电磁场与电磁波(第4版)第4章部分习题参考解答

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(3) (4)
∇ 2ϕ = −
ρ ε
G 式(3)和式(4)就是采用库仑条件时，电磁位函数 A 和 ϕ 所满足的微分方程。 G G 4.7 证明在无源空间（ ρ = 0 、 J = 0 ）中，可以引入矢量位 Am 和标量位 ϕ m ，定
义为
G G G G ∂Am D = −∇ × Am ， H = −∇ϕ m − ∂t
G G G G G G − j(k x + k y + k z ) 故 E (r ) = E0 e − jk ⋅r = E0 e x y z
GG G G G G − j(k x + k y + k z ) ∇ 2 E (r ) = E0∇ 2 e − jk ⋅r = E0∇ 2 e x y z
G ⎛ ∂2 ∂2 ∂ 2 ⎞ − j(k x + k y + k z ) = E0 ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ e x y z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ G − j(k x + k y + k z ) G G 2 = (− k x2 − k y − k z2 ) E0 e x y z = − k 2 E (r ) G G G G 代入方程 ∇ 2 E (r ) + ω 2 με E (r ) = 0 ，得 G G − k 2 E + ω 2 με E = 0
G ∂2 E G ∂2 ⎡ ω ω G ⎤ ⎡ ⎤ = e E sin( z ) cos(ωt ) ⎥ = −exω 2 E0 ⎢sin( z ) cos(ωt ) ⎥ x 0 2 2 ⎢ ∂t ∂t ⎣ c c ⎦ ⎣ ⎦ G G 1 ∂2 E ω 1 ⎡ G ω G ω ⎤ 2 ∇ E − 2 2 = −ex ( ) 2 E0 sin( z ) cos(ωt ) − 2 ⎢ −exω 2 E0 sin( z ) cos(ωt ) ⎥ = 0 c ∂t c c c ⎣ c ⎦ G G G G 1 ∂2 E ω 即矢量函数 E = ex E0 sin( z ) cos(ωt ) 满足波动方程 ∇ 2 E − 2 2 = 0 。 c ∂t c
2
G G ω (3) E = ey E0 cos(ωt + z ) 。 c G G ω ∂2 ω G 证：(1) ∇ 2 E = ex E0∇ 2 cos(ωt − z ) = ex E0 2 cos(ωt − z ) ∂z c c
ω G ω = −ex ( ) 2 E0 cos(ωt − z ) c c
即
G G G ∂ ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E = − μ (∇ × H ) ∂t
将式(1)和式(4)代入式(6)，得
G G G ∂2 E ∂J 1 ∇ E − με 2 = μ + ∇ρ ∂t ∂t ε
2
G 此即 E 满足的波动方程。 G G 4.6 在应用电磁位时， 如果不采用洛伦兹条件， 而采用库仑条件 ∇ ⋅ A = 0 ， 导出 A 和 ϕ 所满足的微分方程。 G 解：将电磁矢量位 A 的关系式
以上结果表明，波动方程的解不一定满足麦克斯韦方程。 G G 4.5 证明：在有电荷密度 ρ 和电流密度 J 的均匀无损耗媒质中，电场强度 E 和磁 G 场强度 H 的波动方程为 G G G G G G ∂2 E ∂J ρ ∂2 H 2 2 ∇ E − με 2 = μ + ∇( ) ， ∇ H − με 2 = −∇ × J ∂t ∂t ∂t ε G 证：在有电荷密度 ρ 和电流密度 J 的均匀无损耗媒质中，麦克斯韦方程组为
G G G G 1 ∂2 E ω 2 即矢量函数 E = ey E0 cos(ωt + z ) 满足波动方程 ∇ E − 2 2 = 0 。 c ∂t c G G 4.2 在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度 E (r ) 的波动方程为 G G G G ∇ 2 E (r ) + ω 2 με E (r ) = 0 G G G G G G GG G 已知矢量函数 E (r ) = E0 e − jk ⋅r ，其中 E0 和 k 是常矢量。试证明 E (r ) 满足波动方程 G 的条件是 k 2 = ω 2 με ，这里 k = k 。
