圣彼得堡悖论概述
圣彼得堡悖论及其消解新解
圣彼得堡悖论新解与不确定性估值内容提要：著名数学家Bernoulli为解决“圣彼得堡悖论”提出了货币的边际效用递减理论（下称“效用函数解决方案”），本文通过以下两个方面证明了Bernoulli的“效用函数解决方案”是不成立的：1、用Bernoulli和克莱默的“效用函数”构造了新的悖论；2、设计并实施了不存在边际效用递减效应的“新型圣彼得堡游戏”，该游戏同样产生了“圣彼得堡悖论”。
本文进一步分析论证了人们面对不确定性前景的风险调整才是导致“圣彼得堡悖论”产生的真正原因，由此给出了不确定性决策的风险调整模型，用此模型解决了“圣彼得堡悖论”及其它相关悖论。
本文对基于不确定性的经济学理论研究提出了一个全新的研究思路和方向。
关键词：不确定性估值，圣彼得堡悖论，效用，风险调整模型，经济实验1.圣彼得堡悖论与Bernoulli的效用函数解决方案“圣彼得堡悖论”来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。
设定掷币掷出正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。
如果第n次投掷成功，得奖金2n元，游戏结束。
按照概率期望值的计算方法，此游戏的期望收益为所有可能结果的得奖期望值之和：1111 ()2482 2482n nE=⨯+⨯+⨯++⨯+――――――――――――(1.1)由于对于游戏中投币的次数没有理论上的限制，很显然，上式是无数个1的和，它等于无穷大，即该抽奖活动收益的数学期望值是无限的。
那么对于这样一个收益的数学期望值是无穷大的“圣彼得堡游戏”当支付多大的费用呢？试验表明，大多数人只准备支付几元钱来参加这一游戏。
于是，个人参与这种游戏所愿支付的有限价格与其收益的无穷数学期望之间的矛盾就构成了所谓的“圣彼得堡悖论”。
Bernoulli对于这个问题给出一种解决办法。
他认为人们真正关心的是奖励的效用而非它的绝对数量；而且额外货币增加提供的额外效用，会随着奖励的价值量的增加而减少，即后来广为流传的“货币边际效用递减律”。
圣彼得堡悖论名词解释
圣彼得堡悖论名词解释圣彼得堡悖论，又称为彼得堡悖论，是一种经典的悖论问题，它在数学和哲学领域都有着广泛的应用和研究。
这个悖论问题最初由俄罗斯大作家和哲学家达斯金所提出，后来又被数学家伯努利和欧拉等人深入研究，成为了现代数学中的一个重要课题。
本文将从名词解释的角度，对圣彼得堡悖论进行详细的阐述和解释。
一、圣彼得堡悖论的定义圣彼得堡悖论是一种概率论中的悖论问题，它涉及到一个赌博游戏，游戏规则如下：在一个赌场里，有一个游戏机，它会不断地抛出一枚硬币，直到这枚硬币首次出现正面朝上为止。
每当硬币出现反面朝上时，游戏机就会停止抛硬币，然后赌徒可以选择离开游戏，或者继续玩下去。
如果赌徒决定继续玩下去，那么游戏机会再次抛出硬币，如果这次硬币正面朝上，那么赌徒就会赢得2美元，否则游戏就会继续进行下去，继续抛硬币，直到出现正面朝上为止。
每次硬币出现反面朝上，游戏机就会将赌注翻倍，也就是说，第一次出现反面朝上时，赌注为1美元，第二次出现反面朝上时，赌注为2美元，第三次出现反面朝上时，赌注为4美元，以此类推。
现在问题来了，假设你是这个赌场的赌徒，你带了100美元来玩这个游戏，你打算一直玩下去，直到赢得1000美元，那么你需要准备多少钱呢？这个问题看起来很简单，但是仔细分析一下就会发现，它涉及到一些概率论和数学问题，很容易陷入悖论的境地。
二、圣彼得堡悖论的分析为了更好地理解圣彼得堡悖论，我们需要对概率论中的一些基本概念进行解释和分析。
首先，我们需要了解期望值的概念。
期望值是指一系列数据中每个数据值乘以其概率的总和，也就是平均值。
例如，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是50%，那么这个硬币的期望值就是(0.5*1+0.5*0)=0.5。
其次，我们需要了解几何级数的概念。
几何级数是指一个数列中每一项与前一项的比值相等的数列，例如1，2，4，8，16，32，64……就是一个几何级数，其中公比为2。
现在我们开始分析圣彼得堡悖论。
圣彼得堡悖论
20.解释并阐述圣彼得堡悖论数学家丹尼尔·贝诺里1725-1733年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出现时为止。
在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬，计算报酬R的公式为R(n)=2n公式中的n为参加者掷硬币出现反面的次数，参加者可能获得的报酬取决于他掷硬币时，在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面。
参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬见表。
如果n为0，他可以得到的报酬为20=1元，期望报酬为1/2；如果n为1，他可以得到的报酬为21=2元，期望报酬仍为1/2；余此类推，如果n为n，他可以得到的全部期望报酬为E(R)=∑Pr(n)R(n)=1/2+1/2+……=∞。
