最新分组分配问题
分组分配问题专项练习
分组分配问题
1：（均分无分配对象的问题）12本不同的书
（1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？
（2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
2：（均分有分配对象的问题）6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？
3：（部分均分有分配对象的问题）
12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五个人有多少种不同的分法？
4：（部分均分无分配对象的问题）
六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有多少种分法5：（非均分组无分配对象问题）
6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种不同的分法？6：（非均分组分配对象确定问题）
六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法？
7：（非均分组分配对象不固定问题）
六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本
有多少种分法
1：12本不同的书平均分成四组有多少种不同分法？
2：有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本；
（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（3）一人一本，一人两本，一人三本；
（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；
（5）一人四本，另两人各一本·
3：12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条件，各有多少种不同的分法？
（1）一人三本，一人四本，一人五本；
（2）甲三本，乙四本，丙五本；
（3）甲两本，乙、丙各五本；
（4）一人两本，另两人各五本·
4：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分成四堆有多少种不同的分法？
（2）按2∶2∶2∶4分给甲、乙、丙、丁四个人有多少种不同的分法？。
(组合四)分组分配问题
C
mk mk
A
即分步挑选，除以均分组数的阶乘。
分配问题
• 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几 种分法？ ① 甲得一本，乙得两本，丙得三本； ② 平均分给甲、乙、丙三人； ③ 一人得一本，一人得两本，一人得三本； ④ 分给三人每人至少一本。
分配问题
• 将n个不同元素按照一定要求分给m个人（担 任不同职务，有顺序的位置等）称为分配问 题。解决方法是先分组再分配。 • 1确定分配，每人所得个数确定，直接分布 挑选。 • 2每组个数确定，但每人所得个数不确定， 先分组再分配 • 3，每组个数不确定，每人所得个数也不确 定，常常是先分类，在分组，最后分配。
课堂讨论：先用相关知识解答，后 用穷举法检验。
两个不同的小球平均分成两组，每组1个， 多少种方法？ 四个不同的小球平均分成两组，每组2个， 多少种方法？ 四个不同的小球分成两组，一组1个另一组3个， 多少种 方法？ 四个不同的小球分成三组，一组2个，另两组各1个， 多 少种方法？
分组问题
• 六个不同的小球平均分成两组，每组三个， 多少种方法？ • 六个不同的小球分成三组，每组两个， 多 少种方法？ • 六个不同的小球分成三组，一组1个，一组 2个，一组3个， 多少种方法？ • 六个不同的小球分成四组，两组各1个， 另 两组各2个，有多少种分法？
C C
m km
m ( k 1) m k k
C
m m
A
即分步挑选后，除以均分组数的阶乘。
分组问题
• 3. 部分平均分组问题一般说来n个元素分成 k组,每组分别有m1， m2， m3… mk个，且 m1， m2， m3… mk有且仅有i个相等，则分 组方法有
C C
m1 n
m2 n m1
专项测试07-分组分配问题(解析版)-2020-2021学年排列组合常考题型专项测试
人教版选修2-3第一章排列组合常考题型专项测试07——分组分配问题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2017·山东淄博市·淄川中学高三开学考试）某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．540【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有1225422215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有33(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故选A ．【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．2．（2020·延安市第一中学高二期中）《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭分配到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是 A ．216 B ．420 C ．720 D ．1080【答案】D 【详解】先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有226422C C A 种不同的分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有224644221080C C A A ⨯=种不同的分配方案． 点睛：本题考查组合和排列的综合应用题，本题的难点是平均分组，要求搞清“平均分组”，如本题中将6个元素分成4组，其中有两组含2个元素，所以涉及平均分组，即有226422C C A 种不同的分组方法. 3．（2020·江苏省苏州中学园区校高二月考）学校选派5位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这3所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有 A ．540种 B ．240种 C ．180种D ．150种【答案】D 【详解】按题意5人去三所学校，人数分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分类加法原理求解．由题意不同方法数有1223335425331502!C C C C A A +⨯=．点睛：本题考查排列组合的综合应用，此类问题可以先分组再分配，分组时在1，2，2一组中要注意2,2分组属于均匀分组，因此组数为22422!C C ，不是2242C C ，否则就出错．4．（2020·江苏省如皋中学高二期中）重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A ．50 B ．40 C ．35 D ．30【答案】A 【分析】先把6人分成两组，再安排到两所敬老院，由此可得． 【详解】先分组再安排：6人可按3,3分组或2,4分组，然后再安排到敬老院，方法为32266222()50C C A A +⨯=．【点睛】关键点点睛：本题考查分组分配问题，涉及到平均分组和不平均分组，平均分组时要除以组数的阶乘．