高考数学总复习 直线与圆的位置关系学案
2.5.1 直线与圆的位置关系 学案(含解析)
2.5.1 直线与圆的位置关系学案（含解析）第二章直线和圆的方程2.5.1 直线与圆的位置关系学案学习目标1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.3.逐步理解用代数方法处理几何问题的基本思想和方法.知识汇总1.直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点.2.在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.习题检测1.对任意的实数k，直线与圆的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心2.若直线l与圆相切于点，则直线l的方程为( )A. B.C. D.3.若直线与圆没有公共点，则实数m的取值范围是( )A. B.或C.或D.4.若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为( )A.0或4B.0或3C.或6D.或5.一束光线从点射出，经x轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A.或B.或C.或D.或6.（多选）已知圆，则( ).A.圆M可能过原点B.圆心M在直线上C.圆M与直线相切D.圆M被直线所戴得的弦长为7.过点且与圆相切的直线的方程为__________________.8.如图所示是一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥顶部离水面2m，水面宽12m，若水面下降1m，则水面的宽为_______________m.9.已知圆，直线.(1)求证：不论m取什么实数，直线l与圆恒有两个不同的交点；(2)若直线l被圆C截得的弦长最小，求此时l的方程.10.已知点，直线及圆.（1）求过点M的圆的切线方程；（2）若直线与圆相切，求a的值；（3）若直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值.答案以及解析1.答案：C解析：直线恒过定点，由定点在圆内，知直线与圆一定相交.又直线不过圆心，所以位置关系是相交但直线不过圆心，故选C.2.答案：D解析：由题意，得点P在圆上，且点P与圆心的连线的斜率是，则切线l的斜率是，则切线方程为，即为.故选D.3.答案：B解析：圆的圆心为，半径为2，由题意得，圆心到直线的距离，或.故选B.4.答案：A解析：由圆的方程，可知圆心坐标为，半径.又直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离.又，所以，解得或.故选A.5.答案：C解析：圆的方程可化为，易知关于x轴对称的点为，如图所示，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k，其方程为，即，依题意得，圆心到反射光线所在直线的距离，化简得，解得或.故选C.6.答案：ABD解析：圆，圆心为，半径为1，若圆M过原点，则，解得或，故A 正确；因为，所以圆心M在直线上，故B正确；圆心到直线的距离，故圆M与直线相离，故C错误；圆心到直线的距离，所以圆M被直线截得的弦长，故D正确.故选ABD.7.答案：或解析：易知点在圆外，当切线的斜率存在时，设国的切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径，得，所以切线方程为.当切线的斜率不存在时，切线方程为.综上，所求直线的方程为或.8.答案：解析：如图，建立平面直角坐标系，设初始水面在AB处，则由已知得，设圆C的半径长为，则，故圆C 的方程为，将代入，得，所以圆C的方程为.① 当水面下降1m到时，设.将代入①式，得，所以水面下降1m后，水面宽为m.9.解析：(1)将直线l的方程改写成，因为，所以，解得，，可知直线l恒过定点，因为圆心，半径，易得，因此点A必在圆C内，故直线l与圆恒有两个不同的交点.(2)由图形位置关系可知，当弦长最小时，必有，因为，则，从而，得，故直线l的方程为.10.解析：（1）由题意得，圆心，半径.当直线的斜率不存在时，方程为.由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切.当直线的斜率存在时，设方程为，即.由题意知圆心到直线的距离，解得，方程为.故过点M的圆的切线方程为或.（2）由题意得，圆心到直线的距离为，解得或.（3）圆心到直线的距离为，，解得.2。
学案 3.1直线与圆的位置关系(3)
学案----3.1直线与圆的位置关系（3）姓名：班级：【我们要掌握的】1、已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。
思考：圆心A到X轴、Y轴的距离各是多少?2、设⊙O的半径为r，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d与r的关系是……………………（）A、d≤rB、d＜rC、d≥rD、d＝r3、设⊙O的半径为r，直线a上一点到圆心的距离为d，若d=r，则直线a与⊙O的位置关系是…………………（）A、相交B、相切C、相离D、相切或相交【我们要完成的】合作学习切线的性质：1、如图,直线AT与⊙O相切于点A,连结OA.∠OAT等于多少度?在⊙O上再任意取一些点,过这些点作⊙O的切线,连结圆心与切点,半径与切线所成的角为多少度?由此你发现了什么?几何语言：∵∴2、任意画一个圆,作这个圆的一条切线,过切点作切线的垂线,你发现了什么?你的发现与你同伴发现相同吗?几何语言：∵∴例1 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图,用角尺的较短边紧靠⊙O于点A,并使较长边与⊙O相切于点C,记角尺的直角顶点为B,量得AB=8cm,BC=16cm.求⊙O的半径.TA O例2 如图,直线AB 与⊙O 相切于点C,AO 与⊙O 交于点D,连结CD.求证:COD ACD ∠=∠21弦切角：概念：性质：随堂自测练一练：1、如图,AB 切⊙O 于点B,割线ACD 经过圆心O,若∠BCD=700, 则∠A 的度数为( )A.20°B.50°C.40°D.80°2、如图, ⊙O 切PB 于点B,PB=4,PA=2,求⊙O 的半径。
3、如图：PA,PC 分别切圆O 于点A,C 两点,B 为圆O 上与A,C 不重合的点,若∠P=50°,求∠ABC 的度数。
4、如图，已知：AB 与⊙O 相切于点C ，OA=OB ，⊙O 的直径为6cm ,AB=8cm,则OA=_____cm. 若AB 等于6cm ，则∠AOB=_______.5、如图，∠APＣ=50°，PA、PC、DE都为⊙O的切线，则∠DOE为。
直线与圆的位置关系导学案
标题： 直线与圆的位置关系
日期：
制作：
课型 复习课 班级：
学生姓名：
学习目标
重点
难点
1、理解直线与圆的位置的种类； 2、会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系 3、掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题
直线与圆的位置关系及其判断方法.
掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题
究
A2 B2
d ______ r d ______ r d ______ r
1
一、小组探究，合作交流 判定下列所给直线与圆的位置关系，并给出你的判断依据
1 请判断直线 x y 2 0 与圆 x2 y2 1 的位置关系？
2、请判断直线 x y 1 0 与圆 x2 y2 1 的位置关系？
知识回顾：
1、点 Px0 y0 到直线 l：Ax By C 0 的距离：
课
前 2、一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 根的个数与判别式 的关系？
预 3、圆的标准方程：
习 4、圆的一般方程：
；圆心：
；半径：
5、直线与圆的位置关系有
，
，
．
归纳
分
已知直线 Ax By C 0 与圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 ，据方程判断直线与圆的位置关系
练习
1、（2018 年）圆心为两直线 x y 2 0 和 x 3y 10 0 的交点，且与直线 x y 4 0 相
切的圆的标准方程是
.
