专题02 数的整除性(含答案)
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(武汉市竞赛试题)
9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．
(“五羊杯”竞赛试题)
10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．
(重庆市竞赛试题)
11．从1，2，…，9中任取 个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求 的最小值．
A．532B．665C．133D．798
5．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是()
A．1B．2C．3D．6
(江苏省竞赛试题)
6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有()
A．12个B．18个C．20个D．30个
(“希望杯”邀请赛试题)
7．五位数 是9的倍数，其中 是4的倍数，那么 的最小值为多少？
(“华罗庚金杯”邀请赛试题)
B级
1．若一个正整数 被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则 的最小值为_________， 的一般表达式为____________．
(“希望杯”邀请赛试题)
2．已知 ， 都是正整数，若1≤ ≤ ≤30，且 能被21整除，则满足条件的数对( ， )共有___________个．
(“五羊杯”竞赛试题)
解题思想：自然数 能同时被2和3整除，则 能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．
【例2】已知 ， 是正整数( ＞ )，对于以下两个结论：
①在 ＋ ， ， － 这三个数中必有2的倍数；
②在 ＋ ， ， － 这三个数中必有3的倍数．其中()
A．只有①正确B．只有②正确
C．①，②都正确D．①，②都不正确
(2013年全国初中数学竞赛试题)
专题02数的整除性
例1267提示：333－66＝267．
例2C提示：关于②的证明：对于a，b若至少有一个是3的倍数，则ab是3的倍数．若a，b都不是3的倍数，则有：(1)当a＝3m＋1，b＝3n＋1时，a－b＝3(m－n)；(2)当a＝3m＋1，b＝3n＋2时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)当a＝3m＋2，b＝3n＋1时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)当a＝3m＋2，b＝3n＋2时，a－b＝3(m－n).
③若整数 的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3| (或9| )；
④若整数 的末二位数是4(或25)的倍数，则4| (或25| )；
⑤若整数 的末三位数是8(或125)的倍数，则8| (或125| )；
⑥若整数 的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11| ．
2．整除的基本性质
设 ， ， 都是整数，有：
A．15B．1C．164D．174
7．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数 ，然后，魔术师再要求他记下五个数： ， ， ， ， ，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出 的大小，魔术师就能说出原数 是什么．如果N=3 194，请你确定 ．
(美国数学邀请赛试题)
8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．
(2013年全国初中数学竞赛试题)
解题思想：不妨设 ( =1，2，3，…， ； =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为 的“魔术数”．根据题中条件，利用 ( 是 的位数)被7除所得余数，分析 的取值．
【例6】一只青蛙，位于数轴上的点 ，跳动一次后到达 ，已知 ， 满足| － |=1，我们把青蛙从 开始，经 －1次跳动的位置依次记作 ： ， ， ，…， ．
例6(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0) (2)a1000＝13＋999＝1 012．(3)n被4除余数为0或1．
A级
1．12．3 1433．39 7984．A5．C6．B
7．五位数＝10×＋e.又∵为4的倍数．故最值为1 000，又因为为9的倍数．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此最小值为10 008.
