2. 折射率曲面

2. 折射率曲面
折射率椭球可以确定与波法线方向 k 相应的两个特
许线偏振光的折射率，但它需要通过一定的作图过
程才能得到。
x3 k x1
2. 折射率曲面
为了更直接地表示出与每一个波法线方向 k 相应的 两个折射率，人们引入了折射率曲面。
x3 k O no ne x1
2. 折射率曲面 折射率曲面上的矢径 r＝nk,其方向平行于给定的波 法线方向 k，长度则等于与该 k 相应的两个波的折 射率。
x3 k O no ne x1
②对于单轴晶体 单轴晶体的折射率曲面在主轴截面上的截线如图所示：
对于正单轴晶体, ne＞no，球面内切于椭球。
x3 x1
x2 O no
x1 ne
O
no ne
正单轴晶体
②对于单轴晶体 对于负单轴晶体，ne ＜ no，球面外切于椭球。
x3 O ne no x1
x2 O ne no x1
(99)
这是一个四次曲面方程。利用这个曲面可以很直观地 得到与 k 相应的二折射率。
①对于立方晶体，n1＝n2＝n3＝n0 ，代入(99)式得
2 2 2 x12 x2 x3 n0
(100)
2 2 2 2 2 2 2 2 ( n12 x12 n2 x2 n3 x3 )( x12 x2 x3 ) [ n12 ( n2 n3 ) x12 2 2 2 2 2 2 2 2 +n2 ( n3 n12 ) x2 n3 ( n12 n2 ) x3 ] n12 n2 n3 0
x12

2 r1

2 x2

2 r2

2 x3

2 r3
1
(104)
3. 菲涅耳椭球 对于任一给定的光线方向 s,过菲涅耳椭球中心作垂
直于 s 的平面,它与菲涅耳椭球相交,其截线为椭圆.
x3
s x1
3. 菲涅耳椭球 该椭圆的长、短轴方向表示与 s 方向相应的二特许 线偏振光电场强度 E 的振动方向,半轴长度表示该 二光的光线速度。
(99)
①对于立方晶体
2 2 2 x12 x2 x3 n0
(100)
这个折射率曲面是一个半径为 n0 的球面,在所有的 k 方向上,折射率都等于 no ,在光学上是各向同性的。
②对于单轴晶体,n1＝n2＝ n0 ，n3＝ne,代入(99)式得
2 2 2 2 2 2 2 ( x12 x2 x3 no )[ no ( x12 x2 ) ne2 x3 no ne2 ] 0
x3 k O no ne x1 x3 s
O
o e
x1
4. 射线曲面
射线曲面在主轴坐标系中的极坐标方程就是(44)式， 现重写如下:
s12 1
2 s2

2 r

1
1

2 1

2 r

1

2 s3
1

2 2

2 r

1
0 (107)
32
s12 1

2 r

1

2 s2
1

2 1

2 r
作业： (P265) 5、6、7、12、13、18、20、22
(105)
(106)
e 与光线方向 s 相应的 E 矢量振动方向上的单位矢 量。 菲涅耳椭球可记为(e，r)曲面。
4. 射线曲面 射线曲面是和折射率曲面相对应的几何图形，它描
述与晶体中光线方向 s 相应的两个光线速度的分布.
ks 菲涅耳椭球折射率椭球 射线曲面折射率曲面
4. 射线曲面
射线曲面上的矢径方向平行于给定的 s 方向，矢径 的长度等于相应的两个光线速度 r，因此可简记为 (s,r)曲面。

1

2 s3
1

2 2

2 r

1
0 (44)
32
4. 射线曲面
在形式上，它与折射率曲面方程(98)式相仿，因此曲 面形状相似，也是一个双壳层曲面。
s12 1

2 r

1

2 s2
1

2 1


2 r

k 22
1

2 s3
1

2 2


2 r

1
0 (107)
32
0 (98)
o
折射率曲面
单轴晶体的射线曲面：
x3
x3 x1 O
O
e
o
o
e
x1
正单轴晶体
负单轴晶体
我们介绍了四种描述晶体光学性质的几何图形： 折射率椭球—(d，n)曲面 折射率曲面—(k，n)曲面 菲涅耳椭球—(e,r)曲面 射线曲面—(s，r)曲面 这几种曲面的作用，实质上是等效的，只是某种场 合应用其中某一种曲面处理问题较为方便而已。
x3 k O 面必定是一个双壳层的曲面,记作(k, n)曲面.
2. 折射率曲面
实际上，根据(k，n)曲面的意义,(40)式就是折射率曲 面在主轴坐标系中的极坐标方程，现重写如下：
k12 1 1 2 n 2 n1

