基于扭秤法精确测量万引力常量方法的分析
万有引力常量的测定
三、引力常量的测定
1686年牛顿发现万有引力定律后，曾经设想过几种测定引
力常量的方法，却没有成功.
其间又有科学家进行引力常量的测量也没有成功. 直到1789年，英国物理学家卡文迪许巧妙地利用了扭秤装 置，第一次在实验室里对两个物体间的引力大小作了精确 的测量和计算，比较准确地测出了引力常量．
测定பைடு நூலகம்力常量的重要意义
1．证明了万有引力的存在．
2．“开创了测量弱力的新时代” （英国物理学家玻 印廷语）． 3．使得万有引力定律有了真正的实用价值，可测定 远离地球的一些天体的质量、平均密度等．如根据 地球表面的重力加速度可以测定地球的质量．
扭秤法测引力常量,万有引力测量
扭秤法测引力常量(本讲义材料主要来自清华基础物理实验讲义和中国科技大学的物理实验教材)1．引言扭秤法测引力常量是著名的经典物理实验之一，为了确定引力常量G的数值，1798年，卡文迪许(Cavendish)用扭秤法测量了两个已知质量的球体之间的引力，成为精确测量引力常量的第一人。
19世纪，玻印亭(Poynting)和玻伊斯(Boys) 又对卡文迪许实验做了重大改进。
目前，引力常量公认为6.672 59⨯10-11 N⋅m2/kg2。
测定引力常量G的意义是极大的。
例如根据牛顿运动定律和万有引力定律可以推算出太阳系中天体的运动情况，如果能够定出G的大小，则根据上述计算和观测结果就可以确定地球的质量。
从这个意义上来说，卡文迪许是第一个称量地球的人。
算出地球的质量和体积，就可以推断地球内部的物质信息。
由于G是一个非常小的量，普通物体之间的引力非常微小，因此卡文迪许实验可以称得上是一个非常精细与精致的实验。
尽管200年后的今天，科学技术和测量手段大大提高，但这一实验的构思和方法仍然具有现实的指导意义和启发作用。
本实验的目的如下：1) 观察物体间的万有引力现象，学习和掌握卡文迪许型扭秤测引力常量的方法。
2) 试测量(万有)引力常量G。
图1 卡文迪许型扭秤外形图图2 扭秤主体结构示意图2．实验仪器卡文迪许型扭秤，半导体激光器（前端带有调焦透镜），秒表，卷尺，坐标纸。
卡文迪许型扭秤外形图如图1所示。
扭秤装在镶有玻璃板的铝框盒内，固定在底座上，扭秤的内部主体结构图见图2。
长约16cm的铍青铜扭转悬丝⑥，通过连接片与上螺杆⑤和下螺杆⑦相连接。
①是上螺杆的锁紧螺母，②是悬丝的转角调节螺母，用于调节扭秤的平衡中心位置。
③是调节悬丝上下微动的调节螺母，④是上螺杆固定的锁紧螺钉。
在下螺杆上装有反光小镜⑧和相距10.0 cm、质量m=20.0 g的两个小铅球⑨。
⑩是减缓悬丝摆动的阻尼板。
在仪器侧面有旋钮⑾，逆时针转动可以向上举起扭秤，使悬丝处于松弛休息状态。
历史趣谈卡文迪许扭秤实验如何验证万有引力定律
历史趣谈卡文迪许扭秤实验如何验证万有引力定律
卡文迪许扭秤实验是由美国物理学家卡文迪许（Henry Cavendish）于1798年进行的一组实验，它为我们证明了万有引力定律（Universal Law of Gravitation）。
万有引力定律是牛顿发明的一条定律，它描述了所有物体之间的引力作用，并将其描述为一个简单的方程式。
在1798年，牛顿的学生、物理学家卡文迪许（Henry Cavendish）发现，要证明这条定律，他需要一个更有力的证据。
他因此想出了一种利用机械装置来测量和测算物体之间的引力作用的方法，也就是今天我们所知道的卡文迪许扭秤实验。
卡文迪许扭秤实验是一种基于力平衡的实验，它涉及大量的精确测量和计算，使它具有极高的精度。
实验装置由一个大型扭秤、一个小型扭秤以及一些其它的物体组成，这些物体分别是一根塔形结构、一个支点、一个钩子、一个球形的铅球和一些夹住铅球的把手。
大扭秤上方的钩子固定了一个球形铅球，而小扭秤的一头则固定在塔形结构的支点上，另一头则夹住了铅球上的把手，铅球就悬挂在两部扭秤之间并平衡在一起，这种结构使得小扭秤的大小可以改变。
在进行实验时，卡文迪许使用了一种精密的测量仪器，称为杆计，可以准确测量出小扭秤大小的变化，以及大小扭秤之间在改变时所受的力大小，从而推断出这些铅球之间的引力大小。
万有引力常数G的精确测量_涂良成
中国科学: 物理学 力学 天文学 SCIENTIA SINICA Phys, Mech & Astron 评 述
2011 年
第 41 卷
在 2006 年 CODATA 调整后, 我们实验小组报道 了 采 用 扭 秤 周 期 法 测 G 的 新 结 果 [46,47], 给 出 G= (6.673490.00018) ×1011 m3 kg1 s2, 相对不确定度为 26 ppm, 比 CODATA 2006 推荐值小 118 ppm. 最近, 美国国家标准局和科罗拉多大学联合实验室 (JILA) 报道了他们采用激光干涉测量双单摆间距变化的方 法(类似于德国伍珀塔尔大学 UWup-99 中采用的方法) 得 到 的 测 量 结 果 [48]: G=(6.672340.00014)×1011 m3 kg1 s2, 相对不确定度为 21 ppm. 该测量结果与 CODATA 1986 推荐值非常吻合, 但是比 CODATA 2006 推荐值小 290 ppm. 尽管各个实验小组相继给出相对精度较高的测 G 实验结果, 但是它们之间的吻合程度仍然较差. 图 1 给出了相对精度小于 50 ppm 的 6 个实验结果. 可
国天文学家开普勒(Johannes Kepler)根据丹麦天文学 家第谷 (Tycho Brahe) 的大量翔实的观测资料总结出 行星运动三大定律 , 完美地描述了行星绕太阳运行 的运动规律 , 却没有指出行星沿椭圆轨道运动的原 因 . 大约半个世纪以后 , 牛顿 (Isaac Newton) 在此基 础上提出了万有引力定律 . 此定律不仅对开普勒三 定律提供了动力学的解释 , 而且指出维系行星沿椭 圆轨道运动的力和地球上使苹果落地的力在本质上 是相同的. 这种力无处不在, 小到基本粒子大到宇宙 天体, 被称之为“万有引力”. 1687 年, 牛顿在 《自然哲学的数学原理》 (Mathematical Principles of Natural Philosophy)一书中系统 地介绍了万有引力定律 [1], 其内容如下 : 宇宙间任何
引力常量的测量
⑶标志着力学实验精确程度的提高,可测定远 离地球的一些天体的质量、平均密度等.如根 据地球表面的重力加速度可以测定地球的密 度(5.518kg/m3)和质量．
引力常量的测量
• 1.引力常量测定的历史背景
• 1686年牛顿发现万有引力定律后，曾经设想过几种测 定引力常量的方法，却没有成功.其间又有科学家进行 引力常量的测量也没有成功.
