电工学-正弦交流电路

有效值是从电流的热效应来规
–Im
i Im sin(t i )
定的。交流电流通过一个电阻时在一 个周期内消耗的电 能与某直流电 流在同一电阻相同时间内消耗的电 能 相等，这一直流电流的数值定义 为交流电的有效值。
当电流为正弦量时：
I Im 2
同理可得
T
根据上述定义，有 Ri 2dt RI 2T 0
•
UL
为正
时电路 中电压 电流相 量图
•
• UL UC
•
U
•
UR
•
UC
的大小和正负由
电路参数决定。
Z 阻抗
XL XC
三角形 I•
R
2.4 电阻、电感与电容元件串联的交流电路
2. 功率
瞬时功率
p ui UmIm sin(t )sint
整理可得
p UI cos UI cos(2 t )
1
i
i1
i2
u 和 i 的相位差为
( t 1 ) ( t 2 ) 1 2
i1 与 i2 同相
图中 1 2 u 超前 i
或称 i 滞后 u 角
角
当两个同频率的正弦量计时起
O
t 点改变时，它们的初相位角改变，
但初相角之差不变。
i3
i1 与 i3 反相
返回
2.2 正弦量的相量表示法
得
I
1
T
i 2dt
T0
U Um E Em
2
2
2.1.3 初相位
正弦量所取计时起点不同，其初始值(t = 0)时的值及到 达幅值或某一特定时刻的值就不同。
例如：i Im sin t
t = 0 时，i0 0 i
i Im sin( t ) i0 Imisin 不等于零
O
t
O
t
t 和( t + )称为正弦量的相位角或相位。它表明正弦
O
• U
+1
相量图
2. 功率 i
+
u
C
–
波 形
iu
图
O
t
u Um sint
p
i Im sin( t 90 ) 瞬时功率 p ui UI sin 2t
+
+
平均功率 P 0
O
–
– t
无功功率 Q UI XC I 2
当 电u、容i与实电际源方之向间相能同量时交(换u的增规长模)称p 为> 0无,功电功容率吸。收其功值率为；瞬 时当功率u、的最i 实大际值方，向单相位反为时(v(aur)乏减。小)p < 0, 电容提供功率。
– t
当电u感、无与i功实电功际源率方之Q向间相能U同量I 时交 换(XiL的I增2规长模UX)称L2p为>无0 功, 电功感率吸。收其功值率为；瞬
时功当率u的、最i大实值际，方单向位相为反(时va(r)i 乏减。小) p < 0, 电感提供功率。
电感不消耗功率，它是储能元件。
2.3.3 电容元件的交流电路
2.1 正弦电压与电流 I, U
直流电路在稳定状态下电流、电压的大
小和方向是不随时间变化的，如图所示。
正弦电压和电流是按正弦规律周期性
变化的，其波形如图示。
O u, i
t
电路图上所标的方向是指它们的参考
方向，即代表正半周的方向。
负半周时，由于的参考方向与实际方
+
向相反，所以为负值。
实
i
O i
t
际 方
u Ri RIm sint Um sint
u
+j
–
波
形 图
O
i
电压与电流同频率、同相位；
t O
•
I
•
U
+1
相量图
电压与电流大小关系 U RI 电压与电流相量表达式 U RI
2. 功率
u
i
+
u
R
–
O
t
i
p
i Im sin t
u Um sin t
瞬时功率
p ui UI(1 cos2t)
按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形，
称为相量图。 j
[例 1] 若 i1 = I1 msin( t + i1) i2 = I2 msin( t + i2)， 画相量图。
设 i2 = 65， i1 = 30 。
•
I2m
i2 i1
注意
O
相 量 •图 I1m
1
只有正弦周期量才能用相量表示；
设在电容元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。
1. 电压电流关系 i
+
u
C有
设 u Um sint
由 i C du
dt
i CUm cost Im sin(t 90 )
– XC
式中
Um
Im
1
C
Im XC
XC
1
2fC
容抗
1
XC C 容抗与频率 f，电容
C
成反比。因此，
电容元件对高 频电流所呈现的容抗很小，
XL
式中
Um LIm X LIm
X L 2fL 感抗
XL L
感抗与频率 f 和 L 成正比。因此，
O
f 电感线 圈对高频电流的阻碍作用很大，
XL与 f 的关系 而对直流可视为短路。
2.3.2 电感元件的交流电路
1. 电压电流关系
i
+
u
L
