可压缩湍流边界层的基本方程-中国力学学会

第八届全国流体力学学术会议

2014年9月18～21日甘肃兰州

文章编号：CSTAM2014-B01-0037

标题：可压缩湍流边界层平均场的多层结构对称性

作者：吴斌*，毕卫涛*，张又升+，佘振苏*

单位：*北京大学工学院力学与工程科学系，湍流与复杂系统国家重点实验室，北京 100871

+北京应用物理和计算数学研究所，北京 100094

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第八届全国流体力学学术会议 2014年9月18-21日 甘肃 兰州

CSTAM2014-S01037

1）基金资助项目：国家自然科学基金（11372008, 11221062） 可压缩湍流边界层平均场的多层结构对称性1）

吴斌*，毕卫涛*，2），张又升+，佘振苏*

*（北京大学工学院力学与工程科学系，湍流与复杂系统国家重点实验室，北京 100871）

+（北京应用物理和计算数学研究所，北京 100094）

摘要 应用佘振苏等近期创建的壁湍流结构系综理论（Structural Ensemble Dynamics 或SED ）研究了零压力梯度超音速平板湍流边界层平均场的多层结构特性。通过分析不同马赫数、雷诺数和壁面温度的可压缩湍流边界层（CTBL ）的直接数值模拟数据，证明了在CTBL 中，速度和温度混合长存在SED 理论所预言的多层结构对称性。基于该多层结构对称性给出了速度和温度混合长的解析表达式，获得了对CTBL 平均速度和平均温度剖面的误差小于1%的理论预测。测量了速度和温度混合长的多层结构参数，分析了其随马赫数、雷诺数和壁面温度的变化。结果表明，多层结构参数能够有效刻画CTBL 的马赫数效应及壁面温度效应，具有显著的物理意义。 关键词 边界层，可压缩湍流，多层结构，对称性，平均场

引 言

可压缩湍流边界层是航空航天与能源动力工程中广泛存在的基本流动。构建可压缩湍流边界层的基础理论，对发展湍流工程计算模式、提高气动设计水平具有重要意义。然而，与不可压缩湍流边界层相比，可压缩湍流边界层有着更多的复杂性，使其基础理论的研究非常困难。比如对于最简单的所谓规范湍流边界层（零压力梯度光滑平板湍流边界层），可压缩流动在雷诺数效应之上又增加了马赫数和壁面温度等效应，几种效应（或涡、声和熵模式[1]）的复杂非线性相互作用，增加了理论分析的难度。已有的理论成果主要是在不可压缩湍流边界层的理论中，以“恰当”的方式引入了气体平均物性参数变化的影响，即采用了Morkovin 假设的思想[1，2]。这些理论存在若干不足，比如通常具有唯像性和经验性的特征，定量上精确度有限、可应用的参数范围不足够明确，也难以对理论进行修正和拓展，等等。

最近，佘振苏等提出了湍流的结构系统理论（Structural Ensemble Dynamics 或SED ），为构建复杂湍流的基础理论提供了新的思路[3，4]。SED 理论认为湍流具有内在多尺度、多自由度的（第一类）复杂性和外部多状态、

多环境的（第二类）复杂性，是力学系统中典型的复杂系统，应采用复杂系统学的认识论和方法论来研究[5，6]。简言之，SED 理论构建了一元二面的湍流本体论模型和多维多层次的湍流研究方法论[7]。SED 理论认为，湍流的平均和脉动场构成了湍流的“静”“动”二面；其一元为自组织性，体现为湍流场具有的对称性。在SED 理论中，对称性被认为是湍流的基本原理，也是湍流不封闭问题中所缺失的定解原理。这种对称性由一个称为“序函数”的变量来表达。序函数是平衡态统计物理学中序参量概念在非平衡系统中的推广，是最能反映脉动场对平均场状态影响的宏观变量。在湍流中，序函数是联系脉动场（湍流未封闭项）与平均场的桥梁，尤其是反映了不同脉动结构系综的标度行为的变化[6]。因此，识别序函数、确定其对称性成为湍流研究的关键。在这方面，SED 理论提出了多维多层次的湍流研究方法论，以及湍流的序函数分析方法，为开展一系列具有工程意义的复杂湍流的研究提供了框架和解决方案。

