选修2-1第三章 空间向量及其运算

空间向量及其运算1理解空间向量的有关概念，掌握向量的线性运算；2 掌握空间向量定理及坐标表示；3 能运用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。

1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

2、向量与有向线段的区别：有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段。

三个要素：起点、方向、单位长度.（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，即为相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.3、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0。

0的方向是任意的.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.4、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的．．．．．．起点无关．．．．.5、共线向量与平行向量关系：（1）平行向量的定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行.（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段．．．．．的起点无关）．．．．．．.6、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）；（2）>0时与方向相同；<0时与方向相反；=0时=；（3）运算定律1、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量，设（单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．2、空间向量的直角坐标运算律（1）若，，则，，， ，（2）若，，则．λ→a λ→a ||||||→→=a a λλλλ→a a λλ→a a λλ→a →0.)(,)(,)()(→→→→→→→→→+=++=+=b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλa ,,i j k 123(,,)a a a 123a a i a j a k =++123(,,)a a a a O xyz -123(,,)a a a a =O xyz -A (,,)x y z OA xi yj zk =++(,,)x y z A O xyz -(,,)A x y z x y z 123(,,)a a a a =123(,,)b b b b =112233(,,)a b a b a b a b +=+++112233(,,)a b a b a b a b -=---123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈111(,,)A x y z 222(,,)B x y z 212121(,,)AB x x y y z z =---一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（3）3、空间向量直角坐标的数量积1、设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝ 规定：零向量与任一向量的数量积为0。

2、模长公式3、两点间的距离公式：若，， 则或4、夹角：． 注：①是两个非零向量）；②。

5、 空间向量数量积的性质：①． ②． ③．6、运算律①； ②； ③4、直线的方向向量及平面的法向量1、直线的方向向量：我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量2、平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作，如果，那么向量叫做平面α的法向量。

注：①若，则称直线为平面的法线；//a b b a λ⇔=112233()b a b a R b aλλλλ=⎧⎪⇔=∈⎨⎪=⎩,><,cos ||||,b a ⋅b a ⋅><,cos ||||21||a a a x =⋅=+111(,,)A x y z 222(,,)B x y z 2||(AB AB x ==,A B d =cos ||||a ba b a b ⋅⋅=⋅0(,a b a b a b ⊥⇔⋅=22||a a a a =⋅=||cos ,a e a a e ⋅=<>0a b a b ⊥⇔⋅=2||a a a =⋅a b b a ⋅=⋅)()(⋅=⋅λλ⋅+⋅=+⋅)(l l α⊥α⊥l α⊥l αA BCDE②平面的法向量就是法线的方向向量。

③给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。

3、在空间求平面的法向量的方法：（1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。

（2）待定系数法：建立空间直接坐标系①设平面的法向量为②在平面内找两个不共线的向量和③建立方程组：④解方程组，取其中的一组解即可。

5、证明1、证明两直线平行已知两直线和, ,则存在唯一的实数使2、证明直线和平面平行（1）已知直线且三点不共线，则∥存在有序实数对使（2）已知直线和平面的法向量,则∥ 3、证明两个平面平行已知两个不重合平面,法向量分别为,则∥ 4、证明两直线垂直已知直线。

