矩形菱形正方形复习课
初中数学八年级下册苏科版9.4矩形、菱形、正方形教学课件说课稿
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.例题讲解：针对矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，精选典型例题进行讲解，让学生掌握解题思路。
2.课堂练习：设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，及时巩固所学知识。
3.小组竞赛：组织小组间进行几何图形拼图竞赛，激发学生的竞争意识，提高他们的动手操作能力。
3.技术工具：智慧黑板、几何画板等，方便学生实时观察和操作，提高课堂互动性。
这些媒体资源在教学中的作用是：丰富教学形式，提高学生的学习兴趣；增强课堂互动，方便学生实时反馈；直观展示几何图形，降低学习难度。
（三）互动方式
我计划设计以下师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作：
1.师生互动：提问、引导、讲解，关注学生的反馈，及时调整教学策略。
1.创设情境：通过引入生活中的实际例子，让学生感受到矩形、菱形、正方形在实际中的应用，提高他们的学习兴趣。
2.合作探究：组织学生进行小组讨论，鼓励他们主动发现问题、解决问题，培养合作交流的习惯。
3.竞赛激励：设置几何图形拼图竞赛，激发学生的竞争意识，提高他们对特殊四边形性质的理解和运用能力。
4.赏识教育：对学生的每一次进步给予充分的肯定和鼓励，增强他们的自信心，提高学习积极性。
1.生活实例引入：展示生活中常见的矩形、菱形、正方形物体，如窗户、红绿灯、魔方等，让学生认识到特殊四边形在生活中的广泛应用。
2.问题驱动：提出问题：“你们知道这些图形有什么特殊之处吗？”引发学生思考，激发他们的好奇心。
3.游戏互动：设计一个简单的几何图形拼图游戏，让学生在游戏中体验矩形、菱形、正方形的性质，自然过渡到新课的学习。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下问题或挑战：
中考总复习：矩形、菱形和正方形教案
中考总复习：矩形、菱形和正方形教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解矩形、菱形和正方形的定义及性质；（2）掌握矩形、菱形和正方形的判定方法；（3）学会运用矩形、菱形和正方形的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、推理等方法，探索矩形、菱形和正方形的性质；（2）培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作精神，增强自信心。
二、教学内容：1. 矩形的性质（1）定义：有一个角为直角的平行四边形叫矩形；（2）性质：对边平行且相等，对角相等，对边垂直。
2. 菱形的性质（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形；（2）性质：对边平行且相等，对角相等，邻边垂直。
3. 正方形的性质（1）定义：有一个角为直角且有一组邻边相等的矩形叫正方形；（2）性质：对边平行且相等，对角相等，邻边垂直，四条边相等。
4. 矩形、菱形和正方形的判定（1）有一个角为直角的平行四边形是矩形；（2）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（3）有一个角为直角且有一组邻边相等的矩形是正方形。
三、教学重点与难点：1. 重点：矩形、菱形和正方形的性质及判定。
2. 难点：矩形、菱形和正方形性质的灵活运用。
四、教学过程：1. 导入：通过复习平行四边形的性质，引导学生思考矩形、菱形和正方形的特殊性质。
2. 新课导入：介绍矩形、菱形和正方形的定义及性质。
3. 实例分析：运用矩形、菱形和正方形的性质解决实际问题。
4. 判定方法：讲解矩形、菱形和正方形的判定方法。
5. 练习与讨论：学生分组练习，探讨矩形、菱形和正方形的性质及判定。
五、课后作业：1. 复习矩形、菱形和正方形的性质及判定；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 思考如何运用矩形、菱形和正方形的性质解决实际问题。
六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究矩形、菱形和正方形的性质；2. 利用几何画板或实物模型，直观展示矩形、菱形和正方形的性质；3. 运用案例分析法，让学生通过实际问题，巩固矩形、菱形和正方形的知识。
中考总复习：矩形、菱形和正方形教案
中考复习-《特殊平行四边形》教学设计九运街镇中学——陈连伟【教学目标】1、掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的联系及区别。
2、灵活运用平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及判定解决问题。
3、发展学生的合情推理能力，进一步学习有条理的思考与表达，让学生理解推理与论证的基本过程，培养学生合作学习的能力。
4、养成学生独立思考的学习习惯，体验学习过程中，获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
【教学重难点】重点：理解平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的内在联系，并能灵活运用。
难点：区分平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及判定。
【教学过程】一、课标解读，把握中考题型预测：特殊平行四边形的中考热点，其题型可能填空、选择和解答题，也可能在压轴题中出现，每份试卷至少2题关于特殊平行四边形的内容，可能简单，也可能复杂．二、考点梳理，夯实基础考点1：矩形的性质与判定1.性质(1)具有平行四边形的一-切性质；(2)矩形的四个角都等于，对角线；(3)矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形。
2.判定(1)平行四边形十一个直角=矩形；(2)平行四边形十对角线相等=矩形；(3)四边形十三个直角=矩形。
考点2：菱形的性质与判定1.性质(1)具有平行四边形的一-切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直____ , 并且每一条对角线平分一组对角；(4)菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形；(5)菱形的面积=底X高= 两条条对角线乘积的一半。
2.判定(1)平行四边形十一组邻边相等 = 菱形；(2)平行四边形十对角线垂直 = 菱形；(3)四边形十四条边相等=菱形。
考点3：正方形的性质与判定1.性质正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质:(1)边:四边都相等 ,邻边垂直；(2)角:四个角都等于900 ；(3)对角线相等 ,互相垂直平分 , 每条对角线平分一组对角；(4)轴对称图形,有四条对称轴。
2.判定(1)菱形十一个直角=正方形；(2)矩形十一组邻边相等=正方形；(3)菱形十对角线相等=正方形；(4)矩形十对角线垂直=正方形；(5)四边形十对角线垂直平分且相等=正方形。
中考数学复习矩形、菱形、正方形教案
中考数学复习矩形、菱形、正方形教案教案内容：一、教学内容：本节课的教学内容选自人教版九年级数学下册第二章《矩形、菱形、正方形》的复习。
主要包括矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质以及它们之间的相互关系。
二、教学目标：1. 熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质及其相互关系。
2. 能够运用矩形、菱形、正方形的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
三、教学难点与重点：重点：矩形、菱形、正方形的性质及其相互关系。
难点：如何运用矩形、菱形、正方形的性质解决实际问题。
四、教具与学具准备：教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：笔记本、尺子、圆规、直角三角板。
五、教学过程：1. 实践情景引入：教师展示一个实际问题：在一个矩形花园中，有一块菱形草地，求菱形草地的面积。
2. 自主探究：学生分组讨论，尝试运用矩形、菱形、正方形的性质解决问题。
3. 例题讲解：教师通过讲解矩形、菱形、正方形的性质，引导学生解决实际问题。
4. 随堂练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5. 课堂小结：6. 板书设计：矩形性质：对角线相等，对边平行且相等。
菱形性质：对角线互相垂直，对角线平分一组对角。
正方形性质：对角线相等，对边平行且相等，四个角都是直角。
矩形、菱形、正方形相互关系：矩形是菱形的一种特殊情况，正方形是矩形和菱形的特殊情况。
7. 作业设计：题目1：已知一个矩形的面积为24平方厘米，长为8厘米，求宽。
答案：宽为3厘米。
题目2：已知一个菱形的对角线互相垂直，且每条对角线的长度为5厘米，求菱形的面积。
答案：菱形的面积为10平方厘米。
题目3：已知一个正方形的边长为6厘米，求正方形的对角线长度。
答案：正方形的对角线长度为9厘米。
8. 课后反思及拓展延伸：本节课通过实际问题引导学生运用矩形、菱形、正方形的性质解决问题，提高了学生的动手实践能力和逻辑思维能力。
在课堂小结环节，学生能够较好地掌握矩形、菱形、正方形的性质及其相互关系。
中考复习：矩形、菱形、正方形
第26讲┃ 归类示例 解：(1)连接AC，∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC. ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形． ∵E是BC的中点， ∴AE⊥BC. ∵∠AEF＝60°， ∴∠FEC＝90°－60°＝30°. ∵∠C＝180°－∠B＝120°， ∴∠EFC＝30°， ∴∠FEC＝∠EFC， ∴CE＝CF. ∵BC＝CD， ∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.
正方形的 定义
正方形的 性质
正方形的 判定
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形 (2)有一个角是直角的菱形是正方形
第26讲┃ 考点聚焦
判定正方形的思路图：
第26讲┃ 考点聚焦 考点4 定义 中点四边形
顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中 点四边形 顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形 菱形 顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是_________
常见 结论
顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是__________ 矩形 正方形 顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是_______ 菱形 顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是______ 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形 菱形 是______
顺次连接对角线互相垂直的四边形所得到的四边形是 矩形 ______
第26讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 矩形的性质及判定的应用 命题角度： 1. 矩形的性质； 2. 矩形的判定． 例1 [2012·扬州]如图26－1，在四边形ABCD中，AB＝ BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足为E. 求证：BE＝DE.
