不定积分分部积分公式
不定积分分部积分法
解： e x sin xdx sin xdex e x sin x e xd sin x
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xdex
e x sin x e x cos x e xd cos x
e x sin x e x cos x e x sin xdx
例4、求 arccos xdx
解：原式 x arccos x xd arccos x
x x
arccos arccos
x x
1 2
x dx
1 x2 (1 x2
)
1 2
d
(1
x2)
x arccos x 1 x2 C
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分部积分公式： udv uv vdu
例5、求 e x sin xdx
第四章 不定积分
分部积分法
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x (t )
1、第二换元公式： f ( x)dx f [ (t )](t )dt t1( x)
注：一般当被积函数含根号又不能用凑微分法求出其
积分时，考虑用第二换元公式去根号, 把无理化为有理. 2、去根号的方法： (1)被积函数含 a2 x2， 令x a sin t.
例1、求 x cos xdx
解：设令u x，v cos x. 则u 1, v sin x
故 x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
若设u
故x
cos x，
cos xdx
v x.
x2 2
cos
则u sin x，v
x
x2 2
(
sin
x
)dx
x2 2
.
3.2.4_不定积分的分部积分法
1 sin x 1 dx dx d (cos x ) 证： I n n n 1 n 1 sin x sin x sin x
cos x 1 n1 cos xd ( n1 ) sin x sin x
cos x cos 2 x n1 ( n 1) dx n 2 sin x sin x cos x 1 1 n1 ( n 1) dx ( n 1) dx n 2 n sin x sin x sin x
即
udv uv vdu 。
分部积分法是乘积微分公式的逆运算。
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 x n a x dx , x n sin xdx , x n arctan xdx , e x cos xdx 等。
2
3.2.4 不定积分的分部积分法
1 x cos(ln x ) x sin(ln x ) dx x x cos(ln x ) sin(ln x )dx
x cos(ln x ) x sin(ln x ) xd [sin(ln x )] 1 x cos(ln x ) x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x x cos(ln x ) x sin(ln x ) cos(ln x )dx
（5） arcsin xdx
4
3.2.4 不定积分的分部积分法
（1） x sin xdx 。
2
分部积分的步骤：
解： x 2 sin xdx x 2 d (cos x ) ——凑微分，选 u, v ；
[ x 2 cos x cos xd ( x 2 )] ——代分部积分公式；
不定积分部分积分法
不定积分部分积分法
不定积分的部分积分法，也叫做“分部积分法”，是求解不定积分中的一种常用方法。
其基本思想是将一个复杂的函数的不定积分转化为两个简单函数之间的关系，从而简化积分运算。
部分积分法的公式表达如下：
∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx
其中，u(x)和v(x)分别是函数u和v的原函数，u'(x)和v'(x)分别是函数u和v的导数。
具体操作步骤如下：
1.选取u(x)和v'(x)，其中u(x)为被积函数的一部分，并且它的导函数u'(x)容易求得；v'(x)为另一部分，并且它的原函数v(x)容易求得。
2.计算u'(x)和v(x)。
3.应用部分积分公式，将被积函数分解为两个简单函数数乘及求导的形式。
4.求解新的积分，可能需要再次应用部分积分法或其他积分技巧。
5.最终得到原方程的不定积分。
需要注意的是，部分积分法只适用于能找到合适的u(x)和v(x)
的情况，如果无法找到合适的u(x)和v(x)，则无法应用此方法。
此外，部分积分法还可以用于计算定积分，只需在公式两边同时加上积分上下限，即可得到定积分的部分积分公式。
22 不定积分的分部积分法
分部积分过程： uv′dx = udv = uv − vdu = uv − vu′ dx = L ∫ ∫ ∫ ∫
x2exdx. 例2 求 ∫
解
x2exdx = ∫ x2dex ∫
降
x
= x e − ∫ e dx = x e − 2∫ xe dx
2 x x 2
2 x
幂 降 幂
x
= x e − 2∫ xde = x e − 2(xe − ∫ e dx)
∴
∫ xf ′(x)dx = xf (x) − ∫ f (x)dx
2 −x2 −x2
= −2x e −e
20
+C
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思考题2 求积分 ∫ sin(ln x)dx. 解
∫sin(ln x)dx = xsin(ln x) − ∫ xd[sin(ln x)]
1 = xsin(ln x) − ∫ x cos(ln x) ⋅ dx x
1 1+ x ⋅ dx 2 1+ x 1 dx 2 1+ x
∫ xln xdx
1 2 xdx = dx 2
1 ln xdx2 xdx = ∫ 2
= 1 x2 ln x − 1 ∫ x2⋅ 1 dx x 2 2 x
= 1 x2 ln x− 1 ∫ xdx 2 2 xdx = 1 x2 ln x− 1 x2 +C . 2 4
7
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分部积分过程： uv′dx = udv = uv − vdu = uv − vu′ dx = L ∫ ∫ ∫ ∫ 例4
9
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不定积分的分部积分法.
