平面向量的基本概念
2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)
4若两个向量相等，则它们的起点和终点分另重合；
5若a//b,b//c，则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中，正确的是（）
a.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E，设AB占，AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD；
…uuumu，亠
(2)若OE OA，求实数的值.
26.如图，已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及；
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
3
|CB|,
若
AB BC，贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr
§5-1 平面向量的基本概念
2
.
0
•
x
P ( x1 , y1 )
[举例说明 举例说明] 举例说明
如已知A(2，)，B(3，)，则 : 6 8 AB =
(3 − 2) + (8 − 6)
2
2
= 5 ; BA =
(2 − 3) + (6 − 8)
2
2
= 5.
[向量的模的计算] 向量的模的计算]
例2：已知平面直角坐标系中，点M（-1，7）， 已知平面直角坐标系中， MN 点N（5，-10）求： MN. 10） 解：由两点间的距离公式得： 由两点间的距离公式得：
3、向量的平行与相等 两个向量的方向相同或相反叫做两个向量平行； 两个向量的方向相同或相反叫做两个向量平行； 两个向量的方向相同且模相等叫做两个向量相等. 两个向量的方向相同且模相等叫做两个向量相等. 4、把与 AB 的模相等且方向相反的向量叫做 AB 的 、 负向量：记作－ 负向量：记作－BA. ∴AB=－BA . － 5、长度为 0 的向量叫做零向量：零向量方向不确定 、 的向量叫做零向量：零向量方向不确定. 叫做零向量 6、向量的模的计算：即，平面直角坐标系中两点间 向量的模的计算： 的距离公式. 的距离公式.
． P(1,3)
A(0,1)
0
x
（2）∵向量长度就是向量的模， ） 向量长度就是向量的模 的长度就是|AP|，即： ∴AP的长度就是 的长度就是 ， |AP|= (1 − 0) 2 + (3 − 1) 2 = 5 ；|0P| = 12 + 32 = 10 .
uuu r PQ 例5： 是以二次函数y = 2 x 2 + 1图象上的顶点P为 uuu r 始点、Q为终点的向量，且 PQ = 2，求Q的坐标。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
平面向量的概念及线性运算(优质课)教案
1.6平面向量的基本概念与线性运算（优质课）教案教学目标：1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.教学过程：*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1一、平面向量的概念：1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．BaA图7－22、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．6、 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．7、相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．二、平面向量的基本运算：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC =AB +BC ．一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A (如图7－6)，依次作AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即 a ＋b =AB ＋BC =AC （7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则． 2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD =BC ，根据三角形法则得AB ＋AD =AB ＋BC =AC这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；图7－7ACBaba +bab图7－9ADCB（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）． 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a =OA ，b =OB ，则()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA −=+−+=+=．即 OA OB −=BA （7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3）若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4） 一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=−=−a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ．aAa -bBbO图7－13题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量DA 相等的向量； （2）找出向量DC 的负向量； （3）找出与向量AB 平行的向量．分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解 由平行四边形的性质，得 （1）CB =DA ；（2）BA =DC −,CD DC =−； （3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．练习：1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出ADCB图7－5O（1）与EF 相等的向量；（2）与AD 共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出 （1）与OC 相等的向量； （2）OC 的负向量； （3）与OC题型2 向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．解 如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC =+=22125+=13．又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723CAD '∠≈︒1． 即船的实际航行速度大小是13km/h ，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是θ，所以12F F =．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以12F F k +=−.解 利用平行四边形法则，可以得到1212cos F F F k +==θ，所以12cos k F =θ．练习：1． 如图，已知a ，b ，求a ＋b ．F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 A BDC图7－10F 1F 2kθ 图7－112．填空（向量如图所示）：（1）a ＋b =_____________ ,答案：→AC （2）b ＋c =_____________ ,答案：→BD （3）a ＋b ＋c =_____________ ．答案：→AD 3．计算：（1）AB ＋BC ＋CD ； （2）OB ＋BC ＋CA ． 答案：（1）→AD （2）→OA例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ． 练习：1．填空：（1）AB AD −=_______________，答案：→DABbOaAba（1）（2）图7－14（图1－15）bbaa（1）（2）第1题图（2）BC BA −=______________，答案：→AC （3）OD OA −=______________．答案：→AD2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．解：AC =a+b ，BD =b-a,DB =a －b例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD . 解 ：AC ＝a ＋b ,BD ＝b −a ， 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以 1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ．练习：1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．解：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）=3a -6b-4a-2b=4 b-a （2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）=-11b2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12（a ＋b ）． 解：如图所示。
平面向量的正交和标准正交基的应用
平面向量的正交和标准正交基的应用平面向量是数学研究中常见的概念，具有广泛的应用。
其中，正交和标准正交基是平面向量领域中的重要概念和工具。
本文将探讨平面向量的正交性和标准正交基的应用。
首先，我们将介绍平面向量的基本概念和性质，然后详细阐述正交向量以及标准正交基在几何和代数中的常见应用。
1. 平面向量的基本概念和性质平面向量是平面上有大小和方向的箭头，它由两个起点相同的有向线段表示。
线段的长度表示向量的大小，线段的指向表示向量的方向。
平面向量通常用小写字母加箭头标记，例如a→或者AB→。
平面向量的性质包括平移、共线性、相等性、加法和数乘等。
其中，加法和数乘运算是平面向量的核心运算。
向量加法表示两个向量的合成，向量数乘表示一个向量与一个实数的乘积。
2. 正交向量的概念和性质正交向量是指两个向量的夹角为90度的向量。