图26－1
第26讲┃ 归类示例
[解析]本题综合考查全等三角形的判定与性质、矩形 的判定与性质，通过添加辅助线构造全等三角形，根据 “全等三角形的对应边相等”加以证明． 作 CF⊥BE 于 F ， 得 Rt△BCF 和 矩 形 FEDC ， 先 证 明 △ABE≌△BCF，得BE＝CF，再根据矩形的性质说明DE＝ CF即可．
2025年中考数学总复习培优训第21课时 矩形、菱形、正方形
线 AC 于点 E.则点 E 的坐标为( B )
A. 1，52
B. (1，2)
C.. [2024 包头]如图，在矩形 ABCD 中，E，F 是边 BC 上两点，
且 BE＝EF＝FC，连接 DE，AF，DE 与 AF 相交于点 G，连接
BG.若 AB＝4，BC＝6，则 sin∠GBF 的值为( A )
课时对应练
又∵∠A＝∠M＝90°，∴△AHE≌△MFG.∴MF＝AH＝2. ∴S△FCG＝12×2CG＝CG. 若△FCG 的面积能等于 1，则 CG＝1，∴DG＝CD－CG＝5. ∵DH＝AD－AH＝4，∴GH＝ DG2＋DH2＝ 41. ∴EH＝GH＝ 41.∴AE＝ EH2－AH2＝ 37. ∵AB＝6＜ 37，∴点 E 不在线段 AB 上， ∴△FCG 的面积不能等于 1.
速度沿 OA，BC 向终点 A，C 移动. 当移动时间为 4 秒时，AC·EF
的值为( D )
A. 10
B. 9 10
C. 15
D. 30
课时对应练
9. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条 件：∠__A__B_C_＝__9_0_°_(_答__案__不__唯__一__) _，使得菱形ABCD为正方形.
课时对应练
12. [2023台州]如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD 上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则 BF的长为__2___5___.
课时对应练
13. [2024陕西改编]如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD 的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的 长为____3____.
课时对应练
19. [2024北京]如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE 于点F，CG⊥DE于点G.若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积 为___28_7____.
中考总复习：矩形、菱形和正方形教案
中考总复习：矩形、菱形和正方形教案一、教学目标1. 理解矩形、菱形和正方形的定义及其性质。
2. 掌握矩形、菱形和正方形的判定方法。
3. 能够运用矩形、菱形和正方形的性质解决实际问题。
二、教学内容1. 矩形的性质矩形的定义矩形的对边平行且相等矩形的对角相等矩形的对边垂直2. 菱形的性质菱形的定义菱形的四边相等菱形的对角相等菱形的对角垂直3. 正方形的性质正方形的定义正方形的四边相等正方形的对角相等且垂直正方形的对边平行且相等三、教学重点与难点1. 教学重点：矩形、菱形和正方形的性质及其判定方法。
2. 教学难点：运用矩形、菱形和正方形的性质解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探索矩形、菱形和正方形的性质。
2. 通过实例讲解，让学生学会运用矩形、菱形和正方形的性质解决实际问题。
3. 利用图形软件，展示矩形、菱形和正方形的动态变化，增强学生的直观感受。
五、教学过程1. 导入：通过展示实际生活中的矩形、菱形和正方形图片，引导学生思考它们的共同特点。
2. 新课导入：介绍矩形、菱形和正方形的定义及其性质。
3. 课堂讲解：讲解矩形、菱形和正方形的性质，并通过实例进行讲解。
4. 课堂练习：布置一些有关矩形、菱形和正方形的练习题，让学生巩固所学知识。
6. 课后作业：布置一些有关矩形、菱形和正方形的课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
7. 课后反思：对本节课的教学进行反思，了解学生的掌握情况，为下一节课的教学做好准备。
六、教学评价1. 课堂讲解评价：观察学生在课堂讲解中的参与程度、理解程度和应用能力。
2. 课堂练习评价：批改学生在课堂练习中的题目，评价其对矩形、菱形和正方形知识的掌握程度。
3. 课后作业评价：批改学生在课后作业中的题目，评价其对矩形、菱形和正方形知识的掌握程度和应用能力。
七、教学拓展1. 利用网络资源，让学生了解矩形、菱形和正方形在现实生活中的应用，拓宽视野。
2. 组织学生进行小组讨论，探究矩形、菱形和正方形的其他性质及其应用。
中考专题复习——矩形菱形正方形
中考专题复习第二十一讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】考点一：与矩形有关的折叠问题例1 （2016•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=105cm，且tan∠EFC=34，那么该矩形的周长为（）A．72cm B．36cm C．20cmD．16cm对应训练1．（2016•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则ADAB的值为（）A．12B．33C．23D．22考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2 （2016•泉州）如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．对应训练2．（2016•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14B．15C．1 D．17考点三：和正方形有关的证明题例3 （2016•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF ，再利用“边角边”证明△AOD 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD ，连接DF 交OE 于G ，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，再求出AG ，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD ． 解：（1）AD=CF ．理由如下：在正方形ABCO 和正方形ODEF 中，AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD ，即∠AOD=∠COF ，在△AOD 和△COF 中，AO CO AOD COF OD OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△COF （SAS ）， ∴AD=CF ；（2）与（1）同理求出CF=AD ，如图，连接DF 交OE 于G ，则DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，∵正方形ODEF 的边长为2，∴OE=2×2=2，∴DG=OG=12OE=12×2=1， ∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt △ADG 中，AD=22224117AG DG +=+=，∴CF=AD=17．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．对应训练3．（2016•三明）如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在BC 的延长线上，且PE=PB ．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．3．（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，BC DCBCP DCPPC PC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP≌△DCP（SAS）；（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠DPE=∠DCE，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC；（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°．故答案为：58．考点四：四边形综合性题目例4 （2016•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．思路分析：（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；易证△MND ∽△DFA，∴ND DMAF AD=，即ND a tat aa t-=-，得ND=t．∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，∴AF=DM，即ata t-=t，得t=0，不合题意．∴此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，∴t=12a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；又由△NDM∽△DCF，∴DN DCDM FC=，即t aa t FC=-，∴FC=()a a tt-．∴()a a tt-=a-t，∴t=a，此时点F与点C重合．综上所述，当t=a或t=12a时，△MNF能够成为等腰三角形．点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．对应训练4．（2016•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．4．解：（1）①BF=AD ，BF ⊥AD ；②BF=AD ，BF ⊥AD 仍然成立，证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC ，∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=CF ，∠FCD=90°，∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，在△BCF 和△ACD 中BC ACBCF ACD CF CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△ACD （SAS ），∴BF=AD ，∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF ⊥AD ；（2）证明：连接DF ，∵四边形CDEF 是矩形，∴∠FCD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，∵AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，∴34BC CF AC CD ==，∴△BCF ∽△ACD ，∴∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF⊥AD，∴∠BOD=∠AOB=90°，∴BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB2=AC2+BC2=32+42=25，∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=43，CF=1，∴DF2=CD2+CF2=(43)2+12=259，∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+259=2509．【聚焦山东中考】1．（2016•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF2．（2016•枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．3-1B．3-5C．5+1D．5-13．（2016•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．4．（2016•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．5．（2016•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+3．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．6．（2016•济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．6．（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，ABE DAFAB ADBAE D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则与（1）的情况完全相同．7．（2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD ：AB= 时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）8．（2016•淄博）矩形纸片ABCD 中，AB=5，AD=4．（1）如图1，四边形MNEF 是在矩形纸片ABCD 中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD 中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．8．解：（1）正方形的最大面积是16．设AM =x （0≤x ≤4），则MD =4-x ．∵四边形MNEF 是正方形，∴MN =MF ，∠AMN +∠FMD =90°．∵∠AMN +∠ANM =90°，∴∠ANM =∠FMD ．∵在△ANM 和△DMF 中A D ANM FMD MN FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANM ≌△DMF （AAS ）．∴DM =AN ．∴S 正方形MNEF =MN 2=AM 2+AN 2，=x2+（4-x）2，=2（x-2）2+8∵函数S正方形MNEF=2（x-2）2+8的开口向上，对称轴是x=2，在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，∵0≤x≤4，∴当x=0或x=4时，正方形MNEF的面积最大．最大值是16．（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．9．（2016•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．9．解：（1）完成图形，如图所示：证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，【备考真题过关】一、选择题1．（2016•铜仁地区）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．（2016•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．（2013•随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．25B．20C．15D．104．（2016•重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm 5．（2016•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12B．24C．123D．1636．