浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练(二)

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(完整版)浙教版八年级下册数学第五章特殊平行四边形单元测试卷

第五章特殊的平行四边形姓名：---------- 成绩：------ --- 一．选择题 (每小题4分，共40分）1. 若菱形ABCD 中,AE 垂直平分BC 于E,AE=1cm,则BC 的长是 A.1cm B.332cm C.3cm D.4cm 2. 如果a 表示一个菱形的对角线的平方和,b 表示这个菱形的一边的平方,那么 A.a =4b B.a =2b C .a =b D.b =4a3. .已知ABCD 是平行四边形,下列结论中,不一定正确的是Ａ.AB=CD Ｂ.AC=BD C.当AC ⊥BD 时,它是菱形Ｄ.当∠ABC=90º时,它是矩形4. 如图,矩形ABCD 的边长AB=6,BC=8,将矩形沿EF 折叠,使C 点与A 点重合,则折痕EF 的长是 A.7.5 B.6 C.10 D.55. 如图所示,过四边形ABCD 的各顶点,作对角线BD 、AC 的平行线,围城四边形EFGH,若四边形EFGH 是菱形,则原四边形一定是A.菱形B.平行四边形Ｃ.矩形Ｄ.对角线相等的四边形6. 在5×5方格纸中将图（1）中的图形N 平移后的位置如图（2）中所示，那么正确的平移方法是. A.先向下移动1格，再向左移动1格B.先向下移动1格，再向左移动2格C.先向下移动2格，再向左移动1格D.先向下移动2格，再向左移动2格7. 图1中有8个完全相同的直角三角形，则图中矩形的个数是A. 5B. 6C. 7D. 8A E DB FC 图(2)图(1)MNN M 图1 图2A C8. 如图,正方形ABCD 中,∠︒=25DAF ,AF 交对角线BD 于点E ,那么∠BEC 等于A.︒45B.︒60C.︒70D.︒759. Rt △ABC 的两边长分别是3和4,若一个正方形的边长是△ABC 的第三边,则这个正方形的面积是 A.25 B.7C.12D.25或7 10. 下列图形中，不能．．经过折叠围成正方形的是A. B C. D.第Ⅱ卷（非选择题共8道填空题8道解答题）请将你认为正确的答案代号填在下表中1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二.简答题（每小题3分，共24分)11. 如图矩形,ABCD 中,AC 、BD 相交于O,AE 平分∠BAD 交BC 于E,若∠CAE=15º,则∠BOE=_________ 12. M 为矩形ABCD 中AD 的中点,P 为BC 上一点,PE ⊥MC,PF ⊥MB,当AB 、BC 满足_________时,四边形PEMF 为矩形 13. 给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是____________14. 如图,矩形ABCD 中,E 、F 分别为AD 、AB 上一点,且EF=EC,EF ⊥EC,若DE=2,矩形周长为16,则矩形ABCD 的面积为_________15. 现有一张长52cm,宽28cm 的矩形纸片,要从中剪出长15cm 宽、12cm 的矩形小纸片（不能粘贴）,则最多能剪出__________张16. 已知矩形的周长是40cm,被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差是8cm,则较长的边长为________17. 已知菱形ABCD 的边长为６,∠Ａ＝60º,如果点Ｐ是菱形内一点,切PB=PD=32,那么AP 的长为____________18. 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,AB=4cm,∠AOB=60º,则这个矩形的对角线的长是_________cmA DERBC D B E C三.解答题（共56分)19. 如图，菱形AB CD中，点M、N分别在B C、CD上，且CM=CN，求证：(1)△AB M≌△A DN(2)∠A MN＝∠A NM20. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠BAD，请你再添一个什么条件? 就能推出四边形ABCD是菱形，并给出证明.21. 某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示。

浙教版八年级下册数学第五章《特殊平行四边形》检测题(含答案)

八年级数学下第五章《特殊平行四边形》检测题一、单选题(共30分)1．(本题3分)下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形2．(本题3分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形3．(本题3分)已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（）A．3 B．4 C．5 D．64．(本题3分)菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：15．(本题3分)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直6．(本题3分)如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形7．(本题3分)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若∠ABE＝25°，则EFC'∠的度数为（）A．122.5°B．130°C．135°D．140°8．(本题3分)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）B．1 C2D．2A．129．(本题3分)如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.510．(本题3分)如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题(共21分)11．(本题3分)如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为_________cm．12．(本题3分)已知菱形的两条对角线长分别为1和4，则菱形的面积为______．13．(本题3分)如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD7，则图中阴影部分的面积为_____．14．(本题3分)如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝_____．15．(本题3分)如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D 作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．16．(本题3分)如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B'处，当CEB '为直角三角形时，BE 的长为____17．(本题3分)如图，四边形 ABCD 是菱形，A B =6，且∠ABC =60° ，M 是菱形内任一点，连接AM ，BM ，CM ，则AM +BM +CM 的最小值为________．三、解答题(共49分)18．(本题6分)如图，四边形ABCD 是平行四边形， ,AE BC AF CD ⊥⊥，垂足分别为,E F ，且BE DF =．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接EF 并延长，交AD 的延长线于点G ，若30,2CEG AE ︒∠==，求EG 的长．19．(本题8分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，点E是BC的中点，AE与BD 交于点F，且F是AE的中点．（Ⅰ）求证：四边形AECD是菱形；（Ⅱ）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积．20．(本题8分)如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知，2OC=，点D为x轴上一动点，以BD为OA=，4一边在BD右侧作正方形BDEF.（1）若点D与点A重合，请直接写出．．．．点E的坐标.（2）若点D在OA的延长线上，且EA EB=，求点E的坐标.（3）若217OE=E的坐标.21．(本题8分)图①，图②均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A B C D、、、均为格点，按下列要求画图：⑴在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且,E F为格点；⑵在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且,G H为格点，∠=∠=.CGD CHD9022．(本题9分)如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A=PE，PE交CD于F，（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．23．(本题10分)如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)，点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并求出自变量b的取值范围；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图为四边形O A B C''''，试探究O A B C''''与矩形OABC的重叠部分的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．（3）若54b=，试求出（2）中重叠部分四边形的面积参考答案一、单选题(共30分)1．(本题3分)下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，不符合题意；B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，故本选项正确，不符合题意；D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．2．(本题3分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形【答案】D【解析】【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：A. 当AB＝BC时，它是菱形，正确，不符合题意；B. 当AC⊥BD时，它是菱形，正确，不符合题意；C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确，不符合题意；D. 当AC＝BD时，它是矩形，原选项不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，解题关键是熟记相关判定定理，准确进行判断．3．(本题3分)已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．【详解】解：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10．设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，∴FC＝4．在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，∴CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，解得：a＝3，∴8﹣a＝5．故选C．