（2019 年）已知圆 C 和y 轴相切于点 (0,5) ，半径为 5 ，则圆 C 的标准方程是 ( )
直线与圆的位置关系导学案
直线与圆的位置关系学习目标：（1）经历探索直线与圆的位置关系的过程，感受类比、转化、数形结合等数学思想，学会数学地思考问题（2）理解直线和圆的三种位置关系————相交，相离，相切。
（3）会正确判断直线和圆的位置关系。
（重、难点）学习过程：一、知识准备（3分钟）复习：点与圆的位置关系，回答问题：如果设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，请你用d与r之间的数量关系表示点P与⊙O的位置关系。
课题引入：每天早上我们看到太阳从东方冉冉升起，如果我们把太阳抽象成一个圆，把地平线看着是一条直线，他们会出现几种情况呢？要解决这个问题我们一起来学习直线与圆的位置关系。
二、自主学习（25分钟）自学教材P100---P102思考下列问题：1、操作：请你画一个圆，上、下移动直尺。
思考：在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化？直线与圆位置关系直线名称交点个数交点名称图形D与R之间的大小关系相交相切相离3、探索：下图是直线与圆的三种位置关系，若⊙O半径为r， O到直线l 的距离为d，则d与r的数量关系和直线与圆的位置关系：①直线与圆 d r，②直线与圆 d r ，③直线与圆 d r。
4、例题精析例：在Rt△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2 (2)r=22(3)r=3⇔⇔三、小组交流：各小组交流课前预习成果，准备展示，组长汇总存在问题。
四、班级展示：组织展示交流自学成果，老师引导交流，掌握学情。
五、质疑探究：对各小组出现的问题，其他小组帮助解决，老师适时点拨，及时矫正补充，强调出现的问题用红笔在学案上纠正。
六、自悟自得：本节课你都收获了什么？直线与圆的位置关系有几种判定方法？达标检测：1、圆O的直径4，圆心O到直线L的距离为3，则直线L与圆O的位置关系是（）（A）相离（B）相切（C）相交（D）相切或相交2、直线l上的一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线l与⊙O的位置关系是（）（A）相切（B）相交（C）相离（D）相切或相交3、填空：直线与圆有＿＿＿＿种位置关系：▲直线与圆有两个公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿＿。
直线与圆、圆与圆的位置关系导学案
直线与圆、圆与圆的位置关系导学案
一、知识梳理1．直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系：设圆1：(－1)＋(－1)＝1(1>0)，圆2：(－2)＋(－2)2＝r22(r2>0)．
3.辨明两个易误点
(1)对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．
(2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．
[熟记常用结论]
1．圆系方程：(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．。
高考数学一轮复习 专题 直线与圆、圆与圆的位置关系学案 新人教版
直线与圆、圆与圆的位置关系一、考纲要求直线与圆、圆与圆的位置关系B二、复习目标1．掌握直线与圆的关系，即相交、相切、相离，并能够利用直线和直线垂直的充要条件和点到直线的距离公式解决圆的切线和弦长等有关问题．2．能根据给定的两个圆的方程判定两圆的位置关系，并能根据两圆的位置关系解决有关问题，初步了解用代数方法处理几何问题的思想．三、重点难点直线与圆相交的弦长问题，直线与圆相切问题． 根据两个圆的方程判定两圆的位置关系．四、要点梳理(一) 直线与圆的位置关系1．位置关系有： 、 、 ．2．判断方法：(1)代数法：方程组2220()()Ax By C x a y b r ++=⎧⎨-+-=⎩有两组不同的实数解⇔直线与圆 ；有两组相同的实数解⇔直线与圆 ；无实数解⇔直线与圆 ．(一般不用此法) (2)几何法：圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，满足：_______⇔直线与圆相离；_______⇔直线与圆相切；_______⇔直线与圆相交。
说明：解决直线与圆的关系问题时，一般用几何法不用代数法，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).(二) 圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系有： 、 、 、 、 ．2．根据圆的方程，判断两圆位置关系的方法有：（1）代数法：方程组⎩⎨⎧=++++=++++0022********F y E x D y x F y E x D y x 有两组不同的实数解⇔两圆 ； 有两组相同的实数解⇔两圆 ；无实数解⇔两圆 ．(一般不用此法)（2）几何法：设两圆圆心分别为1O ，2O 半径分别为12,r r ，12O O d =，则⇔+>21r r d 两圆 ⇔__条公切线；⇔+=21r r d 两圆 ⇔___条公切线；2121r r d r r +<<-⇔两圆______⇔____条公切线；⇔≠-=)(2121r r r r d 两圆 ⇔____条公切线；⇔≠-<≤)(02121r r r r d 两圆 ⇔无公切线（0=d 时为同心圆）． 五、基础自测1．已知圆22:4O x y +=，则过点(2,4)P 与圆O 相切的切线方程为 ．2．若过点(4,0)A 的直线l 与圆22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________________.3．圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有____个.4．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围是___________.5．若圆222(3)(5)x y r -++=上有且仅有两个点到直线432x y -=的距离等于1，则半径r 的取值范围为____________________ .6．设集合{}{}2222(,)()(1)1,(,)(1)()9A x y x a y B x y x y a =-++==-+-=，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围为___________________.六、典例精讲例1．在平面直角坐标系xoy 中，直线:(4)1l y k x =-+与圆 22:(1)25C x y ++=的位置关系为 ．变式1：若直线l 被圆 C 所截的弦长为6，则k = ．变式2：过点(4,1)的直线被圆 C 所截的弦长为6，则直线的方程为 ．变式3：直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧？为什么？变式4：若直线l 被圆C 所截的弦长为整数，这样的直线有 条；变式5：直线l 与圆C 交于,E G 两点，直线1l ：(1)40x k y +--=与圆C 交于,F H 两点则四边形EFGH 的面积最大值为 ．例2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线42:-=x y l ，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．变式1：在平面直角坐标系xOy 中，(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上，过A 点向动圆C 引切线,AP AQ ，,P Q 为切点，求AP AQ ⋅ 的最小值．变式2：在平面直角坐标系xOy 中， (0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在一点M ，使得223MA MO -=，求圆心C 的横坐标的取值范围．变式3：在平面直角坐标系xOy 中， (0,3)A ，直线:24l y x =-，若过A 任作两条互相垂直的直线12,l l ，使其总与半径为1，圆心在直线l 上的两个定圆1C 与2C 相交，且12,l l 分别被圆12,C C 截得的弦长相等，求圆1C 与2C 的方程．例3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(3)(1)4x y ++-=和圆2C ：2(4)x -+2(5)y -4=．（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为32，求直线l 的方程：（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．变式1：已知圆C 1：22(3)(1)4x y ++-=和圆C 2：2(4)x -+2(5)y -1=．设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们 分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线1l 被圆C 1截得的弦长与直线2l 被圆C 2截得的弦长之比为2:1，试求所有满足条件的点P 的坐标．变式2：在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：22(3)(1)4x y ++-=和圆C 2：2(4)x -+2(5)y -4=．过两圆外一点(,)P a b 引两圆的切线，切点分别为,A B ,满足PA PB =（1）求,a b 满足的关系式；（2）求PA 的最小值．变式3：在平面直角坐标系xoy 中，已知圆1C ：22(3)(1)4x y ++-=和圆2C ：2(4)x -+2(5)y -1=．过两圆外一点(,)P a b 引两圆的切线，切点分别为,A B ，满足2PA PB =，求12PC C ∆的面积的最大值．直线与圆、圆与圆的位置关系课后练习1．已知点),(b a P 在圆222r y x =+的外部，则直线2r by ax =+与圆222r y x =+的位置关系是___________．2．已知圆01010:221=--+y x y x C 和04026:222=-+++y x y x C 相交于A B 、两点，则公共弦AB 的长度为___________．3．过原点且与直线1=x 及圆1)2()1(22=-+-y x 相切的圆的方程为_____________．4．已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ，则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为_______________________．5．