必修一数学培优辅导教材第8讲：函数的奇偶性与对称性
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例2：已知偶函数f(x)的定义域为R，当x≥0时，f(x)= ，求f(x)的解析式．
练1：设 是 上的奇函数，且当 时， ，那么当 时， =_________．
练2：已知函数 为 上的奇函数，且当 时 ．求函数 的解析式．
练3：已知函数 ，当 为何值时， 是奇函数？
练4：已知 是偶函数， 时， ，求 时 的解析式.
练1：已知 （ 、 、 为实数），且 ．则 的值是（ ）．
A． B．-3C．3D．随 、 、 而变
练2：⑴ 若 是定义在 上的奇函数，则 =__________；
⑵若 是定义在 上的奇函数， ，且对一切实数 都有 ，则 =__________；
⑶设函数 且 ）对任意非零实数 满足 ，则函数 是___________（指明函数的奇偶性）
练5：已知 是定义域为 的奇函数，当 时， ，求 的解析式.
练6： 图象关于 对称，当 时， ，求当 时 的表达式．
练7：已知函数 是奇函数,且 ,求 的值.
2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和．
即 f(x)= [F(x)+G(x)] 其中F(x) =f(x)+f(-x),G(x) =f(x)－f(-x)
2.函数对称性
例1：设函数 对于一切实数 都有 ，如果方程 有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_____．
练1：当实数k取何值时，方程组 有惟一实数解.
练2：设a是正数，而 是XOY平面内的点集，则 的一个充分必要条件是 （1986年上海中学生竞赛题）.
练3：试证 是整数.
上例可推广为：设m、n为自然数，证明 是整数.
练3：已知函数 ，当 时恒有 ．
①求证：函数 是奇函数；
②若 ，试用 表示 ．
③如果 时 ，且 ．
试判断 的单调性，并求它在区间 上的最大值与最小值．
练4：设函数 （ 且 对任意非零实数 ，恒有 ，
⑴求证： ；
⑵求证： 是偶函数；
⑶已知 为 ， 上的增函数，求适合 的 的取值范围．
练5：知 都是奇函数， 的解集是 ， 的解集是 ， ，那么求 的解集．
练3：已知函数 ．若 、 、 且 ， ， ．则 （ ）．
A．大于零B．小于零C．等于零D．大于零或小于零
练4：设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 与 满足（ ）．
A． B．
C． D．
练5：函数 在 上有定义，且满足① 是偶函数；② ；③ 是奇函数；求 的值．
考点：奇偶性与对称性的其他应用
1.奇偶性与单调性
利用这一结论，可以简捷的解决一些问题．
例1：定义在R上的函数f(x)= ，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和,求g(x)，h(x)．
练1：已知 是奇函数， 是偶函数并且 ，则求 与 的表达式．
练2：已知 是奇函数， 是偶函数，且 ，求 、 ．
3.利用函数奇偶性求函数值
例1：已知f（x） 求f(2).
A．是奇函数而不是偶函数 B．是偶函数而不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数
练4：已知函数 是奇函数； （x≠0）是偶函数，且 不恒为0，判断 的奇偶性．
考点：求解析式与函数值
1.利用函数奇偶性可求函数解析式．
例1：函数 为奇函数，则 的取值范围是（ ）．
A． 或 B． 或
C． D．
函数的奇偶性与对称性
考点：判断函数奇偶性
1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f(x) f(-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断．
例1：判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
练1：判断下列函数的奇偶性：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ．
练2：判断下列函数的奇偶性并说明理由：
（1） ；
（2） ．
（3） 且 ；
练3：判别下列函数的奇偶性：
（1） ； （2） ；（3） .
练4：判断函数f(x)= 的奇偶性．
2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内
（1）两个偶函数之和（积）为偶函数；
（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；
（3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数．
例1：判断下列函数的奇偶性：
⑴
⑵ ，其中 且 ， 为奇函数．
练1：若函数f(x)= g(x)是偶函数，且f(x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性．
练2：函数 与 有相同的定义域，对定义域中任何 ，有 ， ，则 是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
练3：已知 ， ．则乘积函数 在公共定义域上的奇偶性为（ ）．
例1：已知函数 是偶函数，而且在 上是减函数，判断 在 上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论．
练1：已设函数 是定义在R上的奇函数，且在区间 上是减函数，实数a满足不等式 ，求实数a的取值范围.
