苏教版数学高二- 选修2-2试题《瞬时变化率—导数—瞬时速度与瞬时加速度》(二)
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 1.1.4 瞬时变化率 导数(1)
第4课时瞬时变化率——导数(1)教学过程一、数学运用【例1】已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=处的切线斜率.(见学生用书P8)[处理建议]让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率的步骤:(1)求差f(x0+Δx)-f(x0);(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率为k.[规范板书]解==-.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-,所以曲线在x=处的切线斜率是-.[题后反思]本题应注意分子有理化,再用逼近思想处理.变式已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求点A处的切线的斜率与切线方程.[规范板书]解设A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线AB的斜率为k AB==4+2Δx,当Δx无限趋近于0时,k AB无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点A(1,2)处的切线斜率为4,所求切线方程为4x-y-2=0.【例2】物体自由落体的运动方程为S=S(t)=gt2,其中位移S的单位为m,时间t的单位为s,g=9.8 m/s2,求t=3 s时的瞬时速度.(见学生用书P8)[处理建议]瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.[规范板书]解取一小段时间[3,3+Δt],位移改变量ΔS=g(3+Δt)2-g·32=(6+Δt)Δt,平均速度==g(6+Δt),当Δt→0时,g(6+Δt)→3g=29.4,即瞬时速度v=29.4 m/s.[题后反思]若求t=3s时的瞬时加速度呢?变式设一物体在t s内所经过的路程为S m,并且S=4t2+2t-3,试求物体分别在运动开始及第5s末的速度.[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===8t+2+4Δt,当Δt→0时,→8t+2,所以,时刻t s的瞬时速度为8t+2,由题意,物体在第5s末的瞬时速度是42 m/s,在运动开始时的速度为2 m/s.【例3】如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.(见学生用书P8)[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.[规范板书]解设切点坐标为(x,x3+x-10),==3x2+1+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→3x2+1,由题得,3x2+1=4⇒x=1或-1.所以切点坐标为(1,-8),此时切线方程为4x-y-12=0;或切点坐标为(-1,-12),此时切线方程为4x-y-8=0.变式已知曲线y=x2上过某一点的切线分别满足下列条件,求此点:(1)平行于直线y=4x-5;(2)垂直于直线2x-6y+5=0;(3)与x轴成135°的倾斜角.[处理建议]利用导数的概念及两直线的位置关系来求解.[规范板书]解设P(x0,y0)是满足条件的点.==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx→2x0.(1)因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4⇒x0=2,y0=4,即P(2,4).(2)因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1⇒x0=-,即P.(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=-1,即2x0=-1⇒x0=-,即P-,.*【例4】设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),求a,b 的值.[处理建议]利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程来求解.[规范板书]解利用导数的定义可得f'(x)=3x2-6ax+3b,由于函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f'(1)=-12,解得a=1,b=-3.变式已知f(x)=ax4+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求a,b,c.[处理建议]利用导数的几何意义——函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率——来求解.[规范板书]解由题意有解得.二、课堂练习1.借助直尺,用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线:(第1题)解(第1题)2.质点沿x轴运动,设距离为x(m),时间为t(s),x=10+5t2,则当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均速度为10t0+5Δt(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).提示当t0≤t≤t0+Δt时,==10t0+5Δt(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为=10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).3.已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为1.提示将点(2,8)代入切线方程可得a=1.三、课堂小结1.曲线上一点处的切线的求法.2.运动物体的瞬时速度和瞬时加速度,学会用运动学的观点理解和解决实际问题.3.导数的定义及几何意义.。
苏教版高二数学选修2-2 1.1.2瞬时变化率——导数 学案
1.1.2 瞬时变化率——导数学习目标 1.理解切线的含义.2.理解瞬时速度与瞬时加速度.3.掌握瞬时变化率——导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数．知识点一 曲线上某一点处的切线如图，P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4，…)，点P 的坐标为(x 0，y 0)．思考1 当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？答案 当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，即曲线上点P 处的切线位置． 思考2 割线PP n 的斜率是什么？它与切线PT 的斜率有何关系． 答案 割线PP n 的斜率k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0；当P n 无限趋近于P 时，k n 无限趋近于点P 处切线的斜率k .梳理 (1)设Q 为曲线C 上的不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线．随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线． (2)若P (x ，f (x ))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ，当Δx →0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx 无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率．知识点二 瞬时速度与瞬时加速度——瞬时变化率 1．平均速度在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率． 3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率． 知识点三 导数 1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)． 2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称为f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．类型一 求曲线上某一点处的切线例1 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A (2，52)，用切线斜率定义求：(1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． 解 (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －(2＋12)＝－Δx 2(2＋Δx )＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx (2＋Δx )＋ΔxΔx ＝－12(2＋Δx )＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.反思与感悟 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．跟踪训练1 (1)已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则点P 坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P 坐标为(x 0，y 0)， 则f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即点P 坐标为(3,30)．(2)已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解 设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx ＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5， 所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 类型二 求瞬时速度例2 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．解 在1到1＋Δt 的时间内，物体的平均速度v ＝Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ，∴当Δt 无限趋近于0时，v 无限趋近于3， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴当Δt →0时，1＋Δt →1，∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t 0时刻的速度为9 m/s. 又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt .∴当Δt →0时，ΔsΔt →2t 0＋1.则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)求瞬时速度的题目的常见错误是不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． ②求平均速度v ＝Δs Δt. ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于的常数v 即为瞬时速度．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度即为函数在t ＝2 s 处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2 s 附近的平均变化率为 Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt ＝4a ＋a Δt ， ∴当Δt →0时，ΔsΔt →4a ＝8，即a ＝2.类型三 求函数在某点处的导数 例3 已知f (x )＝x 2－3. (1)求f (x )在x ＝2处的导数；(2)求f (x )在x ＝a 处的导数． 解 (1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4. (2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤 (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．跟踪训练3 (1)设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 答案 2解析 ∵f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2.(2)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h ，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解 当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为 f (6＋Δx )－f (6)Δx＝(6＋Δx )2－7(6＋Δx )＋15－(62－7×6＋15)Δx＝5Δx ＋(Δx )2Δx＝5＋Δx .当Δx →0时，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5 ℃.1．一个做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________． 答案 －1解析 由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2， 所以ΔS Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.2．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为________． 答案 8解析 因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝2(2＋Δx )2－8Δx＝8＋2Δx ，当Δx →0时，8＋2Δx 趋近于8.即k ＝8. 3．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是________．答案 0解析 ∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x ，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则f ′(x 0)的值为________． 答案 a解析 由导数定义，得f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a Δx ＋b (Δx )2Δx＝a ＋b Δx ，故当Δx →0时，其值趋近于a ，故f ′(x 0)＝a .5．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度． 解 当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2，则ΔS Δt ＝S (1＋Δt )－S (1)Δt ＝(1＋Δt )2＋2－3Δt ＝2＋Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56，∴ΔS Δt ＝3(4＋Δt )2－18(4＋Δt )＋56－3×42＋18×4－56Δt ＝3(Δt )2＋6Δt Δt＝3Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.1．平均变化率和瞬时变化率的关系平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 无限趋近于0时，它所趋近于的一个常数就是函数在x ＝x 0处的瞬时变化率．即有：Δx 无限趋近于0是指自变量间隔Δx 越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0.即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致无限趋近于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度．一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率．2．求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度的解题步骤(1)计算Δy .(2)求Δy Δx .(3)当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪个常数．课时作业一、填空题1．函数f (x )＝x 2在x ＝3处的导数等于________． 答案 6解析 Δy Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ，当Δx →0时，得f ′(3)＝6.2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 1解析 Δy Δx ＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝a ＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→a .∵切线x －y ＋1＝0的斜率为1， ∴a ＝1.∵点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________． 答案 45°解析 ∵y ＝12x 2－2，∴Δy Δx ＝12(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx ＝12(Δx )2＋x ·Δx Δx＝x ＋12Δx .故当Δx →0时，其值无限趋近于x ，∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 答案 1解析 Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－aΔx ＝2a ＋a Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →2a ，∴可令2a ＝2，∴a ＝1.5．已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，则该曲线在点P 处切线的斜率为________．答案4解析 由y ＝13x 3，得Δy Δx ＝13(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]， 当Δx →0时，其值无限趋近于x 2. 故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在点P 处切线的斜率为4. 6．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点的坐标为________．答案 (12，14)解析 ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，当Δx →0时，其值趋近于2x . ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12，∴y ＝⎝⎛⎭⎫122＝14，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. 7．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx＝2Δx ＋4x 0＋4，当Δx →0时，其值无限趋近于4＋4x 0. 令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.答案 2解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝k ＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.9．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 由在点M 处的切线方程是y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.10．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________． 答案 4解析 设在点P 处切线的斜率为k ，∵Δy Δx ＝(－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －(6＋c )Δx ＝－5＋Δx ， ∴当Δx →0时，ΔyΔx →－5，∴k ＝－5，∴切线方程为y ＝－5x .∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10， 将P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4. 二、解答题11．已知质点运动方程是s (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)． 解Δs Δt ＝s (4＋Δt )－s (4)Δt＝[12g (4＋Δt )2＋2(4＋Δt )－1]－(12g ·42＋2×4－1)Δt＝12g (Δt )2＋4g ·Δt ＋2Δt Δt＝12g Δt ＋4g ＋2. ∵当Δt →0时，ΔsΔt→4g ＋2，∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，∴质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.12．求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程．解 因为点(1,3)在曲线上，且f (x )在x ＝1处可导，Δy Δx ＝(1＋Δx )3－(1＋Δx )＋3－(1－1＋3)Δx＝(Δx )3＋3(Δx )2＋2Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋2，当Δx →0时，(Δx )2＋3Δx ＋2→2，故f ′(1)＝2.故所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.13．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积．解 (1)Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)Δx＝Δx ＋3，当Δx →0时，Δy Δx→3， ∴直线l 1的斜率k 1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，解得x 0＝－23. ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)， ∴所求三角形的面积为S ＝12×|－52|×(1＋223)＝12512.三、探究与拓展14．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，－12 解析 ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx＝(2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝Δx ＋2x ＋2. 故当Δx →0时，其值无限趋近于2x ＋2.∴可设点P 横坐标为x 0，则曲线C 在点P 处的切线斜率为2x 0＋2.由已知，得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－12. 15．已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2)切线平行于直线4x －y －2＝0.解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，解得x 0＝14， ∴切点坐标为(14，98)． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，解得x 0＝1，∴切点坐标为(1,3)．。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 瞬时速度与瞬时加速度 同步检测(二)
1.1.3《瞬时变化率——导数》同步检测 (二)一、基础过关1．下列说法正确的是________(填序号)．①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线；②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在；④若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在．2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________．3．已知f (x )＝1x ，则当Δx →0时，f (2＋Δx )－f (2)Δx无限趋近于________． 4．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则此切线方程为____________．5．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________.6．设一汽车在公路上做加速直线运动，且t s 时速度为v (t )＝8t 2＋1，若在t ＝t 0时的加速度为6 m/s 2，则t 0＝________ s.二、能力提升7．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.8．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是________．(填序号)9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________.10．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．三、探究与拓展13．根据下面的文字描述，画出相应的路程s关于时间t的函数图象的大致形状：(1)小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(2)小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速；(3)小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了．答案1．③2．f ′(x A )<f ′(x B )3．－144．4x －y －4＝0或4x －y ＝05．16．387．38．①9．310．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴当Δx 无限趋近于0时，－11＋Δx ·(1＋1＋Δx ) 无限趋近于－12， ∴f ′(1)＝－12. 11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx (Δx )2＋2x ·Δx Δx＝Δx ＋2x ， ∴Δx →0时，Δy Δx→2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a3)2－9－a 23.当x 0＝－a3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.13．解 相应图象如下图所示．。
高二数学选修2-2~1.1.2瞬时变化率
切线
f ( x x) f ( x)
p
x x x o 当Q沿曲线向P运动:
x
x
f ( x x ) f ( x ) x
割线PQ逼近过点P的切线即割线斜率逼近切线斜率.
x 0
结论3:
f ( x x ) f ( x ) 当 x 0 时, x
无限的趋近于点
回顾反思:平均变化率
f ( x 2 ) f ( x1 ) 1.一般地,函数y f ( x )在区间 x1 , x 2 上的平均变化率为 .