若圆2221:240()C x y ax a a R +++-=∈与2222:210()C x y by b b R +--+=∈圆恰有三条切线，则a b +的最大值为_____________．6．过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于,A B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为___________________．7．已知圆M ：22(cos )(sin )1x y θθ++-=，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：①对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；②对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；③对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切；④对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切．其中真命题的代号是______________．（写出所有真命题的代号）8． (1)已知)4,3(A ，求圆422=+y x 上的点与点A 的最大距离和最小距离；(2)已知圆1)4()3(:22=-+-y x C ，点)1,0(-A ，)1,0(B ，设P 是圆C 上的动点，令22PB PA d +=，求d 的最大值与最小值；(3)已知点),(y x P 是圆4)3()3(22=-+-y x 上任意一点，求点P 到直线062=++y x 的最大距离与最小距离．9．如图，已知圆心坐标为的圆M 与x轴及直线y 分别切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x轴及直线y =分别切于C 、D 两点．（1）求圆M 和圆N 的方程；（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．10．已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .（1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQ PR 为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.。
2025年高考数学一轮复习-直线与圆、圆与圆的位置关系【导学案】
第4课时-直线与圆、圆与圆的位置关系【课标解读】【课程标准】1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.【核心素养】数学抽象、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的热点内容之一,其中直线与圆相切及直线与圆相交是重点考查的内容,多以选择题或填空题的形式出现.预测预计2025年高考直线与圆、圆的位置关系仍会出题,一般在选择题或填空题中出现.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>r d=r d<r微点拨判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.微思考当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?提示:直线与圆相交或相切.2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22(r2>0).位置关系方法公切线条数几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1+r2无解4外切d=r1+r2一组实数解3相交|r1-r2|<d<r1+r2两组不同的实数解2内切d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解1内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)无解03.直线被圆截得的弦长(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2- 2.(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x的一元二次方程,则|MN|=1+ 2·( + )2-4 .常用结论1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.3.两圆相交时公共弦的性质圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12+ 12-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(22+ 22-4F2>0)相交时:(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号12,3541.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切.(√)提示:(1)直线与圆有一个公共点,则直线与圆相切,有两个公共点,则直线与圆相交,故(1)正确;(2)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(×)提示:(2)两圆没有公共点,则两圆外离或内含,故(2)错误;(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(×)提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切或内切,故(3)错误;(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(√)提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.2.(选择性必修第一册人AP96例5变条件)圆O1:x2+y2-4y+3=0和圆O2:x2+y2-16y=0的位置关系是()A.外离B.相交C.相切D.内含【解析】选D.O1:x2+(y-2)2=1,O2:x2+(y-8)2=64,所以O1(0,2),r1=1,O2(0,8),r2=8, 1 2=(0-0)2+(2-8)2=6,则 1 2=6<r2-r1=7,所以两圆内含.3.(选择性必修第一册人AP93练习T3变条件)直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于()A.62B.3C.23D.6【解析】选D.圆心(-2,2)到直线x-y+3=0的距离d=22,圆的半径r=2,解直角三角形得,半弦长为62,所以弦长等于6.4.(2022·天津高考)若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=__________.【解析】因为圆心C(1,1)到直线x-y+m=0(m>0)的距离d又直线与圆相交所得的弦长为m,所以m=2 2- 2,所以m2=4(3- 22),解得m=2.答案:25.(忽视直线斜率不存在的情形致误)过点P(2,2)的圆C:x2+(y-1)2=2的切线方程为______________________.【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r=2;当过P的直线斜率不存在,即直线方程为x=2时,直线与圆C相切;设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,则圆心C到直线的距离d=2,即k=-24,所以该切线方程为-24x-y+52=0,即x+22y-52=0;综上所述:所求切线方程为x=2或x+22y-52=0.答案:x=2或x+22y-52=0【核心考点·分类突破】考点一直线与圆的位置关系考情提示直线与圆相切求切线方程以及直线与圆相交求弦长是高考的重点,正确利用圆心到直线的距离与半径之间的关系是解决此类问题的关键.角度1直线与圆的位置关系的判断[例1](1)(一题多法)已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y+3-4k=0的位置关系是()A.相交、相切或相离B.相交或相切C.相交D.相切【解析】选C.圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圆心为C(3,4),半径为r=2.方法一直线l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直线l过定点B(4,3).(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以点B(4,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交.方法二圆心C(3,4)到直线l:kx-y+3-4k=0的距离为≤2<4,所以直线与圆相交.(2)(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切【解析】选ABD.圆心C(0,0)到直线l的距离d若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以dr,则直线l与圆C相切,故A正确;若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以dr,则直线l与圆C相离,故B正确;若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以dr,则直线l与圆C相交,故C错误;若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以dr,则直线l与圆C相切,故D正确.解题技法判断直线与圆的位置关系的一般方法(1)几何法:圆心到直线的距离与圆半径比较大小,特点是计算量较小;(2)代数法:将直线方程与圆方程联立方程组,通过解的情况判断,适合于判断直线与圆的位置关系.角度2弦长问题[例2](2024·昆明模拟)已知直线y=2x与圆(x-2)2+(y-2)2=1交于A,B两点,则 =()A.55B.255C.355D.455【解析】选B.因为圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,所以圆心坐标为(2,2),半径r=1,则圆心(2,2)到直线y=2x的距离d=255,所以弦长 =2 2- 2=2=255.解题技法直线和圆相交弦长的两种求法(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长.(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2 2- 2.