线性规划及单纯形法.ppt
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第1讲线性规划及单纯形法
21
解：目标函数： Min 约束条件：
f = 2x1 + 3 x2
s.t.
x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
x2
x1 =125
600
500
2x1+3x2 =1200
400
2x1+x2 =600
26
凸集
定义 2.2.1：设 S Rn 是 n 维欧氏空间的点集，若对任意 x S, y S 的和任意 [0,1] 都有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集 Si 的交还是凸集
例1 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
30
它的系数矩阵 ,
1 1 1 0 0
A(p1,p2,p3,p4,p5)2 1 0 1 0
0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
解：目标函数： Min 约束条件：
f = 2x1 + 3 x2
s.t.
x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
x2
x1 =125
600
500
2x1+3x2 =1200
400
2x1+x2 =600
26
凸集
定义 2.2.1：设 S Rn 是 n 维欧氏空间的点集，若对任意 x S, y S 的和任意 [0,1] 都有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集 Si 的交还是凸集
例1 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
30
它的系数矩阵 ,
1 1 1 0 0
A(p1,p2,p3,p4,p5)2 1 0 1 0
0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
第一章线性规划问题及单纯形解法演示文稿
线性规划问题的可行解集S是凸集 设X属于S,若x=0,则一定为极点；若x 0，则为极点的充要条件是：x的正分量所 对应的系数列向量线性无关。
只要存在可行解，就一定存在极点
极点的个数是有限的
最优解只可能在凸集的极点上，而不可能发生 在凸集的内部
38
第38页，共65页。
关于标准型解的若干基本概念：
Z=15x11+21x12+18x13+
20x21+25x22+16x23, x11+x12+x13≤200, x21+x22+x23≤150, x11+ x21 ＝100, x12+x22＝80, x13+x23≥90, x13+x23≤120, xij≥0 ﹙i=1,2 j=1,2,3﹚.
10
第10页，共65页。
maxz( x) c x c x c x
11
22
nn
s.t.
a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
ax 21 1
a x 22 2
a x 2n n
b 2
am1
x 1
a x m2 2
a x mn n
b m
x , x ,, x 0
1
2
n
12
第12页，共65页。
1、标准型的几种不同的表示方式
对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。
z=10000=50x1+100x
2
z=0=50x1+100x2
x2
x1+x2=300
AB C
E
z=27500=50x1+100x
只要存在可行解，就一定存在极点
极点的个数是有限的
最优解只可能在凸集的极点上，而不可能发生 在凸集的内部
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第38页，共65页。
关于标准型解的若干基本概念：
Z=15x11+21x12+18x13+
20x21+25x22+16x23, x11+x12+x13≤200, x21+x22+x23≤150, x11+ x21 ＝100, x12+x22＝80, x13+x23≥90, x13+x23≤120, xij≥0 ﹙i=1,2 j=1,2,3﹚.
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第10页，共65页。
maxz( x) c x c x c x
11
22
nn
s.t.
a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
ax 21 1
a x 22 2
a x 2n n
b 2
am1
x 1
a x m2 2
a x mn n
b m
x , x ,, x 0
1
2
n
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第12页，共65页。
1、标准型的几种不同的表示方式
对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。
z=10000=50x1+100x
2
z=0=50x1+100x2
x2
x1+x2=300
AB C
E
z=27500=50x1+100x
线性规划与单纯形法PPT课件
Max Z = 50 x1 + 30 x2
第3步 --表示约束条件
4x1+3x2 120（木工工时限制） 2x1+x2 50 （油漆工工时限制）
x1，x2≥0 （变量取非负值限制）
该计划的数学模型
max Z=50x1+30x2 4x1+3x2 120
s.t.
2x1+ x2 50 x1, x2 0
问如何组织生产才能使每月的销售收入最大？
• 第1步 -确定决策变量
是问题中要确定的未知量
xx •设
1 ——桌子的产量 2 ——椅子的产量
，表明规划中的用数量表 示的方案、措施，可由决 策者决定和控制。
z ——利润
x1
x2
第2步 --定义目标函数
Max Z = 50 x1 + 30 x2
第2步 --定义目标函数
线性规模解决的问题
• 给定一定数量的人力、物力、财力等资源， 研究如何充分利用，以发挥其最大效果
• 已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最 少的人力、物力、财力去完成
2、线性规划问题的数学模型
线性规划数学模型三要素：
决策变量、目标函数、约束条件
➢ 每一个线性规划问题都有一组决策变量 (x1, x2, ……, xn) , 这组决策变量的值就代表 一个具体方案。
1、问题的提出
例1.1 生产计划问题（资源利用问题） 某家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个。 需要木工和油漆工两种工种。 生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。 生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。 该厂每个月可用木工工时为120小时， 油漆工工时为50小时。
第1工厂投污水的水质要求 ：(2 x1) 2 500 1000
第3步 --表示约束条件
4x1+3x2 120（木工工时限制） 2x1+x2 50 （油漆工工时限制）
x1，x2≥0 （变量取非负值限制）
该计划的数学模型
max Z=50x1+30x2 4x1+3x2 120
s.t.