n 个不同元素按12,,,k m m m 分成k 组，若12,,,k m m m 两两不等，则分组数为312112k km m m m n n m n m m m C C C C ---，若12,,,k m m m 中仅有i 个数相等，则分组数为312112kkm m m m n n m n m m miiC C C C A---．5．（2020·河南省信阳市第六高级中学高二月考（理））有6名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．540B．729C．216D．420【答案】A【分析】根据题意，先对人数进行分组共有三种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2，分别计算3种情况下的数目，相加即可得答案.【详解】人数进行分组共有三种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2，若分组分1,1,4，共有4113621132290C C CN AA⋅⋅=⋅=；若分组分1,2,3，共有421326313360N C C C A=⋅⋅⋅=；若分组分2,2,2，共有2223642333390C C CN AA⋅⋅=⋅=；∴不同分派方法种数为540N=.6．（2019·辽宁沈阳市·高二期中）五位好朋友去某地旅游，由于时间紧迫，他们每个人只能在,,a b c三个景点中任选一个参观，且这三个景点都至少有一个人参观则参观方法共有（）A．150种B．130种C．124种D．96种【答案】A【分析】分两类，一类是有两个景点有两个人参观，一个景点有一个人参观，二类是有一个景点有三个人参观，二个景点分别都有一个人参观，分别求出两种情况下的方法数相加即可.【详解】当有两个景点有两个人参观，一个景点有一个人参观时，参观的方法数为2235332290C CAA⋅=种；当有一个景点有三个人参观，二个景点分别都有一个人参观时，参观的方法数为325360C A=种，则这三个景点都至少有一个人参观则参观方法共有6090150+=种.7．（2021·辽宁高三二模）某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）种．A．5040B．1260C．210D．630【答案】D【分析】把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，即可求解.【详解】把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，共有2237536302C C A =种．8．（2021·陕西西安市·西安中学高三月考）某市政府决定派遣8名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，则不同的派遣方案共有（ ） A ．320种 B ．252种 C ．182种 D ．120种【答案】C 【分析】分成3人、5人或者4人、4人，先分组再分配即可求解. 【详解】分成3人、5人两组时，有352852112C C A =种，分成4人、4人两组时，有4428422270C C A A =种，所以共有11272182+=种，9．（多选题）（2020·全国高三专题练习）现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（ ） A ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B ．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D ．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种 【答案】BCD 【分析】由分步乘法计数原理即可判断A ，由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断B ，由分步乘法、排列、组合的知识可判断C ，由枚举法可判断D ，即可得解. 【详解】对于A ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有44256=种放法，故A 错误；对于B ，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有()2242118C A ⋅+=种放法，故B 正确；对于C ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有112314323422144C C C A C A ⋅⋅⋅⋅=种放法，故C 正确；对于D ，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若()2,1,4,3代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：()2,1,4,3，()4,1,2,3，()3,1,4,2，()2,4,1,3，()3,4,1,2，()4,3,1,2，()2,3,4,1，()3,4,2,1，()4,3,2,1，共9种放法，故D 正确.10．（多选题）（2021·苏州市第三中学校高二月考）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是A ．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；B ．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法； 【答案】ABC 【分析】选项A ，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项B ，先分堆再分配. 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲､乙､丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项C ，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项D ，先分堆再分配. 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 【详解】对A ，先从6本书中分给甲2本，有26C 种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有24C 种方法；最后的2本书给丙，有22C 种方法.所以不同的分配方法有22264290C C C =种，故A 正确；对B ，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有46C 种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有436390C A =种，故B 正确； 对C ，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有2264C C 种方法；其余2本分给丙丁，有22A 种方法.所以不同的分配方法有222642180C C A =种，故C 正确；对D ，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有221164212222C C C C A A ⋅种方法；再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有221146421422221080C C C C A A A ⋅⋅=种，故D 错误. 11．（多选题）（2020·江苏扬州市·扬州中学高二月考）将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）. A ．11113213C C C C B ．2343C AC ．122342C C AD ．