不定积分分部积分公式
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xexdx xdex xex e xdx xex e x C
若被积函数是幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 u , 使其降幂一次(假定 幂指数是正整数)
例3 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv, v ex
x2e xdx x2e x e xdx2 x2e x 2 xe xdx
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx
e x sin xdx
e x (sin x cos x) C . 2
复原法在求不定积分时有着广泛的应用。
例7 求 cos xdx.
解 令 x t，则x t 2，dx 2tdt，有
复习回顾：基本积分公式，已介 绍两种基本积分方法：直接积分 法、换元积分法
问题： 考虑积分 x cos xdx ?
介绍另一种基本积分方法：分部积分法
一、分部积分法
由函数乘积的微分公式 d(uv)vd(u)ud(v)，
移项得 ud(v) d(uv) vd(u)， 对上式两端同时积分，得
udv uv vdu
ex cos x sin xd(ex) ex cos x exsin x ex cos xdx
这样便出现了循环公式
ex cos xdx ex cos x exsin x－ ex cos xdx,
移项得 2 ex cos xdx ex cos x exsin x C1,
ex
cos
xdx
ex
2
(cos
x
sin
x)
C
(C C1). 2
类似地，有
exsinxdx
ex
2
(sin
x
cos
x)
C
练习4 求积分 e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x)
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
(1)
或
uv' dx uv u' vdx
(2)
公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 .
例1 求积分 x cos xdx . 解 cos xdx d sin x dv 令 u x, v sin x
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
一般地，若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 的乘积, 就考虑设幂函数为 u , 使其降幂一次(假定 幂指数是正整数)
例2 求积分 xexdx.
解 设u x, e xdx de x dv, v e x ,
xexdx xex e xdx xex e x C
熟练以后，可将以上求解过程表述为
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 2
arctan
x
1
1
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
1
(1
)dx arctan x ( x arctan x) C.
2
1 x2
2
2
若被积函数是幂函数和反三角函数的乘 积，就考虑设反三角函数为u.
即一般情况下，u与dv按以下规律选择
1.形如 xn sin kxdx， xn cos kxdx， xnekxdx 的不定积分，
x
x2 2
1 dx x
1 2
x2 ln
x
1 4
x2
C
若被积函数是幂函数和对数函数的乘
积，就考虑设对数函数为 u.
例5 求积分 x arctan xdx.
解 令 u arctan x , xdx d x2 dv
x arctan
xdx
x2 2
arctan
x
2 x
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
x5)
5
x5 lnx
5
1
5
x4 dx
x5 lnx x5 C.
5 25
练习3 求 lnxdx.
解 ln xdx xln x xd(lnx)
xlnx dx
xlnx x C.
例6 求 ex cosxdx.
解 ex cos xdx cosxd(ex) ex cos x ex (-sinx)dx
练习1 求 xsinxdx.
解 令u x，dv sin xdx，则du dx，v cos x，则
xsinxdx x cos x ( cos x) dx x cos x cos x dx
xcos x sin x C.
练习2 求 x4lnxdx.
解
x4
ln
xdx
lnxd(
x2e x 2 xde x
x2e x 2( xex e xdx)
x2e x 2( xe x e x ) C.
例4 求积分 x ln xdx.
解
x2 u ln x, xdx d dv,
2
x ln xdx
ln
xd
x2 2
1 x2 2
ln
x
x2 2
d (ln
x)
1 2
x 2 ln
cos xdx 2t cos tdt
2t sin t 2 sin tdt
2t sin t 2cost C
2 xsin x 2cos x C .
在计算积分时,有时需要同时使用换元积 分法与分部积分法.
练习5：求 e x dx
解： 令 x t, x t2 , dx 2tdt
如果令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos
xdx
x2 2
cos
x
x2 2
sin
xdx
显然，u, v 选择不当，积分更难进行.
由此可见，如果u和v选取不当，就求不出结果， 所以应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键。 选取u和v一般要考虑下面两点：
（1）v要容易求得；
（2） vdu要比 udv容易积出。
令u xn , 余下的为dv.
2.形如 xn ln xdx, xn arctan xdx, xn arcsin xdx的不
定积分，令dv xndx, 余下的为u.
3.形如 eax sin bxdx, eax cos bxdx的不定积分，可以
任意选择u和dv，但应注意,因为要使用两次分 部积分公式，两次选择u和dv应保持一致.