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．4．(本题3分)菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1【答案】B【解析】【分析】先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论．【详解】如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180︒，∵AE=1，AE⊥BC，∴AE=12 AB，∴∠B=30︒，∴∠DAB=150︒，∴∠DAB:∠B=5:1；故选B.【点睛】本题考查菱形的性质.5．(本题3分)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【答案】C【解析】【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确；D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误；故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键．6．(本题3分)如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】【分析】根据连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断，即可求解【详解】解：A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．当E，F，G，H不是各边中点时，EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH为平行四边形，故C正确；D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误；故选D．7．(本题3分)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若∠ABE＝25°，则EFC'∠的度数为（）A．122.5°B．130°C．135°D．140°【答案】A【解析】【分析】由折叠的性质知：EBC'∠、BC F'∠都是直角，因此//BE C F'，那么EFC'∠和∠BEF互补，欲求EFC'∠的度数，需先求出∠BEF的度数；根据折叠的性质知∠BEF＝∠DEF，而∠AEB 的度数可在Rt△ABE中求得，由此可求出∠BEF的度数，即可得解．【详解】解：Rt△ABE中，∠ABE＝25°，∴∠AEB＝90902565ABE︒-∠=︒-︒=︒；由折叠的性质知：∠BEF＝∠DEF；而∠BED＝180°－∠AEB＝115°，∴∠BEF＝157.52BED∠=︒；∵EBC'∠＝∠D＝BC F'∠＝∠C＝90°，∴//BE C F'，∴180BEF EFC'∠+∠=︒∴EFC'∠＝180°－∠BEF＝122.5°．故选A．【点睛】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质，掌握折叠的性质及平行线的性质是解题的关键．8．(本题3分)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）B．1 C2D．2A．12【答案】B【解析】【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．【详解】解：如图作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N 的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′=BN，∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，故选B．9．(本题3分)如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5【答案】C【解析】【分析】首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=12AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM.【详解】在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，又因为PE⊥AB，PF⊥AC，故四边形AEPF为矩形，因为M为EF中点，所以M也是AP中点，即AM=12AP，故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，由1122ABCS AB AC BC AP∆=⨯⨯=⨯⨯，可得AP=125，AM=12AP=61.25=故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键.10．(本题3分)如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】【分析】由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.【详解】解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故选：D.【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正方形的性质.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共21分)11．(本题3分)如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为_________cm．【答案】4.【解析】【详解】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=12AC，OB=12BD，BD=AC=8cm，∴OA=OB=4cm，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=4cm．考点：矩形的性质．12．(本题3分)已知菱形的两条对角线长分别为1和4，则菱形的面积为______．【答案】2【解析】【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．【详解】解：菱形的面积=12×1×4=2．故答案为2．【点睛】本题考查了菱形的性质：熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）．记住菱形面积=12ab（a、b是两条对角线的长度）．13．(本题3分)如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD7，则图中阴影部分的面积为_____．7【解析】【分析】先证得△ADF≅△BAE，再利用等量代换即可求得阴影部分的面积等于△AOD的面积．【详解】解：正方形ABCD中，∠DAF=∠ABE=90︒，AD=AB，∵AE⊥DF，∴∠DOA=∠DAF =90︒，∴∠DAO+∠ADF=∠DAO+∠F AO =90︒，∴∠ADF=∠F AO，在△ADF 和△BAE 中，ADF FAO AD ABDAF ABE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADF ≅△BAE ，∴ADF BAE SS =， ∴ADF AOF BAE AOF S S S S -=-， ∴AOF 7S S =阴影 7【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证得阴影部分的面积等于△AOD 的面积．14．(本题3分)如图，矩形ABCD 面积为40，点P 在边CD 上，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，足分别为E ，F ．若AC ＝10，则PE +PF ＝_____．【答案】4【解析】【分析】由矩形的性质可得AO =CO =5=BO =DO ，由S △DCO =S △DPO +S △PCO ，可得PE +PF 的值．【详解】解：如图，设AC 与BD 的交点为O ，连接PO ，∵四边形ABCD 是矩形∴AO =CO =5=BO =DO ，∴S△DCO=14S矩形ABCD=10，∵S△DCO=S△DPO+S△PCO，∴10=12×DO×PF+12×OC×PE∴20=5PF+5PE∴PE+PF=4故答案为4【点睛】本题考查了矩形的性质，利用三角形的面积关系解决问题是本题的关键．15．(本题3分)如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D 作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．【答案】13【解析】【分析】本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF ＝AF+AE＝13．【详解】解：∵ABCD是正方形（已知）∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°又∵∠F AB+∠FBA＝∠F AB+∠EAD＝90°∴∠FBA＝∠EAD（等量代换）∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E∴在Rt△AFB和Rt△AED中∵90 AFB DEAFBA EADAB DA︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFB≌△DEA（AAS）∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的对应边相等）∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13故答案为：13【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及熟悉一线三角模型是解本题的关键．16．(本题3分)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B 沿AE折叠，使点B落在点B'处，当CEB 为直角三角形时，BE的长为____【答案】3或3 2【解析】【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC2243+，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得32x=，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故答案为：32或3．【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质．17．(本题3分)如图，四边形ABCD是菱形，A B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为________．【答案】63【解析】【分析】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，如图，则△BCM≌△BEN，由全等三角形的对应边相等得到CM=NE，进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E 四点共线时取最小值AE．根据等腰三角形“三线合一”的性质得到BH⊥AE，AH=EH，根据30°直角三角形三边的关系即可得出结论．【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．AB=3，∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=12AH3=33AE=2AH=63故答案为63【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键．