命题逻辑的自然演绎系统

即：（Γ→（A→B）） ））←→（Γ∧A→B） （ ）） （ ∧ ）
前提集
结论
假设前提
本规则实质就是条件输入（输出）规则的运用 本规则实质就是条件输入（输出） 的推论。 最适于证明结论为蕴涵式的推论。
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蕴涵引入规则(记为→+)
例1：F∨┐G ∨ ┐H→┐F ∴G→H ⑴ F∨┐G ∨ ⑵ ┐H→┐F ⑶G ⑷ ┐┐G ⑸F ⑹ ┐┐F ⑺ ┐┐H ⑻H ⑼ G→H
推演规则
（1）整推规则 ） （2）置换规则 ） （3）条件证明规则 ） （4）间接证明规则 ）
2011年4月5日星期二
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整推规则
1.合取引入规则(记为∧+)： 从A和B推出A∧B； 2.合取消去规则(记为∧_): 从A∧B推出A；从A∧B推出B； 3.析取引入规则(记为∨+)： 从A推出A∨B；从B推出A∨B； 4.析取消去规则(记为∨_): 从A∨B和¬A推出B；从A∨B和¬B推出A； 5.肯定前件（记为MP) 从A→B和A推出B; 6.否定后件规则（记为MT); 从A→B和¬B推出¬A;
的推论。 最适于证明结论不是蕴涵式的推论。
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否定消去规则(记为¬_)
例1：A→B A→¬B ∴ ¬A (1) A→B (2) A→¬B (3) ¬¬A (4) A (5) B (6) ¬B (7) B∧¬B (8) ¬A
前提 前提 间接假设 (3)，¬¬_ (1)，(4)，→_ (2)，(4)，→_ (5)，(6)，∧+ (3)—(7)，间接证明
2011年4月5日星期二
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合式公式的子公式
合式公式的子公式： 合式公式的子公式：在生成合式公式的过程中，每一步所生成的公式都
是这一生成的合式公式的子公式。如： ¬A的子公式是A和¬A； A∧B 的子公式是A、B和A∧B； A∨B 的子公式是A、B和A∨B； A→B 的子公式是A、B和A→B。 如：p，q，（p∨q），(¬p)，((p∨q)∧(¬p))，(((p∨q)∧(¬p))→q)都 是(((p∨q)∧(¬p))→q)的子公式。
¬p, p∧q，p∨q, p→q； (p∧q)→r，p∧(q→r)，…； ((p→∨q→pq)，(((p→q∧r)∨)，… 按照形成规则形成的符号串称为合式公式。
2011年4月5日星期二
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形成规则
(1)任何单个的命题变元p是合式公式； (2)如果A是合式公式，则(¬A)是合式公式； (3)如果A和B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、 (A→B)是合式公式； 只有（1）----到（3）形成的符号串是合式公式。
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蕴涵引入（条件证明）规则与 否定消去（间接证明）规则
在做题过程中二者可以交替使用，既可 以先用蕴涵引入（条件证明）规则再用 否定消去（间接证明）规则，也可以先 用否定消去（间接证明）规则再用蕴涵 引入（条件证明）规则。
2011年4月5日星期二
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练习
1、X→Y∨Z ∨ Z→┐X ∴X→Y
第四章
命题逻辑的自然演绎系统
自然演绎系统NP 自然演绎系统
构建命题逻辑的形式系统，可以采用公理化方法， 构建命题逻辑的形式系统，可以采用公理化方法， 也可采用自然演绎的方法。 也可采用自然演绎的方法。为接近人们日常思维的实 践，采用自然演绎的方法来构建命题逻辑的一个形式 系统NP NP。 系统NP。
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2. ┐P→（R→┐Q） （ ） P→┐Q ┐S∨┐R→┐┐Q ∨ ┐S ∴ ┐R
2011年4月5日星期二
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⑴ ┐P→（R→┐Q） （ ） ⑵ P→┐Q ⑶ ┐S∨┐R→┐┐Q ∨ ⑷ ┐S ⑸ ┐S∨┐R ∨ ⑹ ┐┐Q ⑺ ┐P ⑻ R→┐Q ⑼ ┐R
2011年4月5日星期二
2011年4月5日星期二
前提 前提 条件假设 ⑴双重否定 ⑴⑷否析律 ⑴⑷否析律 ⑸双重否定 ⑵⑹否后律 ⑵⑹否后律 ⑺双重否定 ⑶─⑻条件证明 ⑻
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蕴涵引入规则wenku.baidu.com记为→+)
例2：A→B
┐C∨B→(D→E) ∴A→(D→E) ⑴ A→B ⑵ ┐C B→(D→E) ┐C∨B→(D→E) ⑶A ⑷B ⑸ ┐C∨B ⑹ D→E ⑺ A→(D→E) 前提 前提 条件假设 ⑴⑶肯前律 ⑷附加 ⑵⑸肯前律 ⑶─⑹条件证明
2011年4月5日星期二
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定义
定义是用来表示缩写的， 定义是用来表示缩写的，定义两边的符号串可以相 互代替。 互代替。 如：(A↔B)=df(A→B)∧(B→A)。 形式语言L ′的全体合式公式记为Form(L ′)。 L L 形式语言L ′是我们研究对象，叫对象语言。 L 讨论对象语言的语言叫元语言或语法语言。
2011年4月5日星期二
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德摩根律的证明