2．57
3．719 895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能被3整除，故x＋y能被3整除．
4．B
5．B
6．A提示：两两差能被n整除，n＝179，m＝164．
7．由题意得＋＋＋＋＝3 194，两边加上．得222(a＋b＋c)＝3194＋∴222(a＋b＋c)＝222×14＋86＋．则＋86是222的倍数．
⑴写出一个 ，使其 ，且 ＋ ＋ ＋ ＋ >0；
⑵若 =13， =2 012，求 的值；
⑶对于整数 ( ≥2)，如果存在一个 能同时满足如下两个条件：① =0；② ＋ ＋ ＋…＋ =0．求整数 ( ≥2)被4除的余数，并说理理由．
(2013年“创新杯”邀请赛试题)
解题思想：⑴ ．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证 ＋ ＋ ＋ ＋ >0．只需将“向右”安排在前即可．
能力训练
A级
1．某班学生不到50人，在一次测验中，有 的学生得优， 的学生得良， 的学生得及格，则有________人不及格．
2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．
(上海市竞赛试题)
3．一个五位数 能被11与9整除，这个五位数是________．
4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是()
例3a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．
例4设x，y，z，t是整数，并且假设5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)＋13(ya＋zb＋tc).比较上式a，b，c的系数，应当有 ，取x＝－3，可以得到y＝2，z＝1，t＝－1，
则有13 (2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，则5a＋7b－22c就能被13整除．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数 能被198整除，求 ， 的值．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：198=2×9×11，整数 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立 ， 的等式，求出 ， 的值．
【例4】已知 ， ， 都是整数，当代数式7 ＋2 ＋3 的值能被13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ除时，那么代数式5 ＋7 －22 的值是否一定能被13整除，为什么？
且a＋b＋c＞14．设＋86＝222n考虑到是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故＝358．
8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为．故N＝－＝(100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)＝99(a－c)．
(黄冈市竞赛试题)
8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字 ，使得三位数 ， ， ， 能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．
(上海市竞赛试题)
9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？
8．324 561提示：d＋f－e是11的倍数，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，
9．19提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．
B级
1．2 521a＝2 520n＋1(n∈N＋)
(天津市竞赛试题)
3．一个六位数 能被33整除，这样的六位数中最大是__________．
4．有以下两个数串 同时出现在这两个数串中的数的个数共有()个．
A．333B．334C．335D．336
5．一个六位数 能被12整除，这样的六位数共有()个．
A．4B．6C．8D．12
6．若1 059，1 417，2 312分别被自然数 除时，所得的余数都是 ，则 － 的值为()．
⑵若 =13， =2 012，从 经过1 999步到 ．不妨设向右跳了 步，向左跳了 步，则 ，解得 可见，它一直向右跳，没有向左跳．
⑶设 同时满足两个条件：① =0；② ＋ ＋ ＋…＋ =0．由于 =0，故从原点出发，经过( －1)步到达 ，假定这( －1)步中，向右跳了 步，向左跳了 步，于是 = － ， ＋ = －1，则 ＋ ＋ ＋…＋ =0＋( )＋( )＋…( )=2( ＋ ＋…＋ )－[( )＋( )＋…＋( )]=2( ＋ ＋…＋ )－ ．由于 ＋ ＋ ＋…＋ =0，所以 ( －1)=4( ＋ ＋…＋ )．即4| ( －1)．
专题02数的整除性
阅读与思考
设 ， 是整数， ≠0，如果一个整数 使得等式 = 成立，那么称 能被 整除，或称 整除 ，记作 | ，又称 为 的约数，而 称为 的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：
1．数的整除性常见特征：
①若整数 的个位数是偶数，则2| ；
②若整数 的个位数是0或5，则5| ；
(“华罗庚金杯”邀请赛试题)
解题思想：先把5 ＋7 －22 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．
【例5】如果将正整数M放在正整数 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数 的最小值，使得存在互不相同的正整数 ， ，…， ，满足对任意一个正整数 ，在 ， ，…， 中都至少有一个为 的“魔术数”．
