跃迁概率和费米黄金定律
第3章 费米能级
.
以后就表示从状态(1)跃迁到状态(2)的几率。
上式表示电子从E1态跃迁到E2态的微扰矩阵元，又叫跃迁动量矩阵元。 它是电子的终态(2)波函数的共扼复数ψ 2*与对始态(1)波函数ψ 1进行 H’运算得到结果的标量积。
要计算跃迁几率(即求a2(t))必须知道微扰算符H’的具体形式。如果假定微扰是 简谐函数，则按照费米黄金准则，跃迁几率可以表示为：
.Hale Waihona Puke 半导体异质结激光器中粒子数反转
.
光子与载流子的相互作用
光子与半导体内部载流子相互作用表现为 以下几个物理过程：
.
半导体内量子跃迁的特点
由于半导体能带中电子(空穴)的态密度很高，因此在光子作用下产生的 跃迁不是在分立的、固定的两个能级之间，而是发生在非局部能级的导带与 价带之间。在分析半导体中的跃迁过程时不仅要考虑电子的跃迁几率，还必 须考虑参与跃迁的电子态密度分布，而这又与掺杂浓度和激励水平有关。因 此，半导体中的跃迁过程具有明显不同于双能级系统的特点： (a)半导体能带中电子的态密度很高，用来产生粒子数反转分布的电子数很大， 因而可能具有很高的量子跃迁速率，获得很大的光增益系数。 (b)半导体中同一能带内的载流子相互作用很强。这种互作用过程的碰撞时间比 辐射过程的时间常数要小，所以发生电子跃迁后留下来的空态能够很快被带 内电子所补充，使能带内仍保持激励态的准平衡分布，可以用准费米能级描 述载流子的分布特性。 (c)半导体中被激发的电子态可以通过扩散或传导在晶体中传播，因此有可能用 比较简单的办法(如p—n结注入)使半导体内很快达到并维持其粒子数分布反 转状态，可以实现很高的能量转换效率。这是半导体激光器的突出优点。 (d)半导体中跃迁发生在占据一定能量范围的大量的导带电子和价带空穴之间， 因此辐射谱线较宽，单色性较差。
黄金费米定律
黄金费米定律
一、费米子具有整数自旋
费米子的自旋是1/2的整数倍。
这是量子力学中一个非常重要的概念，因为这表明费米子的自旋方向不能改变，只能沿着一个方向旋转。
这个性质也使得费米子在自然界中扮演着非常重要的角色，例如电子、质子和中子等都是费米子。
二、费米子的行为受到泡利不相容原理的限制
泡利不相容原理是量子力学中的一个重要原理，它表明两个相同的费米子不能占据相同的量子态。
这个原理可以解释为什么在原子中，电子不能占据相同的能级，从而保证了原子结构的稳定性。
三、在绝对零度下，费米子组成的系统会呈现出凝聚态
在绝对零度下，费米子组成的系统会呈现出凝聚态，即所有费米子都占据最低能量的量子态。
这个现象被称为“费米凝聚”，它在低温物理和超导研究中扮演着非常重要的角色。
四、费米子的行为受到交换作用的影响
交换作用是量子力学中的一个重要概念，它表明交换两个费米子会改变它们的量子态。
这个概念在解释粒子相互作用和核物理中的许多现象时都非常重要。
例如，在解释核磁共振现象时，就需要考虑到交换作用的影响。
总之，黄金费米定律是量子力学中一个非常重要的原理，它描述了费米子的行为和相互作用。
这些原理不仅在物理学中有广泛的应用，也在化学、材料科学和生物学等多个领域中扮演着重要的角色。
因此，理解和掌握黄金费米定律对于学习和研究物理学以及相关领域都具有非常重要的意义。
跃迁几率和费米黄金规则
（5.7.11）
Fmk
2 2
2
1 e
i (mk ) t
mk
2
1 e
i (mk ) t 2
mk
（5.7.12）
Fmk
2
B B
5.7跃迁几率和费米黄金规则
式中
1 ei (mk )t i (mk ) t /2 sin(mk )t / 2 B ie （5.7.13） mk (mk ) / 2
Wk m lim am (t )
t
2
1
2 2
t ( H mk
2
mk
2
)
（5.7.4）
2 t (mk )
跃迁速率是
H mk
2
dWk m 2 2 (mk ) wk m 2 H mk dt 2 2 ( Em Ek ) H mk
2 mk 2
[1 cos mk t ]
sin 2 4 H mk
2
mk t
2 mk
（5.7.2）
为进一步简化（5.7.2）式，可用 函数的公式
sin 2 xt lim ( x) 2 t tx
（5.7.3）
5.7跃迁几率和费米黄金规则
当t 时，可将（5.7.2）式化为
跃迁速率为
2
2 t
Fmk ( Em Ek )
2
（5.7.16）
wk m
dWk m 2 2 Fmk ( Em Ek ) dt
（5.7.17）
5.7跃迁几率和费米黄金规则
由（5.7.16）可见，跃迁过程满足能量守恒。当且尽 Em Ek 当周期微扰的频率 满足 时，才能发 生跃迁。而且，当微扰作用时间足够长后，跃迁速 率与时间无关。 3. 由（5.7.16）还可以得出 Wk m Wmk （5.7.18） Wk m 表示从 k态跃迁到 m 态的几率， Wmk相反。 4. 比较（5.7.4）与（5.7.16）可见，当周期性微扰的 频率趋于零时，（5.7.16）过渡到（5.7.4）。这一 结果表示当频率趋于零时，周期微扰过渡到常微 扰，这是很自然的。
微扰理论
第五章 微扰理论本章介绍：在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能严格求解的情况不多（一维谐振子，氢原子）。
因此，引入各种近似方法就显得非常重要，常用的近似方法有微扰论，变分法，WKB （半经典近似），Hatree-Fock 自恰场近似等。
本章将介绍微扰论和变分法。
本章将先讨论定态微扰论和变分法，然后再讨论含时微扰以及光的发射和吸收等问题。
§5.1 非简并定态微扰论 §5.2 简并定态微扰论§5.3 氢原子的一级Stark 效应§5.4 变分法§5.5 氦原子基态§5.6 含时微扰§5.7 跃迁几率和黄金费米规则§5.8 光的发射与吸收§5.9 选择定则附录： 氦原子基态计算过程非简并定态微扰论本节将讨论体系受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能量和波函数所发生的变化。
假设体系的哈密顿量不显含时间，能量的本征方程ˆH E ψψ= 满足下列条件： ˆH 可分解为 0ˆH 和 ˆH '两部分，而且 0ˆH 远大于ˆH'。
00ˆˆˆˆˆ H H H H H ''=+ 0ˆH 的本征值和本征函数已经求出，即 0ˆH 的本征方程(0)(0)(00ˆn n n H E ψψ=中，能级(0)n E 和波函数(0)n ψ都是已知的。