2.若 记 自 变 量 x在x 0处 有 改 变 量 x时,函 数y相 应 的 有 改变量 y , 则f ( x)从x 0到x 0 x的 平 均 变 化 率 y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 具有更一般的形式为 . x x 3.函 数y f ( x)的 图 象 如 图 示 ,试在图中标注以下各量 :
2. 函数g(x) 2x 2
5 1在区间1,3上的平均变化率为_______; 8
3 “十 . 一”黄金周期间, 本市某大型超市的日营业额从1500 万元增加 到4200 万元, 则该超市黄金周期间日营业额的平均变化率为_____;
4.已知质点M按规律s 2t 2 3做直线运动(位移s单位 : cm,时间t单位 : s) s ; t s （2 ）当t 2, t 0.001 时, 求 ; t （ 1 ）当t 2, t 0.01 时, 求
x 2 x1
(1)f ( x 0 )
( 2)f ( x 0 x)
f (x 0 x)
y
( 3)f ( x 0 x) f ( x 0 )
B
( 4 )x
高二年级-数学-《瞬时变化率(二)》
2.若曲线y＝f(x)上的某一点有切线，是否函数在这个自变量处可导？
例如f (x) 3 x, 在(0, 0)处
y 3 0 x 3 0 1 ，
x
x
(3 x )2
当x 0时，y ，不可导.
x
解题感悟 1.求曲线的切线方程，首先判断给出的点P是否是切点，明确求的 是在点P处的切线还是过点P的切线.
在不引起混淆时，导函数 f (x) 也简称为 f (x)的导数 ．
数学应用
例 1(3) 求函数f(x)=3x2-2x的导数.
解：因为 y 3(x x)2 2(x x) (3x2 2x) 6xx 3(x)2 2x，
所以 y 6xx 3(x)2 2x 6x 2 3x,
x
x
记作 f ( x0 )．
概念理解 1．函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． 2．在导数的定义中，Δx趋近于0，Δx可正、可负，但不为0，而Δy可能为0.
y
3. x 是函数y＝f(x)对自变量 x在 x 范围内的平均变化率，它的几何意义 是过曲线y＝f(x)上点 (x0 , f (x0 )) 及点 (x0 x, f (x0 x)) 的割线斜率.
4.导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与Δx 无关.
概念建构
二.导数 f (x0 ) 的几何意义： 曲线y=f(x)在点 P(x0, f (x0 ))处的切线的斜率，如下图
P x0
三.用导数定义求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤：
（1）求函数值的改变量 y f ( x0 x) f (x0 )
(1)求在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程的步骤：
(2)求过点 P(m, n)处的切线方程的步骤：
苏教版高中数学选修(2-2)课件1.1.2.2瞬时速度与瞬时加速度
课堂小结：
①在求瞬时速度时,先利用平均变化率求出平均速度,再令 t 0 求出瞬时速度.
②在求瞬时加速度时,先利用平均变化率求出平均加速度,再令 t 0
求出瞬时加速度. ③在上述求解过程中,仍然体现了平均变化率无限逼近瞬时变化率 的思想,为下一节课学习导数作准备。
作业：
• P122. • P1712.
（2）体现了割线斜率(平均变化率)无限逼近切线斜率(瞬时变化 率)的思想.(从数的方面)
问题情境：
问题1:在物理学中我们是怎样描述物体运动平均速度？
s 在物理学中,平均速度表示为 v t
问题2:平均速度反映了物体在某一段时间内的运动的快慢程 度，谁能用一个类似的数学概念描述它呢？ 平均变化率 问题3:平均速度能精确反映物体在某一时刻的运动的快慢程 度吗？如何刻画某一时刻物体的运动的快慢程度呢？ 瞬时变化率 （瞬时变化率的物理意义：瞬时速度与瞬时加速度）
问题情境：
情境1：跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时 刻的速度是不同的。假设t秒后运动员相对于水面的高度为 H(t)=-4.9t2+6.5t+10,
①该运动员在2s到2.1s的平均速度为多少？ ②该运动员在2s到（2+Δt）s的平均速度为多少？
问题情境：
当△t→0时， v 13.1 该常数-13.1可作为运动员在2s时的瞬时速度
2.如何求曲线上一点P的切线的斜率？ 求切线的斜率的步骤: 1.求出定点P的坐标； 2.设出动点Q的坐标；
3.求出割线斜率；
4.当△x无限趋近于0时（割线逼近切线），割线斜率逼近 常数，常数就是切线斜率
复习回顾：
3.讨论：上述过程中体现出什么样的数学思想方法？ （从数和形两个方面回答） （1）体现了割线无限逼近切线的思想.(从形的方面)
高中数学(苏教版 选修2-2)学业分层测评2 瞬时变化率——导数 Word版含答案
学业分层测评(二)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．设函数()在＝处可导，当无限趋近于时，对于的值，以下说法中正确的是．①与，都有关；②仅与有关而与无关；③仅与有关而与无关；④与，均无关．【解析】导数是一个局部概念，它只与函数＝()在＝处及其附近的函数值有关，与无关．【答案】②．函数()＝在＝处的导数等于．【解析】＝＝＋Δ，令Δ→，得′()＝.【答案】．已知物体的运动方程为＝－＋(是时间，是位移)，则物体在＝时的速度为．【解析】Δ＝－(＋Δ)＋(＋Δ)－＝Δ－(Δ)，则＝－Δ，当Δ→时，→.【答案】．如图--，函数()的图象是折线段，其中，，的坐标分别是()，()，()，则(())＝，当Δ→时，→.图--【解析】(())＝()＝.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δ→时，→－，即直线的斜率．【答案】－．抛物线＝在点()处的切线方程为．【解析】＝＝＋Δ.当Δ→时，→，即′()＝，由导数的几何意义知，点处切线斜率＝′()＝.∴切线方程为－＝－.即－－＝.【答案】－－＝．已知函数＝()的图象如图--所示，则′()与′()的大小关系是．(用“<”连接)图--【解析】由图象易知，点，处的切线斜率，满足<<，由导数的几何意义得′()<′()．【答案】′()<′()．已知曲线＝()＝＋在点处切线斜率为，则点坐标为．【解析】设点的坐标为(，)，则＝＝(＋)＋Δ，当Δ→时，→(＋)，即′()＝(＋)，由导数的几何意义知′()＝，所以＝，＝，所以点的坐标为()．【答案】()．已知函数＝()的图象如图--所示，则函数＝′()的图象可能是(填序号)．。
苏教版数学高二- 选修2-2第一章《导数及其应用》综合检测
综合检测(一) 第1章 导数及其应用 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．已知物体的运动方程为S(t)＝t 2＋3t (t 是时间，S 是位移)，则物体在t ＝2时的瞬时速度为________．【解析】 S′(t)＝2t －3t 2，∴S′(2)＝4－34＝134. 【答案】 1342．若函数f(x)＝13x 3－f′(1)·x 2－x ，则f′(1)的值为________． 【解析】 f′(x)＝x 2－2f′(1)·x －1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1， 解得f′(1)＝0. 【答案】 03．函数f(x)＝cos xx 的导数为________． 【解析】 f′(x)＝(cos xx )′＝（cos x ）′x －x′cos x x 2＝－xsin x －cos x x 2＝－xsin x ＋cos x x 2.【答案】 －xsin x ＋cos xx 24．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的坐标为________． 【解析】 ∵y′＝x 2－3x ， ∴⎩⎨⎧x 2－3x ＝12，x>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6＝0，x>0，得x ＝3，故切点坐标为(3，94－3ln 3)． 【答案】 (3，94－3ln 3)5．y ＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，则a ＝________． 【解析】 y′＝6x 2－6x ＝6x(x －1)， 令y′＝0， 则x ＝0或x ＝1.∴y 在(－∞，0)上递增，在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增， ∴y 极大＝y|x ＝0＝a ，∴a ＝6. 【答案】 66．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________． 【解析】 y′＝－4x 2＋b ，由题意知y′＝0，即－4x 2＋b ＝0有两个不等实根，∴b>0.【答案】 (0，＋∞)7．设f(x)＝xln x ，若f′(x 0)＝2，则x 0＝________． 【解析】 f′(x)＝ln x ＋x·1x ＝ln x ＋1＝2， ∴ln x 0＝1. ∴x 0＝e. 【答案】 e8．已知函数f(x)＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1，2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f(x)在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．【解析】 f′(x)＝3mx 2＋2nx ，且f(x)在点(－1，2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行．∴⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝2，3m －2n ＝－3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. 因此f′(x)＝3x 2＋6x. 令f′(x)≤0，得－2≤x ≤0. ∴f(x)的单调减区间为[－2，0]．依题意t ≥－2且t ＋1≤0，∴－2≤t ≤－1. 【答案】 [－2，－1]9．函数f(x)＝12e x (sin x ＋cos x)在区间[0，π2]上的最小值是________． 【解析】 f′(x)＝12e x (sin x ＋cos x)＋12e x (cos x －sin x)＝e x cos x ， ∵0≤x ≤π2，∴f ′(x)＝e x cos x ≥0， 则f(x)在[0，π2]上是增函数． ∴f(x)的最小值f(0)＝12. 【答案】 12图110．如图1，函数F(x)＝f(x)＋15x 2的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f(5)＋f ′(5)＝________．【解析】 ∵切点P(5，y 0)在切线y ＝－x ＋8上 ∴y 0＝3，则F(5)＝y 0＝3， ∴f(5)＝F(5)－15×52＝－2. 又F′(x)＝f′(x)＋25x ，由导数的几何意义F′(5)＝f′(5)＋2＝－1. ∴f′(5)＝－1－2＝－3， 从而f(5)＋f′(5)＝－2－3＝－5. 【答案】 －511．若a ＞2，则函数f(x)＝13x 3－ax 2＋1在区间(0，2)恰好有________个零点． 【解析】 f′(x)＝x 2－2ax ＝x(x －2a)，令f′(x)＝0得x 1＝0，x 2＝2a ＞4，∴x ∈(0，2)时，f ′(x)＜0，f(x)为减函数．∵f(0)＝1＞0，f(2)＝113－4a ＜0，∴f(0)f(2)＜0， ∴f(x)在(0，2)内有且只有一个零点． 【答案】 112．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________dm 时最省料． 【解析】 设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为 S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x ，S ′＝2x －256×4x 2， 令S′＝0，则x ＝8，∴高h ＝25682＝4(dm)时最省料． 【答案】 413．(2012·重庆高考改编)设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x ＝－2处取得极小值，如图2，则函数y ＝xf′(x)的图象可能是________．(填序号)图2【解析】 ∵f(x)在x ＝－2处取得极小值，∴在x ＝－2的左侧，f ′(x)＜0；在x ＝－2的右侧，f ′(x)＞0， 则y ＝xf′(x)在x ＝－2的左侧y ＞0，在x ＝－2的右侧y ＜0. ∴图象③符合要求． 【答案】 ③14．若函数f(x)＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．【解析】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，从而k －1≥0，k ≥1. 又f′(x)＝4x －1x ， 令f′(x)＝0，得x ＝12.易知f(x)在(0，12)上递减，在(12，＋∞)上递增． 由于f(x)在(k －1，k ＋1)内不单调． ∴k －1＜12＜k ＋1，且k ≥1，故1≤k ＜32. 【答案】 [1，32)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)一种质量为1 kg 的物质，在化学分解中，所剩的质量m(单位：kg)与化学分解的时间t(单位：min)的关系可以表示为m(t)＝e －2t .(1)求当t 从1变到2时，质量m 关于t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求m′(2)，并解释它的实际意义．【解】 (1)平均变化率为e －4－e －22－1≈－0.117 0.它表示在t ＝1 min 到t ＝2 min这段时间内，该物质剩余质量变化的速度是－0.117 0 kg/min ，即该物质剩余质量平均每分钟减少0.117 0 kg.(2)m′(t)＝(1e t ·et )′＝－（e t ·e t＋e t ·e t）e 4t ＝－2e 2t ，则m′(2)＝－2e －4≈－0.036 6，它表示在t ＝2 min 这一时刻，该物质剩余质量变化的瞬时速度约为－0.036 6 kg/min.16．(本小题满分14分)已知f(x)＝x 3－32x 2－3x ＋1，设g(x)＝f′(x)e －x ，求函数g(x)的极值．【解】 g(x)＝(3x 2－3x －3)e －x ，g ′(x)＝(－3x 2＋9x)e －x ，令g′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.列表如下：x (－∞，0)0 (0，3) 3 (3，＋∞)g′(x)－＋－g(x)－315e －3g(3)＝15e －3.17．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax 2－43ax ＋b ，f(1)＝2，f ′(1)＝1. (1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1，2)处的切线方程． 【解】 (1)f′(x)＝2ax －43a ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝2a －43a ＝1，f （1）＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52，∴f(x)＝32x 2－2x ＋52.(2)∵f′(1)＝1，∴f(x)在(1，2)处切线的斜率为1， 故所求切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.18．