2019高考数学选考系列：参数方程(20200923233452)

所以直线 l 的直角坐标方程为 x－ y－ 2＝ 0.
(2) 点 P(0 ，－ 2) 在 l 上，则 l 的参数方程为
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2
x＝
t， 2
( t 为参数 ) ，
2 y＝－ 2＋ 2 t
代入
x2 ＋
5
y2＝
1
整理得
3t 2－ 10
2t ＋ 15＝ 0，
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x＝ 2＋ t ，
[ 解析 ] (1) 由 l 1：
( t 为参数 ) 消去 t ，
y＝ kt
化为 l 1 的普通方程 y＝ k( x－ 2) ，①
同理得直线 l 2 的普通方程为 x＋ 2＝ ky，②
联立①，②消去 k，得 x2－y2＝ 4( y≠0).
所以 C的普通方程为
x
2
－
y
2
＝
4(
y≠0).
x＝ x0＋ at ， (t
y＝ y0＋ bt
为参数 ) ，当 a2＋ b2≠１时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题 .
【对点训练】
x＝ 5cos α ，
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C的参数方程为
( α 为参数 ). 以坐标原点
y＝ sin α
π O为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 ρ cos θ ＋ 4 ＝ 2. l 与 C 交于 A， B两点 .
y＝ 2＋ 2sin θ
l 的参数方程为
2 x＝ 1－ 2 t ，
( t 为参数 ). 以坐标原点 2 y＝ 2 t
O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系 . (1) 写出直线 l 的普通方程以及曲线 C的极坐标方程； (2) 若直线 l 与曲线 C 的两个交点分别为 M，N，直线 l 与 x 轴的交点为 P，求 | PM| ·｜PN|
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设曲线 C上点 P(3cos θ， sin θ ).
|3cos θ ＋ 4sin θ － 4－ a| |5sin （ θ ＋ φ）－ 4－ a|
3
则 P到 l 距离 d＝
＝ 17
17
，其中 tan φ＝ 4.
又点 C到直线 l 距离的最大值为 17.
∴ |5sin( θ ＋ φ) － 4－ a| 的最大值为 17.
[ 解析 ] (1) 由
( θ 为参数 ) ，消去 θ.
y＝ 2sin θ
普通方程为 ( x－2) 2＋ y2＝ 4.
从而曲线 C的极坐标方程为 ρ 2－ 4ρcos θ ＝0，即 ρ＝ 4cos θ，
因为直线 l 的极坐标方程为
ρ sin
π θ＋ 6
＝ 4，即
3 2 ρ sin
1 θ ＋ 2ρ cos θ ＝ 4，
(1) 求曲线 C的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； (2) 设点 P(0 ，－ 2) ，求 | PA| ＋ | PB| 的值 .
[ 解析 ] (1)
由曲线 C：
x＝
5cos α， ( α 为参数 ) 消去 α ，
y＝ sin α
得普通方程
x2 5＋
y
2＝
1.
π 因为直线 l 的极坐标方程为 ρ cos θ ＋ 4 ＝ 2，即 ρ cos θ － ρ sin θ ＝ 2，
2
3
故
M － 2＋ 4cos
θ
，
2＋
sin 2
θ，
又 C3 的普通方程为 x－ 2y－7＝ 0，
5wk.baidu.com
5
则 M到直线 C3 的距离 d＝ 5 |4cos θ － 3sin θ － 13| ＝ 5 |3sin θ －4cos θ ＋ 13|
5 ＝ 5 |5(sin 【类题通法】
θ － φ ) ＋13| 其中 φ满足 tan
10 2 由题意可得 | PA| ＋ | PB| ＝| t 1| ＋ | t 2| ＝| t 1＋ t 2| ＝ 3 .
考点三、参数方程与极坐标方程的综合应用
x＝2＋t ，
【例 3】在直角坐标系 xOy中，直线 l 1 的参数方程为
( t 为参数 ) ，直线 l 2 的参数
y＝ kt
x＝－ 2＋ m，
π 6
＝2
3.
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∴直线 l 的直角坐标方程为 x＋ 3y－ 8＝ 0.
π
π
(2) 依题意， A，B 两点的极坐标分别为 2， 3 ， 4， 3 ，
11π
11π
联立射线 θ ＝ 6 与曲线 C的极坐标方程得 P 点极坐标为 2 3， 6 ，
∴ | AB| ＝ 2，
1 ∴ S△ ＝ PAB 2×2×２ 3sin
π 3
＋
| PM| ·｜PN| ＝ | t 1· t 2| ＝ 1.
【类题通法】
过定点 P0( x0，y0) ，倾斜角为 α 的直线参数方程的标准形式为
x＝x0＋ t cos α， ( t 为参数 ) ，
y＝y0＋ t sin α
t 的几何意义是 P→0P的数量，即 | t | 表示 P0 到 P 的距离， t 有正负之分 . 对于形如
x，y 的变数 t 叫做参变数， 简
称参数．
2．参数方程与普通方程的互化
通过消去参数从参数方程得到普通方程， 如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系， 例
如 x＝ f ( t ) ，把它代入普通方程， 求出另一个变数与参数的关系
x＝f t ， y＝ g( t ) ，那么
y＝g t
就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使 3．常见曲线的参数方程和普通方程
的值 .