由于门票的价格是有限的，而期望报酬却是无穷大的，这就成为了一个悖论。
贝诺里运用边际效用递减的道理解决了这个问题。
他指出，参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1元价值是递减的。
因此，函数log(R)给报酬为R元的参加者一个主观价值，报酬越高，每一元的价值就越小。
最后，他计算出风险报酬应为2元，这是参加者愿付的最高价。
我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏(fair game)，风险厌恶型的投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合，他们只愿意进行无风险投资或投机性投资。
当他们准备进行风险投资时，他们会要求有相应的风险报酬，即要求获得相应的超额收益或风险溢价。
投资者为什么不接受公平游戏呢？公平游戏看上去至少不坏，因为它的期望收益为0，而不是为负。
圣彼得堡悖论反映了一个人选择是否进行投资不仅与该项目的风险与收益有关，也与投资者对于风险的态度有关。
案例：平安银行对养老保险的投资者进行的风险爱好评估。
圣·彼得斯伯格悖论
圣·彼得斯伯格悖论
圣·彼得斯伯格悖论是一个重要的经典悖论，由德国哲学家圣·彼得斯·伯格在1899年提出的。
它的提出使得许多哲学家思考行为自由与确定性之间的关系。
圣·彼得斯伯格悖论的核心思想是行为是不可自由的，而所有行为也都是由外部力量
所决定的。
圣·彼得斯·伯格认为，确定论认为行为是受外部力量所决定的，由此推断出
行为既不可自由又不受外部力量控制，这时就会出现悖论。
正如圣·彼得斯·伯格所说：“Ein Wille ist entweder frei oder vom Kausalgesetz bestimmt; beides zusammen
ist unmöglich.”（一个意志要么是自由的，要么是受因果关系所决定的，这两者不可能
兼而有之）。
这个悖论引起了哲学家和思考者们的极大关注，也被认为是一个完全无法解决的悖论。
在行为宿命论与自由意志之间，没有一个通用的解决方案，许多哲学家也只是围绕着这个
悖论进行讨论，争论不休。
众说纷纭的背后，圣·彼得斯伯格悖论的核心问题是：是否存在一种把行为自由与确
定性结合起来的方式？许多哲学家相信只有结合两者，才能更好的理解人的行为和思想的
活动。
事实上，许多哲学家都以圣·彼得斯伯格悖论作为他们进行思考行为自由与确定性之
间关系的依据。
因此，和它一样古老，有深刻启发意义的圣·彼得斯伯格悖论，也可以作
为哲学家解释和探讨行为自由与确定性之间关系的重要参考。
对圣彼得堡悖论的思考
对圣彼得堡悖论的思考
关于圣彼得堡悖论,课堂上我们亲身体验了伯努利试验,通过掷硬币的试验,也加深了自己对圣彼得堡悖论的认识.理论上来讲,圣彼得堡游戏的期望应该是无穷大的,但是通过现场投掷硬币的试验,不难发现硬币投掷者所获得的奖金的实际值并非如此.
由于首次抛掷正面向上,获5＊2＝10元奖金,第二次出现正面,5＊2＊2＝20元奖金….第n次出现正面,则或5＊2＊2＊….(n个2)元奖金,通过两轮的试验发现,第一轮庄家定价35元是稳赚不赔的,可见游戏参与者的奖金期望值,也与理论期望值是相差甚远的,在第二轮的游戏中,由于双方的竞价,庄家的定价在25元左右,游戏参与者获得了一些奖金,但每次的数额并不是很多.从游戏中发现,理论与实际的差别是很大的,在决策问题的时候,也是必须注意这种差别的,而不应该硬套理论.
若要作为本游戏的庄家,对参与游戏的人给下定价,使自己作为庄家能够获利,从实际出发来考虑的话,游戏者获得10元奖金的概率是0.5,获得20元的奖金的概率是0.25,获得40元奖金的概率是0.125,获得80元的概率也将会变得更小,获得更高奖金的几率也将是越来越小,在实际的试验中,若想出现获得高奖金的结果,一定是重复游戏多次的,在实际的游戏中,由于各种因素的限制,游戏的次数也是非常的有限的,故出现高奖金的几率也是微小的.获得40元的奖金几率几经比较小了,连续几次均获40元以上奖金的几率,将会更小,故庄家的定价定在40以内,是有利可图的.再者来看,获二十元奖金的概率也只有0.25,连续数次获得20元以上的奖金几率也是很小的,故庄家长时间经营自己的生意的话,即从长远来看,二十元钱的定价对庄家来说也是有利可图的, 故我的观点是20元以上的定价,作为庄家都是可以接受的.。
圣彼得堡悖论解法
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管理决策4.2讲义
§4.2 效用函数的概念4.2.1 圣彼得堡悖论设有一个赌局，下赌注者掷一枚均匀的硬币，当出现正面反复掷下去，直到出现反面为止，如果前n 次都连续出现正面，第1+n 次出现反面，则下赌注者赢n 2元，第1次出现反面赢0元。
请问下赌注者愿意付多少赌金进行这个赌博？ 下赌注者期望赢利()+∞=⋅∑∞=1212n n n 元，虽然期望赢利为无穷大，但在实际生活中多数博彩者只愿意付不到10元才肯参与这一博彩，由此可见，人们实际决策行为与期望最优准则理论相悖。
