可压缩湍流边界层的基本方程-中国力学学会
流体力学中的流体中的湍流边界层
流体力学中的流体中的湍流边界层流体力学是研究流体的运动规律和性质的学科，湍流边界层则是流体力学中一个重要概念。
本文将对流体力学中的湍流边界层进行详细的介绍和论述。
一、湍流边界层的定义湍流边界层是指在流体中，当流动达到一定速度时，边界层内会出现湍流现象。
边界层是指流体靠近固体边界时速度逐渐减小，同时摩擦力逐渐增大的区域。
湍流边界层的形成使得流体流动变得非常复杂，是流体力学中的一个重要研究对象。
二、湍流边界层的特征1. 非线性：湍流边界层的速度和摩擦力分布呈现出非线性分布，即速度和摩擦力随着距离的增加而发生剧烈变化。
2. 随机性：湍流边界层的湍流运动是随机的，速度和摩擦力的变化具有不可预见性。
3. 涡旋结构：湍流边界层中存在大量的涡旋结构，这些涡旋会不停地生成、移动和消失，对流体的运动产生明显的影响。
三、湍流边界层的数学模型为了研究湍流边界层的运动规律，研究者提出了一系列的数学模型。
其中最著名的是雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程。
RANS方程是一组描述湍流边界层中平均速度和摩擦力变化的偏微分方程，通过求解这组方程可以得到湍流边界层的平均流动特性。
四、湍流边界层的应用湍流边界层在工程领域有着广泛的应用。
在飞机设计中，研究湍流边界层可以帮助减小气动阻力，提高飞行效率。
在水利工程中，研究湍流边界层可以帮助提高水泵效率和减少流体阻力。
在能源领域，湍流边界层的研究可以改善风力发电机的叶片设计，提高电能转化效率。
五、湍流边界层的挑战和前景湍流边界层的研究仍然面临着一些挑战。
湍流边界层的数学模型仍然不够精确，目前还没有能够完全描述湍流边界层的理论。
此外，湍流边界层的计算复杂度较高，需要大量的计算资源支持。
然而，随着计算机技术的不断进步，湍流边界层的研究将会取得更大的突破，为各个领域的工程应用提供更多的可能性。
六、结论湍流边界层是流体力学中的一个重要概念，具有非线性、随机性和涡旋结构等特征。
通过数学模型的建立和求解，可以揭示湍流边界层的运动规律。
8第四章可压缩流体一维
1 k 1
dV 2 dM V 2 k 1M 2 M
dM 2 k 1M 2 dS M 2 1 M 2 S
d M 2 dS 1 M 2 S
ii)
几个结论
1、要使亚音速气体速度增大，管道必须先收缩。 2、收缩管道的最大出口马赫数是1。 3、如要获得超音速气体，管道必须先收缩后扩张。 4、获得超音速气体的管道，在喉部处的气体马赫数一定等于1。
以上结论， 课后可以加 以自行证明。
dp kM 2 dS p 1 M 2 S
dQ qdx
流入单位 质量流体 时，微元 段所吸收 的热量
V d U 2
2
V U d 2
2
V2 dQ di 2
4.1 基本方程
i
基本方程
dV d dS 0 V S
dV dp 2 f dx 2 V V Dh
dp 2kM dM p 2 k 1M 2 M
p2 k 2 k 1M ln p1 k 1 2 k 1M
2 2 2 1
2
k dp k 1 d k 1M 2 p 2 k 1M 2
p2 2 k 1M p1 2 k 1M
dV d dS 0 V S
VSdV Sdp W dx
W dV dp dx 2 2 V V V S
4.1 基本方程
i
基本方程
dV d dS 0 V S
Dh
4S
dV dp W 2 dx V V 2 V S
dV d dS 0 V S
dT dV k 1 k 1M 2 2 dQ T V a
流体力学第十章边界层理论
水均是实际流体，在流场中，除了与物体接触的极小部分外，大部分可以
看成是非粘性流动。但是当流场中的物体或流道的尺寸很小、流速又很低
时，则不能忽略空气和水的粘性力。
不管流体的粘度大小、流场中速度的高低，靠近物体表面处，由于
流速减缓，速度梯度很大，因而不能忽视粘性力的作用。流体沿静止物
体流动时，紧靠物体表面处流体的流速大致与物体表面平行。直接接触
界层的形成和发展。下面举几个典型的例子来说明这一问题。
（一）收缩管中的流动
A
BC
图103所示为一收缩管中的流动。
D
EF
流体在进入收缩流道CD前的AB段
内，边界层已有相当发展，具有一
定厚度 C，进入收缩管道CD段后， 流体加速而压力逐渐降低，由于主
图10.3 收缩管 中C 的流动 D
流速度逐渐增高，对边界层流体的能量供应加强，而使边界层速
实际流体具有粘性，其流动参量受粘性的影响。对于气体，其粘性主要 是由于不同速度的相邻流体层间发生动量交换的结果。对于液体，粘性 主要是由于流体分子间的内聚力和附着力引起的。因此，如果相邻流体 微元间存在速度梯度，从而受分子附着力和内聚力或层间动量交换的作 用，就会产生剪切力。剪切力的大小与速度梯度有关，其比例系数即为 流体的粘性系数或粘度。单位面积上的剪切力叫做剪切应力或称粘性力。 速度梯度大时，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场，可用纳维—斯托
图10.1 流体粘性对速度分布的影响
性力。 同样，B上面的一层流体，也将被牵引而以更低的速度运动。
最后出现上图所示的速度分布。可见，越靠近物体表面，速度梯度越
大，粘性力也越大；远离物体表面，则速度梯度小，粘性力也小。
Байду номын сангаас