udv uv vdu
凑微口诀：指三幂对反
学法建议：
1、熟记常用的凑微分形式。
2、善于观察，选择适当的积分方法。 3、加强合作精神。 4、验算。
f xdx f x
作业：
课后练习3：（1）---（8）
x = t, 则 x = t 2 ,
d x 2t d t ,
x t t e d x 2 te d t 2 t d( e )
2(tet et d t )
2(tet et ) C
2e x ( x 1) C.
天然气的产量
海上石油钻井平台
• 工程师们发现，一个新开发的天然气井t月 的总产量P（单位： 106 m3）的变化率为
2
三、使用分部积分法应注意
（1）常用于被积函数为两个不同类型函数的 乘积形式，以及特 殊 的单个函数形式。
(如 x sin xdx , e arctan xdx , ln xdx 等)
x
0
x
ln xdx
(2)要正确地选择u与dv。 凑微口诀：指三幂对反
cos x d x. xd v
2 2 x ln xdx ln x x dx
dv
（3）分部积分法可以连续使用．连续使用分部 积分法时，每一次选u的函数一般说必须是同类函 数，否则作两次分部积分后会出现恒等式． （4）求一个不定积分，需要将换元积分法和分 部积分法结合起来使用。
x e 例3求积分 d x.
解： 设
依题意，当 t 0
P 0.
代入上式，得
C 212.25.
不定积分的分部积分法公式
不定积分的分部积分法公式“不定积分的分部积分法公式”是一个复杂的数学概念，它用于计算一类曲线函数的定积分的近似值。
不定积分的分部积分法公式也被称为埃尔米特积分公式，是一种广泛应用的积分技术，为计算复杂曲线函数提供了有效的数值计算方法。
首先，我们需要了解什么是不定积分。
不定积分是一类特殊的函数，它可以用来计算曲线的面积，可以表达为：∫ f (x) dx=F (b)-F (a)其中，F (x)表示与x有关的积分函数，a和b分别表示曲线的两个端点。
不定积分不能精确计算，但可以采用分部积分公式来估计积分值。
埃尔米特积分公式是常用的一种不定积分的分部积分法。
它是由数学家埃尔米特博克曼于1851年发明的，埃尔米特积分公式可以用来计算以下积分：∫a^b f(x)dx (f (x_i)Δx)其中，Δx表示曲线上每个分段的x方向距离，f (x_i)表示每个分段上x坐标位置处的函数值，Σ表示求和符号；a和b分别表示曲线的两个端点。
有了不定积分的分部积分公式，我们就可以简单地计算出复杂曲线的积分值了。
我们可以假设曲线在每一部分上都呈线性变化，也就是说，f (x)的图像可以被拆分成N个等距的直线段，称为分段线，然后再分别求每一段的积分，将它们相加就得到了曲线的积分值了。
也就是说，我们可以利用这样的公式来求解曲线函数：∫a^b f (x) dx (f (x_i)Δx)用上面的公式，我们可以对曲线函数进行拆分，将曲线分段，然后求出每个分段的积分值，最后将所有分段的积分值相加得到整个曲线的积分值，也就是不定积分的结果了。
埃尔米特积分公式是研究和应用积分技术最重要且最常用的方法之一，它可以用来计算复杂曲线函数的定积分。
埃尔米特积分公式是一种有效的、快速的计算手段，在一定程度上可以减少函数积分计算的误差，帮助我们准确地计算函数的积分值。
埃尔米特积分公式在工程计算中也有重要应用，它可以用来计算各种复杂函数的积分，例如建筑工程中混凝土结构的受力计算、软件设计中的面向对象编程等。
不定积分的分部积分法
x x e sin x d x sin x d e
e x sin x - e x d(sin x)
x x e sin x cos x d e e sin x - e cos xdx x x
e x sin x - (e x cos x - e x d cos x )
这两个公式称为分部积分公式.
