初中数学帮你梳理《因式分解》
初中数学之因式分解知识点汇总
初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。
因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。
注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。
3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。
系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。
例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。
因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
因式分解知识梳理
因式分解知识梳理一、 因式分解与分解质因数。
那么为什么要分解质因数呢？目前的需要就是进行分数的运算， 例如：403120912041205301241==+=+我们来分析计算过程，120是怎样来的呢？是求24和30 的最小公倍数。
短除法。
而化简就是求最大公约数。
分解质因数就是把一个整数写成几个质因数积的形式，分解因式和分解质因数在本质上是一回事，分解因式是把一个整式写成几个因式积的形式。
它将在以后的分式运算、根式运算、解方程得过程中起重要作用，在整个初中数学的内容中占有基础的重要地位。
需要注意的是：分解因式是把一个整式写成几个整式积的形式。
它和我们前面的整式乘法的逆变形，判断一种变形是不是因式分解首先要看最后是不是整式的积的形式。
例如：41)1(412++=++x x x x 不是分解因式，因为等号的右面不是积的形式。
而应该把它分解为：22)21(41+=++x x x我们可以采取乘法还原的方法对分解的结果进行检验。
二、 提公因式法 什么是提公因式？我们来看原来的简便运算：=⨯+⨯32117423130742分析：在这个运算式中，742是3130和3211的公因式，运算的过程中利用的乘法分配律实际上就是提公因式。
我们可以同样的把这个运算规律用在代数式的运算上。
例1：)43(242328622223-=⋅-⋅=-x x x x x x x ，分析：公因式22x 是怎样得到的呢？先来看系数，6和8的最大公约数是2，再看相同的字母，而3x 和2x 的较低的指数项是2x ，所以公因式是22x 。
三、平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-我们称为平方差公式，我们来观察这个式子的特点：前面22b a -中是两个平方项，并且符号相反。
只要式子拥有这样一个特点就可以利用平方差公式。
例如：例1：)2)(2()2(42222b a b a b a b a -+=-=-四、完全平方公式 222)(2b a b ab a +=++和222)(2b a b ab a -=+-我们称之为完全平方公式，这两个式子的特点我们可以简单的记忆为：“首（项）平方，尾（项）平方，首（项）尾（项）两倍中间放”。
初中数学关于因式分解知识点整理
初中数学关于因式分解知识点整理(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式.(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的. (4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.(5)提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式.(6)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出〝-〞号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出〝-〞号时，多项式的各项都要变号.(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式.(8)运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，(指的系数是完全平方数)②字母指数要成双，(指的指数是偶数)③两项符号相反.(指的两项一正号一负号)(11)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么.(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2(13)完全平方公式的特点：①它是一个三项式.②其中有两项是某两数的平方和.③第三项是这两数积的正二倍或负二倍.④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方.(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和). (15)利用立方和与立方差分解因式的关键：能把这两项写成某两数立方的形式.(16)具备什么条件的多项式可以用分组分解法来进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式. (17)分组分解法的前提：熟练地掌握提公因式法和公式法，是学好分组分解法的前提.(18)分组分解法的原那么：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式.(19)在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解，合理选择分组方法是关键.。