• 直到1789年,英国物理学家卡文迪许巧妙地利用了扭秤 装置,第一次在实验室里对两个物体间的引力大小作了 精确的测量和计算,比较准确地测出了引力常量．
2.引力常量G适用于任何两个物体；它在数值上等于两 个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力．
2、引力常量的测量——扭秤实验
（1）实验原理： 科Biblioteka 方法——放大法卡文
卡
迪
文
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实
许
验
室
1789年,即在牛顿发现万有引力定律一百多年以后,英国 物理学家卡文迪许(1731－1810),巧妙地利用扭秤装 置,第一次在实验室里比较准确地测出了引力常量.
⑵卡文迪许扭秤实验装置
卡文迪许扭秤的主要部分是一个轻而坚固的T型架，倒 挂在一根金属丝的下端。T形架水平部分的两端各装一 个质量是m的小球，T形架的竖直部分装一面小平面镜M， 它能把射来的光线反射到刻度尺上，这样就能比较精确 地测量金属丝的扭转。
3.测定引力常量的重要意义
⑴证明了万有引力的存在及万有引力定律的正 确性．
物理实验技术中的引力测量与分析方法
物理实验技术中的引力测量与分析方法引力是宇宙中最基本的力之一，它对于物体的运动起着至关重要的作用。
在物理实验中，测量和分析引力是探索宇宙运行规律的重要手段之一。
本文将介绍一些常见的引力测量和分析方法，并探讨它们在物理实验技术中的应用。
一、引力测量方法1.扭秤法扭秤法是一种基于扭转杆原理的引力测量方法。
它利用杆的扭曲来测量物体受到的引力大小。
具体操作时，可将待测物体连结在一个可旋转的杆子上，并观察杆子的扭曲角度或杆子两端的转动角度。
通过对应的数学公式计算，可以得到物体受到的引力大小。
扭秤法在实验室中被广泛应用于测量小质量物体的引力，例如测定微小物体的质量或微弱引力的作用力。
2.平衡法平衡法是一种通过平衡物体之间的力而测量引力大小的方法。
它常用于测量两个物体之间的引力大小，或者将待测物体与已知引力相平衡。
通过调整相应的重力或其他力，使得系统处于平衡状态，可以计算出物体受到的引力大小。
平衡法在实验室中被广泛应用于测量引力常数、质量以及其他引力相关参数。
二、引力分析方法1.牛顿力学牛顿力学是研究物体运动和受力规律的经典力学理论，其基础是牛顿三定律。
在引力研究中，牛顿力学提供了一种分析引力的常用方法。
通过对物体所受引力以及其他受力的定量分析，可以得到物体的运动轨迹、速度和加速度等参数。
牛顿力学在许多引力实验中被广泛应用，例如天体运动的研究，以及地球上物体的运动研究。
2.引力场理论引力场理论是描述引力的一种理论框架，广义相对论是其中最著名的一种理论。
广义相对论认为，物体间的引力是由于物体弯曲时所产生的时空弯曲造成的。
基于引力场理论，可以进一步深入研究引力的性质和特性，如引力场的形状和变化规律等。
引力场理论在天体物理和高精度引力测量等领域中得到了广泛应用。
三、物理实验技术中的引力测量与分析方法应用举例1.引力透镜效应（Gravitational lensing）引力透镜效应是一种由引力场所引起的光线偏折现象。
万有引力公式中的常数G是如何测量出来的
万有引力公式中的常数G是如何测量出来的万有引力定律是艾萨克•牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。
牛顿的普适的万有引力定律表示如下：任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。
该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，也就是：F= mM/r2。
因为一般物体的质量太小了，它们间的引力无法测出，而天体的质量太大了，又无法测出质量。
所以，万有引力定律发现了100多年，这个公式仍然不能是一个完善的等式得以应用。
直到100多年后，英国人卡文迪许利用扭秤，才巧妙地测出了这个常量G，得出了完整的万有引力公式F= GmM/r2，万有引力公式才得以广泛应用。
万有引力公式常数G是如何测量出来的呢？牛顿的万有引力定律描述的仅仅是一个关系式F= mM/r2。
后人根据这个关系式确定出了引力常数G后才建立起来了具有实用价值的万有引力公式：应该说明的是，牛顿得出这个规律，是在与胡克等人的探讨中得到的。
牛顿发现了万有引力定律，但引力是多少，连他本人也不知道。
万有引力定律发现了100才被卡文迪许通过实验测得。
18世纪末,英国科学家亨利•卡文迪许决定要找出这个引力。
卡文迪许最初的目的不是为了测量这个常数，而是为了测量万有引力的大小。
他将小金属球系在长为6英尺木棒的两边并用金属线悬吊起来。
这个木棒就像哑铃一样.再将两个350磅的铅球放在相当近的地方，以产生足够的引力让哑铃转动，并扭转金属线，然后用自制的仪器测量出微小的转动，测量结果惊人地准确。
亨利•卡文迪许测出的万有引力和用牛顿提出的关系式F= mM/r2算出的万有引力总是相差6.67259x10^-11倍，这就是万有引力公式常数G。
亨利•卡文迪许测出了万有引力常量，G=6.67×10^-11，亨利•卡文迪许得出了完整的万有引力公式F= GmM/r2。
万有引力常数G虽然不是牛顿本人确定的，但它是牛顿的后人英国科学家亨利•卡文迪许根据牛顿对引力现象所做的数学关系F= mM/r2描述确定出来的。
卡文迪许扭秤实验
T形架水平部分的的两端各装一个质量 是m的小球,竖直部分装一面小平面镜 M，把射来的光线反射到刻度尺上，比 较精确地测量金属丝地扭转。