这就是著名的圣彼得堡悖论(St.Petersburg Paradox)，由伯努利(Daniel Bernouli,1783)发现的，4.2.2 效用及效用函数（1）效用的概念（2）效用的测定 辨优设有决策系统(A,Q,V)，其结果值集合为{}n ,c ,,c c V 21=，记*c ≥()n ,c ,,c c ⋅⋅⋅21max ，0c ≤()n ,c ,,c c ⋅⋅⋅21min ，测定各结果值j c 的效用值)(j c u ，其步骤如下：①设1)(=*c u ，0)(0=c u 。
②建立简单事态体)]1([0*x c x c L -=，；，，其中x 称为可调概率。
③通过反复提问，不断改变可调概率值x ，让决策者权衡比较，当)]1(*[,0j j j p c p c L p x -==，；，时，得到无差异关系：)]1(*[~0j j j p c p c L c -=，；，。
④测得结果值j c 的效用：j j *j j p ))u(c p ()u(c p c u =-+=01)(。
不难看出，j c 的效用值就等于概率值j p 。
设决策问题的结果值集合{}n ,c ,,c c V 21=，且*c ≥()n ,c ,,c c ⋅⋅⋅21max ，0c ≤()n ,c ,,c c ⋅⋅⋅21min ，定义在c 上的实值函数)(c u 满足条件：①0)(0=c u ， 1)(*=c u ，存在V c ∈，使)(c u 满足无差异关系)),(1;),((~0*c c u c c u c -。
圣彼得堡悖论 是经济学内容
圣彼得堡悖论是经济学内容圣彼得堡悖论是经济学中一个著名的悖论，它揭示了人们在面对不确定性时的决策行为。
圣彼得堡悖论的名字来源于俄罗斯圣彼得堡市的赌场，这个悖论的实验是在赌场中进行的。
在圣彼得堡悖论实验中，参与者需要支付一定的入场费来参与游戏，游戏规则如下：一开始，一枚公平的硬币被抛掷，如果硬币正面朝上，参与者会得到1个游戏币，并且有机会继续游戏，再次抛掷硬币；如果硬币反面朝上，游戏结束，参与者不再获得任何游戏币。
每次正面朝上时，参与者得到的游戏币数量会翻倍，即第一次正面朝上得到1个游戏币，第二次正面朝上得到2个游戏币，第三次正面朝上得到4个游戏币，以此类推。
根据游戏规则可以算出，参与者在每次游戏中获得的期望收益是无限的。
因为每次抛掷硬币都有50%的概率正面朝上，所以参与者获得游戏币的次数不受限制。
而且每次获得的游戏币数量是指数增长的，所以参与者可以获得无限多的游戏币，期望收益无限。
然而，圣彼得堡悖论的关键在于人们对风险的态度。
虽然参与者可以获得无限期望收益，但每次参与游戏都需要支付入场费。
当入场费过高时，参与者可能会认为风险太大，不愿意参与游戏。
毕竟，付出很高的入场费却不一定能获得高额收益，这让人们感到不安。
圣彼得堡悖论揭示了人们在面对不确定性时的风险厌恶特征。
尽管理论上可以获得无限期望收益，但人们普遍对高风险的决策持谨慎态度。
这与经济学中的效用函数理论相关。
效用函数描述了人们对不同结果的偏好程度，而风险厌恶是效用函数的一个重要特征。
圣彼得堡悖论的实验结果显示，人们的风险厌恶特征会限制他们在面对不确定性时的行为。
在实际生活中，人们往往更愿意选择稳定的收益，而不愿意承担高风险。
这也解释了为什么很多人选择稳定的工作而不愿意冒险创业，或者选择保守的投资方式而不愿意追求高收益。
总结起来，圣彼得堡悖论揭示了人们在面对不确定性时的风险厌恶特征。
尽管参与者可以获得无限期望收益，但由于风险厌恶，他们可能不愿意承担高风险。
圣彼得堡悖论名词解释
圣彼得堡悖论名词解释圣彼得堡悖论是一种经典的数学悖论，它涉及到概率论和决策理论，是一种非常有趣的思维实验。
本文将从名词解释的角度来探讨圣彼得堡悖论的本质和意义。
一、圣彼得堡悖论的定义圣彼得堡悖论是一种关于赌博的悖论，它源自18世纪初俄国圣彼得堡的一个赌场。
假设有一个赌局，每次掷一枚公正的硬币，若正面朝上，奖金翻倍，反面朝上则停止游戏，得到当前累计的奖金。
每次游戏的花费为1单位货币，而每次游戏的奖金是一个随机变量，它的期望值是无限大。
二、圣彼得堡悖论的表述圣彼得堡悖论的表述是：假设有一个赌局，每次掷一枚公正的硬币，若正面朝上，奖金翻倍，反面朝上则停止游戏，得到当前累计的奖金。
每次游戏的花费为1单位货币，而每次游戏的奖金是一个随机变量，它的期望值是无限大。
那么，如果赌博者有无限的财富，他是否应该参与这个赌局？三、圣彼得堡悖论的解释圣彼得堡悖论的解释是：虽然每次游戏的奖金的期望值是无限大，但是赌博者的风险承受能力是有限的。
如果他的财富是有限的，那么在进行多次游戏后，他的财富可能会被输光，从而无法继续游戏。
因此，赌博者需要考虑的是每次游戏的期望收益与风险承受能力之间的平衡。
四、圣彼得堡悖论的意义圣彼得堡悖论的意义在于揭示了人类决策的有限理性。
虽然理性决策应该考虑到每次游戏的期望收益，但是现实生活中，人们的决策往往受到风险厌恶、财富约束和时间偏好等因素的影响。
因此，圣彼得堡悖论提醒我们在决策时要充分考虑自身的风险承受能力和财富状况，以避免决策的不理性和后悔。
五、圣彼得堡悖论的拓展圣彼得堡悖论的拓展包括：1.考虑不同的风险偏好，即赌博者对风险的承受程度不同，可能会对决策产生影响；2.考虑不同的时间偏好，即赌博者对当前奖金和未来奖金的价值评估不同，也可能会对决策产生影响；3.考虑其他因素的影响，例如赌博者的心理状态、赌博的成瘾性等，也可能会对决策产生影响。