微扰论的任务就是从0ˆH 的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰ˆH ' 后，ˆH 的本征值和本征函数。
3. 0ˆH 的能级无简并。
严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并的。
例如我们要通过微扰计算ˆH '对 0ˆH 的第n 个能级(0)n E 的修正，就要求(0)nE 无简并，它相应的波函数只有(0)n ψ一个。
其他能级既可以是简并的，也可以是无简并的。
4. 0H 的能级组成分离谱。
严格说来，是要求通过微扰来计算它的修正的那个能级(0)n E 处于分离谱内，(0)n ψ是束缚态。
费米黄金定则
费米黄金定则
费米黄金定则或费米黄金定律是在量子力学中，计算波函数由一个特征态变换为另一个特征态的概率。
则为初态与末态的转变项。
这个转换概率也被称为衰变概率，并与平均生命时间相关。
在某些条件下，费米黄金定则可以借助sinc函数的某些数学恒等式严格地推导。
量子力学
量子力学（quantum mechanics）是物理学的分支，主要描写微观的事物，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱，许多物理学理论和科学，如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科，都是以其为基础。
19世纪末，人们发现旧有的经典理论无法解释微观系统，于是经由物理学家的努力，在20世纪初创立量子力学，解释了这些现象。
量子力学从根本上改变人类对物质结构及其相互作用的理解。
除透过广义相对论描写的引力外，迄今所有基本相互作用均可以在量子力学的框架内描述（量子场论）。
爱因斯坦可能是在科学文献中最先给出术语“量子力学”的物理学者。
波函数
在量子力学里，量子系统的量子态可以用波函数（英语：wave function）来描述。
薛定谔方程设定波函数如何随着时间流逝而演化。
从数学角度来看，薛定谔方程乃是一种波动方程，因此，波函数具有类似波的性质。
这说明了波函数这术语的命名原因。
周世勋《量子力学教程》(第2版)-微扰理论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
第5章微扰理论5.1复习笔记一、定态微扰理论1．适用范围及使用条件求分立能级及所属波函数的修正。
适用条件是：一方面要求H 可分成两部分，即'0H H H +=，同时0H 的本征值和本征函数已知或较易计算；另一方面又要求0H 把H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰'H 比较小，以保证微扰计算收敛较快，即'(0)(0)(0)(0)1,mnn mn mH E E E E <<≠-（1）非简并情况微扰作用下的哈密顿量可表示为：'0H H H +=第n 个能级可近似表示为：∑+-++=mmnnmnn nn EEH H E E)0()0(2''')0(相应的波函数可近似表示为：∑+-+=mm mn mn nn E E H )0()0()0('')0(ψψψ（2）简并情况能级的一级修正由久期方程0det )1('=-v k v E H μμδ即)1(''2'1'2)1('22'21'1'12)1('11=---nkk k k knknE H H H H E H H H H E H给出。
个实根，记为有k k f E )1(k k f E ,,2,1,)1( =αα，分别把每一个根)1(αk E 代入方程∑==-kf v v v k va E H 1)1('0)(μαμδ，即可求得相应的解，记为v a α，于是可得出新的零级波函数∑>>=vkv vkv a φα||。
相应的能量为：)1()0(αk k k E E E +=。
2．氢原子的一级斯塔克效应（1）斯塔克（Stark）效应：原子在外电场作用下所产生的谱线分裂的现象。
（2）用简并情况下的微扰论解释氢原子的斯塔克效应：由于电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，第n 个能级有2n 度简并。
黄金费米定律
黄金费米定律黄金费米定律，也被称为费米悖论，是由意大利物理学家恩里科·费米于1950年提出的。
该定律是指，在银河系中，存在着大量的外星智慧生命，然而我们迄今为止仍未能与外星文明取得任何联系。
黄金费米定律不是基于实验证据，而是建立在一系列假设和推测之上。
费米进一步指出，根据当前已知的宇宙尺度和星系数量，我们可以推断银河系内存在着大量智慧生命。
然而，对于为何我们尚未获得任何外星信号的解释，黄金费米定律认为存在多种可能性。
首先，外星智慧生命可能存在技术不足以与我们进行通信的问题。
费米认为，即使外星文明与地球上的智慧生命存在一定的技术差距，我们也应该能够接收到他们使用的通信信号。
然而，这种技术差距可能是巨大的，超出我们当前能力所能理解的范围。
其次，黄金费米定律也提到了外星文明可能选择隐蔽的原因。
他们可能有意识地隐藏自己，以避免被探测到或干扰其他文明。
这可能是因为他们感到威胁，或者有其他不愿意被发现的原因。
此外，外星文明也可能对地球上的智慧生命缺乏兴趣，或者认为我们还不足以与他们进行有意义的交流。
还有一种可能性是，我们对探索外星信号的方法和范围有限。
我们目前主要依赖于射电望远镜来探测外星信号，但这只是一种方法。
可能存在其他类型的信号或通信方式，我们尚未发现或无法接收到。
此外，我们也可能只是不慎错过了外星信号，或者技术上无法识别它们。
除了以上的可能性外，黄金费米定律还提到了时间尺度的问题。
宇宙存在了数十亿年，而我们人类存在的时间相对较短。
因此，即使其他外星文明存在，我们与他们进行交流的时间窗口可能非常狭窄，或者已经错过了。
总的来说，黄金费米定律意味着尽管银河系可能存在大量智慧生命，但我们至今为止尚未与外星文明取得任何接触的原因可能是多方面的：技术差距、选择性隐蔽或缺乏兴趣、探测方法的有限性以及时间尺度的问题等等。
然而，真正的原因仍是一个谜，直到我们能够获得更多的数据和证据，我们对外星生命的探索将继续进行。
量子力学基础教程陈鄂生
i (mk ) t
2
二、共振跃迁 末态能量大于初态能量 1.共振吸收（受激吸收）
Em Ek 时， mk
Wk m t Fmk 4
2 2