当万有引力产生的力矩与金属丝扭转力 矩平衡时，T形架静止不动，扭转的角度 可以从小镜M反射的光点在刻度尺上移 动的距离求出，再根据金属丝的扭转力 矩跟扭转角度的关系，就可以算出这时 的扭转力矩，进而求得m与m'的引力F卡 Nhomakorabea迪许扭秤实验
赵俊林
万有引力定律
G=6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²
G最早如何测得？
卡文迪许扭秤实验
实验原理
用准直的细光束照射镜子，细光束 反射到一个很远的地方，标记下此 时细光束所在的点。 用两个质量一样的铅球同时分别吸 引扭秤上的两个铅球。由于万有引 力作用。扭秤微微偏转。但细光束 所反射的远点却移动了较大的距离。 用此计算出了万有引力公式中的常 数G。
2.勇于创新
化小为大，将十分微小的变化通过设计实现放大，巧妙设计扭秤实验来测量引 力常数，凭借高超的实验技巧和强大的数理基础，为科学界做出卓越的贡献。
THANKS
实验精妙之处
实验巧妙地利用光的反射实现二次放大（微小形变放大） 1. 尽可能地增大了T型架连接两球的长度使两球间万有引 力产生较大的力矩，使杆偏转
2. 尽力的增大弧度尺与系统的距离使小镜子的反射光在弧 线上转动了较大角度
启发
1.严谨的求知态度
卡文迪许认为大铅球对小铅球的引力是极其微小的，任何一个极小的干扰力就会 使实验失败。他发现最难以防止的干扰力来自冷热变化和空气的流动。为了排除误 差来源，卡文迪许把整个仪器安置在一个关闭房间里，通过望远镜从室外观察扭秤 臂杆的移动。测得引力常量G=6.754×10-11m3kg-1s2，与目前的公认值只差百分之一， 在此后得89年间竟无人超过他的测量精度。
【高中物理】引力常量的测定
引力常量的测定●本节教材分析这节课的内容是要让学生知道引力常量G的值的测出使万有引力定律更具有实际意义．可是一般物体间的引力很小,怎样才能够测出呢？要让学生去体会卡文迪许扭秤的“巧妙”所在．这节课的重点是卡文迪许扭秤测量引力常量的原理,难点是扭转力矩平衡问题的理解．在教学中解决重点、难点的同时要渗透对学生的思想教育及“测定微小量的思想方法”．●教学目标一、知识目标1．了解卡文迪许实验装置及其原理．2．知道引力常量的物理意义及其数值．二、能力目标通过卡文迪许如何测定微小量的思想方法,培养学生开动脑筋,灵活运用所学知识解决实际问题的能力．三、德育目标通过对卡文迪许实验的设计思想的学习,启发学生多动脑筋,培养其发散性思维、创造性思维．●教学重点卡文迪许扭秤测引力常量的原理．●教学难点扭转力矩与引力矩平衡问题的理解．●教学方法1．对卡文迪许实验的装置和原理采用直接讲授、介绍的方法．2．对金属丝的扭转角度采用与微小形变实验的对照．●教学用具投影仪、投影片、卡文迪许扭秤模型．●课时安排1课时●教学过程 本节课的学习目标1．了解卡文迪许实验装置及其原理． 2．知道引力常量的物理意义及其数值． 学习目标完成过程一、导入新课上节我们学习了万有引力定律的有关知识,现在请同学们回忆一下．万有引力定律的内容及公式是什么？公式中的G 又是什么？ 回答上述问题：内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比,跟它们的距离的平方成反比．公式：F ＝G 221r m m ．公式中的G 是万有引力常量,它在大小上等于质量为1 kg 的两个物体相距1 m 时所产生的引力大小,经测定其值为6.67×10-11 N ·m 2/kg 2．牛顿在前人的基础上,应用他超凡的数学才能,发现了万有引力定律,却没能给出准确的引力常量,使万有引力定律只有其理论意义,而无更多的实际意义,今天我们就来共同学习英国物理学家卡文迪许是如何用实验来测定引力常量的．二、新课教学 A ．基础知识请同学们阅读课文,同时考虑下列几个问题． 1．引力常量为什么难以测量？2．谁设计实验对万有引力常量进行了测定,他使用的装置是什么？ 3．该装置主要由几部分组成？ 4．该实验的实验原理是什么？ 阅读课文,从课文中找出相关的答案．1．万有引力常量难以测量的原因是其值非常小,很难用实验方法将它显示出来．所以对它的测定必须设计特殊的装置才行．2．英国的物理学家卡文迪许在1789年,巧妙地设计了扭秤装置,把万有引力常量应用实验的方法测量出来．3．扭秤的主要部件有四部分：一个倒置的金属架；一根金属丝；一个固定在T型架上的平面镜；T型架两端各装一质量为m的小球．其结构如图所示：4．该实验的实验原理是应用力矩平衡的知识来设计的．B．深入探究请同学们结合课本知识,分析、讨论下列问题．1．由于一般物体间的引力非常小,导致引力常量难以测量,那么,怎么样就能把引力常量测量出来了呢？2．扭秤装置中的小平面镜起什么作用呢？3．在扭秤装置中,除了平面镜外是否还有其他地方对相互作用的效果进行了放大呢？4．本实验的实验原理是力矩平衡,那么,具体说是哪些力矩相平衡呢？学生分组讨论,结合课文给出的提示,得出相似结论．1．引力常量难以测量的原因是一般物体间的相互作用力很小,产生的作用效果不明显,如果我们能把引力产生的微小效果进行放大的话,就可以用实验来测量引力常量了．2．装置中的小平面镜就起到了放大的作用．当m′与m相互吸引时,引力会使金属丝发生微小的扭转形变,也正是由于形变量非常微小,所以我们很难用眼睛观察到．当固定上一个小镜后,小镜会随金属丝的扭转而转过很小的角度,它的转动会引起刻度尺反射光点的明显移动,从光点位置移动的大小便可反映出金属丝的扭转程度,进而反映出两小球间相互作用力的大小．3．在该装置中,除了平面镜起到的放大作用外,“T”型架也起到了放大的作用．我们从力矩平衡的知识知道,力矩的大小与两个因素有关,一个是力的大小,另一个是力臂的大小．在这一实验中,我们不能增大相互作用的引力,所以考虑去增大力臂,而“T”型架正好起到了增大力臂的作用．