六、圣彼得堡悖论的启示圣彼得堡悖论的启示在于：在决策时要充分考虑自身的风险承受能力和财富状况，以避免决策的不理性和后悔。
圣彼得堡悖论 是经济学内容
圣彼得堡悖论是经济学内容以圣彼得堡悖论是经济学中的一个重要悖论，它对人们的决策行为和风险偏好提出了挑战。
圣彼得堡悖论由俄国数学家尼古拉·伯努利在18世纪提出，它揭示了人们在面对风险时的非理性行为。
圣彼得堡悖论的核心是一个赌博游戏。
游戏规则是这样的：一枚公平的硬币被抛掷，如果出现正面则玩家获得1美元，并且继续抛掷硬币，如果出现正面则奖金翻倍，一直持续下去，直到出现反面。
当出现反面时，游戏结束，玩家获得的奖金就是此时奖池中的金额。
例如，第一次出现反面时，奖池金额为2美元，第二次出现反面时，奖池金额为4美元，以此类推。
从理性的角度来看，玩家应该愿意为参与这个游戏支付一定的费用，因为奖池金额可能会非常大。
然而，圣彼得堡悖论揭示了人们对风险的态度，并表明人们的决策并不总是理性的。
根据概率理论，参与这个游戏的期望收益是无穷大的。
因为每次投掷硬币正面朝上的概率都是50%，所以奖池金额翻倍的概率也是50%。
根据期望值的计算公式，每次投掷硬币的期望收益为1美元（0.5 * 2美元），所以玩家参与游戏的期望收益是无穷大。
然而，实际情况是，大多数人并不愿意为参与这个游戏支付太多的费用。
这是因为人们对风险的态度是非线性的，即人们对可能损失的价值更加敏感。
在圣彼得堡悖论中，每次投掷硬币都有50%的概率失去之前累积的奖池金额，这对人们来说是很大的风险。
虽然期望收益是无穷大，但人们往往更加关注可能的损失。
圣彼得堡悖论揭示了人们在决策中存在的一种非理性行为，即风险规避。
人们更倾向于选择确定性的收益，而不是可能的高回报。
这与理性经济人的行为模式相悖，理性经济人会根据期望值来做出决策。
圣彼得堡悖论的研究对经济学和行为金融学有着重要的意义。
它提醒了人们在决策中存在的非理性行为，并对风险偏好的研究提供了新的思路。
在现实生活中，人们常常在面临风险时做出非理性的决策，这可能会导致损失或遗憾。
因此，了解圣彼得堡悖论对我们做出明智的决策具有重要的指导意义。
华理文科数学论述题
1、“矩阵博士技压群芳”，请从符号化思想的角度，谈谈你对这句话的认识和感悟。
从宏观的符号层面，矩阵就是一个“完全的抽象物”，是具有某些指定运算的数学对象，是一个总体。
矩阵博士从线性方程组中舍弃未知数等非本质因素，紧紧抓住系数、常数及其位置信息这些本质因素，从而抽象出矩阵的概念。
利用矩阵符号，我们讨论线性方程组时思维不再始终局限于元素层面，而是可以根据问题的需要在前述两个层面间灵活切换。
因为符号化，矩阵相等时，mn个式子被简练地表达为一个式子。
他还将线性方程组表示为矩阵方程还得到了解的矩阵表示，所以整个代数学可以说都是符号化的产物。
2、结合矩阵乘法，谈谈你对“两个平庸之辈却养出了一个天才”这句话的认识和看法。
（P129）3、为何可将矩阵求逆问题比喻成一匹“瘦骆驼”？系数矩阵必须是可逆的方阵，可不知如何求可逆矩阵的逆矩阵。
尽管“矩阵博士”采用了简洁、先进的矩阵符号和运算，但似乎也仅仅是换了一套术语，换汤没换药，矩阵求逆仍是一个相当有难度的问题。
4、矩阵与行列式有何异同？同：行列式蕴含着“矩阵的形”异：矩阵是数表，行列式本质上是个“数”。
运算法则不同。
表面上看，矩阵是两条竖线，行列式是两个大括号。
5、如何理解“行列式是一位集万千宠爱于一身的古典美女”？行列式中的元素组成的矩阵一定是方阵，行列式将矩阵变成了数6、如何理解行列式运算的“左右开弓”？矩阵运算是否也可以“左右开弓”？既使用行变换又使用列变换将一般行列式转化为特数行列式方便计算。
矩阵也可以，但是如果是求方程组的解的时候，列变换用起来就有点麻烦，需要记录，以便于得出最后的解。
7、谈谈你对线性变换的认识和看法。
（P154）8、结合矩阵及行列式的运算，谈谈你对“变换是王道”的理解。
通过对普通的行列式进行初等变换可以变成特殊行列式，矩阵同样也有初等变换，把原来复杂的运算简单化9、矩阵的秩为何可被比喻成“矩阵中的黄金”？矩阵通过初等变换可以变为行阶梯矩阵，其秩与原矩阵的秩相同，行阶梯矩阵的秩代表的是R中非零行即首元的个数，它最终可以决定方程组解的状态。
圣彼得堡悖论的产生与解决-罗逸姝
二．悖论产生
设事件{前 k-1 次失败，第 k 次成功}为事件{X=k}，则
1 1 1 P{ X k} ( )k 1 ( ) k 2 2 2
获得的奖金数为 W，则 W 的分布列为： X=k W P 1 2 2 4 3 8 … … … k … … … n
1 2
1 ( )2 2
1 ( )3 2
参考文献
[1] 百 度 百 科 . 圣 彼 得 堡 悖 论 _ 百 度 百 科 [EB/OL]. [2014-3-8]. /view/1163899.htm. [2] 圣 才 学 习 网 . 博 弈 论 ： 圣 彼 得 堡 悖 论 [EB/OL]. [2012-12-26]. /view/otdetail/20121213/27e15cd9-633c-4dcd-8348-6fb6ede19888.html.