初中数学解方程的因式分解法
初中数学解方程的因式分解法解方程是数学中常见的问题，通过找到方程的解可以解决实际生活中的许多问题。
在解方程的过程中，因式分解是一种十分有效的方法。
因式分解法可以将给定的方程转化为更简单的形式，从而更容易找到解。
本文将详细介绍初中数学解方程的因式分解法。
一、一元一次方程的因式分解法一元一次方程是指含有一个未知数的一次方程。
例如：2x + 3 = 9。
为了解这个方程，可以使用因式分解法进行求解。
首先，将方程的所有项都移到等号的一侧，得到2x - 6 = 0。
然后，将方程进行因式分解，即将方程的左侧进行因式分解。
在本例中，2x - 6可以因式分解为2(x - 3)。
因此，得到方程2(x - 3) = 0。
最后，根据零乘积法则，得知方程的解为x = 3。
二、一元二次方程的因式分解法一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程。
例如：x² - 5x + 6 = 0。
为了解这个方程，可以使用因式分解法进行求解。
首先，将方程的所有项都移到等号的一侧，得到x² - 5x + 6 = 0。
然后，观察方程的三个项，确定其是否可以进行因式分解。
在本例中，可以将x² - 5x + 6进行因式分解。
找出方程的两个因式，使其乘积等于6，而和等于-5。
在本例中，-2和-3是符合条件的因式。
因此，得到方程(x - 2)(x - 3) = 0。
最后，根据零乘积法则，得知方程的解为x = 2或x = 3。
三、方程组的因式分解法方程组是指同时包含多个方程的一组方程。
为了解这组方程，可以将其转化为一个整体的方程，再使用因式分解法进行求解。
例如，解方程组2x + y = 7x + 3y = 11首先，根据第一个方程，将y的表达式表示为y = 7 - 2x。
然后，将y的表达式代入第二个方程得到x + 3(7 - 2x) = 11。
接着，使用分配律和合并同类项得到x - 6x = -10，即-5x = -10。
最后，解得x = 2。
初中数学——因式分解
因式分解【知识梳理】● 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式→几个整式的积例：111()333ax bx x a b +=+ 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式； (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘； (3)因式分解的最后结果应当是“积”的形式。
【例题】判断下面哪项是因式分解：因式分解的方法 ● 提公因式法：定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
---------⎧⎪⎨⎪⎩系数取各项系数的最大公约数字母取各项都含有的字母指数取相同字母的最低次幂(指数) 【例题】333234221286a b c a b c a b c -+的公因式是．【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、－8、6，它们的最大公约数为2；字母部分33323422,,a b c a b c a b c 都含有因式32a b c ，故多项式的公因式是232a b c ．小结提公因式的步骤：第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
【基础练习】1．ax 、ay 、－ax 的公因式是__________；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是__________． 2．下列各式变形中，是因式分解的是（） A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 B ．)11(22222xx x x +=+C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1）3．将多项式－6x 3y 2＋3x 2y 2－12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是（） A ．－3xy B ．－3x 2yC ．－3x 2y 2D ．－3x 3y 34．多项式a n －a 3n ＋a n＋2分解因式的结果是（）A ．a n （1－a 3＋a 2）B ．a n （－a 2n ＋a 2）C ．a n （1－a 2n ＋a 2）D ．a n （－a 3＋a n ）5．把下列各式因式分解： 5x 2y ＋10xy 2－15xy 3x （m －n ）＋2（m －n ） 3（x －3）2－6（3－x ）y （x －y ）2－（y －x ）3 －2x 2n －4x n x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n＋16．应用简便方法计算：（1）2012－201（2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8（3）说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．【提高练习】1．