2x1+ x2 50 x1, x2 0
问如何组织生产才能使每月的销售收入最大？
• 第1步 -确定决策变量
是问题中要确定的未知量
xx •设
1 ——桌子的产量 2 ——椅子的产量
，表明规划中的用数量表 示的方案、措施，可由决 策者决定和控制。
z ——利润
x1
x2
第2步 --定义目标函数
Max Z = 50 x1 + 30 x2
第2步 --定义目标函数
线性规模解决的问题
• 给定一定数量的人力、物力、财力等资源， 研究如何充分利用，以发挥其最大效果
• 已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最 少的人力、物力、财力去完成
2、线性规划问题的数学模型
线性规划数学模型三要素：
决策变量、目标函数、约束条件
➢ 每一个线性规划问题都有一组决策变量 (x1, x2, ……, xn) , 这组决策变量的值就代表 一个具体方案。
1、问题的提出
例1.1 生产计划问题（资源利用问题） 某家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个。 需要木工和油漆工两种工种。 生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。 生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。 该厂每个月可用木工工时为120小时， 油漆工工时为50小时。
第1工厂投污水的水质要求 ：(2 x1) 2 500 1000
第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)
✓ x1、 x2 0
IБайду номын сангаас
设备
1
原材料 A 4
原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
该计划的数学模型
✓ 目标函数 ✓ 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1
✓ 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些 机组人员被安排于哪架飞机的决策。
✓ 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运 送海湾战争所需要的人员和物资的决策。
✓ ……
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
二、线性规划问题的数学模型
✓ 1、一般形式 ✓ 2、简写形式 ✓ 3、表格形式 ✓ 4、向量形式 ✓ 5、矩阵形式
1、唯一最优解
max Z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12 ⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x 2 12 ⑷
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶ ⑷
(4，2)
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
✓最优解：x1 = 4,x2 = 2，有唯一最优解Z=14。
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
三、线性规划模型的标准形式
✓ 1、标准形式 ✓ 2、转换方式
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
1、标准形式
maZx cjxj
xj
aijxj 0
bi
水资源系统分析第2章线性规划与单纯形法ppt课件
原材料的合理利用等生产组织问题。 – 二战期间开始应用于军事规划
(英、美)。1947年， Dantzig 美国空军----斯坦福大学教授，
提出了单纯形法求解线性规划问题。 “线性规划之父”。
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10
Dantzig 「配餐问题」
美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食 品中，要保证一定的营养成份，例如蛋白质、 脂肪、维生素等等，都有定量的规定。
x11,x12…x23≥0
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8
1.2 数学模型
规划模型的要素 决策变量：规划的措施、方案，是需要 确定的未知变量。 目标函数：规划的目的和用要求 约束条件：决策变量的取值范围 线性目标和约束组成线性规划模型
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9
产生和发展
– 19世纪，法国科学家Fourier提出线性规划。 – 1939年苏联数学家康托维奇：机器负荷分配、
这些营养成份可以由各种不同的食物来提供 (例如牛奶提供蛋白质和维生素，黄油提供蛋 白质和脂肪，胡萝卜提供维生素，等等)。
由於战争条件的限制，食品种类有限，又要尽
量降低成本，於是在一盒套餐中，如何决定各
种食品的数量，使得既能满足营养成份的需要，
又可以降低成本----最佳的配餐方案。
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11
线性规划一般形式:
第二章 线性规划
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1
1 一般数学模型
1.1 问题的提出
例1 长度100米的钢材，需要截成3 米、8米、11米短材。如何截取使剩料 最少？要求：3米的最少2根，最多9根； 8米的最少4根，11米的最少1根，最多 8根。
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2
例2 某灌区在年初估算可供水量为360万m3, 计划灌溉小麦、玉米两种.总面积1000hm2,
(英、美)。1947年， Dantzig 美国空军----斯坦福大学教授，
提出了单纯形法求解线性规划问题。 “线性规划之父”。
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10