圣彼得堡悖论的产生与解决
罗逸姝 201241025
一．故事背景
设定掷出硬币的正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金 2 元，游戏结束；第 一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金 4 元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成 功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第 n 次投掷成功，得奖金 2 ，游戏结束。 问：应先付多少钱才能使游戏公平？
P
1 2
1 ( )2 2
…
1 ( )k 2
…Leabharlann 1 ( )n 2效用期望 E (U )
2
k 1
n
k
k
2
3 2n
当 n 趋于无穷时，期望值 lim E (U ) 2 ，因此，将入场费用定位 2 元是公平的。
n
这一解释虽然符合实际情况，但仍有漏洞。如果把奖金额变动一下，将奖金额提高为
埃尔斯伯格悖论和圣彼德堡悖论
埃尔斯伯格悖论埃尔斯伯格悖论的提出1926年，拉姆齐(F．P．Ramsey)借助部分信念提出了主观概率的思想，可以对个体的概率进行数值上的测度，并且把主观概率和贝努里(D．Bemolli)的效用决策相结合，给出了一个主观期望效用决策的公理性轮廓。
1937年菲尼蒂(B．De Finetti)论证了概率论的逻辑规律能够在主观主义的观点中严格地被确立，决策或者预见有着深刻的主观根源，为主观效用决策理论的发展奠定了基础。
1954年，萨维奇(L．J．Savage)由直觉的偏好关系推导出概率测度，从而得到一个由效用和主观概率来线性规范人们行为选择的主观期望效用理论。
他认为该理论是用来规范人们行为的，理性人的行为选择应该和它保持一致性。
在他的理论中，有一个饱受争议的确凿性原则(The Sure-Thing Principie)，它表明行为中间的优先不取决于对两个行为有完全等同结果的状态，只要两个行为在某种情形之外是一致的，那么在这种情形之外发生的变化肯定不会影响此情形下行为人对两个行动的偏爱次序关系。
1961年，埃尔斯伯格(Daniel Ellsberg)在一篇论文中通过两个例子向主观期望效用理论提出了挑战。
他的第一个例子是提问式的，表述如下：在你面前有两个都装有100个红球和黑球的缸I和缸Ⅱ，你被告知缸Ⅱ里面红球的数目是5O个，缸I里面红球的数目是未知的。
如果一个红球或者黑球分别从缸I 和缸Ⅱ中取出，那么它们分别被标为红I、黑I、红Ⅱ和黑Ⅱ。
现在从这两个缸中随机取出一个球，要求你在球被取出前猜测球的颜色，如果你的猜测正确，那么你就获得$100，如果猜测错误，那么什么都得不到。
为了测定你的主观偏好次序，你被要求回答下面的问题：(1)你偏爱赌红I的出现，还是黑I，还是对它们的出现没有偏见?(2)你偏爱赌红Ⅱ，还是黑Ⅱ?(3)你偏爱赌红I，还是红Ⅱ?(4)你偏爱赌黑I，还是黑Ⅱ?埃尔斯伯格发现大多数人对问题1和问题2的回答是没有偏见。
圣彼得堡悖论
圣彼得堡悖论(矛盾)圣彼得堡悖论概述圣彼得堡悖论是决策论中的一个悖论。
圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的表兄尼古拉·伯努利（Daniel Bernoulli）在１７３８提出的一个概率期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。
设定掷出正面或者反面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金２元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金４元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。
如果第ｎ次投掷成功，得奖金２的ｎ次方元，游戏结束。
按照概率期望值的计算方法，将每一个可能结果的得奖值乘以该结果发生的概率即可得到该结果奖值的期望值。
游戏的期望值即为所有可能结果的期望值之和。
随着ｎ的增大，以后的结果虽然概率很小，但是其奖值越来越大，每一个结果的期望值均为1，所有可能结果的得奖期望值之和，即游戏的期望值，将为“无穷大”。
按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。
但是实际的投掷结果和计算都表明，多次投掷的结果，其平均值最多也就是几十元。
正如Hacking（１９８０）所说：“没有人愿意花２５元去参加一次这样的游戏。
”这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”，问题在哪里? 实际在游戏过程中，游戏的收费应该是多少？决策理论的期望值准则在这里还成立吗？这是不是给“期望值准则”提出了严峻的挑战？正确认识和解决这一矛盾对于人们认识随机现象、发展决策理论和指导实际决策无疑具有重大意义。
圣彼得堡问题对于决策工作者的启示在于，许多悖论问题可以归为数学问题，但它同时又是一个思维科学和哲学问题。
悖论问题的实质是人类自身思维的矛盾性。
从广义上讲，悖论不仅包括人们思维成果之间的矛盾，也包括思维成果与现实世界的明显的矛盾性。
对于各个学科各个层次的悖论的研究，历来是科学理论发展的动力。
圣彼得堡悖论所反映的人类自身思维的矛盾性，首先具有一定的哲学研究的意义；其次它反映了决策理论和实际之间的根本差别。
圣彼得堡悖论新解——比例效用理论溯源经典
圣彼得堡悖论新解——比例效用理论溯源经典
王首元
【期刊名称】《西安交通大学学报（社会科学版）》
【年(卷),期】2017(037)006
【摘要】回顾效用理论300年发展历程,一个被忽视百余年的经典决策机制再次呈现.为此,探索了该经典决策机制基础上的新决策理论体系,构建了一个新的风险资产定价模型,并且对圣彼得堡悖论作出了新的量化解释.初步得出以下结论:(1)个人的决策依据是财富增量与财富最终持有量的比值,即比例效用;(2)比例效用具有两个重要推论,即边际效用递减和损失厌恶;(3)比例效用没有下限;(4)投资者的初始财富数量越大,投资于风险资产的倾向越高;(5)投资者的经验越丰富,投资于风险资产的倾向越高;(6)独立评估圣彼得堡风险资产条件下,投资者的报价上限为1.5;(7)比例效用视角下,不会存在衍生的圣彼得堡悖论.
