Hilbert空间中的线性算子
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b
a
a
x(t ) K ( s, t ) y ( s ) ds dt
a a
b
( x(t ),
*
b
a
K ( s, t ) y ( s ) ds )
( x, T y ) L2 [ a ,b ]
(T y )( t )
b a
K ( s , t ) y ( s ) ds
自伴算子
*
• 若 T : C C
n
m
的线性算子，则T
的伴随算子 T ?
*
• Fredholm型积分算子T:
(Tx)(t ) K (t , s ) x( s ) ds, x L2 [a, b]
a b
其中 K C ([a, b] [a, b])
T B( L [a, b], L [a, b])
2 2
求T的共轭算子。
(Tx, y ) ( K (t , s ) x( s )ds, y (t ) )
a
b
L2 [ a ,b ]
b
a
b
b
a
K (t , s ) x( s ) y (t ) ds dt
b
b
a
a
b
K (t , s ) x( s ) y (t ) dtds
x(t ) K ( s, t ) y ( s ) dsdt
Hilbert空间中的线性算子
共轭（伴随）算子
• 定理 T B( H1 , H 2 ) 1 S B( H 2 , H1 )
s.t., (Tx, y) ( x, Sy), x H1 , y Fra Baidu bibliotek H 2 .
唯一的有界线性算子S 称为T 的共轭 * 算子记为 T 。
i.e., (Tx, y) (x, T y), x H1, y H2
H R
n
n
U U UU I
T
T
T
正交矩阵
酉矩阵
H C
U U UU I
T
投影算子
• 定义 L是Hilbert空间H中的一个闭子空 间，定义算子P：
x H ,Px是x在L上的投影，
则称P为H到L的投影算子。 投影算子的范数或是0或是1
• 定理
线性算子 P：HH，则P
* 2
为投影算子 P P , P P .
定理 P 是复Hilbert空间H中的有界
线性算子, 则P 为投影算子
|| Px || ( Px , x )
2
• 定义
T B( H ), T T , 则T称为
*
自伴算子。
i.e., (Tx, y ) ( x, Ty ), x, y H .
H R n 自伴算子 对应于 H C n 自伴算子 对应于 对称矩阵 Hermite矩阵
酉算子
若 U B( H ), (Ux, Uy ) ( x, y ), x, y H 则称U为酉算子。
a
a
x(t ) K ( s, t ) y ( s ) ds dt
a a
b
( x(t ),
*
b
a
K ( s, t ) y ( s ) ds )
( x, T y ) L2 [ a ,b ]
(T y )( t )
b a
K ( s , t ) y ( s ) ds
自伴算子
*
• 若 T : C C
n
m
的线性算子，则T
的伴随算子 T ?
*
• Fredholm型积分算子T:
(Tx)(t ) K (t , s ) x( s ) ds, x L2 [a, b]
a b
其中 K C ([a, b] [a, b])
T B( L [a, b], L [a, b])
2 2
求T的共轭算子。
(Tx, y ) ( K (t , s ) x( s )ds, y (t ) )
a
b
L2 [ a ,b ]
b
a
b
b
a
K (t , s ) x( s ) y (t ) ds dt
b
b
a
a
b
K (t , s ) x( s ) y (t ) dtds
x(t ) K ( s, t ) y ( s ) dsdt
Hilbert空间中的线性算子
共轭（伴随）算子
• 定理 T B( H1 , H 2 ) 1 S B( H 2 , H1 )
s.t., (Tx, y) ( x, Sy), x H1 , y Fra Baidu bibliotek H 2 .
唯一的有界线性算子S 称为T 的共轭 * 算子记为 T 。
i.e., (Tx, y) (x, T y), x H1, y H2
H R
n
n
U U UU I
T
T
T
正交矩阵
酉矩阵
H C
U U UU I
T
投影算子
• 定义 L是Hilbert空间H中的一个闭子空 间，定义算子P：
x H ,Px是x在L上的投影，
则称P为H到L的投影算子。 投影算子的范数或是0或是1
• 定理
线性算子 P：HH，则P
* 2
为投影算子 P P , P P .
定理 P 是复Hilbert空间H中的有界
线性算子, 则P 为投影算子
|| Px || ( Px , x )
2
• 定义
T B( H ), T T , 则T称为
*
自伴算子。
i.e., (Tx, y ) ( x, Ty ), x, y H .
H R n 自伴算子 对应于 H C n 自伴算子 对应于 对称矩阵 Hermite矩阵
酉算子
若 U B( H ), (Ux, Uy ) ( x, y ), x, y H 则称U为酉算子。