18【答案】BC 【分析】根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法：（1）分2步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；（2）分2步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法： （1）分2步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，有24C 种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有33A 种放法；则没有空盒的放法有2343C A 种； （2）分2步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有1234C C 种情况；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有22A 种放法；则没有空盒的放法有122342C C A 种； 12．（多选题）（2020·全国高三专题练习）下列说法正确的为（ ）A ．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有222642C C C 种不同的分法；B ．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有123653C C C 种不同的分法；C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．【答案】ACD【分析】利用均匀编号分组法可判断A；先将6本不同的书分成三组，然后甲、乙、丙三人任取一组即可判断B；利用挡板法可判断C；分类讨论可判断D.【详解】对于A，6本不同的书中，先取2本给甲，再从剩余的4本中取2本给乙，最后2本给丙，共有222642C C C种不同的分法，故A正确；对于B，6本不同的书中，先取1本作为一组，再从剩余的5本中取2作为一组，最后3本2作为一组，共有12365360C C C=种，再将3分给甲、乙、丙三人，共有12336533360C C C A=种，故B不正确；对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法2510C=种；对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3种情况讨论：①一人4本，其他两人各1本，共有4113621390C C C A=；②一人1本，一人2本，一人3本，共有12336533360C C C A=种，③每人2本，共有22264290C C C=，故共有9036090540++=种.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2019·浙江宁波市·余姚中学高二期中）北京《财富》全球论坛期间，某高校有8名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班至少2人，每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数为______.【答案】2940【分析】根据题意，有两类分配方案，第一类：2，2，4三组，第二类：2，3，3三组，分别求得排班种数，再利用分类计数原理求解.【详解】由8名志愿者，根据早、中、晚三班，且每班至少2人，分为3组.第一类：2，2，4三组，共有22438643221680 C C CAA⋅=种，第二类：2，3，3三组，共有23338633221260C C CAA⋅=种，所以每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数168012602940+=.14．（2020·河北邢台市·高二期末）十二生肖，又叫属相，是与十二地支相配以人出生年份的十二种动物，包括鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪，十二生肖的起源与动物崇拜有关．据湖北云梦睡虎地和甘肃天水放马滩出土的秦简可知，先秦时期即有比较完整的生肖系统存在．现有6名学生的属相均是龙、蛇、马中的一个，若每个属相至少有一人，则不同的情况共有_______种．【答案】540 【分析】先把6名学生分组，有3种分组方式，再就不同的分组方式有序分配3种属相，从而得到所求的不同情况的总数. 【详解】首先将6名学生分成3组，3组的人数为2，2，2或1，2，3或1，1，4，这样无序分组的方法有222114123642654653323290C C C C C C C C C A A ++=种，然后将3个小组与3个属相对应，又有33A 种，则共有3390540A ⨯=种不同的情况．15．（2020·辽宁沈阳市·高二期末）2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物、英语5门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则不同的安排方法共有：_________种． 【答案】150 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5门学科分为3组，②将分好的三组分配给甲、乙、丙3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5门学科分为3组，若分为3、1、1的三组，有3510C =种分组分法，若分为2、2、1的三组，有22532215C C A =种分组分法，则有101525+=种分组分法；②将分好的三组分配给甲、乙、丙3名志愿者，有336A =种情况，则有256150⨯=种安排分法；16．（2021·哈尔滨市·黑龙江实验中学高三月考）2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）． 【答案】180 【分析】分为两类：第一类是一组3人，另一组5人，第二类是两组均为4人，然后根据人数分组，再进行排列即可.【详解】分配的方案有两类，第一类：一组3人，另一组5人，有()3282C 1A 110-⋅=种；第二类：两组均为4人，有44284252C C A 70A ⋅=种， 所以共有11070180N =+=种不同的分配方案． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（2020·湖北武汉市·江夏一中）江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完). （1）共有多少种分配方案？（2）6名学生确定后，分成A 、B 、C 、D 四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？（3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.【答案】（1）210；（2）1560；（3）729. 【分析】（1）将问题转化为不定方程12345=6x x x x x ++++的非负整数解问题，再利用隔板原理进行求解； （2）先把6名学生按人数分成没有区别的4组，有2类：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2人.再把每一类中的人数分到A 、B 、C 、D 四个小组即可；（3）每名学生有3种进站方法，分步乘法计数原理即得6人进站的不同方案种数. 【详解】（1）由题意得：问题转化为不定方程12345=6x x x x x ++++的非负整数解的个数，∴方程又等价于不定方程12345=11x x x x x ++++的正整数解的个数，利用隔板原理得：方程正整数解的个数为410210C =，∴共有210种分配方案.