Dantzig 「配餐问题」
美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食 品中，要保证一定的营养成份，例如蛋白质、 脂肪、维生素等等，都有定量的规定。
x11,x12…x23≥0
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8
1.2 数学模型
规划模型的要素 决策变量：规划的措施、方案，是需要 确定的未知变量。 目标函数：规划的目的和用要求 约束条件：决策变量的取值范围 线性目标和约束组成线性规划模型
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9
产生和发展
– 19世纪，法国科学家Fourier提出线性规划。 – 1939年苏联数学家康托维奇：机器负荷分配、
这些营养成份可以由各种不同的食物来提供 (例如牛奶提供蛋白质和维生素，黄油提供蛋 白质和脂肪，胡萝卜提供维生素，等等)。
由於战争条件的限制，食品种类有限，又要尽
量降低成本，於是在一盒套餐中，如何决定各
种食品的数量，使得既能满足营养成份的需要，
又可以降低成本----最佳的配餐方案。
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线性规划一般形式:
第二章 线性规划
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1
1 一般数学模型
1.1 问题的提出
例1 长度100米的钢材，需要截成3 米、8米、11米短材。如何截取使剩料 最少？要求：3米的最少2根，最多9根； 8米的最少4根，11米的最少1根，最多 8根。
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2
例2 某灌区在年初估算可供水量为360万m3, 计划灌溉小麦、玉米两种.总面积1000hm2,
第二章 线性规划及单纯形法
标准形式
目标函数： 目标函数： 约束条件： 约束条件： Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0 ，
（一）一般式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn ≥(=, ≤)b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn ≥(=, ≤)b2 … … … am1X1+ am2X2+…+ amnXn ≥(=, ≤)bm Xj ≥0(j=1,…,n) 0( )
三、线性规划问题的标准形式 线性规划问题的标准形式
2、约束条件不是等式的问题： 约束条件不是等式的问题： 设约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi
可以引进一个新的变量s ，使它等于约束右边与左 边之差
s=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) (
一、问题提出
Ⅰ 设备A 设备 设备B 设备 调试工序 利润 0 6 1 2
例1生产计划问题
Ⅱ 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
两种家电各生产多少, 可获最大利润? 两种家电各生产多少, 可获最大利润
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段 是在原问题中去除人工变量，并从此可行解（第一阶段的 最优解）出发，继续寻找问题的最优解。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
第1章线性规划与单纯形法
26
线性规划问题的数学模型
7. 线性规划问题的解
线性规划问题
n
max Z cj xj (1) j 1
s.t
n j 1
aij
xj
bi
(i 1, 2,
, m) (2)
x
j
0,
j
1, 2,
, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
解： Max z = 3x1–5x2’+5x2”–8x3 +7x4 s.t. 2x1–3x2’+3x2”+5x3+6x4+x5= 28 4x1+2x2’-2x2”+3x3-9x4-x6= 39 -6x2’+6x2”-2x3-3x4-x7 = 58 x1 ,x2’,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 ≥ 0
x1 , x2 0, x3无约束
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以
用 x3 x3 替换 x3 ，且 x3 , x3 0
20
线性规划问题的数学模型
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
11
线性规划问题的数学模型
3. 建模条件 (1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示；
(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够 用决策变量的线性等式或线性不等式表示；
(3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找 出最优方案。
线性规划问题的数学模型
7. 线性规划问题的解
线性规划问题
n
max Z cj xj (1) j 1
s.t
n j 1
aij
xj
bi
(i 1, 2,
, m) (2)
x
j
0,
j
1, 2,
, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
解： Max z = 3x1–5x2’+5x2”–8x3 +7x4 s.t. 2x1–3x2’+3x2”+5x3+6x4+x5= 28 4x1+2x2’-2x2”+3x3-9x4-x6= 39 -6x2’+6x2”-2x3-3x4-x7 = 58 x1 ,x2’,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 ≥ 0
x1 , x2 0, x3无约束