(本小题满分16分)设函数f(x)＝a 2ln x －x 2＋ax(a>0)． (1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f(x)≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 【解】 (1)∵ f(x)＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x>0， ∴f ′(x)＝a 2x －2x ＋a ＝－（x －a ）（2x ＋a ）x，由于a>0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间(a ，＋∞)． (2)由题意得，f(1)＝a －1≥e －1， 即a ≥e ，由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增，要使e －1≤f(x)≤e 2对x ∈[1，e]恒成立， 只要⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a －1≥e －1，f （e ）＝a 2－e 2＋ae ≤e 2，解得a ＝e.19．(本小题满分16分)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式：y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2＜x ＜6，m 为常数，已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套题)．试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解】 (1)因为x ＝4时，y ＝21， 代入关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2，∴每日获得利润f(x)＝1 000(x －2)[10x －2＋4(x －6)2]＝1 000[10＋4(x －6)2(x －2)] ＝4 000(x 3－14x 2＋60x －72)， 其中2＜x ＜6.从而f′(x)＝4 000(3x 2－28x ＋60) ＝4 000(3x －10)(x －6)．令f′(x)＝0，得x＝103，且在(2，103)上，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；在(103，6)上，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．所以x＝103是函数f(x)在(2，6)内的极大值点，也是最大值点．所以当x＝103≈3.3时，函数f(x)取得最大值．故当销售价格约为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝a2x2－ln x，(1)若a＝1，证明f(x)没有零点；(2)若f(x)≥12恒成立，求a的取值范围．【解】(1)a＝1时f(x)＝12x2－ln x(x＞0)，f′(x)＝x－1x.由f′(x)＝0，得x＝1，可得f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．故f(x)的最小值f min(x)＝f(1)＝12＞0，所以f(x)没有零点．(2)f′(x)＝ax－1x＝ax2－1x，①若a＞0，令f′(x)＝0，则x＝1a ，故f(x)在(0，1a)上单调递减，在(1a，＋∞)上单调递增，故f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f(1a)＝12＋12ln a，要使f(x)≥12恒成立，只需12＋12ln a≥12，得a≥1；②若a≤0，f′(x)＜0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，观察函数f(x)，可得f(1)＝a2≤0，故不可能有f(x)≥12恒成立．综上所述，a≥1.即a的取值范围是[1，＋∞)．。
1.1.2 瞬时变化率——导数 学案(苏教版高中数学选修2-2)
1.1.2 瞬时变化率——导数学案（苏教版高中数学选修2-2）112瞬时变化率瞬时变化率导数导数学习目标1.了解切线的含义.2.理解瞬时速度与瞬时加速度.3.掌握瞬时变化率导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数知识点一曲线上某一点处的切线如图，Pn的坐标为xn，fxnn1,2,3,4，，点P的坐标为x0，y0思考1当点Pn点P时，试想割线PPn如何变化答案当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，即曲线上点P处的切线位置思考2割线PPn的斜率是什么它与切线PT的斜率有何关系答案割线PPn的斜率knfxnfx0xnx0；当Pn无限趋近于P时，kn无限趋近于点P处切线的斜率k.梳理1设Q为曲线C上的不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P 附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线2若Px，fx，过点P的一条割线交曲线C于另一点Qxx，fxx，则割线PQ的斜率为kPQfxxfxx，当x0时，fxxfxx无限趋近于点Px，fx处的切线的斜率知识点二瞬时速度与瞬时加速度瞬时变化率1平均速度在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度2瞬时速度一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体位移St的平均变化率St0tSt0t无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率3瞬时加速度一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体速度vt的平均变化率vt0tvt0t无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率知识点三导数1导数设函数yfx在区间a，b上有定义，x0a，b，若x 无限趋近于0时，比值yxfx0xfx0x无限趋近于一个常数A，则称fx在xx0处可导，并称该常数A为函数fx在xx0处的导数，记作fx02导数的几何意义导数fx0的几何意义就是曲线yfx在点Px0，fx0处的切线的斜率3导函数1若fx对于区间a，b内任一点都可导，则fx在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为fx的导函数，记作fx在不引起混淆时，导函数fx也简称为fx的导数2fx在xx0处的导数fx0就是导函数fx在xx0处的函数值1曲线上给定一点P，过点P 可以作该曲线的无数条割线2有的曲线过它上面的某一点可作两条切线3函数fx在区间a，b内可导就是fx对于任意x0a，b都有fx0存在4fx0表示函数fx在xx0处的导数，是对一个点x0而言的，它是一个确定的值类型一求曲线上某一点处的切线例1已知曲线yfxx1x上的一点A2，52，用切线斜率定义求1点A处的切线的斜率；2点A处的切线方程解1yf2xf22x12x212x22xx，yxx2x2xxx122x1.当x无限趋近于零时，yx无限趋近于34，即点A处的切线的斜率是34.2切线方程为y5234x2，即3x4y40.反思与感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，x无限趋近于0时，yx无限趋近的常数跟踪训练11已知曲线yfx2x24x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为________答案3,30解析设点P坐标为x0，y0，则fx0xfx0x0xx02x24x0x4xx4x042x.当x 无限趋近于0时，4x042x无限趋近于4x04，因此4x0416，即x03，所以y023*******30.即点P坐标为3,302已知曲线y3x2x，求曲线上一点A1,2处的切线的斜率及切线方程解设A1,2，B1x，31x21x，则kAB31x21x3121x53x，当x无限趋近于0时，53x无限趋近于5，所以曲线y3x2x在点A1,2处的切线斜率是5.切线方程为y25x1，即5xy30.类型二求瞬时速度例2某物体的运动路程s单位m与时间t单位s 的关系可用函数stt2t1表示，求物体在t1s时的瞬时速度解在1到1t的时间内，物体的平均速度vsts1ts1t1t21t11211t3t，当t 无限趋近于0时，v无限趋近于3，物体在t1处的瞬时变化率为3.即物体在t1s时的瞬时速度为3m/s.引申探究1若本例中的条件不变，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度sts0ts0t0t20t11t1t，当t0时，1t1，物体在t0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解设物体在t0时刻的速度为9m/s.又stst0tst0t2t01t.当t0时，st2t01.则2t019，t04.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.反思与感悟1求瞬时速度的题目的常见错误是不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率2求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量t和位移改变量sst0tst0求平均速度vst.求瞬时速度，当t无限趋近于0时，st无限趋近于的常数v即为瞬时速度跟踪训练2有一做直线运动的物体，其速度v单位m/s与时间t单位s 的关系是v3tt2，求此物体在t2s时的瞬时加速度解因为v2tv232t2t232223t4tt2tt2，所以v2tv2t1t，所以当t趋于0时，1t无限趋近于1.所以该物体在t2s时的瞬时加速度为1m/s2.类型三求函数在某点处的导数例3已知fxx23.1求fx在x2处的导数；2求fx在xa处的导数解1因为yxf2xf2x2x23223x4x，当x无限趋近于0时，4x无限趋近于4，所以fx在x2处的导数等于4.2因为yxfaxfaxax23a23x2ax，当x无限趋近于0时，2ax 无限趋近于2a，所以fx在xa处的导数等于2a.反思与感悟求一个函数yfx在xx0处的导数的步骤1求函数值的改变量yfx0xfx02求平均变化率yxfx0xfx0x.3令x无限趋近于0，求得导数跟踪训练31设fxax4，若f12，则a________.答案2解析f1xf1xa1x4a4xa，f1a，即a2.2将原油精炼为汽油.柴油.塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh原油的温度单位为fxx27x150x8求函数yfx在x6处的导数f6，并解释它的实际意义解当x从6变到6x时，函数值从f6变到f6x，函数值y关于x的平均变化率为f6xf6x6x276x15627615x5xx2x5x.当x0时，5x趋近于5，所以f65，导数f65表示当x6时原油温度大约以5/h的速度上升1设函数fx可导，则当x0时，f13xf13x趋近于________答案f1解析当x0时，f13xf13xf12若函数fx在点A1,2处的导数是1，那么过点A的切线方程是________________答案xy30解析kf11，切线方程是y2x1，即xy30.3已知函数yfx在点2,1处的切线与直线3xy20平行，则f2________.答案3解析因为直线3xy20的斜率为3，所以由导数的几何意义可知f23.4已知曲线yfx2x2上一点A2,8，则点A处的切线斜率为________答案8解析因为yxf2xf2x22x28x82x，当x0时，82x趋近于8.即k8.5函数yfxx1x在x1处的导数是________答案0解析函数yfxx1x，yf1xf11x11x11x21x，yxx1x，当x0时，yx0，即yfxx1x 在x1处的导数为0.1平均变化率和瞬时变化率的关系平均变化率yxfx0xfx0x，当x无限趋近于0时，它所趋近于的一个常数就是函数在xx0处的瞬时变化率即有x无限趋近于0是指自变量间隔x 越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0.即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致无限趋近于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率2求切线的斜率.瞬时速度和瞬时加速度的解题步骤1计算y.2求yx.3当x0时，yx无限趋近于一个常数4常数即为所求值.。
苏教版高中数学选修2-2学业分层测评2 瞬时变化率——导数 作业
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设函数f (x )在x ＝x 0处可导，当h 无限趋近于0时，对于f (x 0＋h )－f (x 0)h 的值，以下说法中正确的是_____________________________________．①与x 0，h 都有关；②仅与x 0有关而与h 无关； ③仅与h 有关而与x 0无关；④与x 0，h 均无关．【解析】 导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与h 无关．【答案】 ②2．函数f (x )＝x 2在x ＝3处的导数等于________．【解析】 Δy Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx ，令Δx →0，得f ′(3)＝6. 【答案】 63．已知物体的运动方程为s ＝－12t 2＋8t (t 是时间，s 是位移)，则物体在t ＝2时的速度为________．【解析】 Δs ＝－12(2＋Δt )2＋8(2＋Δt )－⎝ ⎛⎭⎪⎫8×2－12×22＝6Δt －12(Δt )2，则Δs Δt ＝6－12Δt ， 当Δt →0时，ΔsΔt→6. 【答案】 64．如图1-1-6，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx→_______.图1-1-6【解析】 f (f (0))＝f (4)＝2.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx→－2，即直线AB 的斜率．【答案】 2 －25．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为________． 【解析】 Δy Δx ＝14(2＋Δx )2－14×22Δx ＝1＋14Δx . 当Δx →0时，ΔyΔx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义知，点Q 处切线斜率k ＝f ′(2)＝1. ∴切线方程为y －1＝x －2.即x －y －1＝0. 【答案】 x －y －1＝06．已知函数y ＝f (x )的图象如图1-1-7所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________．(用“<”连接)图1-1-7【解析】 由图象易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0，由导数的几何意义得f ′(A )<f ′(B )．【答案】 f ′(A )<f ′(B )7．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________．【解析】 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝2(x0＋Δx)2＋4(x0＋Δx)－2x20－4x0Δx＝4(x0＋1)＋2Δx，当Δx→0时，f(x0＋Δx)－f(x0)Δx→4(x0＋1)，即f′(x0)＝4(x0＋1)，由导数的几何意义知f′(x0)＝16，所以x0＝3，y0＝30，所以点P的坐标为(3,30)．【答案】(3,30)8．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-8所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．图1-1-8【解析】由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．【答案】②二、解答题9．函数f(x)＝ax3－bx在点(1，－1)处的切线方程为y＝k(x＋2)，求a，b的值.