哈尔滨工程大学 计量经济学 课件

• 假设检验的程序是，先根据实际问题的要求提出 一个论断，称为统计假设；然后根据样本的有关
信息，对假设的真伪进行判断，作出拒绝或接受 假设的决策。

• 假设检验的基本思想是概率性质的反证法。

• 概率性质的反证法的根据是小概率事件原理，该 原理认为“小概率事件在一次试验中几乎是不可 能发生的”。

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得到临界值

F0.05,2,7 4.74 F F0.05,2,7
∴拒绝 H0 ，接受 H1。在 95%的置信概率下，模型的 线性关系显著成立，人均国内生产总值和前期人均

居民消费额在整体上对于人均居民消费额的解释作

用是显著的。

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5、关于拟合优度检验与方程显著性检验 关系的讨论
因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行 推断。

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由于 Yi 服从正态分布，根据数理统计学中的定义，Yi 的一 组样本的平方和服从 2 分布。所以有：

ESS (Yˆi Y )2 ～ 2 (k ) RSS (Yi Yˆi )2 ～ 2 (n k 1) 即回归平方和、残差平方和分别服从自由度为 k 和(n k 1) 的

x12 x22

x1x2 2

SE(ˆ2)

x12ˆ 2

x12 x22

x1x2 2

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ˆ 2

e2

n k 1

ei2 yi2 yˆi2

yˆi2 ˆ12 x12i ˆ22 x22i

计算出 t 统计量后，要选定一个显著性水平 ，

结合自由度(n k 1) ，由 t 分布表（见附表 5），

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计量经济学模型是应用数理统

计方法建立的一类经济数学模型，

模型必须满足数学理论与方法上的

要求，所以在模型参数估计后，需

要检验其是否满足数学理论与方法

上的要求。

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• 我们所要进行的统计检验包括两个方 面，一方面检验回归方程对样本数据的 拟合程度，通过可决系数来分析；另一 方面检验回归方程的显著性，通过假设 检验对模型中被解释变量与解释变量之 间的线性关系在总体上是否显著成立作 出推断，包括对回归方程线性关系的检 验和对回归系数显著性的检验。

R 2 R2
R 2 可以为负

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§3.2方程显著性检验(F检验) Testing the Overall Significance

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1、F检验的思想
F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：
TSS=ESS+RSS 由于回归平方和ESS是解释变量X联合体对被解释 变量Y的线性作用的结果，所以，如果ESS/RSS的 比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认 为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性 关系。

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§3.1拟合优度检验(R检验) Testing the Simulation Level

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拟合优度检验，顾名思 义，是检验模型对样本观测 值的拟合程度。

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1、总体平方和、残差平方和和回归平方和

TSS (Yi Y )2
ESS (Yˆi Y )2
拟合优度检验和方程显著性检验是从不同 原理出发的两类检验，前者是从已经得到估计 的模型出发，检验它对样本观测值的拟合程度， 后者是从样本观测值出发检验模型总体线性关 系的显著性。

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R 2 1 RSS /(n k 1) TSS /(n 1)

ESS

F RSS

k

(n k 1)

TSS=RSS+ESS

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2、拟合优度检验统计量：可决系数R2和 校正可决系数 R 2

（1）可决系数

用可决系数 R2 进行拟合优度检验，可决系

数的计算公式为：

R2

Yˆi Y 2 Yi Y 2

0 R2 1 ，该统计量越接近于 1，模型

的拟合优度越高。

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在应用过程中我们会发现，如果在模型中增加一 个解释变量，模型的解释功能增强了，可决系数 R2 计
算公式中的分子——回归平方和 Yˆi Y 2 就会增大，
因而 R2 就增大。这就给人一种错觉：似乎要使模型拟 合得好，就必须增加解释变量。但是，在样本容量一 定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少。所 以，用以检验拟合优度的统计量必须能够防止这种倾
可以得到一个临界值 F (k,n k 1) 。

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如果所计算的 F ＞ F (k,n k 1) ，则在(1－ )的
置信概率下拒绝原假设H0 ，即模型的线性关系显著 成立，模型通过方程显著性检验。如果所计算的
F < F (k,n k 1) ，则在(1－ )的置信概率下接受

H1

:

1,



不全为零
2

F



1



R2 /k
R 2 /n

k

1



0.999 / 2
1 0.999 / 7

4995

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选 定 显 著 性 水 平 0.05 ， 本 例 中 第 一 自 由 度

1 k 2 ，第二自由度 2 n k 1 10 2 1 7 ，( 本例
中解释变量数目 k =2，样本容量 n =10)，查 F 分布表，

•

踏实肯干，努力奋斗。2020年10月24 日下午2 时31分 20.10.2 420.10. 24

•

追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 0月24 日星期 六下午2 时31分 18秒14 :31:182 0.10.24
ˆi 为相应的参数估计量， S ˆi 为参数估计量 ˆi 的标准差。

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ˆ 2
对于一元回归模型， Sˆ1 xi2 ，其中ˆ 2 为随机

误差项方差的估计量，ˆ 2



Yi Yˆi 2
n k 1



yi2 ˆ12 xi2
n2

对于二元回归模型，

SE(ˆ1)

x22ˆ 2
RSS (Yi Yˆi )2
TSS为总体平方和（Total Sum of Squares），反 映样本观测值总体离差的大小；ESS为回归平方和 （Explained Sum of Squares），反映由模型中 解释变量所解释的那部分离差的大小；RSS为残差 平方和（Residual Sum of Squares），反映样本 观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变 量未解释的那部分离差的大小。