k 22 1 1 2 n 2 n2

no
ne
x1
②单轴晶体
ne()可由(102)式求出：
no ne
2 no sin 2 ne2 cos 2
ne ( )
x3 k O no ne x1
2 2 2 x12 x2 x3 n0 2 2 2 x1 x2 x3 2 1 2 ne n0
(102)
k
2π


2π c/nv

2πnv c

n c
折射率曲面,记作(k, n)曲面。
3. 菲涅耳椭球 上面讨论的折射率椭球和折射率曲面都是相对波法 线方向 k 而言的。而在有些应用中给定的是 s 方向, 所以利用相对 s 的曲面讨论光的传播规律比较方便.
E , D, k, s , c , 0 , p , n,
k12 1 1 2 n 2 n1
k32 1 1 2 n 2 n3
1 1 2 n 2 n2
4. 射线曲面 不过由于波速与折射率成反比，两壳层的里外顺序 与折射率曲面正好颠倒。
nr c c cos n cos (35)
r
p
x3
x3
x1
O no ne
O e
射线曲面 正单轴晶体
2. 折射率曲面 折射率曲面虽然可以将任一给定 k 方向所对应的两 个折射率直接表示出来，但它表示不出相应的两个 光的偏振方向。
x3 R k Q O no ne x1 J k s O E
法线
B
切平面
D
T
2. 折射率曲面
对于折射率曲面，如果将其矢径长度乘以/c,则构成 一个新曲面的矢径 r＝(n/c)k，这个曲面称为波矢曲 面，通常记为(k，k)曲面。
负单轴晶体
②对于单轴晶体
两种情况的切点均在 x3 轴上，故 x3 为光轴。
x3
x3
x1
O
x1 O ne no
no
ne
②对于单轴晶体
当与 x3 轴夹角为 的波法线方向 k 与折射率曲面 相交时，得到长度为 no 和 ne () 的矢径，它们分别 是相应于k 方向的两个特许线偏振光的折射率。
x3 k O
k 32 1 1 2 n 2 n3
0
(98)
k12 1 1 2 n 1

k 22 1 1 2 n 2

k 32 1 1 2 n 3
0
(40)
2. 折射率曲面
若以 n 2 x12 x22 x32 n 2 k12 n 2 k 22 n 2 k32 代入上式，即得 到它的直角坐标方程
2 2 2 2 2 2 2 2 ( n12 x12 n2 x2 n3 x3 )( x12 x2 x3 ) [ n12 ( n2 n3 ) x12 2 2 2 2 2 2 2 2 +n2 ( n3 n12 ) x2 n3 ( n12 n2 ) x3 ] n12 n2 n3 0
x12
2 x2

x12 n
2 1
2 r1

2 r2

2 x3

2 r3
1
(104)

2 x2
n
2 2

k,
2 x3
n
2 3
1 (70)
1, , 1,
E , D,
s , c , 0 , p , n,
1 1 1 1 1 1 D , E , s, k , , , , , , , , (45) c 0 r nr 1 1
②对于单轴晶体
2 2 2 x12 x2 x3 n0 2 2 2 x1 x2 x3 2 1 2 ne n0
(102)
单轴晶体的折射率曲面是一个双层曲面，由一个半径 为no 的球面和一个以 x3 轴为旋转轴的旋转椭球构成。
②对于单轴晶体 球面对应为 o 光的折射率曲面，旋转椭球表示的是 e 光的折射率曲面。
3. 菲涅耳椭球
x12

2 r1

2 x2

2 r2

2 x3

2 r3
1
(104)
r1、r1、 r3 表示三个主轴方向上的光线主速度.
c c c
1 =
1
, 2 =
2
, 3 =
3
p r cos