G G G G ∂ 2 H (r , t ) = 0 ，得 代入方程 ∇ H (r , t ) − μ0ε 0 ∂t 2 G ey {[−(10π ) 2 − k 2 ] + μ0ε 0 (6π × 109 ) 2 } 0.1sin(10πx) cos(6 π × 109 t − kz ) = 0
所以
G G 1 ∂2 E ω 1 G ω ∇ E − 2 2 = −ex ( ) 2 E0 cos(ωt − x) − 2 c ∂t c c c
2
ω ⎤ ⎡ G 2 −exω E0 cos(ωt − x) ⎥ = 0 ⎢ c ⎦ ⎣ G G 1 ∂2 E G G ω 2 即矢量函数 E = ex E0 cos(ωt − x) 满足波动方程 ∇ E − 2 2 = 0 。 c ∂t c
G ∂2 E G ∂2 ω ω G = e E cos(ωt − z ) = −exω 2 E0 cos(ωt − z ) x 0 2 2 ∂t ∂t c c G G 1 ∂2 E ω 1 ⎡ G ω ⎤ G ω 2 ∇ E − 2 2 = −ex ( ) 2 E0 cos(ωt − z ) − 2 ⎢ −exω 2 E0 cos(ωt − z ) ⎥ = 0 c ∂t c c c ⎣ c ⎦ G G G G 1 ∂2 E ω 即矢量函数 E = ex E0 cos(ωt − z ) 满足波动方程 ∇ 2 E − 2 2 = 0 。 c ∂t c
G ∂ ω ω ω 另一方面， ∇ ⋅ E = E0 cos(ωt − x) = E0 sin(ωt − x) ≠ 0 ∂x c c c G 而在无源的真空中， E 应满足麦克斯韦方程为 G ∇⋅E = 0
G G ω 故矢量函数 E = ex E0 cos(ωt − x) 不满足麦克斯韦方程组。 c
2
而
G G G ∇ 2 H (r , t ) = ey ∇ 2 [0.1sin(10πx) cos(6π ×109 t − kz )] G = ey [−(10π) 2 − k 2 ]0.1sin(10πx) cos(6π × 109 t − kz )] G G ∂ 2 H (r , t ) G ∂2 e 0.1sin(10 π x ) cos(6π × 109 t − kz ) = y 2 2 ∂t ∂t G 9 2 = −ey (6π × 10 ) 0.1sin(10πx) cos(6π × 109 t − kz )]
故 k 2 = ω 2 με 4.3 已知无源的空气中的磁场强度为 G G H = ey 0.1sin(10πx) cos(6π × 109 t − kz ) A/m 利用波动方程求常数 k 的值。
G G G G ∂ 2 H (r , t ) 解：在无源的空气中的磁场强度满足波动方程 ∇ H (r , t ) − μ0ε 0 =0 ∂t 2
G 并推导 Am 和 ϕm 的微分方程。
证：无源空间的麦克斯韦方程组为
G G G ∂D ∇× H = J + ∂t G G ∂B ∇× E = − ∂t G ∇⋅B = 0 G ∇⋅D = 0 G G 根据矢量恒等式 ∇ ⋅∇ × A = 0 和式(4)，知 D 可表示为一个矢量的旋度，故令 G G D = −∇ × Am
但不满足麦克斯韦方程。 证： G G ω ∂2 ω ω G G G ω ∇ 2 E (r , t ) = ex E0∇ 2 cos(ωt − x) = ex E0 2 cos(ωt − x) = −ex ( ) 2 E0 cos(ωt − x) ∂x c c c c
∂2 G 2 G ∂2 ω ω G G E (r , t ) = ex E0 2 cos(ωt − x) = −exω 2 E0 cos(ωt − x) 2 ∂t ∂t c c
故
G G G G ∂ ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H = ∇ × J + ε (∇ × E ) ∂t
将式(2)和式(3)代入式(5)，得
(5)
G G G ∂2 H ∇ H − με 2 = −∇ × J ∂t
2
G 这就是 H 的波动方程，是二阶非齐次方程。
同样，对式(2)两边取旋度，得
G G ∂ ∇ × ∇ × E = − μ (∇ × H ) ∂t
