正交分解法求解合力和物体平衡问题
处理平衡问题的八种方法
处理平衡问题的八种方法一、力的合成法物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反；力的合成法是解决三力平衡问题的基本方法。
二、正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解：F x合＝0，F y合＝0。
为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则。
三、整体法与隔离法整体法是把两个或两个以上物体组成的系统作为一个整体来研究的分析方法；当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时，一般可采用整体法。
隔离法是将所确定的研究对象从周围物体(或连接体)系统中隔离出来实行分析的方法。
研究系统(或连接体)内某个物体的受力和运动情况时，通常可采用隔离法。
【典例1】如下图，有一直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略，不何伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图1所示，现将P环向左移一小段距离，两环将再达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F N和细绳拉力F T的变化情况是( )A．F N不变，F T变大 B．F N不变，F T变小C．F N变大，F T变大 D．F N变大，F T变小【解析】采取先整体后隔离的方法。
以P、Q、绳为整体研究对象，受重力、AO给的向上的弹力、OB给的水平向左的弹力、AO给的向右的静摩擦力，由整体处于平衡状态知AO对P的向右的静摩擦力与OB对Q的水平向左弹力大小相等；AO给P的竖直向上的弹力与整体重力大小相等，当P环左移一段距离后，整体重力不变；AO对P竖直向上的弹力也不变；再以Q环为隔离研究对象，受力如下图，Q环所受重力G、OB对Q的弹力F、绳的拉力F T处于平衡，P环向左移动一小段距离的同时F T移至F′T位置，仍能平衡，即F T竖直分量与G大小相等，F T应变小，B准确。
物体的平衡与正交分解
物体的平衡与正交分解一、物体的平衡1、平衡态：2.平衡条件：二力平衡：三力平衡：多力平衡：二、力的正交分解（1）力的正交分解法：把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，叫力的正交分解法。
（2）正交分解的原理：一条直线上的两个或两个以上的力,其合力可由代数运算求得.但是，当物体受到多个力作用,并且这几个力只共面不共线时,其合力用平行四边形定则求解很不方便,为此建立一个直角坐标系,先将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上, 分别求出两个不同方向的合力F x 和F y,然后可以由（ ）求合力。
例1：如图所示，一半径为r 的球重为G ，它被长为r 的细绳挂在光滑的竖直墙壁上.求：（1）细绳拉力的大小；（2）墙壁受的压力的大小.例2：重量为10N 的物体放在水平地面上，在斜向上的力F=4N 的作用下，恰好静止，若力F 与水平方向的夹角为300，求地面对物体的支持力和摩擦力。
例3、如图所示,质量为m 的小球用挡板固定在斜面上，处于静止状态，试求小球对挡板的压力F 1和对斜面的压力F 2.F例4、如图所示，电灯的重力G N =10，AO 绳与顶板间的夹角为45︒，BO 绳水平，则AO 绳所受的拉力F 1是多少？BO 绳所受的拉力F 2是多少？（提示：以结点0为研究对象）例5、如图所示，用绳子AC 和BC 悬一重力为100N 的物体，绳子AC 和BC 与天花板的夹角分别为30 和60，求每条绳子的拉力分别是多少?例6、重量为10N 的物体放在水平地面上，在斜向上的力F=4N 的作用下，恰好做匀速直线运动，若力F 与水平方向的夹角为300，求物体跟水平地面的动摩擦因数。
例7、质量为30kg 的小孩坐在10kg 的雪橇上，大人用与水平方向成37°斜向上的大小为100N 的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做匀速运动，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：（1）雪橇对地面的压力大小；（2）雪橇与水平地面的动摩擦因数的大小．例8、质量为m 的物体A 静止在倾角为300斜面上，求物体对斜面的压力与摩擦力例9、质量为m 的物体A 在倾角为370斜面上恰好匀速下滑，求物体与斜面的动摩擦因数F。
求解共点力作用下物体平衡的方法
求解共点力作用下物体平衡的方法（1）解三角形法：这种方法主要用来解决三力平衡问题，是根据平衡条件并结合力的合成或分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，然后通过解这个三角形求解平衡问题，解三角形多数情况是解直角三角形，如果力的三角形并不是直角三角形，能转化为直角三角形的尽量转化为直角三角形，如利用菱形的对角线相互垂直的特点就得到了直角三角形，确实不能转化为直角三角形时，可利用力的三角形与空间几何三角形的相似等规律求解。