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以
用 x3 x3 替换 x3 ，且 x3 , x3 0
20
线性规划问题的数学模型
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
11
线性规划问题的数学模型
3. 建模条件 (1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示；
(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够 用决策变量的线性等式或线性不等式表示；
(3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找 出最优方案。
第一章 线性规划及单纯形法.ppt
• 运筹学的内容十分广泛，包括线性规划、 整数规划、动态规划、非线性规划、图论 与网络优化、排队论、决策理论、库存理 论等。在本课程中，结合管理学科的特点， 主要介绍线性规划和运输问题。
2021/3/20
7
运筹学的主要内容
线性规划
数
非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
科
组
最优计数问题
2021/3/20
13
2. 配料问题（Material Blending）
某工厂要用四种合金T1、T2、T3、T4为原料，经熔炼成 为新的不锈钢G。这四种原料含铬（Cr）、锰（Mn）和 镍（Ni）的含量（％），这四种原料的单价以及新的不 锈钢G所要求的Cr、Mn、Ni的最低含量（％）如下表：
Cr Mn Ni 单价（元/公斤）
T4
G
Cr
3.21 4.53 2.19 1.76
3.20
Mn
2.04 1.12 3.57 4.33
2.10
Ni
5.82 3.06 4.27 2.73
4.30
单价（元/公斤） 115
97ห้องสมุดไป่ตู้
82
76
设四种原料分别选取x1，x2，x3，x4公斤，总成本为z。
min z=115x1+97x2+82x3+76x4
合 网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机
优 库存论
2021/3/20
化 决策分析 可靠性分析
8
目录： 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章
线性规划及单纯形法 对偶问题 灵敏度分析 线性规划的建模与应用 运输问题
2021/3/20
7
运筹学的主要内容
线性规划
数
非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
科
组
最优计数问题
2021/3/20
13
2. 配料问题（Material Blending）
某工厂要用四种合金T1、T2、T3、T4为原料，经熔炼成 为新的不锈钢G。这四种原料含铬（Cr）、锰（Mn）和 镍（Ni）的含量（％），这四种原料的单价以及新的不 锈钢G所要求的Cr、Mn、Ni的最低含量（％）如下表：
Cr Mn Ni 单价（元/公斤）
T4
G
Cr
3.21 4.53 2.19 1.76
3.20
Mn
2.04 1.12 3.57 4.33
2.10
Ni
5.82 3.06 4.27 2.73
4.30
单价（元/公斤） 115
97ห้องสมุดไป่ตู้
82
76
设四种原料分别选取x1，x2，x3，x4公斤，总成本为z。
min z=115x1+97x2+82x3+76x4
合 网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机
优 库存论
2021/3/20
化 决策分析 可靠性分析
8
目录： 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章
线性规划及单纯形法 对偶问题 灵敏度分析 线性规划的建模与应用 运输问题
运筹学PPT(LP)分析
单纯形法基本原理
Page 24
√ 对于任意一个至少有一个最优解的问题，我们就只关注顶 点。 √ 单纯形法是一个不断循环的运算过程。 √ 尽量用原点作为初始点（方便） √ 只找相邻的点移动，因为计算比较容易（限制条件有相 同），所以单纯形法只在可行域的边界上移动
√ 有两个方向可以选择的时候，通常选择大的提高率来移动
x n i 0
称为松弛变量
线性规划问题的数学模型
例3 将下列线性规划问题化为标准形式
Page 13
Min Z= 2x1+ 3x2 S.T. 2x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≥ 12 x2 ≥ -16
x1≤0 , x2 无约束
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标
θi
0
j
x4
30
1
3
3
4
0
0
1
0
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 0 1) 3
单纯形法的计算步骤
Page 29
3）进行最优性检验 如果表中所有检验数 0 ，则表中的基可行解就是问题 j 的最优解，计算停止。否则继续下一步。 4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解， 列出新的单纯形表
A是m×n阶的系数矩阵，其秩为m。若B是A中的m 阶的满秩子矩阵，即B是由A中的ｍ个线性独立的 系数列向量组成，则称之为线性规划问题的一个基。 不失一般性，令B m×m =[P1，P2…Pm],基中的列向 量Pj(j=1…m)称为基向量，与之对应的变量xj (j=1…m)为基变量。A中其余不包含在B中的列向量 Pj(j=m+1…n)为非基向量，与之对应的xj (j=m+1…n) 是非基变量。
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n
max(min) Z c j x j
j 1
s.t
n j 1
aij x j
(, )bi
xj 0
(i 1,2,, m) ( j 1,2,, n)
若令 C (c1, c2 ,, cn );
x1
X
x2
;
xn
b1
b
b2
;
bm
a11
A
a21
a12
a22
a1n
∑≥10
∑≥20
∑≥12
x11 x12 x13 x14 15
