北师大版数学高二选修2学案 《抛物线的几何性质》
高二数学抛物线的简单几何性质2
| AB | 2 p
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
抛物线的简单几何性质(2)
一、抛物线的几何性质：
性质
方程
设抛物线方程为： y 2 2 px, ( p 0)
l
y
d
M
图形
K
O
F
x
范围 对称性
顶点坐标
x 0, y R 关于 x轴对称 坐标原点(0,0)
e 1
p | MF | x0 , 2 M ( x0 , y0 )
离心率 焦半径 通径
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为A1、B1、P 1，依据 抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线， 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此，我们容易得到
p1
2P 的 | AB | 2 sin
y
A
F1 O F2
y
l
x
F1 O
l
A
F2
d1 d2
B
B
x
y
y
F1
.
北师大版高中数学(选修2-1)2.2《抛物线的简单性质》word教案
§2.2抛物线的几何性质设计人：赵军伟审定：数学备课组【学习目标】1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．2.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力【学习重点】理解并掌握抛物线的几何性质【学习难点】能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质【知识衔接】1.平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F不在定直线l 上)．定点F叫做抛物线的＿＿＿，定直线l叫做抛物线的＿＿＿.2. 抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的＿＿倍，准线方程与焦点坐标相反；反之可以逆推。
3.已知抛物线的标准方程是y2=8x，求它的焦点坐标和准线方程4.已知抛物线的焦点是F(-2，0)，求它的标准方程【学习过程】一、抛物线的几何性质：通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．二、举例应用：例题3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．证明：【巩固练习】【学习反思】【作业布置】见教材习题二。
高二数学选修2-1 抛物线的简单几何性质
高二数学选修2-1抛物线的简单几何性质【基础知识精讲】抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下： 图形标准 方程 y 2=2px(p ＞0)y 2=-2px(p ＞0)x 2=2py(p ＞0)x 2=-2py(p ＞0)焦点 坐标 (2p,0) (-2p,0) (0,2p ) (0，-2p ) 准线 方程 x=-2px=2p y=-2py=2p X 围x ≥0x ≤0 y ≥0 y ≤0 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点(0，0)(0，0) (0，0) (0，0) 离心率 e=1 e=1e=1e=1焦半径 ｜PF ｜=x 0+2p ｜PF ｜=2p -x 0 ｜PF ｜=2p +y 0 ｜PF ｜=2p -y 0 参数p 的几何 意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.本节学习要求：1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力.【重点难点解析】1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用.例1 已知抛物线顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点(x 0，-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程.分析 设方程为y 2=2px(p ＞0)或y 2=-2px(p ＞0)则 x 0+2p =17或2p-x 0=17 即 x 0=17-2p 或x 0=2p-17将(17-2p ，-8)代入y 2=2px解得 p=2或p=32 将(2p -17，-8)代入y 2=-2px 解得 p=2或p=32∴所求抛物线方程为y 2=±4x 或y 2=±64x.例2 求抛物线y 2=4x 中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.分析 本例可设平行弦的纵截距为参数、运用判别式及韦达定理、中点坐标公式来求，也可设点参数运用点差法求解.设AB 是抛物线中斜率为2的平行弦中任一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点M(x,y)由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=+=+==2224421212121222121x x y y yy y x x x x y xy 得：y=1 代入y 2=4x 得x=41 ∴轨迹方程为y=1(x ＞41)例3 设点A 和B 为抛物线y 2=4px(p ＞0)上原点以外的两个动点.已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程，并说明表示什么曲线.分析 设A(4pt 21,4pt 1)，B(4pt 22,4pt 2)，OA 、OB 的斜率分别为k OA 、k OB 则 k OA =11t ,k OB =21t由OA ⊥OB ，得 k OA ·k OB =211t t =-1⇒t 1t 2=-1① ∵点A 在AB 上，得直线AB 的方程为 y-4pt 1=211t t + (x-4pt 21)② 由OM ⊥AB ，得直线OM 方程为 y=-(t 1+t 2)x ③设点M(x,y),则x,y 满足②③两式 将②化为：y(t 1+t 2)=x+4pt 1t 2=x-4p ④ 由③×④得：x 2+y 2-4px=0 ∵A 、B 是原点以外的两点 ∴x ≠0∴点M 的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆(去掉原点).【难题巧解点拨】例1 已知抛物线y 2=2px 上两点A 、B ，BC ⊥x 轴交抛物线于C ，AC 交x 轴于E ，BA 延长交x 轴于D ，求证：O 为DE 中点.分析 只需证出D 、E 两点的横坐标互为相反数即可，设A(2pt 21,2pt 1)，B(2pt 22,2pt 2)则 C(2pt 22,-2pt 2) AC ：y-2pt 1=211t t -(x-2pt 21) 令y=0,得x D =2pt 1t 2 BA ：y-2pt 1=211t t + (x-2pt 21) 令y=0,得x E =-2pt 1t 2 ∴x D +x E =0即O 为DE 中点.例2 设抛物线过定点A(0，2)且以x 轴为准线. (Ⅰ)试求抛物线顶点M 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)如果点P(a,1)不在线段y=1(-2≤x ≤2)上，那么当a 取何值时，过P 点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个交点?分析 (Ⅰ)设抛物线顶点M(x,y)，y ＞0，则其焦点为F(x,2y). 据抛物线定义有22)22(-+y x =2即 42x +(y-1)2=1(y ≠0)∴抛物线顶点M 的轨迹C 的方程是42x +(y-1)2=1(y ≠0) (Ⅱ)过P 点的直线可设为l :y-1=k(x-a).