对于平面向量a→和b→，如果它们的内积a→·b→=0，则称a→和b→正交，记作a→⊥b→。
正交向量具有以下重要性质：性质1：零向量与任意向量都正交。
性质2：如果a→⊥b→，则-b→⊥a→。
性质3：如果a→⊥b→且b→⊥c→，则a→⊥c→。
正交向量在几何中的应用广泛。
例如，在矩形中，对角线相互垂直。
此外，正交向量还能帮助求解向量的分解和求模，从而简化向量计算的过程。
3. 标准正交基的概念和性质标准正交基是指平面内正交向量构成的向量组。
标准正交基具有以下性质：性质1：标准正交基中的向量互相正交。
性质2：标准正交基中的向量彼此单位长度。
标准正交基在代数中的应用广泛。
通过标准正交基，我们可以将一个向量表示成一组系数的线性组合，从而简化向量运算。
此外，标准正交基还能用于解方程组、矩阵变换和向量空间的基的选择等问题。
4. 平面向量的正交和标准正交基的应用平面向量的正交和标准正交基在几何和代数领域有着广泛的应用。
在几何中，利用正交向量的概念，我们可以判断矩形、正方形、平行四边形等图形的性质。
通过构造正交向量的方法，我们可以求解物体之间的相对位移、速度和加速度等问题。
平面向量复习教案
平面向量复习一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。
与非零向量共线的单位向量3. 平行向量：若非零向量方向相同或相反，则；规定零向量与任一向量平行4、向量相等：模相等，方向相同；相反向量：模相等，方向相反5、两个非零向量、的夹角：做=；；叫做与的夹角。
6、坐标表示：、分别是与轴、轴同向的单位向量，若，则叫做的坐标。
7.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为方向上的投影二、基本运算：运算向量形式坐标形式：；加法<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。
<2>三角形加法法则：首尾相连记：+=减法起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）记：-=数乘是一个向量，方向：时，与同向；时，与反向；时，数量积·= ·=三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若与不共线，则对平面内的任意一个向量，有且只有一对实数、；使得。
2、向量的模：＝＝；非零向量与的夹角：3、向量平行：∥；向量垂直：⊥四、基础训练1. 在四边形ABCD中, 已知, 试判断四边形ABCD是什么样的四边形?2. （1）______；（2）_____；（3）_____．3. 已知平面内三点，则x的值为_______．4. 已知为平面上不共线的三点，若向量=（1，1），=（1，－1），且·=2，则·等于________．5. 已知向量则的坐标是_____．6. 已知=(-1，2)，=(3，m)，若⊥，则m的值为__________．7. 已知，且，则向量在向量上的投影为8. 设向量与的夹角为，，，则_______．9. 已知A（3，y），B（，2），C（6，）三点共线，则y=_________.10. 非零向量和满足：，则与的夹角等于 .五、典例讲解.例1. 已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3xa+(10－y)b=2xb+(4y+4)a,则x=_____________,y=_____________．例2. 若向量，满足且与的夹角为，则________例3. 已知，，（1）证明：三点共线.（2）为何值时，① 向量与平行② 向量与垂直例4.设两个向量，满足，，，的夹角为，若向量与夹角是钝角，求实数的取值范围.例5.平面内有向量，点Q为直线OP上一动点，1）求取最小值时，点Q的坐标 2）当点Q满足1）的条件和结论时，求的值。
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。
平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。
一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。
2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。
平行向量的模长相等。
3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。
零向量的模长为0。
4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。
二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。
向量加法满足交换律和结合律。
2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。
向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。
3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。
4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。
内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。
5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。
外积的结果是一个向量。
三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。
2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。
3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。
4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。
5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。
四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。
2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。
平面向量基础知识
平面向量一、平面向量的基本概念㈠、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母AB 表示.（AB 的大小──长度称为向量的模，记作|AB|. ）3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.4.向量与有向线段的区别：⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.5、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.6、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：⑴综合①、②才是平行向量的完整定义；⑵向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.7、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：⑴向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；⑵零向量与零向量相等；⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 8、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．）. 说明：⑴平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；⑵共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二、 向量的加法与减法1、位移问题：①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=②某人从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=③某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=④船速为AB，水速为BC ，则船单位时间内的位移：AB BC AC +=2、向量的加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。
向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。
由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。
大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。
1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。
3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。
零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
平面向量与平面几何
平面向量与平面几何平面向量是数学中的重要概念，与平面几何有着紧密的联系。
通过研究平面向量的性质和运算规律，可以更好地理解和解决平面几何的问题。
本文将从定义、性质、基本运算和应用等方面介绍平面向量与平面几何的关系。
一、平面向量的定义与性质1.1 平面向量的定义平面向量是指在平面内具有大小和方向的有序对。
通常用箭头或者加粗的字母表示，如→a或者a。
平面向量的起点和终点分别代表向量的始点和终点，向量的方向由起点指向终点。
平面向量常用坐标表示，如（a, a）。
两个平面向量相等的条件是它们的长度相等且方向相同。
1.2 平面向量的性质（1）平面向量的模或长度：平面向量→a的模表示为|→a|，计算公式为|→a|=√(a²+a²)。
（2）平面向量的零向量：长度为0的平面向量，记作→0或者a。
（3）平面向量的相反向量：与给定向量大小相等，方向相反的向量，记作−→a。
（4）平面向量的平行：如果两个非零向量→a和→b的方向相同或者相反，则称其平行，记作→a∥→b；如果两个向量方向垂直，则称其互相垂直。
（5）平面向量的共线：如果两个向量→a和→b的起点在同一直线上，则称其共线。