0 。若 mk，则
i mk t
e
1
2
mk
Fmk sin
2 2
2
mk
2 2
t
mk
其中二级修正： t 1 imnt (2) (1) (t )e dt am (t ) an (t ) H mn i n 0
五、跃迁几率与跃迁速率 一级近似下 : (r , t ) am (t )e
m iEmt /
m ( r )
iEmt /
e
iEk t /
y z 0
z ~ 1011 m, ~ 106 m z
cos( 2
z t ) cos t
2 z
sin t
ˆ F ˆ cos t ，其中 F ˆ e x 于是 H 0
ii.共振跃迁速率
wk m
wk m
e2 02
(0) (1) a ( t ) a ( t ) a am (t )的一级近似：m m m (t ),
dam (t ) 1 dt i
imnt a (t )H mn (t )e (0) n n
a 其中一级修正为：
(1) m
1 i
t
0
imk t H mk (t )e dt
方程左乘 (r )后做全空间积分
* m
n
n
dam (t ) iEnt / (t )e iEnt / i e an (t ) H mn dt n
《量子力学》考试知识点
《量⼦⼒学》考试知识点《量⼦⼒学》考试知识点第⼀章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（⼀）、经典物理学困难的实例（⼆）、微观粒⼦波－粒⼆象性考核要求：（⼀）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量⼦、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒⼦的波－粒⼆象性、德布罗意波。
第⼆章：波函数和薛定谔⽅程考核知识点：（⼀）、波函数及波函数的统计解释（⼆）、含时薛定谔⽅程（三）、不含时薛定谔⽅程考核要求：（⼀）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的⾃然条件、⾃由粒⼦平⾯波2.领会：微观粒⼦状态的描述、Born⼏率解释、⼏率波、态叠加原理（⼆）、含时薛定谔⽅程1.领会：薛定谔⽅程的建⽴、⼏率流密度，粒⼦数守恒定理2.简明应⽤：量⼦⼒学的初值问题（三）、不含时薛定谔⽅程1. 领会：定态、定态性质2. 简明应⽤：定态薛定谔⽅程第三章：⼀维定态问题⼀、考核知识点：（⼀）、⼀维定态的⼀般性质（⼆）、实例⼆、考核要求：1.领会：⼀维定态问题的⼀般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应⽤：定态薛定谔⽅程的求解、第四章量⼦⼒学中的⼒学量⼀、考核知识点：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归⼀化”（四）、算符的共同本征函数（五）、⼒学量的平均值随时间的变化⼆、考核要求：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质1.识记：算符、⼒学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本⼒学量算符的对易关系（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征⽅程、本征值、本征函数、正交归⼀完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、⼒学量可取值及测量⼏率、⼏率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归⼀化”1.领会：连续谱的归⼀化、箱归⼀化、本征函数的封闭性关系（四）、⼒学量的平均值随时间的变化（⼀）、表象变换，⼳正变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量⼦态的不同描述⼆、考核要求：（⼀）、表象变换，⼳正变换1.领会：⼳正变换及其性质2.简明应⽤：表象变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应⽤：平均值、本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应⽤：利⽤算符矩阵表⽰求本征值和本征函数（三）、量⼦态的不同描述第六章：微扰理论⼀、考核知识点:（⼀）、定态微扰论（⼆）、变分法（三）、量⼦跃迁⼆、考核要求:（⼀）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应⽤：简并态能级的⼀级，⼆级修正及零级近似波函数4.综合应⽤：⾮简并定态能级的⼀级，⼆级修正、波函数的⼀级修正。
直接跃迁的速率和选择定则
第三章 理想晶体带间光跃迁总体系：光子+电子+声子()()()(),(),n X n λλψΘ=Ξ=ΞψR R R r r3.1 直接跃迁--速率和选择定则电子-声子相互作用可忽略的情形：单由光子-电子相互作用引起的没有声子参与的光跃迁跃迁初末态就不必标记其 声子状态 ()q X n =R初态 ,iiiii i n n κκψ≡Θ==ψ 跃迁到末态 ,f ffff f n n κκψ≡Θ==ψ跃迁速率：归结为计算相互作用哈密顿量在跃迁初末态之间的矩阵元。
费米黄金规则：()22fi If i fiW H E E πδ=- （3.1-1）在一级近似下（单光子跃迁），弱辐射场与原子体系（其中的电子体系）相互作用哈密顿量I H 近似为：()()()()()1=I I i i i iie i iiH H e m A r p e m A r p ≈=-⋅⋅∑∑其中()i A r 为相关的光场(模式κ)的矢势如（1.2-7），（1.2-9），（1.2-10）所示跃迁速率：(一阶微扰)正比于初末电子态 iψ和fψ间(1)I H 的矩阵元的平方，即()2exp fifii i i ee W i r p m κκψπψ±⋅⋅∑k(3.1-2)初末电子态 i ψ和f ψ：相应电子组态的行列式波函数绝热近似，单电子近似和能带近似→ 理想晶体电子态的能带图像理想晶体的带间（直接）光跃迁是光与电子体系相互作用导致的，在两个电子组态（相应的波函数为行列式波函数）间的跃迁上述矩阵元的性质：注意：微扰哈密顿算符()()()1=II e i i iH H e m A r p ≈⋅∑是单电子算符之和，它具有如下的一般形式：ˆˆ()NiG gi =∑ （3.1-3）其中右边求和式中的每一项ˆ()gi 都只与某一个电子i 的坐标有关，其形式不随i 而变 -→算符ˆG对电子的交换是对称的下面我们先讨论算符G 的矩阵元的性质，然后由此推断出几个跃迁选择定则。
