多元统计分析第一章
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多元统计分析知识点多元统计分析课件精品多元统计分析（1）题目:多元统计分析知识点目录第一章绪论 (1)§1.1什么是多元统计分析 ............................ 1 §1.2多元统计分析能解决哪些实际问题 .... 2 §1.3主要内容安排 ........................................ 2 第二章多元正态分布 .. (2)§2.1基本概念 ................................................ 2 §2.2多元正态分布的定义及基本性质 .. (8)1.（多元正态分布）定义 ..................... 92.多元正态变量的基本性质 ............... 10 §2.3多元正态分布的参数估计12(,,,)p X X X X '= (11)1.多元样本的概念及表示法 ............... 122. 多元样本的数值特征 ..................... 123.μ和 ∑的最大似然估计及基本性质.............................................................. 15 4.Wishart 分布 (17)第五章 聚类分析 (18)§5.1什么是聚类分析 .................................. 18 §5.2距离和相似系数 . (19)1．Q —型聚类分析常用的距离和相似系数 (20)2.R型聚类分析常用的距离和相似系数 (25)§5.3八种系统聚类方法 (26)1.最短距离法 (27)2.最长距离法 (30)3.中间距离法 (32)4.重心法 (35)5.类平均法 (37)6.可变类平均法 (38)7.可变法 (38)8.离差平方和法（Word方法） (38)第六章判别分析 (39)§6.1什么是判别分析 (39)§6.2距离判别法 (40)1、两个总体的距离判别法 (40)2.多总体的距离判别法 (45)§6.3费歇（Fisher）判别法 (46)1.不等协方差矩阵两总体Fisher判别法 (46)2.多总体费歇（Fisher）判别法 (51)§6.4贝叶斯（Bayes）判别法 (58)1.基本思想 (58)2.多元正态总体的Bayes判别法 (59)§6.5逐步判别法 (61)1.基本思想 (61)2.引入和剔除变量所用的检验统计量 (62)3.Bartlett近似公式 (63)第一章绪论§1.1什么是多元统计分析在自然科学、社会科学以及经济领域中，常常需要同时观察多个指标。
应用多元统计分析讲稿(朱建平)
精心整理第一章多元分析概述第一节引言多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法。
近30年来，随着计算机应用技术的发展和科研生产的迫切需要，多元统计分析技术被广泛地应用于地质、气象、水文、医学、工业、农业和经济等许多领域，已经成为解、H.Hotelling 、、许宝騄等人作了一系列得奠基性工作，使多元分析在理论上得到了迅速得发展。
20世纪40年代在心理、教育、生物等方面有不少得应用，但由于计算量大，使其发展受到影响，甚至停滞了相当长得时间。
20世纪50年代中期，随着电子计算机得出现和发展，使多元分析方法在地质、气象、医学、社会学等方面得到广泛得应用。
20世纪60年代通过应用和实践又完善和发展了理论，由于新的理论、新的方法不断涌现又促使它的应用范围更加扩大。
20世纪70年代初期在我国才受到各个领域的极大关注，并在多元统计分析的理论研究和应用上也取得了很多显着成绩，有些研究工作已达到国际水平，并已形成一支科技队伍，活跃在各条战线上。
在20世纪末与本世纪初，人们获得的数据正以前所未有的速度急剧增加，产生了很多超大型数据库，遍及超级市场销售、银行存款、天文学、粒子物理、化学、质学、社会学、考古学、环境保护、军事科学、文学等方面都有广泛的应用，这里我们例举一些实际问题，进一步了解多元统计分析的应用领域，让读者从感性上加深对多元统计分析的认识。
1、城镇居民消费水平通常用八项指标来描述，如人均粮食支出、人均副食支出、人均烟酒茶支出、人均衣着商品支出、人均日用品支出、人均燃料支出、人均非商品支出。
这八项指标存在一定的线性关系。
为了研究城镇居民的消费结构，需要将相关强的指标归并到一起，这实际就是对指标进行聚类分析。
2、在企业经济效益的评价中，涉及到的指标往往很多，如百元固定资产原值实现产值、百元固定资产原值实现利税、百元资金实现利税、百元工业总产值实现利税、百元销售收入实现利税、每吨标准煤实现工业产值、每千瓦时电力实现工业产值、345他们每个人若干项症状指标数据。
应用多元统计分析讲稿(朱建平)
第一章多元分析概述第一节引言多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法。
近30年来，随着计算机应用技术的发展和科研生产的迫切需要，多元统计分析技术被广泛地应用于地质、气象、水文、医学、工业、农业和经济等许多领域，已经成为解决实际问题的有效方法。
然而，随着In ternet的日益普及，各行各业都开始采用计算机及相应的信息技术进行管理和决策，这使得各企事业单位生成、收集、存储和处理数据的能力大大提高，数据量与日俱增，大量复杂信息层出不穷。
在信息爆炸的今天，人们已经意识到数据最值钱的时代已经到来。
显然，大量信息在给人们带来方便的同时也带来一系列问题。
比如：信息量过大，超过了人们掌握、消化的能力；一些信息真伪难辩，从而给信息的正确应用带来困难；信息组织形式的不一致性导致难以对信息进行有效统一处理等等，这种变化使传统的数据库技术和数据处理手段已经不能满足要求.In ternet 的迅猛发展也使得网络上的各种资源信息异常丰富，在其中进行信息的查找真如大海捞针。
