苏教版数学高二- 选修2-2试题《瞬时变化率—导数—瞬时速度与瞬时加速度》(二)

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1.1.3 瞬时变化率——导数 同步检测 (二)

一、基础过关

1.下列说法正确的是________(填序号).

①若f′(x 0)不存在,则曲线y =f(x)在点(x 0,f(x 0))处就没有切线;

②若曲线y =f(x)在点(x 0,f(x 0))处有切线,则f′(x 0)必存在;

③若f′(x 0)不存在,则曲线y =f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线斜率不存在;

④若曲线y =f(x)在点(x 0,f(x 0))处没有切线,则f′(x 0)有可能存在.

2.已知y =f(x)的图象如图所示,则f′(x A )与f′(x B )的大小关系是________.

3.已知f(x)=1x ,则当Δx→0时,f 2+Δx -f 2Δx

无限趋近于________. 4.曲线y =x 3+x -2在点P 处的切线平行于直线y =4x -1,则此切线方程为

____________.

5.设函数f(x)=ax 3+2,若f′(-1)=3,则a =________.

6.设一汽车在公路上做加速直线运动,且t s 时速度为v(t)=8t 2+1,若在t =t 0时的加速度为6 m/s 2,则t 0=________ s.

二、能力提升

7.已知函数y =f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y =12

x +2,则f(1)+f′(1)=________.

8.若函数y =f(x)的导函数在区间上是增函数,则函数y =f(x)在区间上的图象可能是________.(填序号)

9.若曲线y=2x2-4x+P与直线y=1相切,则P=________.

10.用导数的定义,求函数y=f(x)=1

x

在x=1处的导数.

11.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10.求:

(1)它们的交点;

(2)抛物线在交点处的切线方程.

12.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y =6平行,求a的值.

三、探究与拓展

13.根据下面的文字描述,画出相应的路程s关于时间t的函数图象的大致形状:

(1)小王骑车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;

(2)小华早上从家出发后,为了赶时间开始加速;

(3)小白早上从家出发后越走越累,速度就慢下来了.

答案 1.③ 2.f′(x A )

3.-14

4.4x -y -4=0或4x -y =0

5.1

6.38

7.3

8.①

9.3

10.解 ∵Δy =f(1+Δx)-f(1)=

11+Δx -11 =1-1+Δx

1+Δx =-Δx 1+Δx ·1+1+Δx

, ∴Δy Δx =-11+Δx ·1+1+Δx ,

∴当Δx 无限趋近于0时,

-1

1+Δx ·1+1+Δx

无限趋近于-12

, ∴f′(1)=-12. 11.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧

y =x 2+4,y =x +10, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =-2y =8或⎩⎪⎨⎪⎧

x =3y =13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13).

(2)∵y =x 2+4,

Δy Δx

=x +Δx 2+4-x 2+4Δx Δx

2+2x·Δx

Δx =Δx +2x , ∴Δx→0时,Δy Δx

→2x. ∴y′|x =-2=-4,y′|x =3=6,

即在点(-2,8)处的切线斜率为-4,在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(-2,8)处的切线方程为4x +y =0;

在点(3,13)处的切线方程为6x -y -5=0.

12.解 ∵Δy =f(x 0+Δx)-f(x 0)

=(x 0+Δx)3+a(x 0+Δx)2-9(x 0+Δx)-1-(x 30+ax 20-9x 0-1)

=(3x 20+2ax 0-9)Δx +(3x 0+a)(Δx)2+(Δx)3,

∴Δy Δx

=3x 20+2ax 0-9+(3x 0+a)Δx +(Δx)2. 当Δx 无限趋近于零时,

Δy Δx

无限趋近于3x 20+2ax 0-9. 即f′(x 0)=3x 20+2ax 0-9

∴f′(x 0)=3(x 0+a 3)2-9-a 2

3

. 当x 0=-a 3时,f′(x 0)取最小值-9-a 2

3

. ∵斜率最小的切线与12x +y =6平行,

∴该切线斜率为-12.

∴-9-a 2

3

=-12. 解得a =±3.又a<0,

∴a =-3.

13.解 相应图象如下图所示.

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