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8—1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场,摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大,粘性力也大,此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替,从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力〉〉粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现.a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度,这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外,0=∂∂yu,粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动.c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向（即yu∂∂)速度梯度很大,所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体,粘性力也很小,故可忽略不计，所以可认为，边图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层界层外的流动是无旋的势流.边界层的基本特征有: (1)1<<Lδ⇒薄层性质,其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2） 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
十章边界层理论
ui(0) p( 0) , x j xi
ui(0) 0 xi
(0) u j
一阶方程：
(1) ui(1) p (1) 2ui( 0) (1) ui u j x j x j xi x j x j
ui(1) 0 xi
u
,v x y
b . 以无粘流解物面的流动参数为边界层方程的外边界条件，求 解边界层方程。即将无粘流边界的压力按伯努利方程算出，它 等于边界层内的压力。
1 dp due ( x,0) p0 ue p ( x,0) ue 2 x x
取ε=1/Re 为小参量对流动变量作常规的摄动展开。 令：
u i u i( 0 ) u i(1) 2 u i( 2 ) p p ( 0 ) p (1 ) 2 p ( 2 )
代入无量纲方程，再按ε0,ε1 阶展开，忽略高阶小量则有 零阶方程： u j
( 0 )
第十章 边界层理论基础
基本内容 1.边界层动力学方程； 2.不可压流体层流边界层的相似求解； 3.卡门动量积分关系式 4.边界层内的流动与分离原理； 5.绕平板定常湍流边界层求解
10.1 牛顿流体大雷诺数的定常绕流
10.1.1 高雷诺数流动常规摄动的奇异性 若忽略质量力，常物性的不可压定常流动的 N-S 方程可写成 ：
u v 0 x y u u u u p 1 2u 2u v ( ) x y x Re x 2 y 2 v v p 1 2 v 2 v v ( ) x y y Re x 2 y 2
2~ ~ ~ ~ ~ u v ~ u p u u ~ ~ ~ x y x ~ y2 ~ p 0 ~ y
流体力学中的边界层理论
流体力学中的边界层理论流体力学是研究流体运动和相互作用的学科。
在流体力学中，边界层理论是一个重要的概念，它描述了流体靠近固体壁面时的流动特性。
本文将介绍流体力学中的边界层理论，从基本原理到应用实例，全面探讨这一理论的重要性和实际价值。
一、边界层现象的定义和意义在流体力学中，边界层是指流体流动中靠近固体表面的一层，其流动特性与远离边界的无限远处的流体不同。
边界层现象的产生和发展对于很多实际问题都具有重要意义。
例如，当空气流过汽车的外表面时，边界层的存在会对气流的分离和阻力产生影响。
准确理解和掌握边界层理论，对于优化设计和改善物体运动性能具有重要作用。
二、边界层理论的基本原理1. 平衡条件边界层理论的基本假设是边界层内的流动是定常流动和局部平衡的。
在这一假设下，可以利用物理量的守恒方程和牛顿运动定律来进行分析和计算。
2. 边界层方程边界层方程是描述边界层内流体运动的关键方程组。
它包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程考虑了流体内部各个物理量的平衡和变化，并通过求解边界层方程组可以得到流体在边界层内的运动状态。
3. 粘性效应粘性是边界层理论考虑的一个重要因素。
由于流体的粘性特性，边界层会出现剪切应力和速度剖面变化。
这些粘性效应对于固体表面的摩擦力和阻力产生重要影响，因此必须在边界层理论中加以考虑。
三、边界层理论的应用实例1. 空气动力学在航空航天工程中，边界层理论被广泛应用于翼型设计和气动力分析。
通过准确计算边界层内的流动特性，可以优化飞行器的升力和阻力性能，提高飞行效率。
2. 水力学在水力学领域，边界层理论被用于河流和水泥工程的设计和分析。
通过控制边界层内的水流运动，可以减小底摩擦阻力，提高水流的输送能力。
3. 汽车工程在汽车设计中，边界层理论被用于研究车体表面的空气流动。
通过优化车体形状和减小边界层厚度，可以降低空气阻力，提高汽车的燃油经济性。
四、结语流体力学中的边界层理论是研究流体流动与固体界面相互作用的重要理论框架。
6-边界层方程
§9. 边界层方程考虑不可压粘性流体的平板边界层流动。
在这一类定常的边界层流动中，流向坐标 x 的作用类似于非定常流动中的时间坐标 t ，因此可以沿着 x 方向推进。
这种方法称为空间推进方法。
空间推进方法将从 0j = 线上的来流开始，沿 x 方向，向下游推进，逐步计算出 1j = 线、2j = 线、… 等各条线上的流动参数。
平板边界层流动的控制方程220e euvx ydu u u uu v u x y dx yìï抖ï+=ïï抖ïïíïï抖 ï+=+ïï抖¶ïî这里 ()e e u u x = 是边界层外缘处的速度分布。
通过求解边界层外的无粘流动，可事先求得 e u 。
因此在边界层流动的求解中，ee du u dx这一项是已知的。
边界层流动控制方程的初始条件是在平板前缘（0j = 线），给定来流速度 u V ¥= ，0v = 而边界条件是沿壁面（0k = 线），速度 0u = ，0v =取特征速度 V ¥ 和特征长度 1L = ，将方程无量纲化，平板边界层流动的控制方程成为2201Re e e u v x y du u u u u v u x y dx y ìï抖ï+=ïï抖ïïíïï抖 ï+=+ïï抖¶ïî方程中u u V ¥=、 v v V ¥= 、 e e u u V ¥= ， x x L = 、 y y L =而Re V L¥=是（来流）雷诺数。