二、平面向量的基本运算2.1 平面向量的加法平面向量的加法运算是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的平面向量。
设有向量→a=(a₁, a₂)和→b=(a₁, a₂)，则其和向量表示为→c=→a+→b= (a₁+a₁, a₂+a₂)。
（例子和计算过程省略）2.2 平面向量的数乘平面向量的数乘运算是指将一个向量的每个分量乘以一个实数，得到一个新的平面向量。
设有向量→a=(a₁, a₂)和实数a，数乘后的向量表示为→b=a→a=(aa₁, aa₂)。
（例子和计算过程省略）2.3 平面向量的减法平面向量的减法运算是指将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量，得到一个新的平面向量。
设有向量→a=(a₁, a₂)和→b=(a₁, a₂)，则其差向量表示为→c=→a−→b= (a₁−a₁, a₂−a₂)。
平面向量知识点总结(精华)
平面向量知识点总结(精华)一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。
例如，物理学中的力、位移等都是向量。
我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量的表示：几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。
字母表示：用小写字母a、b、c等表示。
2. 向量的模向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。
模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。
3. 零向量长度为\(0的向量称为零向量，记作0。
零向量的方向是任意的。
4. 单位向量模等于\(1的向量称为单位向量。
对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。
例如，向量a=(3,4)，则a= 5，同方向的单位向量e=(35,45)。
5. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量称为平行向量。
规定：零向量与任意向量平行。
若向量a与b平行，记作a。
例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b = 2a，所以a。
6. 相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。
二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。
平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a。
结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a。
向量减法的定义：ab=a+(b)。
其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。
3. 向量的数乘定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。
平面向量与函数综合应用
平面向量与函数综合应用平面向量与函数综合应用是数学中的一个重要概念。
它将平面向量和函数这两个数学工具结合起来，使得我们可以更加灵活地解决一些实际问题。
本文将介绍平面向量与函数综合应用的基本概念，以及一些相关的例子，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、平面向量的基本概念在介绍平面向量与函数综合应用之前，我们先来回顾一下平面向量的基本概念。
平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
我们可以用一个有序的数对来表示平面向量，例如，对于平面上的一个点P，其坐标可以表示为P(x, y)，那么从原点O到点P的有向线段可以表示为向量OP = (x, y)。
平面向量具有一些基本的运算法则，例如加法、减法和数量乘法。
两个平面向量的加法定义为将它们的对应分量相加，即(Ax, Ay) + (Bx, By) = (Ax + Bx, Ay + By)；减法定义为将它们的对应分量相减，即(Ax, Ay) - (Bx, By) = (Ax - Bx, Ay - By)；数量乘法定义为将向量的每个分量与一个标量相乘，即k(Ax, Ay) = (kAx, kAy)。
二、函数的基本概念函数是数学中的另一个基本工具，描述了两个变量之间的关系。
函数可以看作是一种映射关系，将自变量的值映射到因变量的值上。
函数的一般形式可以表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f代表函数关系。
函数可以用图表、方程或者文字来表示。
函数的应用非常广泛，可以用来描述各种各样的问题。
例如，我们可以用函数来描述一个物体的运动轨迹，或者用函数来表示一种经济模型。
函数的基本运算包括函数的加法、减法、乘法和除法，这些运算可以使我们更好地理解和利用函数。
三、平面向量与函数的综合应用平面向量与函数的综合应用主要包括两个方面：一是利用平面向量来描述函数的性质，二是利用函数来计算平面向量的相关量。
在利用平面向量来描述函数的性质方面，我们可以通过求函数的导数来描述其变化率。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳平面向量是高中数学中的一个基本概念，同时也是高中数学中比较难理解和掌握的知识点之一。
下面我们将结合实例，对平面向量的定义、加减和数量积等知识点进行简明归纳。
一、平面向量的定义平面向量又称二维向量，是具有大小和方向的有向线段，通常用字母加箭头表示（如：$\vec{a}$）。
在直角坐标系中，平面向量可以表示成一个有序实数对$(a,b)$。
例如：已知点$A(1,2)$和点$B(3,4)$，连接这两个点所得的有向线段$\vec{AB}$就是一个平面向量，它的坐标表示为$\vec{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)$。
二、平面向量的加减平面向量的加减法是指将两个向量相加（或相减）所得的向量，即$\vec{a}+\vec{b}$（或$\vec{a}-\vec{b}$），其坐标分别相加（或相减）。
例如：已知向量$\vec{a}=(1,2)$和向量$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}+\vec{b}=(1+3,2+4)=(4,6)$；$\vec{a}-\vec{b}=(1-3,2-4)=(-2,-2)$。
另外，平面向量加减法还满足以下性质：（1）交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$；$\vec{a}-\vec{b}=-\vec{b}+\vec{a}$（2）结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$（3）零向量：对于任意向量$\vec{a}$，有$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$，$\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}$。
其中，$\vec{0}=(0,0)$。
三、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为$\vec{a} \cdot \vec{b}$，它的值为两个向量的模长乘积与它们夹角的余弦值，并可以用各个分量表示出来。
$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos\theta=a_xb_x+a_yb_y$其中，$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$，$|\vec{b}|=\sqrt{b_x^2+b_y^2}$，$\theta$表示$\vec{a}$与$\vec{b}$之间的夹角。
平面向量结合律证明
平面向量结合律证明平面向量结合律是数学中的一条重要定理，用于证明平面向量的加法满足结合律。
在本文中，将以从简到繁的方式，逐步讲解并证明平面向量结合律的原理和推论，旨在帮助读者全面理解并掌握这一概念。
1. 平面向量的基本概念平面向量是空间中具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
对于平面向量$\vec{AB}$，A和B为向量的起点和终点。
向量的大小称为模，记作$|\vec{AB}|$；向量的方向则由A指向B确定。
2. 平面向量的加法两个平面向量$\vec{AB}$和$\vec{BC}$可以进行加法运算，结果记作$\vec{AC}$。
根据平行四边形法则，可以通过将$\vec{AB}$和$\vec{BC}$的起点放在一起，然后连接终点，得到一个新的向量$\vec{AC}$，其起点为A，终点为C。
3. 平面向量的结合律的定义平面向量的结合律是指对于任意三个向量$\vec{AB}$，$\vec{BC}$和$\vec{CD}$，有$(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} = \vec{AB} + (\vec{BC} + \vec{CD})$。
4. 平面向量结合律的证明将向量$\vec{AB}$和$\vec{BC}$放在一起，连接终点得到向量$\vec{AC}$，则根据平面向量的加法定义有$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$。
接下来，将向量$\vec{AC}$和$\vec{CD}$放在一起，连接终点得到向量$\vec{AD}$，则根据平面向量的加法定义有$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$。
注意到，向量$\vec{AD}$的起点为A，终点为D，与$(\vec{AB} +\vec{BC}) + \vec{CD}$的起点和终点相同。
同样地，向量$\vec{AB}+ (\vec{BC} + \vec{CD})$的起点也为A，终点为D。
高考数学中的平面向量基本概念及相关性质
高考数学中的平面向量基本概念及相关性质随着人们生活中科技的快速发展，数学的地位越来越重要。
高考数学是整个中学阶段最关键的考试之一，考查学生的数学运算能力和逻辑思维能力。
在高考数学中，平面向量是一个重要的概念，涉及多个方面的知识，而且在实际生活中也有很广泛的应用，因此深入理解平面向量的基本概念及相关性质，对于提高数学水平和应对高考具有重要意义。
一. 矢量的概念和表示平面向量，又称矢量，是由大小和方向决定的量。
