电子科技大学组合数学 考题答案---习题55

习题五

1．对1*n 棋盘的每个正方形用红或蓝两种颜色之一着色。设a n 表示没有任何两个着红色的正方形是相邻的着色的方式数。求a n 所满足的递归关系并解之。

解：设a n 表示1*n 棋盘中无任何两个着红色的方格是相邻的着色个数，则对第一个方格有两种着色方式：

a.对第一格着蓝色，则在其余的n-1个方格中无任何两个着红色的方格的着色数为 a n -1.

b.对第一格着红色，在第二格只能着蓝色，则在剩下的n-2个方格中无任何两个着红色的方格的着色数为a n -2。

显然有a 1=2，a 2=3，由加法法则得递推关系式

1212

2,3n n n a a a a a --=+⎧⎨==⎩ 特征方程为012=--x x

特征根2511+=x ,2512-=x

通解n n n c c a )2

51()251(21-⨯++⨯= 由初始条件有:⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-⨯++⨯=-⨯++⨯3)251()251(2251251222121c c c c 故有： a n =])251()251[(5

122++--+n n 2．如果用a n 表示没有两个0相邻的n 位三元序列（即有0，1，2组成的序列）的个数。求a n 所满足的递归关系并解之。

解：对n 位数的第一位数有三种选择方式:

1)第一位选1，则在剩下的n-1位数中无两个0相邻的个数为a n -1;

2)第一位选2, 则在剩下的n-1位数中无两个0相邻的个数为a n -1,

3)第一位选0,则在第则在第二位又有两种选择方式，

(1)第一位选1，则在剩下的n-2数中无两个0相邻的个数为a n -2;

(2)第一位选2，则在剩下的n-2数中无两个0相邻的个数为a n -2 显然有 a 1=3,a 2=8

由加法法则得

⎩⎨⎧==≥+=--8,3)3(222121a a n a a a n n n

特征方程 x 2-2x-2=0

特征根为x 1=1+3,x 2=1-3

通解为 a n =c 1(1+

3)n +c 2(1-3)n 由初始条件有 ⎩⎨⎧=-++=-++8

)31()31(3)31()31(222121c c c c 所以，a n =1/6[(3+23)(1+3)n +(3-23)(1-3)n ]

3．有一个楼梯共有n 阶，一个人要从这个楼梯上去，他每一步跨上一阶或两阶。问此人有多少种方式走过该楼梯？

解：设有a n 种方式走过这个楼梯，则共有两种方式走过这个楼梯：

1)第一步跨一阶，剩其余n-1阶，于是走过这n-1阶的方式数为a n -1;

2)第一步跨二阶，剩其余n-2阶，于是走过这n-2阶的方式数为a n -2, 显然有a 1=1，a 2=2.

由加法规则,得递推关系如下：

⎩⎨⎧==+=--2,121

21a a a a a n n n 这与F n ＋1相同，故有

52)51()51(11

1+++--+=n n n n a

4．某人有n 元钱，她每天要去菜市场买一次菜，每次买菜的品种很单调，或者买一元钱的蔬菜，或者买两元钱的猪肉，或者买两元钱的鱼。问，她有多少种不同的方式花完这n 元钱。

解：设花完这n 元钱的方式有a n 种，则有下面几种方式：

1)若第一次买一元钱的菜，则花完剩下的n-1元钱就有a n -1种方式，

2)若第一次买二元钱的肉，则花完剩下的n-2元钱就有a n -2种方式，

3)若第一次买二元钱的鱼，则花完剩下的n-2元钱就有a n -2种方式， 显然有a 1=1，a 2=3.

由加法规则,得递推关系如下：

⎩⎨⎧==+=--3,1221

21a a a a a n n n 其特征方程为：.022

=--x x

特征根 2,121=-=x x .

通解 n n n c c a 2)1(21+-=. 由初始条件得⎩⎨

⎧=⨯+-⨯=⨯+-⨯32)1(12)1(222121c c c c 解出3

2,3121==c c . 原递推关系解322)1(31⨯+-=

n n n a 5．求解下列递归关系：

a.⎩⎨⎧=≥=-3)1(301

a n a a n n

解：13+=n n a

b.⎩⎨⎧==≥=-1,0)2(410

2a a n a a n n 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-为奇数

为偶数，

n n a n n ,4021

c.⎩⎨⎧==≥-=--4

,1)2(441021a a n a a a n n n 解：

特征方程为0442

=+-x x

特征根221==x x

通解n n n c c a 2)(21+=

由初始条件⎩

⎨⎧=⨯+=⨯⨯+42)(11)0(12121c c c c 解出1,121==c c

故 n n n a 2)1(+=

d.⎩⎨⎧-===≥-+-=---1

,1,0)3(2016210321a a a n a a a a n n n n 解：

特征方程为：0201623=+-+q q q

特征根5,2321-===q q q

通解n n n c n c c a )5(2)(321-++=

将初始条件代入得⎪⎩⎪⎨⎧-=+⨯+=-⨯+=+1254)2(152)(0321

32131c c c c c c c c

解出49

5,497,495321-===

c c c 通解n n n n a )5(4952)497495(-⨯-⨯+= e.⎩⎨⎧==≥-=++7

,2)0(1271012a a n a a a n

n n 解： 特征方程为：01272=+-q q

特征根4,321==q q

通解n n n c c a 4321+=

由初始条件得⎩⎨⎧=+=+743221

21c c c c