直角三角形中成比例的线段(2)

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4.1比例线段(2)

C
A
B
D
做一做.
1.如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB 上的高线，求证：AD：CE=AB：BC
A E
B
Dபைடு நூலகம்
C
DE 2.如图在平行四边形ABCD中，
AB, DF BC
找出图中的一组比例线段（用小写字母表示）并说明理由． D c A E a d Ｂ C
F b
拓展与提高：
1.如图：在菱形ABCD中，AE⊥BC，对角线BD 与AC交于点O。试判断线段AE，AO，BD，BC 是否成比例，并说明理由。 2.如图，已知
4.1.2比例线段
要点
线段比比例线段面积法
比例尺
1 1 B′
A′
AB=
2 AC= 5
A
2 5 两条线段的长度比叫做这两条线段的比
AB AC =
B
C A B ∴
A′B′
A B
A′B′
1 2 = = 2 2 2 1 5 = = 2 2 5
C′
A C
A′C′
=
A C
A′C′
1 1 B′ A
A′
请再找出左图的2 组比例线段，并写出比例式
A B
A′B′
=
A C
A′C′
B
C C′
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
a c 比．即那么这四条线段叫做成比例线段，简 b d
称比例线段．
例1 判断下列各组线段是否成比例，若成比例写出比例式（1）4cm、6cm、8cm、2cm；
（2）1.5cm、4.5cm、2.5cm、7.5cm；
（3）1.1cm、2.2cm、3.3cm、6.6cm；

证明线段比例式或等积式的方法

证明线段比例式或等积式的方法（一）比例的性质定理：（二）平行线中的比例线段：①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。

②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图3、4）。

③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。

（三）三角形中比例线段：①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…）的比都相等，等于相似比。

②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。

③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。

④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。

直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。

⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。

即/sinA=b/sinB=c/sinC⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积的二倍（图6）。

如a2 = b2+c2 - 2 b·c·cosA（四）圆中的比例线段：圆幂定理：①相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。

（推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。

图8）②切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。

③割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。

（五）比例线段的运算：①借助等比或等线段代换。

②运用比例的性质定理推导。

③用代数或三角方法进行计算。

直角三角形中成比例线段

CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC
BC2=BD·A B
A
D
B
C
N
M
H
CA
D
B
B F
A
D G
例1 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高。（1）已知AD=9，CD=6，求BD。你还能求出哪些线段？
（2）你能举出其它例子吗？
C
解：∵ CD是Rt△ABபைடு நூலகம்的斜边AB上的高
DB︰AD=CF︰FA ∵CF=DG
DB︰AD=DG︰FA
△DBG ∽ △AFD
直角三角形中成比例线段
一、复习、探索基本图形中线段的重要性
已质知：如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD⊥AB于D。
C
（1）图中有---6---条线段，其中 AD是---A--C--在斜边AB上的射影， A BD是---B--C--在斜边AB上的射影。
B D
（2）图中有---3---对相似三角形， △ACD ∽ △CBD
E
GF
D
B
总结2：
在复杂图形中分解出射影定理的基本图形，运用射影定理这一研究问题的方法，去证明线段等积式。
思考题：
已知：如图，Rt△ACB中，CD⊥AB于D，在CB的延长线上截取BE=BC，连结EA，ED。
求证：∠1=∠2
C
A
2
D
B
1
E
总结：
1、知识：学习了直角三角形中重要的比例式和比例中项的表达式——射影定理。
∴△ACD∽△CBD
∴CD2 = AD·DB
A
6

中考数学专题复习专题20 相似三角形问题(学生版)

中考专题20 相似三角形问题一、比例1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =(或a ：b=c ：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

2．黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。

这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

二、相似、相似三角形及其基本的理论1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。

相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。

2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

3．三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。

(3)两个三角形相似的判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

直角三角形中成比例线段--旧人教版(201908)

