命题逻辑的自然演绎系统
命题演算系统 PPT
❖ 演绎定理:如果Γ ∪{A}├ B,则Γ ├ A→B。 ❖ 演绎定理得证明需要数学归纳法,数学归纳法就是证
明无穷个命题成立得方法,她由两部分组成,分别就 是归纳基础和归纳步骤。归纳法可以分为两类: ❖ 第一类归纳法:有一批编了号码得命题 ❖ (1)我们能证明第1号命题就是正确得; ❖ (2)如果我们还能证明,在第n号命题正确得时候,第 n+1号命题也正确,那么这一批命题就都就是正确得 。
❖ 第二类归纳法:有一批编了号码得命题
❖ 情况1:B就是公理
❖ (1பைடு நூலகம்B
公理
❖ (2)B → (A → B)
AP1 SB
❖ (3)A → B
(1)(2)MP
❖ 即Γ ├ A → B得证。
❖ 情况2:B就是Γ中得公式,记作:B∈ Γ
❖ (1)B
前提
❖ (2)B → (A → B)
AP1 SB
❖ (3)A → B
(1)(2)MP
❖ 即├ A → B得证。
❖ 定义4(A证明得定义)如果一个证明A1,A2,…An中得 An=A,我们就称这个证明叫做关于A得证明,也就就 是A证明。
❖ 定义5(定理得定义) 如果有一个A证明,则称A就是这 个系统得定理。记作:├LP A。
❖ 定理1 ├ A→A
❖ 证明:
❖ (1) A → (B → A)
AP1
❖ (2) A → ((A → A ) → A)
四种常用的证明系统与逻辑公理
四种常用的证明系统与逻辑公理在数理逻辑领域，证明系统是一种形式化的推理体系，用于推导和证明数学或逻辑命题的正确性。
不同的证明系统采用不同的规则和公理，使得推理过程更加严谨和可靠。
本文将介绍四种常用的证明系统，并讨论它们与逻辑公理的关系。
一、自然演绎系统自然演绎系统是一种直观且直接的证明方法，它基于命题逻辑和一阶逻辑的规则和公理。
自然演绎系统的推理过程类似于人类日常思维的推理方式，包括假设、推导和引用规则等。
在自然演绎系统中，常用的规则有假设引入、假设消除、引用消除和引用引入等。
逻辑公理则是系统的基础，如排中律、双重否定律和蕴含规则等。
自然演绎系统具有直观性和易于理解的特点，但证明过程可能较为繁琐和冗长。
二、表演演绎系统表演演绎系统是一种基于符号操作的证明方法，它通过对逻辑公式的转换和推导来证明命题的正确性。
表演演绎系统的推理过程类似于计算机程序的执行过程，包括替换、化简和合并等操作。
在表演演绎系统中，常用的规则有等价替换、否定引入、析取消除和合取引入等。
逻辑公理则是系统的基础，如等价律、否定律和分配律等。
表演演绎系统具有形式化和机械化的特点，但需要熟练掌握符号操作和规则运用。
三、海森堡矩阵系统海森堡矩阵系统是一种基于线性代数的证明方法，它通过矩阵运算和变换来证明逻辑命题的等价性。
海森堡矩阵系统的推理过程类似于线性方程组的求解过程，包括加法、乘法和求逆等运算。
在海森堡矩阵系统中，常用的规则有矩阵加法、矩阵乘法、矩阵转置和矩阵逆等。
逻辑公理则是系统的基础，如等价关系、传递性和对称性等。
海森堡矩阵系统具有代数化和可视化的特点，但需要熟悉线性代数的基本概念和运算法则。
四、自然演绎树系统自然演绎树系统是一种基于树结构的证明方法，它通过构建和分析推理树来证明逻辑命题的有效性。
自然演绎树系统的推理过程类似于树的生长和分支过程，包括展开、分解和合并等操作。
在自然演绎树系统中，常用的规则有展开规则、分解规则、合并规则和剪枝规则等。
自然演绎推理解题步骤
自然演绎推理解题步骤
自然演绎推理是一种基于逻辑的推理方法，它利用一系列的前提和规则来推出一个结论。
以下是自然演绎推理的解题步骤：
1. 首先，理解和分析问题。
仔细阅读问题陈述，并确保对问题的要求和限制有清晰的理解。
这有助于确定需要使用的前提和规则。
2. 列出前提。
根据问题陈述和所给信息，列出所有的前提。
前提是已知或被假设为真的陈述，它们是推理的起点。
3. 列出规则。
根据逻辑规则和相关知识，列出适用的推理规则。
常见的推理规则包括假言推论、析取引入、析取消除、假设和归谬法等。
这些规则描述了如何从前提中推导出新的陈述。
4. 进行推理。
利用前提和规则，逐步推导出新的陈述。
每一步的推导都应该是根据前面的步骤和规则进行的。
5. 判断结论的有效性。
根据推导的过程和规则，判断结论是否是有效的。
有效的结论应该是从前提中推导出来的，并且符合逻辑规则。
6. 检查解答。
将得到的结论与问题的要求进行对比，确保解答满足问题的要求。
自然演绎推理是一种有条理的推理方法，按照以上步骤进行推理可以帮助我们解决逻辑问题。
自然演绎逻辑导论PPT资料优秀版
根据归纳假设，Q和R满足元命题。 证明奠基命题：SL的每一个只含联结词的0个出现的命题只有命题常项，而命题常项的左括号和右括号的数目都为0，故满足元命题。 5：如果命题集Γ是SC不一致的，那么，至少有一Γ的有限子集是SC不一致的。 语法只涉及符号语言的纯粹形式，而不涉及它的内容； §8∶2·2 一些语法元定理及其证明 1：如果Γ⊨ P，那么，在SC中Γ⊢ P 3：SL的一个命题P是偶然式，当且仅当，｛P｝和｛ P｝都是真值函项地一致的。
：对于SL的一个命题集Γ和一个命题P，如果 Γ{P }是真值函项地不一致的，那么Γ⊨ P。
元定理8.3.7：SL的一个命题P是重言式，当且 仅当， ⊨ P。
第四节 数学归纳法