【导学号：01580005】【解】因为点(1，－1)在切线y＝k(x＋2)上，所以k＝－1 3.f(1＋Δx)－f(1)Δx＝a(1＋Δx)3－b(1＋Δx)－a＋bΔx＝a(Δx)2＋3aΔx＋3a－b，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx→3a －b ，即f ′(1)＝3a －b ，所以3a －b ＝－13 ① 又由f (1)＝－1.得a －b ＝－1 ② 由①②得，a ＝13，b ＝43.10．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝{ 3t 2＋2， t ≥3，＋3(t －3)2， 0≤t ＜3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．【解】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3×(0＋Δt －3)2－29－3×(0－3)2Δt ＝3Δt －18，当Δt →0时，ΔsΔt →－18，∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2Δt＝3Δt －12，当Δt →0时，ΔsΔt →－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12m/s.[能力提升]1．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，下列命题正确的是________(填序号)．①ΔsΔt 为从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度； ②ΔsΔt 为在t 时刻物体的瞬时速度； ③ΔsΔt 为当时间为Δt 时物体的速度； ④ΔsΔt 为在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度．【解析】 由瞬时速度的定义知，当Δt →0时，ΔsΔt 为在t 时刻物体的瞬时速度．【答案】 ②2．若点(0,1)在曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 上，且f ′(0)＝1，则a ＋b ＝________. 【解析】 ∵f (0)＝1，∴b ＝1. 又Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx＝Δx ＋a .∴当Δx →0时，ΔyΔx →a ，则f ′(0)＝a ＝1. 所以a ＋b ＝1＋1＝2. 【答案】 23．设P 为曲线y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围是________．【解析】设P (x 0，y 0)，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝(x 0＋Δx )2＋2(x 0＋Δx )＋3－(x 20＋2x 0＋3)Δx＝2x 0＋2＋Δx .当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→2x 0＋2，即在点P 处切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1.即0≤2x 0＋2≤1.所以－1≤x 0≤－12.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－124．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________.【解析】 Δy Δx ＝a (x ＋Δx )2－ax2Δx＝2ax ＋a Δx ，当Δx →0时，2ax ＋a Δx →2ax ， 设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1， 且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝14. 【答案】 14 5．已知曲线y ＝1t －x上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.求：(1)曲线在点P 、Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 、Q 处的切线方程． 【解】 将P (2，－1)代入y ＝1t －x， 得t ＝1，∴y ＝11－x ，设f (x )＝11－x， ∵f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx＝Δx[1－(x ＋Δx )](1－x )Δx＝1(1－x －Δx )(1－x )，∴当Δx →0时，1(1－x －Δx )(1－x )→1(1－x )2.∴f ′(x )＝1(1－x )2.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P 处的切线斜率f ′(2)＝1. 曲线在点Q 处的切线斜率f ′(－1)＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0，1 2＝14[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.曲线在点Q处的切线方程为y－。
苏教版高二数学选修2-2 1.1.2瞬时变化率——导数 作业
自我小测1．已知f (x )＝kx ＋5，则f (x )在x ＝2处的导数为__________．2．已知f (x )＝2x 2，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为__________．3．曲线y ＝x 2的一条切线斜率为－6，则切点坐标为__________．4．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则当Δx →0时，00f x x f x x (-∆)-()∆→__________.5．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于__________．6．曲线y ＝x 2在其上一点P 处的切线的倾斜角为π4，则点P 的坐标为__________．7．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P 3)，则该曲线在P 点的切线方程是__________．8．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________.9．已知点M (0，－1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行，求直线l 的方程．10．已知直线l 1为曲线f (x )＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2，求直线l 2的方程．参考答案1答案：k 解析：Δy ＝k (2＋Δx )＋5－k ×2－5＝k Δx ，y x∆∆＝k ， ∴当Δx →0时，y x∆∆＝k ，∴f ′(2)＝k . 2答案：4 解析：Δy ＝2(1＋Δx )2－2×12＝4Δx ＋2(Δx )2，y x ∆∆＝4＋2Δx ， ∴当Δx →0时，y x ∆∆→4， 即f ′(1)＝4，∴切线斜率为4.3答案：(－3,9) 解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，∵Δy ＝(x 0＋Δx )2－x 02＝2Δxx 0＋(Δx )2， ∴y x ∆∆＝2x 0＋Δx ，当Δx →0时，y x∆∆→2x 0， 即f ′(x 0)＝2x 0＝－6，∴x 0＝－3，∴y 0＝9.4答案：－11 解析：由导数定义得()00f x f x x x-(-∆)∆，当Δx →0时，无限趋近于f ′(x 0)， ∴当Δx →0时，00f x x f x x(-∆)-()∆ ＝－()00f x f x x x-(-∆)∆＝－f ′(x 0)＝－11. 5答案：1 解析：由题意知切线的斜率为2.∵y ＝ax 2在x ＝1处的导数为2a ，∴2a ＝2.∴a ＝1.6答案：11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 解析：∵πtan 4k ＝＝1，且y x ∆∆＝()2200x x x ∆+∆-∆＝2x 0＋Δx ，当Δx →0时，f ′(x 0)＝2x 0＝k ＝1， ∴012x ＝，014y ＝.7答案：4x －y －1＝0 解析：∵y ＝2ax 2＋1过点P 3)，∴3＝2a 2＋1,2a 2＝2，a ＝1或a ＝－1(舍去)，∴P(1,3).∴y＝2x2＋1，Δy＝2(1＋Δx)2＋1－2×12－1＝4Δx＋2(Δx)2，则yx∆∆＝4＋2Δx.当Δx→0时，yx∆∆→4，∴f′(1)＝4，即切线斜率为4，由点斜式可得切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.8答案：3解析：由导数几何意义知f′(1)＝k＝1 2 .又f(1)＝12×1＋2＝52，于是f(1)＋f′(1)＝52＋12＝3.9答案：解：因为y x ∆∆＝3311(2)4(2)42424 33x xx⎛⎫+∆-+∆+⨯-⨯+⎪⎝⎭∆＝2Δx＋13(Δx)2，当Δx→0时，yx∆∆→0，所以直线l的斜率为0，其直线方程为y＝－1.10答案：解：∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2Δx·x＋Δx，∴yx∆∆＝Δx＋2x＋1，∴Δx趋于0时，yx∆∆趋于2x＋1，即f′(x)＝2x＋1，则f′(1)＝3.∴切线l1的斜率为3.。
苏教版数学高二课时作业 瞬时变化率 导数(二)
1.1.2 瞬时变化率——导数(二)一、填空题1．当h 无限趋近于0时，(3＋h )2－32h无限趋近于________． 2．若f (x ＋h )－f (x )＝2hx 2＋5h 2x ＋3h 3，则f ′(x )＝________.3．在曲线y ＝x 3－3x 的切线中，平行于x 轴的切线与曲线的切点是________．4．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝________.5．已知成本y 与产量x 的函数关系式为y ＝14x 2，则当产量x ＝2时，边际成本为________．(边际成本＝总成本的变化量产量的变化量) 6．y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝α(x )的图象如图①所示．图①而图②是其对应导数的图象：图②则y ＝f (x )的导数图象对应__________；y ＝g (x )的导数图象对应__________；y ＝α(x )的导数图象对应__________．7．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[π4，π2)，则点P 横坐标的取值范围为________． 8．若曲线y ＝12x 2在点(a ，12a 2)处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为27，求a ＝________.9．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋ax 的切线，则实数a ＝________.二、解答题10．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．11．求抛物线y ＝x 2过点⎝⎛⎭⎫－52，－6的切线方程．12．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．答案精析1．62．2x 2解析 由f (x ＋h )－f (x )＝2hx 2＋5h 2x ＋3h 3，得f (x ＋h )－f (x )h＝2x 2＋5hx ＋3h 2，当h 无限趋近于0时，f (x ＋h )－f (x )h无限趋近于2x 2，所以f ′(x )＝2x 2. 3．(1，－2)或(－1,2)解析 因为y ＝x 3－3x ，Δy Δx ＝(x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )－x 3＋3x Δx ＝3x Δx ＋3x 2＋(Δx )2－3，所以当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于3x 2－3，故切线斜率k ＝3x 2－3.由3x 2－3＝0解得x ＝1或x ＝－1，从而代入曲线方程得点为(1，－2)或(－1,2)．4.985．1解析 总成本的变化量Δy ＝14(x ＋Δx )2－14x 2 ＝14(Δx )2＋12x Δx . 边际成本＝Δy Δx ＝12x ＋14Δx ，当x ＝2时，Δy Δx ＝1＋14·Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→1，所以边际成本为1. 6．B C A解析 由导数的几何意义，y ＝f (x )上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y ＝f (x )的导数图象对应B.y ＝g (x )上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分斜率值近负无穷，故y ＝g (x )的导数图象对应C.y ＝α(x )图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y ＝α(x )对应A.7．[－12，＋∞) 解析 设点P 的横坐标为x 0，则由导数的几何意义可得点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为tan α＝f ′(x 0)＝2x 0＋2，∵α∈[π4，π2)，∴tan α∈[1，＋∞)， ∴2x 0＋2≥1，即x 0≥－12. ∴x 0的取值范围为[－12，＋∞)． 8．±6解析 Δy Δx ＝12(x ＋Δx )2－12x 2Δx ＝x ＋12Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→x . ∴曲线y ＝12x 2在点(a ，12a 2)处切线的斜率为a ， 则该切线方程为y －12a 2＝a (x －a )， 令y ＝0，则x ＝12a ；令x ＝0， 则y ＝－12a 2. ∴S Δ＝12×⎪⎪⎪⎪12a ×⎪⎪⎪⎪－12a 2＝27， 即|a 3|＝8×27，则a ＝±6.9．1或134解析 因为y ＝x 3－3x 2＋ax ，设切点为(x 0，y 0)，所以Δy Δx＝ (x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋a (x 0＋Δx )－(x 30－3x 20＋ax 0)Δx＝(Δx )2＋(3x 0－3)Δx ＋3x 20－6x 0＋a .所以当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于常数3x 20－6x 0＋a .所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋a ＝1，x 0＝x 30－3x 20＋ax 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝1， 或⎩⎨⎧x 0＝32，a ＝134. 10．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9，∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23. 当x 0＝－a 3时， f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12，解得a ＝±3， 又a <0，∴a ＝－3.11．解 设切点(x 0，x 20)，Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ＋Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→2x ， ∴切线斜率为2x 0，则2x 0＝－6－x 20－52－x 0， 即x 20＋5x 0－6＝0.解得：x 0＝－6或1.∴切线斜率为－12或2，则切线方程为y ＋6＝－12(x ＋52)或y ＋6＝2(x ＋52)， 即12x ＋y ＋36＝0或2x －y －1＝0.12．解 (1)Δy Δx＝ (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx＝2x ＋1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→2x ＋1， ∴l 1的斜率为3.∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即3x －y －3＝0. 设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)， 则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，解得x 0＝－23， ∴直线l 2的方程为3x ＋9y ＋22＝0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0， 得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点分别为(1,0)，(－223，0)， ∴所求三角形的面积为S ＝12×⎪⎪⎪⎪－52×(1＋223)＝12512.。