•分部积分过程
,
uv vdx dx udv uv- vdu uv d uv uv u vdx vdx .. uv vu x udv u vdu u
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - vu dx = 例1 求 x cos xdx. 解
例5 (3) 求 arccos xdx x arccos x - xd arccos x
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
1 1 1 2 2 2 1 例3 求 x ln xdx ln xdx x ln x - x dx 例4 2 2 2 x 1 ln xdx 2 1 x 2 ln x - 1 x 2 1 dx x ln xdx 例 4 解：原式 = 2 2 2 x
内容小结
1、分部积分公式：
u v dx u dv u v - v du
2 、分部积分： uvdx uv - vudx中u, v的确定原则：
“反对幂指三” , 前 u 后
1 x 2 arctan x - 1 x 1 arctan x C . 2 2 2
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
常用的24个不定积分公式及证明
常用的24个不定积分公式及证明一、基本积分公式。
1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 证明：根据求导公式(kx + C)'=k，所以∫ kdx = kx + C。
2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 证明：对frac{x^n + 1}{n+1}+C求导，根据求导公式(x^m)'=mx^m - 1，可得(frac{x^n+1}{n + 1}+C)'=frac{(n + 1)x^n+1-1}{n+1}=x^n，所以∫ x^n dx=frac{x^n +1}{n+1}+C(n≠ - 1)。
3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 证明：当x>0时，(ln x)'=(1)/(x)；当x < 0时，[ln(-x)]'=(1)/(-x)×(-1)=(1)/(x)。
所以∫(1)/(x)dx=lnx+C。
4. ∫ e^x dx=e^x+C- 证明：因为(e^x)' = e^x，所以∫ e^x dx=e^x+C。
5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- 证明：设y = a^x，则ln y=xln a，y = e^xln a。
对y=(a^x)/(ln a)+C求导，((a^x)/(ln a)+C)'=(1)/(ln a)× a^xln a=a^x，所以∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)。
6. ∫sin xdx=-cos x + C- 证明：因为(-cos x)'=sin x，所以∫sin xdx =-cos x+C。
7. ∫cos xdx=sin x + C- 证明：因为(sin x)'=cos x，所以∫cos xdx=sin x + C。
8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 证明：因为(tan x)'=sec^2x=(1)/(cos^2)x，所以∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C。
不定积分的分部积分法一十
x x x e sinx [e cos x e d (cos x )]
e x sinx e x cosx e x sinxdx
2 e x sinxdx e x sinx e x cosx C1
1 x e sinxdx 2 e (sinx cosx ) C .
（4） x 2 sinxdx 。
（5）求 e x s
x
也可以选择 x
u e , dvsinxdx
解： e x sinxdx sinxd (e x ) e x sinx e x d (sinx )
e x sinx e x cosxdx e x sinx cosxd (e x )
xf ( x ) f ( x )dx xf ( x ) f ( x ) C
sinx sinx x( ) C x x
2sinx cosx C . x
x x
e x ln x ln xd (e x ) e x ln xdx
e x ln x e x ln xdx e x ln xdx
e x ln x C .