§8∶4·1 什么是数学归纳法 数学归纳法的基本原理是：为证明某一定理对
于某一领域的所有对象都成立，把该类对象以 某种方式进行排序，然后分两步进行证明：一、 证明定理对该序列的第一项成立；二、证明如 果定理对第K项成立，那么它对K＋1项也成立。
（一致性引理）：每一个SC最大一致性集合 都是真值函项地一致的。
元定理8.7.6：如果在SC中Γ⊢ P并且Γ*是Γ的 最大一致性母集，那么P是Γ*的成员。
自然演绎系统SC对于基于真值函项的命题逻 辑来说是完全恰当的。
定义：SL的一个命题集Γ重言蕴涵一个命题P， 当且仅当，没有一个真值指派使得，Γ的每一 成员为真而P为假。
重言有效也叫做“真值函项地有效”。
§8∶3·2 一些语义元定理及其证明
元定理8.3.1：SL的一个命题P是矛盾式，当且仅当， ｛P｝是真值函项地不一致的。
逻辑学 第六讲：命题逻辑的自然演绎系统三四节
补充材料二：
无效推理的证明
如果推理无效，那么运用推理规则不可能从前提推演出结论 。这意味着形式证明方法不能证明推理是无效的。 1，用真值表证明推理是无效的。 如果一个推理是无效的，至少存在一组赋值使得推理的前提 真而结论假。 例：用真值表判定下列推理是否有效： C（AB），AC /BC 2，用归谬赋值法证明推理的有效或无效。 归谬赋值法的基本思路同间接证明方法类似。我们要证明一 个推理是有效的，先假设它无效，这就是归谬。 例：判定下列推理是否有效： A（BC），（CD）F /AF 3，证明公式集合的协调性。
（附录）练习题：
一，用条件证明规则构造以下推论： 1，JK 2，ZCB，QB 3，P（QR），P（RQ） ） 二，使用间接证明构造以下推论： 1，PQ，PQ 2，FN，NBJ，BFD 3，PR，QS，PQ
/JJK /ZQ /P（QR
（二）条件证明规则的应用
例1： PQ RP ） 例2： P（QS） RP Q
/QR
（证明略
/RS
（证明如下）
证明： （1）P（QS） （2）RP （3） Q （4）R （5）R （6）P （7）QS （8）S （9）RS 证毕
（PQ）R QS PS /） PS （4）P （5）S （6）Q （7）PQ （8）R 证毕
PR PR PR PA-CP （3）、（4），MP （2）、（5）， （4）—（6），CP （1）、（7），MP
有的推论的证明只需一次使用条件证明规则，但是有的却需 要多次使用条件证明规则。 例4： P（QR） R Q（PS）
/PQ
例5： ABC CDE
/A（DEC）
命题逻辑自然演绎系统
练习：
1.
┐M→（N→L） J→K ┐M M∨（N∨J） ∴ L∨K
2019年1月19日星期六
14
⑴ ┐M→（N→L） ⑵ J→K ⑶ ┐M ⑷ M∨（N∨J） ⑸ N→L ⑹ N∨J ⑺ L∨K
前提 前提 前提 前提 ⑴⑶肯前 ⑶⑷否析 ⑵⑸⑹二难推理
2019年1月1Biblioteka 日星期六152. ┐P→（R→┐Q） P→┐Q ┐S∨┐R→┐┐Q ┐S ∴ ┐R
讨论对象语言的语言叫元语言或语法语言。
2019年1月19日星期六
5
形成规则的作用
（1）以递归的方式定义合式公式。 （2）提供一种能行、可判定的方法判定任一符号串是不是 合式公式。 （3）检验合式公式的性质。
如:(((p∨q)∧(p))→q)的形成过程是：p，q，(p∨q)， (p)，((p∨q)∧(p))，q ，(((p∨q)∧(p))→q)。这个 字符串是反复运用形成规则而形成的，因此它是合式公式。
2019年1月19日星期六
8
整推规则
1.合取引入规则(记为∧+)： 从A和B推出A∧B； 2.合取消去规则(记为∧_): 从A∧B推出A；从A∧B推出B； 3.析取引入规则(记为∨+)： 从A推出A∨B；从B推出A∨B； 4.析取消去规则(记为∨_): 从A∨B和A推出B；从A∨B和B推出A； 5.肯定前件（记为MP) 从A→B和A推出B; 6.否定后件规则（记为MT); 从A→B和B推出A;
2019年1月19日星期六 20
蕴涵引入规则(记为→+)
又称条件证明规则或演绎定理，是把从Γ推出A→B的推理 转化为从Γ和临时的假设A推出B的推理。
即：（Γ→（A→B））←→（Γ∧A→B）
自然演绎推理与归结演绎推理的比较
自然演绎推理与归结演绎推理的比较自然演绎推理与归结演绎推理的比较导语：演绎推理是逻辑学中的一个重要概念，它通过逻辑规则和先验知识，从已知真实陈述中得出新的结论。
在演绎推理中，自然演绎推理和归结演绎推理是两种常见的方法。
本文将比较自然演绎推理和归结演绎推理，探讨它们的特点和应用领域。
一、自然演绎推理1. 简介：自然演绎推理是一种基于逻辑规则的推理方法，顺着逻辑规则一步步推导，从已知的真实陈述出发，通过一系列的推理步骤得出结论。
2. 特点：a) 有效性：自然演绎推理是一种严格的推理形式，通过正确的应用逻辑规则，可以产生准确的推理结果。
b) 逆向思维：自然演绎推理常常是从期望的结论出发，逆向思考，从而推导出支持该结论的前提条件。
c) 基于规则：自然演绎推理过程中使用的是确定的逻辑规则，例如前提、充分必要条件、三段论等。
3. 应用领域：a) 数学推理：在数学证明中，自然演绎推理是一种常见的推理方法，通过逻辑推理规则，得出数学定理的证明过程。
b) 法律推理：在法律领域，自然演绎推理也具有重要应用，用于推导出法律条文的含义和解释。