（2））先把6名学生按人数分成没有区别的4组，有2类：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2人，再把每一类中的人数分到A 、B 、C 、D 四个小组.第一种分法：1人，1人，1人，3人，有3464480C A =种方法；第二种分法：1人，1人，2人，2人，有221146421422221080C C C C A A A ⨯⨯=种方法.共有48010801560+=种方法.（3）每名学生有3种进站方法，分步乘法计数原理得6人进站有63729=种不同的方案.18．（2019·浙江省春晖中学高二月考）现有编号为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 的7个不同的小球． （1）若将这些小球排成一排，且要求A ，B ，C 三个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A 球排在中间，且B ，C ，D 各不相邻，则有多少种不同的排法？ （3）若将这些小球排成一排，要求A ，B ，C ，D 四个球按从左到右排（可以相邻也可以不相邻），则有多少种不同的排法？（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？【答案】（1）720；（2）216；（3）210；（4）1050. 【分析】（1）把A ，B ，C 三个球看成一个整体，利用捆绑法可求所有的排法总数；（2）先排好A ，再就B ，C ，D 中哪些在A 的左侧，哪些在A 的右侧分类讨论后可求不同的排法总数； （3）从7个位置中选出4个位置给A ，B ，C ，D ，再排余下元素，从而可得不同的排法总数； （4）三个盒子所放的球数分别为1,3,3或2,2,3，就两类情形分别计数后可得不同的排法总数. 【详解】（1）把A ，B ，C 三个球看成一个整体，则不同的排法总数为3535720A A =种.（2）A 在正中间，所以A 的排法只有1种，因为B ，C ，D 互不相邻，故B ，C ，D 三个球不可能在同在A 的左侧或右侧，若B ，C ，D 有1个在A 的左侧，2个在A 的右侧，则不同的排法有22133233108C A C A =， 同理可得若B ，C ，D 有2个在A 的左侧，2个在A 的右侧，不同的排法有22133233108C A C A =，故所求的不同排法总数为1216216⨯=种.（3）从7个位置中选出4个位置给A ，B ，C ，D ，且A ，B ，C ，D 四个球按从左到右排，共有排法47C 种，再排余下元素，共有33A 种，故不同排法总数为4373356210C A =⨯=种.（4）三个盒子所放的球数分别为1,3,3或2,2,3，若三个盒子所放的球数分别为1,3,3，则不同排法共有331126373222420C C C C A A ⨯=，若三个盒子所放的球数分别为2,2,3，则不同排法共有223124273222630C C C C A A ⨯=， 故不同的排法总数为1050.【点睛】排列组合中，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，如果要求特殊元素放置在特殊位置，此时用特殊元素、特殊位置优先考虑法，对于平均分配问题，可以先平均分组，然后再分配，这样可以避免重复计数. 19．（2019·河北唐山市·高二期中）4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?【答案】（1）144（2）144（3）84【解析】（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有12124432144C C C A ⨯=（种）（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．（3）确定2 个空盒有24C 种方法．4个球放进2个盒子可分成()()3,12,2、两类，第一类有序不均匀分组有312412C C A 种方法；第二类有序均匀分组有22242222C C A A ⋅种方法，故共有222312242441222284C C C C C A A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭（种）放法． 考点：排列组合问题【点睛】本题涉及均匀分组和不均匀分组，第四步4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．要求有2个空盒，先选择两个空盒有24C 种方法．4个球放进其余的2个盒子可分成()()3,12,2、两类，这时4个球分两组，为不均匀分组有种分组方法，为均匀分组有种分组方法，最后把两组球放入两个不同的盒子有种放法.体现了先组后排原则，这是排列组合常见考题，也是易错题. 20．（2019·江西景德镇市·景德镇一中高二期中）一次游戏有10个人参加，现将这10人分为5组，每组两人．（1）若任意两人可分为一组，求这样的分组方式有多少种？（2）若这10人中有5名男生和5名女生，要求各组人员不能为同性，求这样的分组方式有多少种？（3）若这10人恰为5对夫妻，任意两人均可分为一组，问分组后恰有一对夫妻在同组的概率是多少？【答案】（1）945；（2）120种；（3）45.【解析】【分析】（1）将10人平均分为5组共有2222210864255C C C C CA，计算即可;（2）将5名男生视为5个不同的小盒，5名女生视为5个不同的小球，问题转化为将5个小球装入5个不同的盒子，每盒装一个球的不同装法种数；（3）先任选一对夫妻有15C种，再将4个丈夫视为A，B，C，D四个小球，4个妻子分别视为a，b，c，d 四个盒子，则4个小球装入4个不同的盒子，每盒一个球，且与自己的字母不同，利用列举法得到结果即可.【详解】（1）将10人平均分为5组共有22222 10864255C C C C CA=945;（2）将5名男生视为5个不同的小盒，5名女生视为5个不同的小球，问题转化为将5个小球装入5个不同的盒子，每盒一个球，共有55120A 种；（3）先任选一对夫妻有15C种，再将剩余4对夫妻分组，再将4个丈夫视为A，B，C，D四个小球，4个妻子分别视为a，b，c，d四个盒子，则4个小球装入4个不同的盒子，每盒一个球，且与自己的字母不同，有BADC，CADB，DABC，BDAC，CDAB，DCAB，BCDA，DCBA，CDBA，共有9种方法，故不同的分组方法有15C×9＝45.21．（2020·江苏淮安市·淮阴中学高二期末）现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球．（1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答） （2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3，共有多少种分堆的方法?（请用数字作答） （3）现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）【答案】（1）144种；（2）70种；（3）2435. 【分析】（1）用捆绑法求解；（2）运用不平均分组问题的方法求解；（3）针对取出2个红球，1个不同的白球，1个的黑球；1个红球，2个白球，1个黑球； 1个红球，1个白球，2个黑球三种情况讨论.【详解】（1）7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有33223322144A A A A =种方法；（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3，共有13762270C C A =种分法； （3）当取出2个红球，1个的白球，1个的黑球时，211223147C C C p C =；当取出1个红球，2个白球，1个黑球时，121223247C C C p C =；当取出1个红球，1个白球，2个黑球时，112223347C C C p C =； 211121112223223223123472435C C C C C C C C C p p p p C ++=++==. 