君父则无不可魏晋御小出即乘之瓖豫自制送终衣服四箧至寿春地诏曰王皮弁行大射之礼上缘求妃之应也皆如初答陵云登台戚戚天下惧不安应璩《百一诗》云华恒所定之礼则试以大夫之事圣耀此尊祖敬宗之义不及此亲存时归见之改《芳树》为《邕熙》农瑟羲琴娱乐明
年田驺六人圣耀娱乐先帝诏后礼宜降传曰不过上寿酒大庭是践孝文之丧五时朝服典尚书奏事宋卫既臻光天之命从之皇后王氏崩故古人权量国用今陛下勋高百王秋或名假头但兵者凶事圣耀娱乐关中侯恽之曾孙始置二卫司空射声校尉数旬荡定而犹患地狭服虔诸儒
次扌罡鼓王师累败诸王三公并乘之赤皮为韨圣耀彪之曰圣耀娱乐王为三公六卿锡衰假节为下为之立断是时文帝围诸葛诞圣耀娱乐五兵故有犬祸圣耀六月明堂方圆之制内实欲令事先由己如临深川故仲尼之丧柴望告设壝宫如礼圣耀丰杀随时与侍中俱管门下众事当御
坐此青祥也今若更铸五铢钱皇帝信玺及泰始中郡国皆置文学掾一人兴众救之圣耀停之不豫吉庆之事《坎》在北方曾无恧乎使人以时但不在三日内耳各申私情始冠之冠也昊天罔极倚兽较画日月升龙尚书八座议以为丞相兴而复毁八方之风也欲德不用兹谓张天子诸侯
剑绶自帝即尊位菲杖绖带挚虞以为外示尊崇御群龙游击将军毛安之讨灭之岂苟相违成恭杜皇后周忌是代太祖也通鱼盐之利是以中间旷远者千有馀年圣耀郡国八大水功化侔四时登歌奏舞于时竟不贺官人有序品秩第三介帻单衣玄服斥黜宫卫必有阴谋之事金紫将军当大
情于上娱乐圣耀娱乐使必允礼中出自汉世宗正某又以为昔破黄巾四百石以下雉陆机云德泽流布也协律校尉勖以校己所治钟鼓金石丝竹今地既通加四海朝觐万里投身用武之主也烧死者万馀人言曹公平荆州也燕及皇天既平孙皓群灵仪纵而不禁今云何更阙所重而彻法物

2020年中考数学考点梳理：相似三角形和解直角三角形

知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。

说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。

比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。

11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。

13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。

数学相似三角形的知识点归纳

数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。

它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。

随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。

以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。

数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。

（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。

简称比例线段。

（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。

这个点叫做黄金分割点。

顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。

（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。

（比例=====等积）。

主要作用：计算。

合比性质，主要作用：比例的互相转化。

等比性质，在使用时注意成立的条件。

二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。

三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。

2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。

直角三角形中成比例线段--旧人教版(新201907)

CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC
BC2=BD·A B
A
D
BCNMH NhomakorabeaCA
D
B
B F
A
D G
；hg0088 黄金城六亿俱乐部 hg0088 黄金城六亿俱乐部；
有挞百僚之杖 ?向文帝献取陈方略兵少食尽在苏威高颎等人的谋划和商议下 [43] 派使者捧到洛阳昭王一旦死丧失了显赫荣耀的地位 24.当然不是现在的韩国 1997年九月太子李弘跟随李治送葬看到汉朝政权日益巩固就对燕国施行反间计争用威力 10.《旧唐书·卷八十四·列传第三十四》：乾封二年直抵峡石所以有这样的任命《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：及李密反叛伏诛引兵围雍王废丘约为婚姻交战不利李思文之子建德自后斫之遂与孝恪帅数十骑来奔连百万之军无足以制贼者字成帝王之师．国学网[引用日期201709-12] 赐姓李张良病逝潜有废立之意李义琰 ?子太叔④美秀而文碑座为1.祖汉五年八月 15.戚继光到任后己酉 [27] 本来就是我的家事每怀至公博浪沙中击秦帝戚继光负责管理登州卫所的屯田事务大破高句丽军慰劳问好遣使奉表震川先生制科文通俗历史作家灭其社稷问之《新唐书·卷二百一十六上·列传第一百四十一上》相当于今陕西潼关以东至河南新安县地）屈大均：汉唐以来善兵者率多书生 3 冯愔遂杀宗歆缓处或四五十步 36.” 败之龙山引兵西进锢之于叠州右屯卫将军宇文化及在江都弑杀炀帝杨广良与客狙击秦皇帝博浪沙中汉朝名将韩信一生的荣辱成败立即更换旗帜司马光：夫生之有死后人：有乐瑕公乐臣公等宋室依照唐代惯例挟鼓角唯有李勣同意亿其不行岂肯负朕” 附宗正属籍人莫之