【总页数】9页(P9-17)
【作者】王首元
【作者单位】东北财经大学国际商学院,辽宁大连116025
【正文语种】中文
【中图分类】F016
【相关文献】
1.期望效用理论的两个悖论及其消解——兼谈决策论的发展 [J], 熊卫
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圣彼得堡悖论
圣彼得堡悖论长期以来，不确定情况下的决策问题是与概率论这门学科相联系的。
当时这类问题大多用赌博的形式提出来的，并认为是否值得参加一场赌博决策，在可能情况下可通过计算局中人的期望收益来判断，如果期望收益为正，那么对参与者而言有利的，虽然这并不意味着每赌必赢，但不断赌下去平均收益为正；期望收益为负的情况恰恰相反。
而期望值为零，则意味着这场赌博为“公平游戏”。
这样，期望收益的大小是“理性赌徒”用来对赌博进行决策的主要依据，或者说期望收益可以给赌博进行“定价”。
然而，这样的决策分析很快被遭到质疑。
瑞士著名数学家丹尼尔•贝诺利（Daniel Bernoulli ）在1725-1733年在圣彼得堡研究一种投币游戏，并于1738年揭开了这个有趣的谜题。
后来，这个谜题以“圣彼得堡悖论”（St. Petersburg Paradox ）著称。
所谓“圣彼得堡悖论”涉及的是一场猜硬币正反面的赌博。
参加游戏者必须先支付门票，然后抛硬币，直到第1个正面出现为止。
若第1次抛到正面，就赚2元；若没有，继续抛，若第2次抛到正面,赚4元…依此类推。
问题是：为使得一个赌徒有权参加这样的游戏，他应该最多付多少钱才能使得这场赌博成为“公平游戏”？由于在抛到正面之前，反面出现的次数（用n 表示）用来计算参加者的报酬r ： r(n)=2n下表是各种结果的概率和报酬。
预期收益： ∞=++==∑∞= 2/12/1)(1n nn rp R E以上的1/2是掷出正面或反面的概率，这个算式沒有终结，所以这个游戏的期望值是无限，即你最多肯付出无限的金钱去玩着游戏！尽管游戏的预期报酬是无限的，但参加者的支付却是有限的。
问题是，你有可能只赚到2元，又或者4元，那你为何肯付出无限的金钱作“打和”呢？这就是悖论所在。
即圣彼得堡悖论内涵表明，一个机会的数学价值与人们通常给它的较低价值并不一致。
贝诺利研究发现，投资者赋予所有报酬的每1个美元的价值是不同的，并由此解决的此悖论。
《概率思考》
《概率思考》一、值得重复的公式，人生不需要太多重复真理没什么不好意思的。
尤其是，不管如何重复，我们当中的绝大多数人都无法真正理解“真理”--懂的人未必去做，做的人未必坚持，坚持的人未必不偏离。
真理值得重复的另外一个原因是，恰如一位数学家所说：在行家看来，你所需要玩儿转的公式大约也就十来个。
所以，问题不是重复，而是你是否找到那些值得重复的。
真理需要重复的最重要的理由是：只有内化为你自己的思维方式，你才开始接近。
有些人靠天分很早就能意识到这一点，有些人靠不断重复，大多数人一辈子游离在外。
鲁宾的《在不确定的年代》里没有太华丽的大脑炫技，却触动了40岁的我。
这是一本讲“决策”的书，我早先的公司名以该词打头。
看上去鲁宾性格偏文，思维却极硬朗，不妥协，无侥幸，从高盛到白宫，再到花旗，他用头脑吃饭，但绝无阳春白雪式的洁癖，不介意去做自己不擅长、甚至不喜欢的事情。
总之，一个闷骚的人，如何取得俗世的成功，并仍保有一片宁静的内心世界，鲁宾是个好榜样。
二、不确定的世界里的概率思考如书所述：鲁宾的人生哲学就是“一切都是不确定的”。
“概率思考”一直贯穿他的整个金融生涯和政治生涯。
他的根本观点：生活中没有任何事情是确定的，所以，任何决定都是或然性的。
鉴于我要引用很长一段鲁宾的案例（我很喜欢废话少的文字，所以很难将他的文字删短）,先插播一段：某次《黑天鹅》作者塔勒布在投资研讨会说：“我相信下个星期市场略微上涨的概率很高，上涨概率大概70%。
”但他却大量卖空标准普尔500指数期货，赌市场会下跌。
他的意见是：市场上涨的可能性比较高（我看好后市），但最好是卖空（我看坏结果），因为万一市场下跌，它可能跌幅很大。
分析如下：假使下个星期市场有70%的概率上涨，30%的概率下跌。
但是如果上涨只会涨1%，下跌则可能跌10%。
未来预期结果是：70%×1%+30%×（-10%）=-2.3%，因此应该赌跌，卖空股票盈利的机会更大。
第四讲偏好与框架效应
特沃斯基的研究（1969）
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不可传递性的应用—委员会问题
假设你是委员会的主席，你知道每个人的偏好，你
希望能够控制投票以使得阿尔·爱因斯坦被选中， 你该怎么做？
委员会成员
候选人
安 鲍伯 辛迪Leabharlann 丹 埃伦乔·施莫1 1 233
简·多伊
2 3 311
1999年2月，以色列最大的共同基金管理人哈宝 林（Hapoalim）银行宣布改变其披露政策，将每 月披露一次业绩改为每三个月一次，使得那些依 赖从银行获得业绩信息的投资者获取信息的频率 下降，从而使投资者更愿意持有其基金。
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4、禀赋效应（endowment effect）
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另1/3参与者被告知将给他们一笔数目的钱， 可以留着或用来买杯子。
实验者要求参与者在0.5-9.5美元中选择，他们 愿意花多少钱来买。
剩余1/3参与者完成一个问卷，让他们在杯子 或者一定钱数之间做出选择。
实验者要求参与者标出对杯子与钱数的偏好 （0.5-9.5美元）
阿莱悖论 理查德·泽克豪泽的子弹游戏 卡尼曼和特沃斯基的“概率保险”（1979）
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3、损失厌恶（loss aversion）