把下列各式因式分解：（1）－16a 2b －8ab ＝________________________；（2）x 3（x －y ）2－x 2（y －x ）2＝________________________． 2．在空白处填出适当的式子：（1）x （y －1）－（）＝（y －1）（x ＋1）； （2）=+c b ab 3294278（）（2a ＋3bc ）． 3．如果多项式x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则m 、n 的值为（）A ．m ＝1，n ＝2B ．m ＝－1，n ＝2C ．m ＝1，n ＝－2D ．m ＝－1，n ＝－24．（－2）10＋（－2）11等于（）A ．－210B ．－211C ．210D ．－25．已知x ，y 满足⎩⎨⎧=-=+,13,62y x y x 求7y （x －3y ）2－2（3y －x ）3的值．6．已知x ＋y ＝2，,21-=xy 求x （x ＋y ）2（1－y ）－x （y ＋x ）2的值7．因式分解：（1）ax ＋ay ＋bx ＋by ；（2）2ax ＋3am －10bx －15bm ．● 运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
八年级数学上册：《因式分解》的4种基本方法,例解+练习高清图片,可保存
八年级数学上册：《因式分解》的4种基本方法，例解+练习高清图片，可保存因式分解是初中数学中一个非常重要的概念，了解和掌握因式分解的方法非常有必要。
因此，本文将详细介绍八年级数学上册中因式分解的4种基本方法和例解和练习的高清图片。
首先，介绍因式分解的定义：因式分解的意思就是将一个多项式拆分成多个因子，使其值等于原来的多项式的值，并且多项式中的次数不会发生变化，从而达到简单化或剖析多项式的表达式的目的。
其次，介绍八年级数学上册中因式分解的4种基本方法：1. 查表法。
查表法是把因式表中的每一项拿出来，然后用多项式中的每一项去比较，如果多项式的某一项是因式列表中某一项的整数倍，就将该因式提取出来，然后分解。
2. 平方差分解法。
找出一个最大的可以合成该多项式中所有次数和为偶数，最高次为偶数的平方差，然后把该多项式拆分成两个多项式，一个多项式中各项次和为x2，另一个多项式中各项次和为x，然后将两个多项式分别用此法求解得出各自因式。
3. 系数法。
如果可以找出多项式中最高次的系数，并将它简化为若干个合数的乘积的形式，然后再将各个因式拆分成单项式，最后将它们一一相乘，即可得到最终的结果。
4. 因式分解辗转相除法。
该方法是把多项式中的每一项的系数提取出来，然后拿系数中的每一项去比较，查找出最大的可以相除的因子，将其因子提取出来，放入前一项，然后再用辗转相减、相除法求出结果。
最后，例解+练习高清图片可直观地帮助学生理解因式分解的方法，加深印象，让学生在掌握并灵活运用这一方法时不会出现停滞，而是可以轻松应对考试中的试题。
综上所述，八年级数学上册中因式分解的4种基本方法都是可有效分解多项式的有效方法，通过举例教学+练习，可以有效帮助学生理解这一概念，加深对因式分解这一技能的掌握。
初中数学因式分解的概念及分解方法整理
初中数学因式分解的概念及分解方法整理什么是因式分解把一个多项式化为几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫作分解因式），它是中学数学中最重要的恒等变形之一．因式分解没有普遍适用的方法，往往需要观察题目中多项式的形式、次数、系数特征，具体问题具体来分析．初中数学教材中主要介绍了提公因式法和公式法，考试也以这两种方法为主。
当然除此之外，我们还有十字相乘法，分组分解法，拆项和添减项法，待定系数法，双十字相乘法，换元法等内容需要给大家介绍．因式分解的原则在学习方法之前我们先来介绍一下因式分解的原则：（1）结果一定是乘积的形式；（2）每一个因式都是整式；（3）相同因式的积要写成幂的形式；（4）每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；（5）没有大括号和中括号；（6）单项式因式写在多项式因式的前面；（7）多项式因式第一项系数一般不为负；（8）如无特别说明，因式分解的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止．接下来我们按照优先级来逐一介绍因式分解的几种方法。
因式分解具体方法一、提公因式法如果多项式的各项有公因式，将公因式提到括号外面．确定公因式的方法：（1）系数——取多项式各项系数的最大公约数；（2）字母（或多项式因式）——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂．易错点：提公因式后项数不变，易漏掉常数项．例题口诀：找准公因式，全家都搬走，提负要变号，变形看奇偶。
二、公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
常用公式例题三、十字相乘法十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
十字相乘一般是两种形式：形式一形式二相关练习四、分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法．例题相关练习五、拆添项法拆项添项法：为了分组分解，常常采用拆项添项的方法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式．常用思路：在按某一字母降幂排列的三项式中，拆开中项是最常见的．六、换元法换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时，应用换元法能够起到简化计算的作用．例题七、主元法在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解．例题八、双十字相乘法例题。