根据弦长求直线方程时要注意验证斜率不存在的情况.角度3切线问题[例3]已知点P(2+1,2-2),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点P的圆C的切线方程;【解析】由题意得圆心C(1,2),半径r=2.(1)因为(2+1-1)2+(2-2-2)2=4,所以点P在圆C上.又k PC-2-所以切线的斜率k=-1 =1.所以过点P的圆C的切线方程是y-(2-2)=x-(2+1),即x-y+1-22=0.(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.【解析】(2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以点M在圆C外部.当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离dr=2,解得k=34.所以切线方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.因为|MC|=(3-1)2+(1-2)2=5,所以过点M的圆C的切线长为| |2- 2=5-4=1.解题技法1.过一点求圆的切线方程的两种求法(1)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.注意斜率不存在的情况.(2)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.注意斜率不存在的情况.特别地,当点在圆上时,可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程.2.过圆外一点P引圆的切线,求切线长时,常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形求解.对点训练1.(2024·南京模拟)直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心【解析】选D.由题意知,圆(x-1)2+(y+1)2=9的圆心为(1,-1),半径r=3,则圆心到直线3x+4y+12=0的距离d=115,因为0<d<r,所以直线与圆相交但不过圆心.2.过点(-33,0)且倾斜角为π3的直线l交圆x2+y2-6y=0于A,B两点,则弦AB的长为()A.42B.22C.210D.10【解析】选A.过点(-33,0)且倾斜角为π3的直线l的方程为y=3(x+33),即3x-y+1=0,又圆x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,所以圆心(0,3),半径r=3,则圆心(0,3)到直线l的距离d=|-3+1|2=1,所以直线被圆截得的弦AB=232-12=42.3.(2024·东城模拟)已知点M(1,3)在圆C:x2+y2=m上,过M作圆C的切线l,则l的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选D.由题意得m=1+3=4,当l的斜率不存在时,此时直线方程为x=1,与圆C:x2+y2=4相交,不符合题意;当l的斜率存在时,设切线l的方程为y-3=k(x-1),-3|解得k=-33,因为l的倾斜角为0°≤θ<180°,故l的倾斜角为150°.【加练备选】(2024·宜春模拟)已知圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2).(1)求圆C的方程;【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2),得 =02+ + + =0 20+4 +2 + =0,解得 =-8 =6 =0,所以圆C的方程为x2+y2-8x+6y=0.(2)经过点M(1,-4)的直线l被圆C所截得的弦长为45,求直线l的方程.【解析】(2)由(1)知圆C:(x-4)2+(y+3)2=25,即圆心C(4,-3),半径为5,由直线l被圆C所截得的弦长为45,得圆心C到直线l的距离d=52-(25)2=5,而直线l经过点M(1,-4),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y+4=k(x-1),即kx-y-4-k=0,于是d=5,得k=2或k=-12,所以直线l的方程为2x-y-6=0或x+2y+7=0.考点二圆与圆的位置关系[例4](1)已知圆E的圆心在y轴上,且与圆x2+y2-2x=0的公共弦所在直线的方程为x-3y=0,则圆E的方程为()A.x2+(y-3)2=2B.x2+(y+3)2=2C.x2+(y-3)2=3D.x2+(y+3)2=3【解析】选C.两圆圆心连线与公共弦垂直,不妨设所求圆心的坐标为(0,a),半径为r.又圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,故 -1×解得a=3.故所求圆心为(0,3).点(1,0)到直线x-3y=0=12,所以x2+y2-2x=0截直线x-3y=0所得弦长为3,圆心(0,3)到直线x-3y=0的距离为32,所以圆截直线x-3y=0所得弦长为=3,解得r=3.故圆心坐标为(0,3),半径为3.得圆E的方程为x2+(y-3)2=3.(2)已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.①判断两圆公切线的条数;【解析】①两圆的标准方程分别为C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=52;圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=10.又|C1C2|=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以两圆相交,所以两圆有两条公切线.②求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度.【解析】②将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0.圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d =35,设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,得50=45+l2,解得l=5,所以公共弦长2l=25.一题多变[变式1]本例(2)中,若两圆相交于A,B两点,不求交点,则线段C1C2(C1,C2分别为两个圆的圆心)的垂直平分线所在的直线方程为______________.【解析】由圆C1的圆心坐标为(1,-5),圆C2的圆心坐标为(-1,-1),可知 1 2=-5-(-1)1-(-1)=-2,则k AB=12,C1C2的中点坐标为(0,-3),因此线段C1C2的垂直平分线所在的直线方程为y+3=12x,即x-2y-6=0.答案:x-2y-6=0[变式2]本例(2)中的两圆若相交于两点A,B,则经过两点A,B且圆心在直线x+y=0上的圆的方程为______________.【解析】设所求的圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,因此圆的圆心坐标为(1- 1+ ,- +51+ ),由于圆心在x+y=0上,则1- 1+ +(- +51+ )=0,解得λ=-2,因此所求的圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.答案:x2+y2+6x-6y+8=0解题技法圆与圆的位置关系问题的解题策略(1)判断两圆位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断.(2)两圆相交时,两圆的公共弦所在直线的方程,可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.(3)求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d、半弦长 2、半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.考点三与圆有关的最值、范围问题[例5](2024·沈阳模拟)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1) 的取值范围;【解析】(1)由圆的一般方程可得:圆心为(2,0),半径r=3;因为02+02-4×0+1=1>0,所以原点在圆x2+y2-4x+1=0的外部,设 =k,则kx-y=0(x≠0)与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,所以圆心(2,0)到kx-y=0(x≠0)的距离d≤3,解得-3≤k≤3,即 的取值范围为-3,3.(2)y-x的取值范围;【解析】(2)设y-x=m,则直线x-y+m=0与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,所以圆心(2,0)到x-y+m=0的距离d ≤3,解得-6-2≤m≤6-2,即y-x的取值范围为-6-2,6-2.(3)x2+y2的取值范围.【解析】(3)由(1)知:原点在圆x2+y2-4x+1=0的外部,则可设x2+y2=r2(r>0),则圆x2+y2=r2(r>0)与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,因为两圆圆心距d=(0-2)2+(0-0)2=2,所以r-3≤2≤r+3,解得2-3≤r≤2+3,所以7-43≤r2≤7+43,即x2+y2的取值范围为7-43,7+43.解题技法关于圆上点(x,y)有关代数式的最值问题的解法代数式特征求解方法u=y-b x-a转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值t=ax+by转化为动直线的截距的最值(x-a)2+(y-b)2转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离平方的最值对点训练(多选题)(2024·盐城模拟)已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-2=0,则下列选项正确的是()A.x2+y2的最大值是3+1B. +1 +1的最大值是2+6C.|x-y+3|的最小值是22-3D.过点(0,2)作曲线C的切线,则切线方程为x-2y+2=0【解析】选BD.由圆C:x2+y2-2x-2=0可化为(x-1)2+y2=3,可得圆心(1,0),半径r=3,对于A,由x2+y2表示圆C上的点到定点(0,0)的距离的平方,所以它的最大值为[(1-0)2+02+3]2=4+23,所以A错误;对于B, +1 +1表示圆上的点与点(-1,-1)的斜率,设 +1 +1=k,即y+1=k(x+1),由圆心(1,0)到直线y+1=k(x+1)的距离d≤3,解得2-6≤k≤2+6,所以 +1 +1的最大值为2+6,所以B正确;对于C,由 - +3表示圆上任意一点到直线x-y+3=0的距离的2倍,圆心到直线的距离d =22,所以其最小值为2(22-3)=4-6,所以C错误;对于D,因为点(0,2)满足圆C的方程,即点(0,2)在圆C上,则该点与圆心连线的斜率为k1=-2,根据圆的性质,可得过点(0,2)作圆C的切线的斜率为k=-1 1=22,所以切线方程为y-2=22(x-0),即x-2y+2=0,所以D正确.【加练备选】已知点P(x,y)在圆:x2+(y-1)2=1上运动.试求:(1)(x+3)2+y2的最值;【解析】(1)设圆x2+(y-1)2=1的圆心为A(0,1),半径r=1,点P(x,y)在圆上,所以(x+3)2+y2表示P(x,y)到定点E(-3,0)的距离的平方,因为|AE|=(3)2+12=2,所以|AE|-r≤|PE|≤|AE|+r,即1≤|PE|≤3,所以1≤(x+3)2+y2≤9,即(x+3)2+y2的最大值为9,最小值为1;(2) -1 -2的最值.【解析】(2)点P(x,y)在圆上,则 -1 -2表示圆上的点P与点B(2,1)连线的斜率,根据题意画出图形,当P与C(或D)重合时,直线BC(BD)与圆A相切,设直线BC的解析式为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0,所以圆心(0,1)到直线BC的距离d=r,解得k=±33,所以-33≤ -1 -2≤33,所以 -1 -2的最大值为33,最小值为-33.。