1.1.2瞬时变化率导数(苏教版选修2-2)
知新益能
•1．割线逼近切线的方法 •设Q为曲线C上不同于P的一点，这时直线PQ称为曲线的_____．随着点Q沿曲线C向P点运动，
割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终成为经过点P处最逼近
曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的_____．
割线
切线
•2．用割线逼近切线的方法计算曲线上某点处切线的斜率 •设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ 的斜率为 •kPQ＝______________＝_______________. •当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近过点P的切线l，从而割线的斜率逼 近过
st0＋Δt－st0 无限趋近于一个常数，那么这个常数 Δt 瞬时速度 ． 称为物体在 t＝t0 时的_________ (2) 一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率 vt0＋Δt－vt0 ，如果当 Δt 无限趋近于 0 时， Δt vt0＋Δt－vt0 无限趋近于一个常数，那么这个常数 Δt 瞬时加速度 ． 称为物体在 t＝t0 时的___________
导数的几何意义的应用 函数 f(x) 在 x ＝ x0 处的导数 f′(x0) 的几何意义是曲线 y
＝f(x)在 x＝x0处切线的斜率，故该曲线在 x＝ x0处的
切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
例3
1 (本题满分 14 分)已知曲线 y＝x＋x上一点
5 A(2， )，用斜率定义求： 2 (1)点 A 处的切线的斜率； (2)点 A 处的切线方程．
•2．求曲线的切线时需要注意：(1)在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处 的切线(只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是f′(x0))，还是过某点的切线；(2)求过 某一点的切线方程时也是通过切点坐标来求．
高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书第1章 1.1.2 瞬时变化率——导数 Word版含答案
瞬时变化率——导数．结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点)．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点) ．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点)[基础·初探] 教材整理 曲线上一点处的切线阅读教材～“例”以上部分，完成下列问题．，随着点沿曲线向割线设为曲线上不同于的一点，这时，直线称为曲线的点时，直线最终就成为在无限逼近曲线.当点逼近点运动，割线在点附近越来越．曲线在点处的切线曲线的直线，这条直线称为逼近点处最判断正误：()直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( )()过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条．( )【答案】()× ()×教材整理 瞬时速度与瞬时加速度阅读教材～，完成下列问题．()一般地，如果当Δ无限趋近于时，运动物体位移()的平均变化率，也就是位移瞬时速度于一个常数，那么这个常数称为物体在＝时的趋近无限对于时间的瞬时变化率．()一般地，如果当Δ无限趋近于时，运动物体速度()的平均变化率于一个常数，那么这个常数称为物体在＝时的瞬时加速度，也就是速趋近无限度对于时间的瞬时变化率．．判断正误：()自变量的改变量Δ是一个较小的量，Δ可正可负但不能为零．( ) ()瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢．( )【答案】()√()×．如果质点按规律＝运动，则在＝时的瞬时速度为．【解析】＝＝＋Δ，当Δ→时，＝＋×＝.∴质点在＝时的瞬时速度为.【答案】教材整理导数阅读教材～，完成下列问题．．函数在一点处的导数及其几何意义()导数设函数＝()在区间(，)上有定义，∈(，)，若Δ无限趋近于时，比值＝，则称()在＝处常数于一个无限趋近可导，并称该，常数导数为函数()在＝处的记作′()．()导数的几何意义导数′()的几何意义就是曲线＝()在点(，())处的切线的斜率．．导函数若()对于区间(，)内任一点都可导，则()在各点的导数也随着自变量的变化而变化，因而也是自变量的函数，该函数称为()的导函数，记作′()．()在＝处′的导数′()就是导函数()在＝处的．函数值．判断正误：()函数＝()在＝处的导数值与Δ值的正、负无关．( ) ()函数＝()在＝处的导数′()的几何意义是曲线＝()在点＝处切线的斜率．() ()若曲线＝()在点(，())处有切线，则′()必存在．( ) ()若′()不存在，则曲线＝()在点(，())处的切线斜率不存在．( )【解析】根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(，)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立．【答案】()√()√()×()√。
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2自主练习1.1.1平均变化率瞬时变化率导数
自主广场我夯基 我达标1.如果一个质点从定点A 处开始运动,在时间t 的位移函数为y=f(t)=t 3+3.那么,当t 1=4时,Δy=_____________,xy ∆∆=_____________. 思路解析：主要利用Δy=f(t 0+Δt)-f(t 0)=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3=Δt 3+48Δt+12Δt 2=0.013+48×0.01+12×0.012=0.481 201. ∴01.0481201.0=∆∆t y =48.120 1. 答案:0.481 201 48.120 12.在自行车比赛中,运动员的位移与比赛时间t 存在函数关系s=10t+5t 2(s 单位:m,t 单位:s),则t=20 s 时的速度为___________.思路解析：由导数的定义知在t=20时的瞬时速度为 v=t t t t t t t t s ∆--∆++∆+=∆∆22510)(5)(10=tt t t t ∆∆+∆+∆10102=10+10t+Δt. 当Δt 趋近于0时,v 趋近于10+10t,即v=10×20+10=210.答案:210 m3.若一物体运动方程如下:⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=,3,)3(32,30,1322t t t t s 则此物体在t=1和t=3时的瞬时速度分别为____________、____________.思路解析：因为t=1时,0≤t ＜3,所以此时s=3t 2+1. v=t tt t t t t t s t t s t s ∆+=∆∆+∆=∆-⨯-+∆+=∆-∆+=∆∆36361131)1(3)()(222. 当Δt 趋于0时,v 趋近于6,所以v=6.因为t=3时,t≥3,所以此时s=2+3(t-3)2. v=tt t t t t s t t s t s ∆∆=∆----∆++=∆-∆+=∆∆2223)33(32)33(32)()(=3Δt. 当Δt 趋近于0时,v 趋近于0,所以v=0.所以物体在t=1和t=3时的瞬时速度分别为6和0.答案:6 04.曲线y=x 2的一条切线的斜率为-6,则切点坐标为___________.思路解析：因为xx x x x y ∆-∆+=∆∆22)(=2x+Δx, 当Δx 趋近于0时,xy ∆∆趋近于2x,所以斜率为2x. 当2x=-6时,x=-3,y=(-3)2=9,所以切点坐标为(-3,9).答案:(-3,9)5.如果某物体做运动，方程为s=2(1-t 2)的直线运动(s 的单位为m,t 的单位为s),那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A.-0.88 m/sB.0.88 m/sC.-4.8 m/sD.4.8 m/s思路解析：在 1.2 s 时的瞬时速度即为s 在 1.2处的导数,利用导数定义tt t t t s ∆--∆+-=∆∆)1(2])(1[222=-4t-2Δt, 当Δt 趋近于0时,-4t-2Δt 就趋近于-4t,所以t=1.2时的瞬时速度为-4×1.2=-4.8 m/s.答案:C6.设函数f(x)在x=x 0处的导数不存在,则曲线y=f(x)( )A.在点［x 0,f(x 0)］处的切线不存在B.在点［x 0,f(x 0)］处的切线可能存在C.在点x 0处不连续D.在x=x 0处连续思路解析：函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切线的斜率，深刻理解概念是正确解题的关键.答案:B我综合 我发展7.设f(x)在点x=x 0处可导,且f′(x 0)=-2,则xx x f x f ∆∆--)()(00趋近于__________. 思路解析：因为2)()(00-=∆-∆+=∆∆xx f x x f x y , 而.2)()]([)()()()(000000-=∆--∆-+=∆-∆--=∆∆--xx f x x f x x f x x f x x x f x f 答案:-28.设f(x)在R 上可导,求f(-x)在x=a 处的导数与f(x)在x=-a 处的导数之间的关系.思路分析：导数的概念仍是此题解题的关键,可见正确理解导数定义对解题是很有帮助的. 解:记f(-x)=g(x),则f(-x)在a 处的导数为g′(a), 因为ax a f x f a x a g x g ----=--)()()()(, 当x 趋近于a 时,g′(a)=a x a f x f ----)()(, 令x=-t,则当x 趋近于-a 时，即t 趋近于a.f′(-a)=)(')()()()(a g at a f t f a t a f t f -=--+--=+--+-. 这说明f(-x)在x=a 处的导数与f(x)在x=-a 处的导数互为相反数.9.函数在某点存在切线是否在该点一定可导?反之成立吗?思路分析：一般地，如果函数y=f(x)的图象在x o 处出现尖点,如下图中的(1)，则它在该点不可导,这时曲线y=f(x)在(x 0,y 0)处的切线不存在,此时如果函数y=f(x)在x 0处连续,而Δx 趋近于0时,xy ∆∆趋近于无穷大,如图(2),则f(x)在x 0处不可导,而此时曲线y=f(x)在(x 0,y 0)处的切线垂直于x 轴.解：y=f(x)的图象在x0处的切线垂直于x轴的函数，因此函数f(x)在x0处可导的几何意义是：曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有不垂直于x轴的切线，故我们得到函数在某点存在切线，不一定可导，反之是成立的.。
苏教版选修2-2高中数学1.1.2瞬时转变率——导数第2课时word同步检测
第2课时课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时转变率的精准概念.2.会用瞬时速度及瞬时转变率概念求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时转变率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方式.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．1．瞬时速度的概念作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________．用数学语言描述为：若是当Δt 无穷趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均转变率S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt无穷趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的____________．2．导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有概念，x 0∈(a ，b)，若Δx 无穷趋近于0时，比值ΔyΔx＝____________无穷趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为________________________，记作f ′(x 0)．3．函数的导数若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的转变而转变，因此也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f ′(x)．4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t)＝________. 5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t )对于时间t 的导数，即a(t)＝________一、填空题1．任一作直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无穷趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx的值为________．3．一物体的运动方程是S ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________．4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处的瞬时转变率是________．5．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处的瞬时转变率是________．8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间距离[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．二、解答题9．用导数的概念，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处的导数．10．枪弹在枪筒中可以看做匀加速直线运动，若是它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．能力提升11．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，求函数在x ＝2处的导数．12．