平面向量的基本概念

平面向量得实际背景及基本概念

1、向量得概念：我们把既有大小又有方向得量叫向量。 ２、数量得概念:只有大小没有方向得量叫做数量。 数量与向量得区别：

数量只有大小,就就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小、 3.有向线段:带有方向得线段叫做有向线段。 4.有向线段得三要素:起点,大小,方向

５、有向线段与向量得区别; （1)相同点:都有大小与方向

(2）不同点:①有向线段有起点,方向与长度，只要起点不同就就就是不同得有向线段

比如：上面两个有向线段就就是不同得有向线段。

②向量只有大小与方向,并且就就是可以平移得,比如：在①中得两个有向线 段表示相同(等)得向量。

③向量就就是用有向线段来表示得,可以认为向量就就是由多个有向线段连接而成 6、向量得表示方法: ①用有向线段表示；

②用字母a 、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:;

７、向量得模:向量得大小(长度)称为向量得模,记作｜|、 8、零向量、单位向量概念：

长度为零得向量称为零向量,记为:0。长度为1得向量称为单位向量。 ９、平行向量定义:

①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、即:0 ∥a 。 说明：(1)综合①、②才就就是平行向量得完整定义； (2)向量ａ、ｂ、c 平行,记作ａ∥b ∥c 、 １0、相等向量

长度相等且方向相同得向量叫相等向量、

说明:(1）向量ａ与ｂ相等，记作a ＝b ;(２)零向量与零向量相等;

(３)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有．．

A(起点)

B

(终点)

a

向线段得起点无关．．．．．．．．、 1１、共线向量与平行向量关系：

平行向量就就就是共线向量，这就就是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段得起点无关．．．．．．．．．．)． 说明:(1)平行向量就就是可以在同一直线上得。 （2）共线向量就就是可以相互平行得。 例１、判断下列说法就就是否正确,为什么？ (1)平行向量就就是否一定方向相同? (２）不相等得向量就就是否一定不平行? (３)与零向量相等得向量必定就就是什么向量？ (4)与任意向量都平行得向量就就是什么向量？

(5）若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定就就是什么向量? (６)两个非零向量相等当且仅当什么？ (7)共线向量一定在同一直线上吗？

解析:(1)不就就是,方向可以相反，可有定义得出。

（2）不就就是，当两个向量方向相同得时候,只要长度不相等就不就就是相等向量，但就就是就就是平行得。

(３)零向量 (4)零向量

(5）共线向量（平行向量 (6)长度相等且方向相同 (7)不一定,可以平行。

例2、下列命题正确得就就是（ ) A 、a 与ｂ共线,ｂ与c 共线,则a 与c 也共线

Ｂ、任意两个相等得非零向量得始点与终点就就是平行四边形得四顶点

C 、向量a 与b 不共线,则a 与b 都就就是非零向量

D 、有相同起点得两个非零向量不平行

解:由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究得向量就就是自由向量,所以两个相等得非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形,根本不可能就就是一个平行四边形得四个顶点,所以B 不正确；向量得平行只要方向相同或相反即可,与起点就就是否相同无关,所以D 不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a 与b 不都就就是非零向量,即a 与b 至少有一个就就是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有ａ与ｂ共线,不符合已知条件,所以有a 与b 都就就是非零向量，所以应选C 、 例３、如右图所示,设Ｏ就就是正六边形A ＢC ＤEF 得中心,

分别写出图中与向量 相等得向量。 解:按照向量相等得定义可知：

B

A

O

D E

F

向量得加法运算及其几何意义

1、向量得加法:求两个向量与得运算,叫做向量得加法、

2、三角形法则(记忆口诀:“首尾相接,从头指尾”) ３、三角形法则得来由

如图,已知向量a 、ｂ、在平面内任取一点,作=ａ,=ｂ,则向量叫做ａ与ｂ得与,记作a+b ,即 a+ｂ,规定:a + 0－= 0 + ａ

4、向量加法得字母公式:

5、平行四边形

法则

图1 如图１,以同一点O 为起点得两个已知向量a 、b 为邻边

作平行四边形，则以Ｏ为起点得对角线就就就是ａ与b 得与、我们把这种作两个向量与得方法叫做向量加法得平行四边形法则、

６、平行四边形法则与三角形法则得区别:

（1）平行四边形法则就就是将两个向量得起点放在一起做出平行四边形，最终与向量得结果得起点 与两个分向量得起点就就是同一起点。

（2）三角形法则要求第一个向量终点与第二个向量得起点连接在一起,然后连接第一个向量得起点与第二个向量得终点组成三角形，最终与向量得结果就就是:由第一个向量得起点指向第二个向量得终点。 7.一般结论

当ａ,b 不共线时,|a ＋b ｜<|ａ｜＋|b |（即三角形两边之与大于第三边）; 当ａ,b 共线且方向相同时,|a +b |＝|a |+|b |;

当a ,b 共线且方向相反时,｜ａ+b |＝|a |－|b |（或｜ｂ|－｜a |)、其中当向量a 得长度大于向量b 得长度时,｜a +b |=|a |－|b |;当向量a 得长度小于向量b 得长度时,|ａ+ｂ|=｜b |-|ａ|、 一般地,我们有｜a +b |≤|a |＋|b ｜、 二、例题讲解

例1、已知正方形ＡBCD 得边长为1, = ａ, = b , = c ,则| a ＋ｂ＋ｃ|等于( )

A 、0 ﻩ

B 、3 ﻩ

C 、2 ﻩ

D 、2 、

解: D

A

B

C

a +b

a +b

a

a

b

b

a

ｂ

b a+b

a