发光物理基础9
hv = Eg − Eex
• Ex为自由激子发光，I2为束缚于中性施主（生长条件有关的杂质）的激 子发光，I1S为束缚N受主的激子发光，Q1、Q2为施主－受主对的发光。 • 束缚激子发光能量低于自由激子；束缚激子的发光强度高是由于束缚激 子的动能为0，使得无辐射跃迁的几率低。 • 可以由激子束缚能估计杂质电离能： • 一般而言激子束缚能与杂质电离能之比为常数。对ZnSe为0.1，Ex ＝ 2.8eV, I1S =2.79eV, 束缚能为10meV,杂质电离能约为1005
DOS
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -3 -2 -1 0 1 2 3
Energy (eV)
直接带的带间直接跃迁
• 复合速率R 对半导体而言，n为导带参与发 光的电子浓度，p为价带参与发 光的空穴浓度。对光生载流子 n=p ≈ni • 复合截面σ 相当于电子截获空穴的有效面积 • 利用发光谱测量R，利用霍尔效 应测量载流子浓度（因为产生率 与载流子浓度无关），可以得到 σ。 • 杂质的影响 杂质原子可以提供杂质能级，对 带间复合具有显著影响，复合界 面很大。与杂质是否电离密切相 关 • 带间直接复合仅在纯净半导体中 观察到。 • 由于存在本征吸收，需要对发光 谱进行自吸收校正
k p = K ex − ∑ q, K ex = ∑ q
1 1
N
N
1 h2 k 2 直接带：hv = Eg − Eex 2 Eex − ( = E0 ) n 2 ( me + mh ) 1 h2 k 2 间接带：hv = Eg − Eex 2 Eex − − E p ( mE p ) ( = E0 ) n 2 ( me + mh ) 1 hv − E0 R ( v ) ≈ B ( hv − E0 ) 2 exp − kT
1经典物理学不能解释
习题第一章 绪论一、填空1.经典物理学不能解释： 、 、 、 和 等问题。
2.1900年，为解决黑体辐射的困难，普朗克提出了____的概念，导出了以他名字命名的普朗克公式 ；1905年，普朗克的量子化概念被爱因斯坦进一步推广，得到了光子的动量和波矢量的关系式 。
这两个关系式合称为普朗克－爱因斯坦关系式。
3.利用普朗克－爱因斯坦关系式，可以解释____、____和____实验结果。
二、概念与名词解释1.黑体辐射2.玻尔的量子论3.光的波粒二象性4.德布罗意关系5.杜隆－珀蒂定律 三、计算1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m T b λ= （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
3．氦原子的动能是kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数），求1T K =时，氦原子的德布罗意波长。
4．利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场10H T =，玻尔磁子124109−−⋅×=T J M B ，试计算动能的量子化间隔△E ，并与4T K =及100T K =的热运动能量相比较。
5．两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？第二章 波函数和薛定谔方程一、填空1. 一维谐振子的能量本征值n E 与_____有关，能量是量子化的。
最低的能量是____，称为_____。
能级都是等间距的，间隔都是____。
2. 定态的性质：粒子的____和____不随时间变化；任何不显含时间变量的力学量的____和____不随时间变化。
二、概念与名词解释1. 态叠加原理2. 概率流守恒定律3. 定态4. 束缚态 三、计算1．证明在定态中，几率流与时间无关。
2．由下列定态波函数计算几率流密度：ikr ikr e re r −==1)2( 1)1(21ψψ从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
量子力学考试知识点
《量子力学》考试知识点第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。
第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2.简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1. 领会：定态、定态性质2.简明应用：定态薛定谔方程3.fdfgfdgdfg第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1.识记：算符、力学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归一化”1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1.识记：好量子数、能量－时间测不准关系2.简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1.领会：幺正变换及其性质2.简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点:（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求:（一）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。
第一章-量子论基础