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时间的高度为s(t)＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．1．利用概念求函数在一点处导数的步骤： (1)计算函数的增量：Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)．(2)计算函数的增量与自变量增量Δx 的比ΔyΔx.(3)计算上述增量的比值．当Δx 无穷趋近于0时，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无穷趋近于A.2．导数的物理意义是物体在某一时刻的瞬时速度．答 案知识梳理1．瞬时速度 瞬时速度 2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx可导 函数f (x )在点x ＝x 0处的导数4．S ′(t ) 5.v ′(t )1．3解析 ΔS Δt ＝S (Δt )－S (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ，当Δt 无穷趋近于0时，ΔSΔt无穷趋近于3.2．－f ′(x 0)解析 ∵f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝f (x 0)－f (x 0－Δx )－Δx＝－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx，∴当Δx 无穷趋近于0时，原式无穷趋近于－f ′(x 0)． 3．at 0解析ΔS Δt ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt ＝12a (Δt )＋at 0， 当Δt 无穷趋近于0时，ΔSΔt无穷趋近于at 0.4．－3解析 ∵Δf Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx＝－Δx －3，当Δx 无穷趋近于0时，ΔfΔx无穷趋近于－3.5．0解析 ΔyΔx ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －2Δx＝(1＋Δx )2＋1－2(1＋Δx )Δx (1＋Δx )＝(Δx )2Δx (1＋Δx )＝Δx 1＋Δx， 当Δx 无穷趋近于0时，ΔyΔx 无穷趋近于0.6．1解析 ∵f (－1＋Δx )－f (－1)Δx ＝a (－1＋Δx )3－a (－1)3Δx＝a (Δx )2－3a (Δx )＋3a .∴当Δx 无穷趋近于0时，ΔfΔx 无穷趋近于3a ，即3a ＝3，∴a ＝1. 7.14 解析Δf Δx ＝f (4＋Δx )－f (4)Δx＝4＋Δx －2Δx＝14＋Δx ＋2，∴当Δx 无穷趋近于0时，Δf Δx 无穷趋近于14.解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt ＝Δt ＋4，当Δt 无穷趋近于0时，ΔvΔt无穷趋近于4. 9．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx ·(1＋1＋Δx )∴Δy Δx＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )，∴当Δx 无穷趋近于0时，－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )无穷趋近于－12，∴f ′(1)＝－12.10．解 运动方程为S ＝12at 2.因为ΔS ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， 所以ΔS Δt ＝at 0＋12a Δt .所以当Δt 无穷趋近于0时，ΔSΔt无穷趋近于at 0.由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， 所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.11．解 ∵Δy ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －(4a ＋2b ＋c )＝4a (Δx )＋a (Δx )2＋b (Δx )，∴Δy Δx ＝4a (Δx )＋a (Δx )2＋b (Δx )Δx＝4a ＋b ＋a (Δx )， 当Δx 无穷趋近于0时，ΔyΔx无穷趋近于4a ＋b .所以函数在x ＝2处的导数为4a ＋b .12．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝⎛⎭⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2， ∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g (Δt )， 当Δt 无穷趋近于0时，ΔsΔt 无穷趋近于v 0－gt 0.故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.。
(北师大版)苏州市高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知()()()()()()*1232,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数是()f x '，若()()10n f a f '-=，则50a =（ ）A ．150!B ．150C ．50D ．50!2．函数f (x )＝22x x -+ 在点 (1，2) 处的切线方程为（ ） A ．x +y +1=0B ．x -y -1=0C ．x -y +1=0D ．x +y -1=03．曲线()33ln y x x x =-⋅在点(1,0)处的切线方程为（ ）A ．220x y +-=B ．210x y +-=C ．10x y +-=D ．440x y +-=4．曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为 A ．21y x =-+ B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-5．设函数()()431f x x a x a =+-+．若()f x 为偶函数，则()f x 在1x =处的切线方程为（ ） A ．54y x =-B ．53y x =-C ．42y x =-D ．43y x =-6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（ ） A ．eB ．1e-C ．1-D ．e -7．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ）①()x x f x e =，②()f x =，③()()ln 1x f x x+=，④()21xf x x =+． A ．4B ．3C ．2D ．18．已知函数ln ,0()3,0x x f x kx x >⎧=⎨-≤⎩的图像上有两对关于y 轴对称的点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),0e -B ．-21,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()2,0e -D ．()22,0e -9．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能10．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[0，π)C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0，4π]∪[2π，34π]11．设函数sin cos y x x x =+的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，记()0k g x =，则函数()k g x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x 相切，那么b等于（ ） A ．14-B ．12-C ．14D ．12二、填空题13．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k的取值范围是______．14．经研究发现，三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心，设其为()()0,x f x ，则()0''0f x =，反之也成立，其中()''f x 是函数()f x 的导函数()'f x 的导数.已知()()322221f x x ax a a x a =++-++，若对任意的实数()1m m ≠，函数()f x 在x m =和2x m =-处的切线互相平行，则实数a =______.15．直线l 是曲线32y x x =+-在点()0,2-处的切线，求直线l 的倾斜角__________． 16．若直线y kx b =+是曲线ln 3y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =______17．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线方程是__________．18．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式1()3'(1)f x xf x=+，则'(2)f 的值等于__________．19．已知函数()3f x x =，设曲线()y f x =在点()()11P x f x ，处的切线与该曲线交于另一点()()22Q x f x ，，记()f x '为函数()f x 的导数，则()()12f x f x ''的值为_____．20．已知函数3()2f x x x =-，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________． 三、解答题21．求下列函数的导数： （1）()(1sin )(14)f x x x =+-； （2）()21x xf x x =-+. 22．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈. （Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由. 23．已知函数的图像过坐标原点，且在点处的切线斜率为.(1) 求实数的值； (2) 求函数在区间上的最小值；(3) 若函数的图像上存在两点，使得对于任意给定的正实数都满足是以为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在轴上，求点的横坐标的取值范围. 24．（1）已知()22f x x =+，请用导数的定义证明：()2f x x '=； （2）用公式法求下列函数的导数：①ln cos y x x =+；②sin 2xxy e=. 25．已知12x =-是函数f (x )=ln (x +1)-x +2a x 2的一个极值点.（1）求a 的值；（2）求曲线y =f (x )在点(1,(1))f 处的切线方程. 26．已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x +=-.（Ⅰ）若()3f x =，求tan x ； （Ⅱ）证明：2'()sin 21f x x =-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求出()1f '-和()0f ，可得出n a 的表达式，进而可计算得出50a 的值. 【详解】()()()()()123f x x x x x n =++++，其中2n ≥且n *∈N ，()()()()()()()2313f x x x x n x x x n '∴=++++++++()()()121x x x n ++++-，()()11231f n '∴-=⨯⨯⨯⨯-，()()01231f n n =⨯⨯⨯⨯-⨯，则()()110n f a f n'-==，因此，50150a =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题.2．C解析：C 【分析】 求出()'fx ，()'1f ，点斜式写出切线方程，再化为一般式，即得答案.【详解】()()2'2,21f x x x f x x =-+∴=-， ()'12111f ∴=⨯-=.∴函数()f x 在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即10x y -+=. 故选：C . 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的方程，属于基础题.3．A解析：A 【分析】求导得到()()23133ln 3y x x x x x'=-⋅+⋅-，代入数据计算斜率得到答案. 【详解】()()23133ln 3y x x x x x'=-⋅+⋅-，故切线斜率12x k y ='==- 故所求切线方程为2(1)y x =--，即220x y +-= 故选：A . 【点睛】本题考查了曲线的切线方程，意在考查学生的计算能力.4．A解析：A 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程. 【详解】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-， 所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--， 即21y x =-+， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.5．C解析：C 【分析】由奇偶性求得1a =，可得函数()f x 的解析式，求出()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. 【详解】因为函数()()431f x x a x a =+-+为偶函数，所以()()f x f x -=，可得()3210a x -=，可得1a =，所以函数()41f x x =+，可得()34f x x '=，()12f =；曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为()'14f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程为：()241y x -=-．即42y x =-． 故选C ． 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.6．C解析：C 【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x'='+， 令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e=-+， 令x e =，则()2ln 1f e e e e=-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈， 总有()()()()()121211x f x x f x f λλλλ+-+-，等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数）， ①()x x f x e =的导数()1'x x f x e -=，()2''xxf x e -+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数； ②()f x =()'f x =，()1''04f x =-<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x+=的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=+，()()()()2233221ln 11x x x x f x x x --+++=+''当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，()230,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；④()21x f x x =+的导数()()2221'1x f x x -=+，()()33226''1x x f x x -=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．