例5考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a1，a2，…，an互不相等，不妨设a1＜a2＜…＜an，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m的“魔术数”，因为ai·10k＋m(k是m的位数)，是7的倍数，当i≤b时，而ai·t除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i＝7时，而ai·10k除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i＝7时，依抽屉原理，ai·10k与m二者余数的和至少有一个是7，此时ai·10k＋m被7整除，即n＝7．
①若 | ， | ，则 | ；
②若 | ， | ，则 |( ± )；
③若 | ， | ，则[ ， ]| ；
④若 | ， | ，且 与 互质，则 | ；
⑤若 | ，且 与 互质，则 | ．特别地，若质数 | ，则必有 | 或 | ．
例题与求解
【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．
9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．
(“五羊杯”竞赛试题)
10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．
(重庆市竞赛试题)
11．从1，2，…，9中任取 个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求 的最小值．
A．532B．665C．133D．798
5．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是()
A．1B．2C．3D．6
(江苏省竞赛试题)
6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有()
A．12个B．18个C．20个D．30个
(“希望杯”邀请赛试题)
7．五位数 是9的倍数，其中 是4的倍数，那么 的最小值为多少？
(“华罗庚金杯”邀请赛试题)
B级
1．若一个正整数 被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则 的最小值为_________， 的一般表达式为____________．
(“希望杯”邀请赛试题)
2．已知 ， 都是正整数，若1≤ ≤ ≤30，且 能被21整除，则满足条件的数对( ， )共有___________个．
(“五羊杯”竞赛试题)
解题思想：自然数 能同时被2和3整除，则 能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．
【例2】已知 ， 是正整数( ＞ )，对于以下两个结论：
①在 ＋ ， ， － 这三个数中必有2的倍数；
②在 ＋ ， ， － 这三个数中必有3的倍数．其中()
A．只有①正确B．只有②正确
C．①，②都正确D．①，②都不正确
(2013年全国初中数学竞赛试题)
专题02数的整除性
例1267提示：333－66＝267．
例2C提示：关于②的证明：对于a，b若至少有一个是3的倍数，则ab是3的倍数．若a，b都不是3的倍数，则有：(1)当a＝3m＋1，b＝3n＋1时，a－b＝3(m－n)；(2)当a＝3m＋1，b＝3n＋2时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)当a＝3m＋2，b＝3n＋1时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)当a＝3m＋2，b＝3n＋2时，a－b＝3(m－n).
③若整数 的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3| (或9| )；
④若整数 的末二位数是4(或25)的倍数，则4| (或25| )；
⑤若整数 的末三位数是8(或125)的倍数，则8| (或125| )；
⑥若整数 的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11| ．
2．整除的基本性质
设 ， ， 都是整数，有：
A．15B．1C．164D．174
7．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数 ，然后，魔术师再要求他记下五个数： ， ， ， ， ，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出 的大小，魔术师就能说出原数 是什么．如果N=3 194，请你确定 ．
(美国数学邀请赛试题)
8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．
(2013年全国初中数学竞赛试题)
解题思想：不妨设 ( =1，2，3，…， ； =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为 的“魔术数”．根据题中条件，利用 ( 是 的位数)被7除所得余数，分析 的取值．
【例6】一只青蛙，位于数轴上的点 ，跳动一次后到达 ，已知 ， 满足| － |=1，我们把青蛙从 开始，经 －1次跳动的位置依次记作 ： ， ， ，…， ．
例6(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0) (2)a1000＝13＋999＝1 012．(3)n被4除余数为0或1．
A级
1．12．3 1433．39 7984．A5．C6．B
7．五位数＝10×＋e.又∵为4的倍数．故最值为1 000，又因为为9的倍数．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此最小值为10 008.