下面为了简洁起见，省略所有无量纲量上方的横杠。
按照空间推进的观点，流向坐标 x 是类时间坐标。
流体力学第六章边界层理论(附面层理论)
通过减小边界层的阻力，降低流体机械的能耗，提高运行效率。
流动分离控制
控制边界层的流动分离，防止流体机械中的流动失稳和振动，提 高设备稳定性。
流体动力学中的边界层效应
流动特性的影响
边界层内的流动特性对整体流动行为产生重要影响，如湍流、分离 流等。
流动阻力
边界层内的流动阻力决定了流体动力学的性能，如流体阻力、升力 等。
在推导过程中，需要考虑流体与固体表面之间的相互作用力，如粘性力和压力梯 度等，以及流体内部的动量传递和能量传递过程。
边界层方程的求解方法
边界层方程是一个复杂的偏微分方程，求解难度较大。常用的求解方法包括分离变量法、积分变换法、有限差分法和有限元 法等。
分离变量法是将多维问题简化为多个一维问题，通过求解一维问题得到原问题的解。积分变换法是通过积分变换将偏微分方 程转化为常微分方程，从而简化求解过程。有限差分法和有限元法则是将偏微分方程离散化，通过求解离散化的方程组得到 原问题的近似解。
边界层内的流动可以从层流转变为湍流，或从湍 流转为层流。
边界层内的流动状态
层流边界层
流速在物体表面附近呈现平滑变化的流动状态。
湍流边界层
流速在物体表面附近呈现不规则变化的流动状态。
混合流动状态
边界层内的流动状态可以是层流和湍流的混合状态。
03
边界层方程与求解方法
边界层方程的推导
边界层方程是流体力学中的重要方程，用于描述流体在固体表面附近的流动行为 。其推导基于Navier-Stokes方程，通过引入边界层假设，即认为在靠近固体表 面的薄层内，流体的速度梯度变化剧烈，而远离固体表面的流体则可以视为均匀 流动。
展望
随着科技的不断进步和研究的深入，边界层理论在未来 有望取得以下突破。首先，随着计算能力的提升，更加 精确和可靠的数值模拟方法将得到发展，这有助于更好 地理解和预测复杂流动现象。其次，随着实验技术的进 步，将能够获得更高精度的实验数据，为理论模型的发 展提供有力支持。最后，随着多学科交叉研究的深入， 将能够从不同角度全面揭示流体流动的内在机制，推动 流体力学理论的进一步发展。
流体力学-第六讲,边界层理论
ux y
1
p x
(
2ux x2
2ux y 2
)
可得
u x0u
u
u
0 x
Lx0
u0yu
uu
0 x
Ly 0
1
u 2p 0
Lx0
(
u
2u
0 x
L2 x 0 2
u
2u
0 x
L2 y 0 2
)
ux
ux x
uy
ux y
1
p x
(
2u x x 2
2u x y 2
)
ux
u y x
uy
u y y
1
析计算，为此，由三种较严格的规定附面层厚度的方法。
1、 边界层的排挤厚度（流量损失厚度）1 2、 边界层动量损失厚度2 3、 边界层动损失厚度2
A、边界层的排挤厚度（流量损失厚度）
在边界中，由于存在粘性必将引起速度的下降，于是在边界层 中通过的流量必将减小，因而势必有一部分流量被排挤到主流区 (即理想流区)中去，如图所示。
边界条件为
y 0；ux 0，u y 0
y ；ux u
B: 边界层也有由层流转入紊流的现象
（1）平板前缘的一段范围内边界层的流动是层流状态， 故称为层流边界层。层流边界层的速度剖面如图所示。
在层流流动达到某种状况时，流动开始不稳定，边界或来 流的扰动可能使流动由层流状态向湍流状态过渡。我们称这 个过渡的位置为转捩点。我们称这个过渡区域为转捩区。
（2）在转捩区之后流体流动已发展为完全的湍流状态，我们 称这个区域为湍流边界层，在湍流边界层中。
u x x
粘性力与惯性力成正比
d2ux dy2
边界层理论
5.1、边界层近似及其特征
普朗特生平简介 普朗特（ Ludwig Prandtl ，1875～
1953） 德国物理学家，流体力学大师， 近代力学奠基人之一。1875年出生于德国 弗赖辛， 1953年在哥廷根病故。
普朗特在流体力学方面的主要贡献有：
（1）边界层理论 （2）风洞实验技术 （3）机翼理论 （4）湍流理论 （5）此外还有亚声速相似律（普朗特-葛涝渥法则）和可压 缩绕角膨胀流动（普朗特-迈耶尔流动）。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 对整个流场提出的基本分区是：
（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域 （势流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。
（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略 粘性的影响，按势流理论处理。
（3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内， 称为边界层。既然是粘流区，粘性力的作用不能忽 略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源 强度为：
z
v x
u y
u y
o
可以证明在有势力的作用下，二维不可压缩粘
性流体的运动流动的涡量 满足下面方程：
z
在极值点
z
x
z
y
0
z
t
z
2
x2
z
2z
y 2
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
在z
的极小值点， 2 z
x 2
2z
y 2
0
，因而
z
t
0
。
在
z
的极大值点， 2
x 2
z2y 2z0 ，因而z
流体力学中的湍流边界层
流体力学中的湍流边界层湍流边界层是流体力学中一个重要的概念，它在流体流动中起着至关重要的作用。
湍流边界层是指流体在固体边界附近出现湍动现象的一层区域。
在此，将介绍湍流边界层的基本概念、特点以及其在流体力学中的应用。
一、湍流边界层的基本概念湍流边界层是指流体在与固体表面接触的区域内，由于流体的湍动而形成的一层动量和能量传输较强的流动层。
湍流边界层的出现与流体黏性有关，主要包括两个区域：靠近固体表面的黏性子层和较远离固体表面的湍动子层。