这样又给多元统计分析理论的发展和方法的应用提出了新的挑战。
多元统计分析起源于上世纪初，1928年Wishart发表论文《多元正态总体样本协差阵的精确分布》，可以说是多元分析的开端。
20世纪30年代R.A. Fisher 、H.Hotelling 、S.N.Roy、许宝騄等人作了一系列得奠基性工作，使多元分析在理论上得到了迅速得发展。
20世纪40年代在心理、教育、生物等方面有不少得应用，但由于计算量大，使其发展受到影响，甚至停滞了相当长得时间。
20世纪50年代中期，随着电子计算机得出现和发展，使多元分析方法在地质、气象、医学、社会学等方面得到广泛得应用。
20世纪60年代通过应用和实践又完善和发展了理论，由于新的理论、新的方法不断涌现又促使它的应用范围更加扩大。
20世纪70年代初期在我国才受到各个领域的极大关注，并在多元统计分析的理论研究和应用上也取得了很多显著成绩，有些研究工作已达到国际水平，并已形成一支科技队伍，活跃在各条战线上。
多元统计分析 第1章 多元分析概述
多元统计分析的应用举例
反映城镇居民消费水平的八项指标：
➢人均粮食支出、人均副食支出、 ➢人均烟酒茶支出、人均衣着商品支出、 ➢人均日用品支出、人均燃料支出、 ➢人均非商品支出、人均出行支出
为什么要多元、多指标？ 指标归并聚类分析
多元统计分析的应用
第一章 多元统计分析概述
多元统计分析--ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ言
多元统计分析是运用数理统计方法来研究 解决多指标问题的理论和方法。
一元(单变量)到多变量？ 大数据时代的需要 多变量带来的问题？
多元统计分析--历史
1928年Wishart发表论文《多元正态总体样 本协差阵的精确分布》
R. A. Fisher 、H. Hotelling、S. N. Roy、许 宝騄……
上世纪50年代中期，随着电子计算机的出 现和发展，使多元分析方法得到广泛应用
多元统计分析—核心内容
基于多元正态总体
➢参数估计 ➢假设检验 ➢判别分析 ➢聚类分析 ➢主成分分析 ➢因子分析 ➢对应分析 ➢典型相关分析 ➢多维标度法等
应用背景
统计学的生命力在于应用 多元统计分析方法的应用
Application Driven (Data Driven)
评价企业经济效益
➢百元固定资产原值实现产值、 ➢百元固定资产原值实现利税、 ➢百元资金实现利税、 ➢……
指标太多、错综复杂主成分分析或因子 分析
多元统计分析的应用
考察两个部门工作效率是否有显著差异
➢多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验
有100种酒，品尝家可以对每两种酒进行品 尝对比，给出一种相近程度的得分以分析 这100种酒之间的结构关系
《多元统计分析》目录
《多元统计分析》目录前言第一章基本知识﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5 §1·1总体，个体与样本﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5 §1·2样本数字特征与统计量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6 §1·3一些统计量的分布﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9 第二章统计推断﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍15 §2·1参数估计﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍15 §2·2假设检验﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍19 第三章方差分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍32 §3·1一个因素的方差分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍32 §3·2二个因素的方差分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍37 §3·3用方差分析进行地层对比﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍44 第四章回归分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍49 §4·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍49 §4·2回归方程的确定﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍49 §4·3相关系数及其显着性检验﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍52 §4·4回归直线的精度﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍55 §4·5多元回归分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍56 §4·6应用实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍60 第五章逐步回归分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍65 §5·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍65 §5·2“引入”和“剔除”变量的标准﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍66 §5·3矩阵变换法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍67 §5·4回归系数，复相关系数和剩余标准差的计算﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍69 §5·5逐步回归计算方法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍70§5·6实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍74 第六章趋势面分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍80 §6·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍80 §6·2图解汉趋势面分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍81 §6·3计算法趋势面分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍83 第七章判别分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍90 §7·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍90 §7·2判别变量的选择﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍91 §7·3判别函数﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍92 §7·4判别方法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍96 §7·5多类判别分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍104 第八章逐步判别分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍110 §8·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍110 §8·2变量的判别能力与“引入”变量的统计量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍110 §8·3矩阵变换与“剔除”变量的统计量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍113 §8·4计算步聚与实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍115 第九章聚类分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 125 §9·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍125 §9·2数据的规格化（标准化）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍125 §9·3相似性统计量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍126 §9·4聚类分析方法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍131 §9·5实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍134 §9·6最优分割法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍134 第十章因子分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍142 §10·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍142 §10·2因子的几何意义﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍143 §10·3因子模型﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍145§10·4初始因子载荷矩阵的求法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍147 §10·5方差极大旋围﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍152 §10·6计算步聚﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍156 §10·7实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍157 附录﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍162 附录1标准正态分布函数量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍162 附录2正态分布临界值u a表﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍164 附录3t分布临界值t a表﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍165 附录4（a）F分布临界值Fa表（a=0·1）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍附录4（b）F分布临界值Fa表 (a=0·05) ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍附表4（c）F分布临界值Fa表（a=0·01）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍附表5 x2分布临界值xa2表﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍第一章基本知识§1·1总体、个体与样本总体（母体）、个体一（样本点）和样本（子样）是统计分析中常用的名词。