三、解答题(共49分)18．(本题6分)如图，四边形ABCD是平行四边形，,⊥⊥，垂足分别为,E F，AE BC AF CD且BE DF=．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接EF 并延长，交AD 的延长线于点G ，若30,2CEG AE ︒∠==，求EG 的长．【答案】(1)详见解析;(2)4．【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质可得对角相等,再利用角角边证明△ABE≌△ADF 即可．(2)由平行得出∠G=30°,再根据30°特殊三角形的比求出EG 即可．【详解】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠D=∠B,∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD,又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(AAS),∴AB=AD ,∴平行四边形ABCD 是菱形．(2)∵AG//BC,∴∠G=∠CEG=30°,∠GAE=∠AEB=90°,∵AE=2,∴EG=2AE=4．【点睛】本题考查菱形的判定和三角形全等的判定和性质及特殊的直角三角形,关键在于结合图形熟练运用基础知识．19．(本题8分)如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AC，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点F ，且F 是AE 的中点．（Ⅰ）求证：四边形AECD 是菱形；（Ⅱ）若AC ＝4，AB ＝5，求四边形ABCD 的面积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）15.【解析】【分析】（Ⅰ）先证四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求AE=CE，即可得四边形AECD是菱形；S△ABC，即可求四边形ABCD的面积．（Ⅱ）由题意可求S△AEC=S△ACD=12【详解】证明（Ⅰ）∵AD∥BC∴∠ADB＝∠DBE∵F是AE中点∴AF＝EF且∠AFD＝∠BFE，∠ADB＝∠DBE∴△ADF≌△BEF∴BE＝AD∵AB⊥AC，E是BC中点∴AE＝BE＝EC∴AD＝EC，且AD∥BC∴四边形ADCE是平行四边形且AE＝EC∴四边形ADCE是菱形；（Ⅱ）∵AC＝4，AB＝5，AB⊥AC∴S△ABC＝10∵E是BC中点∴S△AEC＝1S△ABC＝52∵四边形ADCE是菱形∴S△AEC＝S△ACD＝5∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝15.【点睛】本题考查菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是利用三角形中线的性质求三角形的面积．20．(本题8分)如图，以矩形OABC 的顶点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系.已知，2OA =，4OC =，点D 为x 轴上一动点，以BD 为一边在BD 右侧作正方形BDEF .（1）若点D 与点A 重合，请直接写出．．．．点E 的坐标. （2）若点D 在OA 的延长线上，且EA EB =，求点E 的坐标.（3）若217OE =E 的坐标.【答案】（1）()6,0E ；（2）()8,2E ；（3）()18,2E ，()22,8E --.【解析】【分析】（1）D 与点A 重合则点E 为（6，3）（2）E 作EM x ⊥轴，证明：ABD MDE ∆≅∆即4228OM =++=则点E 为（8，3）（3）分情况解答，D 在点A 右侧，过点E 作EM x ⊥轴，证明：ABD MDE ∆≅∆；D 在点A 左侧，点E 作EM x ⊥轴，证明：ABD MDE ∆≅∆【详解】解：（1） D 与点A 重合则点E 再x 轴的位置为2+4=6∴ ()6,0E .（2）过点E 作EM x ⊥轴，∵∠BAD=∠EMD=∠BDE=90°，∴∠BDA+∠ABD=∠BDA+∠MDE,∴∠ABD=∠MDE，∵BD=DE，ABD MDE ∆≅∆EB EA =，∴点E 在线段AB 的中垂线上，2EM =.2AD EM ∴==,4DM AB ==.4228OM ∴=++=.()8,2E ∴（3）①点D 在点A 右侧，如图，过点E 作EM x ⊥轴，同（2）ABD MDE ∆≅∆设()0AD a a =>，可得：EM a =，6OM a =+()222668OE a a =++= 求得：12a =，28a =-（舍去）()8,2E②点D 在点A 左侧，如图，过点E 作EM x ⊥轴，同上得ABD MDE ∆≅∆设()0AD a a =>，可得：EM a =，6OM a =-()222668OE a a =-+=，求得：18a =，22a =-（舍去）()2,8E --综上所述：()18,2E ，()22,8E --【点睛】本题考查正方形的性质，解题关键在于分情况作出垂直线.21．(本题8分)图①，图②均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB ，在图②中已画出线段CD ，其中A B C D 、、、均为格点，按下列要求画图：⑴在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF ，且,E F 为格点；⑵在图②中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH ，且,G H 为格点，090CGD CHD ∠=∠=.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．(本题9分)如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A=PE，PE交CD于F，（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE【解析】【分析】(1)根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP≌△CBP，从而得出结论；(2)根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据P A=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出P A=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠DEP，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE．【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，又∵ PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A=PC，∵P A=PE，∴PC=PE；(2)解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵P A=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB．∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A=PC，∠BAP=∠BCP，∵P A=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵P A=PE．∴∠DAP=∠DEP，∴∠DCP=∠DEP．∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠DEP，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC 是等边三角形，∴PC =CE ，∴AP =CE．23．(本题10分)如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)，点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ．（1）记ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式，并求出自变量b 的取值范围；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图为四边形O A B C ''''，试探究O A B C ''''与矩形OABC 的重叠部分的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．（3）若54b =，试求出（2）中重叠部分四边形的面积．【答案】（1）2312535222b b S b b b ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<< ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）菱形，理由见解析；（3）54 【解析】【分析】（1）首先求得直线经过点A ，B ，C 时，b 的值；然后分别从若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即312b <≤时与若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即3522b <<时分析求解，即可求得S 与b 的函数关系式；（2）首先设O′A′与CB 相交于点M ，OA 与C′B′相交于点N ，则矩形O′A′B′C′与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积．根据轴对称的性质易得四边形DNEM 为菱形；（3）过点D 作DH⊥OA，垂足为H ，设菱形DNEM 的边长为a ，利用勾股定理求出EN 的长，即可求出结果．【详解】解：（1）∵四边形OABC 是矩形，A （3，0），C （0，1），∴B（3，1），若直线经过点(3,0)A 时，则32b =，若直线经过点(3,1)B 时，则52b =，若直线经过点(0,1)C 时，则1b =， ①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即312b <时，如图1，此时(2,0)E b ，112122S OE OC b b ∴==⨯⨯=； ②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即3522b <<时，如图1，此时3(3,)2E b -，(22,1)D b -，22CD b ∴=-，352BD CD b =-=-，32AE b =-，52BE AB AE b =-=-， ∴S=S 矩形OABC OCD DBE OAE S S S ∆∆∆---=()()211513531122523222222b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯--⨯-⨯--⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， S ∴与b 的函数关系式为：2312535222b b S b b b ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<< ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）如图3，设O A ''与CB 相交于点M ，OA 与C B ''相交于点N ，则矩形O A B C ''''与矩形OABC 的重叠部分即为四边形DNEM ．由题意知，//DM NE ，//DN ME ， ∴四边形DNEM 为平行四边形，根据轴对称知，MED NED ∠=∠，又MDE NED ∠=∠，M ED MDE ∴∠=∠，MD ME ∴=，∴平行四边形DNEM 为菱形．（3）∵54b =， ∴此时△ODE 的面积为54， ∴OE=5214⨯÷=52，在直线12y x b =-+中，54b =，令y=1，则x=12， ∴D（12，1），过点D 作DH OA ⊥，垂足为H ，如图3，可得：OH=12， ∴EH=OE -OH=5122-=2，设菱形DNEM 的边长为a ，即DN=NE=a ， ∴HN=EH -EN=2-a ，在△DHN 中，有()22212a a =+-，解得：a=54， ∴四边形DNEM 的面积=EN DH ⋅=514⨯=54．。

