最短路径单源最短路径问题单源最短路径问题
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调用①
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§7.6.1 单源最短路径问题
观察
10 0
1 30
50 10
2 20
100
4 60 3
源点 中间顶点 终点
0
1
0
3
03
2
0 3,2
4
长度
10 30 50 60
上表是按路径长度递增序产生的从源点到其余顶点的最短路径
0到4的路径：<0,4>, <0,3,4>, <0,1,2,4>, <0,3,2,4> 长度： 100， 90， 70， 60
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§7.6.1 单源最短路径问题
如何扩充红点集？
Th.7.6.1 若k是白点集中估计距离最小的顶点，则k的估计距离就是最短距 离。即：若D[k]=min{ D[i]：∀i∈V-S }，则D[k]=SD[k] Pf（反证法） 设D[k]不是k的最短距离，则必存在一条路径P：s p k，其长度
Length(p)<D[k] (式1)
算法思想- Dijkstra（1972图灵奖得主） 基于上述观察 初始化：仅已知源s的最短距离SD(s)=0，故红点集S={s}; 扩充红点集：算法的每一步均是在当前白点集中选一最短距离最小的白点 来扩充红点集，以保证算法是按长度增序来产生各顶点的最短路径; 结束：当前白点集空或仅剩下最短距离为∞的白点为止。注：若s到某白 点的路径不存在，可假设该白点的最短路径是一条长度为∞的虚拟路径。
7
§7.6.1 单源最短路径问题
如何构造最优解
因为D向量只记录了最优解的值，但不能得到最优解。因 此，要记录最优解则须引入附加信息。
因为最优解是最短路径树，故只需增加一个向量P[0..n-1], 用P[i]记录顶点的双亲，由双亲的唯一性知，顶点i的最短路 径可从P[i]反复上溯至根（源点）即可求得最优解。
Boolean S[n]；//S是红点集。S[i]为真表示j为红点，否则为白点 for ( i=0; i<n; i++) { //初始化
S[i]=FALSE; D[i]=G[s][i]; //置初始的估计距离 if ( D[i]<Infinity ) P[i]=s; //s是i的前驱(双亲) else P[i]=-1; // i无前驱，注意P[s]亦无前驱 } S[s]=TRUE; D[s]=0；//红点集仅有源点s
Fra Baidu bibliotek 算法实现
G[i][j]=
∞
if <i,j>不是边
w(<i,j>) otherwise
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§7.6.1 单源最短路径问题
void Dijkstra ( AdjMatrix G, Distance D, Path P, int s ){
//0≤s ≤n-1,若<i,j>不是边，则G[i][j]=Infinity
由式1,2得：D[k]>length(P)≥D[x]，这与k是当前白点集中估计距离最小的顶 点矛盾！ k是最短距离最小的白点吗？ 定理保证了k加入红点集的正确性
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§7.6.1 单源最短路径问题
如何调整白点集中白点的估计距离？ 由于新红点k可能导致剩余白点的估计距离变小，使之离源点更 近，故需调整。 设∀j∈V-S，若D[j]由于k加入红点集而变小，则新路径P必是 s p1 k p2 j，且P1中只有红点，P2必是边<k,j>，即： Length(p)= D[k] + w<k,j>. 证明：略 调整方法 若length(P)<D[j]，则用length(P)来修正D[j]。
¾ 规律：当按长度增序生成从源s到其它顶点的最短路径时，则当前正 在生成的最短路径上除终点外，其余顶点的最短路径均已生成
¾ 例子：当求0到2的最短路径时，则该路径<0,3,2>上顶点0,3的最短路
径在此前已生成
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§7.6.1 单源最短路径问题
约定 从源s到终点v的最短路径简称为v的最短路径，SP(v) s到v的最短路径长度简称为v的最短距离，SD(v) 红点集S：最短距离已确定的顶点集合 白点集V-S：最短距离尚未确定的顶点集合
3
§7.6.1 单源最短路径问题
如何扩充红点集？ ∵白点k的最短路径上除终点外，其余顶点的最短路径均已生成，故它们均 为红点 ∴设置向量D[0..n-1]，对每一个白点v∈V-S，用D[v]记录从源点s到达v， 且除v外中间不经过任何白点的“最短”路径长度。初始时每个白点v的 D[v]值是边<s,v>上的权。 Note：从s到v的中间不经过其他白点的路径可能不止1条，但只需将其中最 短的那条的长度记录在D[v]中。 D[v]=SD[v]？即D[v]是v最终的最短距离吗？不一定，因为s到v可能存在 包含其它白点作为中间点的更短路径。 D[v]只是v当前估计的最短距离（简称估计距离），即：D[v]≥SD[v] 如何在当前白点集中选一最短距离最小的白点k来扩充红点集？