《多元统计分析》第一章 矩阵代数
5
矩阵秩的基本性质
v (1) rank(A)=0 A=0。 v (2) 若A为p×q矩阵, 且A≠0，则1≤rank(A)≤min{p,q}。 v (3) rank(A)=rank(A′)。 v (4) 若A和C为非退化方阵，则
，
3 5
0 1
1 1
5
矩阵的运算
v 若A=(aij)：p×q，B=(bij)：p×q，则A与B的和定义为 A+B=(aij+bij)：p×q
v 常数c与A的积定义为
cA=(caij)：p×q
v 若A=(aij)：p×q，B=(bij)：q×r，则A与B的积定义为
AB
tr(A)=λ1+λ2+⋯ +λp
3
《多元统计分析》MOOC
1.5 正定矩阵、非负定矩阵和 矩阵函数值的SAS输出
王学民
正定矩阵和非负定矩阵
设A是对称矩阵，则定义 二次型：x′Ax，其中x是一向量。 正定矩阵：x′Ax>0，若对一切x≠0。记作A>0。 非负定矩阵：x′Ax≥0，若对一切x。记作A≥0。
4 5
8 9
15 20
30 20
20 40
求它的逆矩阵、特征值、特 征向量、行列式和迹。
3
当p=1时，A=a 是一个正数
当p=1时，A=a 是一个非负数。
1
基本性质
(1) A>0(或≥0) A′=A，λi >0(或≥0)，i=1,2,⋯,p。 (2) 设A≥0，则A的秩等于A的正特征值个数。
多元统计分析 第一章 多元正态分布
1、城镇居民消费水平通常用八项指标来描述，如人均粮食支出、人均副食 支出、人均烟酒茶支出、人均衣着商品支出、人均日用品支出、人均燃 料支出、人均非商品支出。这八项指标存在一定的线性关系。为了研究 城镇居民的消费结构，需要将相关强的指标归并到一起，这实际就是对 指标进行聚类分析。（经济学）
2、在企业经济效益的评价中，涉及到的指标往往很多，如百元固定资产原 值实现产值、百元固定资产原值实现利税、百元资金实现利税、百元工 业总产值实现利税、百元销售收入实现利税、每吨标准煤实现工业产值、 每千瓦时电力实现工业产值、全员劳动生产率、百元流动资金实现产值。 如何将这些具有错综复杂关系的指标综合成几个较少的因子，既有利于 对问题进行分析和解释，又能便于抓住主要矛盾做出科学的评价。可用 主成分分析和因子分析法。
3、某一产品是用两种不同原料生产的，试问此两种原料生产的产品寿命有 无显著差异？又比如，若考察某商业行业今年和去年的经营状况，这时 需要看这两年经营指标的平均水平是否有显著差异以及经营指标之间的 波动是否有显著差异。可用多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验。
4、按现行统计报表制度，农村家庭纯收入是指农村常住居民家庭总收入中 扣除从事生产和非生产经营用支出、税款和上交承包集体任务金额以后 剩余的、可直接用于进行生产的、非生产性建设投资、生产性消费的那 一部分收入。如果我们收集某年各个省、自治区、直辖市农民家庭人均 纯收入的数据，可以用相应分析，揭示全国农民人均纯收入的特征以及 各省、自治区、直辖市与各收入指标的关系。
预备知识
线性代数方面的知识——向量和矩阵是研究多元数据 的重要工具；（要掌握矩阵逆、矩阵特征值、特征向量的 求解）
初等数理统计的知识——多元分析是建立在一元统计 分析基础上的，其许多理论可由一元统计直接推广过来；
多元统计分析一PPT课件
物理 100 97 100 96 78 97 89 88 84 39 78 37
上表提供的数据，如果用一元统计方法，势 必要把多门课程分开分析，每次分析处理一门 课的成绩。这样处理，由于忽视了课程之间可 能存在的相关性，因此，一般说来，丢失信息 太多。分析的结果不能客观全面地反映某年级 学生的学习情况。
二、多元统计分析方法的应用
多元统计分析方法的应用
多元统计分析方法在经济管理、农业、医学、教育 学、体育科学、生态学、地质学、社会学、考古学、 环境保护、军事科学、文学等方面都有广泛的应用， 这里我们例举一些实际问题，进一步了解多元统计 分析的应用领域，让大家从感性上加深对多元统计 分析的认识。
第七章 对应分析
第八章 典型相关分析 两组变量的相关分析
使用的教材
21世纪统计学系列教材
多元统计分析
(中国人民大学出版社,何晓群,2012.1)
参考书
1. 应用多元统计分析（朱建平，科学出版社，2006） 2.实用多元统计分析(方开泰,1989,华东师范大学出版社 3. 多元统计分析引论(张尧庭,方开泰, 科学出版社，1982) 4. 实用多元统计分析(王学仁,1990 ,上海科学技术出版社) 5. 应用多元分析(王学民,1999 ,） 6. 统计分析与SPSS的应用（第三版 薛微） 7.社会统计学分析方法—SPSS软件应用（郭志刚
本课程要讨论的多元分析方法，它同时对多 门课程成绩进行分析。这样的分析对这些课程 之间的相互关系、相互依赖性等都能提供有用 的信息。
由于大量实际问题都涉及到多个变量，这 些变量又是随机变化。所以要讨论多维随机向 量的统计规律性。
多元统计分析就是讨论多维随机向 量的理论和统计方法的总称。
多元统计分析研究 的对象就是多 维随机向量.