浙教版八年级下册第5章《特殊平行四边形》单元测试卷(含答案解析)

浙教版八年级下册第5章《特殊平行四边形》测试卷考试时间：100分钟满分：120分班级：___________姓名：___________学号：___________成绩：___________一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的矩形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形2．（3分）下列说法中，错误的是（）A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形3．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD4．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（）A．B．8C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．156．（3分）已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 7．（3分）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°8．（3分）如图，直线m∥n，直线l与m、n分别相交于点A和点C，AC为对角线作四边形ABCD，使点B和点D分别在直线m和n上，则不能作出的图形是（）A．平行四边形ABCD B．矩形ABCDC．菱形ABCD D．正方形ABCD9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（）A．B．2C．2D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣2，3）C．（﹣5，4）D．（5，4）11．（3分）下列可以判断是菱形的是（）A．一组对边平行且相等的四边形B．对角线相等的平行四边形C．对角线垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形12．（3分）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）A．B．C．1D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）已知矩形的两邻边的长分别为3cm和6cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积为cm2．14．（3分）在矩形ABCD中，AE＝CF＝AD＝1，BE的垂直平分线过点F，交BE于点H，交AB于点G，则AB的长度为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，如果AB＝3，AD＝4，EF是对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点EF，则ED的长为．17．（3分）如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为．18．（3分）如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF＝BE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，DF＝5，求矩形BFDE的面积．20．（8分）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝6，且AD⊥BD于点D，点E，F分别是边AB，CD上的动点，且AE＝CF．①求证：四边形DEBF是平行四边形；②当BE为何值时，四边形DEBF是矩形？21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．22．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接OE，CD．（1）求证四边形ABCD是菱形；（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC与BC的延长线交于E点，连接EO，若CE＝3，DE＝4，求OE的长．23．（10分）如图，▱ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．24．（10分）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3，求证：（1）EF+EG＝AE；（2）CE+CG＝AF．25．（12分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC 上，EF与AC相交于点O，AG＝CH，BE＝DF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当EG＝EH时，连接AF①求证：AF＝FC；②若DC＝8，AD＝4，求AE的长．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的矩形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B、D进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；C、对角线垂直的矩形是正方形，所以C选项错误；D、对角线相等的菱形是正方形，所以D选项正确．故选：D．2．（3分）下列说法中，错误的是（）A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形【分析】依据正方形的判定方法、菱形的判定方法，即可得出结论．【解答】解：A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形，本选项正确；B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形，本选项正确；C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形不一定是菱形，本选项错误；D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形，本选项正确；故选：C．3．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；C、由∠BAC＝∠ABD不一定能够判断这个平行四边形是菱形，故C选项符合题意；D、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意．故选：C．4．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（）A．B．8C．D．【分析】过点A作AM⊥BC于点M，由直角的性质可求AM的长，即可求菱形ABCD的面积．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC＝3，∵∠ABC＝60°，AM⊥BC∴BM＝，AM＝BM＝∴菱形ABCD的面积＝BC×AM＝故选：A．5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．15【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，得到AD＝CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO＝3，于是得到结论．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．6．（3分）已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 【分析】证出四边形ABCD是菱形，由菱形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；故选：A．7．（3分）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°【分析】由矩形的性质可得AO＝BO＝CO＝DO，可得DO＝2OE，可求∠EDO＝30°，可得∠EOD＝60°，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：设AC与BD的交点为O，∵四边形ABCD是矩形∴AO＝BO＝CO＝DO，∵AE＝CE，∴AC＝4AE，∴AO＝BO＝CO＝DO＝2AE，∴EA＝EO∴DO＝2AE＝2EO∴∠EDO＝30°，∴∠EOD＝60°∵OD＝OC∴∠OCD＝∠BDC＝30°故选：C．8．（3分）如图，直线m∥n，直线l与m、n分别相交于点A和点C，AC为对角线作四边形ABCD，使点B和点D分别在直线m和n上，则不能作出的图形是（）A．平行四边形ABCD B．矩形ABCDC．菱形ABCD D．正方形ABCD【分析】依据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断即可．【解答】解：取AC的中O，过点O任意作直线交直线m、n于B、D，则四边形ABCD 为平行四边形，故A不符合题意；过点C作m的垂线，垂足为B，过点A作n的垂线，垂足为D，则ABCD为矩形，故B 不符合题意；取AC的中点O，过点O作AC的垂线交直线m、n于点B，D，则ABCD为菱形，故C 不符合题意．AC为对角线作四边形ABCD，ABCD不一定为正方形，故D错误，符合题意．故选：D．9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（）A．B．2C．2D．【分析】由矩形的性质得到∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，求得OC ＝OD，设DE＝x，OE＝2x，得到OD＝OC＝3x，根据勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OC＝OD，∵EO＝2DE，∴设DE＝x，OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，解得：x＝∴DE＝；故选：A．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣2，3）C．（﹣5，4）D．（5，4）【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，∴DO＝4，∴点C的坐标是：（﹣5，4）．故选：C．11．（3分）下列可以判断是菱形的是（）A．一组对边平行且相等的四边形B．对角线相等的平行四边形C．对角线垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形【分析】由菱形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的四边形不一定是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D选项符合题意；故选：D．12．（3分）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）A．B．C．1D．