二、归结演绎推理1. 简介：归结演绎推理是一种基于谓词逻辑和归结规则的推理方法，通过判断两个子句是否可归结，从而得出结论。
2. 特点：a) 可证明性：归结演绎推理可以通过构造归结树或应用归结规则来证明逻辑表达式的真假。
b) 前向思维：与自然演绎推理不同，归结演绎推理从已知前提出发，通过归结规则前进，最终得出结论。
c) 归结规则：归结演绎推理过程中使用的是一系列归结规则，包括归结消解规则、归结因式分解规则等。
3. 应用领域：a) 人工智能：在人工智能领域，归结演绎推理被广泛应用于专家系统和自动定理证明等领域。
b) 计算机科学：归结演绎推理也是计算机科学中重要的逻辑推理方法，用于语言处理和知识表示。
三、自然演绎推理与归结演绎推理的比较1. 方法差异：a) 自然演绎推理是顺着逻辑规则进行推导，而归结演绎推理是通过归结规则前进。
命题逻辑的自然演绎系统推理技巧
在命题逻辑中，自然演绎系统推理技巧是一项重要的认知工具，它帮助我们理性地推导和论证命题之间的关系。
通过自然演绎系统推理技巧，我们可以更加深入地理解命题之间的逻辑联系，从而加强我们的批判性思维和逻辑推理能力。
接下来，我将从浅入深地探讨命题逻辑的自然演绎系统推理技巧。
我们需要了解命题逻辑的基本概念。
在命题逻辑中，命题是陈述句或命题句，可以是真或假。
通过对命题的组合和关联，我们可以得到更加复杂的命题，从而进行自然演绎系统推理。
在自然演绎系统推理中，我们需要牢记几项基本原则：排中律、矛盾律和第三种排中律。
我们可以探讨如何运用自然演绎系统推理技巧来进行逻辑推理。
我们需要通过演绎推理的方式，从已知的真命题出发，推导出需要证明的命题。
在进行演绎推理时，我们需要特别注意使用命题逻辑的各种推理规则，如假言推理、拒斥推理和构造性二难推理等。
这些推理规则可以帮助我们更加清晰地展示命题之间的逻辑关系，从而得出正确的结论。
在实际应用中，我们可以通过举例或实际情景来说明自然演绎系统推理技巧的有效性。
我们可以通过分析一个实际的论证过程，来展示使用自然演绎系统推理技巧能够帮助我们更加准确地分析问题、推导结论。
我们需要总结和回顾命题逻辑的自然演绎系统推理技巧。
通过总结和回顾，我们可以进一步加深对这一主题的理解，并将其运用到实际生活中。
总结和回顾还可以帮助我们发现命题逻辑的自然演绎系统推理技巧在实际应用中的局限性，从而促进我们对逻辑推理方法的不断完善和改进。
个人观点上，自然演绎系统推理技巧对于我们的思维和认知能力至关重要。
通过掌握这些技巧，我们可以更加准确地分析问题、推导结论，并在日常生活中做出更好的决策。
我认为对于命题逻辑的自然演绎系统推理技巧，我们应该深入研究和运用，并不断完善和拓展其应用范围。
通过深入的文章内容探讨，我相信你对命题逻辑的自然演绎系统推理技巧有了更加全面、深刻和灵活的理解。
希望这篇文章能够帮助你在未来的学习和工作中更好地运用自然演绎系统推理技巧，提高逻辑思维能力，取得更好的成果。
《逻辑学》(第二版) 第3章 命题逻辑的自然演绎系统 郭、熊 - 复件
例如：在证明中得到“a是偶数”和“a大于2”，自然可以推出“a
是大于2的偶数”。
第二节 推理规则
（二）合取消去规则（
E）
在同一级证明中，如果证明A B，就可以证明A；也可以证
明B。这是显然的，如果A B是真的，那么A和B都是真的。
例如，在证明中得到“a是大于2的偶数”，立即可得“a是
重复规则得到的。步骤[3]是从[1]和[2]用合取引入规则得到的。
每一步右侧书写得到该步骤所依据的规则。
第三节
系统NP中的推导
第三节
系统NP中的推导
案例分析：证明策略一（从结论想起）
• 注意：前面三个例子表明，一个自然演绎推演
和我们玩积木类似，是一个先把前提拆开再重
新组合成结论的过程。
• 分析：为避免少走弯路，一个最直接的证明策
子证明。
第三节
系统NP中的推导
一、合取规则的运用
1. 运用要求
在使用“合取引入规则（∧I）”与“合取消除规则（∧E）”时，我们要确保
由规则所推导出来的结论与其前提处于同一个子证明之中。
第三节
系统NP中的推导
第三节
系统NP中的推导
这里步骤[1]是前提，右侧标记pre表示。步骤[2]是从[1]运用
命题B和 B。这样就可以证明A。这种证明方法在数学中俗称“反证法”，
从假设 A引出一对矛盾命题，就证明了 A不成立，所以A成立。
注意:临时引入假设 A，往右退一格，引入从 A到B和 B的一级子证明。
子证明结束后，结论A回到上一级证明，这样就消除了临时引入的假设。
第二节 推理规则
（七）析取引入规则（
含有子证明的复杂证明具有如下一般形式：
公理系统和自然推演系统
公理系统和自然推演系统公理系统和自然推演系统是数学中两个重要的概念，它们在逻辑推理和证明过程中起到了关键作用。
公理系统是数学中用来构建证明的基础，而自然推演系统是一种根据逻辑规则进行推理的方法。
本文将分别介绍公理系统和自然推演系统的定义、特点和应用。
一、公理系统公理系统是逻辑中的一种形式化系统，它由一组公理和一组推理规则组成。
公理是不需要证明的基本命题，通过推理规则可以从公理中推导出其他命题。
公理系统的设计需要满足以下要求：1. 一致性：公理系统中的任意两个命题不能相互矛盾。
2. 完备性：公理系统中的任意命题都可以被证明或推导出来。