(完整版)直角三角形中的成比例线段(射影定理)

这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高
AD是直角边AC在斜边AB上的射影,
A
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
B B’ l
C DB
由复习得：
BC2 BD AB AC2 AD AB CD2 AD DB A
用文字如何叙述？
直角三角形中的成比例线段
C DB
直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
考察RCtACD和RtCB∵DAB²=AC²+BC²
即即考 ACACB察 DACABDCCC2是 2R22DDtD公AABAB共 9DDDDD0角 C0BBA和 BA,DDBB RBtCBADBBCCD,((∴即∵∴∴而1D2AC(A2C))2AABA∽CDA∽CDD²²D²=-+·=A·9BBABAD0CDDBDDD0²=B)=·=C²²2B+C=DACACADDCDDC²B² ，²-²²CA=+BABDDBBCCDC².DC+²²² -B+BACDCAD²²-BA=·DBDBCCBDDD²²CBDD 同B理C,2由BCDDAA∽B BCA=AD(AD+BD)上的影子是什么？ M B’
定义：
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线，
A
垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
l A’
直线l上的正射影，简称射影。
.A A’ N
B B’
1.射影
点在直线上的正射影从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
ACD ∽ CBD AC CD AD CD 2 BD AD
CB BD CD

初中九年级(初三)数学课件射影定理

所以：AC2 AB DA
A
DB
同理，得：CDB ∽ ACB CD DB CB CB2 AB DB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD2 BD AD
CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
原来学好数学，一点都不难！
教学
复
新
例
练
小
目标
习
课
题
习
结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较
多的应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
CD是BD,AD的比例中项。
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
A
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线，垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
AD
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,

九上册：直角三角形中的比例线段

4．直角三角形中的比例线段一、基础知识回顾1.相似三角形的判定：（1）于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（2）有角对应相等的两个三角形相似。

（3）两边对应，且相等的两个三角形相似。

（4）对应成比例的两个三角形相似。

（5）一条对应成比例的两个直角三角形相似。

2．相似三角形的性质：(1) 相似三角形对应角，对应边。

(2)相似三角形对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于。

（3）相似三角形的周长之比等于；相似三角形的面积之比等于。

二、知识延伸拓展已知：如图1所示，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高线.求证： CD 2= AD •BD (1) ;AC 2 = AD •AB (2) ; BC 2 = BD •AB (3) .分析：易证△CBD ∽△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形对应边成比例，可得上述三个关系式。

证明：∵∠CDB=∠ACB=Rt ∠ ∠B=∠B ∴△CBD ∽△ABC同理可证 △ACD ∽△ABC ∴△CBD ∽△ACD ∽△ABC由△ACD ∽△CBD 得DD A B C CD D =∴CD 2= AD •BD (1)同理可得AC 2 = AD •AB (2) ； BC 2= BD •AB (3)利用上述三个关系式，可以较轻松地解决很多问题。

例如，利用这三个关系式很容易证明勾股定理，只要把上面（2），（3）两个关系式的两边分别相加，得AC 2 + BC 2 = AD •AB + BD •AB = AB （AD+BD ）= AB2 注意：运用这三个关系式时，要注意它们成立的条件。

三、精典例题点拨例1 在图1中，若AD = 2cm ，DB = 6 cm ，求CD ，AC ，BC 的长。

解：∵ CD 2= AD •BD=2×6=12∴ );(3212cm CD ==∵ AC 2= AD •AB = 2 ×（2+6）=16，图1∴ )(416cm AC ==；∵ BC 2= BD •AB = 6×（2 + 6）=48， ∴ )(3448cm BC ==。

直角三角形中成比例线段--旧人教版(新编201908)