直线与圆的位置关系复习学案
D
典型例题
例 1． （2012•崇左） 已知∠AOB=30°， P 是 OA 上的一点， OP=24cm，以 r 为半径作⊙P． （1）若 r=12cm，试判断⊙P 与 OB 位置关系； （2）若⊙P 与 OB 相离，试求出 r 需满足的条件．
例 2.（2013•赤峰）如图，已知 MN 是⊙O 的直径，直线 PQ 与⊙O 相切于 P 点，NP 平分∠MNQ． （1）求证：NQ⊥PQ；
ห้องสมุดไป่ตู้《直线与圆的位置关系》复习学案
羊流镇初级中学九年级数学组
教师寄语
用心定能突破，唯有坚持才会走向胜利！
复习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系，能够根据数量关系判断直线与圆的 位置关系，或者根据直线与圆的位置关系求半径的取值范围. 2.掌握切线的性质定理，能够根据切线的性质定理进行有关的计算或 者证明. 3.掌握切线的判定定理，能够根据定义或判定证明圆的切线. 4.掌握与圆有关的常用的辅助线，通过强化训练，提高综合分析、解 决问题的能力. 重、难点 学习过程 圆的切线的判定定理和性质定理的运用
（2）若⊙O 的半径 R=3，NP=3 3，求 NQ 的长． 例 3.（2013•淮安）如图，AB 是⊙0 的直径，C 是⊙0 上的一点，直线 MN 经过 点 C，过点 A 作直线 MN 的垂线，垂足为点 D，且∠BAC=∠DAC． （1）猜想直线 MN 与⊙0 的位置关系，并说明理由； （2）若 CD=6，cos∠ACD=5 ,求⊙0 的半径．
3. （2013•镇江）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 在 AB 的延长线上，PC 切 半圆 O 于点 C，连接 AC．若∠CPA=20° ，则∠A=_________° ．
3题
4题
4. （2012•怀化）如图，点 P 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，⊙O 的半径 OA=2cm，∠P=30° ，则 PO= __________cm． 5. （2013•孝感）如图，△ABC 内接于⊙O，∠B=60° ，CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且 AP=AC． 求证：PA 是⊙O 的切线.
高三数学总复习教学案例——直线与圆的位置关系
高三数学总复习教学案例——直线与圆的位置关系一、复习目标：掌握圆的标准方程与一般方程，能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.用代数方法处理几何问题的思想体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一； 初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用. 二、复习重难点：直线与圆的位置关系判定 三、高考内容及要求：四、知识回顾： 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+-⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x .2、1、直线与圆的位置关系：直线l ：Ax+By+C=0与圆()()r b y a x 222=+--（r ﹥0）的位置关系的判断方法：⑴几何法：圆心（a ，b ）到直线Ax+By+C=0的距离BA CBb Aa d 22+++=，则①d ﹤r ⇔直线与圆相交；②d=r ⇔直线与圆相切；③d ﹥r ⇔直线与圆相离； ⑵代数方法：由直线与圆方程联立，消去其中一个未知数，得到一个一元二次方程的判别式为∆，则①∆﹥0⇔直线与圆相交；②∆=0⇔直线与圆相切；③∆﹤0⇔直线与圆相离；2、计算直线被圆截得的弦长的常用方法：①几何法：运用弦心距（圆心到直线的距离）、半弦长、及半径构成直角三角形计算； ②代数法：运用韦达定理及弦长公式 ()x x x x kAB 21224211-+=+ 或()y y y y kAB 212242111-+=+；五、教学过程：例1、基础训练：求以)3,1(N 为圆心，并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程. 探究：已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 . 解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为（1，0），半径为1，∴1125522=++a ，解得8=a 或18-=a .练习巩固：求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.解：设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+r b a ba rb a 5252)5(222， 解得⎪⎩⎪⎨⎧===531r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===55155r b a ，∴圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x .例2、基础训练：求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长. 探究1：直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .探究2：设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为32，则=a .解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得22222)3()11(=+++a a ，解得0=a .练习巩固：已知圆6)2()1(:22=-++y x C ，直线01:=-+-m y mx l .（1）求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.解：（1）∵直线)1(1:-=-x m y l 恒过定点)1,1(P ，且65=<=r PC ，∴点P 在圆内，∴直线l 与圆C 恒交于两点.（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点P 的直线l 垂直于PC 时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，此时21=-=PCl k k ，∴所求直线l 的方程为)1(21-=-x y 即012=--y x .例3、基础训练：已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.探究1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 解：依题意有a a >-21，解得1212-<<--a .∵0>a ，∴120-<<a .探究2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 解：依题意有11122<+-k k ，解得340<<k ，∴k 的取值范围是)34,0(. 练习巩固：若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m .六、反思总结：1、圆的标准方程和一般方程2、直线与圆、圆与圆的位置关系的要点3、复习、学到哪些解决问题策略，掌握了哪些数学思想方法七、作业安排：配套专题练习 八、教后反思：在新课程的高三复习中我们数学教师要把握好《新课程标准》、《教学要求》和《考试说明》中的重要信息，从学生实际出发，在复习内容上要进一步创新，要以设计有效练习为前提，编制教案和学案，促进学生加深对复习内容的理解和学习负担的减轻，从被动接受向主动探求转变，从而促进高三总复习效益的提高.。
直线与圆的位置关系(教案)
直线与圆的位置关系（复习）（教案）一、教学目标：知识目标：①巩固高一高二的成果，并在此基础上有所提高，对知识方法的掌握达到熟练程度；②熟练掌握圆的切线的求法，圆系方程的应用；③熟练运用直线与圆的位置关系的相关知识来解决有关问题。
能力目标：①培养学生观察、分析、类比转化、一题多解的能力；②培养学生数形结合的思想方法，提高分析问题、解决问题、总结归纳的能力。
情感态度、价值观目标：①通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；②通过直线与圆位置关系相关知识的深入研究，提高学生的解析几何的分析能力，培养学生探究精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情，使学生在学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
二、教学重点：①能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；②掌握两种方法解决几何问题：代数方法和几何方法。
三、教学难点：①根据不同的几何条件，求圆的方程；②解决有关圆与直线的位置关系的综合问题；③了解解析几何中多种数学方法的应用。
四、教学计划：大约3课时五、教学过程：㈠课程分析：1、教材的地位和作用：在近十年的高考中，对选择题题型考查本章的基本概念和性质，此类题难度不大，但每年必考。