3. 独立性：公理系统中的每个公理都是独立的，即不能从其他公理中推导出来。
在公理系统中，通过逻辑规则和推理规则可以进行逐步推导，从而得到新的命题。
这种推导过程是严格的、逻辑上的推理，可以确保推导的正确性。
公理系统在数学证明中起到了关键的作用，它为数学建立了严密的逻辑基础。
二、自然推演系统自然推演系统是一种基于逻辑规则进行推理的方法。
它不依赖于公理系统，而是根据逻辑规则和已知事实进行推理。
自然推演系统的特点包括：1. 直观性：自然推演系统的推理过程符合人类的直观思维方式，更易于理解和应用。
2. 灵活性：自然推演系统不受严格的形式化要求，可以根据实际情况进行灵活的推理。
3. 非确定性：自然推演系统的推理过程中存在非确定性，即可能存在多个合理的推理路径。
自然推演系统在人工智能、专家系统等领域有广泛的应用。
通过构建逻辑规则和推理机制，可以根据已知的事实进行推理和决策，帮助人们解决复杂的问题。
三、公理系统与自然推演系统的比较公理系统和自然推演系统在推理过程中有一些区别：1. 基础不同：公理系统的推理基础是一组公理，而自然推演系统的推理基础是逻辑规则和已知事实。
2. 形式化程度不同：公理系统是一种形式化的推理系统，推导过程严格、精确；而自然推演系统更加灵活，推理过程更符合人类的直觉思维方式。
命题逻辑的自然演绎系统
NP系统中的语法(语形)推出关系
T37 A→B，B→A├ AB (+) T38(a) AB├ A→B (_) T38(b) AB├ B→A T39 A→C,B→C├ A∧B→C (前件合取) T40 A→B,A→C├ A→B∧C (后件合取) T41 A∧B→C├┤(A→C)∨(B→C) T42 A∨B→C├┤(A→C)∧(B→C) T43 A→B∧C├┤(A→B)∧(A→C) T44 A→B∨C├┤(A→B)∨(A→C) ……
⑵ H∧I
前提
⑶ H∨M→F
前提
⑷H
⑵化简
⑸ H∨M
⑷附加
⑹F
⑶⑸肯前
⑺ F∨G
⑹附加
⑻ H→（I↔K）
⑴⑺肯前
⑼ I↔K
⑷⑻肯前
练习：
1. ┐M→（N→L） J→K ┐M M∨（N∨J） ∴ L∨K
⑴ ┐M→（N→L） ⑵ J→K ⑶ ┐M ⑷ M∨（N∨J） ⑸ N→L ⑹ N∨J ⑺ L∨K
NP系统中的语法(语形)推出关系
T29(a) A∧B→C├┤A∧C→B(反三段论) T29(b) A∧B→C├┤B∧C→A T30 A∧B→C├ A→(B→C)(条件输出) T31 A→(B→C)├ A∧B→C(条件输入) T32 A→(B→C)├┤B→(A→C)(条件互易) T33 A→(B→C)├┤(A→B)→(A→C)（蕴涵分配） T34 A→(A→B)├┤A→B (条件融合) T35(a) A→B├ A∧C→B∧C (前件附加) T35(b) A→B├ A∨C→B∨C T35(c) A→B├ (C→A)→(C→B) T36 （A→B）→C├ B→C
练习
1、X→Y∨Z Z→┐X ∴X→Y
⑴ X→Y∨Z ⑵ Z→┐X
命题逻辑的自然演绎系统
合式公式的子公式
合式公式的子公式：在生成合式公式的过程中，每一步所生成的公式都
是这一生成的合式公式的子公式。如： A的子公式是A和A； A∧B 的子公式是A、B和A∧B； A∨B 的子公式是A、B和A∨B； A→B 的子公式是A、B和A→B。
如：p，q，（p∨q），(p)，((p∨q)∧(p))，(((p∨q)∧(p))→q)都是 (((p∨q)∧(p))→q)的子公式。
⑶⑹假言三段论
例2：B→┐A B∧（C→D） A∨C
∴ D ⑴ B→┐A ⑴B→┐A ⑵ B∧（C→D） ⑶ A∨C ⑷B ⑸ C→D ⑹ ┐A ⑺C ⑻D
前提 前提 前提 ⑵化简
⑵化简 ⑴⑷肯前 ⑶⑹否析 ⑸⑺肯前
例3：F∨G→（H→（I↔K））
H∧I
H∨M→F
∴ I↔K
⑴ F∨G→（H→（I↔K）） 前提
形成规则
(1)任何单个的命题变元p是合式公式； (2)如果A是合式公式，则(A)是合式公式； (3)如果A和B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、 (A→B)是合式公式；
只有（1）----到（3）形成的符号串是合式公式。
定义
定义是用来表示缩写的，定义两边的符号串可以相 互代替。 如：(AB)=df(A→B)∧(B→A)。
形式语言L ′的全体合式公式记为Form(L ′)。 形式语言L ′是我们研究对象，叫对象语言。 讨论对象语言的语言叫元语言或语法语言。
形成规则的作用
（1）以递归的方式定义合式公式。 （2）提供一种能行、可判定的方法判定任一符号串是不是 合式公式。 （3）检验合式公式的性质。
如:(((p∨q)∧(p))→q)的形成过程是：p，q，(p∨q)，(p)， ((p∨q)∧(p))，q ，(((p∨q)∧(p))→q)。这个字符串是反 复运用形成规则而形成的，因此它是合式公式。
4.2-自然演绎推理
第4章 自动推理 章
4.1 4.2 4.3 引言 自然演绎推理 归结演绎推理
4.2 自然演绎推理
4.2.1 自然演绎推理的基本概念
定义：自然演绎推理是指从一组已知的事实出发， 定义：自然演绎推理是指从一组已知的事实出发， 直接运用命题逻辑或谓词逻辑中的推理规则推出 结论的过程。 结论的过程。 推理规则： 推理规则： P规则：在推理的任何步骤上都可引入前提，继 规则： 规则 续进行推理。 T规则：推理时，如果前面步骤中有一个或多个 规则： 规则 公式永真蕴涵公式S，则可把S引入推理过程中。