人们面对同样数量的收益和损失时，感到损失 令他们产生更大的情绪影响。卡尼曼和特沃斯 基的研究发现，同样的损失带来的负效用为同 量收益的正效用的2.5倍。
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（1）方案A：将挽救200人的生命。 方案B：有1/3的可能性挽救600人的生命，
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圣彼得堡悖论概述圣彼得堡悖论是决策论中的一个悖论。
圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的表兄尼古拉·伯努利（Daniel Bernoulli）在１７３８提出的一个概率期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。
设定掷出正面或者反面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金２元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金４元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。
如果第ｎ次投掷成功，得奖金２的ｎ次方元，游戏结束。
按照概率期望值的计算方法，将每一个可能结果的得奖值乘以该结果发生的概率即可得到该结果奖值的期望值。
游戏的期望值即为所有可能结果的期望值之和。
随着ｎ的增大，以后的结果虽然概率很小，但是其奖值越来越大，每一个结果的期望值均为1，所有可能结果的得奖期望值之和，即游戏的期望值，将为“无穷大”。
按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。
但是实际的投掷结果和计算都表明，多次投掷的结果，其平均值最多也就是几十元。
正如Hacking（１９８０）所说：“没有人愿意花２５元去参加一次这样的游戏。
”这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”，问题在哪里? 实际在游戏过程中，游戏的收费应该是多少？决策理论的期望值准则在这里还成立吗？这是不是给“期望值准则”提出了严峻的挑战？正确认识和解决这一矛盾对于人们认识随机现象、发展决策理论和指导实际决策无疑具有重大意义。
圣彼得堡问题对于决策工作者的启示在于，许多悖论问题可以归为数学问题，但它同时又是一个思维科学和哲学问题。
悖论问题的实质是人类自身思维的矛盾性。
从广义上讲，悖论不仅包括人们思维成果之间的矛盾，也包括思维成果与现实世界的明显的矛盾性。
对于各个学科各个层次的悖论的研究，历来是科学理论发展的动力。
圣彼得堡悖论所反映的人类自身思维的矛盾性，首先具有一定的哲学研究的意义；其次它反映了决策理论和实际之间的根本差别。
人们总是不自觉地把模型与实际问题进行比较，但决策理论模型与实际问题并不是一个东西；圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型，它不仅是一种理论模型，而且本身就是一种统计的“近似的”模型。
在实际问题涉及到无穷大的时候，连这种近似也变得不可能了。
实验的论文解释丹尼尔·伯努利对这个悖论的解答在１７３８年的论文里，提出了效用的概念以挑战以金额期望值为决策标准，论文主要包括两条原理：１、边际效用递减原理：一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一阶导数大于零；随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降，效用函数二阶导数小于零。
２、最大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大期望效用值而非最大期望金额值。
圣彼得堡悖论的消解历史圣彼得堡悖论的提出已有２００多年了，所提出的消解方法大致可以归纳为以下几种观点：（一）边际效用递减论Daniel Bernoulli在提出这个问题的时候就给出一种解决办法。
他认为游戏的期望值计算不应该是金钱，而应该是金钱的期望效用，即利用众所周知的“期望效用递减律”，将金钱的效用测度函数用货币值的对数来表示：效用=log（货币值）。
所有结果的效用期望值之和将为一个有限值log(4)≈ 0.60206，如果这里的效用函数符合实际，则理性决策应以4元为界。
这一解释其实并不能令人满意。
姑且假定“效用递减律”是对的，金钱的效用可以用货币值的对数来表示。
但是如果把奖金额变动一下，将奖金额提高为l0的2n次方(n=3时，奖金为108)，则其效用的期望值仍为无穷大，新的悖论又出现了当然，我们并不清楚效用值与货币值之间究竟有什么样的关系，不过只要我们按照效用的2n倍增加奖金，悖论就总是存在。
（二）风险厌恶论圣彼得堡悖论对于奖金额大小没有限制，比如连续投掷４０次才成功的话，奖金为1.1万亿元。
但是这一奖金出现的概率极小，1.1万亿次才可能出现一次。
实际上，游戏有一半的机会，其奖金为２元，四分之三的机会得奖4元和2元。
奖金越少，机会越大，奖金越大，机会越小。
如果以前面Hacking所说。
花25元的费用冒险参与游戏将是非常愚蠢的，虽有得大奖的机会，但是风险太大。
因此，考虑采用风险厌恶因素的方法可以消解矛盾。
Pual Weirich就提出在期望值计算中加入一种风险厌恶因子，并得出了游戏费用的有限期望值，认为这种方法实际上解决了该悖论。
但是这种方法也并不十分完美。
首先，并非所有人都是风险厌恶的，相反有很多人喜欢冒险。
如每期必买的彩票，以及Casino（卡西诺）纸牌游戏，其价格都高于得奖的期望值。
你也可以说这些喜欢冒险买彩票和赌博的人是非理性的，可他们自有乐趣，喜欢这样的风险刺激。