由D[k]定义知，P至少包含1个白点作为中间点，不妨设x是P上第1个白点，则P 可分解为： s p1 x， x p2 k。其中P1中仅有x为白点，由D[x]定义知 length[P1]≥D[x]，又因权为非负，故length[P2]≥0，所以
length(P)=length(P1)+length(P2)≥ D[x] (式2)
2 20
100
4 60 3
最短距离：红色 估计距离：白色 依次求出的最短距离为： 1) D[0]=0 2) D[1]=10，调整顶点2 3) D[3]=30，调整顶点2，4 4) D[2]=50，调整顶点4 5) D[4]=60
¾ 最短路径树：各顶点的最短路径（实线）总是一棵以源点为根的树，称之
为最短路径树。
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1
§7.6.1 单源最短路径问题
例子
10 10
1
0
0 100 100
30 4
∞2
3 30
10 10
1
50
60 2
0 0 100
100 30 4
3 30
10 10
1
50 2
0 0
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4 90
60
20 3 30
0
10 0
10 1
30
10
4 60
50 2 20 3 30
10 0 1 30 50 10
§7.6 最短路径
应用背景：交通咨询、导航 约定
有向图
设V＝{0,1,…,n-1}，边上的权值非负（长度） 分类
①单源最短路径：1个源点到其余顶点的最短路径 ②单目标最短路径：将各边反向，即为问题1 ③单点对间最短路径：可用①来解，但二者渐近时间相同 ④所有点对间最短路径：亦可用①来解，即每个顶点作为源点
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§7.6.1 单源最短路径问题
观察
10 0
1 30
50 10
2 20
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4 60 3
源点 中间顶点 终点
0
1
0
3
03
2
0 3,2
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长度
10 30 50 60
上表是按路径长度递增序产生的从源点到其余顶点的最短路径
0到4的路径：<0,4>, <0,3,4>, <0,1,2,4>, <0,3,2,4> 长度： 100， 90， 70， 60
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§7.6.1 单源最短路径问题
如何扩充红点集？
Th.7.6.1 若k是白点集中估计距离最小的顶点，则k的估计距离就是最短距 离。即：若D[k]=min{ D[i]：∀i∈V-S }，则D[k]=SD[k] Pf（反证法） 设D[k]不是k的最短距离，则必存在一条路径P：s p k，其长度
Length(p)<D[k] (式1)
算法思想- Dijkstra（1972图灵奖得主） 基于上述观察 初始化：仅已知源s的最短距离SD(s)=0，故红点集S={s}; 扩充红点集：算法的每一步均是在当前白点集中选一最短距离最小的白点 来扩充红点集，以保证算法是按长度增序来产生各顶点的最短路径; 结束：当前白点集空或仅剩下最短距离为∞的白点为止。注：若s到某白 点的路径不存在，可假设该白点的最短路径是一条长度为∞的虚拟路径。
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§7.6.1 单源最短路径问题
如何构造最优解
因为D向量只记录了最优解的值，但不能得到最优解。因 此，要记录最优解则须引入附加信息。
因为最优解是最短路径树，故只需增加一个向量P[0..n-1], 用P[i]记录顶点的双亲，由双亲的唯一性知，顶点i的最短路 径可从P[i]反复上溯至根（源点）即可求得最优解。
Boolean S[n]；//S是红点集。S[i]为真表示j为红点，否则为白点 for ( i=0; i<n; i++) { //初始化
S[i]=FALSE; D[i]=G[s][i]; //置初始的估计距离 if ( D[i]<Infinity ) P[i]=s; //s是i的前驱(双亲) else P[i]=-1; // i无前驱，注意P[s]亦无前驱 } S[s]=TRUE; D[s]=0；//红点集仅有源点s
Fra Baidu bibliotek 算法实现
G[i][j]=
∞
if <i,j>不是边
w(<i,j>) otherwise