4.2.1 自然演绎推理的基本概念
又如下列推理： 又如下列推理：Байду номын сангаас
如果上网，则能知道新闻。 没有上网。 所以，不知道新闻。 这就是使用了否定前件的推理,违反了逻辑规则,显然 是不正确的,因为通过收听广播、看电视等，也会知 道新闻。
4.2.2 自然演绎推理的优缺点
优点： 定理证明过程自然，容易理解，而且它拥有丰富 的推理规则，推理过程灵活，便于在它的推理 规则中嵌入领域启发式知识。 缺点： 容易产生组合爆炸，推理过程中得到的中间结 论一般呈指数形式递增。
4.2.1 自然演绎推理的基本概念
如伽利略在论证哥白尼的日心说时,曾使用 如伽利略在论证哥白尼的日心说时 曾使用 了下列推理： 了下列推理：
如果行星系统是以太阳为中心的,则金星会显 示出位相变化。 金星会显示出位相变化.。 所以，行星系统是以太阳为中心的。 这就是使用了肯定后件的推理，违反了经典逻辑的逻 辑规则,他为此曾遭到非难。
4.2.1 自然演绎推理的基本概念
假言推理：假言推理的一般形式是： 假言推理：假言推理的一般形式是： P，P→Q==》Q ， → 》 它表示： 为真， 为真。 它表示：由P→Q及P为真，可推出 为真。 → 及 为真 可推出Q为真 拒取式推理：拒取式推理的一般形是： 拒取式推理：拒取式推理的一般形是： P→Q，~Q==》~P → ， 》 它表示： 为真及Q为假 为假。 它表示：由P→Q为真及 为假，可推出 为假。 → 为真及 为假，可推出P为假
第四章命题逻辑的自然演绎系统
前提 前提 前提 前提 ⑵⑷否后 ⑴⑸肯前 ⑶⑹假言三段论
11
例2：B→┐A B∧（C→D） A∨C ∴ D ⑴ B→┐A ⑴B→┐A ⑵ B∧（C→D） ⑶ A∨C ⑷B ⑸ C→D ⑹ ┐A ⑺C ⑻D
前提 前提 前提 ⑵化简 ⑵化简 ⑴⑷肯前 ⑶⑹否析 ⑸⑺肯前
2013年7月9日星期二
蕴涵引入规则(记为→+)
例1：F∨┐G ┐H→┐F ∴G→H ⑴ F∨┐G ⑵ ┐H→┐F ⑶G ⑷ ┐┐G ⑸F ⑹ ┐┐F ⑺ ┐┐H ⑻H ⑼ G→H
2013年7月9日星期二
前提 前提 条件假设 ⑴双重否定 ⑴⑷否析律 ⑸双重否定 ⑵⑹否后律 ⑺双重否定 ⑶─⑻条件证明
22
蕴涵引入规则(记为→+)
2013年7月9日星期二 33
3. F∨┐G ┐H→┐F ∴G→H
4. E∨(J∧┐K) J→(┐K∧E) ∴E
2013年7月9日星期二
34
置换规则的涵义
对于任何命题P，无论它是以整 个命题出现，还是作为一个命题的 一部分出现，都可用与它重言等值 的命题Q来替换。
2013年7月9日星期二
35
置换规则
2013年7月9日星期二
29
⑴ X→Y∨Z ⑵ Z→┐X ⑶X ⑷ Y∨Z ⑸ ┐┐X ⑹ ┐Z ⑺Y ⑻ X→Y
2013年7月9日星期二
前提 前提 条件假设 ⑴⑶肯前律 ⑶双重否定 ⑵⑸否后率 ⑷⑹否析律 ⑶─⑺条件证明
30
练习：
2. E∨(J∧┐K) J→(┐K∧E) ∴E
2013年7月9日星期二
第四章
命题逻辑的自然演绎系统
自然演绎系统NP
构建命题逻辑的形式系统，可以采用公理化方法， 也可采用自然演绎的方法。为接近人们日常思维的实 践，采用自然演绎的方法来构建命题逻辑的一个形式 系统NP。
命题逻辑的自然推理系统n的公理集
命题逻辑是哲学领域中最古老的研究对象之一，也是数理逻辑中的一个重要分支。
命题逻辑的自然推理系统n提供了一种形式化的、严谨的推理方法，其公理集是构建整个系统的基础。
下面将通过分析命题逻辑自然推理系统n的公理集来探讨其重要性和作用。
一、命题逻辑的自然推理系统n的定义命题逻辑是通过研究命题之间的逻辑关系，来揭示命题之间的真假关系以及推理规律的一种逻辑体系。
而自然推理系统n则是命题逻辑的一种形式化推理系统，它是通过一系列的推理规则和公理来实现对逻辑命题进行推理的系统。
二、自然推理系统n的公理集自然推理系统n的公理集是构建整个系统的基础，它包括了一系列的公理，这些公理是系统的基本假设，是不需要证明的。
自然推理系统n的公理集一般包括以下几条：1. 蕴涵引入规则：如果A蕴涵B成立，那么A蕴涵B也成立。
2. 假言析取规则：如果A蕴涵B成立，那么非A或B也成立。
3. 与介入规则：如果A成立，B成立，那么A与B成立。
4. 双条件规则：如果A蕴涵B成立，且B蕴涵A也成立，那么A等价于B。
5. 同一律：任何命题都等价于自身。
这些公理构成了自然推理系统n的基本框架，为系统提供了一种形式化的推理方式，使得推理过程更加严谨、规范。
三、自然推理系统n的重要性和作用自然推理系统n作为命题逻辑的一种形式化推理系统，具有重要的理论和实际意义。
自然推理系统n为命题逻辑的理论研究提供了一个形式化的框架，使得命题逻辑的推理规则更加清晰、严谨，有利于命题逻辑理论的深入研究。
自然推理系统n为实际推理和证明提供了一种形式化的方法。
在数学、计算机科学等领域，逻辑推理是非常重要的，自然推理系统n的公理集为实际推理提供了规范和指导，能够保证推理的正确性和严密性。
自然推理系统n的公理集为我们理解命题逻辑的基本规则和推理方式提供了重要的途径，有助于我们深入理解命题逻辑的本质和特点。