矢量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示矢量的大小，而方向则是有向线段的方向。
例如，有向线段AB表示一个矢量，长度为5，方向为从A指向B。
记作$\overrightarrow{AB}$，其中上方的箭头表示矢量方向。
二. 矢量的加法和减法矢量的加法和减法是矢量数乘的特殊情形。
设$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$是两个矢量，$\lambda$是一个实数，则：（1）矢量加法 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$表示从起点为$\overrightarrow{a}$的有向线段终点作为起点，画一条有向线段使之终点与$\overrightarrow{b}$的终点重合，这条线段的长度与方向所表示的量即为$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$。
（2）矢量减法 $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$表示从起点为$\overrightarrow{a}$的有向线段终点作为起点，画一条有向线段使之终点与$\overrightarrow{b}$的终点重合，这条线段的方向相反，长度为$\left| \overrightarrow{a} \right|-\left|\overrightarrow{b}\right|$，所表示的量即为$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$。
平面向量的基本概念和基本定理
【平面向量】（1）平面向量的基本概念和基本定理： 考点．．1．重要的概念．．．．．①基本概念向量、向量的模（长度），向量的表示，自由向量、相等向量，相反向量，位置向量，零向量、共线向量、单位向量、基线、数乘向量、基向量、坐标、正交基底、向量的数量积、夹角、正射影 考点．．2．重要的定理．．．．． ②基本定理：平行向量基本定理（掌握）、平面向量基本定理（了解）向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa ∥b (b≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e （2）平面向量的基本运算：（几何运算、代数运算、坐标运算） 考点３重要的运算 ① 向量的加法几何运算：如图，已知向量a 、在平面内任取一点A ，作a AB =，b BC =，则向量AC叫做a 与b 的和，记作b a +，即 AC BC AB b a =+=+特殊情况：(1)BBabba +ba +AABC C)2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+00向量加法的运算律：a +b =b +a (a +b ) +c =a + (b +c )向量的加法的代数运算：AC BC AB b a =+=+向量的加法的坐标运算： 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， ② 向量的减法向量的减法的几何运算： 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒AB 表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b 向量减法的运算律：向量的减法的代数运算：AB =OB -OA向量的减法的坐标运算：若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a -),(2121y y x x --= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)③ 向量的数乘 向量的数乘的几何计算示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a) OC =BC AB OA ++=a +a +a =3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a向量的数乘的运算律： 结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③向量的数乘的代数运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a|（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0a -bA AB B B’ O a -ba a bb O A O Ba -ba -b B A O -b向量的数乘的坐标运算若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=④向量的数量积向量的数量积的几何计算：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0向量的数量积的几何意义： 数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积 投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b | 两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒向量的数量积的运算律：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积 两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅C5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |向量的数量积的代数运算： 交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb ) 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２向量的数量积的坐标运算已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = b a⋅2121y y x x += 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a⊥⇔02121=+y y x x 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a +=或22||y x a +=（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式).两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=典型例题例1如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示). 解：例2 已知a(1, 2)，b (2, 3)，c (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形证明：例3 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b解：例4已知a= (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x解：例5已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b的夹角是多少?例6 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使∠b = 90︒，求点b和向量AB 的坐标 解：例7 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值 解：例8若非零向量a 和b 满足｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜证明：a ⊥b证法一：证法二：例9 已知向量a 是以点A (3，－1)为起点，且与向量b ＝（－3，4）垂直的单位向量，求a 的终点坐标说明：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆本章知识网络结构运算 类型 几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法 1平行四边形法则2三角形法则),(2121y y x x b a ++=+a b b a +=+)()(c b a c b a ++=++ AC BC AB =+向 量 的 减 法三角形法则),(2121y y x x b a --=-)(b a b a -+=-BA AB -= AB OA OB =-向 量 的 乘 法1a λ是一个向量,满足: 2λ>0时,a λ与a 同向;λ<0时,a λ与a 异向;λ=0时, a λ=0),(y x a λλλ=a a )()(λμμλ=a a a μλμλ+=+)(b a b a λλλ+=+)(a ∥b a b λ=⇔向 量 的 数 量 积b a •是一个数 10=a 或0=b 时, b a •=020≠a 且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =•2121y y x x b a +=•a b b a •=•)()()(b a b a b a •=•=•λλλc b c a c b a •+•=•+)( 22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤•重要定理、公式：．．．．．．．．(1)平面向量基本定理21,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+= (2)两个向量平行的充要条件MO N BAD Ca ∥b ⇔a＝λb ⇔01221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔02121=+y y x x平面向量习题1、已知,OAOB a b ，且||||2a b ，∠AOB=60°，则||a b =____；a b 与b 的夹角为_____.2.已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____； 若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-AG __________ .3.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，则点△BC P 与△ABP 的面积分别为s 1,s 2,则s 1:s 2=_________4.