当力矩增大后,也就将力的作用效果进行了放大．4．“T ”型架受到力矩的作用产生转动,使金属丝发生扭转,产生相反的扭转力矩,阻碍“T ”型架转动,当这两个力矩平衡时,“T ”型架停止转动．设金属丝的扭转力矩为M 1,引力矩为M 2,即有：M 1＝M 2． C ．教师总结通过前面的学习,我们了解了扭秤装置的组成、结构、二次放大原理以及实验原理．当应用扭秤装置进行实验时,金属丝的扭转力矩M 1可以根据它与扭转角“θ”的关系来求,而扭转角度“θ”可通过平面镜M 反射光点在刻度尺上移动的距离求出．此时M 1便成了已知量．而M 1＝M 2＝F 引·l ＝G 2r m m 'l ．故：G ＝lm m r M '21利用上述原理,再加上可控变量法,经多次测量便可求得：G ＝6.67×10-11 N ·m 2/kg 2．D ．基础知识应用1．________年,________国物理学家________应用________装置,第一次在实验室里巧妙地测出了万有引力常量．2．扭秤装置的巧妙之处在于对作用效果进行了二次放大,这两次放大分别体现在________；________．3．卡文迪许应用扭秤装置测定万有引力常量的实验原理是________．4．一个人的质量是50 kg,他在地面上受到的重力是多大？已知地球半径R ＝6.4×106 m ．地球质量为6.0×1024 kg ．计算一下人与地球之间万有引力的大小． 参考答案：1．1789；英；卡文迪许；扭秤2．小平面镜反射；“T ”型架横杆增大力臂3．万有引力产生的力矩与金属丝扭转时产生的扭转力矩相等 4．490 N ；4.89×102 N ． 解：G ＝mg ＝50×9.8 N ＝490 N ． 由万有引力定律可知：F 引＝G 2R Mm＝6.67×10-11×2624)104.6(50100.6⨯⨯⨯N三、知识反馈1．关于引力常量,下列说法正确的是( )A ．引力常量是两个质量为1 kg 的物体相距1 m 时的相互吸引力B ．牛顿发现了万有引力定律时,给出了引力常量的值C ．引力常量的测出,证明了万有引力的存在D ．引力常量的测定,使人们可以测出天体的质量2．两个行星的质量分别为m 1和m 2,绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2,若它们只受万有引力作用,那么这两个行星的向心加速度之比为( ) A ．1B ．m 2r 1/m 1r 2C ．m 1r 2/m 2r 1D ．r 22/r 123．一旦万有引力常量G 值为已知,决定地球质量的数量级就成为可能,若已知万有引力常量G ＝6.67×10-11 N ·m 2/kg 2,则可知地球质量的数量级是( ) A ．1018B ．1020C ．1022D ．10244．已知地球绕太阳公转的轨道半径为1.49×1011 m,公转周期为3.16×107 s,试求： (1)地球绕太阳公转的速度； (2)地球绕太阳公转的向心加速度；(3)如果地球质量为5.89×1024 kg,那么太阳对地球的万有引力应为多大． 参考答案： 1．CD 2．D 3．D4．地球绕太阳公转的向心力是太阳对地球的万有引力提供的．设地球质量为m ,轨道半径为r ,公转周期为T ,运行速度为v ,运行的向心加速度为a n ,则(1)v ＝7111016.31049.114.322⨯⨯⨯⨯=T r πm/s ＝2.96×104 m/s (2)a n ＝r v 2＝11241049.1)1096.2(⨯⨯m/s 2＝5.88×10-3 m/s 2(3)F 引＝F 向＝ma n ＝5.89×1024×5.88×10-3 N ＝3.46×1022 N四、小结卡文迪许实验对引力常量的测定,使得万有引力定律有了真正实用性,通过本节学习我们要掌握：1．卡文迪许实验装置及原理．2．知道引力常量测定的意义．3．知道卡文迪许扭秤的设计思想,应该对我们有较大的启迪作用．五、作业1．复习本节内容2．思考题(1)离地面某一高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的一半,则高度h是地球半径的()A．2倍B．2倍C．2＋1倍D．2-1倍(2)设想把物体放到地球中心,则此物体此时与地球间的万有引力是多少？参考答案：(1)D(2)零六、板书设计七、本节优化训练设计1．(1996年上海)已知地球表面重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G,用以上各量表示地球的质量M ＝________．2．(1997年全国)已知地球半径约为6.4×106 m,又知月球绕地球的运动可近似看做圆周运动,则可估算出月球到地心的距离约为________m ．(结果保留一位有效数字)3．某行星半径为R ,其表面附近有一颗卫星,其绕行周期为T ,已知引力常量为G ,写出该行星质量M ,平均密度ρ的表达式．4．如果有一天,因某种原因地球自转加快．则地球上的物体重量将发生变化,当赤道上重力为零时,这时一昼夜有多长？(已知地球半径R ＝6.4×106 m)5．某行星质量是地球质量的一半,半径也是地球半径的一半,某运动员在地球上能举起250 kg 的杠铃,在行星上最多能举起质量为多少的杠铃？ 参考答案： 1．gR 2/G分析：本题考查的是地面上物体重力mg 近似等于地球对物体的万有引力,即：mg ＝G 2R Mm．所以 M ＝gR 2/G ． 2.3×108 m分析：此题的运动模型是：“月球绕地球做匀速圆周运动”,其规律是：“万有引力提供向心力”．已知常识是：“月球运行周期为30天”． 解法1：对月球,万有引力提供向心力,得：G 2r Mm＝m 224T rπ①式中M ,m 分别表示地球和月球的质量,须想法替换M 和G ． 