初中生因式分解
因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。
对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。
例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。
例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。
例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。
例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。
例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。
例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。
因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。
初中数学因式分解解法总结
练习寻找公因数
最大公因数 因式分解法 辗转相除法
互质 分解质因数法
02
分组分解法
Group decomposition method
--------->
定义分组分解法
指通过将多项式分成两部分，再对每个部分利用公因式分解的方法，进行因式 分解。其中一个部分通常是多项式的第一项或最后一项，另一个部分则是剩下 的部分。例如，对于多项式4x^2+8x，可以将其分成4x(x+2)，然后再对前半 部分4x和后半部分(x+2)分别进行因式分解。 在使用定义分组分解法时，需要注意多项式的项数和因式分解的技巧。例如， 对于多项式x^3-8，可以先通过求根公式或立方差公式将其分解成(x2)(x^2+2x+4)，然后再利用分组分解法将x^2+2x+4分解成(x+2)^2-4，得到 最终的因式分解式为(x-2)(x+2)^2-4。
乘法公式
配方法求 解不等式 含参研究
Research on Solving Inequalities with Parameters by Pairing Method
1. 配方法求解不等式的步骤
根据不等式中的系数和常数进行配方，化简不等式 将不等式<=的形式统一为两个一次式的乘积<=的形式 求出每个一次式的解集 根据乘积的正负情况确定不等式的解集
例如：$ax^2+bx$，我们可以先提出公因式$x$得到$x(ax+b)$，再根据题 目中给出的系数 $a$ 和 $b$ 来决定是否要进一步拆分。若两数互质，则不 能再拆；若不互质，则继续拆，例如，当 $a$ 和 $b$ 都为偶数时，可以继 续提出 $2$ 作为公因式，得到 $2x(ax/2+b/2)$。这样能够使式子更加简 单明了。
初中数学因式分解公式总结
初中数学因式分解公式总结大家好！今天我们来聊聊数学中的因式分解公式。
虽然听起来有点儿晦涩难懂，但其实它们就像是解锁数学世界的钥匙。
别担心，我会尽量把这些公式讲得通俗易懂，让大家一听就明白！1. 常见的因式分解公式1.1 平方差公式这个公式真的是数学的“超级英雄”啊！它的形态是：(a^2 b^2 = (a b)(a + b))。
想象一下你手里有两个正方形，一个边长是 (a)，另一个边长是 (b)。
你把这两个正方形放在一起，形成一个大正方形，再把它们分开，就变成了两个矩形。
这个过程，就是平方差公式的“魔力”。
1.2 完全平方公式接下来，我们有两个完全平方公式。
一个是：[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
]另一个是：[(a b)^2 = a^2 2ab + b^2。
]听起来很复杂，但其实很简单。
就像是你在用魔法一样，把两个数相加或相减的平方展开成更大的式子。
这里的关键是记住：无论是加还是减，平方后都会有一个“中间值”，它是两个数的乘积的两倍。
2. 因式分解的步骤2.1 提取公因式当你面对一个复杂的多项式时，首先要做的就是找找有没有公因式。
比如，你有个式子 (6x^2 + 9x)。
咦，6和9的公因式是3，而 (x^2) 和 (x) 的公因式是 (x)。
所以，我们可以提取出一个 (3x)，就变成 (3x(2x + 3))。
是不是瞬间清爽了很多？2.2 分解为两个括号这个步骤其实就是在玩“拆解游戏”。
比如，你有一个二次多项式 (x^2 + 5x + 6)。
你要找两个数，它们的积是6，而它们的和是5。
这两个数就是2和3。
所以，最终的因式分解就是 ((x + 2)(x + 3))。
是不是像拼图一样简单有趣？3. 综合应用3.1 混合公式应用有时候，我们需要将不同的因式分解公式结合起来。
比如说，你遇到 (x^2 4x + 4)。
你可以先用完全平方公式，它其实是 ((x 2)^2)。
这就像是把复杂的事情变得简单，再把它变得更简单！3.2 遇到困难怎么办？遇到难题时，不妨先分步解决。
初中因式分解方法总结
初中因式分解方法总结因式分解是初中数学中重要的一部分，它是指将一个多项式表达式分解为包含更简单的表达式的积的形式，其中这些表达式通常是多项式的因子。
在这篇文章中，我们将总结因式分解的基本方法和一些通用技巧，希望能帮助初中学生更好地掌握这一知识点。
一、因式分解基本方法1.提取公因数因式分解的第一步通常是提取公因数。