（2016•巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（）A．24B．16C．43D．237（2016•茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC 的长是（）A．2B．4C．2 3D．438．（2016•成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A．1B．2C．3D．4 9．（2016•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S210．（2016•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．（2016•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm12．（2016•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．A．2B．3C．4D．5二、填空题13．（2016•宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为------度时，两条对角线长度相等．14．（2016•淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．15．（2013•无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于．16．（2016•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．17．（2016•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=35，BE=4，则tan ∠DBE的值是．18．（2016•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE= ．19．（2016•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若1CGGB k=，则ADAB=用含k的代数式表示）．20．（2016•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．21．（2016•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．22．（2016•南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．23．（2016•舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．24．（2016•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是 ．25．（2016•荆州）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1、BC 1．若∠ACB=30°，AB=1，CC 1=x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ；②当x=1时，四边形ABC 1D 1是菱形；③当x=2时，△BDD 1为等边三角形；④s=38（x -2）2 （0＜x ＜2）； 其中正确的是 （填序号）．三、解答题26．（2016•南通）如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ．求证：四边形BCDE 是矩形．26．证明：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD -∠BAC=∠CAE -∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∵在△BAE 和△CAD 中AE AD BAE CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△CAD （SAS ）， ∴∠BEA=∠CDA ，BE=CD ，∵DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∵AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠BEA=∠CDA ，∴∠BED=∠CDE ，∵四边形BCDE 是平行四边形，∴BE ∥CD ，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE 是矩形．27．（2016•广州）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD相交于O ，AB=5，AO=4，求BD 的长．27．解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=2254-=3，∴BD=2BO=2×3=6．28．（2013•厦门）如图所示，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上任意一点，DE ⊥AG ，垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ．在线段AG 上取点H ，使得AG=DE+HG ，连接BH ．求证：∠ABH=∠CDE ．28．证明：如图，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠ABG=∠DAF=90°，∵DE ⊥AG ，∴∠2+∠EAD=90°，又∵∠1+∠EAD=90°，∴∠1=∠2，在△ABG 和△DAF 中， 1 290AB AD ABG DAF =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABG ≌△DAF （ASA ），∴AF=BG ，AG=DF ，∠AFD=∠BGA ，∵AG=DE+HG ，AG=DE+EF ，∴EF=HG ，在△AEF 和△BHG 中，AF BG AFD BGA EF HG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BHG （SAS ），∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，∠3+∠ABH=∠ABC=90°，∴∠ABH=∠CDE ．29．（2013•黔东南州）如图，在正方形ABCD 中，点M 是对角线BD 上的一点，过点M 作ME ∥CD 交BC 于点E ，作MF ∥BC 交CD 于点F ．求证：AM=EF ．29．证明：过M 点作MQ ⊥AD ，垂足为Q ，作MP 垂足AB ，垂足为P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形MFDQ 和四边形PBEM 是正方形，四边形APMQ 是矩形，∴AP=QM=DF=MF ，PM=PB=ME ，∵在△APM 和△FME 中，AP MF APM FME PM ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△APM ≌△FME （SAS ）， ∴AM=EF ．30．（2016•铁岭）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，连接AE ，BE ．（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．30．（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD=BD=CD ，∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．31．（2016•南宁）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE 的长．31．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=CD ，∠B=∠D ，∵点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，∵AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，在Rt △AEB 中，∠B=60°，AB=4，sin60°=4AE AE AB =， 解得AE=23．32．（2016•贵阳）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 是BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E ，连接EC ．（1）求证：AE=EC ；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F 在线段BC 上的什么位置？说明理由．32．（1）证明：如图，连接AC ，∵BD 也是菱形ABCD 的对角线，∴BD 垂直平分AC ，∴AE=EC ；（2）解：点F 是线段BC 的中点．理由如下：在菱形ABCD 中，AB=BC ，又∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AE=EC ，∠CEF=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°， ∴AF 是△ABC 的角平分线，∵AF 交BC 于F ，∴AF 是△ABC 的BC 边上的中线，∴点F 是线段BC 的中点．33．（2016•曲靖）如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G ．（1）求证：△DCF ≌△ADG ．（2）若点E 是AB 的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．33．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD=DC ，∠ADC=90°，∵CF ⊥DE ，∴∠CFD=∠CFG=90°，35．（2016•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．35．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．（1）如图 ，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图 ，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．36．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形；（2）结论：四边形EPCF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，。
第22讲 菱形、矩形、正方形
一半.
菱形的性质和判别
◆中考指数:★★☆☆☆
1.菱形的性质： (1)菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将 菱形的问题转化为直角三角形去解决. (2)有一个内角为60°(或120°)的菱形，连结对角线可构成 等边三角形，可将菱形问题转化到等边三角形中去解决. (3)巧用菱形的对称性可解决一些求线段和最小值的问题. 2.菱形的判别的两个思路： (1)若四边形为(或可证明为)平行四边形，则再证一组邻边 相等或对角线互相垂直. (2)若相等的边较多(或容易证出)时，可证四条边相等.
形的对角线相等且互相平分．
6.(2012·盐城中考)如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC. 在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为矩形,只需再
加上的一个条件是_______.(填上你认为正确的一个答案即可)
【解析】由题知四边形ABCD为平行四边形，再根据有一角为 90°的平行四边形为矩形可得结论. 答案：∠A=90°(或∠A=∠B或∠A+∠C=180°，答案不惟一)
1.(2012·长沙中考)如图，菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC且交 BC于E，AD=6 cm,则OE的长为( (A)6 cm (C)3 cm (B)4 cm (D)2 cm )
【解析】选C.由于四边形ABCD为菱形， 所以AD=AB=6 cm, OC 1 .
AC 2 由于OE∥AB，所以 OC OE ， AC AB
知 识 点 睛
特 别 提 醒
当已知中出现对角线的相关条件时，常用“对角线相等且
互相垂直平分的四边形是正方形”来证.
【例3】(2012·黄冈中考)如图，在 正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF， 连结DF,AE，AE的延长线交DF于点M. 求证:AM⊥DF. 【思路点拨】正方形的性质→△AOE≌△DOF→
(完整版)菱形,矩形,正方形教案
2015年凹凸个性教育初二数学教案菱形、矩形、正方形教师姓名年级学员姓名课次：总课次，第次授课时间年月日（星期）时分至时分课题菱形、矩形、正方形教学目标与重点【教学目标】知识与技能1菱形、矩形、正方形的概念及其与平行四边形的关系2菱形、矩形、正方形的性质3菱形、矩形、正方形的判定4菱形、矩形、正方形既是轴对称图形也是中心对称图形5能运用菱形、矩形、正方形的性质进行有关的证明和计算【教学重难点】1矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，都满足平行四边形的一切性质2牢记矩形、菱形、正方形的性质和判定3能灵活运用矩形、菱形、正方形的性质和判定进行证明和计算【教学准备】直角三角板【教学工具】板书加习题课前检查作业完成情况：优良中差建议：教学步骤一，知识点回顾1、矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分。
（2）矩形的对角线相等。
（3）矩形既是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称线；也是中心对称图形，对角线的交点是矩形的对称中心矩形的判定：（1）三个角是直角的四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形矩形的面积计算公式：面积=长⨯宽； 周长计算公式：周长=2⨯（长+宽）2菱形一组临边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等，对角线相等，对角线互相平分。
（2）菱形的对角线互相垂直。
（3）菱形既是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；又是轴对称图形，两条对角线都是它的对称轴。
菱形的判定：（1）四条边都相等的四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形的面积计算公式：面积=对角线）对角线⨯⨯(21； 菱形周长计算公式：周长=边长⨯4 3正方形有一组临边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形的性质：（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角(2)正方形的对角线相等，且互相垂直平分（3）正方形既是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；又是轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴正方形面积计算公式：边长边长面积⨯=； 正方形周长计算公式：周长=边长⨯4要判断一个四边形是正方形，可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组临边相等；或者先判定这个四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角。