如图，AB 是半圆O 的直径，C , D 是弧AB 三等分点，M , N 是线段AB 的三等分点，若OA = 6，则→MD ·→NC 的值是 ．5、在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝ ．6、已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则mn等于__________. 7、已知在同一平面上的三个单位向量,,a b c ，它们相互之间的夹角均为120o ，且|1ka b c ++>｜，则实数k 的取值范围是8.设向量),1,2(),2cos ,1(==b a θ)1,sin 21(),1,sin 4(θθ==d c ，其中)4,0(πθ∈.（1）求d c b a ⋅-⋅的取值范围；（2）若函数)()(|,1|)(d c f b a f x x f ⋅⋅-=与比较的大小9.已知m R ∈, 2 (1, )a x m =-+，1 (1, )b m x =+， (, )x c m x m=-+.（Ⅰ）当1m =-时，求使不等式 1a c ⋅<成立的x 的取值范围； （Ⅱ）求使不等式 0a b ⋅>成立的x 的取值范围.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC • 解:一、考题选析：例1、已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于( )A 、23 B 、2- C 、92- D 、23- 例2、设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（ ） Ａ、[]16，-Ｂ、[48]，Ｃ、]1[，-∞ Ｄ、]61[，-例3、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A 、23B 、13C 、13-D 、23-例4、设平面向量321,,a a a 的和0321=++a a a 。
平面向量基本概念框架梳理
平面向量基本概念框架梳理平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
它具有大小和方向，并可通过向量的加法和数乘进行运算。
本文将从向量的定义、表示形式、运算以及向量的性质等方面进行基本概念的框架梳理，以帮助读者全面理解和掌握平面向量的基本概念。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示。
有向线段的起点和终点分别称为向量的始点和终点，记作A和B，向量AB表示从A到B的有向线段。
若两个向量的大小和方向相等，则它们相等。
二、向量的表示形式1. 箭头表示法：向量AB用箭头AB表示。
2. 坐标表示法：在平面直角坐标系中，向量AB的表示形式为AB = (x, y)，其中x和y分别为向量AB在x轴和y轴上的投影。
三、向量的运算1. 加法：向量的加法满足交换律和结合律。
设向量AB和向量CD，它们的和为向量AC。
即AB + CD = AC。
2. 数乘：向量的数乘即将向量的大小与方向分别与一个实数相乘。
设向量AB，实数k，它们的数乘表示为kAB。
3. 减法：向量的减法可视为加法和数乘的结合运算。
设向量AB和向量CD，它们的差为向量AD。
即AB - CD = AD。
四、向量的性质1. 零向量：零向量是大小为0的向量，任何向量与零向量的和都等于该向量本身。
2. 负向量：向量AB的负向量记作-AB，它与向量AB大小相等，方向相反，且满足AB + (-AB) = 0。
3. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，它们称为平行向量。
4. 共线向量：如果两个向量的直线上的任意一点都与这两个向量的始点连线和终点连线共线，它们称为共线向量。
5. 模长与单位向量：向量AB的模长表示为|AB|，它的计算公式为|AB| = √(x² + y²)。
单位向量是模长为1的向量，它可以通过向量AB除以它的模长得到，记作u = AB/|AB|。
通过对平面向量的基本概念进行框架梳理，我们可以更好地理解和应用平面向量的相关知识。
平面向量的基本概念
平面向量的基本概念1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
2．向量的表示方法：（1）用有向线段表示；（2）用字母表示：a说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。
有向线段的三要素：起点、方向和长度；（2）向量AB 的长度（或称模）：线段AB 的长度叫向量AB 的长度，记作||AB ．3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义：（1）单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即||1AB =；（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作0；（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：////a b c ；（4）相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。
即：a b =；（5）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。
平行向量也叫共线向量。
说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作0//a ；（2）零向量与零向量相等，记作00=；（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
4．例题分析：例1 如图1，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA ，OB ，OC 相等的向量。
解：OA CB DO ==EF =；OB DC EO AF ===；OC AB ED FO ===．A （起点）1）例2 如图2，梯形ABCD 中，E ，F 分别是腰AB 、DC 的三等分点，且||AD 2=，||5BC =，求||EF ．解：分别取BE ，CF 的中点分别记为M ，N ， 由梯形的中位线定理知：1||(||)2M N E F B C =+ 1111||()(||||)2222EF AD MN AD EF BC =+=++ ∴3159||(2)4224EF =+= ∴||3EF =．小结：1．正确理解向量的概念，并会用数学符号和有向线段表示向量；2．明确向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、共线向量和相等向量的意义。
2）。
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1、向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量与数量的区别、向量常用有向线段来表示、注意:不能说向量就就是有向线段,为什么？ 提示:向量可以平移、举例 1 已知(1,2)A ,(4,2)B ,则把向量AB u u u r按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量就是_____、 结果:(3,0)2、零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:0r,规定:零向量的方向就是任意的;3、单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r共线的单位向量就是||AB AB ±u u u r u u u r );4、相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;5、平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a r、b r 叫做平行向量,记作:a r∥b r ,规定:零向量与任何向量平行、注:①相等向量一定就是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行就是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性！(因为有0r );④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔u u u r u u u r、共线、6、相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量、a r的相反向量记作a -r、举例2 如下列命题:(1)若||||a b =r r ,则a b =rr 、(2)两个向量相等的充要条件就是它们的起点相同,终点相同、(3)若AB DC =u u u r u u u u r,则ABCD 就是平行四边形、(4)若ABCD 就是平行四边形,则AB DC =u u u r u u u u r、(5)若a b =rr ,b c =r r ,则a c =r r 、(6)若//a b r r ,//b c r r 则//a c r r、其中正确的就是 、 结果:(4)(5) 二、向量的表示方法1、几何表示:用带箭头的有向线段表示,如AB u u u r,注意起点在前,终点在后;2、符号表示:用一个小写的英文字母来表示,如a r ,b r ,c r等;3、坐标表示:在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 为基底,则平面内的任一向量a r可表示为(,)a xi yj x y =+=r r r ,称(,)x y 为向量a r 的坐标,(,)a x y =r 叫做向量a r的坐标表示、结论:如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同、三、平面向量的基本定理定理 设12,e e r r 同一平面内的一组基底向量,a r就是该平面内任一向量,则存在唯一实数对12(,)λλ,使1122a e e λλ=+r r r、(1)定理核心:1122a λe λe =+r r r ;(2)从左向右瞧,就是对向量a r的分解,且表达式唯一;反之,就是对向量a r 的合成、(3)向量的正交分解:当12,e e r r 时,就说1122a λe λe =+r r r为对向量a r 的正交分解.