如果一个多项式的每一项都有一个共同的因子，那么这个因子可以提取出来。
例如，多项式 9x^2 + 6x 可以被因式分解为 3x(3x + 2)。
2.平方差公式平方差公式是因式分解的一个重要公式，其表达式为a²-b²=(a+b)(a-b)。
应用平方差公式，可以将一个二次多项式分解为两个因子的乘积。
例如，x²-4可以分解为(x+2)(x-2)。
3.分组分解有时，分组分解技巧可以用于分解一个多项式。
在分组分解中，我们可能会将项分组，使每一组都有共同的因子。
例如，1+a+b+ab可以分解为(a+1)(b+1)。
4.配方法配方法是因式分解的一种通用技巧，用于将一个双项式转换为二次多项式，进而将其分解。
配方法的一般思路是，使用一个与双项式中各项相关的常数，对双项式进行乘法。
例如，将x+3和x+1相乘可以得到x²+4x+3，然后就可以将其分解为(x+3)(x+1)。
5.长除法长除法是一种较为复杂的因式分解方法，通常适用于高阶多项式。
这种方法基于多项式的最高项，通过连续除以一个因子，在多项式中逐步减少幂的位数，从而得到各个因子。
这种方法需要耐心和技巧，但可以解决较为复杂的因式分解问题。
二、因式分解通用技巧1. 特殊的二次多项式特殊的二次多项式可以被因式分解很容易。
例如，x^2 - 2x + 1可以分解为(x-1)(x-1)，因为它们都等于(x-1)²。
3. 奇偶规则奇偶规则是因式分解中的一个重要原则。
如果一个多项式中有偶数项，则它可以被分解为一个偶数项的多项式与一组单独的偶数项。
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
因式分解—待定系数法、换元法、添项拆项法引言因式分解是初中数学中的一个重要知识点，也是解决代数式化简、解方程等问题的基础方法。
在因式分解中，待定系数法、换元法和添项拆项法是常用的三种方法。
本文将分别介绍这三种方法的基本思想、操作步骤和应用场景。
一、待定系数法1. 基本思想待定系数法是一种通过猜测待定系数的方法来进行因式分解的技巧。
在待定系数法中，我们假设因式分解的结果中存在未知系数，并通过代数运算和方程求解的方法确定这些未知系数的值，从而完成因式分解过程。
2. 操作步骤待定系数法的操作步骤如下：1.根据给定的代数式，猜测待定系数的形式，通常选择简单的常数作为待定系数；2.将猜测出的待定系数带入原代数式中，得到待定系数的方程组；3.解方程组，确定待定系数的值；4.将确定的待定系数带入原代数式中进行验证；5.若验证正确，将原代数式分解为因式的乘积，其中包含待定系数。
3. 应用场景待定系数法常用于分解小数项的平方差式、三项立方差式等情况。
通过猜测待定系数的形式，可以简化复杂的因式分解过程，并在解题过程中培养学生的逻辑思维和方程求解能力。
二、换元法1. 基本思想换元法是一种通过引入新的变量来进行因式分解的方法。
通过适当选择新的变量，可以将原代数式转化为较简单的形式，从而便于因式分解。
2. 操作步骤换元法的操作步骤如下：1.分析原代数式的结构和特点，选取适当的新变量；2.对原代数式进行变量替换，将原代数式转化为新变量的代数式；3.对新的代数式进行因式分解；4.将因式分解的结果转化回原变量，得到最终的因式分解形式。
3. 应用场景换元法常用于分解含有平方根、分数等特殊形式的代数式。
通过适当的变量替换，可以将原代数式转化为一次方程、二次方程等常见形式，从而简化因式分解的过程。
三、添项拆项法1. 基本思想添项拆项法是一种通过添加、拆分代数式中的项来进行因式分解的方法。
通过适当添加一些项，并进行合并和拆分，可以将原代数式转化为更简单的形式，从而便于因式分解。
初中因式分解10个公式
初中因式分解10个公式，让你轻松应对代数题目初中数学中，因式分解是一个重要的概念。
它不仅在代数运算中经常出现，还可以用于求解方程、化简算式等。
下面我们介绍十个常见的因式分解公式，让你轻松应对代数题目。
1.两个数的乘积公式：(a+b)×(a-b)=a²-b²这个公式的理解非常简单，可以用图形来表示。
如下图所示，一个正方形的面积是a²，它的两个对角线的平方和是2b²。
根据勾股定理可知，这两个对角线的平方和等于正方形的对角线的平方，即2b²=c²。
因此，正方形的面积可以表示为a²-b²。
2.三个数的乘积公式：(a+b+c)×(a+b-c)×(a-b+c)×(-a+b+c)=(a²+b²+c²)×2这个公式看起来比较复杂，但只需要按照一定顺序展开即可。
具体展开方式可以参考下面这个图：3.平方差公式：a²-b²=(a+b)×(a-b)这个公式也很容易理解，相当于在两个数的和与差之间建立了一条桥梁。
如果知道其中一个，就可以算出另外一个。
4.完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²这个公式的理解也可以用图形表示。
如下图所示，一个正方形的面积是(a+b)²，它可以拆分成两个小正方形和两个矩形。
其中两个小正方形的面积分别为a²和b²，两个矩形的面积相等，都是2ab，因此(a+b)²=a²+2ab+b²。
5.完全立方公式：a³+b³=(a+b)×(a²-ab+b²)这个公式不仅可以用于因式分解，还可以用于求解一些立方数。
例如，如果想求解8的立方根，可以将8表示成2³，然后使用这个公式计算。
初中数学之因式分解知识点汇总
初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。
因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。
注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。