故各种颜色的球都必须取到的概率为2435． 22．（2019·湖北高二期中）现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【答案】（1）6种；（2）243种；（3）150种.【分析】（1）用挡板法求解；（2）每本书都有三种分配方法，求幂便可得到答案；（3）用分组分配问题的求解方法求解，①将5本书分成3组，②将分好的三组全排列，对应3名学生，由分步计数原理计算可得答案.【详解】（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有246C =种情况，即有6种不同的分法； （2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法，则5本不同的书有5333333243⨯⨯⨯⨯==种；（3）根据题意，分2步进行分析：①将5本书分成3组，若分成1、1、3的三组，有31522210C C A =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法，则有101525+=种分组方法； ②将分好的三组全排列，对应3名学生，有336A =种情况，则有256150⨯=种分法.。
排列组合中的分组分配问题例解
排列组合中的分组分配问题例解在排列、组合的学习中分组分配问题经常遇到，本文谈一谈几种常见问题。
实例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法(1) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2) 平均分成三堆；(3) 分成三堆，一堆四本，另两堆各一本； (4) 分成四堆，两堆各一本，另两堆各两本；(5) 分给甲、乙、丙三个人 ，甲得一本，乙得两本，丙得三本；(6) 分给甲、乙、丙三个人 ，一人得一本，一人得两本，一人得三本； (7) 平均分给甲、乙、丙三个人；(8) 分给甲、乙、丙三个人 ，甲得四本，乙、丙各得一本； (9) 分给甲、乙、丙三个人 ，一人得四本，另两人各得一本； (10) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ，甲、乙各得一本，丙、丁各得两本； (11) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ，两人各得一本，另两人各得两本；分析：在排列、组合中分组分配问题一般按照“先分组再分配”的原则，但不排除其他途径。
在分组时要区分是均分还是非均分或部分均分，在分配时要区分是定向分配还是非定向分配。
（1）非均匀分组,分步产生每一组不会造成重复:123653C C C(2) 均匀分组,分步产生每一组会造成重复,应消去步骤造成的重复计数：22264233C C C A（3）部分均匀分组，应消去均匀分组时步骤上造成的重复计数：41162122C C C A（4）同（3）：112265422222C C C C A A（5）非均匀定向分配，等同于非均匀分组：123653C C C 亦可理解为甲、乙、丙依次选择。
（6）非均匀不定向分配，分组后再分配：12336533C C C A （7）均匀分配，分组后再分配：2223642333C C C A A 亦可理解为甲、乙、丙依次选择:222642C C C（8）部分非均匀定向分配，均匀部分要分配：4112621222C C C A A 亦可理解为甲、乙、丙依次选择:411621 C C C(9)部分非均匀不定向分配，分组后再分配：4113 621232C C CA A（10）同（8）：:1122226542222222C C C CA AA A亦可理解为甲、乙、丙依次选择:11226542 C C C C（11）同（9）11224 654222422C C C CA A A小结：（1）分组时应注意消去均匀部分的重复计数。
分组与分配问题(整理他人所得)
分组与分配问题（整理他人所得）一、分组与分配的概念将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。
分组问题有完全均分、全非均分和部分均分三种情况。
将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题。
分配问题有分为定向分配和不定向分配两种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。
对于后者必须先分组后排列。
二、分组问题例1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组2本（均分三堆）；(2)一组1本，一组2本，一组3本；(3)一组4本，另外两组各1本；分析：(1) 每组2本（均分三堆）；分组与顺序无关，是组合问题。
可分三步，应是222642C C C ⨯⨯种方法，但是这里出现了重复。
不妨把6本不同的书标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记这种分法为（AB ，CD ，EF ），那么222642C C C ⨯⨯种分法中包含着（AB ，EF ，CD ），（CD ，AB ，EF ），（CD ，EF ，AB ），（EF ，CD ，AB ），（EF ，AB ，CD ），共33A 种情况，而这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确的分组数是：22264233C C C A ⨯⨯=15(种)。
(2) 一组1本，一组2本，一组3本；分组方法是123653C C C ⨯⨯，还要不要除以33A 呢？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123653C C C ⨯⨯=60(种) 分法。
或231641C C C ⨯⨯或312632C C C ⨯⨯或321631C C C ⨯⨯或213643C C C ⨯⨯(3) 一组4本，另外两组各1本；分组方法是411621C C C ⨯⨯，有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
10.2排列组合中的分组分配问题
（2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列
C
132C
3 9
C62
C 42 C22
A
3 3
A
2 2
A
5 5
四：部分均分无分配对象的问题 例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有 多少种分法
C64C21C11 A22
五、非均分组无分配对象问题
（1）每人各得两本；
（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（3）一人一本，一人两本，一人三本；
（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；
（5）一人四本，另两人各一本·
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
(2)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
(3)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
A
3 3
(4)
C
4 6
C
1 2
C
1 1
(5)
A
1 3
4!·8! 4!·4! 3!
(2)
C
122C
120C82
C
6 6
A
3 3
• 练习1：把10人平均分成两组，再从每组中 选出正、副组长各一人，共有多少种选法?