原式 2 tetdt 2 tdet 2tet 2 etdt
2tet 2et C 2et (t 1) C
回代
若被积函数是幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 u , 使其降幂一次(假定 幂指数是正整数)
例3 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv, v ex
x2e xdx x2e x e xdx2 x2e x 2 xe xdx
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx
e x sin xdx
e x (sin x cos x) C . 2
复原法在求不定积分时有着广泛的应用。
例7 求 cos xdx.
解 令 x t，则x t 2，dx 2tdt，有
复习回顾：基本积分公式，已介 绍两种基本积分方法：直接积分 法、换元积分法
问题： 考虑积分 x cos xdx ?
介绍另一种基本积分方法：分部积分法
一、分部积分法
由函数乘积的微分公式 d(uv)vd(u)ud(v)，
移项得 ud(v) d(uv) vd(u)， 对上式两端同时积分，得
udv uv vdu
ex cos x sin xd(ex) ex cos x exsin x ex cos xdx
这样便出现了循环公式
ex cos xdx ex cos x exsin x－ ex cos xdx,
移项得 2 ex cos xdx ex cos x exsin x C1,
ex
cos
xdx
ex
2
(cos
x
sin
x)
C
(C C1). 2
类似地，有
exsinxdx
ex
2
(sin
x
cos
x)
C
练习4 求积分 e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x)
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
(1)
或
uv' dx uv u' vdx
(2)
公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 .
例1 求积分 x cos xdx . 解 cos xdx d sin x dv 令 u x, v sin x
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
一般地，若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 的乘积, 就考虑设幂函数为 u , 使其降幂一次(假定 幂指数是正整数)
例2 求积分 xexdx.
解 设u x, e xdx de x dv, v e x ,
xexdx xex e xdx xex e x C
熟练以后，可将以上求解过程表述为
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 2
arctan
x
1
1
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
1
(1
)dx arctan x ( x arctan x) C.
2
1 x2
2
2
若被积函数是幂函数和反三角函数的乘 积，就考虑设反三角函数为u.
即一般情况下，u与dv按以下规律选择
1.形如 xn sin kxdx， xn cos kxdx， xnekxdx 的不定积分，
x
x2 2
1 dx x
1 2
x2 ln
x
1 4
x2
C
若被积函数是幂函数和对数函数的乘
积，就考虑设对数函数为 u.
例5 求积分 x arctan xdx.
解 令 u arctan x , xdx d x2 dv
x arctan
xdx
x2 2
arctan
x
2 x
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
x5)
5
x5 lnx
5
1
5
x4 dx
x5 lnx x5 C.
5 25
练习3 求 lnxdx.
解 ln xdx xln x xd(lnx)
xlnx dx
xlnx x C.
例6 求 ex cosxdx.
解 ex cos xdx cosxd(ex) ex cos x ex (-sinx)dx
练习1 求 xsinxdx.
解 令u x，dv sin xdx，则du dx，v cos x，则
xsinxdx x cos x ( cos x) dx x cos x cos x dx
xcos x sin x C.
练习2 求 x4lnxdx.
解
x4
ln
xdx
lnxd(
x2e x 2 xde x
x2e x 2( xex e xdx)
x2e x 2( xe x e x ) C.
例4 求积分 x ln xdx.
解
x2 u ln x, xdx d dv,
2
x ln xdx
ln
xd
x2 2
1 x2 2
ln
x
x2 2
d (ln
x)
1 2
x 2 ln
cos xdx 2t cos tdt
2t sin t 2 sin tdt
2t sin t 2cost C
2 xsin x 2cos x C .
在计算积分时,有时需要同时使用换元积 分法与分部积分法.
练习5：求 e x dx
解： 令 x t, x t2 , dx 2tdt
如果令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos
xdx
x2 2
cos
x
x2 2
sin
xdx
显然，u, v 选择不当，积分更难进行.
由此可见，如果u和v选取不当，就求不出结果， 所以应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键。 选取u和v一般要考虑下面两点：
（1）v要容易求得；
（2） vdu要比 udv容易积出。
令u xn , 余下的为dv.
2.形如 xn ln xdx, xn arctan xdx, xn arcsin xdx的不
定积分，令dv xndx, 余下的为u.
3.形如 eax sin bxdx, eax cos bxdx的不定积分，可以
任意选择u和dv，但应注意,因为要使用两次分 部积分公式，两次选择u和dv应保持一致.
原式 2 tetdt 2 tdet 2tet 2 etdt
2tet 2et C 2et (t 1) C
回代