（2）正交分解法：正交分解法在处理四力或四力以上的平衡问题时非常方便，将物体所受各个力均在两互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列方程。
此时平衡条件可表示为说明：应用正交分解法解题的优点：①将矢量运算转变为代数运算，使难度降低；②将求合力的复杂的解三角形问题，转化为正交分解后的直角三角形问题，使运算简便易行；③当所求问题有两个未知条件时，这种表达形式可列出两个方程，通过对方程组求解，使得求解更方便。
4. 解共点力平衡问题的一般步骤（1）选取研究对象。
（2）对所选取的研究对象进行受力分析，并画出受力图。
（3）对研究对象所受的力进行处理。
一般情况下需要建立合适的直角坐标系，对各力按坐标轴进行正交分解。
（4）建立平衡方程。
若各力作用在同一直线上，可直接用的代数式列出方程；若几个力不在同一直线上，可用与联立列出方程组。
（5）对方程求解，必要时需对解进行讨论。
注意：建立直角坐标系时，一般尽量使更多的力落在坐标轴上，以减少分解力的个数，从而达到简化计算的目的。
5. 整体法与隔离法整体法的含义：所谓整体法就是对物理问题的整个系统或整个过程进行分析、研究的方法。
整体法的思维特点：整体法是从局部到全局的思维过程；是系统论中的整体原理在物理学中的运用。
整体法的优点：通过整体法分析物理问题，可以弄清系统的整体受力情况和全过程的受力情况，从整体上揭示事物的本质和变化规律，从而避开了中间环节的繁琐推算，能够灵活地解决问题。
正交分解法解共点力平衡
正交分解法解共点力平衡
共点力平衡，是物理学中比较常见的问题之一，解决这个问题需
要用到正交分解法。
正交分解法，顾名思义就是将问题拆解成正交方向上的分量，然
后再分别计算解决。
在共点力平衡问题中，我们需要寻找一个共点力的平衡点。
首先，需要用向量表示每个力的作用方向和大小。
然后，将这些向量按照一
个参考方向分解成正交方向的分量，得到每个力在横向和纵向的分量值。
接下来，我们需要利用正交性的特点，即每个方向上的分量彼此
独立，通过分别计算各自的合力，来找到平衡点。
在计算过程中，很可能遇到一些重叠或者冲突的力，这时候需要
利用向量的几何加法和减法来得到新的合力向量。
然后再将新的合力
向量重新分解成正交方向上的分量，得到新的合力大小和方向。
通过这样的分解、计算、重组的过程，我们可以准确、高效地解
决共点力平衡问题。
需要注意的是，正交分解法虽然具有很强的应用性，但也需要一
定的数学基础和实践经验，才能更好地理解和应用。
因此，我们建议
学习者在学习过程中，注重理论知识的掌握，同时也需要多尝试一些
具体的实例，以便更好地掌握分解和计算的技巧。
总之，正交分解法是解决共点力平衡问题的重要方法，也是学习物理学的重要内容之一。
通过深入学习和实践，我们可以更好地掌握这个方法，解决更多的物理问题。
解共点力的平衡问题的“万能钥匙”——“正交分解法”
的大 小 。 （ ２ ）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运 动的水平推力与此时地板对拖把 的正压力 的比值为
Ａ。 已知存在一临界角 ， 若０ ＜０ ￣ ｏ ， 则不管沿拖杆方 向 的推力 多大 ， 都 不可 能使拖把从静止开始运动 。 求这 临界角 的正切ｔ ａ ｎ Ｏ ｏ 。
一
解析 ： （ １ ）以拖 把 为 研 究对 象 ， 受力分析 ， 水平为 轴， 竖直为Ｙ 轴建立坐标 系 ， 对力进行 正交分解 ， 如图６ ， 由平衡 条 件有 ： Ｆ ｃ ｏ ｓ Ｏ ＋ ｍ ｇ ＝
（ 作 者单 位 ： 河 南省 郑 州四 十 七 中）
挡板间的距离稍许增大后0减小以结点0为研究对象受力分析建立坐标系对力进行正交t0mg图2分解在y轴可得2tsinomg知0减小大轻杆对木块m弹力tcos曾大对木块受力分析得木块与挡板间正压力增大选项c错误d正确
０
技 法点 拨
解 共 点 力 的 平 衡 题 Ｂ 的 “ 万 ＝ Ｆ ｃ ｏ ｓ ０ Ｄ ｆ ． － ＝ Ｆ ｓ ｉ ｎ Ｏ
现考查使上式 成立 的０ 角 的取值范 围， 注意到上 式右 边总是 大于零 ， 且 当厩 限大 时极 限为零 ， 有： ｓ ｉ ｎ ０ 一 Ａ ｃ ｏ ｓ ０ ＜０ ￣ ⑦ 使上式成立 的角满足 ≤０ ｏ ， 这里是题 中所 定义 的临界 角 ， 即 当０ ≤ 时 ， 不管沿拖 杆方 向用多 大的 力都推不动拖把的临界角的正切值 。
“ 正 交分 解 法 ＂
■ 陈旭辉
物体静止或匀速直线运动时 ， 就是平衡状态 ， 此 时物体受到 的合外力为零。三力平衡可用合成 的方
解析 ： 把两个物体看作 个 整体 ，分析受力知 ， 该 整体 受 到重 力 ｍ￣ ｇ ＋ ｍ ２ ｇ ， 受 ， 支持力Ⅳ， 摩擦力 力 整 体匀速直线运 动 ， 故受力平 ｒ ｍｌ ｇ＋ ｍ２ ｇ 衡， 对硪生 行正交分解 ， 列方 图 ４ 程∑ ＝ ０ ， ∑ ＝ Ｏ 得： 在 水 平方 ￣ ｆ ＝ Ｆ ｃ ｏ ｓ ０ ， 竖直方向＾ ｍ。 ｇ ＋ ｍ矿 风ｉ ｎ ， 选Ａ ｃ 。 例３ 拖把 是 由拖杆 和拖把 头构成的擦地工具 ， 如 图５ 。设拖 把头 的质量为ｍ，拖杆 质量 可以 忽略 ；拖把头与地板之 间的动摩 糯 擦 因数 为常数 ， 重力加速度 为ｇ ， 某 同学用该拖把在水平地板上拖 图 ５ 地 时， 沿拖杆方 向推拖把 ， 拖杆与 竖直方 向的夹角为０ 。 （ １ ） 若 拖把头在地板上匀速移动 ， 求推拖把的力
