高考数学知识点整理知识框架

第一部分 集合、映射、函数、导数及微积分集合映射 概念元素、集合之间的关系 运算：交、并、补 数轴、Venn 图、函数图象性质确定性、互异性、无序性 定义表示 解析法 列表法三要素图象法定义域对应关系值域 性质奇偶性周期性 对称性 单调性 定义域关于原点对称，在x ＝0处有定义的奇函数→f (0)＝01、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；2、证明单调性：作差（商）、导数法；3、复合函数的单调性 最值二次函数、基本不等式、打钩（耐克）函数、三角函数有界性、数形结合、导数.幂函数 对数函数三角函数基本初等函数 抽象函数 复合函数 赋值法、典型的函数函数与方程 二分法、图象法、二次及三次方程根的分布 零点函数的应用 建立函数模型使解析式有意义 导数函数基本初等函数的导数导数的概念导数的运算法则导数的应用表示方法换元法求解析式分段函数 几何意义、物理意义单调性导数的正负与单调性的关系 生活中的优化问题定积分与微积分定积分与图形的计算注意应用函数的单调性求值域周期为T 的奇函数→f (T )＝f (T2)＝f (0)＝0 复合函数的单调性：同增异减三次函数的性质、图象与应用一次、二次函数、反比例函数指数函数 图象、性质 和应用平移变换对称变换 翻折变换 伸缩变换图象及其变换最值极值第二部分 三角函数与平面向量角的概念任意角的三角函数的定义 三角函数弧度制弧长公式、扇形面积公式三角函数线同角三角函数的关系诱导公式 和角、差角公式 二倍角公式公式的变形、逆用、“1”的替换 化简、求值、证明（恒等变形）三角函数 的 图 象定义域奇偶性 单调性 周期性 最值对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直x 轴的直线，对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函数的对称中心为(k π2，0)（k ∈Z ）.正弦函数y ＝sin x=余弦函数y ＝cos x 正切函数y ＝tan x y ＝A sin(ωx ＋ϕ)＋b①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意ω的符号）； ④最小正周期T ＝2π| ω |；⑤对称轴x ＝(2k ＋1)π－2ϕ2ω，对称中心为(k π－ϕω，b )（k ∈Z ）. 平面向量概念 线性运算 基本定理加、减、数乘几何意义坐标表示数量积几何意义模共线与垂直共线（平行）垂直值域图象a →∥b →⇔b →＝λa → ⇔ x 1y 2－x 2y 1=0 a →⊥b →⇔b →·a →＝0 ⇔ x 1x 2＋y 1y 2=0解三角形余弦定理 面积 正弦定理解的个数的讨论实际应用S △＝12ah ＝12ab sin C ＝p (p －a )(p －b )(p －c )（其中p ＝a ＋b ＋c 2）投影b →在a →方向上的投影为|b →|cos θ＝a →·b→|a →|设a →与b →夹角θ，则cos θ＝a →·b →|a →|·|b →|对称性 |a →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2夹角公式第三部分数列与不等式概念数列表示等差数列与等比数列的类比解析法：a n＝f (n)通项公式图象法列表法递推公式等差数列通项公式求和公式性质判断a n＝a1＋(n－1)d a n＝a1q n－1a n＋a m＝a p＋a r a n a m＝a p a r前n项和S n＝n(a1＋a n)2前n项积(a n＞0)T n＝(a1a n)n常见递推类型及方法逐差累加法逐商累积法构造等比数列{a n＋qp－1}构造等差数列①a n＋1－a n＝f (n)②a n + 1a n＝f (n)③a n＋1＝pa n＋q④pa n＋1a n＝a n－a n＋1化为a n＋1q n=pq·a nq n－1＋1转为⑤a n + 1＝pa n＋q n等比数列a n≠0，q≠0S n＝na1，q＝1a1(1－q n)1－q，q≠1公式法：应用等差、等比数列的前n项和公式分组求和法倒序相加法裂项求和法错位相加法常见求和方法不等式不等式的性质一元二次不等式简单的线性规划基本不等式：ab≤a＋b2数列是特殊的函数借助二次函数的图象三个二次的关系可行域目标函数一次函数：z＝ax＋byz＝y－bx－a：构造斜率z＝(x－a)2＋(y－b)2：构造距离应用题几何意义：z是直线ax＋by－z＝0在x轴截距的a倍，y轴上截距的b倍.最值问题变形和定值，积最大；积定值，和最小应用时注意：一正二定三相等2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22倾斜角和斜率直线的方程位置关系直线方程的形式倾斜角的变化与斜率的变化重合平行相交垂直A1B2－A2B1＝0A1B2－A2B1≠0A1A2＋B1B2＝0点斜式：y－y0＝k(x－x0)斜截式：y＝kx＋b两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1截距式：xa＋yb＝1一般式：Ax＋By＋C＝0注意各种形式的转化和运用范围.