[ 解析 ] (1) 直线 l 的参数方程为
2 x＝1－ 2 t ，
( t 为参数 ) ， 2 y＝ 2 t
消去参数 t ，得 x＋ y－ 1＝ 0.
x＝ 2cos θ，
曲线 C的参数方程为
( θ 为参数 ) ，
y＝ 2＋ 2sin θ
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利用平方关系，得 x2＋ ( y－ 2) 2＝ 4，则 x2＋ y2－ 4y＝ 0.
曲线
C的标准方程是
x2 ＋
y2＝
1，
9
联立方程
x＋ 4y－ 3＝ 0，
x＝ 3，
x2 9
＋
y2
＝
1，
解得
或
y＝ 0
21 x＝－ 25，
24 y＝25.
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21 24 则 C与 l 交点坐标是 (3 ，0) 和 －25， 25 . (2) 直线 l 的普通方程是 x＋ 4y－4－ a＝ 0.
x，y 的取值范围保持一致．
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－ y0＝ tan α ( x－ x0)
x＝ x0＋ t cos α ， y＝ y0＋ t sin α
( t 为参数 )
圆
x2＋y2＝ r 2
x＝ r cos θ ， y＝ r sin θ
( θ 为参数 )
椭圆
x2 y2 a2＋ b2＝ 1( a>b>0)
4
85
φ ＝ 3 ，所以 d 的最小值为 5 .
1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．
2．把参数方程化为普通方程时， 要注意哪一个量是参数， 并且要注意参数的取值对普通方
程中 x 及 y 的取值范围的影响，要保持同解变形．
【对点训练】
x＝ 3cos θ ，
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
x＝ acos φ ， y＝ bsin φ
( φ 为参数 )
【考点突破】
考点一、参数方程与普通方程的互化
x＝－ 4＋ cos t ，
x＝ 8cos θ ，
【例 1】已知曲线 C1：
( t 为参数 ) ， C2：
( θ 为参数 ).
y＝ 3＋ sin t
y＝ 3sin θ
(1) 化 C1， C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； π
2．数形结合的应用， 即充分利用参数方程中参数的几何意义， 或者利用 ρ 和 θ 的几何意
义，直接求解，可化繁为简．
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【对点训练】
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x＝ 2＋ 2cos θ ，
已知曲线 C的参数方程为
( θ 为参数 ) ，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正
y＝ 2sin θ
( θ 为参数 ) ，直线 l 的参数方
y＝ sin θ
x＝a＋ 4t ，
程为
( t 为参数 ).
y＝1－ t
(1) 若 a＝－ 1，求 C与 l 的交点坐标；
(2) 若 C上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.
[ 解析 ] (1) a＝－ 1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－ 3＝0.
(2) 将直线 l 3 化为普通方程为 x＋ y＝ 2，
x＋ y＝ 2， 联立 x2－ y2＝ 4 得
32 x＝ 2 ，
2 y＝－ 2 ，
∴
ρ
2＝
x
2＋
y
2＝
18 4＋
2 4
＝
5
，∴与
C的交点
M的极径为
5.
【类题通法】
1．参数方程和极坐标方程的综合题， 求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程 后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
【考点梳理】
参数方程
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1．曲线的参数方程 一般地， 在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标
x，y 都是某个变数 t 的函数
x＝ f t ， y＝ g t
并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点
M( x，y) 都在这条曲
线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数
半轴为极轴建立极坐标系，直线
π l 的极坐标方程为 ρ sin θ ＋ 6 ＝ 4.
(1) 写出曲线 C的极坐标方程和直线 l 的普通方程；
(2) 若射线
θ
＝
π 3
与曲线
C 交于
O， A 两点，与直线
11 π l 交于 B 点，射线 θ＝ 6 与曲线 C
交于 O， P两点，求△ PAB的面积 .
x＝ 2＋ 2cos θ ，
若 a≥0，则－ 5－ 4－ a＝－ 17，∴ a＝ 8.
若 a<0，则 5－ 4－ a＝ 17，∴ a＝－ 16.
综上，实数 a 的值为 a＝－ 16 或 a＝ 8. 考点二、参数方程的应用
x＝ 2cos θ，
【例 2】在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C的参数方程为
( θ 为参数 ) ，直线
x2 y2
同理曲线
C2 的普通方程为
＋ ＝ 1. 64 9
C1 表示圆心是 ( － 4， 3) ，半径是 1 的圆， C2 表示中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴
长是 8，短半轴长是 3 的椭圆 .
π (2) 当 t ＝ 时， P( － 4， 4) ，又 Q(8cos θ ，3sin θ) ，
方程为
m
y＝k
( m为参数 ). 设 l 1 与 l 2 的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C.
(1) 写出 C的普通方程；
(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l 3： ρ (cos θ ＋ sin θ ) － 2
＝ 0， M为与 C的交点，求 M的极径 .
(2) 若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ＝ ， Q 为 C2 上的动点，求 PQ的中点 M 到直线 C3： 2
x＝ 3＋2t ， ( t 为参数 ) 距离的最小值 .
y＝－ 2＋ t
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[ 解析 ] (1) 由 C1 消去参数 t ，得曲线 C1 的普通方程为 ( x＋ 4) 2 ＋( y－ 3) 2＝ 1.
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令 ρ 2＝x2＋ y2， y＝ρ sin θ，代入得 C的极坐标方程为 ρ ＝ 4sin θ .
(2) 在直线 x＋ y－ 1＝ 0 中，令 y＝ 0，得点 P(1 ， 0).
把直线 l 的参数方程代入圆 C的方程得 t 2－ 3 2t ＋ 1＝ 0，
∴ t 1＋ t 2＝ 3 2，t 1 t 2＝ 1. 由直线参数方程的几何意义，