物体平衡问题的求解方法
物体平衡问题的求解方法物体处于静止或匀速运动状态，称之为平衡状态。
平衡状态下的物体是是物理中重要的模型，解平衡问题的基础是对物体进行受力分析。
物体的平衡在物理学中有着广泛的应用，在高考中，直接出现或间接出现的概率非常大。
本文结合近年来的高考试题探讨物体平衡问题的求解策略。
1．整体法和隔离法对于连接体的平衡问题，在不涉及物体间相互作用的内力时，应道德考虑整体法，其次再考虑隔离法。
有时一道题目的求解要整体法、隔离法交叉运用。
[例1] （1998年上海高考题）有一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙，OB 竖直向下，表面光滑，AO 上套有小环P ，OB 上套有小环P ，两环质量均为m ，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图1。
现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力N 和细绳上的拉力T 的变化情况是（ ）A ．N 不变，T 变大B ．N 不变，T 变小C ．N 变大，T 变大D ．N 变大，T 变小解析 用整体法分析，支持力mg N 2=不变。
再隔离Q 环，设PQ 与OB 夹角为θ，则不mg T =θcos ，θ角变小，cos θ变大，从上式看出T 将变小。
故本题正确选项为B 。
2．正交分解法物体受到3个或3个以上的力作用时，常用正交分解法列平衡方程，形式为0=合x F ，0=合y F 。
为简化解题步骤，坐标系的建立应达到尽量少分解力的要求。
[例2] （1997年全国高考题）如图2所示，重物的质量为m ，轻细绳AO 与BO 的A 端、B 端是固定的，平衡时AO 是水平的，BO 与水平面夹角为θ，AO 的拉力F 1和BO 的拉力F 2的大小是（）A ．θcos 1mg F =B ．θcot 1mg F =C ．θsin 2mg F =D ．θsin /2mg F =解析 选O 点为研究对象，O 点受3个力的作用。
正交分解法解共点力平衡
正交分解法解共点力平衡引言在物理学中，力学是一个重要的领域，它研究物体在受力下的运动和平衡。
平衡是物体所受力的总和为零时的状态。
在某些情况下，多个力作用在一个点上，这就是共点力的问题。
为了解决这个问题，正交分解法是一种常用的方法。
本文将介绍正交分解法的原理及其在解共点力平衡问题中的应用。
正交分解法正交分解法是一种将一个力分解为多个互相垂直的分力的方法。
它基于向量分解的原理，通过将力分解为水平和垂直两个方向上的分力，简化了问题的求解过程。
原理正交分解法的原理基于三角函数的性质。
我们可以将一个力F分解为水平方向的分力Fx和垂直方向的分力Fy。
通过三角函数的定义，我们可以得到以下关系：Fx = F * cosθ Fy = F * sinθ其中，θ是力F与水平方向之间的夹角。
应用步骤正交分解法的应用步骤如下：1.画出力的示意图，并标注力的方向和大小。
2.根据示意图确定力与水平方向之间的夹角θ。
3.使用三角函数计算水平方向和垂直方向上的分力Fx和Fy。
4.根据得到的分力，进行进一步的计算，如求和或比较大小。
优点和局限性正交分解法的优点在于它简化了问题的求解过程，并且能够将复杂的共点力问题转化为简单的分力问题。
它使得物理问题的解决更加直观和易于理解。
然而，正交分解法也有一些局限性。
首先，它只适用于共点力的问题，对于其他类型的力的平衡问题并不适用。
其次，它只能解决平衡问题，对于动力学问题并不适用。
解共点力平衡问题在解共点力平衡问题时，我们可以通过正交分解法将复杂的共点力问题转化为简单的分力问题。
下面通过一个例子来说明如何使用正交分解法解共点力平衡问题。
问题描述有一个物体在平面上受到三个力的作用，这三个力分别是F1=10N，F2=15N和F3=20N。
角度a1=30°，a2=45°和a3=60°。
我们需要求解物体是否处于平衡状态，如果不平衡，计算物体沿哪个方向运动。
解决步骤1.画出力的示意图。
第5节 力的分解——力的正交分解法教案
3.5力的分解——正交分解法求合力教案一、学习目标：1.知道力的正交分解法2.会运用正交分解法解决多个力作用下的共点力的合力问题3.用力的正交分解求解物体平衡问题二、学习重点：运用正交分解法解决多个力作用下共点力的合力问题三、学习难点：力的正交分解法求解物体平衡问题四、学习过程：提问：复习引入1.什么是力的分解？2.合力与分力的关系是什么？3.力的分解遵循什么原则？4.如何将一个力进行分解？新课教学：★目标一：了解正交分解法，并思考其好处【问题1】如何求这几个共点力的合力呢？这样求解好吗？说明：利用平行四边形求解多个共点力的合力时不管是采用作图法还是计算法(解三角形)，都必须进行多次合成，一次接一次地求部分合力的大小和方向，十分麻烦。
【问题2】那么有没有简单一点的方法来求合力呢？进入新课主题：力的正交分解法定义：把一个力分解成两个相互垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法。
【问题3】把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，叫做正交分解。