T18(a) ¬(A∧B)├┤ ¬ A∨ ¬ B的证明 ∧ ∨ 的证明
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条件证明规则
步 骤： 1.引入假设 引入假设 2.撤销假设 2.撤销假设 适用于蕴含式） （适用于蕴含式）
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蕴涵引入规则(记为→+)
又称条件证明规则或演绎定理 条件证明规则或演绎定理，是把从Γ推出A→B的推理 条件证明规则或演绎定理 转化为从Γ和临时的假设A推出B的推理。
2011年4月5日星期二
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例3：F∨G→（H→（I↔K）） ： ∨ （ （ ）） H∧I ∧ H∨M→F ∨ ∴ I↔K ⑴ F∨G→（H→（I↔K）） 前提 ∨ （ （ ）） ⑵ H∧I ∧ 前提 ⑶ H∨M→F ∨ 前提 ⑷H ⑵化简 ⑸ H∨M ∨ ⑷附加 ⑶⑸肯前 ⑹F ⑶⑸肯前 ⑺ F∨G ∨ ⑹附加 ⑴⑺肯前 ⑻ H→（I↔K） （ ） ⑴⑺肯前 ⑷⑻肯前 ⑼ I↔K ⑷⑻肯前
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条件证明规则
5.蕴涵引入规则(记为→+)： 条件证明 如果从公式集Γ和A推出B，则从Γ推出A→B；
2011年4月5日星期二
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例1： ┐R→（H→T） ： （ ） R→H T→S ┐H ∴ H→S ⑴ ┐R→（H→T） （ ） ⑵ R→H ⑶ T→S ⑷ ┐H ⑸ ┐R ⑹ H→T ⑺ H→S
主联结词： 主联结词：辖域最大的联结词。
(((p∨q)∧(¬p))→q)的主联结词是→。
省略括号的约定： 省略括号的约定：
(1)公式最外层的括号可以省略。 (2)联结词的结合力依下列次序递减：¬，∧，∨，→，↔。 如：(((p∨q)∧(¬p))→q)可简记为(p∨q)∧¬p→q。
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作业：
1. ┐X→Y X→┐Z ┐┐Z∧W ∧ ∴ Y∧W ∧ 2. E→F∧G ∧ E∧H ∧ I∨K ∨ F∨J→┐I ∨ ∴K
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3. F∨┐G ∨ ┐H→┐F ∴G→H 4. E∨(J∧┐K) ∨ ∧ J→(┐K∧E) ∧ ∴E
2011年4月5日星期二
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置换规则的涵义 对于任何命题P，无论它是以整 个命题出现，还是作为一个命题的 一部分出现，都可用与它重言等值 的命题Q来替换。
2011年4月5日星期二
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否定消去规则(记为¬_)
例2：A→(B→C)∧(¬C→D)，¬C∧¬D /∴ ¬ A (1) A→(B→C) ∧(¬C→D) A1 (2)¬C∧¬D A2 (3) ¬C (2)∧_ (4) ¬D (2)∧_ (5) ¬¬ A H1 (6) A (5)¬¬_ (7) (B→C)∧(¬C→D) (1)，(6)→_ (8) ¬C→D (7)∧_ (9) D (3)，(8)→_ (10) ¬D∧D (4)，(9)∧+ (11)¬A (5)—(10)¬- (消去H1)
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前提 前提 前提 前提 ⑵⑷否后 ⑵⑷否后 ⑴⑸肯前 ⑴⑸肯前 ⑶⑹假言三段论 ⑶⑹假言三段论
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例2：B→┐A ： B∧（C→D） ∧ ） A∨C ∨ ∴ D ⑴ B→┐A ⑴B→┐A ⑵ B∧（C→D） ∧ ） ⑶ A∨C ∨ ⑷B ⑸ C→D ⑹ ┐A ⑺C ⑻D
前提 前提 前提 ⑵化简 ⑵化简 ⑴⑷肯前 ⑴⑷肯前 ⑶⑹否析 ⑶⑹否析 ⑸⑺肯前 ⑸⑺肯前
2011年4月5日星期二
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⑴ X→Y∨Z ∨ ⑵ Z→┐X ⑶X ⑷ Y∨Z ∨ ⑸ ┐┐X ⑹ ┐Z ⑺Y ⑻ X→Y
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前提 前提 条件假设 ⑴⑶肯前律 ⑴⑶肯前律 ⑶双重否定 ⑵⑸否后率 ⑵⑸否后率 ⑷⑹否析律 ⑷⑹否析律 ⑶─⑺条件证明 ⑺
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练习：
2. E∨(J∧┐K) ∨ ∧ J→(┐K∧E) ∧ ∴E
2011年4月5日星期二
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⑴ E∨(J∧┐K) ∨ ∧ ⑵ J→(┐K∧E) ∧ ⑶ ┐E ⑷ J∧┐K ∧ ⑸J ⑹ ┐K∧E ∧ ⑺E ⑻ E∧┐E ∧ ⑼E
2011年4月5日星期二
前提 前提 间接假设 ⑴⑶否析律 ⑴⑶否析律 ⑷化简 ⑵⑸肯前律 ⑵⑸肯前律 ⑹化简 ⑶⑺合取 ⑶⑺合取 ⑶─⑻间接证明 ⑻
2011年4月5日星期二
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置换规则
T18(a) ¬(A∧B)├┤¬A∨¬ B(记为DeM.) T18(b) ¬(A∨B)├┤¬A∧¬ B(记为DeM.)