由已知P(a,1)不在曲线C 上，则⎩⎨⎧=-++-=4)1(41)(22y x a x k y 消去y ，得x 2+4k 2(x-a)2=4 即(1+4k 2)x 2-8k 2ax+4(k 2a 2-1)=0 ∴△=16［k 2(4-a 2)+1］过点P 存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个不同的交点的充要条件是关于斜率k 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-01)4(101)4(2222a ka k 有解 ∵点P 不在直线y=1(-2≤x ≤2)上，∴｜a ｜＞2，4-a 2＜0.∴上不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧->-<4,412222a k a k∴a 2-4<412-a 解a 2＜5又｜a ｜＞2,∴2＜｜a ｜＜5 即a ∈(-5,-2)∪(2,5)【命题趋势分析】本节与椭圆、双曲线的相同内容相似，都是高考的重要内容.圆锥曲线的基础知识；直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦及弦的中点的轨迹问题；圆锥曲线中的有关最值问题等等.本章内容为高考压轴题的高频题.【典型热点考题】例1 抛物线y=x 2的弦AB 保持与圆x 2+y 2=1相切移动，求过A 、B 的抛物线的切线交点的轨迹方程.分析一 如图，设抛物线弦AB 与圆x 2+y 2=1相切于P(x 0,y 0),则过P 点的圆的切线方程为x 0x+y 0y=1.由⎩⎨⎧==+2001xy y y x x 得y 0x 2+x 0x-1=0设A 的坐标为(x 1,x 21),B(x 2,x 22)，由韦达定理，得 x 1+x 2=-00y x ,x 1·x 2=-01y又过A 、B 两点的抛物线的切线方程分别为 y+x 12=2x 1x,y+x 22=2x 2x ， 则两切线交点Q(x,y)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+xx x y x x x y 22212122②①①-②得x 21-x 22=2(x 1-x 2)x. ∴ 2x=x 1+x 2=-y x ③①×x 2-②×x 1得(x 2-x 1)y+x 1x 2(x 1-x 2)=0 ∴y=x 1x 2=-1y ④ 由③、④得x 0=y x 2,y 0=-y1∵P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上， ∴(y x 2)2+(-y1)2=1 即 y 2-4x 2=1,这是双曲线.由条件知，所求轨迹是焦点在y 轴上，a=1、b=21的双曲线的下支的一部分. 分析二设抛物线的弦AB 与圆切于点P(x 0,y 0)，则过P 点的圆的切线AB 的方程为 x 0x+y 0y=1①设过A 、B 两点的抛物线切线交点为Q(α，β)则AB 为抛物线的切点弦，其方程为 y+β=2αx ② 由①、②表示同一直线，于是有α20x =10-y =β1 ∴x 0=βα2 y 0=-β1 ∵P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上，∴(βα2)2+(-β1)2=1, 即β2-4α2=1,故 y 2-4x 2=1(x ∈R,y ＜0)例2 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用如图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如图乙所示的抛物线段表示.(1)写出如图甲所示市场售价与时间的函数关系式P ＝f(t)；写出如图乙所示种植成本与时间的函数关系式Q ＝g(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? (注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(1)f(t)＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000,300t t t tg(t)＝2001 (t-150)2+100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)-g(t),即h(t)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,2175********t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得 h(t)＝-2001(t-50)2+100, 所以，当t ＝50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得 h(t)＝-2001(t-350)2+100 所以，当t ＝300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.【同步达纲练习】A 级一、选择题1.若A 是定直线l 外的一定点，则过A 且与l 相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( ) B.5D.103.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y 2=11xB.y 2=-11xC.y 2=22xD.y 2=-22x4.过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点且垂直于x 轴的弦AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB( ) A.小于90°B.等于90° C.大于90°D.不能确定5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交B.相离C.相切D.不确定 二、填空题6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是.7.若以曲线252x +162y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A 、B 两点，则｜AB ｜=.8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是.三、解答题9.抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，-1)作直线l 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FABR ，试求动点R 的轨迹方程.10.是否存在正方形ABCD ，它的对角线AC 在直线x+y-2=0上，顶点B 、D 在抛物线y 2=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.AA 级一、选择题1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2pC.4pD.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( ) A.15B.415C.215D.423.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x 对称D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( ) A.-0x p B.0y p C.px -D.-px 0 5.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则2121x x y y 的值一定等于( )A.4B.-4C.p 2D.-p 2二、填空题6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为.7.