sinx 例 3．设 f ( x ) ，求 x f ( x )dx 。 x
解： x f ( x )dx x d [ f ( x )]
3.2.4 不定积分的分部积分法
一、分部积分公式
udv uv vdu 。
二、分部积分法
分部积分的关键是正确选取 u 和 dv ，其选取原则是：
（1） v 要容易求出； （2） vdu 要比 udv 容易积出。
例 1.(1)求 xe x dx 。
（2） ln xdx
不定积分分部积分法
不定积分分部积分法不定积分的分部积分法为Sudv＝uv−Svdu。
例1 求∫x2exdx解：这道题的被积表达式是两个函数相乘，我们首先考虑凑微分法。
但尝试后发现，无论把那个函数凑入微分符号中，积分都不会变简单。
这时候，可以考虑使用分部积分法了。
根据“反对幂指三”的顺序，我们优先选择把指数函数 ex 凑入微分符号，得∫x2d(ex) .由分部积分公式得，原式= x2ex−∫exd(x2)=x2ex−2∫xexdx .这时候剩下的这个积分的被积表达式又是两个函数相乘的形式，而且与一开始的积分形式是一样的，所以对这个积分再次使用分部积分。
即∫xd(ex)=xex−∫exdx=(x−1)ex+C .容易计算出最后的结果是∫x2exdx=(x2−2x+2)ex+C .例2 求∫lnxdx .解：这道题乍一看似乎可以直接用积分公式，但一想，不对啊，没有对应的积分公式可以用啊。
而被积表达式就只有一个函数光溜溜地站在那里，既不能换元，也不能凑微分，那么这时候就又可以考虑分部积分法了。
我们把 lnx 看作 1⋅lnx ，那么 1 就是一个幂函数（ x0 ）。
现在根据“反对幂指三”的顺序，我们选择把幂函数凑入微分符号，得到和原式一样的∫lnxdx 。
下一步就是分部积分了，根据公式，容易得到：xlnx−∫xd(lnx) .计算易得，原式= xlnx−∫x⋅1xdx=x(lnx−1)+C .从上面两个例题我们便可以总结出分部积分法的基本步骤了：①凑微分，∫f(x)g(x)dx=∫f(x)dG(x) ，其中g(x) 的类型是“反对幂指三”中靠后的类型；②带入分部积分公式，∫f(x)dG(x)=f(x)G(x)−∫G(x)df(x)③计算微分 df(x) ；④计算积分∫G(x)f′(x)dx ，可能还需要再用一次分部积分法；。
不定积分分部积分法
dx x2 a2
10
3.1 不定积分的换元积分法
x x2 a2 x2 a2 dx a2 ln x2 a2 x
2 x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln x2 a2 x C1
x2 a2 dx x
2 类似地可得：
x2 a2 a2 ln 2
x2 a2 x C.
解： ln xdx x ln x xd(ln x) x ln x dx
x ln x x C.
（2） arcsin xdx ；
解： arcsin xdx x arcsin x xd(arcsin x)
1 d(1 x2 )
x arcsin x 2 1 x2 x arcsin x 1 x2 C
x2 cos x 2 x cos xdx ——微出来； x2 cos x 2 xd(sin x)
x2 cos x 2x sin x 2 sin xdx
x2 cos x 2x sin x 2cos x C. ——算积分。
此例的特点在于需要连续用两次分部 积分公式，关键
在于降幂。
。
9
3.1 不定积分的换元积分法
例 7．求 x2 a2 dx (a 0) 。
解 : x2 a2 dx x x2 a2 xd( x2 a2 )
x x2 a2
x2 dx
x2 a2
x
x2 a2
x2 a2 a2 dx
x2 a2
x x2 a2
x2 a2 dx a2
分部积分法是乘积微分公式的逆运算。
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 xnaxdx, xn sin xdx, xn arctan xdx, ex cos xdx 等。
不定积分方法总结
不定积分方法总结不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。
不同函数的不定积分方法各不相同，下面将对常见的不定积分方法进行总结。
1.常规的幂函数积分：对于形如$x^n$的函数，其中$n$为常数，其不定积分可以按照以下公式进行求解：$$\int x^n dx = \frac{{x^{n+1}}}{n+1} + C$$其中C为常数。
2.指数函数的积分：对于形如$e^x$的函数，其不定积分可以直接求得：$$\int e^x dx = e^x + C$$其中C为常数。