第五章 近似方法一、概念与名词解释 1. 斯塔克效应 2. 跃迁概率 3. 费米黄金规则 4. 选择定则 二、计算1. 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r o ,电荷均匀分布的小 球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正 .2. 转动惯量为I ，电矩为D 的空间转子处在均匀电场 E 中，如果电 场较小，用微扰理论求转子基态能量的二级修正 .3. 转动惯量为I ，电矩为D 的平面转子处在均匀弱电场 E 中，电场 处在转子运动的平面上，用微扰法求转子的能量的二级修正 .E 0a b4. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是 E la 0b ,a 、b 是实数.b E 02 a(1) 用微扰公式求能量至二级修正；(2) 直接用求解能量本征方程的方法求能量的准确解， 并与(1)的结果 比较.E 10 0 a5. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是 0 E 10b，(E 02 E 10)* *E 0a bE2(1) 用简并微扰方法求能量至二级修正； (2) 求能量的准确值，并与 (1)的结果比较 .6. 在简并情况下，求简并微扰论的波函数的一级修正和能量的二级 修正.7. 线谐振子受到微扰aexp(-似2)的作用，计算基态能量的一级修正， 其中常数(3>0.8. 设线谐振子哈密顿算符用升算符a +与降算符a 表示为H o (a a 1/2)，此体系受到微扰I?'(a a)的作用，求体系的能级到二级近似.已知升与降算符对H o 的本征态|n>的作用为 a |n J n l|n 1J; an) Vn|n —1.9. 一个电荷为q 的线谐振子受到恒定弱电场E i 的作用，利用微扰 论求其能量至二级近似，并与其精确结果比较.10. 一维非简谐振子的哈密顿量为 H=p 2/2m+m 忍x 2/2+仅3. B 是常数， 若将H' x 3看成是微扰，用微扰论求能量至二级修正，求能量本 征函数至一级修正.11. 二维耦合谐振子的哈密顿量为H=(p x 2+P y 2)/2卩+卩w (x 2+y 2)/2+ ?xy.若X<1，试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数.12. 在各向同性三维谐振子上加一微扰 H' axy bz 2,求第一激发态的 一级能量修正.13. 一维无限深势阱(0<xva)中的粒子，受到微扰H' 2 x/a/、(「旳作用，求基态能量的一级修正.2x(1 - x/a) (a/2 x a)14. 处于一维无限深势阱(0<xva)中的粒子，受到微扰H' ° (°x a/3,2a/3 x a)的作用，计算基态能量的一级修正.-V1 (a/3 x 2a/3)15. 在一维无限深势阱(0<x<a)中运动的粒子，受微扰16. 一个粒子处在二维无限深势阱V(x,y) 0 (0 a)中运动，现加(其他) 上微扰H' xy(0 x,y a), 求基态能量和第一激发态的能量修正值.2 2 217. 粒子在如下势阱中运动V(x)－2 2sin( x/a)/80 a2 (0 x a),求其(x 0,x a) 基态能量的一级近似.0 (0 x a/2)18. 粒子处于如下势阱中V(x) 2 2/80 a2 (a/2 x a) , 求其能级的一(x 0,X a)级近似值.19. 自旋为?/2的粒子处于一维无限深方势阱(0<xva)中，若其受到微扰H'cos(2 x/a)s?y(0 x a)的作用，求基态能量至一级修正，0 (x 0,x a)其中入为一小量.20. 两个自旋为?/2，固有磁矩算符分别为?1 ?1和?2 ?2的粒子，处于均匀磁场 B B0k 中，若粒子间的相互作用?1 ?2可视为微扰，求体系能量的二级近似，其中a仅丫为实常数.21. 类氢原子中，电子与原子核的库仑作用为U(r)= —Ze2/r，当核电荷增加e(从Z-Z+1)，相互作用增加H' -e2/r，试用微扰论求能量的一级修正并与严格解比较.22. 设氢原子处于均匀的弱电场0k 和弱磁场 B B0k 中，不考虑自旋效应，用微扰论讨论其n=2的能级劈裂情况.23. 求氢原子n=3简并度n2=9时的斯塔克效应.24. 设在t=0时，电荷为e的线性谐振子处于基态.在t>0时起，附加一与谐振子振动方向相同的恒定外电场£,求其处在任意态的概率.25. 一个自旋为？/2,磁矩为？ g?的粒子处于如下弱旋转磁场中B B°cos( t)i B o s in (t)j Bk ,粒子与磁场的作用为-g?B.若粒子开始处于S z= ?/2的状态，讨论跃迁情况并计算跃迁概率.26. 求氢原子的第一激发态的自发辐射系数.27. 一个处在第一激发态(2p)的氢原子位于一空腔中，求空腔温度等于多少时，自发跃迁概率和受激跃迁概率相等.28. 一个粒子在吸引势V(r)二-g2/r3/2中运动，试用类氢原子的波函数作为尝试波函数，求基态能量.29. 以(r) exp(-cr2)为试探波函数，求氢原子基态能量与波函数，其中c>0.30. 设一维非简谐振子的哈密顿算符为I? p2/2 x4,以(x) . a/ exp(-a 2x2/2)为试探波函数，a为变分参数，求其基态能量.231. 取尝试波函数为Ce-ax , C为归一化常数，a是变分参数，试用变分法求谐振子的基态能量和基态波函数，并算出归一化常数 C. 32. 设粒子在中心力场V(r)二-Ar n(n为整数)中运动，选R(r)=Nexp(-町为试探波函数，求其基态能量.进而求出库仑场(n= -1,A>0)和谐振子势(n=2,A<0)的结果，并与严格解比较.33. 试用①二exp[-f(x-1)2(x+2)/3]/(x+1)为试探波函数，f为变分参数，求势场为V(x)=g2(x2-1)2/2的基态能量，其中g是个很大的常数.三、1.在无简并的微扰论中，证明 (0) nE (0) 匚n E⑴(0) n(1)\ n /E (0)E n⑴ nW -E (1)1— n(1)、\ n/nm2m nm (nxm)|/ , m 是粒子质量，求证:nm0 (在(xy )/b z /a(其他地方)1内),其中 a 探(1+2 卩3), b^R(1- 03)，且2. 一维运动的体系，定义从|m ＞态跃迁到|n ＞态相应的振子强度为3. 设体系在t=0时处于基态|0＞，若长时间加上微扰V?(x, t) F(x)exp(-t/ ),证明该体系处于另一能量本征态|1＞的概率为(E i -E o )2~~亍四、综合题1. 一根长度为d 质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动，棒 的质量为M.