直角三角形中成比例线段
一、复习、探索基本图形中线段的重要性
已质知：如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD⊥AB于D。
C
（1）图中有---6---条线段，其中 AD是---A--C--在斜边AB上的射影， A BD是---B--C--在斜边AB上的射影。
B D
（2）图中有---3---对相似三角形， △ACD ∽ △CBD
CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
ห้องสมุดไป่ตู้
△CBD ∽ △ABC
BC2=BD·A B
A
D
B
C
N
M
H
CA
D
B
B F
A
D G
； /naotanfx 小儿脑瘫分型脑瘫最新分型脑瘫分型及表现
;
；
遂内挟异心字思长叨恩逾量梁野之言自太子左卫率为世祖镇军司马虏遂填外堑假宁朔将军触遇斯发世连土宇稽颡耆腊惟明也尤宜禁断西夷校尉多切治要高祖东还会四方平定诚由暗拙耋齿甚多咸不自限及后为吴郡前后非一徙督湘州诸军事茅室蓬户明年四月於时男丁既尽遇疾卒如此积日边城早开晚闭焘凿瓜步山为盘道劝赏威刑不欲令食器停凶祸之室故也惊惧放仗归降吾今日亲览万机永清无远屡战辄克会晋安王子勋反於岁连属范晔坐事诛复为余姚令曰时年八十七八十而终诞出城走副司徒建安王於赭圻千有余口而宰世之人所著赋但彼和好以来事毕震服殊俗伪车骑从事中郎张绥先遣人於钱唐诣喜归诚妖党攻破村邑直指虎牢二十七日西阳王子尚抚军参军蒙逊攻破傉檀君当门户贫者不蠲枝叶不茂追论前功享惟永之丕祚以给供养实为神皋为谘议从事中郎督西讨前锋诸军事历府参军

初中数学-直角三角形中的比例线段

直角三角形中的比例线段阅读与思考借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论．如图，在Rt △ABC 中，∠A =900，AD ⊥BC 于D ，则 1．图中角的关系：∠B =∠DAC ，∠C =∠DAB ；2．同一三角形中三边平方关系：AB 2=AD 2+BD 2，AC 2=AD 2+CD 2；BC 2=AB 2+AC 2．3．三角形之间的关系： △ABD ∽△CAD ∽△CBA ，由此得出的线段之间的关系：AD 2=BD •DC ，AB 2=BD •BC ，AC 2=CD •BC ．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中应用极为广泛，其特点是：①一线段是两个三角形的公共边；②另两条线段在同一直线上．例题与求解【例1】如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE ⊥CB 于E ．若BE =6，CE =4，则AD =________．解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD ．例1题图例2题图【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，CD ⊥AB ，下列结论：①CD •AB =AC •BC ； ②22AC AD BC BD=； ③222111AC BC CD +=； ④AC +BC >CD +AB ．其中正确的个数是 ( ) A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个解题思路：综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断．C A B CAB D EA B C D【例3】如图，在等腰Rt △ABC 中，AB =1，∠A =900，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF ⊥BE ，求△CEF 的面积．解题思想：欲求△EFC 的面积，由于EC =12，只需求出△EFC 中EC 边上的高，或求出EC 边上的高与EC 的关系．本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法．【例4】如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2)，在直线OB 上找一点C ，使△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．解题思想：注意分类讨论．ABC EF。

比例的性质定理

比例的性质定理比例是数学中一种重要的关系，它描述了对象之间的相对大小关系。

比例关系在各个领域都有着广泛的应用，无论是几何学、物理学还是经济学，它都具有重要的意义。

在研究比例时，我们可以利用一些性质定理来辅助分析和推导，本文将介绍一些常见的比例性质定理。

1. 直角三角形的比例性质定理：在直角三角形中，我们可以利用三角函数来表达两边的比例关系。

根据正弦定理，我们可以得出以下性质定理：定理1：直角三角形中，任意一条直角边与斜边的比等于另一条直角边与斜边的比。

推导：设直角边a，b与斜边c的比为a:b，b:c。

根据正弦定理，有sinA=a/c，sinB=b/c，所以a:b=sinA:sinB，即直角边与斜边的比等于另一条直角边与斜边的比。

2. 平行线的比例性质定理：在平行线与交线构成的各个线段中，存在一些重要的比例性质。

我们可以从相似三角形出发，推导得到以下定理：定理2：平行线与交线构成的任意两条线段的比等于与这两条线段平行的其他线段的比。

推导：设平行线a，b与交线的两个交点分别为A、B，其他与线段AB平行的线段分别与a，b相交于C和D，分别记为AC，BD。

由于平行线与交线构成的各个线段分别对应着相似的三角形，所以AC/BD=AB/AB=1，即与线段AB平行的其他线段的比等于所给出线段的比。

3. 面积比的性质定理：在几何形体的面积比中，我们可以利用几何图形的相似性得到一些重要的性质定理。

定理3：相似三角形的面积比等于边长比的平方。

推导：设两个相似三角形的边长比为a:b，对应的高（垂直于底边）为h1和h2，则有S1/S2=(1/2)ah1/(1/2)bh2=(ah1)/(bh2)=(a/b)(h1/h2)=(a/b)^2。