两直线的交点距离点到线的距离：d＝| Ax0＋By0＋C |A2＋B2，平行线间距离：d＝| C1－C2 |A2＋B2圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系两圆的位置关系相离相切相交∆＜0，或d＞r∆＝0，或d＝r∆＞0，或d＜r曲线与方程轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义及标准方程性质范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线）离心率对称性问题中心对称轴对称点(x1，y1) ───────→关于点(a，b)对称点(2a－x1，2b－y1)曲线f (x，y) ───────→关于点(a，b)对称曲线f (2a－x，2b－y)A·x1＋x22＋B·y1＋y22＋C＝0y2－y1x2－x1·(－AB)＝－1特殊对称轴x±y＋C＝0 直接代入法截距注意：截距可正、可负，也可为0.点(x1，y1)与点(x2，y2)关于直线Ax＋By＋C＝0对称点与线空间点、 线、面的 位置关系点在直线上 点在直线外 点与面点在面内点在面外线与线共面直线异面直线相交平行没有公共点 只有一个公共点线与面平行相交有公共点没有公共点 直线在平面外直线在平面内面与面平行相交平行关系的相互转化 垂直关系的相互转化 线线 平行 线面 平行 面面 平行线线 垂直 线面 垂直 面面 垂直空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角 二面角 范围：(0︒，90︒] 范围：[0︒，90︒] 范围：[0︒，180︒]点到面的距离直线与平面的距离 平行平面之间的距离相互之间的转化cos θ＝|a →·b →||a →|·|b →|sin θ＝|a →·n →||a →|·|n →|cos θ＝n 1→·n 2→|n 1→|·|n 2→|d ＝|a →·n →||n →|空间向量空间直角坐标系空间的距离空间几何体柱体棱柱圆柱 正棱柱、长方体、正方体台体棱台圆台 锥体 棱锥圆锥球 三棱锥、四面体、正四面体直观图 侧面积、表面积 三视图体积长对正 高平齐 宽相等第六部分 统计与概率第七部分 其他部分内容合情推理归纳类比两个原理分类加法计算原理和分步乘法计算原理 排列与组合 排列数：A m n ＝n !(n －m )!组合数：C m n ＝n !m !(n －m )! 性质 C mn ＝C n －m n C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n计算原理二项式定理通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r首末两端“等距离”两项的二项式系数相等C 0n ＋C 2n ＋C 4n …＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n …＝2n －1 C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n二项式系数性质推理猜想统计随机抽样抽签法 随机数表法简单随机抽样系统抽样 分层抽样共同特点：抽样过程中每个个体被抽到的可能性（概率）相等用样本估计总体样本频率分布估计总体总体密度曲线 频率分布表和频率分布直方图茎叶图样本数字特征估计总体众数、中位数、平均数 方差、标准差 变量间的相关关系 两个变量的线性相关散点图回归直线正态分布列联表（2×2）独立性分析概率概率的基本性质 互斥事件 对立事件古典概型 几何概型 条件概率 事件的独立性用随机模拟法求概率常用的分布及期望、方差随机变量两点分布X ～B (1，p )E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )二项分布X ～B (n ，p )E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )X ～H (N ，M ，n ) E (X )＝nMN D (X )＝nM N 1－MN N －n N －1n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k(1－p )n －k 超几何分布 若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋bD (Y )＝a 2D (X ) P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )P ( A )＝1－P (A )P (A B )＝P (A )·P (B )P (B | A )＝P (A B )P (A )。