3.对数函数的积分：对于形如$\ln(x)$的函数，其不定积分可以直接求得：$$\int \ln(x) dx = x(\ln(x) - 1) + C$$其中C为常数。
4.三角函数的积分：对于常见的三角函数，其不定积分方法如下：- 正弦函数：$$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$$- 余弦函数：$$\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$$- 正切函数：$$\int \tan(x) dx = -\ln，\cos(x)， + C$$- 余切函数：$$\int \cot(x) dx = \ln，\sin(x)， + C$$5.常见的三角函数幂函数积分：- $$\int \sin^n(x) dx$$：当$n$为奇数时，可以采用递归法进行求解，当$n$为偶数时，可以采用倍角公式和减角公式进行化简。
- $$\int \cos^n(x) dx$$：当$n$为奇数时，可以采用递归法进行求解，当$n$为偶数时，可以采用倍角公式和减角公式进行化简。
6.有理函数的积分：对于形如$\frac{P(x)}{Q(x)}$的有理函数，其中$P(x)$和$Q(x)$分别为多项式函数，可以采用分部积分法、配凑法、偏分式分解等方法进行求解。
7.常见的代换法：- 令$x=\sin(t)$或$x=\cos(t)$：用于处理含有平方根的积分；- 令$x=\tan(t)$或$x=\cot(t)$：用于处理含有平方差的积分；-令$t=g(x)$：用于处理含有根式的积分。
不定积分-不定积分的分部积分法
推广 ∫ xn sin x d x, 令u = xn
例3 求下列不定积分：
∫ (1) I1 =
x
ln x dx u
=
∫
ln
xd
x2 2
dv
=
x2 2
ln
x−
∫
x2 2
d ln
x
vdu
= 1 x2 ln x 2
−
1 2
∫
x
dx
= 1 x2 ln x − 1 x2 + C
2
4
简化
（2）I 2
=
∫
x
arctan
=
−
x
cos uv
x+
∫
cos v
x dx du
=
−
x
cos
x
+
sin
x
+
C
(2) ∫ I2 = x2 sin x d x = −∫ x2 d cos x
dv
dv
= − x2 cos x + ∫ cosx dx2
vdu
简化
= − x2 cos x+ 2∫ x cosx dx
I1 = − x2 cos x + 2( x sin x + cos x) + C
=
x(
cos x
x
)′
−
cos x
x
+
C
=
− sin
x
−
2 cos x
x
+
C
注 若先求出 f ′( x)，再求积分会更复杂.
解2 由题设
f
(
x)
不定积分分部积分
不定积分分部积分
不定积分分部积分法公式是Sudv＝uvSvdu。
不定积分的分部积分法为Sudv＝uvSvdu。
由于积分号是英文字母S的拉长，为了手机编辑方便，这里我用大写英文字母S表示积分号。
之所以积分号用英文字母S的拉长来表示，主要是因为S是英文单词Sum的首字母。
不定积分分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
3.3 不定积分的分部积分法
4. 凡多项式与对数函数乘积的积分可使用分部积分法.
例5 求 ∫ x 3 ln xdx .
1 4 解：令u = ln x , 则dv = x dx = d x . 4 4 x 3 x ∫ ln xdx = ∫ ln xd 4 1 4 x4 = x ln x − ∫ d (ln x ) 4 4 1 4 1 3 = x ln x − ∫ x dx 4 4 1 4 1 4 = x ln x − x + C 4 16
设函数u = u( x )和v = v ( x )具有连续导数,
( uv )′ = u′v + uv′, uv′ = ( uv )′ − u′v
∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx 或 ∫ udv = uv − ∫ vdu. ∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx ∫ udv = uv − ∫ vdu
2
1 1 + x2
dx
= 1 + x 2 arctan x − ln x + 1 + x 2 + C
原题 I = ∫
解2：设 x = tan t , 则
∴∫ x arctan x 1 + x2
x arctan x 1 + x2
dx .