2．57
3．719 895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能被3整除，故x＋y能被3整除．
4．B
5．B
6．A提示：两两差能被n整除，n＝179，m＝164．
7．由题意得＋＋＋＋＝3 194，两边加上．得222(a＋b＋c)＝3194＋∴222(a＋b＋c)＝222×14＋86＋．则＋86是222的倍数．
⑴写出一个 ，使其 ，且 ＋ ＋ ＋ ＋ >0；
⑵若 =13， =2 012，求 的值；
⑶对于整数 ( ≥2)，如果存在一个 能同时满足如下两个条件：① =0；② ＋ ＋ ＋…＋ =0．求整数 ( ≥2)被4除的余数，并说理理由．
(2013年“创新杯”邀请赛试题)
解题思想：⑴ ．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证 ＋ ＋ ＋ ＋ >0．只需将“向右”安排在前即可．
能力训练
A级
1．某班学生不到50人，在一次测验中，有 的学生得优， 的学生得良， 的学生得及格，则有________人不及格．
2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．
(上海市竞赛试题)
3．一个五位数 能被11与9整除，这个五位数是________．
4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是()
例3a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．
例4设x，y，z，t是整数，并且假设5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)＋13(ya＋zb＋tc).比较上式a，b，c的系数，应当有 ，取x＝－3，可以得到y＝2，z＝1，t＝－1，
则有13 (2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，则5a＋7b－22c就能被13整除．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数 能被198整除，求 ， 的值．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：198=2×9×11，整数 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立 ， 的等式，求出 ， 的值．
【例4】已知 ， ， 都是整数，当代数式7 ＋2 ＋3 的值能被13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ除时，那么代数式5 ＋7 －22 的值是否一定能被13整除，为什么？
且a＋b＋c＞14．设＋86＝222n考虑到是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故＝358．
8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为．故N＝－＝(100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)＝99(a－c)．
(黄冈市竞赛试题)
8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字 ，使得三位数 ， ， ， 能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．
(上海市竞赛试题)
9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？
8．324 561提示：d＋f－e是11的倍数，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，
9．19提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．
B级
1．2 521a＝2 520n＋1(n∈N＋)
(天津市竞赛试题)
3．一个六位数 能被33整除，这样的六位数中最大是__________．
4．有以下两个数串 同时出现在这两个数串中的数的个数共有()个．
A．333B．334C．335D．336
5．一个六位数 能被12整除，这样的六位数共有()个．
A．4B．6C．8D．12
6．若1 059，1 417，2 312分别被自然数 除时，所得的余数都是 ，则 － 的值为()．
⑵若 =13， =2 012，从 经过1 999步到 ．不妨设向右跳了 步，向左跳了 步，则 ，解得 可见，它一直向右跳，没有向左跳．
⑶设 同时满足两个条件：① =0；② ＋ ＋ ＋…＋ =0．由于 =0，故从原点出发，经过( －1)步到达 ，假定这( －1)步中，向右跳了 步，向左跳了 步，于是 = － ， ＋ = －1，则 ＋ ＋ ＋…＋ =0＋( )＋( )＋…( )=2( ＋ ＋…＋ )－[( )＋( )＋…＋( )]=2( ＋ ＋…＋ )－ ．由于 ＋ ＋ ＋…＋ =0，所以 ( －1)=4( ＋ ＋…＋ )．即4| ( －1)．
专题02数的整除性
阅读与思考
设 ， 是整数， ≠0，如果一个整数 使得等式 = 成立，那么称 能被 整除，或称 整除 ，记作 | ，又称 为 的约数，而 称为 的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：
1．数的整除性常见特征：
①若整数 的个位数是偶数，则2| ；
②若整数 的个位数是0或5，则5| ；
(“华罗庚金杯”邀请赛试题)
解题思想：先把5 ＋7 －22 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．
【例5】如果将正整数M放在正整数 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数 的最小值，使得存在互不相同的正整数 ， ，…， ，满足对任意一个正整数 ，在 ， ，…， 中都至少有一个为 的“魔术数”．
例5考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a1，a2，…，an互不相等，不妨设a1＜a2＜…＜an，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m的“魔术数”，因为ai·10k＋m(k是m的位数)，是7的倍数，当i≤b时，而ai·t除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i＝7时，而ai·10k除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i＝7时，依抽屉原理，ai·10k与m二者余数的和至少有一个是7，此时ai·10k＋m被7整除，即n＝7．
①若 | ， | ，则 | ；
②若 | ， | ，则 |( ± )；
③若 | ， | ，则[ ， ]| ；
④若 | ， | ，且 与 互质，则 | ；
⑤若 | ，且 与 互质，则 | ．特别地，若质数 | ，则必有 | 或 | ．
例题与求解
【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．