以解答题考查直线与圆的位置关系，可能性不大。
所以考试这类题难度为中档题。
但是圆这一章性质比较多，特别是直线与圆这一知识非常重要，对后面学习直线与圆锥曲线起着抛砖引玉的作用，要重点研究。
解决直线与圆的位置关系的问题，要熟练运用数形结合的思想，既要充分运用平面几何中有关圆的性质，又要结合代定系数法运用直线方程中的基本度量关系，养成勤画图的良好习惯。
2、重点：①能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；②掌握两种方法解决几何问题：代数方法和几何方法。
3、难点：①根据不同的几何条件，求圆的方程；②解决有关圆与直线的位置关系的综合问题；③了解解析几何中多种数学方法的应用。
㈡学情分析：学生在前面已经学习了直线与圆的知识，还有圆锥曲线的知识。
直线与圆的位置关系(学案)
§24.2.2 直线和圆的位置关系教学目标：知识与技能：使学生理解直线和圆的三种位置关系，掌握其判定方法和性质；过程与方法：通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透分类、数形结合的思想，培养学生观察、分析和概括的能力；情感态度与价值观：使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯物主义观点．教学重点：直线和圆的位置关系的判定方法和性质．教学难点：直线和圆的三种位置关系的研究及运用．快乐学习：（一）思考：（1）“旭日东升”的过程，太阳和地平线会有几种位置关系？如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作是一条直线，由此你能得出直线与圆的位置关系吗？(2) 活动：在纸上画一条直线，把你手中准备的圆在纸上移动，你能发现在此过程中圆与直线公共点个数的变化情况吗？实践出真知：直线与圆的位置关系研究与理解：①直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同．②直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么?（二）直线与圆的位置关系的数量特征：1、迁移：点与圆的位置关系（设⊙O 的半径为r ，圆心与点p 之间的距离为d ）（1）点P 在⊙O 内 ⇔ _____________； （2）点P 在⊙O 上 ⇔______________； （3）点P 在⊙O 外 ⇔_______________。
2、归纳概括：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么(1) 直线l 和⊙O 相交⇔________；l(2) 直线l 和⊙O 相切⇔_______；l(3) 直线l 和⊙O 相离⇔________．l（三）知识应用:1、 请同学们自主完成优化设计P57《快乐预习》，巩固基础！2、 例1、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？为什么？ （1）r=2cm ； （2）r=2.4cm ； （3）r=3cm ．CAB3、练习：教材P94 第2题。
直线与圆的位置关系学案
1、若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 （ ） A 、03=--y x B 、032=-+y xC 、01=-+y xD 、052=--y x2、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ） (A)22 (B)4 (C)24 (D)23、若实数x 、y 满足等式 3)2(22=+-y x ，那么xy的最大值为( ) A.21 Ｂ.33 Ｃ.23 .3 王新敞4.过点P （1，6）与圆25)2()2(22=-++y x 相切的直线方程为 5从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，求切线长的最小值 。
课后作业1.已知点()1,2P 和圆C ：22220x y kx y k ++++=过P 作C 的切线有两条，则k 的取值范围是（ ）A ．R k ∈B ．kC．k ＜0 D．k2．圆2224200x y x y +-+-=截直线5120x y c -+= 所得的弦长为8，则c 的值是（ ） A ．10 B ．10或-68 C ．5或-34 D ．-683．已知实数,x y满足250,x y ++=（ ）ABC ．D ．4.直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则EOF ∆（O 为原点）的面积为（ ）A 、32B 、34CD5.设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ） A 1± B 21± C 33± D 3± 6.直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦为AB ，则AB 的弦心距是 弦长AB=7.若直线y=x+m与曲线y =m 的取值范围是8.圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的点共有 个。
9.自点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆C ：224470x y x y +--+=相切，求光线l 所在直线方程。
直线与圆的位置关系导学案
直线和圆的位置关系1、直线与圆的位置关系（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d,那么： 直线l 与⊙O 相交 ＜====＞ d<r ； 直线l 与⊙O 相切 ＜====＞ d=r ； 直线l 与⊙O 相离 ＜====＞ d>r ； 2、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
如右图中，OD 垂直于切线。
4、切线长定理（1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点 到圆的切线长。
（2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
（3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。
(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
如图圆O 是△A ＇B ＇C ＇的内切圆。
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
基础训练 1．填表：2．若直线a 与⊙O 交于A ，B 两点，O 到直线a•的距离为6，•AB=•16，•则⊙O•的半径为_____．3．在△ABC 中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以C 为圆心，分别以5，8为半径作图，那么直线AB 与圆的位置关系分别是______，_______，_______．4．⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含 5．下列判断正确的是（ ）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交． A ．①②③ B ．①② C ．②③ D ．③6．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点（O 除外），若以P 为圆心的⊙P 与OC 相离，•那么⊙P 与OB 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切7．如图所示，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C 为圆心，r 为半径作⊙C ，当r 为多少时，⊙C 与AB 相切？8．如图，⊙O 的半径为3cm ，弦，AB=4cm ，若以O 为圆心，•再作一个圆与AC相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与AB的位置关系如何？◆提高训练9．如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．10．如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以A为圆心，3cm•长为半径的圆与直线BC的位置关系是_______．11．如图，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，则以点BAC，EF，CD的位置关系分别是什么？12．已知⊙O的半径为5cm，点O到直线L的距离OP为7cm，如图所示．（1）怎样平移直线L，才能使L与⊙O相切？（2）要使直线L与⊙O相交，应把直线L向上平移多少cm？13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以C为圆心，r为半径作圆，•那么: （1）当直线AB与⊙C相切时，求r的取值范围；（2）当直线AB与⊙C相离时，求r的取值范围；（3）当直线AB与⊙C相交时，求r的取值范围．14．在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30•°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，•若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间．九年级下册直线和圆的位置关系练习题一、选择题：1．若∠OAB=30°，OA=10cm ，则以O 为圆心，6cm 为半径的圆与射线AB 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定2．Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C 为圆心作⊙C 和AB 相切，则⊙C 的半径长为（ ）A ．8B ．4C ．9．6D ．4．83．⊙O 内最长弦长为m ，直线l 与⊙O 相离，设点O 到l 的距离为d ，则d 与m 的关系是（ ）A ．d =mB ．d ＞mC ．d ＞2mD ．d ＜2m4．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．菱形对角线的交点为O ，以O 为圆心，以O 到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定6．⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 为63，以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定7．下列四边形中一定有内切圆的是（ ）A ．直角梯形B ．