微专题26解析几何中的最值与范围问题(教学案)

微专题26 解析几何中的最值与范围问题

1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题．

2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题．

3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题．

4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段，深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用．

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利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆

2. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则y

x 的最大值为________；y －x 的最小

值为________；x 2＋y 2的最小值为________．

1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．

1. 已知A 、B 分别是椭圆x 36＋y 20＝1长轴的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点P 在

椭圆上，且位于x 轴的上方，PA ⊥PF.设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________．

1. 已知双曲线为C ：x 24－y 2

＝1，P 为双曲线C 上的任意一点．设点A 的坐标为(3，0)，

则PA 的最小值为________．

1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是________．

1. 椭圆M ：x 2

a 2＋y 2

b

2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上的任意一点，

且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2 ，3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_______．

1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别

为F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆C 于另一点Q ，设PF 1→

＝λF 1Q →

.若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦

⎤12，22，求实数λ的取值范围．

1. 如图，已知动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y 2

＝1交于A ，B 两点．

(1) 若动直线l ：y ＝kx ＋m 又与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，求实数m 的取值范围； (2) 若动直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，且满足PB →＝2AP →

，O 为坐标原点．求△AOB 面积的最大值，并指出此时k 的值．

冲刺强化训练(26)

1. 已知双曲线x 24＋y 2

k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．

2. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在一点M 满足MF 1→·MF 2→

＝0，则椭圆离心率的取值范围是________.

3. 如图，M 为椭圆x 2

3＋y 2＝1上任意一点，P 为线段OM 的中点，则PF 1→·PF 2→

的最小值

为________．

4. 设P ，Q 分别为圆x 2

＋(y －6)2

＝2和椭圆x 2

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＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大

距离是________．

5. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P

是椭圆上的一点，l 为左准线，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是________.

6. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：4x －3y －2＝0上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与以(4，0)为圆心，r 为半径的圆C 有公共点，则r 的最小值是________．

7. 双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上的一点，且

PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________．

8. 若O 和F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP

→

的最大值为________．

9. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝k(x －33)上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足OP →＝3OQ →

，则实数k 的最小值为________.

10. 椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个

不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．

11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为2

2，长轴

长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q.

(1) 若直线l 的斜率为12，求AP

AQ 的值；

(2) 若PQ →＝λAP →

，求实数λ的取值范围．