这样分解力有什么好处呢？不垂直会怎样？例1.某人用力F=20 N 斜向上θ =30°的力拉物体，请利用正交分解法求水平和竖直两个方向上的分力.★目标二、熟悉运用正交分解法解决多个力作用下共点力的合力问题的步骤。
正交分解法求合力的一般步骤：❶恰当地建立xOy直角坐标系.一般地选共点力作用线的交点为坐标系原点，坐标轴的选择应根据具体问题来确定．原则上是尽可能使较多的力落在坐标轴上，这样需要分解的力也就少一些．❷沿x、y轴将各力分解.将各个力逐一分解到x轴和y轴上，并找出各个力沿两个坐标轴方向的分量．注意：与坐标轴正方向同向的力取正值，与坐标轴负方向同向的力取负值．❸利用三角函数求x、y轴上各分力的合力F x和F y．F x=F1x+F2x+F3x+⋯+F nxF y=F1y+F2y+F3y+⋯+F ny ❹求出合力的大小和方向.即：F 合=√F x2+F y2,φ=arctan(F yF x)(φ为F合与x轴之间的夹角)例2. 三个共点力F1=20 N、F2=30 N、F3＝40 N，它们相互间的夹角为120°，求它们的合力大小.例3. 一个物体受到四个力的作用，已知F1=1N，方向正东；F2=2N，方向东偏北60°，F3＝3√3 N方向西偏北30°；F4＝4 N方向东偏南60°，求物体所受的合力。
正交分解法解题指导
正交分解法解题指导正交分解法的目的和原则在力的正交分解法中，分解的目的是为了求合力，尤其适用于物体受多个力的情况。
物体受到F 1、F 2、F 3…，求合力F 时，可把各力沿相互垂直的x 轴、y 轴分解，则在x 轴方向各力的分力分别为 F 1x 、F 2x 、F 3x …，在y 轴方向各力的分力分别为F 1y 、F 2y 、F 3y …。
那么在x 轴方向的合力F x = F 1x + F 2x + F 3x + … ，在y 轴方向的合力F y = F 2y + F 3y + F 3y +…。
合力22F Fy XF +=。
在运用正交分解法解题时，关键是如何确定直角坐标系。
在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则；在动力学中，以加速方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标，这样使牛顿第二定律表达式为：ma F F x y ==;0一、在静力学中，运用正交分解法典型例题例1.物体放在粗糙的水平地面上，物体重50N ，受到斜向上方向与水平面成300角的力F 作用，F = 50N ，物体仍然静止在地面上，如图1所示，求：物体受到的摩擦力和地面的支持力分别是多少？解题步骤（1）受力分析 （2）建立直角坐标系，受力分解（3）沿x 轴和y 轴列方程等式解：如图2所示。
则：0030sin ,30cos F F F F y X ==由于物体处于静止状态时所受合力为零 则在竖直方向（或y 轴方向）有：G F N =+030sin 030sin F G N -=根据牛顿第三定律，物体受地面的支持力的大小为则在水平方向上（或x 轴方向）有：30cos F f =2：F 1、F 2与F 3三个力共同作用在O 点，如图3所示，F 1、F 2与F 3之间的夹角均为600，求合力。
3：如图所示，一物体通过OA 、OB 两根绳子悬挂于天花板上，已知物体重质量为5Kg ，AB 绳子成1200角，求OA 、OB 、OC 三根绳子分别受力多少图3F 1=10NF 2=10NF 3=10NAB图24：如图所示，斜面倾角为300，图1挡板垂直于斜面，图2挡板竖直。
平衡问题求解八法(保存)
B点,则此过程中小球对半球的压力
大小N、细绳的拉力大小T的变化情况是 ( )
A.N不变,T不变
C.N不变,T变小
B.N不变,T变大
D.N变大,T变小
解析
小球受力如图所示,根据平衡条件知,小球
所受支持力N′和细线拉力T的合力F跟重力是一 对平衡力,即F=G.
根据几何关系知,力三角形FAN′与几何三角形COA
解析
选O点为研究对象,受F、FA、
FB三力作用而平衡.此三力构成一封
闭的动态三角形如图.容易看出,当FB
与FA垂直即α+β=90°时,FB取最小 值,所以D选项正确. 答案 D
练习半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，MN是竖直放置的光
滑挡板.在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体
Q，整个装置处于静止状态，如图所示是这个装置的截面图. 现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前， 发现P始终保持静止.则在此过程中，下列说法正确的是( )
一段距离后,整体重力不变,AO给的竖直向上弹力也 不变.再以Q环为隔离研究对象,受力如图所示，Q环
所受重力G、OB给Q的弹力F1,绳的拉力T处于平衡;
P 环向左移动一小段距离的同时T移至T′位置，仍
能平衡，即T竖直分量与G大小相等,T应变小,所以 正确答案为B选项. 答案 B
练习如图所示，A、B两木块用细线相连放在水平面
弹力F2，如图1－4所示，在MN向右缓慢平移时，G不变，
则F不变，F1与水平方向的夹角θ减小，而F2的方向不变，由
图可知F1、F2均变大，但Q所受的合力始终为零，故A、C均 错误；再以P、Q为一整体受力分析如图1－5所示，由平衡 条件知，FNP＝GP＋GQ不变，FfP＝F2，FfP随F2增大而增大， 故B错误，D正确.