等腰梯形C ．矩形D ．菱形8．已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的（ ）A ．三条中线交点B ．三条高的交点C ．三条角平分线交点D ．三条边的垂直平分线的交点9．给出下列命题：①任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中真命题共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、证明题1． 如图，已知⊙O 中，AB 是直径，过B 点作⊙O 的切线BC ，连结CO ．若AD ∥OC 交⊙O 于D ．求证：CD 是⊙O 的切线．2． 已知：如图，同心圆O ，大圆的弦AB=CD ，且AB 是小圆的切线，切点为E ．求证：CD 是小圆的切线．3． 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3．（1）当圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 的位置关系怎样？ （2）若点O 沿CA 移动时，当OC 为多少时？⊙C 与AB 相切？4． 如图，直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，AD ∥BC ，E 为AB 上一点，DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，以AB 为直径的圆与边CD 有怎样的位置关系？5．设直线ι到⊙O的圆心的距离为d，半径为R，并使x2－2d x＋R=0，试由关于x的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O的位置关系．6．如图，AB是⊙O直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E．（1）由这些条件，你能得出哪些结论？（要求：不准标其他字母，找结论过程中所连的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形．（要求：写出6个结论即可，其他要求同（1））7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是多少？8．如图，有一块锐角三角形木板，现在要把它截成半圆形板块（圆心在BC上），问怎样截取才能使截出的半圆形面积最大？（要求说明理由）。
高考数学总复习教案新课程改革考点高分专用word版直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系ZHI SHI SHU LI知识梳理1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2．设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).ZHONG YAO JIE LUN重要结论1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．2．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.3．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.4．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r 2.5．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋(12l )2.SHUANG JI ZI CE双基自测1．(2019·汕头模拟)直线l ：x －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的位置关系是( D ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心[解析] 圆的方程化为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l 的距离为|2－1＋1|2＝2<2，所以直线l 与圆相交．又圆心不在直线l 上，所以直线不过圆心．故选D ． 2．直线4x －3y ＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得的弦长为( A ) A ．6 B ．3 C ．62D ．3 2[解析] 假设直线4x －3y ＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得的弦为AB .∵圆的半径r ＝10，圆心到直线的距离d ＝5(－3)2＋42＝1，∴弦长|AB |＝2×r 2－d 2＝210－1＝2×3＝6，故选A ．3．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( D ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0[解析] 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33.∴切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 4．(2019·怀柔二模)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( C ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11[解析] 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5，由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C ．5．若点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝4内任意一点，当点P 在圆内运动时，直线x 0x ＋y 0y ＝4与圆的位置关系是( D ) A ．相交 B ．相切 C ．相交或者相切 D ．相离[解析] 圆心到直线的距离d ＝4x 20＋y 2，由于点P (x 0，y 0)在圆内，故x 20＋y 20<4，所以d ＝4x 20＋y 2>44＝2，即圆心到直线的距离大于圆的半径，故直线与圆相离． 6．(2019·宁波模拟)已知P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝a 2(a >0)上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，△P AB 的面积最大值为8，则a 的值为( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 要使△P AB 的面积最大，只要点P 到直线AB 的距离最大．由于AB 的方程为y ＝0，圆心(0,3)到直线AB 的距离d ＝3，故P 到直线AB 的距离最大值为3＋a ，再根据|AB |＝4，可得△P AB 面积的最大值为12·|AB |·(3＋a )＝2(3＋a )＝8，解得a ＝1.故选A ．考点1 直线与圆的位置关系——自主练透例1 (1)(2019·西安八校联考)若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( D ) A ．(－3，3) B ．[－3，3] C ．(－33，33) D ．[－33，33] (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2my ＋m 2－3＝0关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，则直线x ＝－1与圆C 的位置关系是( A ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不能确定(3)(2019·深圳模拟)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( B ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定[解析] (1)数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33，故选D ． (2)由已知得C ：(x －1)2＋(y －m )2＝4，即圆心C (1，m )，半径r ＝2，因为圆C 关于直线l ：x－y ＋1＝0对称，所以圆心(1，m )在直线l ：x －y ＋1＝0上，所以m ＝2.由圆心C (1,2)到直线x ＝－1的距离d ＝1＋1＝2＝r 知，直线x ＝－1与圆C 相切．故选A ．(3)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b2<1，故选B ．名师点拨 ☞判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考点2 圆与圆的位置关系——师生共研例2 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( C ) A ．62B ．32C ．94D ．2 3[解析] 由圆C 1与圆C 2相外切， 可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本(均值)不等式可知ab ≤(a ＋b 2)2＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C .[引伸1]把本例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． [解析] 由C 1与C 2内切，得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝1.即(a ＋b )2＝1，又ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.[引伸2]把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程． [解析] 把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程． 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，②由②－①得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在的直线方程．[引伸3]将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．[解析] 由两圆存在四条公切线，故两圆外离， 故(a ＋b )2＋(－2＋2)2>3，∴(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3.