初二数学矩形、菱形、正方形教案
一、教学目标1、掌握矩形、菱形、正方形的概念、以及平行四边形、矩形、正方形之间关系2、理解并牢记矩形、菱形、正方形的性质，以及它们的判定定理二、教学重难点1、掌握矩形、菱形、正方形的概念、以及平行四边形、矩形、正方形之间关系2、理解并牢记矩形、菱形、正方形的性质，以及它们的判定定理三、教学过程与方法1、知识概念讲解2、知识点讲解及练习【知识点一】矩形的定义及性质定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 性质：边：对边平行且相等 角：四个角都是直角对角线：对角线互相平分且相等对称性：矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形 提示：1、矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形2、矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形3、矩形是轴对称图形有两条对称轴，分别是两组对边中点连线所在的直线例题1 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 (填序号).①对角线互相平分；②对角线相等；③对角线互相垂直；④每条对角线平分一组对角；⑤对角相等；⑥对边相等；⑦任意两个邻角互补.练习1 在ABC 中，D 为AB 的中点，点E 在AC 上，且BE AC ⊥.若5,8DE AE ==，则BE 的长度是 .例题2 如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标是(3,1)-，点C 的横坐标是12-，点B 的纵坐标是152，则矩形AOBC 的面积为 .练习2 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，E 是AB 的中点，以AC 为边向外作等边三角形ACD .(1)求证://DE CB ;(2)探索当,AC BC 满足什么关系时，四边形DCBE 是平行四边形.【知识点二】矩形的判定1、有一个角是直角的平行，四边形是矩形2、三个角是直角的四边形是矩形3、对角线相等的平行四边形是矩形4、平行线间的距离：如果两条直线互相平平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行间线间的距离，两条平行线之间的距离处处相等例题 3 已知平行四边形ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ，AOB 是等边三角形，5AB =，则ABCD S =四边形 .练习3 在四边形ABCD 中，,AC BD 交于点O ，则下列不能判断四边形ABCD 是矩形的是( ).A. BAD ABC BCD ADC ∠=∠=∠=∠B. OA OB OC OD ===C. ,,AB CD AD BC AC BD ===D. BAD BCD ∠=∠，180ABC BCD ∠+∠=︒，AOB BOC ∠=∠1DE BP ==.求四边形EFPH 的面积.练习4 如图，,,,AB AC AD AE DE BC ===BAD CAE ∠=∠.求证:四边形BCDE 为矩形.【知识点三】菱形的定义及性质定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 性质：边：对边相等，邻边相等，四条边相等 角：对角相等对角线：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 对称性：菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形 菱形对角线的应用：1、菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，由勾股定理可知，菱形边长的平方等于两对角线的一半的平方和2、由于菱形的对角线互相垂直平分，所以许多涉及菱形的问题都会在直角三角形中得以解决3、由于菱形的四条边相等长长连接对角线构造等腰三角形利用等腰三角形的性质解题 菱形的面积：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，对于对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算例题5 菱形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是 (填序号).①两组对边平行；②对角线互相垂直；③对角线平分一组对角；④两组对边相等；⑤对角线互相平分；⑥两邻边相等；⑦两组对角相等；⑧是轴对称图形.练习5 若菱形两条对角线长分别为10和24，那么此菱形的高为 .且//BG DH .当:AG AD = 时，四边形BHDG 为菱形.练习 6 如图，在四边形ABCD 中，AC BD ⊥，且8,10AC BD ==，则ABCD S =四边形 .【知识点四】菱形的判定方法1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形2、四边相等的四边形是菱形对角线3、互相垂直的平行四边形是菱形例题7 如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB CD 的中点，过点A 作//AG BD交CB 的延长线于点G ，且90G ∠=︒，求证:四边形DEBF 是菱形.练习7 如图，在四边形ABCD 中，BC CD =，2C BAD ∠=∠，O 是四边形ABCD 内一点，且OA OB OD ==.(1)求证: BOD C ∠=∠;(2)求证:四边形OBCD 是菱形.【知识点五】正方形的定义及性质定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 性质：边：对边平行，四条边都相等 角：四个角都是直角对角线：对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 对称性：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形 提示：1、正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形2、既是矩形又是菱形的四边形是正方形3、正方形的两条对角线，把正方形分成四个全等的等腰直角，三角形正方形的对角线与边的夹角是45度例题8 如图，在正方形ABCD 中，E 为边BC 上一动点，F 是边CD 上一动点，AF DE ⊥于点G .若点E 是BC 的中点，则DF = CD ；若BC nBE =，则DF = CD .练习8 如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5,12AC BC ==，BAC ∠，ABC ∠的平分线交于点D ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，则四边形DECF 的面积为 .例题9 如图，在边长为6的正方形ABCD 中，F 为CD 上一点，E 是AD 的中点，2DF =，点G 在BC 上，且EG AF ⊥，则BG 的长是 .练习9 如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 上一点，BF 平分CBE ∠. (1)若E 为AD 的中点，求CF 的长;(2)请直接写出,AE CF 和BE 之间的数量关系.【知识点六】正方形的判定方法1、有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形2、有一组邻边相等的矩形是正方形3、有一个角是直角的，菱形是正方形例题10 如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点,E F 分别在,AD DC 上，2AE DF ==，BE 与AF 相交于点,G H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为 .练习10 如图，在正方形ABCD 中，10,AB P =是正方形边上一点。
中考第一轮复习第21讲平行四边形、矩形、菱形、正方形
第21讲平行四边形、矩形、菱形、正方形,知识清单梳理)平行四边形1．定义：两组对边分别__平行__的四边形叫做平行四边形．2．性质(1)边：对边__平行__且__相等__．(2)角：对角__相等__．(3)对角线：对角线互相平分．(4)对称性：__中心__对称．3．判定(1)两组对边分别__平行__的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形．(3)一组对边__平行__且__相等__的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别__相等__的四边形是平行四边形．(5)对角线互相__平分__的四边形是平行四边形．矩形1．定义：有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形．2．性质(1)边：对边__平行__且__相等__．(2)角：四个角都是__直角__．(3)对角线：对角线互相__平分__且__相等__．(4)对称性：__中心__对称和__轴__对称．3．判定(1)有__一__个角是__直角__的平行四边形是矩形．(2)有__三__个角是__直角__的四边形是矩形．(3)对角线__相等__的平行四边形是矩形．菱形1．定义：有一组__邻边相等__的平行四边形叫做菱形．2．性质(1)边：四边__相等__，对边平行．(2)角：对角__相等__．(3)对角线：对角线互相__垂直__、__平分__，且每一条对角线平分一组对角．(4)对称性：__中心__对称和__轴__对称．3．判定(1)有一组__邻边相等__的平行四边形是菱形．(2)四边__相等__的四边形是菱形．(3)对角线互相__垂直__的平行四边形是菱形．正方形1．定义：有一个角是__直角__，有一组邻边__相等__的平行四边形叫做正方形．2．性质(1)边：四边__相等__，对边平行．(2)角：四个角都是__直角__．(3)对角线：对角线互相__垂直__、__平分__、__相等__，每一条对角线平分一组对角．(4)对称性：__中心__对称和__轴__对称．3．判定(1)有一个角是__直角__、有一组邻边__相等__的平行四边形是正方形．(2)有一组邻边相等的__矩形__是正方形．(3)有一个角是直角的__菱形__是正方形．中点四边形1．顺次连接任意四边形各边中点，所得四边形是__平行四边__形．2．顺次连接平行四边形各边中点，所得四边形是__平行四边__形．3．顺次连接矩形各边中点，所得四边形是__菱__形．4．顺次连接菱形各边中点，所得四边形是__矩__形．5．顺次连接正方形各边中点，所得四边形是__正方__形．6．顺次连接等腰梯形各边中点，所得四边形是__菱__形．,云南省近五年高频考点题型示例)轴对称图形与中心对称图形【例1】(2019曲靖中考)平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，故是轴对称图形的有3个．【答案】C平行四边形的性质和判定【例2】(2019昆明中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝ODC．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC【解析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【答案】C1．(2019曲靖中考)若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较大的内角是__120__°.2．(2019云南中考)如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M，N分别是AD，BC的中点，BC＝2CD.求证：(1)四边形MNCD是平行四边形；(2)BD＝3MN.证明：(1)∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵M，N分别是AD，BC的中点，∴MD＝NC，MD∥NC，∴四边形MNCD是平行四边形；(2)连接ND.∵四边形MNCD 是平行四边形， ∴MN ＝DC.∵N 是BC 的中点，∴BN ＝CN. ∵BC ＝2CD ，∠C ＝60°， ∴△NCD 是等边三角形． ∴ND ＝NC ，∠DNC ＝60°. ∵∠DNC 是△BND 的外角， ∴∠NBD ＋∠NDB＝∠DNC. ∵DN ＝NC ＝NB ，∴∠DBN ＝∠BDN＝12∠DNC＝30°，∴∠BDC ＝90°. ∵tan ∠DBC ＝DC DB ＝33，∴DB ＝3DC ＝3MN.3．(2019云南中考)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OC 的中点，求证：BE ＝DF.证明：连接BF ，DE.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点． ∴OE ＝12OA ，OF ＝12OC ，∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE ＝DF.矩形的性质和判定【例3】(2019云南中考)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，BE ∥AC ，CE ∥BD.(1)求tan ∠DBC 的值；(2)求证：四边形OBEC 是矩形．【解析】(1)由四边形ABCD 是菱形，得到对边平行，且BD 为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BCD 的度数，即可求出tan ∠DBC 的值；(2)由四边形ABCD 是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC，∴∠ABC ＋∠BAD＝180°. ∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33； (2)∵BE∥AC，CE ∥BD ，∴四边形OBEC 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°. ∴四边形OBEC 是矩形．4．(2019云南中考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若E ，F 是AC 上的两个动点，分别从A ，C 两点以相同的速度向C ，A 运动，其速度为2 cm/s.(1)当E 与F 不重合时，四边形DEBF 是平行四边形吗？说明理由；(2)若BD ＝24 cm ，AC ＝32 cm ，当运动时间t 为何值时，以D ，E ，B ，F 为顶点的四边形是矩形？说明理由．解：(1)当E 与F 不重合时，四边形DEBF 是平行四边形．理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵E ，F 两动点分别以相同的速度向C ，A 运动， ∴AE ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ， 即OE ＝OF ，∴BD ，EF 互相平分，∴四边形DEBF 是平行四边形； (2)∵四边形DEBF 是平行四边形， ∴当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形． ∵BD ＝24 cm ， ∴EF ＝24 cm ，∴OE ＝OF ＝12 cm ， ∵AC ＝32 cm ，∴OA ＝OC ＝16 cm ， ∴AE ＝4 cm 或28 cm ，∵E ，F 两动点的速度都是2 cm/s ， ∴t ＝2 s 或t ＝14 s ，∴当运动时间t ＝2 s 或14 s 时，以D ，E ，B ，F 为顶点的四边形是矩形．菱形的性质和判定【例4】(2019昆明中考)菱形的两条对角线分别为8，10，则菱形的面积为________．【解析】菱形的面积计算公式S ＝12ab(a ，b 为菱形的对角线长)，∴菱形的面积S ＝12×8×10＝40.【答案】405．