物体的平衡与力的合力与合力矩分析方法
结构构件的强度与刚度设计
根据建筑物的使用功能和安全要求，对结构构件进行强度和刚度设计，确保其在各种荷载 作用下不发生破坏或过度变形。
桥梁结构稳定性设计
桥梁荷载分析与计算
通过对桥梁所承受的恒载、活载、风荷载等 进行分析和计算，确定桥梁结构的荷载效应 。
越来越偏离原来位置。
03
随遇平衡
物体可以在任何位置保持平衡 ，即物体没有固定的平衡位置
。
02
力的合成与分解方法
矢量合成法则
矢量合成法则是指两个或多个力矢量可以按照平行四边形法则或三角形法则进行合 成，得到一个合力矢量。
在进行矢量合成时，需要遵循力的方向性，即力不仅有大小，还有方向。因此，在 合成过程中需要考虑力的方向。
设备动态平衡设计
考虑设备在运行过程中的动态效应，如振动、冲击等，通过平衡设计和减振措施，使设 备在运行过程中保持平衡和稳定。
设备强度与刚度设计
根据设备的使用要求和安全标准，对设备的强度和刚度进行设计，确保其在各种工作条 件下不发生破坏或过度变形。
THANKS
流体动力影响
在涉及流体动力的平衡问题中，需要考虑流体动力对物体平衡的影响。根据流体动力的性质和作用方式 ，可以判断物体是否能在流体动力的作用下保持平衡。
05
物体平衡稳定性分析方法
稳定性分析基本概念
平衡状态
物体在受到外力作用时，能够保持静止或匀速直线运动的状态。
稳定性
物体在受到微小扰动后，能够恢复到原平衡状态的能力。
物体的平衡与力的合力与合 力矩分析方法
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正交分解法
正交分解法——把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解，其目的是便于运用普通代数运算公式来解决矢量运算。
利用力的正交分解法求合力：这是一种比较简便的求合力的方法，它实际上是利用了力的分解的原理把力都分解到两个互相垂直的方向上，然后就变成了在同一直线上的力的合成问题了.这样计算起来就简单多了。
力的正交分解法步骤如下：1、正确选定直角坐标系：通常选共点力的作用点为坐标原点，坐标轴的方向的选择则应根据实际问题来确定。
原则是使坐标轴与尽可能多的力重合，即是使需要向两坐标轴投影分解的力尽可能少，在处理静力学问题时，通常选用水平方向和竖直方向上的直角坐标，当然在其它方向较简便时，也可选用。
一般选水平和竖直方向上的直角坐标；也可以选沿运动方向和垂直运动方向上的直角坐标.在力学计算上，这两种选择可以使力的计算最简单，只要计算到互相垂直的两个方向就可以了，不必求总合力.2、分别将各个力投影到坐标轴上：分别求x轴和y轴上各力的投影的合力和其中：（式中的轴上的两个分量，其余类推。
）这样，共点力的合力大小可由公式：求出。
设力的方向与轴正方向之间夹角是。
∴通过数学用表可知数值。
注意：如果这是处理多个力作用下物体平衡问题的好办法。
计算方法举例：例：如图所示，物体A在倾角为θ的斜面上匀速下滑，求物体受到的摩擦力及动摩擦因数。
分析：选A为研究对象分析A受力作受力图如图，选坐标如图：将不在坐标轴上的重力在x,y坐标上分解：Gx=GžsinθGy=Gžcosθf在x轴(反向),N在y轴上(正向)∵物体匀速下滑则有则一、合力与分力：在实际问题中，一个物体往往同时受到几个力的作用。
如果一个力产生的效果与原来几个力产生的效果相同，这个力就叫那几个力的合力，而那几个力就叫这个力的分力。
二、力的合成与分解：求几个力的合力的过程叫力的合成，求一个力的分力的过程叫力的分解。
合力与分力有等效性与可替代性。
求力的合成的过程实际上就是寻找一个与几个力等效的力的过程；求力的分解的过程，实际上是寻找几个与这个力等效的力的过程。
物体平衡的几种常见解法经典
物体的平衡典型例题选讲1、 二力平衡:处于二力平衡的物体所受的两个力大小相等，方向相反，力的作用线在同一直线上。
2、 三力平衡：A 、三力平衡时，任意两个力的合力F 都与第三个力等大反向，作用在同一直线上；B 、三力平衡时，这三个力必在同一平面上，且三个力的作用线或作用线的延长线必交于一点；C 、三力平衡时，表示三个力的矢量恰好构成一个首尾相连的闭合三角形。
3、三力交汇原理：一个物体如果受三个力作用而平衡，若其中两个力交于一点，则第三个力也必过这一点。
4、多力平衡：任意一个力与其余各力的合力等值反向；这些力的矢量可构成一个首尾相连的闭合多边形。
5、物体平衡的条件：物体所受的合力为0，即F 合 = 0 ，如果物体在*一方向上处于平衡状态，则该方向上的合力为0。
力的平衡常用方法： 一、力的合成法：1、如图1甲所示，重物的质量为m ,轻细绳AO 与BO 的A 端、B 端固定，平衡时AO 水平,B0与水平面的夹角为θ，AO 拉力1F 和BO 拉力2F 的大小是 ()A 、1F mg = B.1cot F mg θ= C.2sin F mg θ= D.2sin mg F θ=二、正交分解法：1、如图,两竖直固定杆间相距4m ，轻绳系于两杆上的A 、B 两点，A 、B 间的绳长为5m ．重G ＝80N 的物体p 用重力不计的光滑挂钩挂在绳上而静止，求绳中拉力T ．2、如图所示，小球质量为m ，两根轻绳BO 、CO 系好后，将绳固定在竖直墙上，在小球上加一个与水平方向夹角为的力F ，使小球平衡时，两绳均伸直且夹角为，则力F 的大小应满足什么条件？ 三、相似三角形法：1、如图7，半径为R 的光滑半球的正上方，离球面顶端距离为h 的O 点，用一根长为L 的细线悬挂质量为m 的小球，小球靠在半球面上．试求小球对球面压力的大小．2、一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO 上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图6所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO 与杆AO 间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力FN 的大小变化情况是（ ）PA BOabA ．FN 先减小，后增大B ．FN 始终不变C ．F 先减小，后增大D ．F 逐渐不变 四、矢量三角形法：1、如图1所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心，一质量为m 的小滑块，在水平力F 的作用下静止于P 点。
用正交分解法求解力学平衡问题
用正交分解法求解力学平衡问题