【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是▱ABCD 面积的，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝∠BCD＝30°，∴A'D＝1，A'C＝DA'＝，∴菱形ABCD的面积＝4××A'D×A'C＝2，如图，由平移的性质得，▱ABCD∽▱A'ECF，且A'C＝AC，∴四边形A'ECF的面积是▱ABCD面积的，∴阴影部分的面积＝＝，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）已知矩形的两邻边的长分别为3cm和6cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积为9cm2．【分析】根据菱形的判定定理，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，又菱形的面积为两条对角线乘积的一半，由此即可解得答案．【解答】解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG ＝DG，在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG，∴△AEH≌△DGH，∴EH＝HG，同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH∴EH＝HG＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG，∴四边形EFGH为菱形．∴四边形的面积＝×3×6＝9．故答案为9．14．（3分）在矩形ABCD中，AE＝CF＝AD＝1，BE的垂直平分线过点F，交BE于点H，交AB于点G，则AB的长度为．【分析】如图作EM⊥BC于M，连接EF．首先证明四边形ABME是矩形，在Rt△EFM 中，利用勾股定理求出EM即可解决问题；【解答】解：如图作EM⊥BC于M，连接EF．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABM＝∠EMB＝90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE＝BM＝1，AD＝BC＝3，∵GF垂直平分BE，∴BF＝EF＝2，MF＝BF﹣BM＝1，在Rt△EFM中，EM＝＝＝，∴AB＝EM＝，故答案为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是．【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．【解答】解：如图，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，即×12×5＝×13•CD，解得：CD＝，∴EF＝．故答案为：．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，如果AB＝3，AD＝4，EF是对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点EF，则ED的长为．【分析】连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE＝BE＝4﹣x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得x，即可求出BE的长．【解答】解：连接EB，∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB，设AE＝xcm，则DE＝EB＝（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2＝BE2，即：x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝．∴DE＝AD＝AE＝，故答案为：．17．（3分）如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为2．【分析】先根据菱形的性质得出∠ABO＝∠ABC＝30°，由30°的直角三角形的性质得出OA＝AB＝4，再根据勾股定理求出OB，然后证明EF为△AOB的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结果【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∴OA＝AB＝4，∴OB＝＝4，∵点E、F分别为AO、AB的中点，∴EF为△AOB的中位线，∴EF＝OB＝2．故答案为2．18．（3分）如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为．【分析】连接PM、PN，△MPN是直角三角形，由勾股定理可得MN2＝PM2+PN2，在在Rt△APM中，AP＝2PM，在Rt△PNB中，PB＝PN，代入已知的AP2+3PB2＝2，即可．【解答】解：连接PM、PN．∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴PM⊥AC，PN⊥BE，∠CAB＝∠NPB＝30°．∴∠MPC+∠NPC＝90°，即△MPN是直角三角形．在Rt△APM中，AP＝2PM，在Rt△PNB中，PB＝PN．∵AP2+3PB2＝1，∴（2PM）2+3（PN）2＝2，整理得PM2+PN2＝在Rt△MPN中，MN2＝PM2+PN2，所以MN＝．故答案为：．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF＝BE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，DF＝5，求矩形BFDE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）由平行线和角平分线定义得出∠DF A＝∠DAF，证出AD＝DF＝5，由勾股定理求出DE＝＝4，即可得出矩形BFDE的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠DF A，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∴∠DF A＝∠DAF，∴AD＝DF＝5，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，由勾股定理得：DE＝＝4，∴矩形BFDE的面积＝DF×DE＝5×4＝20．20．（8分）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝6，且AD⊥BD于点D，点E，F分别是边AB，CD上的动点，且AE＝CF．①求证：四边形DEBF是平行四边形；②当BE为何值时，四边形DEBF是矩形？【分析】①根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB＝CD，再求出BE＝DF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；②过D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余求出∠ADE＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE＝AD，解直角三角形即可得到结论．【解答】①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD∵AE＝CF，∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四边形DEBF为平行四边形；②解：当BE＝9时，∴四边形DEBF为矩形．理由是：过点D作DE⊥AB于点E，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°在Rt△ADB中，∠A＝60°，∠ABD＝30°，AB＝2AD＝12，∴BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，∴当BE＝9时，∠DEB＝∠DEA＝90°，即平行四边形DEBF是矩形．21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE⊥AC，DE⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．22．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接OE，CD．（1）求证四边形ABCD是菱形；（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC与BC的延长线交于E点，连接EO，若CE＝3，DE＝4，求OE的长．【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD＝BC，由菱形的判定可证四边形ABCD是菱形；（2）由勾股定理可求DC＝BC＝5，由勾股定理可求BD的长，由直角三角形的性质可求OE的长．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB∴AB＝AD，且AB＝BC，∴AD＝BC，且AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，（2）∵DE⊥BC，CE＝3，DE＝4，∴CD＝5，∵四边形ABCD是菱形∴BC＝CD＝5，BO＝DO∴BE＝BC+CE＝8，∴BD＝＝＝4，∵BO＝DO，DE⊥BC∴OE＝BD＝223．（10分）如图，▱ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】（1）证明：∵AE垂直平分BF，∴AB＝AF，∴∠BAE＝∠F AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠F AE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴AF＝BE．∵AF∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，∴AP＝AB＝2，∴PH＝，DH＝5，∴tan∠ADP＝＝．24．（10分）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3，求证：（1）EF+EG＝AE；（2）CE+CG＝AF．【分析】（1）延长AB、GE交于点M，作MN⊥DC于N，则MN∥BC，MN＝BC，BM ＝CN，∠N＝90°，证明△BEF≌△BEM（ASA），得出EF＝EM，BF＝BM，证明△MNG ≌△ABE（ASA），得出MG＝AE，即可得出结论；（2）由（1）得出BM＝CN＝BF，△MNG≌△ABE，得出BE＝GN＝CG+CN＝CG+BM，由线段的和差即可得出结论．【解答】证明：（1）延长AB、GE交于点M，作MN⊥DC于N，如图所示：则MN∥BC，MN＝BC，BM＝CN，∠N＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠EBF＝90°，AB＝BC＝MN，∴∠EBM＝90°，∵∠2＝∠3，∠3＝∠BEM，∴∠2＝∠BEM，在△BEF和△BEM中，，∴△BEF≌△BEM（ASA），∴EF＝EM，BF＝BM，∵MN∥BC，∴∠NMG＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠NMG＝∠1，在△MNG和△ABE中，，∴△MNG≌△ABE（ASA），∴MG＝AE，∵MG＝EM+EG＝EF+EG，∴EF+EG＝AE；（2）由（1）得：BM＝CN＝BF，△MNG≌△ABE，∴BE＝GN＝CG+CN＝CG+BM，∴CE+CG＝BC﹣BE+GN﹣CN＝AB﹣BE+BE﹣BF＝AB﹣BF＝AF．25．（12分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC 上，EF与AC相交于点O，AG＝CH，BE＝DF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当EG＝EH时，连接AF①求证：AF＝FC；②若DC＝8，AD＝4，求AE的长．【分析】（1）依据矩形的性质，即可得出△AEG≌△CFH，进而得到GE＝FH，∠CHF ＝∠AGE，由∠FHG＝∠EGH，可得FH∥GE，即可得到四边形EGFH是平行四边形；（2）①由菱形的性质，即可得到EF垂直平分AC，进而得出AF＝CF；②设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，依据Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即可得到方程，即可得到AE的长．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠FCH＝∠EAG，又∵CD＝AB，BE＝DF，∴CF＝AE，又∵CH＝AG，∠FCH＝∠EAG∴△AEG≌△CFH（SAS），∴GE＝FH，∠CHF＝∠AGE，∴∠FHG＝∠EGH，∴FH∥GE，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）①如图，连接AF，∵EG＝EH，四边形EGFH是平行四边形，∴四边形GFHE为菱形，∴EF垂直平分GH，又∵AG＝CH，∴EF垂直平分AC，∴AF＝CF；②设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5．。