3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。
系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。
例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。
因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项。
初中数学因式分解与分式知识点梳理
初中数学因式分解与分式知识点梳理因式分解和分式是初中数学中重要的知识点，它们在解题过程中发挥着重要的作用。
因此，掌握因式分解与分式的知识对于学好数学非常重要。
本文将对初中数学中的因式分解和分式进行知识点梳理，帮助大家更好地理解这些概念与应用。
一、因式分解因式分解是指将一个多项式分解成若干个乘积的形式，其中每个乘积因子称为因式。
它在解题过程中经常出现，因此了解常见的因式分解形式是非常有帮助的。
1. 提公因式法提公因式法是一种常见的因式分解方法，它适用于多项式的每一项都含有相同因式的情况。
具体步骤如下：（1）找出多项式中的公因式。
（2）将多项式中的每一项除以公因式，得到新的多项式。
（3）将新的多项式进行合并。
2. 公式法公式法适用于特定的因式分解形式，如平方差、立方差等。
在应用公式法时，我们需要记住相关的公式，以便快速解题。
3. 分解式法分解式法是将一个多项式分解成两个或多个因式相乘的形式。
它要求我们对多项式的结构进行深入理解，寻找多项式的特点以及可能分解的因式。
二、分式分式是数学中的一种表示方法，它由分子和分母组成，分子表示被分为若干份的数，分母表示分成的份数。
分式运算在数学中有广泛的应用，了解相关的概念与计算方法对于数学学习至关重要。
1. 分数的基本概念分数是整除关系的一种表达方式，分子代表整数被分成的份数，分母代表分成的份数。
分数可从几何上理解为某个单位分成几份的一部分。
2. 分数的运算法则分数的运算包括加、减、乘、除等操作。
常见的分数运算法则包括：（1）分数的相加减：- 确保分母相同，相加或相减分子的数值。
（2）分数的乘法：- 两个分数相乘，将分子相乘作为新分数的分子，分母相乘作为新分数的分母。
（3）分数的除法：- 两个分数相除，将第一个分数的分子乘以第二个分数的倒数，作为新分数的分子；分母同样如此。
3. 分数与整数的转化分数与整数可以相互转化。
当给定一个带分数时，可以将其转化为分数形式，将整数部分的值乘上分母，再加上分子的值作为新分数的分子，分母保持不变。
因式分解
第11讲：因式分解的方法【知识梳理】一、因式分解的意义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，其操作过程叫分解因式。
其中每一个整式叫做积的因式。
二、因式分解的方法1、常用方法有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。
2、一些复杂的因式分解的方法：（1）换元法：对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
（2）主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。
（3）拆项、添项法：拆项是将多项式中的某项拆成两项或更多项的代数和的一种恒等变形；添项是特殊的拆项，即把零拆成两个相反项的和。
配方法则是一种特殊的拆项、添项法。
（4）待定系数法：对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题得以解答。
（5）常用的公式：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22； 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±； ()2222222c b a ca bc ab c b a ++=+++++； ()2222222c b a ca bc ab c b a -+=--+++； ()2222222c b a ca bc ab c b a --=-+-++； 立方和（差）公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+；()()2233b ab a b a b a ++-=-；完全立方公式：()3322333b a b ab b a a +=+++； ()3322333b a b ab b a a -=-+-。
【初中数学】初中数学关于因式分解知识点整理
【初中数学】初中数学关于因式分解知识点整理(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.（2）公因子：多项式的每个项中包含的相同因子称为多项式的公因子(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的.（4）公因子法：一般来说，如果一个多项式的项有公因子，你可以把公因子放在括号外，以因子积的形式写出多项式。
这种分解因子的方法称为公因子法(5)提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式.（6）如果多项式第一项的系数为负，通常需要提出“-”号，使括号中第一项的系数为正。
当提出“-”号时，多项式的所有项都必须改变(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式.（8）使用公式法：如果乘法公式是反的，它可以用来将一些多项式分解成因子。