(2019曲靖中考)菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为__20__．6．(2019云南中考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 边上的中点． (1)求证：四边形BDEF 是菱形；(2)若AB ＝12 cm ，求菱形BDEF 的周长．解：(1)∵D，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点， ∴DE ∥AB ，EF ∥BC ，∴四边形BDEF 是平行四边形． 又∵DE＝12AB ，EF ＝12BC ，且AB ＝BC ，∴DE ＝EF ，∴四边形BDEF 是菱形；(2)∵AB＝12 cm ，F 为AB 的中点， ∴BF ＝6 cm ，∴菱形BDEF 的周长为6×4＝24 cm.7．(2019云南中考)如图，△ABC 是以BC 为底的等腰三角形，AD 是边BC 上的高，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点．(1)求证：四边形AEDF 是菱形；(2)如果四边形AEDF 的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF 的面积S. 解：(1)∵AD 是等腰△ABC 底边上的高， ∴D 是BC 边的中点．∵点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴四边形AEDF 是平行四边形．又AB ＝AC ， ∴DE ＝DF ，∴▱AEDF 是菱形；(2)连接EF 交AD 于O 点，设AO ＝x ，EO ＝y.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3.5，x 2＋y 2＝9，∴(x ＋y)2＝9＋2xy ，∴12.25＝9＋2xy ，∴2xy ＝3.25， ∴S ＝12·2x·2y＝2xy ＝3.25.正方形的性质和判定【例5】(2019昆明中考)已知：如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD∶AB＝________时，四边形MENF 是正方形(只写结论，不需证明)． 【解析】(1)根据矩形的性质可得AB ＝CD ，∠A ＝∠D＝90°，再根据M 是AD 的中点，可得AM ＝DM ，然后再利用SAS 证明△ABM≌△DCM ；(2)四边形MENF 是菱形．首先根据中位线的性质可证明NE∥MF，NE ＝MF ，可得四边形MENF 是平行四边形，再根据△ABM≌△DCM 可得BM ＝CM ，进而得ME ＝MF ，从而得到四边形MENF 是菱形；(3)当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF 是正方形，证明∠EMF＝90°，根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论．此题主要考查了矩形的性质、菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握菱形和正方形的判定方法． 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠A ＝∠D＝90°. 又∵M 是AD 的中点，∴AM ＝DM. 在△ABM 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠D＝90°，AM ＝DM ，∴△ABM ≌△DCM(SAS)； (2)四边形MENF 是菱形．证明如下： ∵E ，F ，N 分别是BM ，CM ，CB 的中点， ∴NE ∥MF ，NE ＝MF.∴四边形MENF 是平行四边形． 由(1)得BM ＝CM ，∴ME ＝MF. ∴四边形MENF 是菱形．(3)当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF 是正方形．理由：∵M 为AD 中点，∴AD ＝2AM. ∵AD ∶AB ＝2∶1，∴AM ＝AB. ∵∠A ＝90，∴∠ABM＝∠AMB＝45°. 同理∠DMC＝45°，∴∠EMF ＝180°－45°－45°＝90°. ∵四边形MENF 是菱形， ∴菱形MENF 是正方形．,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点正方形的有关计算【例1】如图，正方形ABCD 中，AE ＝AB ，直线DE 交BC 于点F ，则∠BEF＝( )A．45° B．30°C．60° D．55°【解析】先设∠BAE＝x°，根据正方形性质推出AB＝AE＝AD，∠BAD＝90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．本题考查了三角形的内角和定理的运用、等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用及解此题的关键是如何把已知角与未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大．【答案】A【例2】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( )A．1 B. 2C．4－2 2 D．32－4【解析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD的长，再求出BE的长，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的22倍计算即可得解．【答案】C2．创新题【例3】一个四边形四条边依次为a，b，c，d且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是________．【解析】a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bd＋d2)＝0，(a－c)2＋(b－d)2＝0，∴a－c＝0，b－d＝0，∴a＝c，b＝d.∴四边形是平行四边形．【答案】平行四边形,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.(2019海南中考)如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是( C )A．14 B．16 C．18 D．20【方法总结】掌握菱形的边、对角线的性质，四边相等，对角线互相平分且垂直，再应用勾股定理即可解决．(第1题图)(第2题图)2．(2019贵州中考)如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，且∠EAF＝45°，将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°，使点E 落在点E′处，则下列判断不正确的是( D )A ．△AEE ′是等腰直角三角形B ．AF 垂直平分EE′C ．△E ′EC ∽△AFDD ．△AE ′F 是等腰三角形【方法总结】本题考查了旋转的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形、正方形的性质及相似三角形的判定等知识的综合应用．3．(2019曲靖中考)如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE ＝2，AE ＝3BE ，P 是AC 上一动点，则PB ＋PE 的最小值是__10__.【方法总结】本题考查了轴对称——最短路线问题及正方形的性质，解此题通常利用“两点之间，线段最短”的性质．4．(2019临沧中考)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60 cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s(0＜t≤15)．过点D 作DF⊥BC 于点F ，连接DE ，EF.(1)求证：AE ＝DF ；(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； (3)当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由． 解：(1)∵△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝60°. ∴∠C ＝180°－∠B－∠A＝30°. 又∵DF⊥BC，CD ＝4t ，AE ＝2t. ∴在Rt △CDF 中，DF ＝12CD ＝2t ，∴DF ＝AE ；(2)∵DF∥AB，DF ＝AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形，当AD ＝AE 时，四边形AEFD 是菱形， 即60－4t ＝2t ，解得t ＝10， 即当t ＝10时，▱AEFD 是菱形； (3)当t ＝152时，△DEF 是直角三角形(∠EDF＝90°)； 当t ＝12时，△DEF 是直角三角形(∠DEF ＝90°)．理由如下：①当∠EDF＝90°时，DE ∥BC.∴∠ADE ＝∠C＝30°，∴AD ＝2AE. 即60－4t ＝2×2t， 解得t ＝152，∴t ＝152时，∠EDF ＝90°. ②当∠DEF＝90°时，DE ⊥EF ，∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴AD ∥EF ，∴DE ⊥AD ，∴△ADE 是直角三角形，∠ADE ＝90°. ∵∠A ＝60°，∴∠DEA ＝30°，∴AD ＝12AE.AD ＝AC －CD ＝60－4t ，AE ＝2t ，∴60－4t ＝t ，解得t ＝12.③∵四边形ADEF 是平行四边形， ∴AD ∥EF ，∴∠DFE 不可能为直角．综上所述，当t ＝152时，△DEF 是直角三角形(∠EDF＝90°)；当t ＝12时，△DEF 是直角三角形(∠DEF＝90°)．5．(2019曲靖中考)如图，在▱ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE ＝12BC ，连接DE ，CF.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；(2)若AB ＝4，AD ＝6，∠B ＝60°，求DE 的长．解：(1)在▱ABCD 中， AD ∥BC ，且AD ＝BC. ∵F 是AD 的中点， ∴DF ＝12AD ＝12BC.又∵CE＝12BC ，∴DF ＝CE ，且DF∥CE，∴四边形CEDF 是平行四边形； (2)过点D 作DH⊥BE 于点H. 在▱ABCD 中，∵∠B ＝60°， ∴∠DCE ＝60°， ∴∠CDH ＝30°， ∵AB ＝4，∴CD ＝AB ＝4，∴CH ＝12CD ＝2，DH ＝2 3.在▱CEDF 中，CE ＝DF ＝12AD ＝3，则EH ＝1.∴在Rt △DHE 中，根据勾股定理知DE ＝（23）2＋1＝13.6．(2019贵州中考)如图，DB ∥AC ，且DB ＝12AC ，E 是AC 的中点．(1)求证：BC ＝DE ；(2)连接AD ，BE ，若要使四边形DBEA 是矩形，则应给△ABC 添加什么条件，为什么？解：(1)∵E 是AC 的中点， ∴EC ＝AE ＝12AC.∵DB ＝12AC ，∴DB ＝EC.又∵DB∥EC，∴四边形DBCE 是平行四边形． ∴BC ＝DE ；(2)添加AB ＝BC.∴四边形DBEA 是平行四边形． ∵BC ＝DE ，AB ＝BC ，∴AB ＝DE.∴▱DBEA 是矩形．【方法总结】掌握平行四边形、矩形的性质及判定方法． 请完成精练本第29页作业2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．甲、乙两人将分别标有2,3,5,6四个数字的小球放入一个不透明的袋子里并搅匀,这些小球除数字外都相同,然后两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为x,再由乙猜这个小球上的数字,记为y.如果x,y满足|x-y|≤2,那么就称甲、乙两人“心领神会”,则两人“心领神会”的概率是( )A．12B．716C．58D．342．正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角形的个数是( )A．24 B．36 C．38 D．763．为了响应学校“皖疆手拉手，书香飘校园”的爱心捐书活动，励志班的同学们积极捐书，其中该班雄鹰小组的同学们捐书册数分别是：5,7,,3,4,6x.已知他们的平均每人捐5本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是（）A.5,5.5,10B.35,5,2C.55,5,3D.116,5.5,64．抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b=0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=12；其中正确的有（）个．A.4B.3C.2D.15．选拔一名选手参加全国中学生男子百米比赛，我市四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数x及其方差s2如表所示：如果选拔一名学生去参赛，应派（）去．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．点P 的坐标是（m ，n ），从﹣5，﹣3，0，4，7这五个数中任取一个数作为m 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n 的值，则点P （m ，n ）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（ ） A ．25B ．15C ．14D ．127．如图，C 在AB 的延长线上，CE ⊥AF 于E ，交FB 于D ，若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBA 的度数为( ).A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A ，点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点D ，连接CD ．若AE ＝3，BC ＝8，则CD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．下面的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知x+1x=6，则x 2+21x =（ ）A.38B.36C.34D.3211．如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x 轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A （1，2），那么sin α的值为（ ）B.12C.2 12．若关于x 的不等式组12x x k+≤⎧⎨≥⎩无解,则k 的值可以是（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2二、填空题13．关于x 的一元二次方程x 2+4x ﹣k=0有实数根，则k 的取值范围是__________．14．函数6xy x =-中，自变量x 的取值范围是_______. 15．已知反比例函数的图象经过点（m ，6）和（﹣2，3），则m 的值为________．16．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AEC ＝40°，则∠BDC 的度数为_____．17．若（x+2）（x ﹣1）＝x 2+mx ﹣2，则m ＝_____．18．我县某楼盘准备以每平方米6500元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米5265元的均价开盘销售，则每次下调的百分率是_____． 三、解答题19．某中学为了丰富学生的业余爱好，决定开设以下活动项目：A ：书法；B ：绘画C ：象棋；D ：音乐．