【单元卷】浙教版八年级数学下册：第5章特殊平行四边形单元质量检测卷(二)含答案与解析

浙教版八年级数学下册单元质量检测卷（二）第5章特殊平行四边形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共27题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：12.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3 D．54.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm5.如图，矩形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝3，BF＝4，则CE的长等于（）A．B．C．D．6.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4 B．C．6 D．7.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．28.如图所示，边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与CD交于点O，则四边形AB′OD的周长（）A．B．4C．2+D．49.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD边上，DE＝1，△ADE与△AFE关于AE所在直线对称，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，则FG的长为（）A．5 B．C．D．410.如图，在菱形紙片ABCD中，AB＝2．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点B′处（不与A，D重合），点C落在C′处，线段B′C′与直线CD交于点G，折痕为EF，则下列说法①若∠A＝90，B′为AD中点时，AE＝②若∠A＝60°，B′为AD中点时，点E恰好是AB的中点③若∠A＝60°，C′F⊥CD时，＝其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，AB＝AD，添加一个条件：，可使它成为正方形．12.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，点F是CB延长线上一点，且△ADE≌△ABF，四边形AECF的面积为8，DE＝1，则AE的长为．13.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．14.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为．15.如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连结BC、CD、AC．若∠MAN ＝60°，则∠ACB的大小为．16.如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，点P为AD上一点，将△ABP沿着BP翻折至△EBP，PE与CD交于点O，且OE＝OD，则DP的长度为cm．17.如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为．18.如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.如图，正方形ABCD的边长为8，点E在边CD上．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置，若DE＝2，求FC的长．20.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CBE；（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．21.已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，过点A作AE∥DC交BC于点E．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若AB＝AE＝2，求四边形AECD的面积．22.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．23.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．（1）求证：△ADE≌△BAF；（2）求证：DE﹣BF＝EF；（3）若AB＝2，BG＝1，求线段EF的长．24.如图，正方形ABCD中，AB＝，在边CD的右侧作等腰三角形DCE，使DC＝DE，记∠CDE为α（0°＜α＜90°），连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，交EC的延长线于点F，连接AF．（1）求∠DEA的大小（用α的代数式表示）；（2）求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）当CF＝时，求点E到CD的距离．25.如图，四边形ABCD为矩形，连接对角线AC，分别作∠BAC、∠BCA、∠ACD、∠DAC的角平分线AE、CE、CF、AF．（1）当AB＝BC时，求证：四边形AECF是菱形；（2）设AB＝4，BC＝3，分别作EM⊥AC于点M，FN⊥AC于点N，求MN的长；（3）分别作EG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H，当GC＝3，HC＝4时，求矩形ABCD的面积．参考答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1【答案】B【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．【解答】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，∵菱形的周长为16，∴AB＝4，在Rt△ABH中，sin B＝＝＝，∴∠B＝30°，∵AB∥CD，∴∠C＝150°，∴∠C：∠B＝5：1．故选：B．【知识点】菱形的性质2.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B【分析】根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；故选：B．【知识点】菱形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的性质、正方形的判定3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3 D．5【答案】B【分析】先根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，再利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，∵H为BC中点，∴OH＝BC＝．故选：B．【知识点】直角三角形斜边上的中线、菱形的性质、三角形中位线定理4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm【答案】D【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，根据勾股定理求出AC，进而求出BD、OD，最后根据三角形中位线求出EF的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），∴BD＝10cm，DO＝5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝OD＝2.5cm，故选：D．【知识点】勾股定理、三角形中位线定理、矩形的性质5.如图，矩形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝3，BF＝4，则CE的长等于（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由勾股定理可求AF的长，由折叠的性质可得AD＝AF＝5，DE＝EF，由勾股定理可求EC的长．【解答】解：∵AB＝3，BF＝4，∴AF＝＝＝5，∵矩形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，∴AD＝AF＝5，DE＝EF，∴BC＝AD＝5，∴CF＝BC﹣BF＝1，∵EF2＝EC2+CF2，∴（3﹣CE）2＝EC2+1，∴CE＝，故选：A．【知识点】矩形的性质、翻折变换（折叠问题）6.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4 B．C．6 D．【答案】B【分析】连结BP，如图，根据菱形的性质得BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，然后利用三角形面积公式，由S△ABC＝S△PAB+S△PBC，得到×5×PE+×5×PF＝12，再整理即可得到PE+PF的值．【解答】解：连结BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，∴×5×PE+×5×PF＝12，∴PE+PF＝，故选：B．【知识点】菱形的性质7.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．2【答案】C【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．∴BP1＝．∴PB的最小值是．故选：C．【知识点】垂线段最短、矩形的性质、三角形中位线定理8.如图所示，边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与CD交于点O，则四边形AB′OD的周长（）A．B．4C．2+D．4【答案】B【分析】由边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出B′C的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B′O，OD，从而可求四边形AB′OD的周长．【解答】解：连接B′C，∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAC＝45°，∴B′在对角线AC上，∵AB＝AB′＝2，在Rt△ABC中，AC＝＝＝2，∴B′C＝2﹣2，在等腰Rt△OB′C中，OB′＝B′C＝2﹣2，在直角三角形OB′C中，OC＝（2﹣2）＝4﹣2，∴OD＝2﹣OC＝2﹣2，∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD＝4+2﹣2+2﹣2＝4，故选：B．