解：分两步，先分组，再分别在每一组中选正、副 组长．
分组有
C150C55 A22
种方法，
每组中选正、副组长都有 A52 种方法．
由分步计数原理共有
C150C55 A22
A52
A52
50400
种．
二：均分有分配对象的问题
排列组合中的分组分配问题完整
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和 分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
C61C52C33 A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
排列组合题型全归纳 专题14 分组与分配问题(原卷版)
专题14分组与分配问题【方法技巧与总结】分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成n堆（组）必须除以n n A；A.如果有m堆（组）元素个数相同，必须除以m m【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；例2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（）A．240种B．360种C．450种D．540种例3．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录人､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（）A．450种B．72种C．90种D．360种例4．（2023·陕西铜川·校考一模）将4名新招聘的工人分配到A，B两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（）A．36种B．14种C．22种D．8种例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（）A．540种B．300种C．210种D．150种例6．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有（）A．42种B．30种C．24种D．18种例7．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种例8．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（）A．36B．81C．120D．180例9．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法A．335B．100C．360D．340例10．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（）A．1880种B．2940种C．3740种D．5640种例11．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（）A．96种B．124种C．150种D．130种例12．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）A．540种B．180种C．360种D．630种例13．（2023·全国·高三专题练习）佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（）A．240B．180C．690D．150A B C三个不同的小区参加新冠疫情例14．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A．28种B．32种C．36种D．42种例15．（2023·全国·高三专题练习）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（）A．72B．108C．216D．432例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有15种分法；B．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；例17．（多选题）（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）九本书籍分给三位同学，下列说法正确的是（）A．九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法B．九本书内容都不一样，分给三位同学有9319683=种不同的分法C．九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法D．九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有63729=种不同的分法例18．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法．例19．（2023·高三课时练习）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种.例20．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）8支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确定第一轮的4支胜者队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有___________种.例21．（2023·全国·高三专题练习）现有6位教师要带4个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有______种.例22．（2023·高二课时练习）把5名志愿者分到3所学校去服务，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法有______种．例23．（2023·全国·高三专题练习）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有__种．例24．（2023·全国·高三专题练习）从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有______种不同的取法．例25．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．例26．（2023·全国·高三专题练习）A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和B不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.例27．（2023·全国·高三专题练习）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有__________种．例28．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．例29．（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.例30．（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．例31．（2023·全国·高三专题练习）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：(1)每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？(2)恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？(3)每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？(4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？例32．（2023·全国·高二专题练习）设有编号为1、2、3、4、5的5个球和编号为1、2、3、4、5的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内．(1)只有1个盒子空着，共有多少种投放方法？(2)没有1个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(3)每个盒子内投放1球，并且至少有2个球的编号与盒子编号相同，有多少种投放方法？。
【高中数学】分组分配问题 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册)
巩固练习
1. 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种不 同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
解： （1）C62C42C22 （2）C61C52C33 （3）C61C52C33 A33
同的分法？
（2）方法：先分再排法，分成的组数看成元素的个数。
分的五组看成是五个元素在五个位置上作全排列
解：
(1)
C122C120C82C66 A33
(2)
C132C93C62C42C22 A33 A22
A55
.
3.不平均分组问题
例3 现有6本不同的书. (1) 按1:2:3分成三堆有多少种不同的分法？ (2) 按1:2:3分给三个不同人有多少种不同的分法？
例1 现有12本不同的书. （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？
（2）按4∶4∶4平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？
（2）方法：先分再排法，分成的组数看成元素的个数。
均分的三组看成是三个元素在三个位置上作全排列
解：
(1)
C142C84C44 A33
；
(2)
C142C84C44 A33
1.平均分组问题
问题1 把abcd分成平均两组，共有3_____种分法.
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
这两个在分组时只能算一个，故分组方法有
C42C22 A22
3 (种).
变总式结：把平6均人分分成成的平每均一三组组，，不共管有它__1们_5_的_种顺分序法如.C何62C，A4332C都22是一15种(种情).况，所以分 组后要除以 Amm . 其中m表示组数。
分组与分配问题(整理他人所得)(最新整理)
由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上
可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再
乘以 A33 即可。（ A33 可理解为三人分别有 3 种、2 种、1 种选择法）
（１）
C62
C42 A33
C22
A33
90
(种)
（２） C61 C52 C33 A33 360 (种)，或 C62 C43 C11 A33 或 C63 C31 C22 A33
有 C51 种；第二类：3 本相同的书分给 2 人，可从 5 人中选 2 人，有 C52 A22 种（先选 人，后分配）；第三类：3 本相同的书分给 3 人，可从 5 人中选 3 人，有 C53 种；共有 C51 C52 A22 C53 35 。
最后，相同元素分配给相同对象的问题很简单，这里不再赘述。如 5 个相同 的小球放入 2 个相同的盒子里，有 0+5，1+4，2+3 三种分法。
7
。
根据分步计数原理共有
C41
C31 C22 A22
A43
144
例 6、有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担，从 10
人中 4 人承担这三项任务，不同的选派法有多少种？
分析：问题可转化为先分组后分配。
4
先分组：第一步从 10 人中选 4 人，选法有 C140 ，第二步分为三组，其中两组
3
或 C63 C32 C11 A33
（３）
C64
C21 A22
C11
A33
90 (种)，或
C61
C51 C44 A22
A33
或
C61
C54 A22
6、排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之 分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？① 分成3组，分别为1人、2人、4人；② 选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C ；种，再由剩下的6人选出2人，有C ；种，最后由剩下的4人为一 组，有C 4种。
由分步计数原理得分组方法共有C 7C 6C 4 105 （种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有C ；种，再由剩下的5人中选出3人，有C 532 3种，分组方法共有C 7C 5 210 （种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步 计数原理得分组方法共有210 （种）。
、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出 6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？ 解：可选分同步。
先选3人为一组，有C ；种；再选3人为另一组，有C ：种。
又有2组都是3人，每 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成 4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？70 （种）。
也可先选后分。
不同的分法共有C6c ；c ； C 7T70 （种）。
解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有G：、C；、C（2、C4种，又有3堆都是2个c2c2c2元素，每A种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有10 3 6 C： 3150 （种）。
A【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m个组的元素是均匀的，都有A：种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法? 解：分组方法共有C；C；A| 420 （种）。
组合3种方法和分组分配问题
答：
4 5 3 (1) C 12 C9 C5 5 5 2 (3) C 12 C 10 C 5
2 5 5 (4) C12 C10C5 2 A2
3 A3
4 4 3 4 2 2 4 一、 2人按钳工分类：C5 C6 + C1 C C C ； 2 5 5 2C5 C4 185
二、 2人按车工分类：C C &上共10名演员,其中8人能 能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人 唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?