F合=0的正交分解形式：x轴的合力F x=且y轴的合力F y=
以下平衡问题有的有多种方法，本次练习请一律采用正交分解法
例1：已知：m A=1kg，给A一个初速度后，A可以在斜面上沿着斜面匀速向下滑动，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
1）A受到的摩擦力f大小和支持力F N大小
2）现在给A施加一个沿着斜面向上的拉力，使得A能够沿着斜面向上做匀速直线运动。
求这个拉力的大小
小结1：利用正交分解法解决平衡问题的基本步骤
1）明确研究对象，并对研究对象进行
2）适当建立（不在坐标轴上的力正交分解到轴和轴上）
3）列出F合=0的表达式：
4）解方程（必要时对结果进行讨论）
课堂练习：物体在F=10N的推力作用下在水平地面上匀速直线运动，推力F与水平面的夹角α=37°，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8
求：物体受到的摩擦力和支持力
小结2：在解决平衡问题的列式方法中，
对于三个力的平衡问题，可以考虑用力平衡的三角法列式，也可以考虑用正交分解法列式对于四个力或四个力以上的平衡问题，一般采用正交分解法列式
练习：质量为30kg的小孩坐在10kg的雪橇上，大人用与水平方向成37°斜向上的大小为100N的拉力F拉雪橇，使雪橇沿水平地面作匀速运动，(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，求：
(1)雪橇对地面的压力大小
（提示：后面会学到“雪橇受到的支持力大小等于雪橇对地面的压力”）；
(2)雪橇与水平地面的动摩擦因数的大小。
正交分解法解平衡问题【参考借鉴】
正交分解法解平衡问题1.熟记特殊角的三角函数值．(提示：tan θ= sin θ/cos θ)sin30°＝_______，cos30°＝______，tan30°＝______，sin45°＝_______，cos45°＝______，tan45°＝______，sin60°＝_______，cos60°＝______，tan60°＝______，sin37°＝ ，cos37°＝ ，tan37°＝ ，2. 运用正交分解法解题步骤㈠以力的作用点为原点作直角坐标系，标出x 轴和y 轴，如果这时物体处于平衡状态，则两轴的方向可根据自己需要选择，如果力不平衡而产生加速度，则x 轴（或y 轴）一定要和加速度的方向重合；㈡将与坐标轴成角度的力分解成x 轴和y 轴方向的两个分力，并在图上标明，用符号F x 和F y 表示；㈢在图上标出与x 轴或与y 轴的夹角，然后列出F x 、F y 的数学表达式。
如：F 与x 轴夹角分别为θ，则θθsin ;cos F F F F y x ==。
与两轴重合的力就不需要分解了；㈣列出x 轴方向上和各分力的合力和y 轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后再求解。
1 重量G=100N 的物体置于水平面上，给物体施加一个与水平方向成θ=37°的拉力F ，F=20N ，物体仍处于静止状态，求地面对物体的静摩擦力；地面对物体的支持力。
2．一个氢气球重为10N ，所受的空气浮力的大小为16N ，用一根轻绳拴住．由于受水平风力的作用，气球稳定时，轻绳与地面成53°角，如图所示．求：(1)绳的拉力为多大?(2)汽球所受水平风力为多大?3.如图所示，物P 的重量为G ＝2.50N ，与P 相连的弹簧劲度系数k ＝120N/m ，在大小为102N ，方向与水平面成θ＝45°的推力F 作用下，将弹簧压缩△x=5.0cm 后静止，求：(1)地面对P 的支持力为多少?(2)这时地面对P 的摩擦力为多少?4.如图所示，重20N 的物体在沿斜面向上的推力作用下匀速上滑，0.5，斜面的倾角为370，求推力大小5.如图所示，某同学拉动一个重为130牛的箱子匀速前进，已知箱子与地面的动摩擦因数0.4，拉力与水平面的夹角为37°，问绳子的拉力为多大？6．如图所示，质量为0.2千克的物体在与竖直方向成37°角的推力F 作用下，沿竖直墙壁向上匀速运动。
物体平衡问题解法
物体平衡问题解法长沙市明德中学李启洪1.正交分解法这是最基本的方法。
这种方法是利用物体所受合外力为0这一条件来求解。
建立一适当的直角坐标系，将物体所受各力分别向两坐标轴分解，转化为同一直线上的力来合成。
山于物体受的合外力为0,故y轴上的合力Fy二0,x轴上的合力Fx二0。
山此列方程求解。
例如图所示，重为G的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为U二l/J eq o(sup 1K-), 3),物体做匀速直线运动。
求牵引力F的最小值和方向角0。
解：物体的受力图如图。
建立坐标系，有：Feos 0 - u N=0 ①Fsin0+N-G=0 ②山①、②消去N得：F= M G / (cos 0 + P sin 0 )台GJl + ¥ C0£ © - 0 ) _____ 4)|Jcos 0 + M sin 0 = V 1+ y 'cos ( 0 - ")・•・F二当0=4)时，cos(0-<l>)取极大值1, F有最小值。
<l>=30°0=30°2.正弦定理法正弦定理在解决三力平衡问题中有广泛应用，它可使解题过程大大简化。
物体在三个互成角度的共点力作用下处于平衡，则这三个力组成一个闭合三角形。
如图所示，有：例2：如图,C 点为光滑转轴，绳AB 能承受的最大拉力为1000N, 杆AC 能承受的最大压力为2000No 问A 点最多能挂多重的物体？（绳.杆的自重不计）解：选节点A 为研究对象。
受力如图。
由正弦定理:F ： / sin45°=F 2/sin60°=G/sin75°当 F F IOOON 时,G=Fisin757sin45°=1366N、"l F 2=2000N 时G'二 F :sin75o /sin6O 0=2230・ 7N 故G 不能超过1366No3.图象法sin a sin sin yA图2图象法即利用力的合成的平行四边形法则，也称矢量三角形法。
平衡问题的八种方法
[典例2]
如图2－3所示，一小球在斜面上
处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直 挡板由竖直位置缓慢绕O点转至水平位置，则 此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力
图 2－ 3
F2的变化情况是