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行问卷调査，并将调査结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少人？ （2）补全条形统计图；（3）九年级（1）班老师想从这四类活动项目中随机选取两类作为“五四青年节”表演项目，请用列表或画树状图的方法求恰好选中书法和绘画的概率20．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为78m ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为48°，测得底部C 处的俯角为58°，求乙建筑物的高度CD.（结果取整数，参考数据:tan58°≈1.60,tan48°≈1.11）.21．如图，抛物线y ＝ax 2+32x+c （a≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．22．两个运输小队分别从两个仓库以相同的工作效率调运一批物资，两队同时开始工作．第二小队工作5天后，由于技术问题检修设备5天，为赶上进度，再次开工后他们将工作效率提高到原先的2倍，结果和第一小队同时完成任务．在两队调运物资的过程中，两个仓库物资的剩余量y t与第一小队工作时间x天的函数图像如图所示．（1）①求线段AC所表示的y与x之间的函数表达式；②求点F的坐标，并解释点F的实际意义．（2）如果第二小队没有检修设备，按原来的工作效率正常工作，那么他们完成任务的天数是天．23．某高速铁路位于某省南部，是国家“八纵八横”高速铁路网的重要连接通道，也是某省“三横五纵”高速铁路网的重要组成部分．东起日照，向西贯穿临沂、曲阜、济宁、菏泽，与郑徐客运专线兰考南站接轨．工程有一段在一条河边，且刚好为东西走向．B处是一个高铁维护站，如图①，现在想过B处在河上修一座桥，需要知道河宽，一测量员在河对岸的A处测得B在它的东北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进300米到达点C处，测得B在C的北偏西30度方向上．（1）求所测之处河的宽度；（结果保留的十分位）（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图②中画出图形．24．（111|2|2cos 453-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭；（2）解分式方程：2133x x x =++25．已知： AB 为O 的直径，点D 、N 在O 上，连接AD 、BN 交于点F ，过点D 作O 的切线交BA 的延长于点C ，且CD BE ⊥于点E .(1)如图，求证：AB BF =；(2)如图，连接OD ，点G 在OD 上，连接BG ，若BG CD =，求证：ACD EBG ∠=∠；(3)如图，在(2)的条件下，作//AH BE 交O 于点H ，过点G 作MG BG ⊥交AH 于点M ，连接MB ，若8DG =， 25MB =，求线段MG 的长.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．k≥﹣4 14．x≠615．-1 16．130°17．118．10%三、解答题19．（1）200，（2）见解析（3）1 6【解析】【分析】（1）根据D类的人数和所占的百分比即可得出答案；（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中书法和绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）∵D类有40人，占20%，∴这次被调查的学生共有：40÷20%＝200（人）；（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；补充如图如下：（3）画树状图得：∵共有12种等可能的情况，恰好选中书法和绘画的有2种，∴恰好选中书法和绘画的概率是21 126．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．20．乙建筑物的高度CD约为38m.【解析】【分析】作AE⊥CD于E，根据正切的定义分别求出CE、DE，得到答案．【详解】解：如图，作AE⊥CD交CD的延长线于点E，则四边形ABCE是矩形.∴AE=BC=78在Rt△ACE中，tan58°=CE AE∴CE=AE ·tan58°≈78×1.60=124.8(m)在Rt△ADE中，tan48°=DE AE∴DE= AE ·tan48°≈78×1.11=86.58(m)∴CD=CE—DE=124.8—86.58≈38(m)即乙建筑物的高度CD约为38m.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 21．（1）y ＝﹣12x 2+32x+2（2）（32，4）或（32，52）或（32，﹣52）（3）（2，1） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组即可．（2）如图1中，分两种情形讨论①当CP ＝CD 时，②当DP ＝DC 时，分别求出点P 坐标即可． （3）如图2中，作CM ⊥EF 于M ，设2113,2,2222E a a F a a a ⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，），则2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，（0≤a≤4），根据S 四边形CDBF ＝S △BCD +S △CEF +S △BEF111,222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）由题意3022,a c c ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 解得122.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴二次函数的解析式为213222y x x =-++． （2）存在．如图1中，∵C （0，2），3,0,2D ⎛⎫⎪⎝⎭∴CD5.2=当CP ＝CD 时，13,42P ⎛⎫⎪⎝⎭，当DP ＝DC 时， 233535,,,.2222P P ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上所述，满足条件的点P 坐标为3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,.22⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）如图2中，作CM ⊥EF 于M ，∵B （4，0），C （0，2）， ∴直线BC 的解析式为122y x =-+，设2113,2,2222E a a F a a a ⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，），∴2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，（0≤a≤4）， ∵S 四边形CDBF ＝S △BCD +S △CEF +S △BEF 111,222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅ ()225111124222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 254,2a a =-++()21322a =--+，∴a ＝2时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132， ∴E （2，1）． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法，四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．22．（1）①y ＝－30x ＋360．②点F 的坐标为（8，120）．点F 的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120 t ．（2）9． 【解析】 【分析】（1）①用待定系数法求解即可；②根据第一小队的工作效率求出第二小队再次开工后的工作效率，即可得到点F 的纵坐标，代入①中解析式即可求出点F 坐标，由题意可知点F 的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120 t ；（2）根据工作效率以及点F 的纵坐标，求出不检修设备的情况下还需要多少天完成任务，相加即可. 【详解】解：（1）解：①设AC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将（12，0），（0，360）代入y ＝kx ＋b ，可得30360k b =-⎧⎨=⎩，即y ＝－30x ＋360．②第一小队的工作效率为360÷12＝30（t ／天），第二小队再次开工后的工作效率为30×2＝60（t ／天），调运物资为60×2＝120（t ）， 即点E 的坐标为（10，120），所以点F 的纵坐标为120．将y ＝120代入y ＝－30x ＋360，可得x ＝8，即点F 的坐标为（8，120）． 点F 的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120 t ． （2）∵第二小队工作5天后，仓库剩余的物资为120 t ， ∴120÷30＝4（天）， 4+5=9（天），∴如果第二小队没有检修设备，按原来的工作效率正常工作，那么他们完成任务的天数是9天． 【点睛】本题考查了函数图像的识别以及一次函数的应用，根据函数图像得到必要信息是解题关键. 23．（1）所测之处江的宽度为190.5m ；（2）见解析. 【解析】 【分析】解：（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，根据题意得到∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ，求得∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，得到BF ＝AF ，解直角三角形即可得到结论；（2）构造相似三角形，根据相似三角形的性质得到方程即可得到结论．． 【详解】（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，由题意得：∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ， ∴∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°， ∴BF ＝AF ，∴FC ＝300﹣AF ＝300﹣BF （m ）， 在Rt △BFC 中，tan ∠CBF ＝FCFB， ∴tan30°＝300BFBF-，300BFBF-=，解得：BF ﹣150（3m ）， 答：所测之处江的宽度为190.5m ；（2）①在河岸取点A ，使B 垂直于河岸，延长BA 至C ，测得AC 做记录，②从C 沿平行于河岸的方向走到D ，测得CD ，做记录，③B0与河岸交于E ，测AE ，做记录．根据△BAE ～△BCD ，得到比例线段，从而求出河宽AB ．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．24．（11；（2）23x =. 【解析】【分析】（1）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）原式＝2321-+-=； （2）去分母得：3x ＝2， 解得：23x =， 经检验23x =是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．25．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）15MG =【解析】【分析】（1）连接OD ，可 知 OD CD ⊥,再根据平行的性质得出DAO ADO AFB ∠=∠=∠，即可解答（2）连接BD ，作DK AB ⊥于点K ，GL BE ⊥于点L ，证明四边形DGLE 为矩形，即可解答（3）连接OH 、DN 、AN 、BH ，作//DS BG 交BE 于点S ，再设DCO FBG α∠=∠=，得到90OAH OHA AMG α∠=∠=∠=︒-，再设O 半径为r ，8DG =，得到33NB r =-，根据勾股定理得出()()22222233AN AB BN r r =-=--，即可证明四边形AHBN 为矩形，即可解答【详解】（1）证明：连接OD .CD 为O 的切线，点D 在O 上∴OD CD ⊥BE CD ⊥∴90CDO CEB ∠=∠=︒∴//OD BFOA OD =∴DAO ADO ∠=∠∴DAO ADO AFB ∠=∠=∠∴AB BF =（2）证明：连接BD ，作DK AB ⊥于点K ，GL BE ⊥于点L .AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒BD AF ∴⊥AB BF =ABD FBD ∴∠=∠DK AB ⊥GL BE ⊥DK DE ∴=90ELG ODE DEL ∠=∠=∠=︒∴四边形DGLE 为矩形GL DE DK ∴==CD BG =CDK BGL ∴∆≅∆ACD EBG ∴∠=∠（3）连接OH 、DN 、AN 、BH ，作//DS BG 交BE 于点S .设DCO FBG α∠=∠=90COD CBE α∴∠=∠=︒-//DO BE OGB GBE α∴∠=∠=MG BG ⊥90MGB ∴∠=︒90MGO α∴∠=︒-////AH DO BE 90OAH ABE α∴∠=∠=︒-90AMG MGO α∠=∠=︒-OH OH =90OAH OHA AMG α∴∠=∠=∠=︒-//MG OH∴//AH DO ∴四边形为MHOG 平行四边形 MG OH ∴=.CDO BGM ∴∆≅∆25CO BM ∴== 设O 半径为r ，8DG =8MH OG r ∴==-25AC r =-在Rt MHB ∆中，()22222258BH BM MH r =-=--//DG BS //DS BG ∴四边形DGBS 为平行四边形8DG BS ∴== GB DS CD == 在Rt ANF ∆中，DN AD DF ==四边形ABND 为圆内接四边形180DAB DNB ∴∠+∠=︒ 180CAD DAB ∠+∠=︒CAD DNS ∴∠+∠ CAD SND ∴∆≅∆ 25NS CS r ∴==- 8BS = 33NB r =- AB 为O 的直径90ANB AHB ∴∠=∠=︒在Rt MHB ∆中，()()22222233AN AB BN r r =-=-- //AH BH 180HAN ANB ∴∠+∠=︒ 90HAN ANB AHB ∴∠=∠=∠=︒∴四边形AHBN 为矩形.AN BH ∴= ()()()2222258233r r r --=--115r ∴= 2552r =-（舍）15MG ∴= 【点睛】此题考查切线的性质，解直角三角形，矩形的判定与性质，解题关键在于作好辅助线2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是（ ）．A.x ＜﹣4或x ＞2B.﹣4≤x≤2C.x≤﹣4或x≥2D.﹣4＜x ＜2 2．地球上的海洋面积约三亿六千一百万平方千米，用科学记数法表示为（ ）平方千米．A ．361×106B ．36.1×107C ．3.61×108D ．0.361×1093．甲、乙两人将分别标有2,3,5,6四个数字的小球放入一个不透明的袋子里并搅匀,这些小球除数字外都相同,然后两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为x,再由乙猜这个小球上的数字,记为y.如果x,y 满足|x-y|≤2,那么就称甲、乙两人“心领神会”,则两人“心领神会”的概率是( )A ．12B ．716C ．58D ．344．目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米＝10﹣9米，用科学记数法将16纳米表示为（ ）A ．1.6×10﹣9米B ．1.6×10﹣7米C ．1.6×10﹣8米D ．16×10﹣7米 5．在平面直角坐标系中，点A(﹣1，5)，将点A 向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到点A 1；点A 1关于y 轴与A 2对称，则A 2的坐标为( )A ．(2，﹣1)B ．(1，2)C ．(﹣1，2)D ．(﹣2，1)6．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是（ ）A.55°B.60°C.65°D.70°7．如图，DC 是以AB 为直径的半圆上的弦，DM ⊥CD 交AB 于点M ，CN ⊥CD 交AB 于点N ．AB=10，CD=6．则四边形DMNC 的面积（ ）A ．等于24B ．最小为24C ．等于48D ．最大为488．如图，□DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□DEFG 的面积为（ ）A ．4B ．C ．3D ．2 9．化简211x x x x -++的结果为（ ） A ．2x B ．1x x - C ．1x x + D ．1x x - 10．如图，AD 为等边△ABC 的高，E 、F 分别为线段AD 、AC 上的动点，且AE ＝CF ，当BF ＋CE 取得最小值时，∠AFB ＝A ．112.5°B ．105°C ．90°D ．82.5° 11．如图，O 与正八边形OABCDEFG 的边OA ，OG 分别相交于点M 、N ，则弧MN 所对的圆周角MPN ∠的大小为（ ）A ．30°B ．45︒C ．67.5︒D ．75︒ 12．已知抛物线2y ax bx c =++开口向下，与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标为(1,)n ，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：①20a b +=；②213a -≤≤-；③对于任意实数m ，126a a -总成立； ④关于x 的方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．已知关于x 的一元二次方程x 2+ax+b=0有一个非零根﹣b ，则a ﹣b 的值为________．。