1. 黏性子层黏性子层位于流体与固体表面直接接触的区域，特点是流速变化缓慢、剪切应力主导、湍动强度较弱。
黏性子层的厚度与黏性流体性质相关，黏性较小的流体黏性子层厚度较大。
2. 湍动子层湍动子层位于黏性子层之上，主要特点是流速变化剧烈、湍动强度较大。
湍动子层中的湍流涡旋互相交错、不断破裂与重组，形成了湍流边界层内的流动。
二、湍流边界层的特点湍流边界层在流体力学中有以下几个显著的特点：1. 局部流速变化剧烈湍流边界层中的流速变化剧烈，流速的横向分布呈现出复杂的涡旋结构。
这种流速变化的不规则性使得湍流边界层内的流动难以预测和描述。
2. 高湍动强度湍流边界层内湍动强度较大，湍流涡旋的大小和速度均较黏性子层中的流动要大得多。
湍动的存在导致湍流边界层内的流体混合和动量传输增强。
3. 二次流现象与涡旋结构湍流边界层中的流动往往伴随着二次流现象和复杂的涡旋结构。
二次流现象是指流体在边界层中沿壁面方向发生的流动，而涡旋结构则表现为湍流涡旋的大小、密度和分布等特性。
三、湍流边界层在流体力学中的应用湍流边界层在许多工程和科学应用中起着重要作用，下面介绍其中几个常见的应用。
1. 阻力与摩擦系数计算湍流边界层的存在会导致流体流动阻力的增加，因此在设计和计算中需要考虑湍流边界层对阻力的影响。
摩擦系数是评估湍流边界层影响的一个重要参数，它描述了湍流边界层相对黏性子层的流动速度与剪切应力之间的关系。
流体力学chap7边界层理论基础
p h p h U L L
17
例4 估计层流边界层厚度和y方向速度 表1中的特征量 p0=U2（Eu=1)
略去质量力：X=Y=0，Fr=0
无量纲运动方程组变为：
U u ux C： x y 0 L U ux p 1 2ux 1 2ux ux u ux ( 2 2 2 ) M x： y x L y x ReL x L y
U
y 0.99U
1)名义厚度 (x)的定义：
( x) y u
x 0.99U
ux
x
2)边界层厚度估计
（1）数量级（阶）估计 数量级的概念：量大小的级别
数量级分析（估计）： 是一种粗略定量估计，试图明确物理量的变化范围。 这里介绍美籍华人陈景仁（曾为衣阿华大学机械 工程系主任）教授采用的估计方法
但理想流体的Euler方程组不能正确描述粘性流体的流动
ux u y 0 x y
(D’Alembert 佯谬)
注意到Euler方程组只包含1阶导数，而N-S方程组包含 2阶导数。 9
直到1904年，由L.Prandtl创立的边界层理论 合理地解决了这一问题， 对于粘性很小的流体(如空气、水），粘性 对流动的影响仅限于贴近固体表面的一个薄层 内，这一薄层以外，可以完全忽略粘性；这一 薄层称为边界层。 边界层：在固体壁面附近，显著地受到粘性影响 一薄层
U ux ux u ux y x L y
(b’)
(c’)
7
Fr 2
U gL
2
ReL
UL
p0 Eu U 2
特征长度L 特征量 特征速度U 特征压强p0
大多数实际流动Re很大
流体力学第十章边界层理论
梯度较大，一定距离后尾迹逐渐扩散，速度梯度减小，最终消失在主流
区中。 （三）渐扩管中的流动
图10.5所示为渐扩管中的流动。由于 流道截面逐渐增大，主流区中压力不断增
尾迹区
高，流体便需要消耗动能来补充压力能，
但是在边界层中由于粘性摩擦力的影响而 损失的动能较主流区大，因此其动能不足
图10.4 绕过流线型机翼的流动
动是层流，称为层流边界层，受粘性力的控制。
当流体沿平板继续流动，边界层逐渐增厚，
扰动便会发展起来，边界层中的流动变成紊 W 层流区 过渡区
紊流区
流，此时边界层厚度 增加很快，称为紊流
w
w
边界层。边界层由层流向紊流转变时，不是
突然发生的，中间有一过渡区，称作变流区。
δ
在与板面直接接触的地方，还有一层极薄的 δ
层流底层（对光滑板尤其明显）。边界层由
层流向紊流的转变，取决于雷诺数Re 的大小。
x W
层流底层
对绕流流场， Re与主流流速 W 、流体运动粘 度 和自板端向后流过的距离 x 有关，即
图10.7 流体绕过流线型锐端平板
Re Wx Wx
（10.1）
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第十章 边界层理论
第一节 边界层特性
在绕流流场中，边界层的流动同样也有由层流转入紊流的现象。如 图10.7所示为处在均速主流流场中的流线型锐端平板。刚接触板端时，流 速 W 是均匀的。进入平板后，由于粘性作用，在壁面处便出现一层极薄的 边界层。
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第十章 边界层理论
第一节 边界层特性
因为边界层厚度 极小，扰动在其中不易发展，所以此时边界层中的流
第十章 边界层理论
第一节 边界层特性
高等工程流体力学
内容提纲边界层及其方程层流边界层流动转捩湍流边界层结构流动分离、二次流动与旋涡能源动力领域流动问题的主要特征全三维非定常粘性☐高雷诺数，边界层☐边界层：层流、转捩、湍流（紊流），分离流动，旋涡运动叶轮机械（透平和压气机等）大多由单个或多个级组成。
每个级含有一排静子叶片列和一排转子叶片列。
在级内的气流场中，一般至少有以下几种流动现象发生：1、前缘马蹄涡；2、通道涡；3、顶部间隙涡；4、边界层转捩；5、叶片尾迹；6、旋涡、尾迹等与叶片列周期性非定常相互作用。
☐激波、激波与边界层相互作用边界层流动边界层边界层概念：粘性很小的流体以大雷诺数运动时，在大部分流场上可以略去粘性的作用；但在物面附近的很薄的一层流体内必须考虑粘性作用。
这一薄层流体称为边界层。
平板边界层示意图 有边界的流动图谱如右上图所示：流动分为三个区：边界层，尾迹区，位流区（外部势流区）二维平板的边界层微分方程设直匀流 以零迎角平行流过一块长度为 的平板,如左下图所示，人为规定，当某个y 处的速度达到层外自由流的99％时，这一点到物体表面的距离（即y ）称为边界层在改点的厚度，记为 。
显然，边界层的厚度是与X 有关的，所以可以写成 。
υ∞l δδ（x ）平板边界层边界层的厚度 很小，满足此关系式：在忽略质量力的前提下，粘性平面不可压流的运动方程加上连续方程是:用边界层条件式 上式，y 的数值限制在边界层之内，即经过数量级分析，上面方程组化为：的物理意义：在边界层内，沿物体表面的发法线方向压强是不变的，亦即等于边界层处自由流的压强。