A．F1先增大后减小，F2一直减小 B．F1先减小后增大，F2一直减小 C．F1和F2都一直减小 D．F1和F2都一直增大
(1)明确研究对象； (2)画受力图； (3)假设可发生的临界现象； (4)列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解。
[典例6]
倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面
上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。 现给A施以一水平力F，如图2－11所示。设最大静摩擦力与滑 动摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，如果物体A能在 斜面上静止，水平推力F与G的比值可能是( A．3 C．1 B．2 D．0.5
方法二：整体法
直角劈对地面的压力和地面对直角劈的支持力是一对作用力和 反作用力，大小相等、方向相反。而地面对直角劈的支持力、地面 对直角劈的摩擦力是直角劈和物体整体的外力，所以要讨论这两个 问题，可以以整体为研究对象。整体在竖直方向上受到重力和支持
力，因物体在斜面上匀速下滑、直角劈静止不动，即整体处于平衡
三、图解法 在共点力的平衡中，有些题目中常有“缓慢”一词，则物 体处于动态平衡状态。解决动态平衡类问题常用图解法，图
解法就是在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上，若
满足有一个力大小、方向均不变，另有一个力方向不变时， 可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况的方 法，图解法也常用于求极值问题。
[答案] A 图2－8
五、整体法和隔离法 选择研究对象是解决物理问题的首要环节。若一个系统 中涉及两个或者两个以上物体的平衡问题，在选取研究对象
专题 正交分解 共点力的平衡
专题：正交分解法 共点力的平衡一、知识必备1.力的正交分解法：当物体受力较多时，经常采用正交分解法.步骤：（1）建轴.以物体为坐标点,建立适当的直角坐标系;(2)正交分解.把不在坐标轴上的力分解到坐标轴上;(3)根据物体的运动状态列方程;(4)解方程求得未知量.注意:建立直角坐标系时,使尽可能多的力在坐标轴上,以减少分解力的次数,使问题简化.2.共点力的平衡(1)平衡状态:物体在共点力的作用下,保持匀速直线运动状态或静止状态.(2)平衡条件:物体所受合外力为零.3.物体平衡时的受力特点二力平衡:两力等大反向,作用在一条直线上,称为平衡力.三力平衡:任意两个力的合力与第三个力等大反向.多力平衡:经常使用正交分解法来处理.⎩⎨⎧==00yx F F 二、错因分析1.不能抓住"静止"、“匀速”等关键词从而联想到物体受力特点三、讲练结合【例1】在同一平面内共点的四个力1F 、2F 、3F 、4F 的大小依次为N 19、N 40、N 30和N 15，方向如图所示，求它们的合力．【训练1】如图所示，共点的三个力N F 51=，N F 102=，N F 153=，o 60=θ，它们的合力在x 轴方向的分量x F 为 ，y 轴方向的分量y F 为 ，合力的大小为 ，合力方向与x 轴正方向夹角为 .【例2】用三根轻绳将质量为m 的物块悬挂在空中，如图．已知ac 和bc 与竖直方向的夹角分别为o 30和o 60，求ac 和bc 绳中的拉力分别为多少？【训练2】如图所示，在倾角为θ的斜面上，放一质量为m 的光滑小球，小球被竖直挡板挡住，求：（1）球对挡板的压力大小；（2）球对斜面的压力大小．【例3】如图所示，在与水平地面成θ角的拉力F 作用下，质量为m 的物块沿地面向右做匀速直线运动．试求地面对物块的支持力，以及物体与地面间的滑动摩擦因数．【训练3】质量为m 的木块在推力F 的作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪一个（ ）A.mg μB. )sin (θμF mg +C. )sin (θμF mg -D. θcos F【训练4】如图所示，质量为m ，横截面为直角三角形的物块ABC ，α=∠ABC ．AB 边紧靠在竖直墙面上，F 是垂直于斜面BC 的推力．现物块静止不动，则物块所受的摩擦力的大小为 ．。
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G
m g 解得： F cos sin
Fy N F sin mg 0
例题3：如图所示，质量为m的物体在倾角为θ的粗糙 斜面下匀速下滑，求物体与斜面间的滑动摩擦因数。
θ
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力 4、别写出x、y方向的方程 5、根据方程求解
练习一：如图所示，质量为m的光滑小球放在倾角为 θ的斜面上被挡板挡住，求斜面对小球的弹力及挡板 对小球的弹力。
θ
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力 4、别写出x、y方向的方程 5、根据方程求解
练习二：如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成 θ角的恒力F作用下沿粗糙墙面向上匀速运动，求物 体与墙壁间的动摩擦因数。
Fx F1x F 2 x F3x 0
Fy F1y F 2 y F3 y 0
5、根据方程求解。
例题3：如图所示，质量为m的物体在倾角为θ的粗糙 斜面下匀速下滑，求物体与斜面间的滑动摩擦因数。
y
∵物体匀速运动，合外力为零 由x方向合外力为零，有：
f
N
Fx mg sin N 0
由y方向合外力为零，有：
x
θ
mg
Fy N mgcos 0
解得：
sin tan cos
F合 F x Fy
2 2
y
F1y F2y
F2
F2X
F1
F3x
F1x
O
F3y
x
F3 y
F合
Fy
tan
Fy Fx
O
Fx
x
1、目的： 把复杂的矢量运算化为普通的代数运算，将 力的合成化简为同向或反向或垂直方向。便于运 用普通代数运算公式来解决矢量的运算。
2、基本思想： 正交分解法求合力，运用了“欲合先分”的策略， 即为了合成而分解，降低了运算的难度，是一种重 要思想方法。
正交分解法
y
Fy
o
F α Fx
x
Fx F cos F F sin y
一、用力的正交分解求合力
三个力F1、F2与F3共同作 用在O点。如图, 该如何用 正交分解法求其合力？
Fx F1x F2 x F3 x ...