∴圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋b －1|2>1，∴直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离． 名师点拨 ☞如何处理两圆的位置关系判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2、y 2项得到． 〔变式训练1〕(1)(2019·山东模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( B ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离(2)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__4___. [解析] (1)由垂径定理得(a 2)2＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4，所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以圆M 与圆N 的圆心距d ＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.因为2－1<2<2＋1，所以两圆相交．故选B ．(2)由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心， ∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称， ∴AB 为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍．∴|AB |＝2×5×255＝4.考点3 直线与圆的综合问题——多维探究角度1 圆的切线问题例3 (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( C ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)由直线y ＝x ＋1上的动点P 向圆C ：(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( C ) A ．1 B ．22 C ．7D ．3[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0. (2)如图：切线长|PM |＝|PC |2－1，显然当|PC |为C 到直线y ＝x ＋1的距离即3＋12＝22时|PM |最小为7，故选C ．角度2 圆的弦长问题例4 (1)(2018·南昌模拟)若圆x 2＋y 2＋4x －2y －a 2＝0截直线x ＋y ＋5＝0所得的弦长为2，则实数a 的值为( A ) A ．±2 B ．－2 C ．±4D ．4(2)过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为( B ) A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0[解析] (1)圆x 2＋y 2＋4x －2y －a 2＝0化为标准方程(x ＋2)2＋(y －1)2＝a 2＋5，则圆心(－2,1)到直线x ＋y ＋5＝0的距离d ＝42＝22，则弦长2a 2＋5－8＝2，化简得a 2＝4，故a ＝±2.(2)圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由|AB |＝8知，圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝3. 当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0. 则有|3k －2|k 2＋1＝3，∴k ＝－512.此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0. 名师点拨 ☞直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 〔变式训练2〕(1)(角度1)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a 等于( C ) A ．－12B ．1C ．2D ．12(2)(角度2)(2019·太原一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( D ) A ．35 B ．65 C ．415D ．215[解析] (1)圆心为C (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，CP 与过点P 的切线垂直．∴k CP ＝2－02－1＝2.又过点P 的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a ＝k CP ＝2，选C ．(2)将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |×|BD |＝215.直线与圆中的数形结合思想例5(2019·长春模拟)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A、B两点，O 为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(B)A．33B．－33C．±33D．－ 3[解析]∵S△AOB＝12|OA||OB|sin∠AOB＝12sin∠AOB≤12.当∠AOB＝π2时，△AOB面积最大．此时O到AB的距离d＝22.设AB方程为y＝k(x－2)(k<0)，即kx－y－2k＝0.由d＝|2k|k2＋1＝22得k＝－33.名师点拨☞根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题，以形助数，使问题变得简单．〔变式训练3〕(2019·山西模拟)直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且仅有1个公共点，则b的取值范围是(B)A．{2，－2}B．(－1,1]∪{－2}C．[－1,1]D．[－1,1]∪{2，－2}[解析]x＝1－y2可化简为x2＋y2＝1(x≥0)，所以它表示单位圆在y轴及其右侧的半圆，其与y轴的交点分别为(0,1)，(0，－1)．直线y＝x＋b与直线y＝x平行，b表示直线y＝x＋b的纵截距，将直线y＝x上下平移，可知当b∈(－1,1]时，直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有一个交点；当直线与曲线在第四象限相切时，只有一个公共点，此时b＝－ 2.综上，b 的取值范围是(－1,1]∪{－2}．。
直线与圆位置关系学案
4.2直线与圆的位置关系学案【学习目标】1、结合实例抽象概括出判断直线与圆的位置关系的两种方法。
2、能用直线和圆的方程解决一些简单问题。
3、会利用坐标法思想解决直线与圆位置关系在实际生活中得应用。
【学习重难点】学习重点：根据给定直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系的两种方法 学习难点：理解用坐标法研究直线与圆的位置关系及应用【学习过程】一、复习：1、填表2、回顾：直线与直线的位置关系和，联立方程组，直线与直线的位置关系和方程组的解．．．．．．．．．．．．．．．．有如下关系： ①与相交（有一个交点）②与平行（无交点）③与重合（有无数个交点）3、类比：直线与圆的位置关系①直线与圆相交（有两个公共点）②直线与圆相切（有一个公共点）③直线与圆相离（没有公共点）二、探究实例，抽象概括例1 已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l和圆的位置关系？三、巩固提高变式一：求例1中得弦长．变式二：已知过点M（－3，－3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4，求直线l的方程．5四、课堂反馈1、直线x=2与圆x2+y2+2x+y-2=0的交点个数为（）A：0个B：1个C：2个D：无法确定2、直线03=yx与圆x2+y2-2x -2=0相切，则实数m等于（）+-mA：333或-D：3-C：33或3-或B：33-3或33五、思维拓展：2011年第20号热带风暴“榕树”，国际编号为1120，可能在10月17，18日在广东沿海或海南登陆，在海上航行的船舶如果不及早采取避航方法，遭遇台风时，会被卷入台风中心或中心外围暴风区，造成生命和财产的损失。
有一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域。
已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？六、布置作业P128 T4。
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高考数学总复习直线与圆的位置关系学案
一、课前热身：已知圆O：，直线（1）若直线L与圆O相切，求直线L方程；（2）若直线L与圆O相交于
A、B两点，且，求直线L方程；
二、课堂探究探究一
1、若直线L与圆O相交于
A、B两点，且，求斜率K；变式1：若为钝角（锐角），求K 范围、探究二
2、若直线L与圆O相交于
A、B两点（直线L不经过圆心O），求面积的最大值，并求此时的直线方程。
变式2：若直线过定点,与圆O相交于
A、B两点（直线L不经过圆心O），求面积的最大值，并求此时的直线方程。
拓展：若直线过定点,与圆O相交于
A、B两点，（1）当在何范围时，面积的最大值为，此时直线满足何条件（2）当在何范围时，面积的最大值为，此时直线满足何条件
三、课堂小结：通过学习，我们在处理直线与圆的位置关系问题时，通常采用哪些方法？
四、课后作业：
1、已知圆O：，直线，（1）若圆O上有且只有一个点到直线 L的距离为1，求K的值、（2）若圆O上有且只有两个点到
直线 L的距离为1，求K的范围（3）若圆O上有且只有三个点到直线 L的距离为1，求K的范围（4）若圆O上有且只有四个点到直线 L的距离为1，求K的范围
2、直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是、
3、若直线与曲线恰有一个公共点，求K的范围
4、设P为直线x＋y-4＝0上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为
________、5、求函数的最大值是、6、已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0、问在圆C上是否存在两点
A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由、。