第一章 多元统计分析 绪论
三、样本相关系数
第i个和第j个变量的样本相关系数为：
其中：i=1,2,3….p,j=1,2,3,…,p 对于所有的i，j，
由p个变量的n组观测值计算出的统计量，可用矩阵来记： 样本均值阵：
样本方差和协方差阵：
样本相关系数矩阵：
例1．根据表1资料计算样本均值阵、样本方差和协方差矩阵、样本相 关系数矩阵。
15639.45
9001.81 11480.39 95295.78
892.91
4241.09 7222.46 40315.52
1842.92
4175.64 7168.26 42493.99
1417.61
3549.03 4723.31 26368.5
竹林众生 焦作万方
思达高科 郑州煤电 合计
8379.92 34086.94
12769.17 27296.36 707584.51
921.84 20451.51
3820.98 13007.43 443130.65
1661.32 22562.66
4308.77 12863.37 438521.86
1477.24 14290.03
3195.9 8512.59 3资料
营业利润(万元)
41614.75 69453.22 128972.69 23968.02 22463.69 39903.35 25881.19
主营业务利润(万元)
中原高速 中原油气 安阳钢铁 神火股份 新乡化纤 安彩高科 许继电气 48457.83 84061.07 175514.79 31436.57 31121.23 69994.75 53048.45
第一章 绪论
第一节
多元统计分析的作用
第1章 绪论[多元统计]
![第1章 绪论[多元统计]](https://img.taocdn.com/s3/m/bc3b31a1b0717fd5360cdcc3.png)
5. 射影矩阵
A: n×n, A: 幂等的 A2 = A A: 射影 A′ = A 且 A2 = A
射影矩阵的性质: A 是一个射影矩阵 In-A是一个射影矩阵 ; A的特征值为 0或 1, 且 1的个数为A的秩; tr(A) = rank(A). 设X是 n×p阶矩阵 (n ≥ p), 且rank(X) = p. 记H = X(X′X)-1X′. 则 1) H 是一个射影矩阵; 2) tr(H) = rank(H) = p; 3) I - H是一个射影矩阵
15
4. 正定矩阵
对于n×n阶对称矩阵 A A ≥ 0 x′A x ≥ 0, x ∈ Rn , A: 非负定的 A > 0 x′A x > 0, x ∈ Rn , A: 正定的 主要结论: A > 0 A11 > 0, A22 > 0, A112 > 0, A221 > 0 A > 0 A-1 > 0 某些定义: A>B A-B>0 A≥B A-B≥0
2
多元分析是数理统计学30多年来迅速发展起 来的一个分支,已广泛地应用到社会科学和自然 科学的许多领域.本课程介绍一些实用的多元分 析方法的理论及应用,包括有关多元正态分布的 统计推断,判别分析,聚类分析,主成分分析, 因子分析,典型相关分析.
3
1. 应用多元统计分析 2. 多元统计分析 3. 多元统计分析
对称矩阵
a = (a1, …, ap): 1×p
a1 a = M : n ×1 a n
A = A′
上三角阵
对角矩阵
a1 A= O = diag (a1 ,L, an ) an
A = (aij), aij=0 if i > j
多元统计分析(第一章)
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
政治 99 99 100 93 100 90 75 93 87 95 76 85
语文 94 88 98 88 91 78 73 84 73 82 72 75
外语 93 96 81 88 72 82 88 83 60 90 43 50
数学 100 99 96 99 96 75 97 68 76 62 67 34
《静静地顿河》，萨尔仁尼琴 质疑，认为不是肖洛霍夫所写，
而是Kryukov所作。Kjetsaa对此作了研究。
著作
Marking (Kryukov) The way and the road(肖洛霍夫) 静静地顿河
抽样字数
1000 1000 1000
不同的词汇
589 656 646
1、“统”，就是全部，“计”，就是计算，统计学即是“具有
参考书
1. 应用多元统计分析（朱建平，科学出版社，2006） 2.实用多元统计分析(方开泰,1989,华东师范大学出版社 3. 多元统计分析引论(张尧庭,方开泰, 科学出版社，
1982)
4. 实用多元统计分析(王学仁,1990 ,上海科学技术出版社
)
5. 应用多元分析(王学民,1999 ,） 6. 统计分析与SPSS的应用（第三版 薛微） 7.社会统计学分析方法—SPSS软件应用（郭志刚
解：
所以 A的特征值为 当
时，解方程
。由
得基础解系：
，所以对应于 的单位特征向量为
1 -1 3 ,-1 3 ,1 3
当
。由
时，解方程
得基础解系：
，所以对应于 量为 2 1 6 ,1 6 , 2 6 。 当 时，解方程 。由
多元统计分析1-3章
第一章绪论§1.1 什么是多元统计分析在工业、农业、医学、气象、环境以及经济、管理等诸多领域中，常常需要同时观测多个指标。