Fy F1y F2 y F3 y ...
F θ
ห้องสมุดไป่ตู้
例题2：如图所示，质量为m的物体放在粗糙水平面上， 它与水平面间的滑动摩擦因数为μ，在与水平面成θ 角的斜向上的拉力F作用下匀速向右运动。求拉力F的 大小。 y
N f θ F ∵物体匀速运动，合外力为零 由x方向合外力为零，有：
x
由y方向合外力为零，有：
Fx F cos N 0
4、将坐标轴上的力分别合成，按坐标轴规定的方向求代数和
即：Fx合=F1x+F2x+F3x+...... Fy合=F1y+F2y+F3y+......
5、最后求再求合力F的大小和方向 F合
2 Fx2 F 合 y合
二、用力的正交分解求解物体平衡问题
1、画出物体的受力图。 2、建立直角坐标系。 3、正交分解各力。（将各力分解到两个坐标轴上） 4、物体平衡时各方向上合力为零,分别写出x 方向 和y 方向方程。
Fx F1x F 2 x F3x 0
Fy F1y F 2 y F3 y 0
5、根据方程求解。
例题2：如图所示，质量为m的物体放在粗糙水平面上， 它与水平面间的滑动摩擦因数为μ，在与水平面成θ 角的斜向上的拉力F作用下匀速向右运动。求拉力F的 大小。 解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力 4、分别写出x、y方向的方程 5、根据方程求解
F θ
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力 4、别写出x、y方向的方程 5、根据方程求解
练习三：如图，物体A的质量为m，斜面倾角α，A与斜 面间的动摩擦因数为μ，斜面固定，现有一个水平力F 作用在A上，当F多大时，物体A恰能沿斜面匀速向上运 动？
F α y FN
A
Ff Gsinα
Fcosα F Fsinα G Gcosα
x
例题4：如图，物体重力为10N，AO绳与顶板间的夹角为 45º，BO绳水平，试用计算法求出AO绳和BO绳所受拉力的 大小。
FAO cos45 G 0
FBO FAO sin 45 0
FBO G 10N
A FAO FAOX O
y FAOY B FBO
例1：一个物体受到四个力的作用，已知
F1=1N，方向正东；F2=2N，方向东偏北 600，F3= 3 3 N，方向西偏北300；F4=4N， 方向东偏南600，求物体所受的合力。
y
F3 F2y
300
F3y F2
600
2x
F4x
F3x
600 F F 1
x
F4y
F4
F Fx2 Fy2 ( 3 / 2) 2 (1 / 2) 2 1N
x
FAO 2G 10 2N
C G
练习四： 如图，氢气球被水平吹来的风吹成图示的情形， 若测得绳子与水平面的夹角为37˚，已知气球受到空气的 浮力为15N，忽略氢气球的重力，求： ①氢气球受到的水平风力多大？ ②绳子对氢气球的拉力多大？
风
37˚
用力的正交分解求解物体平衡问题
1、画出物体的受力图。 2、建立直角坐标系。 3、正交分解各力。（将各力分解到两个坐标轴上） 4、物体平衡时各方向上合力为零,分别写出x 方向 和y 方向方程。
F =1N
y
Fy= 3 / 2 N
Fx = -1/2 N
3/2 tan 3 Fx 1/ 2
Fy
x
600
例2 有五个力作用于一点Ｏ，这五个力构成一个正六边形的 两邻边和三条对角线，如图所示，设Ｆ３＝１０Ｎ，则五个 力的合力大小为多少？ Ｙ
正交分解 Ｘ
X轴： Ｙ轴：
F1X=F5X=2.5Ｎ F1Y+F5Y=0
F2X=F4X=7.5N F2Y+F4Y=0
F3X=10N F3Y=0
F
X
F1X+F2X+F3X+F4X+F5X=30N
F
Y
F1Y+F2Y+F3Y+F4Y+F5Y=0
F=30N
3、步骤
1、先对物体进行受力分析，画出受力示意图。 2、以力的作用点为坐标原点，恰当地建立直角坐 标系，标出x轴和y轴。 注意：坐标轴方向的选择虽具有任意性， 但原则是：使坐标轴与尽量多的力重合， 使需要分解的力尽量少和容易分解。 3、将不在坐标轴上的各力分解为沿两坐标轴方向 的分力，并在图上标明。