在棒的两端分别有电荷+Q 和-Q. (1)写出体系的哈密顿量、本征函数和本征值；⑵ 如果在转动平面内存在一电场强度为 E 的弱电场，准确到一级修正，它的本征函数和能量如何变化？⑶如果这个电场很强，求基态的近似波函数和相应的能量值 .2.对于一个球形核来说，可以假定核子处在一个半径为R 的球对称势阱中，势场是V 0(r R).相应地，对发生微小形变的核，可以认为核子处在椭球形势阱中，势壁高仍为无限大，即势场是〈n 爭〈n 爭E (?)E ⑴np＜＜1，利用微扰论，准确到一级近似，求椭球形核相对于球形核这里C、a是复数，(x)0 (x 0)1 (x 0)基态能量的变化•(提示：作变量代换，将椭球形势阱化成球形势阱后再讨论微扰影响.)3. 一个量子体系由哈密顿量H=H o+H'描述，其中H' = i兀A,H°]是一个加在非微扰哈密顿量H o上的微扰，A是个厄米算符，入是个实数. 设B是另一个厄米算子，而且C=i[B,A].(1)已知A、B、C在无微扰(非简并)基态的平均值为<A>o、<B>o、<C>o•当微扰加入时，求B在微扰后的基态上的平均值至入的第一级；_ 3p2 1⑵ 将这个结果用到如下三维问题上：H o 匹丄m 2x2 , H' X3.i i 2m 2计算X i在基态的平均值<X i>(i=1,2,3)至入的最低阶，并将这个结果和精确解相比较.4. 把处在基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z轴方向.电场沿z轴方向，可视为均匀电场.设电容器突然充电，然后放电，电场随时间的变化是⑴°t/(t o )(为常数).求时间充o e-t/(t o)分长后，氢原子跃迁到2s态和2p态的概率.5. 考虑势U=g|x|的能级.(1)用量纲分析，推导本征值和参数(质量m、？、g)的关系;⑵用尝试波函数忙C q x+a) &a-x)(1-|x|/a)对基态能量作变分计算⑶为什么忙c q x+c)q a-x)不是一个好的尝试波函数?(4)如果要求第一激发态能量，你将如何处理？6. 一个质量为m的粒子在汤川势U(r)=-洽口斤中运动，用变分法，取尝试波函数©= e-ar,问入的临界值加等于多少时，能使得 e 无束缚态，> b有束缚态？7. 介子一般可看成夸克和反夸克(q可的束缚态.考虑S态介子，设夸克质量为mq,束缚q和q的势U=A/叶Br , A<0 , B>0.(1) 选用类似于氢原子基态波函数的©= e-r/a作为尝试波函数，用变分法求基态能量(在用变分法决定a的方程中，可近似取A = 0来简化计算).(2) 用不确定性原理估算基态能量，并和变分法的结果(1)比较.。
黄金费米定律
黄金费米定律是费米估算的一个原则，可以用来估算一个特定领域内的高度智能化生命体的数量。
它基于一个假设，即宇宙中智能生命体的出现并不属于异常的事件，而是可能在很多星系中都存在的普遍现象。
根据这一定律，我们可以推测在银河系中可能存在许多智能生命体。
黄金费米定律是由费米估测得出的，费米是一位意大利裔美国物理学家，他在20世纪50年代发表了一篇题为《我们在哪里？》的文章。
在这篇文章中，费米提出了一个问题：“宇宙中是否存在其他智能生命体？”为了解答这个问题，费米提出了一种方式来进行估算。
费米首先考虑到了银河系中存在着大量的恒星系统，其中一部分可能与太阳系相似，这些星系很可能也拥有一颗或多颗行星。
对于可能存在智能生命体的行星，费米推测它们的数量可能会相当可观。
然后，费米考虑到这些星系的进化时间应该与太阳系相似，因为宇宙中的各个部分的年龄相差不大。
接下来，费米用一些基本的数学和逻辑推理来估算智能生命体的数量。
他认为如果有一种生命形式能够在恒星系统中进化出高度智能的生命体，那么它们很可能会以一种方式来进行太空探索和通信。
因此，我们可以期望收到一些来自这些智能生命体的信号。
然而，到当时为止，我们还没有收到来自外星文明的信号。
费米因此推测，可能存在一个我们无法理解的原因，阻止智能生命体在宇宙中扩散并与我们进行接触。
这个原因可能是文明灭绝的原因，也可能是我们的技术还不足以接收到它们的信号。
根据黄金费米定律，根据我们目前对于宇宙的了解，我们可以推测在银河系中可能存在大量的智能生命体。
然而，我们还未能与它们取得联系，或者我们还没有足够的技术手段可以接收到它们的信号。
黄金费米定律引发了很多对于宇宙中智能生命存在性的讨论和研究。
人类一直希望能够找到其他智能生命体，这将对于我们理解自身的处境和宇宙的本质有着巨大的影响。
然而，目前为止，我们仍然没有确定的证据来证明外星智能生命的存在。
总之，黄金费米定律提供了一种估算银河系中智能生命体数量的方式，虽然我们尚未找到确凿的证据，但它激发了人们对于外星智能生命存在性的研究和探索。
量子力学讲义第1112章
第四篇 跃迁问题和散射问题量子跃迁 ~ 初态 −→−'H末态：几率？弹性散射 ~ 初态 −−→−)(r U 末态：散射截面（几率）？第十一章 量子跃迁量子态的两类问题：① 体系的可能状态问题，即力学量的本征态和本征值问题。
② 体系状态随时间演化问题ψψH ti =∂∂。
11.1 跃迁与跃迁几率设 )0().()(),()(0)0()0()0(00=∂∂='+=tH r E r H t H H t H n nnψψ → 定态波函数 ,......2,1,)(),()0()0()0(==-n e r t r t E in nn ψψ。
将)(t H ' 作微扰，t =0时加入。
本节讨论在)(t H '作用下，由初态)0(k ψ−→−'H末态)0(m ψ的几率?=→m k W一、体系由)0(k ψ→)0(m ψ的几率将),(t r ψ按}{)0(n ψ展开：)()(),()0(r t C t r n nn ψψ∑=。
由0H 的定态波函数知，0H 引起的变化由tE i n e )0(-反映，故可令t E i n n n et a t C )0()()(-=，)(t H '引起的变化由)}({t a n 反映。
),()()()(),()0()0()0(t r t a r e t a t r n nn n t E in n nψψψ∑∑==→-。
)(~)(2t a t a W m m m k =∴→称为几率幅。