例如，要衡量一个地区的经济发展，需要观测的指标有：总产值、利润、效益、劳动生产率、万元生产值能耗、固定资产、流动资金周转率、物价、信贷、税收等等；要了解一种岩石，需观测或化验的指标也很多，如：颜色、硬度、含碳量、含硫量等等；要了解一个国家经济发展的类型也需观测很多指标，如：人均国民收入，人均工农业产值、人均消费水平等等。
在医学诊断中，要判断某人是有病还是无病，也需要做多项指标的体检，如：血压、心脏脉搏跳动的次数、白血球、体温等等。
总之，在科研、生产和日常生活中，受多种指标共同作用和影响的现象是大量存在的，举不胜举。
上述指标，在数学上通常称为变量，由于每次观测的指标值是不能预先确定的，因此每个指标可用随机变量来表示。
如何同时对多个随机变量的观测数据进行有效的统计分析和研究呢？一种做法是把多个随机变量分开分析，一次处理一个去分析研究；另一种做法是同时进行分析研究。
显然前者做法有时是有效的，但一般来说，由于变量多，避免不了变量之间有相关性，如果分开处理不仅会丢失很多信息，往往也不容易取得好的研究结果。
而后一种做法通常可以用多元统计分析方法来解决，通过对多个随机变量观测数据的分析，来研究变量之间的相互关系以及揭示这些变量内在的变化规律，如果说一元统计分析是研究一个随机变量统计规律的学科，那么多元统计分析则是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律性的一门统计学科，同时，利用多元分析中不同的方法还可以对研究对象进行分类（如指标分类或样品分类）和简化（如把相互依赖的变量变成独立的或降低复杂集合的维数等等）。
在当前科技和经济迅速发展的今天，在国民经济许多领域中特别对社会经济现象的分析，只停留在定性分析上往往是不够的。
为提高科学性、可靠性，通常需要定性与定量分析相结合。
实践证明，多元分析是实现做定量分析的有效工具。
《应用多元统计分析》第五版PPT(第一章)
即a1,a2,⋯,ap为一组正交单位向量。同理，由AA′=I 可证a(1),a(2),⋯,a(p)也是一组正交单位向量。
13
§1.3 行列式
❖ p阶方阵A=(aij)的行列式定义为
A
1 a a j1 j2 jp 1j1 2j2
a pjp
j1 j2 jp
这里 表示对1,2,⋯,p的所有排列求和，τ(j1j2⋯jp)是排列
|Ip+xy′|=1+y′x
17
代数余子式
❖ 设A为p阶方阵，将其元素aij所在的第i行与第j列划 去之后所得(p−1)阶矩阵的行列式，称为元素aij的余 子式，记为Mij。Aij=(−1)i+jMij称为元素aij的代数余子 式。有以下公式成立
p
p
A aij Aij aij Aij
j 1
24
特征值和特征向量的基本性质
❖ (1)A和A′有相同的特征值。
❖ (2)若A和B分别是p×q和q×p矩阵，则AB和BA有相同的非零 特征值。
❖ 证明 因为
Ip
0
A Ip
I
q
B
A Iq
I
p AB
B
0
I
q
所以
Ip
B
0 Ip
I
q
B
A Iq
I
0
p
A
Iq BA
I p AB 0 I p
rank(ABC)=rank(B)
❖ (7)p阶方阵A是非退化的，当且仅当rank(A)=p(称作A满秩)。
❖ (8)rank(AA′)=rank(A′A)=rank(A)。
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§1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹
❖ 一、特征值和特征向量 ❖ 二、矩阵的迹
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4、多元数据的统计推断
点估计 参数估计 统 计 推 断 参数 假设 检验 非参 区间估计 u检验 t检验 F检验 相关与回归 卡方检验 秩和检验 秩相关检验
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三、多元统计的发展
起源于：20世纪20年代 1928年威沙特（Wishart)发表的《多元正 态总体样本协方差矩阵的精确分布》为开端 30年代多元分析在理论上得到迅速发展 费希尔（Fisher)、霍特林（Hotelling)等进 一步发展多元统计。 40年代在心理学、教育学等领域进行应用 因计算量大，发展受到影响
总体 样本、样本均值、样本方差
参数估计 假设检验 几种常用分布
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二、随机向量及其分布
1、随机向量的概念 p个随机变量X1，X2，……，Xp组成的向量 X=( X1，X2，……，Xp)T，称为p维随机向 量。
2、随机向量的概率分布
定义：P维随机向量 X ( X 1 , X 2 , , X p ) 的概率分布函 数定义为
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二、多元统计分析的内容和方法
1、简化数据结构（降维问题） 将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量 较少且互不相关的变量，使研究问题得到简 化但损失的信息又不太多。 （1）主成分分析 （2）因子分析 （3）对应分析等