2021年中考数学一轮复习课件-第二十讲 矩形 菱形 正方形(29PPT)
【自我诊断】
1.正方形是轴对称图形,它的对称轴共有 ( D )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
2.若菱形的两条对角线分别为2和3,则此菱形的面积是___3___.
3.如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形.AC为正方形ABCD的对角线,
则∠EAC=___1_0_5___度.
高频考点·疑难突破 考点一 矩形的性质与判定 【示范题1】(2020·安徽中考)如图1,已知四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长 线上,AE=AD.EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB. (1)求证:BD⊥EC; (2)若AB=1,求AE的长; (3)如图2,连接AG,求证:EG-DG= 2 AG.
【答题关键指导】矩形的判定方法 (1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一个角为直角或对角线相等. (2)若直角较多,可证三个角为直角.
【跟踪训练】
1.(2019·桂林中考)将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,BE,EG,FG为折痕,若顶
点A,C,D都落在点O处,且点B,O,G在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上, 则 AD 的值为 ( B )
考点三正方形的性质与判定 【示范题3】(2019·北部湾中考)如图,在正方形ABCD中,点E是AB边上的一个动 点(点E与点A,B不重合),连接CE,过点B作BF⊥CE于点G,交AD于点F. (1)求证:△ABF≌△BCE. (2)如图2,当点E运动到AB中点时,连接DG,求证:DC=DG. (3)如图3,在(2)的条件下,过点C作CM⊥DG于点H,分别交AD,BF于点M,N,求 MN
AE AF,
∴△ABE≌△ADF(SAS).
(2)连接BD,如图: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,∠A=∠C=60°, ∴△ABD是等边三角形, ∵点E是边AD的中点, ∴BE⊥AD,∴∠ABE=30°, ∴AE= 3BE=1,AB=2AE=2,∴AD=AB=2,
中考数学复习矩形、菱形、正方形教案设计
中考数学复习矩形、菱形、正方形教案设计一、教学内容本节课将复习教材第十二章“四边形”中的矩形、菱形和正方形。
具体内容包括：1. 矩形的性质与判定；2. 菱形的性质与判定；3. 正方形的性质与判定；4. 矩形、菱形、正方形在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 让学生熟练掌握矩形、菱形和正方形的性质与判定方法；2. 培养学生运用矩形、菱形和正方形知识解决实际问题的能力；3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：矩形、菱形和正方形的性质与判定的运用。
教学重点：熟练掌握矩形、菱形和正方形的性质，并能运用其解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中常见的矩形、菱形和正方形物品，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题；2. 矩形、菱形、正方形的性质与判定：3. 例题讲解：讲解典型例题，分析解题思路，引导学生掌握解题方法；4. 随堂练习：布置相关练习题，让学生独立完成，并及时给予反馈；5. 知识拓展：介绍矩形、菱形和正方形在实际问题中的应用；六、板书设计1. 矩形、菱形、正方形的性质与判定；2. 典型例题及解题方法；3. 课堂练习题目。
七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：a. 探讨矩形、菱形和正方形之间的关系；b. 研究矩形、菱形和正方形在平面几何中的其他性质和应用。
重点和难点解析一、教学过程中的重点和难点1. 重点：矩形、菱形和正方形的性质与判定的运用。
难点：如何引导学生将性质与判定运用到实际问题中。
2. 重点：例题讲解和随堂练习的设计与实施。
难点：如何确保学生在练习中能够独立思考和解决问题。
二、重点和难点解析1. 性质与判定的运用a. 通过生动的实际例子，使学生感受到这些几何图形在生活中的广泛应用，提高他们的学习兴趣和积极性。
中考数学一轮复习 特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形 专题培优、能力提升复习讲义(含答案)
特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：第一步：先证明它是平行四边形；第二步：再证明它是菱形（或矩形）；第三步：最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积： 设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a 中考典例精选考点典例一、矩形的性质与判定【例1】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,若AB ＝AO ， 求∠ABD 的度数.图6A B 【答案】∠ABD =60°.【解析】考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．【举一反三】1.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】详见解析.【解析】试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△BEF≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得证．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2. 如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F ．若AD=8cm ，AB=6cm ，AE=4cm ．则△EBF 的周长是 cm ．【答案】8.【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x ，则DH=AD ﹣AH=8﹣x ，在Rt △AEH 中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x ，EH=DH=8﹣x ，∴EH 2=AE 2+AH 2，即（8﹣x ）2=42+x 2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C △AEH =12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH ．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF ∽△HAE ，∴32==∆∆AH BE C C HAE EFB ． ∴C △EBF =23=C △HAE =8．考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.考点典例二、菱形的性质与判定【例2】如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.【解析】（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AF=AB ，∴四边形ABEF 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，8=AC ，6=DB ，AB DH ⊥于H ，则DH 等于A ．524 B ．512 C ．5 D ．4【答案】A.【解析】 考点：菱形的性质.2. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（ ）A. 5B. 7C. 8D. 213 CD H【答案】B．【解析】考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．考点典例三、正方形的性质与判定【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】证明见解析.【解析】考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2 C．D．10﹣5【答案】B.【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由见解析.【解析】（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 【举一反三】如图，正方形ABCD 的边长为1,AC 、BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转450得到△DGH ， HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形 ②△AED ≌△GED③∠DFG ＝112.5︒ ④BC ＋FG ＝1.5其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）图5F EH G BA【答案】①②③. 【解析】试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=2 ∴HA=12-考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定.课后巩固、提高自测小练习一、选择题1．关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC ABCD是菱形B．若AC⊥BD ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD ABCD是正方形【答案】C.【解析】试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.考点：矩形、菱形的判定.2. 下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．此时，EP+FP的值最小，值为EF′．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．考点：1轴对称；2菱形.4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）A ．AB =AD B ．AC ⊥BD C ．AC =BD D ．∠BAC =∠DAC 【答案】C ． 【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质．5. 如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为6，CE =2DE ，∴DE =2，EC =4，∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，∴AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠FAE =∠DAE ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AB =AF ，AG =AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴GB =GF ，∠BAG =∠FAG ，∴∠GAE =∠FAE +∠FAG =12∠BAD =45°，所以①正确； 设BG =x ，则GF =x ，C =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，GE =x +2，EC =4，CG =6﹣x ，∵222CG CE GE +=，∴222(6)4(2)x x-+=+，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴EH EFGC EG=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EH EFGC EG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．6.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】B．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．7.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】考点：菱形的性质；平行四边形的性质．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B．【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．考点：菱形的判定；平移的性质．二、填空题1.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）【答案】①②③④.【解析】考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．【答案】22.5°．【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB ﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．3. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．【答案】（1），（2），（3），（5）．【解析】1（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，4∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=2OA；故正确；（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE：OB=OG：OE，∴OG•OB=OE2，∵OB=12BD，OE=22EF，∴OG•BD=EF2，∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，∴EF2=AE2+CF2，∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．考点：四边形综合题．4.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为．【答案】24． 【解析】试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=21×6×8=24. 考点：菱形的性质．5．将矩形ABCD 纸片按如图所示的方式折叠，EF ，EG 为折痕，试问∠AEF +∠BEG = ．【答案】90°． 【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．6. 如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（4，3），∠CAO 的平分线与y 轴相交于点D ，则点D 的坐标为 ．【答案】（0，43）．【解析】考点：矩形的性质；坐标与图形性质．三、解答题1.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：C P=AQ；（2）若BP=1，PQ=22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：A E=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AE F=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC 的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．4. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【答案】详见解析.【解析】∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．考点：全等三角形的性质；菱形的判定．。
中考数学复习方案(26)矩形、菱形、正方形(26页)
考点聚焦
归类探究
回归教材
第26课时┃归类探究
(2)由题知△ABF、 △ADE、 △CEF 均为直角三角形， 1 1 且 AB＝AD＝4，DE＝BF＝ ×4＝2，CE＝CF＝ ×4＝2， 2 2 ∴S△AEF＝S 正方形 ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF 1 1 1 ＝4×4－ ×4×2－ ×4×2－ ×2×2 2 2 2 ＝6.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第26课时┃归类探究
解 析 (1)证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠B＝90°，DC＝CB， 1 ∵E、F 为 DC、BC 中点，∴DE＝ DC， 2 1 BF＝ BC，∴DE＝BF， 2 ∵在△ADE 和△ABF 中， AD＝AB， ∠B＝∠D， DE＝BF， ∴△ADE≌△ABF(SAS)．
考点聚焦 归类探究 回归教材
直角 (3)正方形四个角都是________
第26课时┃考点聚焦
判定正方形的思路图：
考点聚焦
归类探究
回归教材
第26课时┃考点聚焦
考点4
定义
中点四边形
顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四 边形
顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是______ 菱形
第26课时┃归类探究
解 析 作CF⊥BE于F，得Rt△BCF和矩形FEDC，先证明 △ABE≌△BCF，得BE＝CF，再根据矩形的性质说明DE＝CF即 可．
证明：如图，作CF⊥BE于F， ∴∠BFC＝∠CFE＝90°. ∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠BED＝90°.
考点聚焦 归类探究 回归教材
第26课时┃归类探究
初三总复习 矩形、菱形、正方形的性质与判定
矩形、菱形、正方形一、本部分知识重点：矩形、菱形、正方形的定义，性质和判定是重点。
这三种图形都是特殊的平行四边形，它们都具备平行四边形的性质。
二、知识要点：（一）矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：1、具有平行四边形的性质；2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等。
4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定。
2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形。
（二）菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
性质：1、具有平行四边形的性质；2、菱形的四条边相等；3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定；2、四边都相等的四边形是菱形。
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（三）正方形：定义；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
性质：正方形是特殊的菱形，又是特殊的矩形，所以它具备菱形和矩形的所有的性质。
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形。
另外由矩形性质得到直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、例题：例1，判断正误：（要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可）1、有三个角相等的四边形是矩形。
（）分析：不正确。
反例：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=850，∠D=1050，显然此四边形不是矩形。
2、对角线相等的四边形是矩形。
分析：不正确。
因为对角线不平分，未必是平行四边形。
反例：如图，四边形ABCD中，对角线AC=BD，但它不是矩形。
3、四个角都相等的四边形是矩形。
分析：正确。
因为四边形内角和等于3600，又知这四个内角都相等，所以每个内角为900，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证。
4、对角线互相垂直的四边形是菱形。
八年级数学矩形、菱形、正方形复习课件
矩形和菱形转换为正方形
当矩形的对角线相等时，矩形就变成 了菱形。
当矩形或菱形的对角线相等且有一个 角是直角时，就变成了正方形。
菱形转换为矩形
当菱形的有一个角是直角时，菱形就 变成了矩形。
典型例题分析
例题1
已知四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC， ∠B=90°，求证：四边形ABCD是正方形。
例题2
例如，利用矩形或菱形的面积公式计算实际问题的面积。
矩形、菱形、正方形在实际问题中的应用
利用矩形、菱形、正方形的面积公式解决实际问题
例如，计算一块矩形土地的面积或计算一个菱形花坛的面积。
利用矩形、菱形、正方形的性质解决实际问题
例如，利用矩形的对角线性质解决最短路径问题。
结合其他数学知识解决实际问题
例如，结合方程或不等式知识解决与矩形、菱形、正方形相关的实际问题。
连接BD，由于E、F分别为AB、 BC的中点，所以三角形BDE 和三角形BDF的面积相等，且 都等于正方形面积的四分之 一。因此，四边形BFDE的面 积为正方形面积的一半，即 $S_{BFDE} = frac{1}{2} times 4^2 = 8$。
已知正方形ABCD中，AC、 BD交于点O，E为AO上一点， 且OE=2，求三角形BEC的面 积。
典型例题分析
1. 题目
已知矩形ABCD中，AB = 4cm，BC = 6cm，则矩形ABCD 的面积为_______，周长为_______。
分析
根据矩形的面积公式和周长公式，我们可以直接计算出矩 形ABCD的面积和周长。
解答
面积 $S = AB times BC = 4cm times 6cm = 24cm^2$； 周长 $P = 2(AB + BC) = 2(4cm + 6cm) = 20cm$。
第六章矩形、菱形、正方形
）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是（
．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形
；
）摆放成如图②的四边形，则这时
____．
调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边
的数学
米）
如图，在四
为菱形，并说明理由，
B D
D
的同一侧分别作三个等边三角形，
法要解决此题，需建构数学模型，将实际问题转化成数学问题来解决，
即已知：如图，四边形ABCD上的高相等，试判 ABCD
D
上有一个动点不包括点A和点C）．设面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由
，点。
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19章矩形、菱形、正方形复习课
一；学习目标
1.熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，并能灵活运用解决一些简单的问题，提高逻辑推理能力；
2.通过小组讨论，探究，结合具体题目的训练，体验特殊平行四边形有关知识的联系和区别.
3．培养合作探究的能力，养成科学严谨的数学思维习惯.
教学重点：矩形、菱形、正方形的性质和判定的应用
教学难点：灵活应用特殊四边形判定方法解决问题
二考点知识梳理
考点一矩形、菱形、正方形的性质和判定
1、矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，通常也叫长方形。
2、矩形的性质：
①矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；
②矩形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是对边中点连线所在直线，有两条，对称中心是对角线的交点。
③矩形的对角线相等；
④矩形的四个角都是直角。
2、矩形的判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有3个角是直角的四边形是矩形。
4、菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
5、菱形的性质：
①菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；
②菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是两条对
角线所在直线，对称中心是对角线的交点。
③菱形的四条边相等；
④菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
6、菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边都相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
7、菱形的面积：S菱形=AC·BD
8、正方形的定义：、有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
9、正方形的性质：
①正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。
②正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点。
10、正方形的判定：、
①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
②有一组邻边相等矩形形是正方形；
③有一个角是直角的菱形是正方形。
考点二平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
考点训练------快速反应
1；判断题
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形（）
(2)正方形的对角线互相垂直且相等（）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形（）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形（）
5、对角线相等的菱形是正方形（）
6、对角线互相垂直的矩形是正方形（）
7、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）
8、四条边都相等的四边形是正方形（）
9、四个角都相等的四边形是正方形（）
10、四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形. （）
2；小试牛刀
1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
（A）四条边相等（B）对角线互相垂直平分
（C）对角线平分一组对角（D）对角线相等
2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）
（A）四个角相等（B）对角线互相垂直平分（C）对角线相等（D）对角互补3、如图，正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为______cm。
4：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
5、下列说法错误的是（）．
A.矩形的对角线互相平分
B.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
C. 有一个角是直角的四边形是矩形
D.矩形的对角线相等
6、下列说法正确的是（）
A、邻角相等的四边形是菱形
B、有一组邻边相等的四边形是菱形
C、对角线互相垂直的四边形是菱形
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形初显身手
检测训练
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝______ ，则∠ABD＝_______.
3、已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的长和宽分别为_____。
4.如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD= 120°，AB=2.5cm，则∠DAO= ______ ，AC= ______ cm，S矩形ABCD=______
思维拓展
将一张正方形纸片按如图步骤（1）（2），沿虚线对折两次然后按（3）剪
去一个角，展开铺平后的图形是（）.
课堂小结
1: 通过这节课的学习活动你有哪些收获？
2；你还有什么想法？
作业布置：
板书设计：
课后反思;。