以椭圆52x +y 2=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A ，则｜AF ｜=.8.若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为. 三、解答题9.抛物线y=-22x 与过点M(0，-1)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA和OB 斜率之和为1，求直线l 的方程.10.已知半圆的直径为2r ，AB 为直径，半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，且｜TA ｜=2a(2a ＜2r),半圆上有M 、N 两点，它们与直线l 的距离｜MP ｜、｜NQ ｜满足条件｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜，求证：｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜.【素质优化训练】 一、选择题1.过点A(0，1)且与抛物线y 2=4x 有唯一公共点的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设抛物线y=ax 2(a ＞0)与直线y=kx+b 相交于两点，它们的横坐标为x 1,x 2,而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，那么x 1、x 2、x 3的关系是( )A.x 3=x 1+x 2B.x 3=11x +21x C.x 1x 2=x 2x 3+x 3x 1D.x 1x 3=x 2x 3+x 1x 2 3.当0＜k ＜31时，关于x 的方程x 2=kx 的实根的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.已知点A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B 、C ，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，则实数b 的值等于( )A.-1B.1C.7D.9 二、填空题6.抛物线y 2=-8x 被点P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为.7.已知抛物线y 2=2x 的弦过定点(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是. 8.已知过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦AB 被F 分成长度为m 、n 的两部分，则m 1+n1=. 三、解答题9.已知圆C 过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设｜AM ｜=m,｜AN ｜=n ，∠MAN=θ.(1)当点C 运动时，｜MN ｜是否变化?写出并证明你的结论?(2)求m n +nm的最大值，并求取得最大值时θ的值和此时圆C 的方程.10.已知抛物线y 2=4ax(0＜a ＜1)的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点，(Ⅰ)求｜MF ｜+｜NF ｜的值；(Ⅱ)是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【生活实际运用】1.已知点P(x 0,y 0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点P 为中点的抛物线y 2=2px(p ＞0)的中点弦方程为yy 0-p(x+x 0)=y 20-2px 0注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y 2=2px 上点的切线方程有什么联系?若P(x 0,y 0)为非对称中心，将抛物线y 2=2px 换成椭圆22a x +22b y =1或双曲线22a x -22by =1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现.2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，O 恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA 距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析 根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径. 以OA 所在直线为y 轴，过O 点作oy 轴的垂直线ox 轴，建立直角坐标系如图依题意A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25)，抛物线与x 轴正向交点为C ，OC 即圆型水池的半径.设抛物线ABC 的方程为 (x-1)2=-2p(y-2.25) 将A(0，1.25)代入求得p=21 ∴抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25) 令y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米)即水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.【知识验证实验】1.求函数y=136324+--x x x -124+-x x 的最大值.解：将函数变形为y=222)2()3(---x x -222)1(-+x x ，由几何意义知，y 可以看成在抛物线f(x)=x 2上的点P(x,x 2)到两定点A(3，2)和B(0，1)的距离之差，∵｜PA ｜-｜PB ｜≤｜AB ｜，∴当P 、A 、B 三点共线，且P 在B 的左方时取等号，此时P 点为AB 与抛物线的交点，即P 为(6371-，183719-)时，y max =｜AB ｜=10. 2.参与设计小花园的喷水池活动. 要求水流形状美观，水流不落池外.【知识探究学习】1.如图，设F 是抛物线的焦点，M 是抛物线上任意一点，MT 是抛物线在M 的切线，MN 是法线，ME 是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线MN 必平分∠FME ，即φ1=φ2.解：取坐标系如图，这时抛物线方程为y 2=2px.(p ＞0)，因为ME 平行x 轴(抛物线的轴)，∴φ1=φ2,只要证明φ1=φ3，也就是△FMN 的两边FM 和FN 相等.设点M 的坐标为(x 0,y 0)，则法线MN 的方程是y-y 0=-py 0(x-x 0),令y=0，便得到法线与x 轴的交点N 的坐标(x 0+p,0)，所以｜FN ｜=｜x 0+p-2p ｜=x 0+2p ,又由抛物线的定义可知，｜MF ｜=x 0+2p,∴｜FN ｜=｜FM ｜,由此得到φ1=φ2=φ3，若M 与顶点O 重合，则法线为x 轴，结论仍然成立.2.课本第124页阅读材料： 圆锥曲线的光学性质及其应用参考答案: 【同步达纲练习】A 级1.D2.B3.D4.C5.C6.(x-21)2+(y ±1)2=17.3100 8.y 2=12x 或y 2=-4x 9.解：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB 的中心为C(2x ,21+y ),l :y=kx-1,代入抛物线方程，得x 2-4kx+4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2-16＞0，即|k|＞1 ①，∴y 1+y 2=42221x x +=42)(21221x x x x -+=4k 2-2,∵C为AB 的中点.