四、结语命题逻辑的自然推理系统n的公理集是构建整个系统的基础，它为命题逻辑的理论研究和实际推理提供了重要的支持和指导。
命题逻辑的自然演绎系统-1
命题逻辑的自然演绎系统-1计算机科学M O O C课程群离散数学基础命题逻辑的自然演绎系统(一) 形式语言和变形规则定义：形式语言 L形式语言 L 包括初始符号集和形成规则。
初始符号(1)命题变量符号p1, p2, p3, … ；(2)命题联结词?, ∧, ∨, →, ?；(3)辅助性符号 (, )，用于描述联接词的辖域或运算优先次序。
形成规则(1)单独的命题变量符号是合式公式 (wff，简称公式)；(2)若 A 是 wff，则 ?A 也是 wff；(3)若 A, B 是 wff，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A?B) 也是 wff；(4)当且仅当有限次使用上述规则得到的才是 wff。
规定公式最外层括号可以省略；省略括号情况下，联接词的结合按?, ∧, ∨, →,的次序进行。
一般地定义：(A?B) = (A→B)∧(B→A)说明生成合式公式的过程中，每一步所生成的公式，称为该合式公式的子式。
生成合式公式最后一步使用的联结词称为该公式的主联结词。
比如(A∧B)→(A∨B) 中的→；又如A∨(A∧B) 中的∨。
定义：变形规则变形规则(或推演规则) ?° Γ├ B?± 描述合式公式之间的语法推演关系，它只涉及公式的形式结构，与其真值含义无关。
“Γ├ B”表示在演绎系统 N 中“由Γ 形式推出B”的语法推演关系 (或语法变形)，也称为 N 的定理。
其中Γ 是元语言符号，描述 N 中的一个有限公式集合，称为规则的前提，B 是 N 的公式，称为结论公式。
规定等价规则：(1) 若Γ├ A∧B 则Γ├ B∧A；(2) 若Γ├ A∨B 则Γ├ B∨A。
Γ = {p1, p2, …, p n} 时，Γ├ B 也可以写成p1, p2, …, p n├ B定义：基本变形规则集 R每一条变形规则都指出一种语法推演关系的模式。
设Γ 是 L 中的一个有限公式集，A, B, C 是 L 的公式。
第3章2命题逻辑推理系统
真值形式最外层的括号根据五个 联结词的结合力可以省略，结合 力按照下列顺序递减： 、∧、∨、→、←→ (p∧q)→r) ←→(p∨s) 可以省略为： p∧q→r ←→p∨s
复合命题真假与其支命题真假之间的 关系与数学中的函数类似。在数学中， 函数是用下面的公式表示的： y=f（x） 其中，x是自变元，y是函数的值，f是 函数关系。例如：y=x2
p三命题逻辑的自然推理系统自然推理系统没有公理只有一组推理规则它从假设前提出发进行推演在推理过程中随时引入假设并根据规则消去假设最后获得被求证公式
第三节 命题演算 一、重言式及其判定 （一）真值联结词、真值形式 复合命题形式在数理逻辑中叫真值 形式。表示关系的联结词叫真值联 结词。 真值联结词是日常语言联结词在真 假关系上的一种抽象。
（A） B
B
∴ A
12、否定消除规则（－）：在给定 前提下，由引入假设的A，推出B和 B，那么由此可推出A；
（ A）
B
B
∴ A
（三）自然推理系统定理的证明
定理1：p→（p∨q）
证明：
1、p 2、p∨q 3、p→（p∨q） （P） （1∨＋） （1，2→＋）
（二）真值函项的种类及其判定方法 （1）真值函项的种类 按真值函项的取值，真值函项分为： 常真的。 常假的。 可满足的。 真值形式也分为三类： 重言式。如：p∨p、p→p等。 矛盾式。如：p∧p、p←→p。 可满足式。如：p∨q、p→q。
命题逻辑中有效的推理在形式 上都是重言式。要判定一个复 合命题推理是否有效，其实质 也就是判定反映该推理的公式 是否为重言式。 介绍两种判定重言式的方法： 真值表法 归谬赋值法。
真值形式的数目是无穷的，但是 在命题变项的数目给定之后，真 值函项的数目也就确定了。 n个命题变项的真假组合会有多少 个真值函项？
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练习：
1. ┐M→（N→L） （ ） J→K ┐M M∨（N∨J） ∨ ∨ ） ∴ L∨K ∨
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⑴ ┐M→（N→L） （ ） ⑵ J→K ⑶ ┐M ⑷ M∨（N∨J） ∨ ∨ ） ⑸ N→L ⑹ N∨J ∨ ⑺ L∨K ∨
前提 前提 前提 前提 ⑴⑶肯前 ⑴⑶肯前 ⑶⑷否析 ⑶⑷否析 ⑵⑸⑹二难推理 ⑵⑸⑹二难推理
2011年4月5日星期二
26
否定消去规则(记为¬_)
例2：A→(B→C)∧(¬C→D)，¬C∧¬D /∴ ¬ A (1) A→(B→C) ∧(¬C→D) A1 (2)¬C∧¬D A2 (3) ¬C (2)∧_ (4) ¬D (2)∧_ (5) ¬¬ A H1 (6) A (5)¬¬_ (7) (B→C)∧(¬C→D) (1)，(6)→_ (8) ¬C→D (7)∧_ (9) D (3)，(8)→_ (10) ¬D∧D (4)，(9)∧+ (11)¬A (5)—(10)¬- (消去H1)
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6