举例3 (1)若(1,1)a =r ,(1,1)b =-r ,(1,2)c =-r ,则c =r 、 结果:1322a b -rr 、 (2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的就是 BA 、1(0,0)e =r ,2(1,2)e =-r B 、1(1,2)e =-r ,2(5,7)e =r C 、1(3,5)e =r ,2(6,10)e =r D 、1(2,3)e =-r ,213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r (3)已知,AD BE u u u r u u u r 分别就是ABC △的边BC ,AC 上的中线,且AD a =u u u r r ,BE b =u u u r r ,则BCu u u r可用向量,a b r r 表示为 、 结果:2433a b +rr 、 (4)已知ABC △中,点D 在BC 边上,且2CD DB =u u u r u u u r ,CD rAB sAC =+u u u r u u u r u u u r,则r s +=的值就是 、 结果:0、 四、实数与向量的积实数λ与向量a r 的积就是一个向量,记作a λr,它的长度与方向规定如下:(1)模:||||||a a λλ=⋅r r;(2)方向:当0λ>时,a λr 的方向与a r 的方向相同,当0λ<时,a λr 的方向与ar的方向相反,当0λ=时,0a λ=rr ,注意:0a λ≠r 、五、平面向量的数量积1、两个向量的夹角:对于非零向量a r ,b r,作OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r ,则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a r ,b r的夹角、当0θ=时,a r ,b r 同向;当θπ=时,a r ,b r 反向;当2πθ=时,a r,b r垂直、2、平面向量的数量积:如果两个非零向量a r ,b r,它们的夹角为θ,我们平面向量知识点总结(精华)把数量||||cos a b θr r 叫做ar与b r的数量积(或内积或点积),记作:a b ⋅rr,即||||cos a b a b θ⋅=⋅r r r r、规定:零向量与任一向量的数量积就是0、注:数量积就是一个实数,不再就是一个向量、举例 4 (1)ABC △中,||3AB =u u u r ,||4AC =u u u r ,||5BC =u u u r ,则AB BC ⋅=u u u r u u u r_________、 结果:9-、(2)已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ,10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ,c a kb =+r r r ,d a b =-r r r ,c r 与d r 的夹角为4π,则k = ____、 结果:1、(3)已知||2a =r ,||5b =r ,3a b ⋅=-rr ,则||a b +=r r ____、 结果(4)已知,a b r r 就是两个非零向量,且||||||a b a b ==-r r r r ,则a r 与a b +rr 的夹角为____、 结果:30o、3、向量b r 在向量a r上的投影:||cos b θr ,它就是一个实数,但不一定大于0、举例 5 已知||3a =r ,||5b =r ,且12a b ⋅=rr ,则向量a r 在向量b r 上的投影为______、 结果:125、 4、a b ⋅r r 的几何意义:数量积a b ⋅r r 等于a r 的模||a r 与b r在a r上的投影的积、5、向量数量积的性质:设两个非零向量a r ,b r,其夹角为θ,则:(1)0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ;(2)当a r、b r 同向时,||||a b a b ⋅=⋅r r r r ,特别地,22||||aa a a a =⋅=⇔=r r r r r ||||ab a b ⋅=⋅r r r r 就是a r、b r 同向的充要分条件;当a r 、b r 反向时,||||a b a b ⋅=-⋅r r r r ,||||a b a b ⋅=-⋅r r r r 就是a r、b r 反向的充要分条件;当θ为锐角时,0a b ⋅>r r ,且a r、b r 不同向,0a b ⋅>r r 就是θ为锐角的必要不充分条件;当θ为钝角时,0a b ⋅<r r ,且a r、b r 不反向;0a b ⋅<r r 就是θ为钝角的必要不充分条件、(3)非零向量a r ,b r夹角θ的计算公式:cos ||||a b a b θ⋅=rr r r ;④||||ab a b ⋅≤r r r r 、 举例 6 (1)已知(,2)a λλ=r ,(3,2)b λ=r ,如果a r与b r 的夹角为锐角,则λ的取值范围就是______、 结果:43λ<-或0λ>且13λ≠; (2)已知OFQ △的面积为S ,且1OF FQ ⋅=u u u r u u u r ,若12S <,则OF u u u r ,FQ u u u r 夹角θ的取值范围就是_________、 结果:,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭; (3)已知(cos ,sin )a x x =r ,(cos ,sin )b y y =r ,且满足|||ka b a kb +-r r r r(其中0k >)、①用k 表示a b ⋅r r ;②求a b ⋅rr 的最小值,并求此时a r 与b r 的夹角θ的大小、结果:①21(0)4k a b k k +⋅=>r r ;②最小值为12,60θ=o、 六、向量的运算1、几何运算 (1)向量加法运算法则:①平行四边形法则;②三角形法则、运算形式:若AB a =u u u r r ,BC b =u u u r r ,则向量AC u u u r 叫做a r与b r 的与,即a b AB BC AC +=+=u u u r u u u r u u u r r r;作图:略、注:平行四边形法则只适用于不共线的向量、 (2)向量的减法运算法则:三角形法则、运算形式:若AB a =u u u r r ,AC b =u u u r r ,则a b AB AC CA -=-=u u ur u u u r u u u r r r ,即由减向量的终点指向被减向量的终点、作图:略、注:减向量与被减向量的起点相同、举例7 (1)化简:①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ;②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u u r;③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r 、 结果:①AD u u u r ;②CB u u u r ;③0r;(2)若正方形ABCD 的边长为1,AB a =u u u r r ,BC b =u u u r r ,AC c =u u u r r ,则||a b c ++=r r r、 结果:(3)若O 就是ABC △所在平面内一点,且满足2OBOC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,则ABC △的形状为、 结果:直角三角形;(4)若D 为ABC △的边BC 的中点,ABC △所在平面内有一点P ,满足0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r ,设||||AP PD λ=u u u ru u u r ,则λ的值为 、 结果:2; (5)若点O 就是ABC △的外心,且0OA OB CO ++=u u u r u u u r u u u r r,则ABC △的内角C 为 、 结果:120o、2、坐标运算:设11(,)a x y =r,22(,)b x y =r ,则(1)向量的加减法运算:1212(,)ab x x y y +=++r r ,1212(,)a b x x y y -=--rr 、 举例8 (1)已知点(2,3)A ,(5,4)B ,(7,10)C ,若()AP AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r,则当λ=____时,点P 在第一、三象限的角平分线上、 结果:12; (2)已知(2,3)A ,(1,4)B ,且1(sin ,cos )2AB x y =u u u r ,,(,)22x y ππ∈-,则x y += 、结果:6π或2π-;(3)已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =u u r ,2(2,5)F =-u u r ,3(3,1)F =u u r ,则合力123F F F F=++u u r u u r u u r u u r的终点坐标就是 、 结果:(9,1)、(2)实数与向量的积:1111(,)(,)a x y x y λλλλ==r、(3)若11(,)A x y ,22(,)B x y ,则2121(,)AB x x y y =--u u u r,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、举例9 设(2,3)A ,(1,5)B -,且13AC AB =u u u r u u u r,3AD AB =u u u r u u u r ,则,C D 的坐标分别就是__________、 结果:11(1,),(7,9)3-、 (4)平面向量数量积:1212ab x x y y ⋅=+rr、 举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =r ,(sin ,sin )b x x =r ,(1,0)c =-r、 (1)若3x π=,求向量a r 、c r 的夹角; (2)若3[,]84x ππ∈-,函数()f x a b λ=⋅r r 的最大值为12,求λ的值、结果:(1)150o;(2)12或1、(5)向量的模:2222||||aa x y a ==+⇔=r r r举例11 已知,a b r r 均为单位向量,它们的夹角为60o,那么|3|a b +=r r＝ 、 结果(6)两点间的距离:若11(,)A x y ,22(,)B x y ,则||AB举例12 如图,在平面斜坐标系xOy 中,60xOy ∠=o,关于斜坐标系的斜坐标就是这样定义的:若12OP xe ye =+u u u r r r,其中12,e e r r y 轴同方向的单位向量,则P 点斜坐标为(,)x y 、(1)若点P 的斜坐标为(2,2)-,求P 到O 的距离||PO ;(2)求以O 为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程、 结果:(1)2;(2)2210x y xy ++-=、 七、向量的运算律1、交换律:a b b a +=+r r r