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222122222121k y y y k x x x ⇒⎩⎨⎧-==3442k y k x 消去k 得x 2=4(y+3),由①得，｜x ｜＞4，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(｜x ｜＞4).10.解：设存在满足题意的正方形.则BD ：y=x+b,代入抛物线方程得x 2+(2b-4)x+b 2=0,∴△=(2b-4)2-4b 2=16-16b ＞0,∴b ＜1, ①，设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2),BD 中点M(x 0,y 0),则x 1+x 2=4-2b,∴x 0=2-b,y 0=x 0+b=2,∵M 在AC 直线上，∴(2-b)+2-2=0，∴b=2与①相矛盾，故不存在满足要求的正方形.AA 级1.B2.C3.D4.B5.B6.27.95-188.123p9.解：设l :y=kx-1,代入y=-22x ,得x 2+2kx-2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=-2k,x 1x 2=-2,又11x y +22x y =111x kx -+221x kx -=2k-2121x x x x +=2k-22--k =k=1，∴直线l 的方程为y=x-1. 10.证明：由｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜知M 、N 在以l 准，A 为焦点的抛物线上，建立直角坐标系，设抛物线方程为y 2=2px ，又｜TA ｜=2a=p,∴抛物线方程为y 2=4ax ，又圆的方程为(x-a-r)2+y 2=r 2，将两方程相减可得：x 2+2(a-r)x+a 2+2ar=0，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2r-2a,∴｜AM ｜+｜AN ｜=｜PM ｜+｜QN ｜=x 1+x 2+2a=2r,即｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜【素质优化训练】1.C2.C3.D4.C5.C6.4x+y+3=07.y 2=x+2(在已知抛物线内部的部分) 8.2p9.解：(1)设圆心C(x 0,y 0),则x 20=2py 0，圆C 的半径｜CA ｜=2020)(p y x -+，其方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=x 20+(y 0-p)2,令y=0，并将x 20=2py 0，代入，得x 2-2x 0x+x 20-p 2=0，解得x m =x 0-p,x N =x 0+p,∴｜MN ｜=｜x N -x M ｜=2p(定值)(2)∵m=｜AM ｜=220)(p p x +-,n=｜AN ｜=220)(p p x ++,∴m 2+n 2=4p 2+2x 20,m ·n=4044x p +，∴m n +n m =mn n m 22+=40422424x p x p ++=20202)(4y p p y p p ++=220)(2y p y p ++=222021y p py ++≤22，当且仅当y 0=p 时等号成立，x 0=±2p ，此时△M 为等腰直角三角形，且∠M=90°，∴∠MAN=21∠M=45°，故当θ=45°时，圆的方程为(x-2 p)2+(y-p)2=2p 2或(x+2p)2+(y-p)2=2p 210.解：(1)由已知得F(a,0),半圆为［x-(a+4)］2+y 2=16(y ≥0)，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则｜MF ｜+｜NF ｜=x 1+x 2+2a=2(4-a)+2a=8(2)若｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等成数列，则有2｜PF ｜=｜MF ｜+｜NF ｜,另一方面，设M 、P 、N 在抛物线的准线上的射影为M ′、P ′、N ′，则在直角梯形M ′MNN ′中，P ′P 是中位线，又有2｜P ′P ｜=｜M ′M ｜+｜N ′N ｜=｜MF ｜+｜FN ｜,因而｜PF ｜=｜P ′P ｜,∴P 点应在抛物线上，但P点是线段MN的中点，即P并不在抛物线上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列的a值.。
高中数学选修2-1北师大版 抛物线的简单性质教案
课题 3.2.2抛物线的简单性质（一）学习目标1.掌握抛物线的性质，理解焦点弦的概念，理解抛物线性质与标准方程的关系.2.通过对抛物线标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想3.会用方程的思想研究直线与抛物线的位置关系．4.结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质；由抛物线的方程研究性质，巩固数形结合思想．学习重点：抛物线的性质，理解抛物线性质与标准方程的关系.学习难点：由抛物线的方程研究性质学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法。
学习过程一、课前预习指导：1．抛物线的几何性质2、抛物线的通径：3、抛物线的离心率：二、新课学习问题探究一抛物线的几何性质1 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率．,3 ），并以坐标轴为轴的抛物线的标准方程。
（理科）例1、求顶点在原点，通过点（6例2、点M到点F（4,0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，求点M满足的方程。
（文科）学后检测1：文科：1--1书P37页练习1,2,3；理科2--1书P75页练习1,2问题探究二直线与抛物线的位置关系问题结合直线与椭圆的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？例2 已知抛物线的方程为y2＝2x，直线l的方程为y＝kx＋1 (k∈R)，当k分别为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．三、当堂检测：1．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为 ( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或22．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 ( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝8x 或y 2＝－8x D ．x 2＝8y 或x 2＝－8y3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为 ( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．325．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于 ( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16四、课堂小结五、课后作业。
3.2.2抛物线的简单性质 教案(北师大版选修2-1)