这种分解因子的方法叫做公式法(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)（10）用平方差公式分解因子的二项式公式有什么特点①系数能平方，(指的系数是完全平方数)② 字母索引应该成对排列③两项符号相反.(指的两项一正号一负号)（11）用平方差公式进行因式分解的关键是把每一项都写成平方的形式，并正确判断a和B分别等于什么(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2（13）完全平方公式的特点：①它是一个三项式.② 其中两个是两个数的平方和③第三项是这两数积的正二倍或负二倍.④ 有了以上三个特征，它等于两个数之和（或差）的平方(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和).（15）使用立方和和立方差分解的关键是能够将这两项写成两个数的立方(16)具备什么条件的多项式可以用分组分解法来进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.（17）小组分解法的前提：掌握公因子法和公式法是学好小组分解法的前提(18)分组分解法的原则：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式.（19）分组时，我们应该考虑分组后是否可以继续分解，关键是选择合理的分组方法。
初中数学公式因式分解
初中数学公式因式分解因式分解，这可是初中数学里的一个“重头戏”！记得我以前教过一个学生，叫小明。
他呀，一开始对因式分解那是一头雾水，觉得这些公式就像天书一样。
咱们先来说说什么是因式分解。
简单来说，就是把一个多项式变成几个整式乘积的形式。
这就好像是把一个大拼图拆分成几个小拼图的过程。
因式分解常用的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法等等。
提公因式法，这可是基础中的基础。
比如说，对于多项式 6x + 9，我们能发现 6 和 9 都能被 3 整除，所以就可以把 3 提出来，变成 3(2x + 3)。
这就像是从一堆水果里把相同的苹果挑出来放在一起。
再来说说公式法。
平方差公式 a² - b² = (a + b)(a - b) ，完全平方公式(a ± b)² = a² ± 2ab + b²。
这两个公式那可是解决很多问题的“利器”。
就像有一次课堂练习，题目是分解 x² - 9 ，这时候用平方差公式，一下就能得出 (x + 3)(x - 3) 。
还有 4x² + 12x + 9 ，用完全平方公式，很快就能写成 (2x + 3)²。
十字相乘法相对来说稍微复杂一点。
比如说 x² + 5x + 6 ，我们要找到两个数，它们的和是 5，积是 6，这两个数就是 2 和 3 ，所以分解结果就是 (x + 2)(x + 3) 。
不过，因式分解可不能乱套公式，得先仔细观察式子的特点。
就像有一回小明做题，看到一个式子就急急忙忙地用公式法，结果发现根本用错了方法，浪费了好多时间。
在做因式分解的题目时，一定要有耐心，要仔细。
就像搭积木一样，一块一块地来，不能着急。
而且做完之后，最好再检查一下，看看分解的结果对不对。
总之，初中数学里的因式分解，虽然有点小复杂，但只要掌握了方法，多做练习，就一定能轻松应对。
相信大家都能在这个数学的小天地里玩得转！就像小明后来，通过不断地努力，终于把因式分解这个难题给攻克了，数学成绩也有了很大的提高。
初中数学知识点：因式分解知识点
初中数学知识点：因式分解知识点学校数学学问点：因式分解学问点1一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中全部字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字1。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不肯定是单项式。
4、整式不肯定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式;而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减1、整式加减的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法安排率。
去括号法则：假如括号前是十号，把括号和它前面的+号去掉，括号里各项都不变符号;假如括号前是一号，把括号和它前面的一号去掉，括号里各项都转变符号。
2、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
合并同类项：1).合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
2).合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
3).合并同类项步骤：a.精确的找出同类项。
b.逆用安排律，把同类项的.系数加在一起(用小括号)，字母和字母的指数不变。
【数学知识点】初中数学因式分解的方法和口诀
【数学知识点】初中数学因式分解的方法和口诀
把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，因式分解的方法有十字相乘法、提公因式法、待定系数法等。
（一）十字相乘法
(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;