合式公式的子公式
合式公式的子公式： 合式公式的子公式：在生成合式公式的过程中，每一步所生成的公式都
是这一生成的合式公式的子公式。如： ¬A的子公式是A和¬A； A∧B 的子公式是A、B和A∧B； A∨B 的子公式是A、B和A∨B； A→B 的子公式是A、B和A→B。 如：p，q，（p∨q），(¬p)，((p∨q)∧(¬p))，(((p∨q)∧(¬p))→q)都 是(((p∨q)∧(¬p))→q)的子公式。
32
作业：
1. ┐X→Y X→┐Z ┐┐Z∧W ∧ ∴ Y∧W ∧ 2. E→F∧G ∧ E∧H ∧ I∨K ∨ F∨J→┐I ∨ ∴K
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3. F∨┐G ∨ ┐H→┐F ∴G→H 4. E∨(J∧┐K) ∨ ∧ J→(┐K∧E) ∧ ∴E
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置换规则的涵义 对于任何命题P，无论它是以整 个命题出现，还是作为一个命题的 一部分出现，都可用与它重言等值 的命题Q来替换。
前提 前提 前提 前提 ⑷附加 ⑶⑸肯前 ⑶⑸肯前 ⑵⑹否后 ⑵⑹否后 ⑴⑺肯前 ⑴⑺肯前 ⑹⑻否后 ⑹⑻否后
17
3. ┐P∨┐Q→┐（R→S） ∨ （ ） ┐P （R→S）∨（T→U） ） ） ┐U ∴ ┐T
2011年4月5日星期二
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⑴ ┐P∨┐Q→┐（R→S） 前提 ∨ （ ） ⑵ ┐P 前提 ⑶（R→S）∨（T→U） ） ） 前提 ⑷ ┐U 前提 ⑸ ┐P∨┐Q ∨ ⑵附加 ⑴⑸肯前 ⑹ ┐（R→S） （ ） ⑴⑸肯前 ⑶⑹否析 ⑺ T→U ⑶⑹否析 ⑷⑺否后 ⑻ ┐T ⑷⑺否后
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置换规则
T18(a) ¬(A∧B)├┤¬A∨¬ B(记为DeM.) T18(b) ¬(A∨B)├┤¬A∧¬ B(记为DeM.)
2011年4月5日星期二
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德摩根律的证明
T18(a) ¬(A∧B)├┤ ¬ A∨ ¬ B的证明 ∧ ∨ 的证明
先证¬(A∧B)├ ¬A∨¬B: (1) ¬(A∧B) (2) ¬(¬A∨¬B) (3) ¬A (4) ¬A∨¬B (5)(¬A∨¬B)∧¬(¬A∨¬B) (6) A (7) ¬B (8)¬A∨¬B (9)(¬A∨¬B)∧¬(¬A∨¬B) (10) B (11)A∧B (12)(A∧B)∧¬(A∧B) (13) ¬A∨¬B A H1 H2 (3)，∨+ (2),(4),∧+ (3)—(5),¬_(消去H2) H3 (7)，∨+ (2)，(8)，∧+ (7)—(9)，¬_(消去H3) (6)，(10), ∧+ (1)，(11), ∧+ (2)—(12)，¬_(消去H1)
推演规则
（1）整推规则 ） （2）置换规则 ） （3）条件证明规则 ） （4）间接证明规则 ）
2011年4月5日星期二
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整推规则
1.合取引入规则(记为∧+)： 从A和B推出A∧B； 2.合取消去规则(记为∧_): 从A∧B推出A；从A∧B推出B； 3.析取引入规则(记为∨+)： 从A推出A∨B；从B推出A∨B； 4.析取消去规则(记为∨_): 从A∨B和¬A推出B；从A∨B和¬B推出A； 5.肯定前件（记为MP) 从A→B和A推出B; 6.否定后件规则（记为MT); 从A→B和¬B推出¬A;
2011年4月5日星期二
前提 前提 条件假设 ⑴双重否定 ⑴⑷否析律 ⑴⑷否析律 ⑸双重否定 ⑵⑹否后律 ⑵⑹否后律 ⑺双重否定 ⑶─⑻条件证明 ⑻
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蕴涵引入规则(记为→+)
例2：A→B
┐C∨B→(D→E) ∴A→(D→E) ⑴ A→B ⑵ ┐C B→(D→E) ┐C∨B→(D→E) ⑶A ⑷B ⑸ ┐C∨B ⑹ D→E ⑺ A→(D→E) 前提 前提 条件假设 ⑴⑶肯前律 ⑷附加 ⑵⑸肯前律 ⑶─⑹条件证明
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⑴ X→Y∨Z ∨ ⑵ Z→┐X ⑶X ⑷ Y∨Z ∨ ⑸ ┐┐X ⑹ ┐Z ⑺Y ⑻ X→Y
2011年4月5日星期二
前提 前提 条件假设 ⑴⑶肯前律 ⑴⑶肯前律 ⑶双重否定 ⑵⑸否后率 ⑵⑸否后率 ⑷⑹否析律 ⑷⑹否析律 ⑶─⑺条件证明 ⑺
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练习：
2. E∨(J∧┐K) ∨ ∧ J→(┐K∧E) ∧ ∴E
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蕴涵引入（条件证明）规则与 否定消去（间接证明）规则