2.2抛物线的简单性质●三维目标1．知识与技能(1)能用抛物线的标准方程分析抛物线的几何性质．(2)能用坐标法解决一些与抛物线有关的简单几何问题和实际问题．2．过程与方法在利用抛物线的标准方程研究抛物线几何性质的过程中，进一步领会和掌握解析几何的基本思想．3．情感、态度与价值观通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育．通过对抛物线对称美的感知，激发学生对美好事物的追求．二、教学重点与难点重点：利用抛物线方程研究抛物线的几何性质．难点：抛物线性质在研究实际问题中的应用．引导学生类比椭圆性质的研究方法探索抛物线的几何性质．在探索中去发现，去感知，去归纳．为了便于记忆和运用性质解决问题，引导学生设计出表格，将性质梳理出来．从而突出重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议1．有了椭圆性质的探索体验，可运用类比的方法，研究抛物线的性质，类比过程可由学生独立完成，充分发挥学生的主体作用．2．由抛物线标准方程研究抛物线性质是由数到形的过程．在这个过程中，教师要强化学生对数形结合思想的认识，领会用数研究形是解析几何的基本方法．3．通过抛物线性质的应用，培养学生应用数学解决实际问题的意识．●教学流程设置情境引入课题类比椭圆性质的探究方法探究抛物线的性质――→列表归纳抛物线的性质通过例题体验抛物线性质的应用反馈矫正总结提升已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，1．如何判断抛物线C的对称性？【提示】由于(－y)2＝2px与y2＝2px是同解方程，所以抛物线C是轴对称图形，x轴是其对称轴．2．在抛物线C的方程中，x，y的范围分别是什么？【提示】y∈R，x＝y22p≥0.3．在抛物线C的方程中，p的几何意义是什么？2p的几何意义是什么？【提示】p是焦点到准线的距离，2p是通径的长．抛物线的性质。
高中数学第三章圆锥曲线与方程 抛物线的简单性质学案含解析北师大版选修2_1
2．2 抛物线的简单性质知识点一 抛物线的简单性质[填一填](1)对称性：抛物线y 2＝2px (p >0)关于x 轴对称,抛物线的对称轴叫作抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．(2)范围：抛物线y 2＝2px (p >0)在y 轴的右侧,开口向右,这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x ,y )满足不等式x ≥0；当x 的值增大时,|y |也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点．当抛物线的方程为标准方程时,抛物线的顶点是坐标原点．(4)离心率：抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫作抛物线的离心率．可见,抛物线的离心率为e ＝1.(5)通径：通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线y 2＝2px (p >0)两交点的坐标分别为(p 2,p ),(p2,－p ),连接这两点的线段叫作抛物线的通径,它的长为2p . [答一答]你能熟练地写出抛物线y 2＝10x 的焦点坐标、顶点坐标和准线方程吗？ 提示：∵y 2＝10x ,∴p ＝5,∴焦点坐标为(52,0),顶点坐标为(0,0),准线方程为x ＝－52.知识点二 抛物线的四种标准方程形式[填一填][答一答]求顶点在原点,通过点(2,4),且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程．提示：若x 轴是抛物线的轴,则设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0),∵点(2,4)在抛物线上,∴16＝4p ,∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝8x .若y 轴是抛物线的轴,则设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0), ∵点(2,4)在抛物线上,∴22＝8p , ∴p ＝12,∴抛物线方程为x 2＝y .∴所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y .1．抛物线的几何性质的几个注意点：(1)抛物线的几何性质和椭圆比较起来,差别较大,它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆为有心圆锥曲线．(2)给出各种标准形式的抛物线方程,能熟练说出开口方向、焦点坐标、对称轴和准线方程；反过来,也能根据各种类型的抛物线的示意图,说出抛物线的类型．(3)通过抛物线的焦点作垂直于轴而交抛物线于A ,B 两点的线段AB ,称为抛物线的“通径”(如图),由A (p 2,p )、B (p2,－p ),可得通径的长|AB |等于2p .从而可以根据顶点和通径的端点A ,B ,作出抛物线的近似图形,要掌握这种画抛物线草图的方法,并且通径越长,抛物线开口越大,即p 越大,开口越大,p 越小,开口越小．2．焦半径公式的作用如下：利用焦半径公式,我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,解题时方便快捷,一般地说,凡涉及过焦点的直线与抛物线的交点问题,利用此公式来解较简单．题型一 由抛物线的方程求几何性质【例1】 已知抛物线的方程x 2＝ay ,求它的焦点坐标和准线方程．【思路探究】 参数a ≠0,a 可能取正值,也可能取负值,不要忽略a <0的情况． 【解】 当a >0时,∵2p ＝a ,∴p ＝a2,∴焦点坐标为F (0,a 4),准线方程为y ＝－a4；当a <0时,x 2＝－(－a )y , ∵2p ＝－a ,∴p ＝－a2.∴焦点坐标为F (0,－(－a4)),即F (0,a 4),准线方程为y ＝－a 4.综上所述,抛物线的焦点坐标为F (0,a 4),准线方程为y ＝－a4.规律方法 在抛物线的几何性质中,应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标,在解题时,应先注意开口方向,焦点位置,选准标准形式,然后运用条件求解．已知抛物线方程y ＝－12x 2,求抛物线的开口方向、对称轴、焦点坐标、准线方程及焦点到准线的距离．解：将该抛物线方程y ＝－12x 2化成标准方程为x 2＝－2y ,可知抛物线开口向下,对称轴为y 轴,∵p ＝1,∴焦点坐标为(0,－12),准线方程为y ＝12,焦点到准线的距离为1.题型二 由抛物线的几何性质求标准方程【例2】 已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M (4,－8),求它的标准方程．【思路探究】 由题中条件知抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0),将点M (4,－8)的坐标代入即可得答案．【解】 由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)． ∵点M 在抛物线上, ∴(－8)2＝2p ×4,解得p ＝8. 故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x .规律方法 已知抛物线的几何性质求抛物线的标准方程的步骤如下：(1)通过确定抛物线的焦点所在的坐标轴和开口方向,确定抛物线的标准方程形式；(2)建立关于p 的方程,并求出p 的值；(3)写出所求抛物线的标准方程．其中最关键的是确定抛物线的焦点所在的坐标轴及抛物线的开口方向．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别是10和6,求点P 的横坐标及抛物线的方程．解：设点P 的坐标为(x ,y ),则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋p2＝10，y 2＝2px ，|y |＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9，p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，p ＝18.