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指标与指标可能存在相关关系
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运用主成分分析以97.4％的精度，用三新变 量就取代了原17个变量。根据经济学知识总收入变化率F2和经济发展或衰退的趋势 F3。
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2、分类与判别（归类问题） 对所考察的变量按相似程度进行分类。 （1）聚类分析：根据分析样本的各研究变 量，将性质相似的样本归为一类的方法。 （2）判别分析：判别样本应属何种类型的 统计方法。
信息重叠，分析偏误
指标太多，增加问题的复杂性和分析难度 如何避免？ 选用主成分分析或因子分析
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例：美国的统计学家斯通(stone)在1947年 关于国民经济的研究。他曾利用美国1929 一1938年各年的数据，得到了17个反映国 民收入与支出的变量要素，例如雇主补贴、 消费资料和生产资料、纯公共支出、净增库 存、股息、利息外贸平衡等等。
分布函数的取值范围为[0，1]； F (, x2 , , xp ) F ( x1, , , xp ) F ( x1, x2 , , ) 0
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§1.2
随机向量
一、相关基础知识复习 二、随机向量及其分布 三、随机向量的数字特征
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一、相关基础知识复习
线性代数相关知识（附录）
矩阵及其基本运算
向量与特征向量
概率统计中的相关知识
概率统计中的相关知识
随机变量及其分布 总体与样本
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20世纪50年代中期——，多元统计在地质、气象、 医学、社会学等方面得到广泛应用 因计算机的出现和发展
我国：70年代初期才开始重视多元统计在各领域的 应用
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四、多元统计的应用
1、教育学 2、医学 3、气象学 4、环境科学 5、地质学 6、考古学 7、经济学 8、社会科学 等等
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具体数据见教材第92页 分析结果：将20个国家分为两类 第1类（基础设施落后）：巴西、墨西哥、 波兰、匈牙利、智利、俄罗斯、泰国、印度、 马来西亚 第2类（基础设施发达）：瑞典、丹麦、美 国、中国台湾、韩国、日本、德国、法国、 新加坡、英国、瑞士
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第一章
§1.1
§1.2
绪论
课程概论
随机向量
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§1.1
课程概论
一、什么是多元统计分析 二、多元统计分析的内容和方法 三、多元统计的发展 四、多元统计的应用 五、教学安排和要求
§1.1
课程概论
一、什么是多元统计分析 多元统计分析是研究多个随机变量之间相互 依赖关系以及内在统计规律的一门统计学科。
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五、教学安排和要求
1、教学内容： 多元正态分布、聚类分析、判别分析、主成分 分析、因子分析 2、教学目标：掌握多元统计常用基本方法的原理 与应用，能熟练运用一种统计软件——SPSS进 行分析，并能解释软件输出结果及结论 3、教学计划： 理论教学（40课时）+实践教学（8课时） 4、成绩考核：平时15%+实践15%+ 期末70%。 5、教学信箱：zziastatistics@ 密码： 选课号303131
F ( x) F ( x1 , x2 ,
其中
, x p ) P( X1 x1 , X 2 x2 ,
, x p ) R p
X p xp )
x ( x1 , x2 ,
性质： F ( x1, x2 , , xp ) 是每个变量 xi (i 1, 2, 连续函数；
, p) 的非降右
如果：我们想知道我国基础设施发展属于哪 一类型？ 运用判别分析
依据：20个国家的分类结果
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3、变量间的相互联系的研究 一是：分析一个或几个变量的变化是否依赖 另一些变量的变化。（回归分析） 二是：两组变量间的相互关系（典型相关分 析）
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例：根据信息基础设施的发展状况，对世界20个国家 和地区进行分类。 考察指标有6个： 1、X1：每千居民拥有固定电话数目 2、X2：每千人拥有移动电话数目 3、X3：高峰时期每三分钟国际电话的成本 4、X4：每千人拥有电脑的数目 5、X5：每千人中电脑使用率 6、X6：每千人中开通互联网的人数