat2{:}(end);%求差分序列第二个预测值ahat(1)=a(end-9)+bhat(1);%求原始序列的预测值ahat(2)=a(end-8)+bhat(2)。

数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (23)

利用回归分析对金属的含量在矿脉中的分布的研究摘要本文主要采用先利用Spss16.0分别画出x 关于y 的散点图，判断两者的线性关系，我们将采用回归分析和方差分析，用统计分析决定其拟合程度并作出修正。

通过观察散点图我们可以得出两者具有很明显的线性关系，因此作出假设模型01y x ββ=+，利用Matlab7.6编写程序（见附录一）得出模型合理的结果，紧接着通过观察残差分布图（见附录二）发现第一组数据不合理，因此我们对其进行剔除，并对剔除后的数据进行重新统计分析，得出剔除第一组数据后的模型更合理的结果。

关键词：回归分析残差分析一、问题重述一般而言，金属的含量在矿脉中的分布是不均匀的。

现一矿脉有13个相邻样本点，人为地设定一原点，现测得各样本点对原点的距离x 与该样本点处某种金属含量y 的一组数据如表一，画出散点图观测二者的关系，试建立合适的回归模型，如二次曲线、双曲线、对数曲线等。

表一二、问题假设1、只考虑距离对其影响，忽略湿度、土质等其他影响；2、数据误差在可允许范围内；三、符号说明和名称解释0β、1β：为回归系数； b ：回归系数估计值；2R ：判定系数； F ：检验统计量； P ：与F 对应的概率；2S ：剩余方差；四、模型的建立和求解4.1问题的分析题目中已经给出了各样本点对原点的距离x 与该样本点处某金属含量y 的数据表，画出散点图便可以直接明了的观察出两者是否具有线性关系。

并通过观察拟合确定其回归模型。

4.2问题的求解利用Spss16.0绘制各样本点对原点的距离x 与该样本点处某金属含量y 的散点图，结果如下：可以看出两者具有很明显的线性关系，因此，我们建立线性回归模型：01y x ββ=+ （1）利用Matlab7.6编写程序（程序见附录一）可得： b = 108.2726 0.1714bint =107.2936 109.2517 0.0870 0.2558stats =0.6450 19.9873 0.0009 0.602 即:0β=108.2726,1β=0.1714, :0β的置信区间为[107.2936,109.2517]，1β的置信区间为[0.0870,0.2558], 2R =0.6450 ， F =19.9873， p =0.0009， 2S=0.602。