卡门动量积分关系解采用动量积分法得出控制面ABCD 的动量变化：其中： 为边界层边界上的流速。
作用在AB,BC,CD,AD 四个面上的力在x 方向上投影的合力的冲量是：根据动量定理得：δ（x ）l δ（x ）<<222222221()1()0u u u p u u u t x y x x y p u t x y y x y u x y υνρυυυυυυνρυ⎫∂∂∂∂∂∂++=-++⎪∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂∂⎪++=-++⎬∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂+=⎪∂∂⎪⎭l δ（x ）<<0y δ≤≤22100u u u p u u t x y x y p y u x y υνρυ⎫∂∂∂∂∂++=-+⎪∂∂∂∂∂⎪⎪∂=⎬∂⎪⎪∂∂+=⎪∂∂⎭0p y ∂=∂200()d d dt dx dy dy dx dxδδδρυυρυ⋅⋅-⋅⋅⎰⎰δυ()w dp dt dx dxδτ-⋅+⋅200()w d d dpdy dy dx dx dx δδδρυυρυδτ⋅-⋅⋅=-⋅+⎰⎰即定常流动的边界层动量积分关系式，也叫卡门－波尔豪森（Karman-Pohlhausen ）动量积分关系式。
[工学]流体力学 边界层基础及绕流运动
![[工学]流体力学 边界层基础及绕流运动](https://img.taocdn.com/s3/m/60ab5290fd0a79563c1e7291.png)
y
K AB 2 2 dx u x dy ( u x dy )dx CD面：K CD K AB 0 x x 0 ( u x dy )dx AC面： q AC qCD q AB x 0 u0 K AC q AC u0 u0 ( u x dy )dx x 0
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
一、边界层的提出
边界层的主要内容
（1）固壁附近边界层内的流动，粘性力和惯性力同量级，
必须考虑粘性的影响，为有旋运动；
（2）边界层以外的流动区域,该区域内流体速度变化很小， 可近似看成是理想流体.
无粘性流场 粘性剪切流
中国海洋大学海洋工程系
王树青
流体力学
一、边界层的提出
0
u x dy
K AB u dy
0 2 x
A
ds C
d
D
2 K ( u x dy )dx u0 ( u x dy )dx 0 0 x x x
O x
B
dx
王树青 流体力学
中国海洋大学海洋工程系
外力分析：
p 压强沿y向均匀分布： y 0
x L y 0 y L ux 0 ux U0 uy 0 uy U0 x0
0 0 0 u x p 0 1 2u x 0 u x u uy 0 0 0 x y x Re y 0 2 0 0 u y u x 0 x 0 y 0 0 x
p 0 y
中国海洋大学海洋工程系 王树青 流体力学
紊流边界层方程
u x u x u x 1 p 1 ux uy ( u x u y ) x y x y u x u y 0 x y
可压缩湍流边界层的统计剖面预测
（一）流体力学会场可压缩湍流边界层的统计剖面预测Predicting the statistical profiles of compressible turbulent boundarylayers张又升1,毕卫涛1,Fazle Hussain2,李新亮3,佘振苏1,*1北京大学湍流与复杂系统国家重点实验室，工学院力学与空天技术系，100871 2美国德克萨斯州休斯顿大学机械工程系，77204-4006，休士顿3中国科学院力学所高温气体动力学国家重点实验室，100190，北京本文从湍动能方程出发，针对可压缩平板湍流边界层推导出了一系列马赫数不变量，并被直到马赫数为6的直接数值模拟数据验证。
这些不变性给出了一个与马赫数无关的全平均速度剖面变换，该变换成功地将可压缩速度剖面变换到对应的不可压缩速度剖面上去。
本文发现可压缩平板湍流边界层具有马赫数无关的多层结构，并据此定义了新的外边界和雷诺数，这提供了不同马赫数边界层之间进行比较的基准。
研究表明，在同一个新定义的雷诺数下，可压缩平板湍流边界层统计量能在最大程度上具有马赫数不变性。
这些不变性对Morkovin假设提供了有力支撑。
最后，利用导出的马赫数不变量，以及可压缩平板湍流边界层的速度-温度关系和不可压缩平板湍流边界层的统计剖面，本文实现了可压缩平板湍流边界层统计剖面的定量预测，预测结果与直接数值模拟数据一致。
关键词：可压缩湍流；可压缩边界层；马赫数效应Firstly, a series of Mach number (M) invariant scalings are derived for compressible turbulent boundary layers (CTBLs), leading to a viscosity weighted transformation for the mean velocity profile that is superior to Van Driest transformation. The new scalings are derived from kinetic energy balance and they s ubstantiate Morkovin’s hypothesis. Secondly, a boundary layer edge (thus Re) is introduced to compare different M flows and is shown to better present the M-invariant multilayer structure of CTBLs. Thirdly, these findings, combined with a velocity-temperature relation and corresponding profiles of incompressible flows, result in an accurate prediction of the mean and fluctuating profiles of CTBLs. The above theory is validated by direct numerical simulation of spatially-developing CTBLs with M up to 6.Keywords：Compressible turbulence; Compressible boundary layers; Mach-number effect*E-mail:***********.cn。
