选修2-1第三章 空间向量及其运算

空间向量及其运算

1理解空间向量的有关概念，掌握向量的线性运算；

2 掌握空间向量定理及坐标表示；

3 能运用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。

1、向量的概念：

我们把既有大小又有方向的量叫向量。

2、向量与有向线段的区别：

有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段。三个要素：起点、方向、单位长度.

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，即为相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

3、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0。0的方向是任意的.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

4、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；

（2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的

．．．．．．

起点无关

．．．．.

5、共线向量与平行向量关系：

（1）平行向量的定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行.

（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段．．．．．的起点无关）．．．．．．

.

6、实数与向量的积：

实数与向量的积是一个向量，记作： （1）；

（2）>0时与方向相同；<0时与方向相反；=0时=；

（3）运算定律

1、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示

空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量，设（单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使

，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，

记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．

2、空间向量的直角坐标运算律

（1）若，，

则，

，， ，

（2）若，，则．

λ→

a λ→

a ||||||→→

=a a λλλλ→

a a λλ→a a λλ→a →0.)(,)(,)()(→

→→→→→→→→+=++=+=b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλa ,,i j k 123(,,)a a a 123a a i a j a k =++123(,,)a a a a O xyz -123(,,)a a a a =O xyz -A (,,)x y z OA xi yj zk =++(,,)x y z A O xyz -(,,)A x y z x y z 123(,,)a a a a =123(,,)b b b b =112233(,,)a b a b a b a b +=+++112233(,,)a b a b a b a b -=---123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈111(,,)A x y z 222(,,)B x y z 212121(,,)AB x x y y z z =---

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起

点的坐标。

（3）

3、空间向量直角坐标的数量积

1、设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，

即＝ 规定：零向量与任一向量的数量积为0。 2、模长公式

3、两点间的距离公式：若，， 则

或

4、夹角：． 注：①是两个非零向量）；

②。

5、 空间向量数量积的性质：

①． ②． ③．

6、运算律

①； ②； ③

4、直线的方向向量及平面的法向量

1、直线的方向向量：我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量

2、平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，

记作，如果，那么向量叫做平面α的法向量。

注：①若，则称直线为平面的法线；

//a b b a λ⇔=112233()b a b a R b a

λλλλ=⎧⎪

⇔=∈⎨⎪=⎩,><,cos ||||,b a ⋅b a ⋅><,cos ||||21||a a a x =⋅=+111(,,)A x y z 222(,,)B x y z 2

||(AB AB x ==,A B d =cos ||||

a b

a b a b ⋅⋅=

⋅0(,a b a b a b ⊥⇔⋅=2

2

||a a a a =⋅=||cos ,a e a a e ⋅=<>0a b a b ⊥⇔⋅=2

||a a a =⋅a b b a ⋅=⋅)()(⋅=⋅λλ⋅+⋅=+⋅)(l l α⊥α⊥l α⊥l α

A B

C

D

E

②平面的法向量就是法线的方向向量。

③给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。

3、在空间求平面的法向量的方法：

（1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。 （2）待定系数法：建立空间直接坐标系

①设平面的法向量为

②在平面内找两个不共线的向量和

③建立方程组：

④解方程组，取其中的一组解即可。

5、证明

1、证明两直线平行

已知两直线和, ,则存在唯一的实数使

2、证明直线和平面平行

（1）已知直线且三点不共线，

则∥存在有序实数对使

（2）已知直线和平面的法向量,则∥ 3、证明两个平面平行

已知两个不重合平面,法向量分别为,则∥ 4、证明两直线垂直

已知直线。，则 5、证明直线和平面垂直

已知直线，且A 、B ,面的法向量为,则

6、证明两个平面垂直

已知两个平面,两个平面的法向量分别为,则

(,,)n x y z =111(,,)a x y z =222(,,)b x y z =0

n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩a b b D C a B A ∈∈,,,⇔b a //λAB CD λ=αα∈∈⊄E D C a B A a ,,,,,a ⇔αμλ,AB CD CE λμ=+,,,a B A a ∈⊄ααa n AB ⊥⇔αβα,n m ,α//⇔βb a ,b D C a B A ∈∈,,,0=•⇔⊥b a α和平面a a ∈α//a AB m α⊥⇔βα,,m n m n αβ⊥⇔⊥