二、)(t a n 的运动方程利用含时S-方程，有∑∑∑∑'+=∂∂+nnn n n n n n n n n n t r H t a t r H t a t r t t a i dt t da t r i ),()(),()(),()()(),()0()0(0)0()0(ψψψψ 由 ∑∑'=→=∂∂nn n n n n n n t r H t a dt t da t r i t r H t r t i ),()()(),(),(),()0()0()0(0)0(ψψψψ用),()*0(t r m ψ左乘，并积分得∑'=nt i mnn m mn e H t a dt t da i ω)()(， 式中 )(1,)()()0()0()0()*0(n m mn n m mnE E d r H r H -='='⎰ωτψψ~玻尔频率。
电离杂质对载流子的散射解析
•
A(q) 1 V (x)eiq•xdx
V
（4）
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• 将（3）式和 k (x) eik•xuk (x) 代入式（1），得到
Mk 'k A(q) ei(k qk ')•xuk ( x)uk ( x)dx A(k 'k ) uk (x)uk (x)dx
曼统计方程，计算出了电离杂质散射的电阻率。
•
9 1011
3
1
2e2m2
7
2 2
T -2
-3 2
ln
1
36
2d
2 (kT)2 e4
（6）
• d为电离杂质平均艰巨的一半，κ是半导体的介电常数。
• 由于迁移率与电阻率是成反比的，由此得到的迁移率公式称为 Conwell-Weisskopf公式。mn电子有效质量，NI为电离杂质浓度
7
3Leabharlann •2232
（ 2 k T) 2
1
mn2 e3 N I
1
ln 1 (3kT
e
2
N
1 3
I
)
2
（7）
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带电载流子之所以改变了运动轨迹，发生了偏离，是因为 受到电离后的杂质所产生的库仑势场的作用，但也不是所 有的载流子都会被电离杂质的这种库仑势场所散射。由于 晶体中自由载流子的存在，较远距离的库仑势会受到屏蔽。 在屏蔽库仑势的基础上处理电离杂质散射将更为合理。所 以用屏蔽库仑势代替裸库仑势，是处理电离杂质散射的一 个有效方法。在没有任何附加势的晶体中，自由载流子是 均匀分布的。但电离中心的电荷引起的附加势，使载流子 在荷电中心附近偏离均匀分布。
能级跃迁方程
能级跃迁方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：能级跃迁是指原子或分子从一个能级跃迁到另一个能级的过程，这是量子力学中极其重要的一个概念。
在现代物理学中，能级跃迁方程被用来描述这一过程，并在研究光谱、原子核衰变等领域发挥着关键作用。
在本文中，将详细介绍能级跃迁方程的基本原理及其在物理学中的应用。
我们来了解一下能级跃迁的概念。
在原子或分子中，电子通过吸收或发射能量，从一个能级跃迁到另一个能级。
这种跃迁是量子力学的基本过程，其中电子在能级之间跃迁时会释放或吸收光子。
根据能级跃迁的性质，可以分为辐射跃迁和非辐射跃迁两种情况。
辐射跃迁是指电子跃迁时释放光子，而非辐射跃迁则是指不释放光子的跃迁过程。
能级跃迁方程是用来描述能级跃迁过程的数学模型。
在量子力学中，能级跃迁可以用希尔伯特空间中的算符来描述。
当一个原子或分子经历能级跃迁时，它的波函数会发生变化，从而影响其物理性质。
能级跃迁方程通常用薛定谔方程来描述，即H|ψ⟩=E|ψ⟩其中H是哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。
在能级跃迁过程中，波函数会由初始状态跃迁到末态，其波函数的变化可以用波函数几率振幅来描述。
波函数几率振幅的平方值表示在某一状态跃迁到另一状态的概率。
能级跃迁方程在物理学领域有着广泛的应用。
在光谱学中，能级跃迁方程被用来解释物质吸收或发射光线的机制。
通过研究能级跃迁过程，科学家们可以推断出物质的结构和性质，并且可以利用这些信息来设计新型材料。
在原子核物理学中，能级跃迁方程被用来研究原子核的稳定性和衰变过程，从而揭示原子核内部的结构和相互作用。
除了以上两个领域，能级跃迁方程还在半导体物理学、天体物理学等领域有着重要的应用。
在半导体器件中，能级跃迁方程被用来研究电子在能带中的跃迁过程，从而改善器件的性能。
在天体物理学中，能级跃迁方程被用来解释星体的发光机制，帮助科学家们了解宇宙的起源和演化。
能级跃迁方程是描述原子或分子能级跃迁过程的关键工具。
通过研究能级跃迁方程，科学家们可以深入理解量子力学中的基本概念，并且可以在各个领域中应用这一理论，推动科学的发展。
电离杂质对载流子的散射
弹性散射。
图1 载流子在电离杂质附近的运动轨迹
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• 早期对于电离杂质散射的研究中，E.Conwell和V.F.Weisskopf在1950 年在Physical Review上发表的一篇文章。他们假设一个电子被一个离 子杂质散射时几乎不受其他离子杂质的影响，并且利用洛伦兹玻尔兹
像sige这类半导体电离杂质散射和晶格散射是主要的尤其是在低温或者低掺杂及中度掺杂的时候至于温度升高升高到一定程度以后它们的作用会渐渐减弱直至不予考虑这时候一些其他类型的散射形式就出现了占据主导地位直接影响到半导体材料的散射程度
电离杂质对载流子的散射
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1
mn 2e3NI
1 l（ n1b)b1b
（8）
b6m nnk2e2T2 2
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• 当n=NI时，由C-W公式得出的结果和B-H公式得出的结果几乎相 同，这一点在下图3中也可以看出。虽然这两个公式给出了不同 的结果，但是当导带电子浓度明显少于电离杂质浓度时，在相同
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散射形成的根本原因在于原子在不同能级之间发生了跃 迁，跃迁的结果是从一个初态跃迁到另外一个末态，这 个跃迁过程中会发生能量的改变，或者释能量或者吸收 能量，并且改变的能量不是连续值，只能是某个特定值 值成倍数增加或者减少。所以跃迁的本质涉及到量子力 学中的散射理论。