故点P 的横坐标为9或1,相应的抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x . 题型三 定点、定值、最值问题【例3】 抛物线y 2＝2px (p >0)上有两动点A ,B 及一个定点M ,F 为焦点,已知|AF |,|MF |,|BF |成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q .(2)若|MF |＝4,|OQ |＝6(O 为坐标原点),求抛物线的方程．【思路探究】 (1)可先求出线段AB 的垂直平分线的方程,再求其所过的定点．(2)求抛物线方程的关键是求p 的值．【解】 (1)证明：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则|AF |＝x 1＋p 2,|BF |＝x 2＋p 2,|MF |＝x 0＋p 2,x 0为已知值．由题意得x 0＝x 1＋x 22,则线段AB 的中点坐标可设为(x 0,t ),其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则|AF |＝|MF |＝|BF |⇒p ＝0)．而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212p (y 21－y 22)＝2p y 1＋y 2＝pt,故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t＝－tp(x －x 0),即t (x －x 0－p )＋yp ＝0,可知其过定点Q (x 0＋p,0)．(2)由|MF |＝4,|OQ |＝6, 得x 0＋p2＝4,x 0＋p ＝6.解得p ＝4,x 0＝2.∴抛物线的方程为y 2＝8x .规律方法 对于定点或定值问题,通常把变动的元素用参数表示,然后计算(找)出需要的结果．若问题中没有给出定值是什么,则应在待定条件下探究变动元素,从而找出定值,然后证明．设而不求法和根与系数的关系是解决圆锥曲线这方面问题的关键,需熟练掌握．(1)已知抛物线方程为y 2＝4x ,直线l 的方程为x －y ＋4＝0,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1,到直线l 的距离为d 2,则d 1＋d 2的最小值为522－1.(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1,则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是2.解析：(1)由题意得,点P 到准线的距离为d 1＋1,设抛物线的焦点为F ,则d 1＋1＝|PF |,∴d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1,又焦点到直线的距离为d ＝522,∴d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1.(2)本题可转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ,使得点P 到点F (1,0)和直线l 1的距离之和最小,易得其最小值为点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离,即最小值d ＝|4×1－0＋6|32＋42＝2.——数学思想—— 抛物线中的数形 结合思想的应用利用抛物线的图形结合所学平面几何知识可以很容易得到所要解决的问题的答案．这种方法在选择题和填空题中经常使用．【例4】 过点P (0,4)与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线有________条．【解析】 作出抛物线y 2＝2x 的图像如图,可以看出点P 在y 轴上,由图中看出过点P 有3条直线与抛物线只有一个公共点．其中包括y 轴(斜率不存在的切线),过点P 与x 轴平行的直线以及过点P 与抛物线相切的斜率存在的一条直线．【答案】 3规律方法 抛物线中与对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点,y 轴与抛物线只有一个交点,这是我们解题中容易忽视漏掉的地方．本题通过抛物线的定义借助等腰三角形建立角之间的联系,从而利用平行线的性质解决问题．若点A 的坐标为(3,2),F 为抛物线y 2＝2x 的焦点,点P 在抛物线上移动, (1)当|P A |＋|PF |取最小值时,求点P 的坐标,并求这个最小值．(2)求点P 到点M (－12,1)的距离与它到直线x ＝－12的距离之和的最小值．解：(1)如图所示,显然点A (3,2)在抛物线y 2＝2x 的内部,过点P 作准线l 的垂线,垂足为P ′,则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PP ′|,由平面几何知识可知,当AP ′⊥l 时,|P A |＋|PF |取最小值．∵准线方程x ＝－12,∴最小值为3－(－12)＝72,此时点P 的纵坐标为2,代入方程y 2＝2x ,得x ＝2.∴点P 的坐标为(2,2)时,|P A |＋|PF |有最小值,最小值为72.(2)由抛物线定义知点P 到直线x ＝－12的距离等于它到焦点F 的距离．因此问题转化为在曲线上求一点P ,使点P 到点M 的距离与点P 到焦点F 的距离之和最小．显然,连接MF ,则直线MF 与抛物线的交点即为点P ,故最小值为|MF |＝(－12－12)2＋(1－0)2＝ 2.1．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若FP →＝4FQ →,则|QF |＝( B )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：抛物线的焦点坐标是F (2,0),过点Q 作抛物线的准线的垂线,垂足是A ,则|QA |＝|QF |,抛物线的准线与x 轴的交点为G ,因为FP →＝4FQ →,则点Q 是PF 的四等分点,由于三角形QAP 与三角形FGP 相似,所以可得|QA ||FG |＝|PQ →||PF →|＝34,所以|QA |＝3,所以|QF |＝3.2．抛物线x 2＝－4y 的通径为AB ,O 为坐标原点,则( D ) A ．通径AB 的长为8,△AOB 的面积为4 B ．通径AB 的长为8,△AOB 的面积为2 C ．通径AB 的长为4,△AOB 的面积为4 D ．通径AB 的长为4,△AOB 的面积为2解析：|AB |＝2p ＝4,焦点坐标为(0,－1),∴S △AOB ＝12×1×4＝2.3．对于抛物线y 2＝10x ,下列结论正确的是②⑤.①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤抛物线的准线方程为x ＝－52.解析：y 2＝10x 的焦点为(52,0),准线方程为x ＝－52,抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为1＋52＝72,通径长为2p ＝10.4．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,准线为l ,经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,AK ⊥l ,垂足为K ,求△AKF 的面积．解：∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),准线l 的方程为x ＝－1,故与抛物线相交且斜率为3的直线方程为y ＝3(x －1),由⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得A 点坐标为(3,23),∴|AK |＝4,∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.。
高二数学选修----抛物线的简单几何性质
1 k2
1 k2
当且仅当 1 1 k2
1 k 2,即k
0时“”号成立.