【知识点】旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形9.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD边上，DE＝1，△ADE与△AFE关于AE所在直线对称，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，则FG的长为（）A．5 B．C．D．4【答案】A【分析】如图，连接BE，根据轴对称的性质得到AF＝AD，∠EAD＝∠EAF，根据旋转的性质得到AG＝AE，∠GAB＝∠EAD．求得∠GAB＝∠EAF，根据全等三角形的性质得到FG＝BE，根据正方形的性质得到BC＝CD＝AB＝4．根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，连接BE，∵△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，∴AF＝AD，∠EAD＝∠EAF，∵△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，∴AG＝AE，∠GAB＝∠EAD．∴∠GAB＝∠EAF，∴∠GAB+∠BAF＝∠BAF+∠EAF．∴∠GAF＝∠EAB．在△GAF和△EAB中，，∴△GAF≌△EAB（SAS）．∴FG＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝4．∵DE＝1，∴CE＝3．在Rt△BCE中，BE＝＝＝5，∴FG＝5，故选：A．【知识点】正方形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理10.如图，在菱形紙片ABCD中，AB＝2．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点B′处（不与A，D重合），点C落在C′处，线段B′C′与直线CD交于点G，折痕为EF，则下列说法①若∠A＝90，B′为AD中点时，AE＝②若∠A＝60°，B′为AD中点时，点E恰好是AB的中点③若∠A＝60°，C′F⊥CD时，＝其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】D【分析】①证出四边形ABCD是正方形，得出AB＝AD，设AE＝x，则B'E＝BE＝2﹣x，在Rt△AB'E中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②连接BD、BE'，证出△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠AB'B＝90°，∠ABB'＝30°，证出△AB'E是等边三角形，得出AE＝B'E＝BE即可；③设CF＝x，由折叠的性质得：C'F＝CF＝x，∠C'＝∠C＝∠A＝60°，得出∠C'GF＝30°，得出C'G＝2C'F＝2x，GF＝C'F＝x，则DG＝CD﹣GF﹣CF＝2﹣x﹣x，证出DB'＝DG，作DH⊥B'C'于H，则B'H＝GH＝B'G＝（2﹣2x）＝1﹣x，得出DG＝，得出方程＝2﹣x﹣x，解得：x＝4﹣2，得出CF＝4﹣2，FD＝2﹣2，即可得出结果．【解答】解：①∵∠A＝90°，四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵B′为AD中点时，∴AB'＝1，设AE＝x，则B'E＝BE＝2﹣x，在Rt△AB'E中，由勾股定理得：12+x2＝（2﹣x）2，解得：x＝，①正确；②连接BD、BE'，如图：∵∠A＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∵B′为AD中点，∴∠AB'B＝90°，∠ABB'＝30°∵BE＝B'E，∴∠BB'E＝∠ABB'＝30°，∴∠AB'E＝60°，∴△AB'E是等边三角形，∴AE＝B'E＝BE，∴点E是AB的中点，②正确；③设CF＝x，由折叠的性质得：C'F＝CF＝x，∠C'＝∠C＝∠A＝60°，∵C′F⊥CD，∴∠C'GF＝30°，∴C'G＝2C'F＝2x，GF＝C'F＝x，∴DG＝CD﹣GF﹣CF＝2﹣x﹣x，∵∠D＝180°﹣∠A＝120°，∠DGB'＝∠C'GF＝30°，∴∠DB'G＝30°，∴DB'＝DG，设BD交B'C'于H，则B'H＝GH＝B'G＝（2﹣2x）＝1﹣x，∴DG＝，∴＝2﹣x﹣x，解得：x＝4﹣2，∴CF＝4﹣2，FD＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2，∴＝，③正确；故选：D．【知识点】翻折变换（折叠问题）、菱形的性质二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，AB＝AD，添加一个条件：，可使它成为正方形．【答案】∠BAD=90°【分析】根据正方形的判定即可得结论．【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，所以▱ABCD是菱形，如果∠BAD＝90°，那么四边形ABCD是正方形．故答案为：∠BAD＝90°．【知识点】正方形的判定、平行四边形的性质12.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，点F是CB延长线上一点，且△ADE≌△ABF，四边形AECF的面积为8，DE＝1，则AE的长为．【答案】3【分析】由：△ADE≌△ABF，可得正方形ABCD的面积等于四边形AECF的面积，从而可得AD2＝8，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得答案．【解答】解：∵△ADE≌△ABF，∴正方形ABCD的面积等于四边形AECF的面积，∵四边形AECF的面积为8，∴正方形ABCD的面积为8．∴AD2＝8，在Rt△ADE中，AE＝＝＝3，故答案为：3．【知识点】全等三角形的性质、正方形的性质、勾股定理13.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．【答案】135【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2+∠BCP＝45°＝∠1+∠BCP，由三角形内角和定理可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠2+∠BCP＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BCP＝45°，∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，∴∠BPC＝135°，故答案为：135．【知识点】正方形的性质14.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为．【分析】连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T，由三角形中位线定理可求QH＝BC＝4，QH ∥BC，AQ＝BQ＝2，PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，由平行线分线段成比例可得MO＝OS＝SH＝NH，由勾股定理可求OH的长，即可求解．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T，∵四边形ABCD是矩形，∴AH＝HC，又∵Q是AB中点，∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，同理可求PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，∴PO∥AD∥BC∥EF∥∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°，∵OT⊥QH，∴四边形POTQ是矩形，∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，∴TH＝2，∴OH＝＝＝2，∴MN＝2OH＝4，故答案为：4．【知识点】正方形的性质、矩形的性质15.如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连结BC、CD、AC．若∠MAN ＝60°，则∠ACB的大小为．【答案】30°【分析】由题意可得四边形ABCD是菱形，可得BC∥DA，∠CAB＝∠CAD＝∠MAN＝30°，即可求解．【解答】解：由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2cm，∴四边形ABCD是菱形，∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD＝∠MAN＝30°，∴∠ACB＝∠CAD＝30°，故答案为：30°．【知识点】菱形的判定与性质16.如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，点P为AD上一点，将△ABP沿着BP翻折至△EBP，PE与CD交于点O，且OE＝OD，则DP的长度为cm．【分析】设CD与BE交于点G，AP＝x，证明△ODP≌△OEG（ASA），根据全等三角形的性质得到OP＝OG，PD ＝GE，根据翻折变换的性质用x表示出PD、OP，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设CD与BE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝3cm，CD＝AB＝4cm，由折叠的性质可知△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝4cm，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP＝OG，PD＝GE，∴DG＝EP，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝3﹣x，DG＝x，∴CG＝4﹣x，BG＝4﹣（3﹣x）＝1+x，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，即32+（4﹣x）2＝（x+1）2，解得：x＝，∴AP＝（cm），∴DP＝（cm）．故答案为：．【知识点】矩形的性质、翻折变换（折叠问题）17.如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为．【答案】40【分析】先判定△BAD≌△FAC，即可得出∠ACF＝∠ADB，进而得到CF⊥BD，再根据勾股定理即可得到BC2+DF2＝OD2+OF2+OB2+OC2＝BF2+DC2，依据AB＝2，AC＝4，即可得到BC2+DF2的值．【解答】解：如图所示，连接BF，CD，∵四边形ABEF，四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠FAC，∴△BAD≌△FAC（SAS），∴∠ACF＝∠ADB，又∵∠AHC＝∠OHD，∴∠CAH＝∠DOH＝90°，∴CF⊥BD，∴BC2＝OB2+OC2，DF2＝OD2+OF2，BF2＝OB2+OF2，DC2＝OD2+OC2，∴BC2+DF2＝OD2+OF2+OB2+OC2，BF2+DC2＝OD2+OF2+OB2+OC2，即BC2+DF2＝BF2+DC2，又∵△ABF和△ACD都是等腰直角三角形，且AB＝2，AC＝4，∴BF2+DC2＝8+32＝40，∴BC2+DF2＝40，故答案为：40．【知识点】勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质18.如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为．