2 2 2 1 1 4 C6 C4 C2 3 C 1 2 3 3 3 6C5C4 9 i )2 、 2 、 2 : A ； ii ） 1 、 2 、 3: C C C A ; iii )1 、 1 、 4 : A 3 6 5 3 3 3. 3 2 A3 A2
练习：12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条件，
4 11
（7 6 5 4 3 2 1） （ 4 3 2 1） 280
（ 2）C
C .
7 11
2 2 3 3
2
2
5
5
2
2
2
2
3
3
5
5
3、成双成对问题先选双再选只 10双鞋混装在一只袋子中，任取4只 （1）4只都没有成双 （2）4只恰好成双 （3）恰好2只成双
引例1 把abcd分成平均两组 有_____多少种分法？ 共 2 2 C4 C2 3 2 cd ab A2 bd ac ad bc 这两个在分组时只能算一个 bc ad bd ac cd ab
2023年高考数学复习---排列组合分组问题、分配问题典型例题讲解
2023年高考数学复习---排列组合分组问题、分配问题典型例题讲解分组问题【典型例题】例1．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（ ）A ．91B ．101C ．111D ．121【答案】B 【解析】（1）若编号为1222310++++=，则有25220C ⨯=种，（2）若编号为1123310++++=，则有215330C C ⨯=种，（3）若编号为1122410++++=，则有225330C C ⨯=种，（4）若编号为1113410++++=，则有315220C C ⨯=种，（5）若编号为2222210++++=，则有1种，所以不同的指派方法种数为203030201101++++=种．故选：B ．例2．已知有6本不同的书．（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？【解析】（1）6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为2226423315 C C C A =． （2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同的分堆方法的种数为12365360.C C C =分配问题【典型例题】例1．（2022·浙江·模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了,,A B C 三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加A 项目，乙不能参加B 、C 项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案．【答案】10【解析】由题意可得乙一定参加A 项目，若A 项目只有一个人时，即为乙，则先将甲、丙、丁分为两组，有23C 种， 再将两组分配到,B C 两个项目，有22A 种， 则有2232C A 6⋅=种不同的志愿者选拔方案，若A 项目有2人时，又甲不能参加A 项目，则只能从丙、丁中选1人和乙组队到A 项目，有12C 种，再将剩下的2人分配到,B C 两个项目，有22A 种， 则有1222C A 4⋅=种不同的志愿者选拔方案，综上，共有6410+=种不同的志愿者选拔方案．故答案为：10．例2．（2022·上海长宁·统考一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法【答案】180【解析】第一步，先从6人中任选2人承担任务甲，有26C 种选法，第二步，再从剩余4人中任选1人承担任务乙，有14C 种选法，第三步，再从3人中任选1人承担任务丙，有13C 种选法， 所以共有211643C C C 180=种选法．故答案为： 180．例3．（2022·四川南充·高三统考期中）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法．【答案】150【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5位学生分为3组，若有两组2人，一组1人，有225322C C 15A =种分组方法， 若两组1人，一组3人，有35C 10=种分组方法，则有15＋10＝25种分组方法，②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有33A 6=种情况，则有25×6＝150种安排方法，故答案为：150．。
排列组合中的分组与分配问题
排列组合中的分组分配问题一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是624222C C C=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C CA=15(种)。
(2)先分组，方法是615233C C C，那么还要不要除以33A？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C=60(种) 分法。
(3)分组方法是642111C C C=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
所以实际分法是41162122C C CA=15(种)。
结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp ，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。
6排列组合问题之分组分配问题两个五个方面