2011年4月5日星期二
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德摩根律的证明
T18(a) ¬(A∧B)├┤ ¬ A∨ ¬ B的证明 ∧ ∨ 的证明
先证¬(A∧B)├ ¬A∨¬B: (1) ¬(A∧B) (2) ¬(¬A∨¬B) (3) ¬A (4) ¬A∨¬B (5)(¬A∨¬B)∧¬(¬A∨¬B) (6) A (7) ¬B (8)¬A∨¬B (9)(¬A∨¬B)∧¬(¬A∨¬B) (10) B (11)A∧B (12)(A∧B)∧¬(A∧B) (13) ¬A∨¬B A H1 H2 (3)，∨+ (2),(4),∧+ (3)—(5),¬_(消去H2) H3 (7)，∨+ (2)，(8)，∧+ (7)—(9)，¬_(消去H3) (6)，(10), ∧+ (1)，(11), ∧+ (2)—(12)，¬_(消去H1)
2011年4月5日星期二
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形成规则的作用
（1）以递归的方式定义合式公式。 （2）提供一种能行、可判定的方法判定任一符号串是不是 合式公式。 （3）检验合式公式的性质。 如:(((p∨q)∧(¬p))→q)的形成过程是：p，q，(p∨q)， (¬p)，((p∨q)∧(¬p))，q ，(((p∨q)∧(¬p))→q)。这个 字符串是反复运用形成规则而形成的，因此它是合式公式。
2011年4月5日星期二
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间接证明规则
否定消去规则(记为¬_)： 间接证明 如果从Γ和¬A推出B∧¬B，则从Γ推出A。 步骤： 1.否定结论 2.提出矛盾 3.肯定结论
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否定消去规则(记为¬_)
又称间接证明或反证法 间接证明或反证法，是把由Γ推出 间接证明或反证法 A的推理转化为由Γ和临时的假设¬A推出 B∧¬B的推理。
前提 前提 前提 前提 ⑷附加 ⑶⑸肯前 ⑶⑸肯前 ⑵⑹否后 ⑵⑹否后 ⑴⑺肯前 ⑴⑺肯前 ⑹⑻否后 ⑹⑻否后
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3. ┐P∨┐Q→┐（R→S） ∨ （ ） ┐P （R→S）∨（T→U） ） ） ┐U ∴ ┐T
2011年4月5日星期二
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⑴ ┐P∨┐Q→┐（R→S） 前提 ∨ （ ） ⑵ ┐P 前提 ⑶（R→S）∨（T→U） ） ） 前提 ⑷ ┐U 前提 ⑸ ┐P∨┐Q ∨ ⑵附加 ⑴⑸肯前 ⑹ ┐（R→S） （ ） ⑴⑸肯前 ⑶⑹否析 ⑺ T→U ⑶⑹否析 ⑷⑺否后 ⑻ ┐T ⑷⑺否后
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练习：
1. ┐M→（N→L） （ ） J→K ┐M M∨（N∨J） ∨ ∨ ） ∴ L∨K ∨
2011年4月5日星期二
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⑴ ┐M→（N→L） （ ） ⑵ J→K ⑶ ┐M ⑷ M∨（N∨J） ∨ ∨ ） ⑸ N→L ⑹ N∨J ∨ ⑺ L∨K ∨
前提 前提 前提 前提 ⑴⑶肯前 ⑴⑶肯前 ⑶⑷否析 ⑶⑷否析 ⑵⑸⑹二难推理 ⑵⑸⑹二难推理
命题逻辑的自然演绎系统NP是由形式语言L ′和一 形式语言L 形式语言 组推导（变形）规则构成的。其中形式语言L ′包 L 括初始符号、形成规则和定义。
2011年4月5日星期二
2
初始符号
(1)甲类符号：p1, p2, p3, …； (2)乙类符号：¬，∧，∨，→； (3)丙类符号：(，)。
这些符号构成的有穷长的序列叫做符号串，例如: