沪教版初中数学知识点汇总

第九章整式

第一节整式的概念

9.1.2.3、字母表示数

代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的数或字母也是代数式。代数式的书写：1、代数式中出现乘号通常写作“*”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则。

2、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。

3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。

4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。

5、代数式不能含有“=、≠、<、>、≥、≤”符号。

代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。

注意：1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加×。

2、若带入的值是负数时，应添上括号。

3、注意解题格式规范，应写“当…..时，原式=……..”.

4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。

9.4整式

1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或字母

也是单项式。

2、系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

3、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项

式的次数。

4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

5、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数

6、整式：单项式和多项式统称为整式。

9.5合并同类项

1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做

同类项。

2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。

3、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后

的系数，字母和字母的指数不变。

第二节9.6整式的加减：

去括号法则：

（1）括号前面是"＋"号，去掉"＋"号和括号，括号里各项的不变号；

（2）括号前面是"－"号，去掉"－"号和括号，括号里的各项都变号。

添括号法则

（1）所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；

（2）所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。

第三节整式的乘法9.7同底数幂的乘法、9.8幂的乘方、9.9积的乘方：

①同底数幂的乘法

a m·a n=a m+n(m、n都是正整数)。

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

②幂的乘方与积的乘方

（a m）n=a mn(m、n都是正整数)

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（ab）n=a n b n (n都是正整数)

积的乘方等于各因式乘方的积。

③同底数幂的除法

a m÷a n=a m-n(a≠0,mn都是正整数，且m＞n)

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

a0

0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1。

a-p= (a) 任何一个不等零的数

的)指数幂，等这个数的p指数幂的倒数。

9.10整式的乘法：

⑴单项式与单项式相乘：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

⑵单项式与多项式相乘：

单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。

注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。

⑶多项式与多项式相乘：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，

即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。

第四节、乘法公式

9.11平方差公式

①内容：

（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝ａ²－ｂ²

②意义：

两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。

③特征：

Ⅰ.左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互

为相反数；

Ⅱ.右边是乘式中两项的平方差；

Ⅲ.公式中的ａ和ｂ可以使有理数，也可以是单项式或多项式。

④几何意义：

平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等

的表达式。

⑤拓展：

Ⅰ.立方和公式：（ａ＋ｂ）（ａ²－ａｂ＋ｂ²）＝ａ³＋ｂ³；

Ⅱ.立方差公式：（ａ－ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）＝ａ³－ｂ³。

（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ａｂ²＋…＋ａ²ｂ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ-ｂ。

9.12完全平方公式：

①内容：

（ａ＋ｂ）²＝ａ²＋ｂ²＋２ａｂ；

（ａ－ｂ）²＝ａ²＋ｂ²－２ａｂ。

②意义：

两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的２倍。

两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的２倍。

③特征：

Ⅰ.左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的２倍，可简记为“首平方，尾平方，积的２倍在中央。”

Ⅱ.公式中的ａ、ｂ可以是单项式，也可以是多项式。

④推广：

Ⅰ.（ａ＋ｂ＋ｃ）²＝ａ²＋ｂ²＋ｃ²＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａc；

Ⅱ.（ａ＋ｂ）³＝ａ³＋ｂ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²；

Ⅲ.（ａ－ｂ）³＝ａ³－ｂ³－３ａ²ｂ＋３ａｂ²。

第五节因式分解

⑴因式分解的意义：

把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积。

注意：①因式分解的要求：

Ⅰ.结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；

Ⅱ.每个因式必须是整式；

Ⅲ.各因式要分解到不能分解为止。

②因式分解与整式乘法的关系：

是两种不同的变形过程，即互逆关系。

9.13提取公因式法：

①提公因式法分解因式：

ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），这个变形就是提公因式法分解因式。

这里的ｍ可以代表单项式，也可以代表多项式，ｍ称为公因式。

确定公因式方法：

系数：取多项式各项系数的最大公约数。

字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。

9.14公式法

②利用公式法分解因式：

Ⅰ.平方差公式：ａ²－ｂ²＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。

Ⅱ.完全平方公式：ａ²＋ｂ²＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）²；

ａ²＋ｂ²－２ａｂ＝（ａ－ｂ）²。

Ⅲ.立方和与立方差公式：ａ³＋ｂ³＝（ａ＋ｂ）（ａ²－ａｂ＋ｂ²）；

ａ³－ｂ³＝（ａ－ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）。

注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

（２）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式

应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可

考虑用完全平方公式。

9.15.十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解

因式的方法叫做十字相乘法。

ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。

9.16分组分解法：

Ⅰ.将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。