–
i Imsint u Um sin( t 90 )
只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；
相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是 时间的函数，二者之间并不相等。
想一想，正弦量有哪几种表示方法，它们各适 合在什么场合应用？
[例 2] 若已知 i1 = I1 msin( t + 1) = 100sin(t + 45) A， i2 = I2 msin( t + 2) = 60 sin(t 30) A ，求 i = i1 + i2。
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除用三角
函数式和正弦波形表示外，还可以用相量来表示。
正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。
设平面有一复数Ａ 复数Ａ可有几种式子表示
+j
b
模
A = a + jb
代数式
A = r(cos + jsin ) 三角式
r
= rej
指数式
O 幅角
a r cos b r sin
阻抗的单位是欧姆，对电流起阻碍作用；
arctan UL UC arctan X L XC
UR
Rபைடு நூலகம்
是阻抗的幅角，即为电流与电压之间的相位差。
2.4 电阻、电感与电容元件串联的交流电路
1. 电压电流关系
设电流 i Im sint 为参考正弦量 则电压 u Um sin(t )
当 XL > XC ， 为正，电路中电压超前电流，电路呈电感性； 当 XL < XC ， 为负，则电流超前电压，电路呈电容性； 当 XL = XC ， = 0，则电流与电压同相，电路呈电阻性。
O
f 而对直流所呈现的容抗趋于无穷大，故
XL 与 f 的关系 可视为开路。
2.3.3 电容元件的交流电路
1. 电压电流关系 i
+
u
C
–
i
u Um sint i Im sin( t 90 )
+j •
u
I
波 形O 图
电流超前电压 90 电压与电流大小关系 电压与电流相量式
t
U XCI U jXC I
a
+1 = r /
极坐标式
复数在进行加减运算时应采用代数式，
实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
r a2 b2 arctan b
复数进行乘除运算时应采用指数式或极 坐标式，模与模相乘除，幅角与幅角相加减。
a
2.2 正弦量的相量表示法
由以上分析可知，一个复数由模和幅角两个特征量确定。 而正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。但在分析线性电 路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量， 因此，频率是已知的，可不必考虑。故一个正弦量可用幅值和 初相角两个特征量来确定。
量的进程。 t = 0 时的相位角称为初相位角或初相位。
若所取计时时刻不同，则正弦量初相位不同。
u
2.1.3 初相位
i
u i
在一个交流电路中，电压电流频 率相同，而相位常不相同，如图示
u Umsin( t 1 )
i Im sin( t 2 )
O
2
t
同频率正弦量的相位角之差或是
初相角之差，称为相位差，用 表示。
+ u
R
向
–
+ uR
–
表征正弦量的三要素有 幅值 频率 初相位
正半周
负半周
2.1.1 频率与周期
周期 T：正弦量变化一周所需要的时间；
频率 f：正弦量每秒内变化的次数； i
1
Im
f
T
2 t
角频率 :
O
T/2 Ｔ t
2 2f
T
–Im
T
［例 1］我国和大多数国家的电力标准频率是 50 Hz，试
电路的阻抗，用 Z 表示。
Z
R2
(XL
XC
)2e
j
arctan
X
L
X R
C
Z ej
2.4 电阻、电感与电容元件串联的交流电路
1. 电压电流关系
Z
R2
(XL
XC
)2
jarctan X L XC
e
R
上式中
Z
R2 ( X L XC )2
R2 (L 1 )2 C
称为阻抗模，即
U I
R2 ( X L XC )2 Z
i
1. 电压电流关系
+
根据欧姆定律 u iR
u
R 设 i Im sin t
–
则 u Ri RIm sin t Um sin t
式中
Um RIm 或
Um U R Im I
可见，R 等于电压与电流有效值或最大值之比。
2.3.1 电阻元件的交流电路