故④为“上进”函数． 故选B . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.8．C解析：C 【分析】把函数()f x 的图象上有两对关于y 轴的对称点，转化为3y kx =-与ln()yx =-在0x <时有两个交点，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，即可求解．【详解】 ，由题意，当0x >时，()ln f x x =，则()ln f x x =关于y 轴的对称函数ln()y x =-(0)x <，由题意可得3y kx =-与ln()y x =-在0x <时有两个交点，设3y kx =-与ln()y x =-相切于(,)m n ，因为ln()yx =-的导数1y x '=，所以1k m=，又由ln()3m km -=-，即1ln()32m m m -=⨯-=-，解得21m e=-， 所以2k e =-，由图象可得，当20e k -<<时，函数3y kx =-与ln()yx =-在0x <上有两个交点，即当20e k -<<时，函数ln ,0()3,0x x f x kx x >⎧=⎨-≤⎩的图象上有两对关于y 轴的对称点，故选C ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的图象上有两对关于y 轴的对称点，转化为3y kx =-与ln()yx =-在0x <时有两个交点是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．9．A解析：A 【解析】 【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论． 【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ， ∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ， 恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．A解析：A 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A.11．A解析：A 【详解】因为sin cos ,sin cos sin cos y x x x y x x x x x x '=+=+-=， 则()cos g x x x =，该函数为奇函数，排除B 、C ， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0>g x ，排除D. 故选:A12．A解析：A 【分析】先表示出直线方程为y x b =+，求导计算切点为11(,)24，代入直线方程得到答案. 【详解】直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，则直线方程为：y x b =+ 直线l 与曲线2y x 相切，1'212y x x，切点为11(,)24代入直线方程 解得：14b =- 故选A 【点睛】本题考查了切线问题，也可以联立方程利用0∆=计算答案.二、填空题13．【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析：1(2e【分析】转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点,设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图， 由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点； 当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时， 设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a=，∴1ln 12a a a+=，解得a e =，∴e k e=，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当ek e>时，两函数图象至多有两个交点； ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,)2k e e∈.故答案为：1(,)2ee.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.14．-3【分析】由求导得根据题意知恒成立可得出函数对称轴即可求解【详解】由求导得：因为对任意的实数函数在和处的切线互相平行所以故的对称轴为即所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的导数导数的几何意义函解析：-3 【分析】由()f x 求导得()22322f x x ax a a '=++-，根据题意知()(2)f m f m ''=-恒成立，可得出函数对称轴，即可求解. 【详解】 由()f x 求导得：()22322f x x ax a a '=++-,因为对任意的实数()1m m ≠，函数()f x 在x m =和2x m =-处的切线互相平行， 所以()(2)f m f m ''=-， 故()y f x '=的对称轴为1x =， 即13a-=， 所以3a =-，故答案为：3- 【点睛】本题主要考查了函数的导数，导数的几何意义，函数的对称性，属于中档题.15．（或）【分析】由题意首先利用导函数求得切线的斜率然后由斜率确定倾斜角即可【详解】曲线点在曲线上因为在曲线上点的切线方程的斜率为1由直线的斜率与直线倾斜角的关系可得：直线的倾斜角（或）【点睛】本题主要解析：4πα=（或45α=︒） 【分析】由题意首先利用导函数求得切线的斜率，然后由斜率确定倾斜角即可. 【详解】曲线32y x x =+-，点()0,2-在曲线上，231y x '=+，因为0'|1x k y ===，∴在曲线上点()0,2-的切线方程的斜率为1，由直线的斜率与直线倾斜角的关系可得：tan 1k α==，∴直线l 的倾斜角4πα=（或45α=︒） . 【点睛】本题主要考查导数研究函数的切线方程，由直线的斜率确定倾斜角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【分析】对两条曲线对应的函数求导设出两个切点的横坐标令它们的导数相等求出两条曲线在切点处的切线方程对比系数求得的值【详解】依题意设直线与相切切点的横坐标为即切点为设直线与相切切点的横坐标为即切点为令 解析：2ln 3-【分析】对两条曲线对应的函数求导，设出两个切点的横坐标，令它们的导数相等，求出两条曲线在切点处的切线方程，对比系数求得b 的值. 【详解】依题意，()()''11ln 3,ln 11x x x x +=+=⎡⎤⎣⎦+，设直线y kx b =+与ln 3y x =+相切切点的横坐标为0x ，即切点为()00,ln 3x x +，设直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点的横坐标为1x ，即切点为()()11,ln 1x x +，令01111x x =+，解得101x x =-，故直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点为()001,ln x x -.由此求出两条切线方程为()()0001ln 3y x x x x -+=-和()0001ln 1y x x x x -=-+；即001ln 2y x x x =++和000111ln y x x x x =-++，故0001ln 21ln x x x +=-++，013x =，故0ln 22ln3b x =+=-.【点睛】本小题主要考查两条曲线共切线方程的问题，考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于中档题.17．【解析】分析：先求导再求切线的斜率再写出切线的方程详解：由题得因为切点为（12）所以切线方程为即切线方程为故答案为：点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法意在考查学生对这些知识的掌握 解析：1y x =+【解析】分析：先求导，再求切线的斜率，再写出切线的方程. 详解：由题得1212112, 1.1x y k x x -⨯-=-=∴=='因为切点为（1,2）， 所以切线方程为21,y x -=-即切线方程为1y x =+.故答案为：1y x =+.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-18．【解析】由题得所以故填解析：54【解析】 由题得22111()31(1)311=12f x f f f f x =-+∴=-+'''∴''（）（）（）.所以213135()(2)=2424f x f x ''=-+∴=-+，故填54. 19．【解析】因为函数所以；则曲线在点处的切线斜率为所以曲线在点处的切线方程为：联立得：即所以则故答案为点睛：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程直线的点斜式方程难度中档；我们在解答这类题的解析：14【解析】因为函数()3f x x =，所以()23f x x '=；则曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线斜率为()21113k f x x =='，所以曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线方程为：321113()y x x x x -=-，联立()3f x x =得：32321111320()(2)0x xx x x x x x -+=⇒-+=，即212x x =-，所以()22221312f x x x =='，则()()1214f x f x =''，故答案为14. 点睛：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，直线的点斜式方程，难度中档；我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来.20．【解析】结合函数的解析式可得：对函数求导可得：故切线的斜率为则切线方程为：即圆：的圆心为则： 解析：2-【解析】结合函数的解析式可得：()311211f =-⨯=-，对函数求导可得：()2'32f x x =-，故切线的斜率为()2'13121k f ==⨯-=，则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，圆C ：()222x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.三、解答题21．（1）'()4cos 4sin 4cos f x x x x x ==-+--；（2）21'()2ln 2(1)xf x x =-+.【分析】(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导. 【详解】(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x. (2)f(x)=1x x +-2x =1-11x +-2x ,则f'(x)=21(1)x +-2xln 2. 【点睛】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 22．(1) 2 ， 2ln2-.（2）当[)0,a e ∈时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当(),a e ∈+∞时，方程()0f x =有两解. 【解析】试题分析: （Ⅰ）求出导函数，利用()f x 在处的切线方程为y x b =+,列出方程组求解,a b ;（Ⅱ）通过0?,?0a a =< ,判断方程的解0a >出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当a ∈[)0?,? e 时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当a e>时，方程有两解. 试题（Ⅰ）因为()()0af x x x x=->'，又()f x 在2x =处得切线方程为y x b =+， 所以()()22ln22,2212af a b f =-=+=-='，解得2,2ln2a b ==-. （Ⅱ）当0a =时，()f x 在定义域()0,+∞内恒大于0，此时方程无解. 当0a <时，()()0af x x x x=->'在区间()0,+∞内恒成立， 所以()f x 为定义域为增函数，因为()111110,1022a a f fe e ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭， 所以方程有唯一解.当0a >时，()2x af x x='-.当(x ∈时，()0f x '<， ()f x 在区间(内为减函数，当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间)x ∈+∞内为增函数，所以当x =()11ln 2fa a =-.当()0,a e ∈时，()11ln 02fa a =->，无方程解；当a e =时，()()11ln =02fa a a =-，方程有唯一解. 当(),a e ∈+∞时，()()11ln 02f a a a =-<， 因为()1102f =>，且1a >，所以方程()0f x =在区间()0,a 内有唯一解， 当1x >时，设()()1ln ,10g x x x g x x'=-=->，所以()g x 在区间()1,+∞内为增函数， 又()11g =，所以ln 0x x ->，即ln 0x <，故()2211ln 22f x x a x x ax =->-. 因为21a a >>，所以()()22122202f a a a >-=. 所以方程()0f x =在区间(),a +∞内有唯一解，所以方程()0f x =在区间()0,+∞内有两解，综上所述，当[)0,a e ∈时，方程无解. 23．（1）；（2）；（Ⅲ）点的横坐标的取值范围为．【解析】试题分析：（1）根据图像过原点得，又切线斜率等于切点处导数值，得，解出；（2）时，对求导以判断函数的单调性，得， 令则，令则或，故在单调递减，在单调递增，在单调递减，为极小值点，，为极大值点，，，比较极小值与区间端点处函数值，，得在上的最小值为0，当或1时取得；（3）设，利用横坐标的对称关系得出，由得，于是①，然后对以为分界点分类讨论方程①是否存在解，当时，都有，故方程①无解；当时，，代入①化简得，该方程判别式小于0，故方程无解；当时，代人①化简得，再考虑此方程是否有解，令，求导分析知是增函数，注意到，故的值域是，因此方程①对任意正实数恒有解；当时，由横坐标的对称性同理可得，方程①对任意正实数恒有解，综上可得点的横坐标的取值范围.试题（1）当时，，，依题意，，又，故；...............3分（2）当时，，令有，故在单调递减；在单调递增；在单调递减．又,所以当时，； 6分（3）设，因为中点在轴上，所以，又①，（ⅰ）当时，，当时，．故①不成立 7分（ⅱ）当时，代人①得：，无解； 8分（ⅲ）当时，代人①得：②，设，则是增函数.的值域是． 10分所以对于任意给定的正实数，②恒有解，故满足条件．（ⅳ）由横坐标的对称性同理可得，当时，，代人①得：③设，令，则由上面知的值域是的值域为.所以对于任意给定的正实数，③恒有解，故满足条件. 12分综上所述，满足条件的点的横坐标的取值范围为..........14分考点：1、导数与切线关系；2、函数单调性与最值；3、分类讨论的思想；4、函数与方程的思想.24．（1）证明见解析（2）①1sin y x x '=-；②2cos 2sin 2xx x y e -'=. 【分析】（1）由导数定义证明；（2）根据导数的加法和乘法法则求导． 【详解】 （1）22000()()()2(2)()lim lim lim(2)2x x x f x x f x x x x f x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆+-+'===+∆=∆∆；（2）①ln cos y x x =+，则1sin y x x'=-； ②sin 2xxy e=，则()()22(sin 2)sin 2()2cos 2sin 2x x x xxxx e x e x e x e y e e ''-⋅⋅-⋅'==2cos 2sin 2xx xe -=．