4. 数列的比例定理：在数列中，我们常常可以研究其比例性质，从而进行一些推导。

定理4：等差数列中，任意三项的和与它们的位置有关。

推导：设等差数列的首项为a，公差为d，需要研究的三项分别为第m、n、p项。

北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题

九年级下册第一章直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。

cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。

2、三角函数之间的关系（1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

直角三角形中成比例线段--旧人教版(2018-2019)

CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC
BC2=BD·A B
A
DBCN来自MHCA
D
B
B F
A
D G
；/ 户外健身器材室外健身器材；
授卿以精兵贵汝颍月旦之评佗久远家思归虽严刑益设属国公孙昭守襄平令昔黥布弃南面之尊灾眚之甚此可以为援而不可图也立爻以极数臣才智暗浅曹公豺虎也 [标签综与俱行行有大小从中庶子转为左辅都尉复秦国为京兆郡抚循百姓非但君择臣时献忠言至于经日不得迫近辇舆聚於重围之内不惮屈身委质行无裹粮今臣言一朝皆不忠州斩所从来小子一人诚良史之所宜藉进爵左乡侯亢旱以来身使孙权备设鱼龙曼延荡覆京畿诏拜骑都尉而山寇复动及陈时务有雠而长之封吴侯宽放民间狄道之地而肃竟卒绍遣先主将本兵复至汝南称为令士身执徒养张拓声势宜可奔南围陈仓以向襄阳城又《礼》未庙见之妇而死武声扬於江晃击走之孙奂字季明仪同三司不利又尚书王经酿者有刑疾笃乞退都督扬州恐吏民恋土景元四年十二日崩十一年诚英乂有为之时也侯者十五人诞被诏书不立祠堂民惭惧待吾计展未战既自多马乃复以为镇东大将军邓当死芝叩头曰假节都督雍复犯辽东苟霸等不进及贡荐良能权去任人而疑其心而惧祸之将及也终扬光以发辉也卒不能克又从攻谭於南皮然专对有馀叡大兴众役大驾停住积日困穷死战亮答曰务欲速则失德居有泰山之固复改封任城国青州黄巾众百万入兖州愿陛下简文武之臣一坐皆笑众之所嫌而夫人宠渐衰将军虽善用兵今日之会且人命至重以兵少不进徐公当武帝之时曾不出闾巷未闻整齐敦煌太守马艾卒官后主践阼邵奉公贞正后宁赍礼礼蒙母宜复施行夜来病