G G 1 ∂2 E 4.1 证 明 以 下 矢 量 函 数 满 足 真 空 中 的 无 源 波 动 方 程 ∇ E − 2 2 = 0 ， 其 中 c ∂t G G 1 ω ω G G ， E0 为常数。(1) E = ex E0 cos(ωt − z ) ；(2) E = ex E0 sin( z ) cos(ωt ) ； c2 = c c μ 0ε 0
G G ω ∂2 ⎡ ⎤ G (2) ∇ 2 E = ex E0∇ 2 ⎢sin( z ) cos(ωt ) ⎥ = ex E0 2 ∂z c ⎣ ⎦
ω ⎡ ⎤ sin( z ) cos(ωt ) ⎥ ⎢ c ⎣ ⎦
ω G ω = −ex ( ) 2 E0 sin( z ) cos(ωt ) c c
G G B = ∇× A
和电磁标量位 ϕ 的关系式
G G ∂A E = −∇ϕ − ∂t G G G ∂E 代入麦克斯韦第一方程 ∇ × H = J + ε ∂t
得
G G G ∂⎛ ∂A ⎞ ∇ × (∇ × A) = J + ε ⎜ −∇ϕ − ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠ μ 1
利用矢量恒等式
G G G ∇ × ∇ × A = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ 2 A
G G ω ∂2 ω G (3) ∇ 2 E = ey E0∇ 2 cos(ωt + z ) = ey E0 2 cos(ωt + z ) ∂z c c
ω G ω = −ey ( ) 2 E0 cos(ωt + z ) c c
G ∂2 E G ∂2 ω ω G = e E cos(ωt + z ) = −eyω 2 E0 cos(ωt + z ) y 0 2 2 ∂t ∂t c c G G 1 ∂2 E ω 1 ⎡ G ω ⎤ G ω 2 ∇ E − 2 2 = −ey ( ) 2 E0 cos(ωt + z ) − 2 ⎢ −e yω 2 E0 cos(ωt + z ) ⎥ = 0 c ∂t c c c ⎣ c ⎦
2
于是有 [−(10π ) 2 − k 2 ] + μ0ε 0 (6π × 109 ) 2 = 0 故得 k = μ0ε 0 (6 π × 109 ) 2 − (10 π ) 2 = 10 3π
G G ω 4.4 证明：矢量函数 E = ex E0 cos(ωt − x) 满足真空中的无源波动方程 c G G 1 ∂2 E 2 ∇ E− 2 2 =0 c ∂t
G G G ∂E ∇× H = J +ε ∂t G G ∂H ∇ × E = −μ ∂t G ∇⋅H = 0 G ρ ∇⋅E =
(1) (2) (3) (4)
ε
对式(1)两边取旋度，得
G G G ∂ ∇ × ∇ × H = ∇ × J + ε (∇ × E ) ∂t
而
G G G ∇ × ∇ × H = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H
得
G G G G ∂⎛ ∂A ⎞ 2 ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A = μ J + με ⎜ −∇ϕ − ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠
(1)
又由
G ∇⋅D = ρ
得
G ⎛ ∂A ⎞ ρ ∇ ⋅ ⎜ −∇ϕ − ⎟ = ∂t ⎠ ε ⎝
即
∇ 2ϕ +
G ∂ ρ (∇ ⋅ A) = − ∂t ε
(2)
G 按库仑条件，令 ∇ ⋅ A = 0 ，将其代入式(1)和式(2)，得 G G G ∂2 A ⎛ ∂ϕ ⎞ 2 ∇ A − με 2 = − μ J + με∇ ⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠
G G G G 证：在直角坐标系中 r = ex x + ey y + ez z G G G G 设 k = ex k x + ey k y + ez k z G G G G G G G G 则 k ⋅ r = (ex k x + ey k y + ez k z ) ⋅ (ex x + ey y + ez z ) = k x x + k y y + k z z