第二章可压缩平板湍流边界层结构系综研究思路
北京大学博士学位论文第二章可压缩平板湍流边界层结构系综研究思路在绪论部分，我们提出湍流研究的突破需要创新思想，并引出了“结构系综动力学”这一有望解决真实湍流问题的理论。
本章我们将首先对这一理论的思想和概念、研究方法和步骤，以及其在IWTF研究中取得的成果作概要介绍。
然后探讨从IWTF到CWTF需要解决的新问题，并简单介绍和讨论SED理论在可压缩槽道流研究中的实践，接着正式引入CTBL的概念并对其研究历史作全面综述。
在综述的基础上，指出CTBL具有马赫数、壁面温度、雷诺数三个维度。
在对这三个维度中的热点和难题进行讨论后，本章将提出“孤维研究、逐维突破”的CWTF总体研究思路，进而具体给出CTBL结构系综研究思路。
2.1结构系综理论的提出2.1.1结构系综理论的思想和概念SED是一个定量刻画远离平衡态的湍流系统统计运动规律的理论，其通过在不封闭的系综平均N-S方程外引进新的物理原理来封闭湍流，给出湍流宏观运动的统计平均解，包含一套完整的概念、研究思想和方法[24–26]。
SED理论的雏形形成于2009年[27]，在2012年取得关键性进步[12]，正逐步发展为比较成熟的理论。
下面我们根据佘振苏教授在各个场合的阐述和陈曦的博士论文[12]，对该理论的一些思想、概念、方法等进行简要概述。
在对湍流进行长期思考后，佘振苏教授认识到：真实湍流系统既是一个同时包含物理空间动量能量输运和尺度空间能量级串的远离平衡态系统，又是一个包含两类复杂性的复杂系统1。
因此，对湍流这样一个机械物理系统中复杂度最大、内容最丰富、结构最多样的系统建立理论，必须在非平衡态系统和复杂系统两个点上同时突破。
然而，自上个世纪以来，湍流研究一直由传统自然科学研究所采用的还原论主导。
人们从单一维度、单一层次来认识湍流，寄希望于发现湍流的一个基本结构。
显然，对于湍流这样一个非平衡态系统，如果仅存在一个基本结构，那么统计系综层面上一定是近平衡态系统(包含较强的均匀性)。
可压缩湍流边界层的基本方程-中国力学学会
第八届全国流体力学学术会议2014年9月18～21日甘肃兰州文章编号：CSTAM2014-B01-0037标题：可压缩湍流边界层平均场的多层结构对称性作者：吴斌*，毕卫涛*，张又升+，佘振苏*单位：*北京大学工学院力学与工程科学系，湍流与复杂系统国家重点实验室，北京 100871+北京应用物理和计算数学研究所，北京 100094Copyright © 2014 版权所有中国力学学会地址: 北京市北四环西路15号邮政编码:100190 Address: No.15 Beisihuanxi Road, Beijing 100190第八届全国流体力学学术会议 2014年9月18-21日 甘肃 兰州CSTAM2014-S010371）基金资助项目：国家自然科学基金（11372008, 11221062） 可压缩湍流边界层平均场的多层结构对称性1）吴斌*，毕卫涛*，2），张又升+，佘振苏**（北京大学工学院力学与工程科学系，湍流与复杂系统国家重点实验室，北京 100871）+（北京应用物理和计算数学研究所，北京 100094）摘要 应用佘振苏等近期创建的壁湍流结构系综理论（Structural Ensemble Dynamics 或SED ）研究了零压力梯度超音速平板湍流边界层平均场的多层结构特性。
通过分析不同马赫数、雷诺数和壁面温度的可压缩湍流边界层（CTBL ）的直接数值模拟数据，证明了在CTBL 中，速度和温度混合长存在SED 理论所预言的多层结构对称性。
基于该多层结构对称性给出了速度和温度混合长的解析表达式，获得了对CTBL 平均速度和平均温度剖面的误差小于1%的理论预测。
测量了速度和温度混合长的多层结构参数，分析了其随马赫数、雷诺数和壁面温度的变化。
结果表明，多层结构参数能够有效刻画CTBL 的马赫数效应及壁面温度效应，具有显著的物理意义。
关键词 边界层，可压缩湍流，多层结构，对称性，平均场引 言可压缩湍流边界层是航空航天与能源动力工程中广泛存在的基本流动。
边界层理论
2U x f '()
U
2 x
U f
'
v x
2U
x
f
'
y
U 2
0.5x
1.5
f
U x x
U 2x
f
f
'
u x
2 xy
y
x
x
y
U 2x
f
'
f
'
f
''
U U f ''
2 x
2x
u y
2
y2
( ) y y
U
U f ''
2 x
2u y 2
边界层
《高等流体力学》
4/78
§1 层流边界层概念
V=99%U
参数
边界层厚度δ
《高等流体力学》
5/78
§1 层流边界层概念
位移厚度δ1
流道变窄
流量损失
0 (U )dy 0 Udy 0 dy
假设流道
变窄带来 U1 0 (U )dy
流量减少
1
1 dy
0 U
1 dy
1 1.216783
2 x 1.7208 x 1.7208
U
U
x Rex
《高等流体力学》
33/78
§4 半无限大平板层流边界层布拉修斯解
解的应用－边界层动量损失厚度δ2
2
2Ux f '()
U
2 x
U
f
'
v x
2U x f ' y
U 2
0.5x1.5
f
可压缩平板湍流边界层拟序结构的直接数值模拟