若直线y = kx + b与抛物线x2 = 4y 相交于A、B两点，且|AB|= 4,
1 试用k来表示b; 2 求弦AB中点M离x轴的最短距离.
y
B A
o
x
若直线y = kx + b与抛物线x2 = 4y
相交于A、B两点，且|AB|= 4,
1 试用k来表示b; y
2 求弦AB中点M离x轴的最短距离.
（4） 离心率：
OF
x
e =1
方程 图
形 范围
y2 = 2px （p＞0）
y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py （p＞0） （p＞0） （p＞0）
y
l
yl
y
F
y
l
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称 性
顶点
离心率
高二数学选修2-1
抛物线的简单几何性质
1、抛物线的几何性质： y2 = 2px（p>0）
（1）范围：x≥0,y∈R.
y
l
（2）对称性：
抛物线关于x轴对称. 抛物线的对称轴叫做 抛物线的轴.
OF
x
3、抛物线的几何性质: y2 = 2px（p>0）
（3）顶点
y
l
抛物线和它的轴的交点
叫做抛物线的顶点．
1.A1FB1 90o
2.AB为直径的圆与 准线相切
A1
y
l
N
3.y1 y2
高二数学北师大版选修2-1课件3.2.2 抛物线的简单性质
p 0,2 y=2
p
说明 :(1)以 y2=2px(p>0)为例,抛物线上的点趋向于无穷远时,该点的斜 率接近于 x 轴的斜率,即抛物线 y2=2px 向右延长到无穷远时,其曲线与 x 轴 接近平行. (2)对于抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦 AB,A(x1,y1),B(x2,y2),有以下结论: ①|AB|=x1+x2+p; 2 ������ ②若直线 AB 的倾斜角为 α,则|AB|= 2 ;
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一 求抛物线方程
【例 1 】 已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M(m,-3)到焦点的距离为 5,求 m 的值、抛物线方程和准线方程. 分析 :因顶点在原点,对称轴是 y 轴,点 M(m,-3)位于第三或第四象限,故 可确定所求抛物线方程为 x2=-2py(p>0). 解法一:点为 F 0,- . 2 ∵M(m,-3)在抛物线上,且|MF|=5, ������ 2 = 6������, 故
1 ������ ������
三、抛物线标准方程的四种形式
图像
标准方 2 y =2px(p>0) 程 对称轴 x 轴 顶点 原点 p 焦点坐 ,0 标 2 准线方 p x=-2 程
y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) y轴 p - ,0 2 x=2
p
p 0, 2 y=-2
1
2
1 .给出一个抛物线的方程(能够化为标准方程的形式),判断其焦点位于 哪条坐标轴上以及焦点的坐标 剖析 :如果所给的抛物线的方程不是标准方程的形式,首先将其转化为 标准方程的形式,如果方程中含的是 x 的一次项,则其焦点就在 x 轴上,并且 焦点的横坐标恰好就是一次项系数除以 4 得到的;相应的准线方程是与对 ������ 称轴垂直的一条直线,其方程为 x=- (其中 m 表示一次项系数).同理 ,将其方 程转化为标准方程的形式后,如果含的是 y 的一次项,同样有类似上述结论.
3.2抛物线的简单几何性质2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
例 2 已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)，过点(2，0)的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，O
为坐标原点，且―O→A ·―O→B ＝2.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)点 M 坐标为(－2，0)，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k11＋k12为定值．
解：(1)设 l 的方程为 x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， (2)证明：因为 M 坐标为(－2，0)，
(1)求p
（2）若点p在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，
PAB面积的最大值
y
x 2
1x 2 4y
x0
y 0
得 x2 2x0x 4 y0
0
4x02
16 y0
由韦达定理可得 xA xB 2x0, xAxB 4 y0
AB 1 K 2AB
(xA xB )2 4xAxB
＝y21y2＋y22y1＋y1y22（y1＋y2）＝（y1y2＋2y）1y（2 y1＋y2）， 由(1)可得 y1＋y2＝m，y1y2＝－2，
所以 p＝12，所以抛物线 C 的方程为 y2＝x.
所以k11＋k12＝0 为定值．
背景分析 题目展示 解法分析 拓展延伸 大胆猜想 感悟数学
定量到定性分析 数形结合思想 遵循逻辑推理
背景分析 题目展示 解题思路 大胆猜想 拓展延伸 感悟数学
本题中，1、过抛物线x2 2 py 外点 x0, y0 抛物线切点弦方程：x x0 p( y0 y)
过椭圆
外点 x2
a2
y2 b2
1
x0, y0
椭圆切点弦方程：xa02x
y0 y b2
1
过圆 x2 y2 r2 外点 x0, y0 切点弦方程：x0 x y0 y r 2
2.3.2第1课时抛物线的简单几何性质课件-高二上学期数学北师大版选择性
焦点F (5,0), 准线方程为x=-5；
焦点F (0, 1 ), 准线方程为y= 1 ;
8
8
焦点F
(
5 8
,0),
准线方程为x=
5 8
;
焦点F (0, -2), 准线方程为y=2.
学习目标
新课讲授
练一练
课堂总结
2.求顶点在原点，经过点(-3，-1)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程.