x13 x14 x22 x23 x31 x32 20
x12 x13 x14 x21 x22 x23 10
x14 x23 x32 x41 12
Z 2800 (x11 x21 x31 x41) 4500(x12 x22 x32 ) 6000(x13 x23) 7300 x14
表1-2
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
表1-3
单位；元/100m2
1个月 2个月 3个月 4个月
2800 4500 6000 7300
x11
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
x12
x11
x21
x31
x41
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
x12
x32
x13
x22
x14
x23
∑≥15
表1-2
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
表1-3
单位；元/100m2
1个月 2个月 3个月 4个月
2800 4500 6000 7300
解：设 xij 表示捷运公司在第i (i=1,2,3,4)月初签订的租期为j
(j=1,2,3,4)个月的仓库面积的合同（单位为100m2)。
库存论 决策分析
可靠性分析
线性规划及单纯形法
❖ 线性规划问题及其数学模型 ❖ 图解法 ❖ 单纯形法原理 ❖ 数学试验
第一节 线性规划问题及其数学模型
一。问题的提出 线性规划主要解决：如何利用现有的资源，使得预期目标达 到最优。 例1 美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一 件时分别占用的设备A、B的台时、调试工序及每天可用于 这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1-1所 示。问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润最 大？
利润（元）
表1-1
ⅠⅡ
0
5
6
2
1
1
2
1
每天可用能力
15 24 5
解：公司制造Ⅰ、Ⅱ两种家电分别为 x1, 件x2。
调试工序时间限制： x1 x2 5 利润： Z 2x1 x2 即要求： max Z 2x1 x2
目标函数 约束条件
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
项目
设备A (h) 设备B (h) 调试工序(h) 利润（元）
表1-1
ⅠⅡ
0
5
6
2
1
1
2
1
每天可用能力
15 24 5
解：设公司制造Ⅰ、Ⅱ两种家电分别为 x1, 件x2。
问题：x1=? x2=? 利润Z 最大？ 设备A工时限制： 5x2 15 设备B工时限制：6x1 2x2 24
项目
设备A (h) 设备B (h) 调试工序(h)
max(min) Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2
s.t.
a21x1
a22 x2
a1n xn (, )b1 a2n xn (, )b2
am1x1 am2 x2 amn xn (, )bm
xj 0, ( j 1, 2, , n)
上述模型的简写形式为：
运筹学
运筹学：operational research 在军事上，《史记》：决胜千里之外, 运筹帷幄之中. 田忌赛马。
在工程上，丁渭修皇宫。
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
a2n
(P1
,
P2
,,
Pn
)
am1 amn
用向量表示时，上述模型可写为：
max(min)Z CX
s.t
n j 1
Pj x j
(, )b
24 5
x1, x2 0
资源约束
非负约束
其中,约束条件可记 s. t. (subject to), 意思为“以…为条 件”
“假定” 、“满足” 之意。
max Z 2x1 x2
5x2 15
s.t. 6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
例2：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库 堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-2。仓库租 借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表 1-3。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定 租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办 理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用 面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的 最优决策，目的是使所租借费用最少。
一种决策方案。通常要求决策变量取值非负，即
xi 0, (i 1,2,n).
② 每个问题中都有决策变量需满足的一组约束条件——线性 的等式或不等式。
③ 都有一个关于决策变量的线性函数——称为目标函数。要 求这个目标函数在满足约束条件下实现最大化或最小化。 将约束条件及目标函数都是决策变量的线性函数的规划问题 称为线性规划。有时也将线性规划问题简记为LP（linear programming)其数学模型为：
经过上面的讨论，得到下面的LP模型：
目标函数 min Z 2800 (x11 x21 x31 x41) 4500 (x12 x22 x32 )
6000 (x13 x23 ) 7300 x14
约束条件
x11 x12 x13 x14
st.
x12 x13
x13 x14
x14 x22
x21 x23
x14
x23
x32
x41
xij 0(i 1,,4;
15
x22 x31 12 j 1,
x23 x32
,4)
10 20
二。线性规划问题的数学模型 下面从数学的角度来归纳上述两个例子的共同点。 ①每一个问题都有一组变量——称为决策变量，一般记为
x1, x2 ,, xn. 对决策变量每一组值：(x1(0) , x2(0) , xn(0) )T 代表了