可压缩平板湍流边界层拟序结构的直接数值模拟高慧【摘要】文中直接数值模拟了来流马赫数(M肄)为2.25的空间发展的可压缩平板湍流边界层.研究了可压缩平板湍流边界层内的拟序结构的形成过程.指出在粘性底层出现低速条带是触发拟序结构的第一个信息.条带升起，开始发生振动，然后破裂，并伴随着产生强烈的湍流脉动，这便形成了湍流的猝发过程.因此壁湍流拟序结构的重要意义在于它是生成湍流的重要机制.条带的破裂还伴随着上抛和下扫现象，这是壁湍能生成和耗散的关键.%A Direct numerical simulation of a spatially evolving compressible flat-plate turbulent boundary layer with incoming Mach number (M∞) of 2.25 was performed in this paper. The coherent structure forming process is studied. The low-speed strip appearing in the viscous sublayer is the first information to trig coherent structure. Strip rises, begin to vibrate, and rupture, and accompanied by strong turbulence, which will form the turbulent bursting process. Therefore the wall turbulent coherent structure is significant in that it is the important mechanism to generate turbulence. Strip rupture accompanied by up and down sweep phenomenon, it is the key of wall turbulent energy generation and dissipation.【期刊名称】《价值工程》【年(卷),期】2013(000)010【总页数】2页(P3-4)【关键词】可压缩;平板湍流边界层;直接数值模拟;拟序结构【作者】高慧【作者单位】中国石油大学石油工程学院，青岛266555【正文语种】中文【中图分类】O350 引言对湍流拟序结构的研究，使得人们在揭示湍流的物理本质方面寻觅到了一个新的有效的方向，从而得以有能力预测和控制湍流。
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第八届全国流体力学学术会议2014年9月18～21日甘肃兰州文章编号：CSTAM2014-B01-0037标题：可压缩湍流边界层平均场的多层结构对称性作者：吴斌*，毕卫涛*，张又升+，佘振苏*单位：*北京大学工学院力学与工程科学系，湍流与复杂系统国家重点实验室，北京 100871+北京应用物理和计算数学研究所，北京 100094Copyright © 2014 版权所有中国力学学会地址: 北京市北四环西路15号邮政编码:100190 Address: No.15 Beisihuanxi Road, Beijing 100190第八届全国流体力学学术会议 2014年9月18-21日 甘肃 兰州CSTAM2014-S010371）基金资助项目：国家自然科学基金（11372008, 11221062） 可压缩湍流边界层平均场的多层结构对称性1）吴斌*，毕卫涛*，2），张又升+，佘振苏**（北京大学工学院力学与工程科学系，湍流与复杂系统国家重点实验室，北京 100871）+（北京应用物理和计算数学研究所，北京 100094）摘要 应用佘振苏等近期创建的壁湍流结构系综理论（Structural Ensemble Dynamics 或SED ）研究了零压力梯度超音速平板湍流边界层平均场的多层结构特性。
通过分析不同马赫数、雷诺数和壁面温度的可压缩湍流边界层（CTBL ）的直接数值模拟数据，证明了在CTBL 中，速度和温度混合长存在SED 理论所预言的多层结构对称性。
基于该多层结构对称性给出了速度和温度混合长的解析表达式，获得了对CTBL 平均速度和平均温度剖面的误差小于1%的理论预测。
测量了速度和温度混合长的多层结构参数，分析了其随马赫数、雷诺数和壁面温度的变化。
结果表明，多层结构参数能够有效刻画CTBL 的马赫数效应及壁面温度效应，具有显著的物理意义。
关键词 边界层，可压缩湍流，多层结构，对称性，平均场引 言可压缩湍流边界层是航空航天与能源动力工程中广泛存在的基本流动。
构建可压缩湍流边界层的基础理论，对发展湍流工程计算模式、提高气动设计水平具有重要意义。
然而，与不可压缩湍流边界层相比，可压缩湍流边界层有着更多的复杂性，使其基础理论的研究非常困难。
比如对于最简单的所谓规范湍流边界层（零压力梯度光滑平板湍流边界层），可压缩流动在雷诺数效应之上又增加了马赫数和壁面温度等效应，几种效应（或涡、声和熵模式[1]）的复杂非线性相互作用，增加了理论分析的难度。
已有的理论成果主要是在不可压缩湍流边界层的理论中，以“恰当”的方式引入了气体平均物性参数变化的影响，即采用了Morkovin 假设的思想[1，2]。
这些理论存在若干不足，比如通常具有唯像性和经验性的特征，定量上精确度有限、可应用的参数范围不足够明确，也难以对理论进行修正和拓展，等等。
最近，佘振苏等提出了湍流的结构系统理论（Structural Ensemble Dynamics 或SED ），为构建复杂湍流的基础理论提供了新的思路[3，4]。
SED 理论认为湍流具有内在多尺度、多自由度的（第一类）复杂性和外部多状态、多环境的（第二类）复杂性，是力学系统中典型的复杂系统，应采用复杂系统学的认识论和方法论来研究[5，6]。
简言之，SED 理论构建了一元二面的湍流本体论模型和多维多层次的湍流研究方法论[7]。
SED 理论认为，湍流的平均和脉动场构成了湍流的“静”“动”二面；其一元为自组织性，体现为湍流场具有的对称性。
在SED 理论中，对称性被认为是湍流的基本原理，也是湍流不封闭问题中所缺失的定解原理。
这种对称性由一个称为“序函数”的变量来表达。
序函数是平衡态统计物理学中序参量概念在非平衡系统中的推广，是最能反映脉动场对平均场状态影响的宏观变量。
在湍流中，序函数是联系脉动场（湍流未封闭项）与平均场的桥梁，尤其是反映了不同脉动结构系综的标度行为的变化[6]。