SED 理论在规范壁湍流（不可压缩的圆管、槽道和零压力梯度平板边界层）的研究中取得了很大成功[6]。佘振苏等发现在规范壁湍流中混合长等变量具备序函数的特征。通过创新性的应用李群理论，他们构造了三类拉伸群

不变解形式，从而获得了混合长的全场多层结构形式的解析解，由此得到了平均速度剖面、表面摩阻系数等的理论预测，与直接数值模拟（DNS）和实验结果高度一致（精度达99%）。一个标志性的成果是发现了0.45的普适的卡门常数，回答了学界关于幂次律和对数律，以及关于卡门常数取值的争议。SED理论也针对规范壁湍流之外的其它复杂湍流开展了有成效的研究，包括R-B热对流，以及有粗糙度效应[8]、压力梯度效应和可压缩效应的壁湍流[9，10]等。同时，SED理论在湍流脉动场的研究、湍流模式理论研究等方面也取得了初步而重要的成果[4]。

鉴于SED理论在不可压缩的零压力梯度平板湍流边界层的研究上取得了极大成功，我们展望其会对可压缩湍流边界层的基础理论研究产生推动。该推动体现在两个层次上，其一是仍然基于Morkovin假设的框架，但由于不可压缩的湍流边界层有了精确的平均场理论，可压缩湍流边界层的理论有望得到提升。在这方面，我们已经开展了一些工作，获得了关于马赫数效应和壁面温度效应的更高精度的理论刻画[9，10]。其二是发展可压缩湍流边界层的SED理论，即辨识决定可压缩湍流边界层的各个物理维度的序函数，确认其多层结构对称性，研究多层结构参数的演化规律，并且探索背后的物理机制和原理。这个可压缩湍流边界层的SED理论有希望最终从定量上和理论深度方面对经典的Morkovin假设理论形成突破，回答既有理论未能明确的一系列关键科学问题。本研究即依据这个思路开展了初步的探索，通过对零压力梯度可压缩平板湍流边界层的DNS 数据开展序函数分析，分别研究了速度和温度混合长的多层结构对称性。

1 直接数值模拟简介

本研究基于对可压缩平板湍流边界层的DNS数据的分析。DNS采用了中科院力学所李新亮研究员等研制的CFD软件OpenCFD-SC。OpenCFD-SC是一个开源的以科学计算为目的的全N-S方程高精度有限差分求解器。利用OpenCFD-SC，我们先后在上海和天津的超算中心完成了大规模的并行计算。

计算中， N-S方程的时间推进采用了3阶TVD-RK格式；无粘对流项的求解采用了Steger-Warming分裂法和7阶JS-WENO格式；粘性项的计算采用了8阶中心差分格式。

本文计算的是空间发展的可压缩湍流边界层[11]。来流为层流边界层，经吹吸扰动后边界层发生转捩，逐步发展为充分发展的湍流边界层，之后进入出口缓冲区。壁面为无滑移等温边界条件，远场为零压力梯度无反射边界条件，出口为无反射边界条件，展向为周期性边界条件。在流向的充分发展湍流区和法向的近壁区，都对网格进行了加密。

流动控制参数、计算区域和网格参数如表1所示。

表1 DNS算例的基本参数

算例Ma Ret T w/T∞T w/T r M2.25 2.25 500-1000 1.90 1.00 M4.5T0 4.5 325-600 4.39 0.95 M4.5T1 4.5 600-860 2.50 0.54 M4.5T2 4.5 1950-2350 1.00 0.22 M6.0 6.0 275-600 6.98 0.93

算例Lx×Ly×Lz Nx×Ny×Nzδ+x×δ+yw×δ+z

M2.25 12.23×0.5×0.1754000×85×25613.23×0.9×6.15

M4.5T0 12.46×0.56×0.194500×120×300 5.25×0.43×2.74

M4.5T1 14.33×0.56×0.194500×120×3007.97×0.89×5.64

M4.5T2 10.31×0.56×0.0664600×150×30020.54×1.15×7.9

M6.0 13.57×0.6×0.205000×150×320 5.63×0.45×2.81