，则 5、证明直线和平面垂直已知直线，且A 、B ,面的法向量为,则6、证明两个平面垂直已知两个平面,两个平面的法向量分别为,则(,,)n x y z =111(,,)a x y z =222(,,)b x y z =0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩a b b D C a B A ∈∈,,,⇔b a //λAB CD λ=αα∈∈⊄E D C a B A a ,,,,,a ⇔αμλ,AB CD CE λμ=+,,,a B A a ∈⊄ααa n AB ⊥⇔αβα,n m ,α//⇔βb a ,b D C a B A ∈∈,,,0=•⇔⊥b a α和平面a a ∈α//a AB m α⊥⇔βα,,m n m n αβ⊥⇔⊥考点一：空间向量的线性运算例1、如图3-1-6,已知平行六面体ABCD A B C D ''''-.求证:2.AC AB AD AC '''++=例2、若向量MA 、MB 、MC 的起点与终点M 、A 、B 、C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O 是空间任一点），则能使向量MA 、MB 、MC 成为空间一组基底的关系是（ ）A.111333OM OA OB OC=++B.MA MB MC ≠+C.OM OA OB OC =++D.2MA MB MC =-例3、如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 是AC 与BD 的交点，若AB a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1BM 相等的向量是 （ ） A ．1122a b c -++ B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．1122a b c --+ 考点二：空间向量的坐标表示例1、如图所示，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别为底面ABCD 、底面1111A B C D 的中心，6AB =，14AA =，M 为1B B 的中点，N 在1C C 上，且1:1:3C N NC ＝. （1）以O 为原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．（2）以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．考点三：空间向量的向量积例1、已知向量()1,1,0a =，()1,0,2b =-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值为（ ） A ．1 B ．15 C ．35 D ．75例2、若()()2,3,,2,6,8a m b n ==且,a b 为共线向量，则m n +的值为（ ）A ．7B ．52C ．6D ．8 例3、已知A （2，－5，1），B （2，－2，4），C （1，－4，1），则与的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°考点四：空间向量在立体几何中的简单运用例1、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则11A B BC ⋅=__ _____. 例2、P 是平面ABCD 外的点，四边形ABCD 是平行四边形，),0,24(),412(，，，+--=AD AB )121(--=，，AP ,求证PA 垂直平面ABCD .1、若A （1，﹣2，1），B （4，2，3），C （6，﹣9，4），则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 2、点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于（ ）A ．13B ．14 C ．32 D ．133、若3,),,3,1(),0,2,2(π>=<==b a z b a ，则z 等于（ ）A.B.C.D.4、已知向量(1,,3)x =-a ，(2,4,)y =-b ，且//a b ，那么x y +等于（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．45、若点(,5,21)A x x x --，(1,2,2)B x x +-，当AB 取最小值时，x 的值等于（ ）．A ．19B ．78- C ．78 D ．14196、已知向量()()(),12,1,4,5,1,,10,1OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则=k ________．8、若(2,3,1)a =-，(2,1,3)b =-，则,a b 为邻边的平行四边形的面积为 ．9、已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为________．1、在正三棱柱111C B A ABC -中，已知2=AB ，21=CC ，则异面直线1AB 和1BC 所成角的正弦值为( )A.1B.77C.21D.232、已知点A （1，-2,0）和向量a=(-3,4,12),若向量//AB a,且a AB 2=，则B 点的坐标为（ ）A ．（-5,6,24）B ．（-5,6,24）或（7，-10，-24）C ．（-5,16，-24）D ．（-5,16，-24）或（7，-16,24） 3、在以下三个命题中，真命题的个数是（ ）①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，则a 、b 、c 共面；②若两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线； ③若a 、b 是两个不共线的向量，且(),,0λμλμλμ=+∈≠R c a b ，则{},,a b c 构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3 4、下列各组向量中不平行的是（ ）A ．(1,2,2)(2,4,4)a b =-=--，B ．(1,0,0)(3,0,0)c d ==-，C ．(2,3,0)(0,0,0)e f ==，D ．(2,3,5)(16,24,40)g h =-=，5、已知a,b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3+a b 等于（ ）A.7B.10C.13 D ．46、已知P 是正六边形ABCDEF 外一点，O 为正六边形ABCDEF 的中心，则PA PB PC PD PE PF +++++等于（ ）A.PO B ．3PO C ．6PO D ．0 7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，若11BD xAD yAB zAA =++，则x y z ++的值为（ ）A ．3B ．1C ．1-D ．3-8、a ＝（1－t ，1－t ，t ），b ＝（2，t ，t ），则|b －|的最小值是（ ）aA．5．5 C．5 D ．1159、已知向量(0,1,1)a =-，(4,1,0)b =，||29a b λ+=且0λ>，则λ= .10、已知(0,0,0)O ，(2,2,2)A --，(1,4,6)B -，(,8,8)C x -，若OC AB ⊥，则x =________；若O ，A ，B ，C 四点共面，则x =__________． 11、已知．（1）若，求实数k 的值 （2）若，求实数k 的值．1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量.如位移、速度、力等 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移. 2．向量运算和运算率，，加法交换律：加法结合律：数乘分配律：b a +=+=b a-=-=)(R a ∈=λλ .a b b a +=+).()(c b a c b a++=++说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.平行于记作∥.注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义.共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的实数.②判断定理：若存在唯一实数，使＝（≠0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）.⑵对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为 ||，当>0时与同向，当<0时与反向的所有向量⑶若直线l ∥，，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式.推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 ① 其中向量叫做直线l 的方向向量 在l 上取，则①式可化为 ②当时，点P 是线段AB 的中点，则 ③ ①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式.4．向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥.注意：向量∥与直线a ∥的联系与区别. 共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使① .)(b a b aλλλ+=+a b a ba baba a0b a b λb λaa b a b λaλλb λa a a ba b a b b aλa b λa a λa λa λaal A ∈aOP OA ta =+aa AB=.)1(t t +-=21=t ).(21OB OA OP +=a αaαa αa αaααa b pa b .b y a x p+=ABO（1）OAB（2）ABO（4）ABO（3）注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面.5．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线.与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使6．数量积（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角∠AOB叫做向量与的夹角，记作说明：⑴规定0≤≤,因而=；⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥；⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，图（3）中∠AOB=，图（4）中∠AOB=,从而有==.abc,,x y z.c zbyaxp++=abc{}Rzyxc zb ya xpp∈++=、、,|abcabcabczyx、、.zyx++=aba=b=ab〉〈ba，〉〈ba，π〉〈ba，〉〈ab，〉〈ba，2πabab〉〈,-π〉〈OBAO,〉〈-OBOA,〉-〈OBOA,-π〉〈OBOA,（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模.（3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作.即=，向量:（4）性质与运算率⑴，⑵⊥=0，⑶（4），（5）=，（6）7．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设，，则①； ②；③. (2)共线与垂直的坐标表示设，，则，(均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设，，则，.设，则.〉〈b a b a,cos a b b a ⋅b a ⋅〉〈b a b a ,cos AB 方向上的正射影在eB A e a AB ea ''=〉〈=⋅,cos ||〉〈=⋅e a e a ,cos a b ⇔b a ⋅2||.a a a =⋅()()a b a b λλ⋅=⋅b a ⋅b a ⋅()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅()123,,a a a a =()123,,b b b b =()112233,,a b a b a b a b ±=+++()123,,a a a a λλλλ=112233a b a b a b a b ⋅=++()123,,a a a a =()123,,b b b b =112233,,a b a b a b a b a b λλλλ⇔=⇔===11223300a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔++=,a b ()123,,a a a a =()123,,b b b b =2222123a a a a a ==++112233222222123123cos ,a b a b a ba a ab b b ⋅〈〉==⋅++++()()111222,,,,,A a b c B a b c ()()()222212121AB d AB a a b b c c ==-+-+-ABl空间向量在立体几何中的综合应用① 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;② 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直;④ 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系; ⑤ 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理;⑥ 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.(一) 知识框架(二) 空间向量空间向量:在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。