对地面上的物体,忽略地球自转的影响,认为其重力等于万有引力,则有m ′g ＝G 2R m M '②式中m ′为地面上某一物体的质量 由①②两式消去G 、M 、m 、m ′得：r ＝326233222104)104.6()106.32430(104⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=πR gT＝4×108 m解法2：利用近地卫星1结合开普勒第三定律求解,即把近地卫星和月球作为地球的两颗卫星则有：3322R r T T 月近月=近地卫星周期T 近＝85分钟 月球周期T 月＝30×24×60分钟 R ＝6.4×106 m则：r 月＝R322/近月T T＝6.4×10632285)602430(⨯⨯＝4×108 m 3．M ＝4π2R 3/GT 2ρ＝V M＝3π/GT 24．1600π s解：由于G 2RMm＝m (R T 2)2(π①且G 2R Mm＝mg②由①②两式得：T 2＝gR24π所以T ＝2πgR ＝1600π s5．125 kg解：该运动员在地球上所能举起的杠铃的重力与他在行星上所能举起的杠铃的重力应相等．而重物的重力近似等于万有引力在地球上：m 1g 地＝G21地地R m M •在行星上：m 2g 行＝G 22行行R m M •．因为m 1g 地＝m 2g 行所以G 2221行行地地R m M GR m M =所以m 2＝12)(m R R M M ••地行行地＝250)21(122⨯⨯＝125 kg●备课资料 关于引力常量G 的测定牛顿在首次描述万有引力定律时,设定了一个基本常数G ,即关于质量与距离的力,然而G 数值的精确测定却长期困扰着科学家,现在,科学家通过周密而细致的工作,终于揭开了这一神秘面纱．科研人员将一块特别的玻璃块放进一个垂直的真空管中,同时用激光器来跟踪它的运动,由于地球的质量知道得还不精确,研究人员必须排除行星引力对G 的影响．他们在真空管的周围套上一个500 kg 的钨环形套,让其或低于玻璃块,或高于玻璃块,结果,环形磁的引力几乎没有增大或减慢这颗“卫星”的降落速度,通过测定环形套两种位置和玻璃块的加速度差异,研究人员可以推断出仅有环形套时的加速度,然后试验人员进行G 的计算．尽管有着比期望值误差较大的干扰,但是,这颗用来试验G 的“卫星”,其轨迹图展示出接近于最广为公认的数值,这一实验的一致性,将有助于验证人们认为前人的测定因某些原因而不够准确的看法．。
引力常量的测量----卡文迪许扭秤实验
F1 可以看成是被挖去部分与质点的万有引力与剩 余 部 分 与 质 点 的 万 有 引 力 的 和 ， 即 F1 ＝ F2 ＋ F2′(被挖去部分)． F2′＝GM5′2Rm2 ＝Gρ2V5′4R2m ρ＝43πMR3，V′＝43π(R2 )3，
2020/3/2
M 所以 F2′＝Gቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ85Rm2＝G50MRm2
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(3)当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力 减小，重力增大，只有物体在两极时物体所受
的万有引力才等于重力．
(4)除在两极处外，都不能说重力就是地球对物 体的万有引力，但在忽略地球自转时，通常认
为重力等于万有引力，即 mg＝GRM2m(这个关系 非常重要，以后要经常用)．
注意：重力只是物体所受万有引力的一个分力， 但是由于另一个分力F向特别小，所以一般近似 认为地球表面（附近）上的物体，所受重力等 于万有引力。
• 三、万有引力与重力的区别与联系：
•
物体与地球的引力：F＝G
Mm R2
• 方向：指向地心。
• 重力:由于地球的吸引而使物体受到的力，
叫做重力。重力与万有引力是同一性质
的力。
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重力与万有引力的关系
• 由于地球自转，静止在地球上的物体也跟 着绕地轴作圆周运动，这个作圆周运动的 向心力就由万有引力的一个分力来提供。 因此，在地球表面上的物体所受的万有引 力F可以分解成物体所受的重力mg和随地 球自转做圆周运动的向心力F′，如图3－1 －3所示．
Gmm r2
‧L=
kθ
即：G kr2
mml
巧妙之处：
1、把微小力（根本不可能觉察到）转 变成力矩来反映 （一次放大）
探讨物理中“万有引力常量的测定”的多媒体辅助教学法
一
由此 可 见 ， 种 教 学 方 法 可 以 丰 富 教 这 学 的 内 涵 建 设 ， 会 增 加 学 生 的 感 官 吸 引 也 力 ， 生 在 快 乐 中去 学 习 ， 果 可想 而 知 。 学 效
当然 ， 们 的 教 学 目的 必须 明确 ， 有 我 所 的 教学 手 段都 应 该 围 绕 教学 目的去 设 计 ， 不能 一 味 去追 求 夸 张而 背 离 我们 的 教 学 目 标 ， 能适得其反。 不
激 发 学生 去 创新 ， 学 生产 生 跳跃 性 思维 ， 让
来思考 、 解决 关键 问题 。
３ 根据 课堂 需 要控 制 教 学 进 程 。 以提 高 教 学 质 量
计 算 机 多 媒 体辅 助教 学 技 术 可 以 根 据 需要 任 意 变 化 播 放 速 度 的快 慢 ， 以便 达到 突 出教 学 重 点 或者 需 要 解 决 问题 所 在 。 采 用录 像 快 拍 、 计算 机控 制慢 放手 段或 计 算 机 模 拟 技 术 ， 生 就 可 以通 过 屏 幕 清 晰 地 学 看 出 每 一时 间 段 的运 动 情 况和 整 个 实验 过 程 的运 动 变 化 ， 授 课方 面 形 象生 动 ， 在 富有 感 染 力 ， 引 导 学 生 学 习 思 考 方 面起 着 得 在