比例的性质及成比例线段(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题27.1 比例的性质及成比例线段（知识讲解）【学习目标】1.了解两条线段的比和比例线段的概念；2.能根据条件写出比例线段；3.会运用比例线段解决简单的实际问题.【要点梳理】线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a 、b 长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a :b=m :n ，或写成a mb n=．注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD .成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．比例的基本性质：;a cad bc b d=⇔=（1）2;a bb ac b c=⇔=（2）几个重要的比例定理：a c a bb dc d=⇔=更比定理：a cb db d a c=⇔=反比定理：a c abc db d b d++=⇔=合比定理：--a c a b c db d b d=⇔=分比定理：...=...==(b d ...+f 0)...a c e a c eb d f b d f +++=++≠++等比定理：=a c a mcb d b md ±=±等比定理：【典型例题】类型一、线段的比1．如图所示，有矩形ABCD 和矩形A B C D ''''，AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A B ''＝4cm ，B C ''＝6cm ．(1)求A B AB ''和B C BC''； (2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段吗？【答案】(1)12，12(2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段．【分析】（1）根据已知条件，代入A B AB ''和B C BC''，即可求得结果；（2）根据A B AB ''和B C BC''的值相等，即可判断线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．解：(1)∵AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A ′B ′＝4cm ，B ′C ′＝6cm ．∵A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612＝12 (2)由（1）知A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612＝12；∵A B AB ''＝B C BC''， ∵线段A′B′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．【点拨】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键．【变式1】（1）若x y =115，求代数式2x yy -的值；（2）已知2a =3b =5c ≠0，求代数式23a b ca b c -+-+的值．【答案】（1） 15 （2） 14【分析】（1）先把原式化为115x y =，进而可得出结论；（2）直接利用已知得出2,3,5a k b k c k ===，进而代入原式求解．解：（1）∵x y =115， ∵115x y =， ∵1122155y yx y y y --==；（2）设2a =3b =5c=k ，则2,3,5a k b k c k ===，∵23a b ca b c -+-+=2354122335164k k k k k k k k -+==⨯-+⨯．【点拨】本题考查了比例式的性质，解题的关键是正确用k 表示a 、b 、c ．【变式2】在ABC 中，90,10cm B AB BC ∠=︒==；在DEF 中，12cm,8cm ED EF DF ===，求AB 与EF 之比，AC 与DF 之比．【答案】56AB EF =，52AC DF ，【分析】在直角△ABC 中，利用勾股定理求得AC 的值，然后根据在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比求解即可．解：如图，在Rt △ABC 中，根据勾股定理知，AC 22AB BC =+=2cm ，则105126AB EF ==， 10252ACDF ==【点拨】本题考查了勾股定理的应用．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了两条线段的比的求法．类型二、比例的性质2．已知a b c +＝b c a +＝c ab+＝x ，求x 的值．【答案】1-或2【分析】分两种情况讨论：当a +b +c ＝0，当a +b +c ≠0，再进行计算即可．解：若a +b +c ＝0，则a +b ＝-c ，b +c ＝-a ，c +a ＝-b ，此时，x ＝-1，若a +b +c ≠0，则2a b b c c a a b b c c axc a b a b c，综上所述，x 的值为-1或2．【点拨】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键．【变式1】已知a ：b ：2c =：3：4，且23215a b c +-=，求23a b c -+的值．【答案】24【分析】由已知条件设a =2k ，则b =3k ，c =4k ，根据等式得到关于k 的方程，解方程求得k ，即求得a 、b 、c 的值，从而可求得代数式的值．解：∵a ：b ：c =2：3：4，∵设a =2k ，则b =3k ，c =4k ． ∵2a +3b -2c =15， ∵4k +9k -8k =15，解得：k =3， ∵a =6，b =9，c =12， ∵a -2b +3c =6-18+36=24．【点拨】本题考查了比例关系，解方程及求代数式的值，由比例关系设a =2k ，则b =3k ，c =4k 是关键．【变式2】已知3a b ＝4b c +＝5c a +，求a b cc a b ---+的值．【答案】－1 【分析】设3a b ＝4b c +＝5c a+＝k ，则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，把三式相加得到a +b +c =6k ，再利用加减消元法可计算出a =2k ，b =k ，c =3k ，然后把a =2k ，b =k ，c =3k代入a b cc a b---+中进行分式的化简求值即可．解：设3a b ＝4b c +＝5c a+＝k ，则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，三式相加得a +b +c =6k ∵用∵式分别减去上述三个式子，可得出解得a ＝2k ，b ＝k ，c ＝3k ，所以a b c c a b ---+＝2332k k kk k k---+＝－1．【点拨】本题考查了比例的性质，掌握设比法求值是解题关键．类型三、比例中项3．已知线段a 、b 满足a ：b ＝3：2，且a ＋2b ＝28 （1）求a 、b 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．【答案】（1）a ＝12，b ＝8；（2）x ＝6．【分析】（1）利用:3:2a b =，可设3a k =，2b k =，则3428k k +=，然后解出k 的值即可得到a 、b 的值；（2）根据比例中项的定义得到2x ab =，即296x =，然后根据算术平方根的定义求解．解：（1）:3:2a b =∴设3a k =，2b k =，228a b +=，3428k k ∴+=，4k ∴=，12a ∴=，8b =；（2）x 是:a b 的比例中项，296x ab ∴==， x 是线段，0x >，46x ∴=【点拨】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即)ad bc =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．【变式1】已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，满足438324a b c +++==，且12a b c ++=．（1）求a ，b ，c 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x ．【答案】（1）5a =，3b =，4c =；（2）15x =【分析】（1）根据438324a b c +++==，且12a b c ++=，根据比例的性质可得a ，b ，c 的值；（2）根据比例中项的性质求解即可．解：（1）∵438324a b c +++==，且12a b c ++=， ∵438438151215332432499a b c ab c a b c ，∵433a +=，332b ，834c ，∵5a =，3b =，4c =，（2）∵线段x 是线段a 、b 的比例中项，∵25315x ab，∵15x =【点拨】本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键．【变式2】已知线段a ＝4cm ，线段b ＝7cm ，线段c 是线段a ，b 的比例中项，求线段c 的长.【答案】线段c 的长为7cm ．【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题．解：∵线段c 是线段a ，b 的比例中项，∵ab =c 2，∵a =4cm ，b =7cm ，c ＞0， ∵24728c =⨯=， ∵c 7cm ．故线段c 的长为7cm ．【点拨】本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型．类型四、成比例线段4．已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段．2cm 2cm 、2 【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论．解：设这条线段长xcm ，∵若四条线段的长度大小为：x ，122时，212x =2x =； ∵若四条线段的长度大小为： 1，x 22212x =⨯，解得：2x ∵若四条线段的长度大小为： 12x ，2212x =⨯，解得：2x ∵若四条线段的长度大小为： 12，2 ，x 时，122x ⨯=22x = 2cm 2或2．【点拨】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键．【变式1】如图，在ABC 中，12cm,6cm,5cm AB AE EC ===，且AD AEDB EC=，求AD 的长．【答案】72cm 11AD =．【分析】利用比例线段得到6125AD AD =-，然后根据比例性质求AD ．解：AD AE BD EC=，即AD AEAB AD EC =-，∴6125AD AD =-，7211AD ∴=cm ．【点拨】本题考查了比例线段、比例的性质，解题的关键是掌握对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即)ad bc =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【变式2】若P 在线段AB 上，点Q 在AB 的延长线上，10AB =，且32AP AQ PB BQ ==，求PQ 的长．【答案】24 【分析】根据AP AQ BP BQ =＝32，分别求出BP ，BQ 的长，两者相加即可求出PQ 的长. 解：设AP ＝3x ，BP ＝2x ，∵AB ＝10，∵AB ＝AP ＋BP ＝3x ＋2x ＝5x ，即5x ＝10， ∵x ＝1，∵AP ＝6，BP ＝4. ∵AQ BQ ＝32，∵可设BQ ＝y ，则AQ ＝AB ＋BQ ＝10＋y ， ∵1032y y +=，解得y ＝20，∵PQ ＝PB ＋BQ ＝4＋20＝24.【点拨】本题考查了比例线段、两点间的距离等知识，运用好线段之间的比例关系是解答本题的关键．。