t tan t sec 2 t dx = ∫ dt sec t
= ∫ t tan t sec tdt = ∫ t d sec t = t sec t − ∫ sec tdt = t sec t − ln sec t + tan t + C
x
x e = e (sin x − cos x ) − ∫ sin xdx 1 x x ∴ ∫ e sin xdx = e (sin x − cos x ) + C 2
不定积分的分部积分法1ppt
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解决更复杂积分问题
分部积分法可以解决一些看似难以入手的积分问题，例 如一些包含多个不同变量的函数的积分。
推广分部积分法到更复杂函数的不定积分
三角函数的不定积分
通过ห้องสมุดไป่ตู้入贝塔函数和伽马函数等特殊函数，可以求得任意三角函数的不定积分。
指数函数的不定积分
通过应用分部积分法，可以求得任意指数函数的不定积分。
分部积分法与其他方法的结合
要点一
与部分分式法的结合
要点二
与代换法的结合
在某些情况下，将分部积分法与部分分式法结合使用， 可以更有效地求解不定积分。
通过引入适当的代换，可以将某些难以处理的函数转化 为易于处理的形式，再结合分部积分法求得其不定积分 。
05
分部积分法的挑战与解决方 案
处理复杂的被积函数
确定分部积分常数和被积函数的原函数
1
根据分部积分公式，确定分部积分常数的符号 及其实数或复数形式。
2
根据已知的原函数表，查找与被积函数对应的 原函数。
3
如果无法直接找到原函数，则尝试使用凑微分 等方法将被积函数转化为更容易求解的形式。
03
分部积分法的应用
求解非初等函数的不定积分
三角函数积分
利用分部积分法可以求解正弦、余弦等三角函数的不定积分。
求解有特定形式的不定积分
特定形式积分
有些不定积分具有特定形式，如含有根式、有理函数等，分部积分法能够处理这些情况。
根式函数积分
通过分部积分法，可以求解含有根式的不定积分，从而得到更精确的结果。
04
分部积分法的扩展
扩展分部积分法的应用范围
推广到更复杂函数
分部积分法最初用于求有理函数的不定积分，后来被扩 展到更广泛的函数类，如三角函数、指数函数等。
不定积分的基本积分公式与性质
不定积分的基本积分公式与性质不定积分是微积分中的重要概念，是求解函数的原函数的过程。
本文将介绍不定积分的基本积分公式和性质。
一、基本积分公式1.定积分求导与不定积分定积分和不定积分是互为逆运算的，即对一个函数进行积分再求导，或者先求导再积分，所得到的结果是相同的。
这个性质表现为两个基本定理：（1）定积分的基本定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
（2）不定积分的基本定理：若函数f(x)在区间I上连续，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数，F(x)为f(x)的一个原函数。
2.基本积分公式（1）常数函数：∫kdx = kx + C，其中k为常数。
（2）幂函数：∫x^ndx = (1 / (n+1)) * x^(n+1) + C，其中n≠-1（3）指数函数：∫e^xdx = e^x + C。
（4）三角函数：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C。
（5）反三角函数：∫1/√(1-x^2)dx = arcsinx + C，∫1/√(1+x^2)dx = arctanx + C。
二、不定积分的性质对于任意常数a、b，函数f(x)和g(x)，有以下性质：（1）∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
（2）∫f'(x)dx = f(x) + C。
2.替换性质：对于一个可导函数u(x)和原函数f(u)，有以下性质：∫f'(u)u'(x)dx = ∫f'(u)du。
3.分部积分法：对于可导函数u(x)和v(x)，有以下积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
4.换元积分法：对于函数f(u)和可导函数u(x)，有以下积分公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx。
19 不定积分的分部积分法
6
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例3 求 解
x4 ln xdx. ∫
1 x ln xdx = ∫ ln x( x5 )′ dx ∫ 5 1 5 5 1 = x ln x − ∫ x ⋅ dx 5 x
4
1 5 1 5 = x ln x − x + C. 5 25
7
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注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别 注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别. 第一类换元积分法 在使用上的差别 例4 解
第三章
第三节
一元函数积分学
不定积分的分部积分法 主要内容： 主要内容：
不定积分的分部积分法
1
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分部积分公式
设函数 u = u 具有连续的导函数, ( x) ,v = v( x) 具有连续的导函数 则由乘
积的导数公式, 积的导数公式 有
( uv)′ = u′v + uv′,
移项后, 两边积分得: 移项后 两边积分得
13
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例10 求 解
∫ sin ( ln x) dx.
1 sin ( ln x) dx= x sinln x − ∫ x(cos ( ln x) ⋅ )dx ∫ x = x sin ( ln x) − ∫ cos ( ln x) dx
= x sin ( ln x) − x cos ( ln x) − ∫ sin ( ln x) dx,
∫ xcos xdx.
则
解 取
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x2e x 2( xex e xdx)
x2e x 2( xe x e x ) C.
例4 求积分 x ln xdx.