【点睛】本题考查导数的定义，考查导数的运算法则，掌握基本初等函数的导数是解题基础． 25．（1）2；（2）33ln 222y x =+-. 【分析】（1）根据函数的极值点可知1()02f '-=，求解即可； （2）根据导数的几何意义求斜率，即可求出切线方程. 【详解】（1）2()ln(1)2a f x x x x =+-+， ∴1()11f x ax x '=-++， 由于12x =-是函数f (x )的一个极值点.∴1()2f '-=0，即2-1-2a=0，故a =2, 经检验，当2a =时，12x =-是函数f (x )的一个极值点,符合题意.（2）由（1）知1()121f x x x '=-++， 从而曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率3(1)2k f '==， 又f (1)=ln 2，故曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为33ln 222y x =+-.【点睛】本题主要考查了函数的极值点，导数的几何意义，切线方程，属于中档题. 26．（Ⅰ）tan 2x =；（Ⅱ）见证明 【分析】 （Ⅰ）sin cos ()sin cos x xf x x x+=-的分母和分子同时除以cos x 即得解；（Ⅱ）利用商的导数求导再化简即得证. 【详解】（Ⅰ）由题得sin cos 3sin cos x x x x +=-得sin 1cos 3sin 1cos xx x x+=-， 即tan 13tan 1x x +=-.解得tan 2x =.（Ⅱ）2(sin cos )'(sin cos )(sin cos )'(sin cos )'()(sin cos )x x x x x x x x f x x x +---+=-2(cos sin )(sin cos )(cos sin )(sin cos )(sin cos )x x x x x x x x x x ---++=-()2222sin cos 2(sin cos )12sin cos x x x x x x-+-==--2sin 21x =-. 故得证. 【点睛】本题主要考查同角的商数关系和平方关系，考查求导和二倍角的正弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-2)学业分层测评2 瞬时变化率——导数 Word版含答案
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设函数f(x)在x＝x0处可导，当h无限趋近于0时，对于错误!的值，以下说法中正确的是_____________________________________．①与x0，h都有关；②仅与x0有关而与h无关；③仅与h有关而与x0无关；④与x0，h均无关．【解析】导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与h无关．【答案】②2．函数f(x)＝x2在x＝3处的导数等于________．【解析】ΔyΔx＝错误!＝6＋Δx，令Δx→0，得f′(3)＝6. 【答案】 63．已知物体的运动方程为s＝－1 2t2＋8t(t是时间，s是位移)，则物体在t＝2时的速度为________．【解析】Δs＝－12(2＋Δt)2＋8(2＋Δt)－⎝⎛⎭⎪⎪⎫8×2－12×22＝6Δt－12(Δt)2，则ΔsΔt＝6－12Δt，当Δt→0时，ΔsΔt→6.【答案】 64．如图1-1-6，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6, 4)，则f(f(0))＝________，当Δx→0时，错误!→_______.图1-1-6【解析】f(f(0))＝f(4)＝2.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δx→0时，错误!→－2，即直线AB的斜率．【答案】 2 －25．抛物线y＝14x2在点Q(2,1)处的切线方程为________．【解析】ΔyΔx＝错误!＝1＋错误!Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→1，即f′(2)＝1，由导数的几何意义知，点Q处切线斜率k＝f′(2)＝1.∴切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0.【答案】x－y－1＝06．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-7所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是________．(用“<”连接)图1-1-7【解析】由图象易知，点A，B处的切线斜率k A，k B满足k A<k B<0，由导数的几何意义得f′(A)<f′(B)．【答案】f′(A)<f′(B)7．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为________．【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，则错误!＝错误!＝4(x0＋1)＋2Δx，当Δx→0时，错误!→4(x0＋1)，即f′(x0)＝4(x0＋1)，由导数的几何意义知f′(x0)＝16，所以x0＝3，y0＝30，所以点P的坐标为(3,30)．【答案】(3,30)8．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-8所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．图1-1-8【解析】由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．【答案】②二、解答题9．函数f(x)＝ax3－bx在点(1，－1)处的切线方程为y＝k(x＋2)，求a，b的值.【导学号：01580005】【解】因为点(1，－1)在切线y＝k(x＋2)上，所以k＝－1 3 .错误!＝错误!＝a(Δx)2＋3aΔx＋3a－b，当Δx→0时，错误!→3a－b，即f′(1)＝3a－b，所以3a－b＝－13①又由f(1)＝－1.得a－b＝－1②由①②得，a＝13，b＝43.10．若一物体运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：s＝错误!求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．【解】(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0附近的平均变化率为ΔsΔt＝错误!＝3Δt－18，当Δt→0时，ΔsΔt→－18，∴物体在t＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．∵物体在t＝1附近的平均变化率为ΔsΔt＝错误!＝3Δt－12，当Δt→0时，ΔsΔt→－12，∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12m/s.[能力提升]1．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0时，下列命题正确的是________(填序号)．①ΔsΔt为从时间t到t＋Δt时物体的平均速度；②Δs Δt为在t 时刻物体的瞬时速度； ③Δs Δt为当时间为Δt 时物体的速度； ④Δs Δt为在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度． 【解析】 由瞬时速度的定义知，当Δt →0时，Δs Δt为在t 时刻物体的瞬时速度． 【答案】 ②2．若点(0,1)在曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 上，且f ′(0)＝1，则a ＋b ＝________.【解析】 ∵f (0)＝1，∴b ＝1.又Δy Δx＝错误!＝Δx ＋a . ∴当Δx →0时，Δy Δx →a ，则f ′(0)＝a ＝1.所以a ＋b ＝1＋1＝2.【答案】 23．设P 为曲线y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围是________． 【解析】 设P (x 0，y 0)，错误!＝错误!＝2x 0＋2＋Δx .当Δx →0时，错误!→2x 0＋2，即在点P 处切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1.即0≤2x 0＋2≤1.所以－1≤x 0≤－12. 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，－12 4．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________.【解析】 Δy Δx ＝错误!＝2ax ＋a Δx ，当Δx→0时，2ax＋aΔx→2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，且y0＝x0－1＝ax20，解得x0＝2，a＝1 4 .【答案】1 45．已知曲线y＝1t－x上两点P(2，－1)，Q⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，12.求：(1)曲线在点P、Q处的切线的斜率；(2)曲线在点P、Q处的切线方程．【解】将P(2，－1)代入y＝1t－x，得t＝1，∴y＝11－x，设f(x)＝11－x，∵错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴当Δx→0时，错误!→错误!.∴f′(x)＝错误!.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P处的切线斜率f′(2)＝1.曲线在点Q处的切线斜率f′(－1)＝1 4 .(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，曲线在点Q处的切线方程为y－12＝14[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.。
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1.1.3 瞬时变化率——导数 同步检测 (二)
一、基础过关
1．下列说法正确的是________(填序号)．
①若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处就没有切线；
②若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处有切线，则f′(x 0)必存在；
③若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线斜率不存在；
④若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处没有切线，则f′(x 0)有可能存在．
2．已知y ＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A )与f′(x B )的大小关系是________．
3．已知f(x)＝1x ，则当Δx→0时，f 2＋Δx －f 2Δx
无限趋近于________． 4．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则此切线方程为
____________．
5．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f′(－1)＝3，则a ＝________.
6．设一汽车在公路上做加速直线运动，且t s 时速度为v(t)＝8t 2＋1，若在t ＝t 0时的加速度为6 m/s 2，则t 0＝________ s.
二、能力提升
7．已知函数y ＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝12
x ＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
8．若函数y ＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y ＝f(x)在区间上的图象可能是________．(填序号)
9．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________.
10．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1
x
在x＝1处的导数．
11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y ＝6平行，求a的值．
三、探究与拓展
13．根据下面的文字描述，画出相应的路程s关于时间t的函数图象的大致形状：
(1)小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(2)小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速；
(3)小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了．
答案 1．③ 2．f′(x A )<f′(x B )
3．－14
4．4x －y －4＝0或4x －y ＝0
5．1
6．38
7．3
8．①
9．3
10．解 ∵Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝
11＋Δx －11 ＝1－1＋Δx
1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx ·1＋1＋Δx
， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·1＋1＋Δx ，
∴当Δx 无限趋近于0时，
－1
1＋Δx ·1＋1＋Δx
无限趋近于－12
， ∴f′(1)＝－12. 11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3y ＝13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．
(2)∵y ＝x 2＋4，
Δy Δx
＝x ＋Δx 2＋4－x 2＋4Δx Δx
2＋2x·Δx
Δx ＝Δx ＋2x ， ∴Δx→0时，Δy Δx
→2x. ∴y′|x ＝－2＝－4，y′|x ＝3＝6，
即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；
在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.
12．解 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)
＝(x 0＋Δx)3＋a(x 0＋Δx)2－9(x 0＋Δx)－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)
＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴Δy Δx
＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a)Δx ＋(Δx)2. 当Δx 无限趋近于零时，
Δy Δx
无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9
∴f′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 2
3
. 当x 0＝－a 3时，f′(x 0)取最小值－9－a 2
3
. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，
∴该切线斜率为－12.
∴－9－a 2
3
＝－12. 解得a ＝±3.又a<0，
∴a ＝－3.
13．解 相应图象如下图所示．。