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§7.6.1 单源最短路径问题
void Dijkstra ( AdjMatrix G, Distance D, Path P, int s ){
//0≤s ≤n-1,若<i,j>不是边，则G[i][j]=Infinity
由式1,2得：D[k]>length(P)≥D[x]，这与k是当前白点集中估计距离最小的顶 点矛盾！ k是最短距离最小的白点吗？ 定理保证了k加入红点集的正确性
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§7.6.1 单源最短路径问题
如何调整白点集中白点的估计距离？ 由于新红点k可能导致剩余白点的估计距离变小，使之离源点更 近，故需调整。 设∀j∈V-S，若D[j]由于k加入红点集而变小，则新路径P必是 s p1 k p2 j，且P1中只有红点，P2必是边<k,j>，即： Length(p)= D[k] + w<k,j>. 证明：略 调整方法 若length(P)<D[j]，则用length(P)来修正D[j]。
¾ 规律：当按长度增序生成从源s到其它顶点的最短路径时，则当前正 在生成的最短路径上除终点外，其余顶点的最短路径均已生成
¾ 例子：当求0到2的最短路径时，则该路径<0,3,2>上顶点0,3的最短路
径在此前已生成
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§7.6.1 单源最短路径问题
约定 从源s到终点v的最短路径简称为v的最短路径，SP(v) s到v的最短路径长度简称为v的最短距离，SD(v) 红点集S：最短距离已确定的顶点集合 白点集V-S：最短距离尚未确定的顶点集合
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§7.6.1 单源最短路径问题
如何扩充红点集？ ∵白点k的最短路径上除终点外，其余顶点的最短路径均已生成，故它们均 为红点 ∴设置向量D[0..n-1]，对每一个白点v∈V-S，用D[v]记录从源点s到达v， 且除v外中间不经过任何白点的“最短”路径长度。初始时每个白点v的 D[v]值是边<s,v>上的权。 Note：从s到v的中间不经过其他白点的路径可能不止1条，但只需将其中最 短的那条的长度记录在D[v]中。 D[v]=SD[v]？即D[v]是v最终的最短距离吗？不一定，因为s到v可能存在 包含其它白点作为中间点的更短路径。 D[v]只是v当前估计的最短距离（简称估计距离），即：D[v]≥SD[v] 如何在当前白点集中选一最短距离最小的白点k来扩充红点集？
由D[k]定义知，P至少包含1个白点作为中间点，不妨设x是P上第1个白点，则P 可分解为： s p1 x， x p2 k。其中P1中仅有x为白点，由D[x]定义知 length[P1]≥D[x]，又因权为非负，故length[P2]≥0，所以
length(P)=length(P1)+length(P2)≥ D[x] (式2)
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最短距离：红色 估计距离：白色 依次求出的最短距离为： 1) D[0]=0 2) D[1]=10，调整顶点2 3) D[3]=30，调整顶点2，4 4) D[2]=50，调整顶点4 5) D[4]=60
¾ 最短路径树：各顶点的最短路径（实线）总是一棵以源点为根的树，称之
为最短路径树。
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§7.6.1 单源最短路径问题
例子
10 10
1
0
0 100 100
30 4
∞2
3 30
10 10
1
50
60 2
0 0 100
100 30 4
3 30
10 10
1
50 2
0 0
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4 90
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20 3 30
0
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10 1
30
10
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50 2 20 3 30
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§7.6 最短路径
应用背景：交通咨询、导航 约定
有向图
设V＝{0,1,…,n-1}，边上的权值非负（长度） 分类
①单源最短路径：1个源点到其余顶点的最短路径 ②单目标最短路径：将各边反向，即为问题1 ③单点对间最短路径：可用①来解，但二者渐近时间相同 ④所有点对间最短路径：亦可用①来解，即每个顶点作为源点