点 ， 决 了难 点 ， 活 了学 生 的 思 维 活 动和 联 想 能 力 。 解 激
关键词 ： 多媒 体 实 验 探 究式 教 学 中 图分 类 号 ： ２ Ｇ６ ４ 文 献 标 识 码 ：Ａ
文 章 编 号 ： ７ —９ ５ ２ １ ） （） Ｏ ９ 一Ｏ １ ３ ７ （０ ｌ ｂ－ ０ ８ １ ６ ９ ０ ２
天 独 厚 的 主 导作 用 。
引力常量的测量
引力常量的测量卡文迪许扭秤实验是用途哀特研究地心引力和地心引力常数的实验。
它由德国天文学家卡文迪许（Johannes Kepler）在17进行的。
它是一个实用的实验，可以通过测量物体的自由落体运动来了解地心引力的性质。
该实验中，Keplean从一端放入一个金属物体，另一端挂上一个扭秤，金属物体会以1g的加速度向下运动，逐渐拉取扭秤力矩，扭秤产生随物体下落加速度改变而改变的移动。
Keplean可以把地心引力定义为金属物体下落所需的距离，除以力矩和因子之后剩下的因子data from the experiment to calculate g, the gravitational constant.实际上，实验的数据并非固定的，建立在受试者的直觉上，也取决于设备的精度：它们通常具有不足的精度，有时会产生额外的噪音和干扰，而这些毫无意义的噪音和干扰有可能降低实验的有效性。
此外，实验的空气阻力也可能衡量实验的有效性，要求受试者需要温度和湿度的控制。
由于这些原因，卡文迪许扭秤实验在当时并不被看作是一项准确性增强的实验，但它可以为之后的实验提供起到参考作用。
经过卡文迪许的实验，他发现物体在1g或更高的加速度下会加速下落，并以稳定的方式运动。
他也发现，当金属物体落到另一端时，它们落体的加速度几乎不变。
他从实验中推测，金属物体落到另一端的加速度，就是地心引力常数的值。
这项实验的发现对地心引力有很大的指导意义，它指明了地心引力加速度的自由落体状态，而它也提供了一套有效的实验方法，用来测量地心引力常数。
它使定量化地心引力与其常数之间的关系变得更加可靠和可控，使天文学家和物理学家有机会研究和探索物体的运动规律。
同时也为开展数值分析提供了可能性。
卡文迪许扭秤实验为后来的科学家和物理学家提供了直观的地心引力信息，并为试验的发展提供了新的思路，使其可以更准确地测量地心引力常数。
此外，它还为今天的研究和实验提供了有用的参考，被公认为常量测量的重要基础。
引力常量的测定卡文迪许扭秤实验
引力常量的测定——卡文迪许扭秤实验牛顿认为公式中的引力常数G是普适常数，不受物体的形状、大小、地点和温度等因素影响，引力常数的准确测定对验证万有引力定律将提供直接的证据。
英国物理学家卡文迪许（H.Cavendish 1731-1810）根据牛顿提出的直接测量两个物体间的引力的想法,采用扭秤法第一个准确地测定了引力常数。
卡文迪许实验所用的扭秤是英国皇家学会的米歇尔神父制作的。
米歇尔制作扭秤的目的是为了测定地球的密度，并与卡文迪许讨论过这一问题。
但是，米歇尔还未用它来进行测定，便去世了。
米歇尔去世后，这架仪器几经辗转传到了剑桥大学杰可逊讲座教授沃莱斯顿神父手里，他又慷慨地赠送给了卡文迪许，这时卡文迪许已是年近古稀的老人了。
卡文迪许首先根据自己实验的需要对米歇尔制作的扭秤进行的分析，他认为有些部件没有达到他所希望的方便程度，为此，卡文迪许重新制作了绝大部分部件，并对原装置进行了一些改动。
卡文迪许认为大铅球对小铅球的引力是极其微小的，任何一个极小的干扰力就会是实验失败。
他发现最难以防止的干扰力来自冷热变化和空气的流动，为了排除误差来源，卡文迪许把整个仪器安置在一个关闭房间里，通过望远镜从室外观察扭秤臂杆的移动。
扭秤的主要部分是一个轻而坚固的T形架，倒挂在一根金属丝的下端。
T形架水平部分的的两端各装一个质量是m的小球，T形架的竖直部分装一面小平面镜M，它能把射来的光线反射到刻度尺上，这样就能比较精确地测量金属丝地扭转。
实验时，把两个质量都是m'地大球放在如图所示的位置，它们跟小球的距离相等。
由于m受到m'的吸引，T形架受到力矩作用而转动，使金属丝发生扭转，产生相反的扭转力矩，阻碍T形架转动。
当这两个力矩平衡时，T形架停下来不动。
这时金属丝扭转的角度可以从小镜M反射的光点在刻度尺上移动的距离求出，再根据金属丝的扭转力矩跟扭转角度的关系，就可以算出这时的扭转力矩，进而求得m与m'的引力F。
卡文迪许扭秤法测量万有引力常数
位：s）
2. 对测量结果进行分析，分析影响测量结果的主要因素。 答：本实验本身是具有高度精确性的，但在光电在屏幕上移动距离和位置时，仿 真实验本身模型不够好，会在数据积累的过程中造成很大误差。
七、 实验感悟与体会
能够亲手去做这个经典实验让我充分感受到了卡文迪许的智慧和自然的神奇。 仿 真实验虽说提高效率降低了成本，但调试仪器的过程还是不可复制真是情况的。 因此我认为仿真是呀不能完全代替实验室，在实验室里做实验才更加有意义。
二、 实验原理
根据牛顿万有引力定律， 间距为 r, 质量为 m1 和 m2 的两球之间的万有引力 F 方 向沿着两球中心连线，大小为 (1) 其中 G 为万有引力常数。
实验仪器如卡文迪许扭秤法原理图所示。 卡文迪许扭秤是一个高精度的仪器， 非常灵敏， 为保护仪器和防止外界干扰影响实验测量，扭秤被悬挂在一根金属丝 上，装在镶有玻璃板的铝框盒内，固定在底座上。
3. 光点位移的测量(单位：cm)
6/8
4. 由以上数据可以求得
标准值 相对误差为
六、 思考题
1.假设 M= 1kg,
l = 10 cm, d =5cm , m = 15 g
1) 扭秤的周期 T ?