(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;
(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;
(4)检验。
（二）提公因式法
(1)找出公因式；
(2)提公因式并确定另一个因式；
①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
（三）待定系数法
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
口诀一
先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。
口诀二
两式平方符号异，因式分解你别怕。
两底和乘两底差，分解结果就是它。
两式平方符号同，底积2倍坐中央。
因式分解能与否，符号上面有文章。
同和异差先平方，还要加上正负号。
同正则正负就负，异则需添幂符号。
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因式分解教材解读
◆因式分解
1、 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫这个多项式分解因式。
2、 因式分解的实质是一种恒等变形，是一种化和为积的变形：多项式→几个整式的积。
3、 因式分解与整式乘法的关系：
因式分解与整式乘法的关系是互逆的。
多项式可以通过因式分解化为因式的乘积；因式乘积可以通过运用整式乘法化为一个多项式。
因式分解在计算、约分等方面的应用。
◆提公因式法
一、 公因式的定义及确定公因式
1、 公因式：一个多项式各项都含有的公因式，叫这个多项式的公因式。
2、 确定公因式：系数，取各项整数系数的最大公约数；字母，取各项的相同字母；指
数，取各相同字母的最低指数。
二、 提公因式法的概念和步骤
1、概念：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提取公因式法。
2、提取公因式的依据：乘法分配律。
3、提取公因式的步骤：
“一定”：确定公因式。
“二提”：将各项的公因式提出来并确定另一个因式，提取过程实际是用原多项式除以公因式的过程。
三、 用提公因式法分解因式时要注意的几点
1、 因式分解要彻底，要分解到不能再分解为止。
2、 当多项式第一项的系数是负数时，通常提出“－”号，使括号内第一项的系数变为
正数，在提出“－”号后，多项式都要变号。
3、 形如()2n m -与()2m n -可以写成同一个形式，面对于()2n m -与()3
m n -，在化成同一个形式时要注意符号的变化。
◆公式法
一、 运用平方差公式对多项式进行因式分解
1、 平方差公式：()()b a b a b a -+=-2
2 2、 公式特点：（1）二项式，（2）两项都是平方项，（3）两项符号相反；右边：两平方
项的底数和与底数积。
二、 运用完全平方公式对多项式进行因式分解
1、完全平方公式：()2
222b a b ab a ±=+± 2、公式特点：左边：（1）三项式，（2）首尾两项为两个数的平方和，中间项是两个底数的积的2倍，（3）两平方项符号必须相同，右边：两个底数的和或差的平方。
三、运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解
1、根据多项式的项数选择公式，二项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式。
2、运用公式的关键是将多项式改写成符合公式特征的形式。
3、有的多项式需打乱顺序，有些较烦琐的多项式可以先整体考虑，运用公式，再逐步来考虑。
帮你梳理《因式分解》
因式分解的意义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解。
1、因式分解是一种恒等变形，其是否正确，可以用整式乘法检验，看乘得的结果是否等于原多项式。
2、因式分解强调的结果是整式的积的形式，是一种形式上的恒等变形。
3、因式分解的结果要求，是必须进行到每个因式都不能再分解为止，要注意要求在何种数集内进行因式分解的。
4、并不是所有多项式在任何数集内都能因式分解。
因式分解的基本方法：
1、提公因式法，形如ma mb mc m a b c ++=++()。
2、运用公式法：
平方差公式：a b a b a b 22
-=+-()()
完全平方公式：a ab b a b 2222±+=±()
十字相乘法 x p q x pq x p x q 2+++=++()()()
3、分组分解法：（1）分组后能直接提公因式。
（2）分组后能直接运用公式（包括上面三个公式）
典型例题评析：
例1.因式分解：46222ab a b ab -+
解： 原式=-+2231ab b a ()
评析：要树立优先提多项式公因式的意识。
找公因式的方法是：系数取各项系数的最大公约数，字母取相同字母的最低次幂，提取公因式后注意不要漏项。
例2.把下列各因式分解 a a 42816-+
解：原式=-=+-()()()a a a 2222422
评析：先用完全平方公式后再用平方差公式；注意要直到每个因式都不能再分解为止。
同时要注意区分平方差与完全平方公式。
例3分解因式：x y z yz 2222--+
解：原式=--+x y yz z 2222() =--=+--+x y z x y z x y z 22
()()()
评析：在运用分组分解法和十字相乘法时，必须具有尝试意识。
先可一、二三四项为一组分组后再运用平方差公式。