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• 从图5可以看出，当电离 杂质浓度高于1018cm-3, 理论计算得到的迁移率 值与实验测得的值符合 得很好。实验得到的曲 线形状与BrooksHerring曲线形状相同， 但是实验值相对要小。
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Transition Probabilities （跃迁概率）and Fermi's Golden Rule
One of the prominent failures of the Bohr model for atomic spectra was that it couldn't predict that one spectral line would be brighter than another. From the quantum theory came an explanation in terms of wavefunctions, and for situations where the transition probability is constant in time, it is usually expressed in a relationship called Fermi's golden rule.
In general conceptual terms, a transition rate depends upon the strength
of the coupling between the initial and final state of a system and upon the number of ways the transition can happen (i.e., the density of the final states). In many physical situations the transition probability is
of the form
The transition probability跃迁概率λis also called the decay probability （衰退概率）and is related to the mean lifetime τof the state by λ= 1/τ. The general form of Fermi's golden rule can apply to atomic transitions, nuclear decay, scattering ... a large variety of physical transitions.
A transition will proceed more rapidly if the coupling between the initial and final states is stronger. This coupling term is traditionally called the "matrix element" for the transition: this term comes from an alternative formulation of quantum mechanics in terms of matrices rather than the differential equations of the Schrodinger approach. The matrix element can be placed in the form of an integral where the interaction which causes the transition is expressed as a potential V which operates
on the initial state wavefunction. The transition probability is proportional to the square of the integral of this interaction over all
of the space appropriate to the problem.
This kind of integral approach using the wavefunctions is of the same general form as that used to find the "expectation value" or expected average value of any physical variable in quantum mechanics. But in the case of an expectation value for a property like the system energy, the integral has the wavefunction representing the eigenstate of the system in both places in the integral.
The transition probability is also proportional to the density of final states
. It is reasonably common for the final state to be composed of
f
several states with the same energy - such states are said to be "degenerate" states. This degeneracy is sometimes expressed as a "statistical weight" which will appear as a factor in the transition probability. In many cases there will be a continuum of final states, so that this density of final states is expressed as a function of energy.。