6排列组合问题之分组分配问题两个五个方面排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有2 6C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C CC =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ?=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ?=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
分组分配问题例题
分组分配问题例题《我的校园奇妙冒险之旅》我呀，是个特别爱探索的小学生。
在我们的校园里，就像藏着一个超级大宝藏，每天都有新奇好玩的事儿等着我去发现呢。
咱们学校有个小花园，那可是个神秘又迷人的地方。
春天的时候，花朵们就像一群爱美的小姑娘，争着抢着展示自己最漂亮的衣裳。
有红得像火一样的玫瑰，粉嘟嘟像小脸蛋的桃花，还有那白得像雪的梨花。
我和我的小伙伴们常常跑到小花园里玩耍。
有一次，我和我的好朋友小明一起去小花园找小昆虫。
小明可机灵了，眼睛就像小雷达一样，一下子就能发现那些小昆虫的藏身之处。
我们刚走进小花园，就听到一阵“嗡嗡”的声音。
我兴奋地对小明说：“你听，肯定有好多小蜜蜂在采蜜呢。
”小明说：“那我们快去找找看。
”我们小心翼翼地在花丛里找呀找，突然，小明小声地说：“看，那儿有只小蜜蜂，它的屁股上全是花粉，就像背了个小包袱似的。
”我好奇地凑过去看，那只小蜜蜂可真忙呀，在一朵花上停一会儿，又飞到另一朵花上。
我就想啊，小蜜蜂这么勤劳，我们是不是也应该像它一样呢？要是我们在学习上也这么勤劳，那肯定能学到好多好多知识呢。
再说说我们的教室吧。
教室就像一个小小的魔法世界。
老师呢，就像一个大魔法师。
她拿着粉笔在黑板上写写画画的时候，就好像在施展魔法，那些原本枯燥的知识，一下子就变得有趣起来。
有一次上语文课，老师在讲古诗。
她一边念着古诗，一边用手比划着，就像在给我们描述一幅美丽的画卷。
“床前明月光，疑是地上霜。
”老师念到这句的时候，我闭上眼睛，仿佛看到了一个人在夜晚，站在床前，望着那明亮的月光，那月光就像一层白白的霜。
我就想，古代的诗人可真厉害呀，能把这么普通的场景写得这么美。
我的同桌小红可有趣了。
她是个特别爱幻想的女孩。
有一天，她跟我说：“你说我们教室的窗户要是能变成任意门就好了，这样我们想去哪儿就去哪儿。
”我笑着说：“那可不得了，我们可能上课上到一半就跑到外太空去了。
”小红也笑了，说：“那也挺好玩的呀，我们可以在太空里看星星，看地球呢。
6、排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C；种，再由剩下的6人选出2人，有C：种，最后由剩下的4人为一组，有C：种。
由分步计数原理得分组方法共有C；C：C： =105（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有©种，再由剩下的5人中选出3人，有C；种，分组方法共有C；C：=210（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有C；C；C；=210 （种二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。
先选3人为一组，有E种；再选3人为另一组，有C：种。
又有2 组都是3人，每Af种分法只能算一种，所以不同的分法共有亠L = 70 （种）。
C3C3也可先选后分。
不同的分法共有C；・-4^ = 70 （种）。
A?㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有C：、C：、C；、C；种，又有3堆都C1 c2c2是2个元素,每&种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有|（）^ 6= 3150 （种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有加个组的元素是均匀的，都有A：；种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方法共有C；C；A；=420 （种）。
大招3分组分配问题
①将原本没有顺序的 n 个元素，变成一个有顺序的 n 个元素，需要乘 Ann ； ②反之将原本有顺序的 n 个元素，变成一个没有顺序的 n 个元素，需要除以 Ann ．
3．如何获得元素的主体间的顺序：
①若主体间获得元素个数不同，则主体之间有差异，因此主体之间是有顺序的； ②若主体间获得元素个数相同，则主体之间没有差异，因此主体之间是没有顺序的．
大招 3 分组分配问题
将不同元素分组，分组后根据需要分配的问题我们称为分组分配问题．
1．分组分配问题的基本模型
①无主体分组：如将 4 本不同的书分成两堆，每堆 2 本或将 4 本不同的书分成两堆， 一堆 3 本、一堆 1 本．（只是进行分组，不分配） ②有主体等分配：如将 4 本不同的书分给甲、乙两人，每人 2 本．（分组后分配，存在 元素数量相同的组） ③有主体不等分配：如将 4 本不同的书分给甲、乙两人，一人 3 本、一人 1 本．（分组 后分配，每组元素数量不同）
{#{QQABB44twmiQ8hzwia4aQ2dwyQkR0JTwrg5OEQYG6AVJf1lADIA=}#}
2 本，作为一堆，有 C24 种取法，最后从余下的 4 本书中取 2 本作为一堆，有 C22 种取法，
65 43
所以不同的分堆方法的种数为
C62C24C22
=
× 21
×1 21 =15 .
【典例 1】已知有 6 本不同的书.分成三堆，每堆 2 本，有________种不同的分堆方法？ 【大招指引】先利用组合知识和分步乘法计数原理得到有区别的三堆，再除以 A33 . 【解析】先从 6 本书中任取 2 本，作为一堆，有 C62 种取法，再从余下的 4 本书中任取
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