练2百度文库已知 为 上的奇函数，且在 上是增函数．
⑴求证： 在 上也是增函数；
⑵若 ，解不等式 ，
练1：设 是 上的奇函数，且当 时， ，那么当 时， =_________．
练2：已知函数 为 上的奇函数，且当 时 ．求函数 的解析式．
练3：已知函数 ，当 为何值时， 是奇函数？
练4：已知 是偶函数， 时， ，求 时 的解析式.
练1：已知 （ 、 、 为实数），且 ．则 的值是（ ）．
A． B．-3C．3D．随 、 、 而变
练2：⑴ 若 是定义在 上的奇函数，则 =__________；
⑵若 是定义在 上的奇函数， ，且对一切实数 都有 ，则 =__________；
⑶设函数 且 ）对任意非零实数 满足 ，则函数 是___________（指明函数的奇偶性）
练5：已知 是定义域为 的奇函数，当 时， ，求 的解析式.
练6： 图象关于 对称，当 时， ，求当 时 的表达式．
练7：已知函数 是奇函数,且 ,求 的值.
2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和．
即 f(x)= [F(x)+G(x)] 其中F(x) =f(x)+f(-x),G(x) =f(x)－f(-x)
2.函数对称性
例1：设函数 对于一切实数 都有 ，如果方程 有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_____．
练1：当实数k取何值时，方程组 有惟一实数解.
练2：设a是正数，而 是XOY平面内的点集，则 的一个充分必要条件是 （1986年上海中学生竞赛题）.
练3：试证 是整数.
上例可推广为：设m、n为自然数，证明 是整数.
练3：已知函数 ，当 时恒有 ．
①求证：函数 是奇函数；
②若 ，试用 表示 ．
③如果 时 ，且 ．
试判断 的单调性，并求它在区间 上的最大值与最小值．
练4：设函数 （ 且 对任意非零实数 ，恒有 ，
⑴求证： ；
⑵求证： 是偶函数；
⑶已知 为 ， 上的增函数，求适合 的 的取值范围．
练5：知 都是奇函数， 的解集是 ， 的解集是 ， ，那么求 的解集．
练3：已知函数 ．若 、 、 且 ， ， ．则 （ ）．
A．大于零B．小于零C．等于零D．大于零或小于零
练4：设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 与 满足（ ）．
A． B．
C． D．
练5：函数 在 上有定义，且满足① 是偶函数；② ；③ 是奇函数；求 的值．
考点：奇偶性与对称性的其他应用
1.奇偶性与单调性
利用这一结论，可以简捷的解决一些问题．
例1：定义在R上的函数f(x)= ，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和,求g(x)，h(x)．
练1：已知 是奇函数， 是偶函数并且 ，则求 与 的表达式．
练2：已知 是奇函数， 是偶函数，且 ，求 、 ．
3.利用函数奇偶性求函数值
例1：已知f（x） 求f(2).
A．是奇函数而不是偶函数 B．是偶函数而不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数
练4：已知函数 是奇函数； （x≠0）是偶函数，且 不恒为0，判断 的奇偶性．
考点：求解析式与函数值
1.利用函数奇偶性可求函数解析式．
例1：函数 为奇函数，则 的取值范围是（ ）．
A． 或 B． 或
C． D．
函数的奇偶性与对称性
考点：判断函数奇偶性
1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f(x) f(-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断．
例1：判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
练1：判断下列函数的奇偶性：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ．
练2：判断下列函数的奇偶性并说明理由：
（1） ；
（2） ．
（3） 且 ；
练3：判别下列函数的奇偶性：
（1） ； （2） ；（3） .
练4：判断函数f(x)= 的奇偶性．
2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内
（1）两个偶函数之和（积）为偶函数；
（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；
（3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数．
例1：判断下列函数的奇偶性：
⑴
⑵ ，其中 且 ， 为奇函数．
练1：若函数f(x)= g(x)是偶函数，且f(x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性．
练2：函数 与 有相同的定义域，对定义域中任何 ，有 ， ，则 是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
练3：已知 ， ．则乘积函数 在公共定义域上的奇偶性为（ ）．
例1：已知函数 是偶函数，而且在 上是减函数，判断 在 上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论．
练1：已设函数 是定义在R上的奇函数，且在区间 上是减函数，实数a满足不等式 ，求实数a的取值范围.
练2百度文库已知 为 上的奇函数，且在 上是增函数．
⑴求证： 在 上也是增函数；
⑵若 ，解不等式 ，