解：∵点(-3，-1)在第三象限， ∴设所求抛物线的标准方程为y2＝-2px(p>0)或x2＝-2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2＝-2px(p>0)， 将点(-3，-1)代入方程，解得 p 1 ,
6
此时抛物线的标准方程为 y2 1 x;
3
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
2.求顶点在原点，经过点(-3，-1)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程.
yl FO x
y
F
O
x l
y l
OF x
标准方程 焦点坐标
准线方程
范围 对称性 顶点 离心率
y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
p 2
,
0
x p 2
x≥0, y∈R
p 2
,
0
x p 2
x≤0, y∈R
关于x轴对称
0,
p 2
y p 2
x∈R, y≥0
0,
p 2
定位置
根据条件确定抛物线的焦点在哪条 坐标轴上及开口方向
设方程 根据焦点和开口方向设出标准方程
北师大版数学高二-选修2-1 抛物线的几何性质3 教案
3.2.2 抛物线的几何性质（一）一、教学目标：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化二、教学重点：抛物线的几何性质及其运用。
教学难点：抛物线几何性质的运用 。
三、授课类型：新授课 四、教学过程（一）、复习引入：1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线 2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号 （二）、讲解新课：抛物线的几何性质1．范围：因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性：以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．对于其它几种形式的方程，列表如下：标准方程图形顶点 对称轴 焦点 准线 离心率()022>=p pxyxyO Fl()0,0x 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -= 1=e()022>-=p pxyxyO Fl()0,0x 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p2p x =1=e()022>=p pyx()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2p y -= 1=e()022>-=p pyx()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2py =1=e注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离 （三）、探析例题：例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．解：由题意，可设抛物线方程为px y 22=，因为它过点)22,2(-M ，所以 22)22(2⋅=-p ，即 2=p 。
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3.2.2《抛物线的几何性质》导学案
【学习目标】
1.抛物线的性质及其灵活运用；
2.抛物线的定义在求解最值问题中的运用.
【导入新课】
复习导入
1.抛物线的定义；
2.抛物线的方程的推导.
新授课阶段
1.抛物线的几何性质
(1) 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．
(2) 抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．
(3) 抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．
具体归纳如下表：
特征：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它渐近线;
2.抛物线只有对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有 顶点、 焦点、 准线;
4.抛物线的离心率是确定的且为1.
例1. 已知抛物线关于x 轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点M(2, -), 求它的标准方程.
解：
例2 斜率为1的直线l 经过抛物线2
4y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.
解：
课堂小结
（一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义.
（二）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.
（三）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.
作业
见同步练习部分
拓展提升
1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )
A ．1716
B ．1516
C ．78
D ．0 2．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → |
＋MN → ·NP → =0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是 （ ）
A ．y 2=8x
B ．y 2=－8x
C ．y 2=4x
D ．y 2=－4x
3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分PA → 所成的比为2，
则点M 的轨迹方程是（ ）
A ．y=6x 2―31
B ．x=6y 2－31
C ．y=3x 2+3
1 D ．y=―3x 2―1 4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2=
2
3 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是 .
5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22
+=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，则数列⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⋅)1(2n OB OA n n 的前n 项和公式是 . 6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程.
7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标.
8．在直角坐标系中，已知点⎪⎭⎫
⎝⎛0,2p F （p>0）, 设点F 关于原点的对称点为B ，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切.
⑴ 点A 的轨迹C 的方程；
⑵ PQ 为过F 点且平行于y 轴的曲线C 的弦，试判断PB 与QB 与曲线C 的位置关系. 21M M 是曲线C 的平行于y 轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M ，试证明点M 在曲线C 上.
参考答案
新授课阶段
特征 没有 一条
一个 、一个 、一条
例1.
例2
解：抛物线的焦点 F(1 , 0),
1l y x =-直线的方程为：
2216104y x x x y x =-⎧⇒-+=⎨=⎩ 1212322322 222222x x y y ⎧⎧=+=-⎪⎪⇒⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩
或221212AB =(x -x )+(y -y )=8
拓展提升
1．B 【解析】用抛物线的定义. 2．B 【解析】坐标代入.
3．B 【解析】用坐标转移法.
4．12【解析】有两个顶点关于x 轴对称，进而得到直线的倾斜角是
6
π和56π. 5．)1(+-n n 【解析】求出数列的通项公式.
6．y 2=12x 或y 2=－4x 【解析】设抛物线方程后，用韦达定理及弦长公式. 7．M （52452,4）【解析】数形结合得到当且仅当AB 过焦点时M 到y 轴距离最小．设出此时的直线方程，用弦长公式解得直线AB 的斜率，并得到AB 的坐标.
8． 解：(1)设A （x,y ），则2
2p x 2y )2p x (2
2+=+-, 化简得：y 2=2px
（2）由对称性知，PB 和QB 与曲线C 的位置关系是一致的，由题设，不妨P （p ,2
p ） 而1)2
p (2p 0p k PB =---= ∴直线PB 的方程为y=x+2p ,代入y 2=2px ，消去y 得到关于x 的一元二次方程 x 2+px+
4
p 2
=0,∆=0 ∴直线PB 和QB 均与抛物线相切. （3）由题意设)t ,p 2t (M 21，)t ,p 2t (M 2
2-， 则直线FM 1：)2p x (2p p 2t t
y 2--=； 直线BM 2：)2p x (2
p p 2t t y 2++-= 联立方程组解得M 点坐标为23
t
2p (，)t p 2-， 经检验，)2(2)(23
22
t
p p t p =- ，∴点M 在曲线C 上.。