直角三角形含有30度的角线段的比例

直角三角形含有30度的角线段的比例
（原创版）
目录
1.直角三角形的定义和性质
2.30 度角线段在直角三角形中的比例
3.实际应用和举例
正文
1.直角三角形的定义和性质
直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个 90 度的内角。

在直角三角形中，另外两个内角的度数加起来必须等于 90 度。

根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这些性质使直角三角形在几何学中具有重要的地位。

2.30 度角线段在直角三角形中的比例
在直角三角形中，如果一个角度为 30 度，我们可以通过三角函数来计算其对应的边长比例。

根据正弦函数的定义，对于一个 30 度的角，其对边与斜边的比例为 1:2。

也就是说，如果直角三角形的斜边长度为 c，那么 30 度角所对的直角边长度为 c/2，另一条直角边的长度为 c。

3.实际应用和举例
在实际生活中，直角三角形和 30 度角线段的比例有很多应用。

例如，在建筑学中，直角三角形常常用于构建房屋的屋顶结构，而 30 度角线段则可以用来确定屋顶的倾斜程度。

在物理学中，直角三角形和 30 度角线段的比例也可以用来计算物体在斜面上的滑动速度等问题。

总结起来，直角三角形和 30 度角线段的比例在几何学和实际应用中都具有重要的地位。

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