1. 电压电流关系
i
+
u
R
i Im sint
XC
i Im sin( t 90 )
2.3sin(314 t 90 ) A
P0
Q UI 356.4 var
额定电压 ≥ 311 V
返回
2.4 电阻、电感与电容元件串联的交流电路
在 R、L、C 串联交流电路中，电流电压参考方向如图所示。
1. 电压电流关系
如用相量表示电压与电流关系，
i
I 可把电路模型改画为相量模型。
[解] 正弦电量的运算可按下列步骤进行，首先把
正弦电量 (时间函数)
相量 变换 (复数)
相
所求 正弦量
反变换
量 结
果
相量 运算 (复数 运算)
于是得
Im I1m I2m 100ej45 60ej30 (70.7 j70.7) (52 j30) 129ej18.3A
i 129sin(t 18.3 ) A
+ u+
–R u u+
L– – uC+–
R
+
+ U–R
L
U
+ U–L
+
C – U–C
KVL 相量表示式为
R
U UR UL UC
jXL – jXC
RI jX LI jXC I
UI
R
R
j( X L j( X L
XC XC
)I
)
根据 KVL 可列出
u uR uL uC
Ri L di 1 idt dt C
电容不消耗功率，它是储能元件。
[例 1] 下图中电容 C = 23.5 F，接在电源电压 U = 220 V、频率为 50 Hz、初相为零的交流电源上，求电路中 的电流 i 、P 及 Q。该电容的额定电压最少应为多少伏？
i
[解] 容抗
+
u
C
XC
1
C
1
2 fC
135.5
–
I U 1.62 A
求
其周期和角频率。 ［解］
T 1 0.02 s f
= 2 f =2 3.14 50 = 314 rad/s
2.1.2 幅值与有效值
i
瞬时值是交流电任一时刻的值。 Im
用小写字母表示。如 i、u、e 分别表
2 t
示电流、电压、电动势的瞬时值。 O
T/2 Ｔ t
最大值是交流电的 幅值。用大 写字母加下标表示。如 Im、Um、Em。
u i
相量图 +j
•
U
波 形O 图 电压超前电流 90；
t
O
•
I
+1
电压与电流大小关系 电压与电流相量式
U XLI U jX LI
2. 功率 i
+
u
L
–
波 形
u i
图
O
t
i Im sint
p
u Um sin( t 90 )
瞬时功率 p ui UI sin 2t
+
+
平均功率 P 0
O
–
平均功率
P
1 T
T
0
pdt
O
UI
U2 R
I2R
转换成的热能 W Pt
P =U I
t
2.3.2 电感元件的交流电路
设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。
i
+
u
L
–
1. 电压电流关系
设 i Im sint
由 u L di ，有 dt
u L Imcos t Um sin( t 90 )
第 2 章 正弦交流电路
在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应 用更为广泛。
正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所 产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。
本章将介绍交流电路的一些基本概念、基本理论和基本分 析方法，为后面学习交流电机、电器及电子技术打下基础。
本章还将讨论三相交流电路和非正弦周期电压和电流。 交流电路具有用直流电路的概念无法理解和无法分析的物 理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即 为正弦量的幅值或有效值，复数的幅角即为正弦量的初相角。
为与复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并在大 写字母上打一 “•”。
i Im sin( t ) 的相量式为
I I(cos jsin ) Iej I / (有效值相量)
上式中
j 1
返回
2.3 单一参数的交流电路
电路分析是确定电路中电压与电流关系及能量的转换问题。
本节从电阻、电感、电容两端电压与电流一般关系式入 手，介绍在正弦交流电路中这些单一参数的电压、电流关系 及能量转换问题。为学习交流电路打下基础。
2.3.1 电阻元件
设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。