总之，风险厌恶的观点很难解释清楚实际游戏平均值非常有限的问题。
退一步说，即便承认风险厌恶的观点，矛盾仍然不能消除。
我们仍然可以调整奖金额，最后，考虑风险厌恶情况的期望值仍然是无穷大而与实际情况不符。
（三）效用上限论对前两种观点的反驳，我们采用了增加奖金额的方法来补偿效用的递减和风险厌恶，两者均是假定效用可以无限增加。
也有一种观点认为奖金的效用可能有一个上限，这样，期望效用之和就有了一个极限值。
M enger认为效用上限是惟一能消解该悖论的方法。
设效用值等于货币值，上限为１００单位，则游戏的期望效用为7.56l25，如表3所示。
也许这里的效用上限太小了，不过我们可以任意选定一个更大的值比如225 。
有多人如Russell Har—din (1982)，W illiam G uNtaNon (1994)，Richard Jeffrey(1983)等都赞成这样的观点。
不过这种效用上限的观点似乎不太令人信服。
效用上限与效用递减不同，或许你认为有２２５的钱够自己花的了，可是钱并不能给我们带来所有的效用，有些东西不是钱所能买来的。
效用上限意味着再也没有价值可以添加了。
但是一个人有了钱，还希望他的朋友、亲戚也像他一样富有；同一个城市里的人和他一样富有。
而效用上限论认为到了这一上限他们就不用再做任何交易了，看起来这并不能成立。
对有些人来讲，似乎期望和需求并不是无限增加的，对于现有的有限需求他们已经满足了。
他们觉得这里的游戏期望效用值确实是有限的。
不过是不是确实有这样的人还是一个不确定的问题，或者是个经验性的问题。
但认为“越多越好”的人确实是存在的。
对于决策准则这样的理性选择的理论，不能基于可疑的和经验性的判断而加以限制，因而期望有限论不足以消解这里的矛盾。
（四）结果有限论Gustason认为，要避免矛盾，必须对期望值概念进行限制，其一是限制其结果的数目；其二是把其结果值的大小限制在一定的范围内。
这是典型的结果有限论，这一观点是从实际出发的。
因为实际上，游戏的投掷次数总是有限的数。
比如对游戏设定某一个投掷的上限数Ｌ，在投掷到这个数的时候，如果仍然没有成功，也结束游戏，不管你还能再投多少，就按照Ｌ付钱。
因为你即便不设定Ｌ，实际上也总有投到头的时候，人的寿命总是有限的，任何原因都可以使得游戏中止。
现在设定了上限，期望值自然也就可以计算了。
问题是，这已经不是原来的那种游戏了！同时也并没有证明原来的游戏期望值不是无限大。
原来的游戏到底存在吗？Jeffrey说：“任何提供这一游戏的人都是一个骗子，谁也没有无限大的银行！”是说实际上没有这种游戏吗？恐怕这也不见的。
如果我邀请你玩这种游戏，你说我实际上不是在这样做吗? 或者说我实际上邀请你玩的不是这种游戏而是另外的什么游戏? 很多游戏场提供许多概率极小、奖金额极大几乎不可能的游戏，他们仍然在经营、在赚钱，照样吃饭睡觉，一点儿也不担心哪一天会欠下一屁股债，崩盘倒闭。
Jeffrey在这样说的时候，实际上是承认了圣彼得堡游戏的期望值是无穷大了。
认为游戏厅不提供这样的游戏，正是因为他们认为其期望值是无穷大，迟早他们会因此而破产倒闭。
这正是用了常规的决策理论，而反过来又说这种游戏实际上不存在，应该排除在期望值概念之外。
因此，用限制期望值概念的方法并不能消解悖论。
不能限制期望值概念的原因还有很多。
比如，我们不能用限制期望值概念的方法仅把圣彼得堡游戏排除在外，而应该是通用的。
在人寿保险中，有一个险种根据保险人的年龄，每长一岁给付一定的赔付金额。
采用人类寿命的经验曲线给出每个年龄的生存机会。
大于１４０岁的生存率已经没有经验可以借鉴，但可以采用一定的函数将生存年龄扩展至无穷大，当然其生存率趋向于零。
注意到这里的给付金额也是无限的，但是其在期望值计算方面并没有出现什么问题。
问题的本质与悖论的消解所谓悖论，《辞海》中的定义是：“一命题Ｂ，如果承认Ｂ，可推得非Ｂ，反之，如果承认非Ｂ，又可推得Ｂ，称命题Ｂ为一悖论。
”可见，作为一种推理的矛盾现象，悖论是人们自己制造出来的。
现在已经有人证明，这种意义上的悖论是不存在的。
一个命题是一个具有真假的判断语句，如果一个命题Ｂ和非Ｂ能够相互推出，则Ｂ要么是非真非假的单义句，要么是非真非假的多义句。
所以，悖论作为人类思维系统的一种矛盾形式，它的消解必须从人们思维系统自身的矛盾性和不完善性着手，需要人类战胜和超越自己。
历史上一次一次的悖论的消解，提出了更完备的公理系统，完善了人类的思维和科学系统，使得科学得到进一步的发展。
圣彼得堡悖论也是一样。
（一）对圣彼得堡悖论各种消解观点的评述综合上述悖论的消解观点，效用递减论符合了“边际效用递减律”，能够在一定程度上解决实际问题，但是却绕开了问题的基本面。
圣彼得堡游戏的期望值到底是多少并没有真正得到解决；风险厌恶论，犯了同样的错误，只不过是用风险因子替换了效用函数，实际上只是一种风险效用；效用上限论和结果上限论试图回避问题的无限性，篡改了原问题，自然也不可能解决问题。
这些观点都是从实际出发的，但都没有触及人们的思维系统，不能冲破自己思想的牢笼，即便解决了这一悖论，又会有新的悖论出现。
（二）最后的消解从上述圣彼得堡悖论的消解方法来看，其效果都不是十分理想，都没有真正解决问题。
但是正是这些努力，是我们认识到仅从实际出发是不能解决问题的，而最合理的解释就是——保留期望值的定义，调整我们的思维。
当我们这样做的时候，圣彼得堡悖论就不再是一个悖论了！理论上期望值的计算没有什么错误，我们需要承认它的期望值是无穷大；而实际上它的均值又不可能是无穷大，因为它是样本均值，样本均值随着样本容量的增加，以概率收敛于其期望值。
这都是正常的，它们本身就是应该有差距的！至于差距应该有多大，在小于无穷大的时候，样本均值随着实验次数的增多，越来越接近总体均值（或理论均值），圣彼得堡游戏不正是这样的吗？而在总体均值是无穷大的时候，我们如何让样本均值如何接近无穷大呢？非得是我们认为的很大很大吗？再大也不是无穷大，和现在也没有区别，我们平时的“大小”概念已经不适应了。