在做题过程中二者可以交替使用，既可 以先用蕴涵引入（条件证明）规则再用 否定消去（间接证明）规则，也可以先 用否定消去（间接证明）规则再用蕴涵 引入（条件证明）规则。
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练习
1、X→Y∨Z ∨ Z→┐X ∴X→Y
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定义
定义是用来表示缩写的， 定义是用来表示缩写的，定义两边的符号串可以相 互代替。 互代替。 如：(A↔B)=df(A→B)∧(B→A)。 形式语言L ′的全体合式公式记为Form(L ′)。 L L 形式语言L ′是我们研究对象，叫对象语言。 L 讨论对象语言的语言叫元语言或语法语言。
2011年4月5日星期二
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2. ┐P→（R→┐Q） （ ） P→┐Q ┐S∨┐R→┐┐Q ∨ ┐S ∴ ┐R
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⑴ ┐P→（R→┐Q） （ ） ⑵ P→┐Q ⑶ ┐S∨┐R→┐┐Q ∨ ⑷ ┐S ⑸ ┐S∨┐R ∨ ⑹ ┐┐Q ⑺ ┐P ⑻ R→┐Q ⑼ ┐R
2011年4月5日星期二
2011年4月5日星期二
前提 前提 前提 前提 ⑵⑷否后 ⑵⑷否后 ⑴⑸肯前 ⑴⑸肯前 ⑶⑹假言三段论 ⑶⑹假言三段论
11
例2：B→┐A ： B∧（C→D） ∧ ） A∨C ∨ ∴ D ⑴ B→┐A ⑴B→┐A ⑵ B∧（C→D） ∧ ） ⑶ A∨C ∨ ⑷B ⑸ C→D ⑹ ┐A ⑺C ⑻D
前提 前提 前提 ⑵化简 ⑵化简 ⑴⑷肯前 ⑴⑷肯前 ⑶⑹否析 ⑶⑹否析 ⑸⑺肯前 ⑸⑺肯前
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条件证明规则
步 骤： 1.引入假设 引入假设 2.撤销假设 2.撤销假设 适用于蕴含式） （适用于蕴含式）
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蕴涵引入规则(记为→+)
又称条件证明规则或演绎定理 条件证明规则或演绎定理，是把从Γ推出A→B的推理 条件证明规则或演绎定理 转化为从Γ和临时的假设A推出B的推理。
2011年4月5日星期二
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例3：F∨G→（H→（I↔K）） ： ∨ （ （ ）） H∧I ∧ H∨M→F ∨ ∴ I↔K ⑴ F∨G→（H→（I↔K）） 前提 ∨ （ （ ）） ⑵ H∧I ∧ 前提 ⑶ H∨M→F ∨ 前提 ⑷H ⑵化简 ⑸ H∨M ∨ ⑷附加 ⑶⑸肯前 ⑹F ⑶⑸肯前 ⑺ F∨G ∨ ⑹附加 ⑴⑺肯前 ⑻ H→（I↔K） （ ） ⑴⑺肯前 ⑷⑻肯前 ⑼ I↔K ⑷⑻肯前
主联结词： 主联结词：辖域最大的联结词。
(((p∨q)∧(¬p))→q)的主联结词是→。
省略括号的约定： 省略括号的约定：
(1)公式最外层的括号可以省略。 (2)联结词的结合力依下列次序递减：¬，∧，∨，→，↔。 如：(((p∨q)∧(¬p))→q)可简记为(p∨q)∧¬p→q。
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第四章
命题逻辑的自然演绎系统
自然演绎系统NP 自然演绎系统
构建命题逻辑的形式系统，可以采用公理化方法， 构建命题逻辑的形式系统，可以采用公理化方法， 也可采用自然演绎的方法。 也可采用自然演绎的方法。为接近人们日常思维的实 践，采用自然演绎的方法来构建命题逻辑的一个形式 系统NP NP。 系统NP。
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德摩根律的证明
T18(a) ¬(A∧B)├┤ ¬ A∨ ¬ B的证明 ∧ ∨ 的证明
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⑴ E∨(J∧┐K) ∨ ∧ ⑵ J→(┐K∧E) ∧ ⑶ ┐E ⑷ J∧┐K ∧ ⑸J ⑹ ┐K∧E ∧ ⑺E ⑻ E∧┐E ∧ ⑼E
2011年4月5日星期二
前提 前提 间接假设 ⑴⑶否析律 ⑴⑶否析律 ⑷化简 ⑵⑸肯前律 ⑵⑸肯前律 ⑹化简 ⑶⑺合取 ⑶⑺合取 ⑶─⑻间接证明 ⑻
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条件证明规则
5.蕴涵引入规则(记为→+)： 条件证明 如果从公式集Γ和A推出B，则从Γ推出A→B；
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例1： ┐R→（H→T） ： （ ） R→H T→S ┐H ∴ H→S ⑴ ┐R→（H→T） （ ） ⑵ R→H ⑶ T→S ⑷ ┐H ⑸ ┐R ⑹ H→T ⑺ H→S
¬p, p∧q，p∨q, p→q； (p∧q)→r，p∧(q→r)，…； ((p→∨q→pq)，(((p→q∧r)∨)，… 按照形成规则形成的符号串称为合式公式。