北师大版数学高二选修2学案 《抛物线的几何性质》

3.2.2《抛物线的几何性质》导学案

【学习目标】

1.抛物线的性质及其灵活运用；

2.抛物线的定义在求解最值问题中的运用.

【导入新课】

复习导入

1.抛物线的定义；

2.抛物线的方程的推导.

新授课阶段

1.抛物线的几何性质

(1) 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．

(2) 抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．

(3) 抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．

具体归纳如下表：

特征：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它渐近线;

2.抛物线只有对称轴,没有对称中心;

3.抛物线只有 顶点、 焦点、 准线;

4.抛物线的离心率是确定的且为1.

例1. 已知抛物线关于x 轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点M(2, -), 求它的标准方程.

解：

例2 斜率为1的直线l 经过抛物线2

4y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.

解：

课堂小结

（一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义.

（二）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.

（三）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.

作业

见同步练习部分

拓展提升

1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )

A ．1716

B ．1516

C ．78

D ．0 2．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → |

＋MN → ·NP → =0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是 （ ）

A ．y 2=8x

B ．y 2=－8x

C ．y 2=4x

D ．y 2=－4x

3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分PA → 所成的比为2，

则点M 的轨迹方程是（ ）

A ．y=6x 2―31

B ．x=6y 2－31

C ．y=3x 2+3

1 D ．y=―3x 2―1 4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2=

2

3 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是 .

5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22

+=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，则数列⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⋅)1(2n OB OA n n 的前n 项和公式是 . 6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程.

7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标.

8．在直角坐标系中，已知点⎪⎭⎫

⎝⎛0,2p F （p>0）, 设点F 关于原点的对称点为B ，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切.

⑴ 点A 的轨迹C 的方程；

⑵ PQ 为过F 点且平行于y 轴的曲线C 的弦，试判断PB 与QB 与曲线C 的位置关系. 21M M 是曲线C 的平行于y 轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M ，试证明点M 在曲线C 上.

参考答案

新授课阶段

特征 没有 一条

一个 、一个 、一条

例1.

例2

解：抛物线的焦点 F(1 , 0),

1l y x =-直线的方程为：

2216104y x x x y x =-⎧⇒-+=⎨=⎩ 1212322322 222222x x y y ⎧⎧=+=-⎪⎪⇒⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩

或221212AB =(x -x )+(y -y )=8

拓展提升

1．B 【解析】用抛物线的定义. 2．B 【解析】坐标代入.

3．B 【解析】用坐标转移法.

4．12【解析】有两个顶点关于x 轴对称，进而得到直线的倾斜角是

6

π和56π. 5．)1(+-n n 【解析】求出数列的通项公式.

6．y 2=12x 或y 2=－4x 【解析】设抛物线方程后，用韦达定理及弦长公式. 7．M （52452,4）【解析】数形结合得到当且仅当AB 过焦点时M 到y 轴距离最小．设出此时的直线方程，用弦长公式解得直线AB 的斜率，并得到AB 的坐标.

8． 解：(1)设A （x,y ），则2

2p x 2y )2p x (2

2+=+-, 化简得：y 2=2px

（2）由对称性知，PB 和QB 与曲线C 的位置关系是一致的，由题设，不妨P （p ,2

p ） 而1)2

p (2p 0p k PB =---= ∴直线PB 的方程为y=x+2p ,代入y 2=2px ，消去y 得到关于x 的一元二次方程 x 2+px+

4

p 2

=0,∆=0 ∴直线PB 和QB 均与抛物线相切. （3）由题意设)t ,p 2t (M 21，)t ,p 2t (M 2

2-， 则直线FM 1：)2p x (2p p 2t t

y 2--=； 直线BM 2：)2p x (2

p p 2t t y 2++-= 联立方程组解得M 点坐标为23

t

2p (，)t p 2-， 经检验，)2(2)(23

22

t

p p t p =- ，∴点M 在曲线C 上.