2 分布。 进一步根据数理统计学中的定义，如果构造一个统计量

ESS

F RSS

k

(n k 1)

则该统计量服从自由度为（k，n-k-1）的F分布。

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2.关于假设检验

• 假设检验是统计推断的一个主要内容，它的基本 任务是根据样本所提供的信息，对未知总体分布 的某些方面的假设作出合理的判断。
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多元线性模型的统计检验 与区间估计
Statistical Test of Multiple Linear Regression Model

第三章 多元线性回归模型的统计 检验与区间估计
§3.1拟合优度检验(R检验) §3.2方程显著性检验(F检验) §3.3变量显著性检验(t检验)

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R2 1

n 1

n k 1 kF

可见，Ｆ与R2同向变化：当R2 ＝０时，Ｆ＝０； 当R2=1时，Ｆ为无穷大；R2越大，Ｆ值也越大。
因此，Ｆ检验是所估计回归总显著性的一个度量，也

是对 R2的一个显著性检验。即：

检验原假设 H0 : 1 2 0 ，等价于检验 H0 : R2 0

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如果 t ＜ t2 (n k 1) ，则在(1－α)的置
信概率下接受原假设 H0，表明在(1－α)
的置信概率下，与 0 没有什麽差别，
即变量 Xi 对被解释变量的影响是不显著 的。

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在一元线性回归中，t检验与F检验是一致的
对于一元线性回归模型，F 检验与 t 检验的假设均为：
原假设 H0 ，即模型的线性关系显著不成立，模型未 通过方程显著性检验。

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4、方程显著性F检验的例题

对前述得到的回归方程Yˆ 0.011 0.339 X1 0.302 X 2 R2 0.999 n=10 进行线性关系显著性的检验，

首先给出假设

H0 : 1 2 0
向，我们可以用自由度来调整 R2 ，用 R 2 来表示调整
后的可决系数，以剔除解释变量数目与样本容量的影 响，使具有不同样本容量和解释变量数目的回归方程 可以进行拟合优度的比较。

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（2）校正可决系数

R

2

1





nBiblioteka Baidu

n 1 (k

1)

(1

R2)



1

(n 1)(Y 'Y Bˆ ' X 'Y ) (n k 1)(Y 'Y nY 2 )

查得临界值

t
2

(n



k



1)

。

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如果计算出的 t 统计量的绝对值 t ＞ t (n k 1) ， 2
则在(1－)的置信概率下拒绝原假设H0 。表
明在(1－)的置信概率下， ˆi 不是由 i 0 这样的
总体产生的， i 显著地不为 0，即变量 X i 对被
解释变量的影响是显著的；

1

xi2



t2

但在多元回归情况下，两种检验说明的问题不同、 作用不同，不能相互取代。

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•

树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 10.2420 .10.24Saturday , October 24, 2020

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人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。1 4:31:18 14:31:1 814:31 10/24/2 020 2:31:18 PM
(n k 1)



Yˆi Y

2
/k

Yi Yˆi 2 /n k 1

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F



R2 / k
1 R2 /n k 1

其中， R2 为判定系数， k 为模型中解释变量的个 数，n 为样本容量。

F 统计量服从自由度为 (k,n k 1) 的 F 分布。选定
一个显著性水平 ，查 F 分布表（见本书附录），

•

安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 10.2414 :31:181 4:31Oc t-2024- Oct-20

•

加强交通建设管理，确保工程建设质 量。14:31:1814 :31:181 4:31Saturday , October 24, 2020

•

安全在于心细，事故出在麻痹。20.10. 2420.1 0.2414:31:1814 :31:18 October 24, 2020

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3、方程显著性 F 检验的步骤

对回归方程线性关系显著性的检验采用 F 检验，检验

依据样本估计的回归方程所体现的被解释变量与解释

变量之间的线性关系在总体上是否显著成立，即是检验

总体模型

Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X ki i

i=1,2,…,n

中的参数是否显著不为 0。按照假设检验的原理与程序，

首先提出假设，原假设为：

H0 : 1 2 , k 0
即模型线性关系不成立。备择假设为：

H1 : 1, 2 ,, k不全为零

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对于一元线性回归模型，假设为：
H0 : 1 0 H1 : 1 0

然后根据样本观测值和估计值，计算 F 统计量

的数值：

ESS F RSS k

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§3.3变量显著性检验(t检验) Testing the Individual Significance

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变量显著性检验即对回归系数的显著性进 行检验，如果变量是显著的，那么回归系 数应该显著地不为0。于是，在变量显著性 检验中设计的原假设为：
H0：i=0 而备择假设为：
H0 : 1 0 H1 : 1 0
此时，两种检验是一致的。

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另一方面，两个统计量之间有如下关系：

2

F

yˆ i2



ei2 (n 2)

ˆ12 xi2
ei2 (n 2)

ˆ12
ei2 (n 2)



xi2





ˆ1



ei2 (n 2) xi2







ˆ1



2

ei2 n 2
H1: i0
其中 的下角标i，在一元回归模型中取值1：
在二元回归模型中取值1、2。

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然后根据样本观测值和估计值，计算统计量：

t



ˆi
S

i ˆi

该统计量服从自由度为(n k 1) 的 t 分布，即

t ~ t(n k 1)

在 t 统计量的算式中， i 为总体回归系数，