答：由
可得
2) 悬丝的扭转常数
K
? 7/8
答：又由
以及
,可得 T=
,最终结果 T=202.78（单
8/8
打开激光器电源：双击电源弹出放大的激光器电源面板。鼠标单击开关打开电 源，可以看见激光被镜子反射到远处的光屏上。 确定平衡位置 C：鼠标双击实验窗口中的卡文迪许扭秤进行调节。过右键菜单 可打开卡文迪许扭秤顶视图。 通过的鼠标调节扭丝转角调节旋钮，可对扭秤初始 转角进行粗调。双击锁紧螺钉使得扭秤下落，并且作最大振幅的扭转振动（撞击 玻璃板）。记录此时光点在光屏两端最远点的位置 x1, x2 。 Xc = (x1+ x2)/2。
对扭秤法测万有引力常数实验的探讨
对扭秤法测万有引力常数实验的探讨
刘慎秋;郭华菊
【期刊名称】《物理实验》
【年(卷),期】1999(019)004
【摘要】对扭秤法测万有引力常数实验中的隔振和求平衡点两个重要问题进行了论述。
【总页数】3页(P3-5)
【作者】刘慎秋;郭华菊
【作者单位】中国科学技术大学天文与应用物理系;中国科学技术大学天文与应用物理系
【正文语种】中文
【中图分类】O314
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卡文迪许扭秤
引力恒量及测定
1. 简单物理学史和一个准备知识
（1）简单的物理学史：牛顿发现了万有引力定律，但并未给出准确的引力常量，英国物理学家卡文迪许，在牛顿发现万有引力定律一百年以后，巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里比较准确地测出了万有引力常量。
（2）一个准备知识：在入射光线的方向保持不变的前提下，平面镜转过一个角度θ，则反射光线转过θ2角。
2. 扭秤实验的装置和原理
（1）实验装置：一个轻而坚固的T 形架，倒挂在一根金属丝的下端，T 形架水平部分的两端各装一个质量是m 的小球，T 形架的竖直部分装有一面小平面镜M ，一个光源射出一束光照射在镜面上，它的反射光线反射到弧形刻度尺上，如图所示。
（2）主要材料的作用及目的
a. 金属丝：目的是为了扭转，原因是引力微小，不适合用观察金属丝微小的拉伸形变，而选用扭转形变。
b. T 形架，四个球：目的是为了放大、对称、平衡，原理是T 形架保持金属丝竖直不偏，引力矩在同一水平面上，便于计算，四个球有两个力矩，既对称平衡，又使力矩放大两倍。
c. 光源、弧形尺、平面镜，目的是为了放大，原理是当金属丝扭转θ角时，平面镜扭转θ角，反射光线转过θ2角，起到第二次放大作用。
（3）实验原理：如果T 形架水平部分的长度为L ，则两个万有引力产生的力矩和为FL ；它将等于扭转力矩θk ，即：θ=k FL ，而r 2S =
θ。
引力常量的测量----卡文迪许扭秤实验共21页
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
引力常量的测量----卡文迪许扭秤实验 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
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基于扭秤法精确测量万引力常量方法的分析作者：曹飞张冬霞
来源：《智富时代》2019年第05期
【摘要】萬有引力常数G是基本物理学常数，其在理论物理、天体物理和地球物理等许多领域中扮演着重要角色。
两百多年来，人们共测量出了200 多个G值，但G的测量精度仍然是所有物理学常数中最差的，这一现象反映了测G工作本身的复杂性和困难性。
本文简要概述了利用扭秤法精确测量万引力常量G值的方法，并分析了此方法的优缺点。
【关键词】万有引力常数G；精密测量；扭秤法
一、引言
有引力定律的发现是17 世纪自然科学最伟大的成果之一。
它把地面上物体运动和天体运动的规律统一起来，对物理学和天文学的发展奠定了坚实的基础。
它第一次解释了自然界中四种基本相互作用之一的引力相互作用，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑.在万有引力定律中，引力常数G是一个普适常数，不受物体的大小、形状、组成成分等因素的影响. 由于引力的不可屏蔽性，在大尺度的天体之间，万有引力起支配作用。
在与有心力问题相关的天体力学以及轨道动力学中均含有G或其他隐含的类似因子，譬如地球引力常数GM，其中M 为地球的质量。
到目前为止，在CODATA-2014 收录的14 个G值中，精度最高的是2000 年美国华盛顿大学的引力研究组采用扭秤角加速度反馈法测量的结果.在其他结果中，采用扭秤周期法获得的实验结果有六个，分别为NIST-82 ， TR&D-96， LANL-97， HUST-05， HUST-09 和UCI-14，所用测量方法有扭秤周期法、簧片扭秤补偿法/直接倾斜法，双单摆F-P 腔法，扭秤静电补偿法，天平补偿法，和冷原子干涉法等。
二、扭秤倾斜法测量G及静电补偿法
直接倾斜法和静电补偿法通常采用精密扭秤作为检验质量。
扭秤由一根细丝悬挂，可在水平面内自由转动，这种设计的最典型特点是将待测的引力信号置于与地球重力场正交的水平面内，以此减少地球重力场及其波动的影响。