r ,()()a a λμλμ=r r ,a b b a ⋅=⋅r r r r;2、结合律:()a b c a b c ++=++r r r r r r ,()a b c a b c --=-+r r r r r r ,()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅r r r r r r;3、分配律:()a a a λμλμ+=+r r r,()a b a b λλλ+=+r r r r ,()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r 、举例13 给出下列命题:① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅r r r r r r r ;② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r;③222()||2||||||a b a a b b -=-+r rr r r r ;④ 若0a b ⋅=r r ,则0a =r r 或0b =r r ;⑤若a b c b⋅=⋅r rr r 则a c =r r ;⑥22||a a =r r ;⑦2a b ba a⋅=r rr r r ;⑧222()a b a b ⋅=⋅r r r r ;⑨222()2a b a a b b -=-⋅+r r r r r r 、 其中正确的就是 、 结果:①⑥⑨、说明:(1)向量运算与实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律,即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅r r r r r r,为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=r r r r r r r r 、举例14 (1)若向量(,1)a x =r ,(4,)b x =r ,当x =_____时,a r 与b r 共线且方向相同、 结果:2、(2)已知(1,1)a =r ,(4,)b x =r ,2u a b =+r r r ,2v a b =+rr r ,且//u v r r ,则x = 、 结果:4、(3)设(,12)PA k =u u u r ,(4,5)PB =u u u r ,(10,)PC k =u u u r,则k = _____时,,,A B C 共线、 结果:2-或11、九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=r r r rr r r r 、特别地||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 、 举例15 (1)已知(1,2)OA =-u u u r ,(3,)OB m =u u u r ,若OA OB ⊥u u u r u u u r ,则m = 、结果:32m =; (2)以原点O 与(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ,90B ∠=︒,则点B的坐标就是 、结果:(1,3)或(3,－1));(3)已知(,)n a b =r 向量n m ⊥r r ,且||||nm =r r ,则m =r的坐标就是 、结果:(,)b a -或(,)b a -、十、线段的定比分点1、定义:设点P 就是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意一点,若存在一个实数λ ,使12PP PP λ=u u u r u u u r,则实数λ叫做点P 分有向线段12P P u u u u r 所成的比λ,P 点叫做有向线段12P P u u u u r的以定比为λ的定比分点、2、λ的符号与分点P 的位置之间的关系(1)P 内分线段12P P u u u u r,即点P 在线段12PP 上0λ⇔>;(2)P 外分线段12P P u u u u r时,①点P 在线段12PP 的延长线上1λ⇔<-,②点P 在线段12PP 的反向延长线上10λ⇔-<<、注:若点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比为λ,则点P 分有向线段21P P u u u u r所成的比为1λ、举例16 若点P 分AB u u u r 所成的比为34,则A 分BP u u u r所成的比为 、 结果:73-、 3、线段的定比分点坐标公式:设111(,)P x y ,222(,)P x y ,点(,)P x y 分有向线段12P P u u u u r所成的比为λ,则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩、 特别地,当1λ=时,就得到线段12PP 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 说明:(1)在使用定比分点的坐标公式时,应明确(,)x y ,11(,)x y 、22(,)x y 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标、(2)在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点与终点,并根据这些点确定对应的定比λ、举例17 (1)若(3,2)M --,(6,1)N -,且13MP MN =-u u u u r u u u ur ,则点P 的坐标为 、 结果:7(6,)3--; (2)已知(,0)A a ,(3,2)B a +,直线12y ax =与线段AB交于M ,且2AM MB =uu u u r u u u u r,则a =r、 结果:２或4-、十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =r 平移至(,)P x y '',则,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩;曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =r 平移得曲线(,)0f x h y k --=、说明:(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊！举例18 (1)按向量a r 把(2,3)-平移到(1,2)-,则按向量a r 把点(7,2)-平移到点______、 结果:(8,3)-;(2)函数sin 2y x =的图象按向量a r 平移后,所得函数的解析式就是cos21y x =+,则a =r ________、 结果:(,1)4π-、 十二、向量中一些常用的结论1、一个封闭图形首尾连接而成的向量与为零向量,要注意运用;2、模的性质:||||||||||a b a b a b -≤+≤+r r r r r r、(1)右边等号成立条件: a b r r 、同向或 a b r r 、中有0r ||||||a b a b ⇔+=+r r r r ;(2)左边等号成立条件: a b r r 、反向或 a b r r 、中有0r ||||||a b a b ⇔-=+r r r r;(3)当 a b r r 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+r r r r r r、3、三角形重心公式在ABC△中,若11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++、 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --,则ABC △的重心的坐标为 、结果:24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭、 5、三角形“三心”的向量表示(1)1()3PG PA PB PC G =++⇔u u u ru u u r u u u r u u u r为△ABC 的重心,特别地0PA PB PC G ++=⇔u u u r u u u r u u u rr为△ABC 的重心、(2)PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r为△ABC 的垂心、(3)||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r为△ABC 的内心;向量(0)||||AB AC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u u r u u u u r 所在直线过△ABC 的内心、 6、点P 分有向线段12P P u u u u r所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P u u u u r所成的比为λ,若M 为平面内的任一点,则121MP MPMP λλ+=+u u u u r u u u u r u u u r ,特别地P 为有向线段12P P u u u u r 的中点122MP MPMP +⇔=u u u u r u u u u ru u u r 、7、 向量,,PA PB PC u u u r u u u r u u u r中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ,使得PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r且1αβ+=. 举例20 平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点(3,1)A ,(1,3)B -,若点C 满足12OC OA OB λλ=+u u u r u u u r u u u r,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹就是 、 结果:直线AB 、。
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标1. 让学生理解平面向量的实际背景，了解向量在现实生活中的应用。
2. 掌握平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法、相等向量、相反向量等。
3. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘等。
4. 培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。
二、教学内容1. 向量的实际背景：介绍向量在物理学、工程学等领域的应用，如力的表示、位移的表示等。
2. 向量的定义：介绍向量的概念，强调向量是有大小和方向的量。