解
ln
xd
x2 2
1 x2 2
ln
x
x2 2
d (ln
x)
1 2
x 2 ln
练习1 求 xsinxdx.
解 令u x，dv sin xdx，则du dx，v cos x，则
xsinxdx x cos x ( cos x) dx x cos x cos x dx
xcos x sin x C.
练习2 求 x4lnxdx.
解
x4
ln
xdx
lnxd(
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx
e x sin xdx
e x (sin x cos x) C . 2
复原法在求不定积分时有着广泛的应用。
例7 求 cos xdx.
解 令 x t，则x t 2，dx 2tdt，有
如果令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos
xdx
x2 2
cos
x
x2 2
sin
xdx
显然，u, v 选择不当，积分更难进行.
由此可见，如果u和v选取不当，就求不出结果， 所以应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键。 选取u和v一般要考虑下面两点：
（1）v要容易求得；
（2） vdu要比 udv容易积出。
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 2
arctan
x
1
1
x2
1
(1
)dx arctan x ( x arctan x) C.
2
1 x2
2
2
若被积函数是幂函数和反三角函数的乘 积，就考虑设反三角函数为u.
即一般情况下，u与dv按以下规律选择
1.形如 xn sin kxdx， xn cos kxdx， xnekxdx 的不定积分，
cos xdx 2t cos tdt
2t sin t 2 sin tdt
2t sin t 2cost C
2 xsin x 2cos x C .
在计算积分时,有时需要同时使用换元积 分法与分部积分法.
练习5：求 e x dx
解： 令 x t, x t2 , dx 2tdt
x
x2 2
1 dx x
1 2
x2 ln
x
1 4
x2
C
若被积函数是幂函数和对数函数的乘
积，就考虑设对数函数为 u.
例5 求积分 x arctan xdx.
解 令 u arctan x , xdx d x2 dv
x arctan
xdx
x2 2
arctan
x
2 x
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
令u xn , 余下的为dv.
2.形如 xn ln xdx, xn arctan xdx, xn arcsin xdx的不
定积分，令dv xndx, 余下的为u.
3.形如 eax sin bxdx, eax cos bxdx的不定积分，可以
任意选择u和dv，但应注意,因为要使用两次分 部积分公式，两次选择u和dv应保持一致.
xexdx xdex xex e xdx xex e x C
若被积函数是幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 u , 使其降幂一次(假定 幂指数是正整数)
例3 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv, v ex
x2e xdx x2e x e xdx2 x2e x 2 xe xdx
ex cos x sin xd(ex) ex cos x exsin x ex cos xdx
这样便出现了循环公式
ex cos xdx ex cos x exsin x－ ex cos xdx,
移项得 2 ex cos xdx ex cos x exsin x C1,
ex
cos
xdx
原式 2 tetdt 2 tdet 2tet 2 etdt
2tet 2et C 2et (t 1) C
回代
一般地，若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 的乘积, 就考虑设幂函数为 u , 使其降幂一次(假定 幂指数是正整数)
例2 求积分 xexdx.
解 设u x, e xdx de x dv, v e x ,
xexdx xex e xdx xex e x C
熟练以后，可将以上求解过程表述为
复习回顾：基本积分公式，已介 绍两种基本积分方法：直接积分 法、换元积分法
问题： 考虑积分 x cos xdx ?
介绍另一种基本积分方法：分部积分法
一、分部积分法
由函数乘积的微分公式 d(uv)vd(u)ud(v)，
移项得 ud(v) d(uv) vd(u)， 对上式两端同时积分，得
udv uv vdu
ex
2
(cos
x
sin
x)
C
(C C1). 2
类似地，有
exsinxdx
ex
2
(sin
x
cos
x)
C
练习4 求积分 e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x)
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
(1)
或
uv' dx uv u' vdx
(2)
公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 .
例1 求积分 x cos xdx . 解 cos xdx d sin x dv 令 u x, v sin x
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
x5)
5
x5 lnx
5
1
5
x4 dx
x5 lnx x5 C.
5 25
练习3 求 lnxdx.
解 ln xdx xln x xd(lnx)
xlnx dx
xlnx x C.
例6 求 ex cosxdx.
解 ex cos xdx cosxd(ex) ex cos x ex (-sinx)dx