直接倾斜法是扭秤最直接的工作模式. 如图1所示，其基本原理是利用扭秤自身的回复力矩平衡吸引质量施加在扭秤上的引力力矩，通过对扭秤的扭转角度θ进行高精度的测量，并使用胡克定律建立起引力力矩和扭秤偏转角之间的关系，从而给出G值。
直接倾斜法的难点在于要求对扭秤旋转角θ进行绝对测量，且扭丝的性质如非线性、热弹性、平衡位置漂移等会对结果造成直接影响。
为了减小扭丝特性的影响，一种解决方案是使用静电力对引力力矩进行实时补偿，使扭丝不扭转，扭秤始终保持原来的静止状态，从而将直接倾斜法中对角位移的直接测量转换为对电信号的测量。
由于在实验过程中扭丝只起到悬挂扭秤的作用，因此其自身特性并不会影响到G值测量结果，所以极
大地减小了扭丝的非线性等因素的影响。
但是静电补偿法本质上仍然是一种静态测量方法，静电力的测量极容易受到环境温度波动等因素的干扰，而且不能像动态实验那样通过动态调制或者差分的方法减少环境因素的干扰。
此外，由于装置的复杂结构和边界效应等因素的影响，电极和检验质量之间的电容并不能简单地通过理论计算给出，而需要对其进行高精度的标定。
三、测量方法改进
2001 年，国际计量局BIPM 的Quinn 等在同一套装置上同时使用扭秤直接倾斜法和静电补偿法两种方法进行G值测量. 这两种方法拥有着不同的误差源，一种方法中的未知系统误差很有可能不出现在另一种方法中，通过相互比较可以有效提高测量结果的置信水平。
该实验结果比CODATA-2002，2006， 2010， 2014 收录的其他G值都偏大. 在随后的2013 年，BIPM 的研究组重新搭建了实验装置，检验质量和吸引质量也做了相应的改进。
一个直径295 mm，厚8 mm 的铝盘由簧片悬挂，铝盘用于支撑4 个圆柱形检验质量. 每个检验质量由铜碲合金制成，直径和高度均为55 mm，质量为1.2 kg， 4 个检验质量对称地放置在铝盘上，半径为120 mm。
真空容器外同样对称地放置了4 个圆柱形吸引质量，其材质与检验质量相同，但体积更大，其直径和高度分别为120 mm 和115 mm，单个吸引质量重11 kg. BIPM 的研究组使用一根长度L = 160 mm，宽度b = 2：5 mm，厚度t = 30 _x0016_m 的簧片代替传统的扭丝用于悬挂检验质量和合金铝支撑盘，簧片的弹性系数为
其中F 为材料的剪切模量， Mg 为扭摆的重量. 上式中的两项均提供回复力矩，第一项类似于圆形扭丝提供的弹性恢复力矩，而第二项则是当簧片扭转时扭摆在地球重力场中的位置升高所致。
BIPM 实验中使用的簧片悬挂系统，第二项占比高达90%。
由于重力是保守力，所以第二项没有耗散，这使得簧片总的耗散较小，因此有效地减小了测G实验中的滞弹性效应和降低了扭秤热噪声的影响。
他们得到的新实验结果为6.67554（16）×1011 m3kg-1s-2相对不确定度24 ppm ，与他们2001 年的结果在误差范围内符合，但实验结果仍然是CODATA-2014 收录的14个结果中最大的。
除了BIPM 的研究组，新西兰测量标准实验室（MSL）的Fitzgerald 和Armstrong 同样采用了静电补偿法测量万有引力常数G。
其实验原理与BIPM类似，都是通过伺服反馈电压作用到检验质量上的力矩来平衡吸引质量施加的引力力矩，从而将角位移的直接测量转换为对电信号的测量。
在静电补偿法中，电极电容C 对检验质量转角_x0012_的导数dC/d_x0012_ 是电信号测量的关键参数，需要对其进行高精度的标定。
MSL 使用了加速度法对其进行测量，使得G值表达式中不包含检验质量尺寸和质量，因此G值测量结果不依赖于检验质量的密度分布，彻底消除了密度均匀性的影响。
为了提高测量结果的可靠性，实验中还尝试了不同的电压（30—270 V）和不同材料的吸引质量（不锈钢和铜），
测量结果之间的符合程度非常好。
MSL 于1995 年首次公布其实验结果为 6：6656（6）×1011 m3kg-1s-2. 1999 年，他们公布的改进实验结果为（MSL-99） 6.6742（7）×1011 m3kg-1s-2 。
此后进一步改进的实验结果为（MSL-03） 6.67387（27×1011 m3kg-1s-2，相对不确定度达到40 ppm。
【参考文献】
[1] Newton I （translated by Zhao Z J） 2006 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica （Beijing： The Commercial
Press） pp237–277 （in Chinese） [牛顿I 著（赵振江译） 2006 自然哲学的数学原理（北京：商务印书馆）第237—277 页]
[2]Tu L C， Li Q， Shao C G， Hu Z K， Luo J 2011 Sci. Sin. Phys. Mech. Astron. 41 691 （in Chinese） [涂良成，黎卿，邵成刚，胡忠坤，罗俊2011 中国科学：物理学力学天文学41 691]
[3]Acta Physica Sinica， 67， 160603 （2018）。