3. 向量的表示方法：介绍向量的表示方法，包括箭头表示法、坐标表示法等。
4. 相等向量、相反向量：介绍相等向量和相反向量的概念，强调它们的性质和运算规律。
5. 向量的线性运算：介绍向量的加法、减法和数乘运算，包括运算规则、运算性质等。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念和运算规律。
2. 利用多媒体辅助教学，通过动画、图片等形式展示向量的实际背景和运算过程。
3. 采用小组讨论、合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
4. 结合例题讲解，让学生通过实践操作理解和掌握向量的运算方法和技巧。
四、教学评估1. 通过课堂提问、作业批改等方式及时了解学生的学习情况，发现问题并及时解决。
2. 设计一些实际问题，让学生运用所学的向量知识解决，评估学生对知识的掌握程度。
3. 组织课堂讨论，评估学生的参与程度和团队协作能力。
五、教学资源1. 多媒体教学课件：包括向量的实际背景图片、向量运算的动画演示等。
2. 教材：提供相关章节的学习材料，供学生预习和复习使用。
3. 练习题库：提供丰富的练习题，包括填空题、选择题、解答题等，用于巩固所学知识。
4. 参考资料：提供一些相关的研究论文、书籍等，供有兴趣深入学习的学生参考。
六、教学安排1. 课时安排：本章节共需4课时，每课时45分钟。
2. 课堂活动安排：第一课时：向量的实际背景介绍，向量的定义和表示方法学习。
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平面向量得实际背景及基本概念
1、向量得概念：我们把既有大小又有方向得量叫向量。
２、数量得概念:只有大小没有方向得量叫做数量。
数量与向量得区别：
数量只有大小,就就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小、 3.有向线段:带有方向得线段叫做有向线段。
4.有向线段得三要素:起点,大小,方向
５、有向线段与向量得区别; （1)相同点:都有大小与方向
(2）不同点:①有向线段有起点,方向与长度，只要起点不同就就就是不同得有向线段
比如：上面两个有向线段就就是不同得有向线段。
②向量只有大小与方向,并且就就是可以平移得,比如：在①中得两个有向线 段表示相同(等)得向量。
③向量就就是用有向线段来表示得,可以认为向量就就是由多个有向线段连接而成 6、向量得表示方法: ①用有向线段表示；
②用字母a 、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:;
７、向量得模:向量得大小(长度)称为向量得模,记作｜|、 8、零向量、单位向量概念：
长度为零得向量称为零向量,记为:0。
长度为1得向量称为单位向量。
９、平行向量定义:
①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、即:0 ∥a 。
说明：(1)综合①、②才就就是平行向量得完整定义； (2)向量ａ、ｂ、c 平行,记作ａ∥b ∥c 、 １0、相等向量
长度相等且方向相同得向量叫相等向量、
说明:(1）向量ａ与ｂ相等，记作a ＝b ;(２)零向量与零向量相等;
(３)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有．．
A(起点)
B
(终点)
a
向线段得起点无关．．．．．．．．、 1１、共线向量与平行向量关系：
平行向量就就就是共线向量，这就就是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段得起点无关．．．．．．．．．．)． 说明:(1)平行向量就就是可以在同一直线上得。
（2）共线向量就就是可以相互平行得。
例１、判断下列说法就就是否正确,为什么？ (1)平行向量就就是否一定方向相同? (２）不相等得向量就就是否一定不平行? (３)与零向量相等得向量必定就就是什么向量？ (4)与任意向量都平行得向量就就是什么向量？
(5）若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定就就是什么向量? (６)两个非零向量相等当且仅当什么？ (7)共线向量一定在同一直线上吗？
解析:(1)不就就是,方向可以相反，可有定义得出。
（2）不就就是，当两个向量方向相同得时候,只要长度不相等就不就就是相等向量，但就就是就就是平行得。
(３)零向量 (4)零向量
(5）共线向量（平行向量 (6)长度相等且方向相同 (7)不一定,可以平行。
例2、下列命题正确得就就是（ ) A 、a 与ｂ共线,ｂ与c 共线,则a 与c 也共线
Ｂ、任意两个相等得非零向量得始点与终点就就是平行四边形得四顶点
C 、向量a 与b 不共线,则a 与b 都就就是非零向量
D 、有相同起点得两个非零向量不平行
解:由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究得向量就就是自由向量,所以两个相等得非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形,根本不可能就就是一个平行四边形得四个顶点,所以B 不正确；向量得平行只要方向相同或相反即可,与起点就就是否相同无关,所以D 不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a 与b 不都就就是非零向量,即a 与b 至少有一个就就是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有ａ与ｂ共线,不符合已知条件,所以有a 与b 都就就是非零向量，所以应选C 、 例３、如右图所示,设Ｏ就就是正六边形A ＢC ＤEF 得中心,
分别写出图中与向量 相等得向量。
解:按照向量相等得定义可知：
B
A
O
D E
F
向量得加法运算及其几何意义
1、向量得加法:求两个向量与得运算,叫做向量得加法、
2、三角形法则(记忆口诀:“首尾相接,从头指尾”) ３、三角形法则得来由
如图,已知向量a 、ｂ、在平面内任取一点,作=ａ,=ｂ,则向量叫做ａ与ｂ得与,记作a+b ,即 a+ｂ,规定:a + 0－= 0 + ａ
4、向量加法得字母公式:
5、平行四边形
法则
图1 如图１,以同一点O 为起点得两个已知向量a 、b 为邻边
作平行四边形，则以Ｏ为起点得对角线就就就是ａ与b 得与、我们把这种作两个向量与得方法叫做向量加法得平行四边形法则、
６、平行四边形法则与三角形法则得区别:
（1）平行四边形法则就就是将两个向量得起点放在一起做出平行四边形，最终与向量得结果得起点 与两个分向量得起点就就是同一起点。
（2）三角形法则要求第一个向量终点与第二个向量得起点连接在一起,然后连接第一个向量得起点与第二个向量得终点组成三角形，最终与向量得结果就就是:由第一个向量得起点指向第二个向量得终点。
7.一般结论
当ａ,b 不共线时,|a ＋b ｜<|ａ｜＋|b |（即三角形两边之与大于第三边）; 当ａ,b 共线且方向相同时,|a +b |＝|a |+|b |;
当a ,b 共线且方向相反时,｜ａ+b |＝|a |－|b |（或｜ｂ|－｜a |)、其中当向量a 得长度大于向量b 得长度时,｜a +b |=|a |－|b |;当向量a 得长度小于向量b 得长度时,|ａ+ｂ|=｜b |-|ａ|、 一般地,我们有｜a +b |≤|a |＋|b ｜、 二、例题讲解
例1、已知正方形ＡBCD 得边长为1, = ａ, = b , = c ,则| a ＋ｂ＋ｃ|等于( )
A 、0 ﻩ
B 、3 ﻩ
C 、2 ﻩ
D 、2 、
解: D
A
B
C
a +b
a +b
a
a
b
b
a
ｂ
b a+b
a
作出正方形ABCD得图形如上图所示，那么:
a+b=c,所以ａ+b+c＝２c,所以｜ａ+b+c|＝|2c|=2|c｜=2,所以选D、
例2、化简:(１)+;(２）+＋;（３)++＋+、
例３、如图所示,已知矩形AＢCD中，||=4,设＝ａ,=b,＝ｃ,试求向量a+b+c得模、
解：过Ｄ作ＡC得平行线,交ＢC得延长线于E,
∴DE∥AC,AD∥BE、
∴四边形AＤＥC为平行四边形、
∴＝,=、
于就就是a+b+c=++=+==+=2,
∴|a+b＋c|＝２|｜=8、
1、判断下列命题就就是否正确,若不正确,请简述理由。
①向量ＡB与ＣD就就是共线向量,则Ａ、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等；
③任一向量与它得相反向量不相等;
④一个向量方向不确定当且仅当模为０；
⑤共线得向量,若起点不同,则终点一定不同。
２、(１）、判断下列式子就就是否正确，若不正确请指出错误原因、
①=0 ②、－＝0
（2）若将所有单位向量得起点归结在同一起点,则其终点构成得图形就就是______＿____、（3）将所有共线向量移至同一起点,终点构成得图形就就是什么图形?__＿＿＿______
3、下列说法正确得就就是( )
Ａ、平行向量就就是方向相同得向量B、长度相等得向量叫相等向量
C、零向量得长度为０Ｄ、共线向量就就是在同一条直线上得向量
４、若非零向量与共线,则以下说法下确得就就是( )
A、与必须在同一直线上
B、与平行,且方向必须相同`
C、与平行,且方向必须相反Ｄ、与平行
1、在四边形中,若,则四边形得形状一定就就是（)
(A）平行四边形（B）菱形（Ｃ) 矩形（D) 正方形
２、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同得路程,设两列火车得位移向量分别为与，那么下列命题中错误得一个就就是( )
A、与为平行向量
B、与为模相等得向量
C、与为共线向量
D、与为相等得向量
3、下列命题中正确得就就是( )
A、单位向量都相等
B、长度相等且方向相反得两个向量不一定就就是共线向量
C、若a,b满足｜ａ|>|b|且ａ与b同向，则a>b
D、对于任意向量a、ｂ,必有|a+ｂ|≤|a|+|b|
平面向量得加法运算
1、用三角形法则与平行四边形法则分别画出
2、下列命题中正确得就就是( )
A、单位向量都相等
B、长度相等且方向相反得两个向量不一定就就是共线向量
C、若a,ｂ满足|ａ｜>|ｂ|且a与b同向,则a＞b
Ｄ、对于任意向量a、b,必有｜a+ｂ|≤|ａ|+|ｂ｜
3、已知正方形得边长为1, =a,=ｂ,=ｃ,则|ａ+ｂ+c|等于( )
Ａ、０Ｂ、3 Ｃ、 D、2
４、两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同得路程,设两列火车得位移向量分别为与，那么下列命题中错误得一个就就是
A、与为平行向量Ｂ、与为模相等得向量
C、与为共线向量
D、与为相等得向量
5、在四边形中,若，则四边形得形状一定就就是（ )
(A) 平行四边形(Ｂ）菱形 (C）矩形 (Ｄ) 正方形
６、已知正方形得边长为1,,,，则等于 ( )
（A) 0 (B） 3 (C) (Ｄ)
7、如果,就就是两个单位向量,则下列结论中正确得就就是（)
(A) (Ｂ）（C) (D)。