(完整word版)几何证明——角平分线模型(高级)
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几何证明——角平分线模型(高级)
【经典例题】
例1、已知如图，ABC
∆中，BC AC
=，AD平分CAB
∠，若
100
=
∠C，求证：CD
AD
AB+
=。
例2、如图，已知在ABC
∆中，
60
=
∠B，ABC
∆的角平分线CE
AD,相交于点O，求证：AC
CD
AE=
+。
E
O
B C
例3、如图，BD平分ABC
∠，︒
=
∠45
ADB，BC
AE⊥，求AED
∠.
E
A
B C
D
例4、已知，如图ABC
∆中，AD为ABC
∆的角平分线，求证：BD
AC
DC
AB⋅
=
⋅．
例5、如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ，，的垂线，垂足分别为F E D ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ；如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线。
B
C
D
例6、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，︒=∠80ABC ，E 是腰CD 上一点，连接BE 、AC 、
AE ，若︒=∠60ACB ，︒=∠50EBC ，求EAC ∠的度数．
B
C
例7、已知：ABC ∆中，BC AB <，AC 的中点为M ，AC MN ⊥交ABC ∠的角平分线于N ．
（1）如图1，若︒=∠60ABC ，求证：BN BC BA 3=
+；
（2）如图2，若︒=∠120ABC ，则BA 、BC 、BN 之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．
A
C
【提升训练】
1、在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．
B
2、如图，在ABC ∆中，A ∠等于
60，BE 平分CD ABC ,∠平分ACB ∠，求证：EH DH =。
3、如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证：2AB AC AM +=。
4、已知I 是ABC ∆内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。求证：
BC
AC AB ID AI +=。
B
5、（1）如图，BD 、CE 分别是ABC ∆的外角平分线，过点A 作BD AF ⊥，CE AG ⊥，垂足分别为F 、
G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，求证：()AC BC AB FG ++=
2
1
。 （2）若BD 、CE 分别是ABC ∆的内角平分线（如图（2）），过点A 作BD AF ⊥，CE AG ⊥，垂足分别为F 、G ，连接FG ，线段FG 与ABC ∆三边有怎样的数量关系？；
（3）若BD 为ABC ∠的内角平分线，CE 为ABC ∆的外角平分线（如图（3）），过点A 作BD AF ⊥，CE AG ⊥，垂足分别为F 、G ，连接FG ，则线段FG 与ABC ∆三边又有怎样的数量关系？
（3）
(2)
(1)
6、如图，已知BD ，CE 为ABC ∆的角平分钱，F 为DE 的中点，点F 到AC ，AB ，BC 的距离分别为
a FG =，
b FH =，
c FM =，若025
221222=+-+--m m ab c c 。
（1）求a ，b ，c ，
m 的值；（2）求证：)(4
1
CD BC DG -=。
A B
C
M
7．已知如图，是斜边上的高，的平分线交于，交的平分线于， 求证：BC HF //．
8．如图，BD 、CE 为△ABC 的两条内角平分线，K 为ED 的中点，KF ⊥AB 于F ，KG ⊥AC 于G ，KH ⊥BC 于H ，求证：KF+KG=KH ．
9．已知BC AC =，︒=∠90ACB ，︒=∠15DCB ，CD BD =，AD CE ⊥
于点E ，求证：CE BC 2=．
10．（1）如图1，BP 为△ABC 的角平分线，PM ⊥AB 于M ，PN ⊥BC 于N ，AB=30，BC=23，请补全图形，并求△ABP 与△BPC 的面积的比值；
（2）如图2，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，CD 与BE 相交于点O ，判断∠AOD 与∠AOE 的数量关系，并证明；
（3）在四边形ABCD 中，已知BC=DC ，且AB≠AD ，对角线AC 平分∠BAD ，请直接写出∠B 和∠D 的数量关系．
11．（1）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，猜想：∠PAC+∠PBC=°（直接写出结论，不需证明）．
（2）已知：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD 的延长线于P，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．
12．如图1，分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN，且AM∥BN，∠MAB、∠NBA的角平分线交于点C，过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）在图1中，当直线l⊥AM时，线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想；
（3）当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图2、3两种情况下，（2）中的三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，求证：FK∥AB．