因此，识别序函数、确定其对称性成为湍流研究的关键。
在这方面，SED 理论提出了多维多层次的湍流研究方法论，以及湍流的序函数分析方法，为开展一系列具有工程意义的复杂湍流的研究提供了框架和解决方案。
SED 理论在规范壁湍流（不可压缩的圆管、槽道和零压力梯度平板边界层）的研究中取得了很大成功[6]。
佘振苏等发现在规范壁湍流中混合长等变量具备序函数的特征。
通过创新性的应用李群理论，他们构造了三类拉伸群不变解形式，从而获得了混合长的全场多层结构形式的解析解，由此得到了平均速度剖面、表面摩阻系数等的理论预测，与直接数值模拟（DNS）和实验结果高度一致（精度达99%）。
一个标志性的成果是发现了0.45的普适的卡门常数，回答了学界关于幂次律和对数律，以及关于卡门常数取值的争议。
SED理论也针对规范壁湍流之外的其它复杂湍流开展了有成效的研究，包括R-B热对流，以及有粗糙度效应[8]、压力梯度效应和可压缩效应的壁湍流[9，10]等。
同时，SED理论在湍流脉动场的研究、湍流模式理论研究等方面也取得了初步而重要的成果[4]。
鉴于SED理论在不可压缩的零压力梯度平板湍流边界层的研究上取得了极大成功，我们展望其会对可压缩湍流边界层的基础理论研究产生推动。
该推动体现在两个层次上，其一是仍然基于Morkovin假设的框架，但由于不可压缩的湍流边界层有了精确的平均场理论，可压缩湍流边界层的理论有望得到提升。
在这方面，我们已经开展了一些工作，获得了关于马赫数效应和壁面温度效应的更高精度的理论刻画[9，10]。
其二是发展可压缩湍流边界层的SED理论，即辨识决定可压缩湍流边界层的各个物理维度的序函数，确认其多层结构对称性，研究多层结构参数的演化规律，并且探索背后的物理机制和原理。
这个可压缩湍流边界层的SED理论有希望最终从定量上和理论深度方面对经典的Morkovin假设理论形成突破，回答既有理论未能明确的一系列关键科学问题。
本研究即依据这个思路开展了初步的探索，通过对零压力梯度可压缩平板湍流边界层的DNS 数据开展序函数分析，分别研究了速度和温度混合长的多层结构对称性。
1 直接数值模拟简介本研究基于对可压缩平板湍流边界层的DNS数据的分析。
DNS采用了中科院力学所李新亮研究员等研制的CFD软件OpenCFD-SC。
OpenCFD-SC是一个开源的以科学计算为目的的全N-S方程高精度有限差分求解器。
利用OpenCFD-SC，我们先后在上海和天津的超算中心完成了大规模的并行计算。
计算中， N-S方程的时间推进采用了3阶TVD-RK格式；无粘对流项的求解采用了Steger-Warming分裂法和7阶JS-WENO格式；粘性项的计算采用了8阶中心差分格式。
本文计算的是空间发展的可压缩湍流边界层[11]。
来流为层流边界层，经吹吸扰动后边界层发生转捩，逐步发展为充分发展的湍流边界层，之后进入出口缓冲区。
壁面为无滑移等温边界条件，远场为零压力梯度无反射边界条件，出口为无反射边界条件，展向为周期性边界条件。
在流向的充分发展湍流区和法向的近壁区，都对网格进行了加密。
流动控制参数、计算区域和网格参数如表1所示。
表1 DNS算例的基本参数算例Ma Ret T w/T∞T w/T r M2.25 2.25 500-1000 1.90 1.00 M4.5T0 4.5 325-600 4.39 0.95 M4.5T1 4.5 600-860 2.50 0.54 M4.5T2 4.5 1950-2350 1.00 0.22 M6.0 6.0 275-600 6.98 0.93算例Lx×Ly×Lz Nx×Ny×Nzδ+x×δ+yw×δ+zM2.25 12.23×0.5×0.1754000×85×25613.23×0.9×6.15M4.5T0 12.46×0.56×0.194500×120×300 5.25×0.43×2.74M4.5T1 14.33×0.56×0.194500×120×3007.97×0.89×5.64M4.5T2 10.31×0.56×0.0664600×150×30020.54×1.15×7.9M6.0 13.57×0.6×0.205000×150×320 5.63×0.45×2.811）基金资助项目：国家自然科学基金（11372008, 11221062） 2 可压缩湍流边界层的基本方程零压力梯度的可压缩平板湍流边界层的平均流向动量方程和平均能量方程可以写作[1]：h.o.t.~""~~~~+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-∂∂=∂∂+∂∂y u v u y y u v x u u μρρρ(1)(2)h.o.t. )~~~""(~~~~+∂∂+∂∂+-∂∂=∂∂+∂∂y T k y u u v H y y H v x H u μρρρ其中上标-表示雷诺平均；上标~和”分别表示Favre 平均和相应的脉动量：ρρ/~X X =，X X X ~"-=；H 为总焓：22u T C H p +=；其它量的定义遵循惯例。
从壁面(y =0)起沿壁面法向将(1)和(2)积分，有：(3) h.o.t.)~~~~(~""0⎰⎰+∂∂+∂∂-==∂∂+-ydy yu v x u u yuv u ρρτμρ (4) h.o.t.)~~~~(~~~""0⎰⎰+∂∂+∂∂--=-=∂∂+∂∂+-yw dy yH v x H u q qyT k y u u v H ρρμρ 其中τ为总应力,q 为总热流, w w y T k q ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=~为壁面平均热流。
由于"~""u uT C H p +≈，将(3)代入(4)，可将(4)改写为：(5) ~~""q u y T k v T C p -=+∂∂+-τρ(3)和(5)以壁面参数无量纲化后有：(6) ~""+++++=∂∂+-τμρy u v u(7)~)1(~Pr 1""2+++++++-=-+∂∂+-q B u M y T k v T q τγρτ其中，w RT u M γττ/=为摩擦马赫数，)/(w w p w q T u C q B τρ=为壁面传热因子。