【分析】如图，将线段ET绕点E顺时针旋转45°得到线段ED，连接DE交CG于J．首先证明∠ETG＝90°，推出点G的在射线TG上运动，推出当CG⊥TG时，CG的值最小．【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝，BE＝，CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ＝DE＝3，∴CG＝CJ+GJ＝+3，∴CG的最小值为+3，故答案为：+3．【知识点】旋转的性质、矩形的性质三、解答题（本大题共7小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.如图，正方形ABCD的边长为8，点E在边CD上．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置，若DE＝2，求FC的长．【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明C、B、F三点在一条直线上，又知BF＝DE＝2，可得FC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，AD＝AB，由旋转得：∠ABF＝∠D＝90°，BF＝DE＝2，∴∠ABF+∠ABC＝180°，∴C、B、F三点在一条直线上，∴CF＝BC+BF＝8+2＝10．【知识点】旋转的性质、正方形的性质20.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CBE；（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBE；（2）由全等三角形的性质可求∠CEB＝70°，由三角形的外角的性质可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠AEC＝140°，∴∠CEB＝70°，∵∠DEC+∠CEB＝180°，∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝110°，∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝110°﹣45°＝65°．【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质21.已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，过点A作AE∥DC交BC于点E．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若AB＝AE＝2，求四边形AECD的面积．【分析】（1）先证明四边形AECD为平行四边形，再由直角三角形的性质求得AE＝EC，进而由菱形的判定定理得结论；（2）连接DE，证明△ABE是等边三角形，进而求得AC，再证明四边形ABED是平行四边形，便可求得DE，最后根据菱形的面积公式得结果．【解答】解：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AD＝EC，∵BC＝2AD，∴BC＝2EC．∴E为BC的中点∵∠BAC＝90°，∴BC＝2AE∴AE＝EC，∵四边形AECD为平行四边形，∴四边形AECD为菱形；（2）解：连接DE，∵AB＝AE＝2，AE＝BE，∴AB＝AE＝BE＝2，∴△ABE是等边三角形．∴∠B＝60°．∵AD＝BE，AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形．∴DE＝AB＝2，∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝2，∴BC＝4．∴．∴S AECD＝＝2．【知识点】三角形的面积、菱形的判定与性质22.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）先证明△AEF≌△DEB（AAS），得AF＝DB，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD＝CD，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；（2）先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积＝直角三角形ABC的面积，即可解答．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．【知识点】直角三角形斜边上的中线、三角形中位线定理、菱形的判定与性质23.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．（1）求证：△ADE≌△BAF；（2）求证：DE﹣BF＝EF；（3）若AB＝2，BG＝1，求线段EF的长．【分析】（1）由“AAS”可证△DAE≌△ABF；（2）由全等三角形的判定和性质可得AE＝BF，DE＝AF，即可得结论；（3）由勾股定理可求AG的长，由面积法可求BF的长，由勾股定理可求AF的长，即可求解．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEF＝90°，∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝∠DEA＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△ABF和△DAE中，，∴△DAE≌△ABF（AAS）；（2）∵△DAE≌△ABF，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF﹣AE＝EF，∴DE﹣BF＝EF；（3）∵∠ABC＝90°，∴AG2＝AB2+BG2＝12+22＝5，∴AG＝，∵S△ABG＝AG•BF，∴BF＝，在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2＝22﹣＝，∴DE＝AF＝，∴EF＝DE﹣BF＝．【知识点】全等三角形的判定与性质、正方形的性质24.如图，正方形ABCD中，AB＝，在边CD的右侧作等腰三角形DCE，使DC＝DE，记∠CDE为α（0°＜α＜90°），连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，交EC的延长线于点F，连接AF．（1）求∠DEA的大小（用α的代数式表示）；（2）求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）当CF＝时，求点E到CD的距离．【分析】（1）根据正方形的性质易证，△DAE为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理可求解；（2）通过证明△DCE为等腰三角形可求解∠AEF＝45°，通过证明△AGF≌△EGF可求解∠EAF＝45°，进而可证得结论；（3）过点E作EH⊥CD于点H，连接AC，根据勾股定理可求解CE＝，过点D作DM⊥CE于点M，可求解CM＝，再根据勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∵DC＝DE，∴AD＝DE，∴△DAE为等腰三角形，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠CDE＝α，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°+α，∴∠DEA＝；（2）∵DC＝DE，∠CDE＝α，∴∠DCE＝∠DEC＝，∴∠AEF＝∠DEC﹣∠DEA＝45°，∵DG⊥AE，AD＝DE，∴AG＝EG，∠AGF＝∠EGF＝90°，∵GF＝GF，∴△AGF≌△EGF，∴AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠EAF﹣∠AEF＝90°，∴△AEF为等腰直角三角形；（3）过点E作EH⊥CD于点H，连接AC，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝DC＝，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，，由（2）知，AF＝EF，∠AFE＝90°，在Rt△AFC中，，∴EF＝AF＝CF+CE＝+CE＝，∴CE＝，过点D作DM⊥CE于点M，∵DC＝DE，∴CM＝EM＝CE＝，在Rt△DCM中，，∵，∴，∴点E到CD的距离为．【知识点】等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形、正方形的性质、线段垂直平分线的性质25.如图，四边形ABCD为矩形，连接对角线AC，分别作∠BAC、∠BCA、∠ACD、∠DAC的角平分线AE、CE、CF、AF．（1）当AB＝BC时，求证：四边形AECF是菱形；（2）设AB＝4，BC＝3，分别作EM⊥AC于点M，FN⊥AC于点N，求MN的长；（3）分别作EG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H，当GC＝3，HC＝4时，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质证明四边形AECF的两组对边分别平行，再根据AB＝BC 证明AE＝CE，便可得结论；（2）过E作EH⊥BC于点H，EG⊥AB于点G，由角平分线的性质得EM＝EG＝EH，进而得四边形BHEG是正方形，得BG＝BH，再根据HL证明Rt△AEG≌Rt△AEM，Rt△CEH≌Rt△CEM，得AM＝AG，CM＝CH，设AM＝AG＝x，CM＝CH＝y，BH＝BG＝z，由三边长度列出x、y、z的三元一次方程组，便可求得AM与CM，进而证明△ANF≌△CME得AN＝CM，便可求得结果；（3）过E作EK⊥AB于点K，EL⊥AC于点L，证明△AEK≌△CHF得AK＝CH＝4，再证明Rt△AEK≌Rt△AEL，Rt△CEG≌Rt△CEL，得出AC的长度，不妨设BG＝BK＝x，在Rt△ABC中，由勾股定理得x的方程求得x，再根据矩形的面积公式求得结果．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF，同理，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∴四边形AECF是菱形；（2）过E作EH⊥BC于点H，EG⊥AB于点G，∵∠B＝90°，∴四边形BHEG为矩形，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴EM＝EG＝EH，∴四边形BHEG是正方形，∴BG＝BH，∵EM＝EG＝EH，AE＝AE，CE＝CE，∴Rt△AEG≌Rt△AEM（HL），Rt△CEH≌Rt△CEM（HL），∴AM＝AG，CM＝CH，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，设AM＝AG＝x，CM＝CH＝y，BH＝BG＝z，则，解得，，∴AM＝3，CM＝2，∵由（1）知四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE，AF∥CE，∴∠FAN＝∠ECM，∵∠ANF＝∠CME＝90°，∴△ANF≌△CME（AAS），∴AN＝CM＝2，∴MN＝AM﹣AN＝3﹣2＝1；（3）过E作EK⊥AB于点K，EL⊥AC于点L，如图，∵矩形ABCD中AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AE、CF分别平分∠BAC和∠ACD，∴∠KAE＝∠HCF，∵四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，∵∠AKE＝∠CHF＝90°，∴△AEK≌△CHF（AAS），∴AK＝CH＝4，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴EK＝EL＝EG，∵AE＝AE，CE＝CE，∴Rt△AEK≌Rt△AEL（HL），Rt△CEG≌Rt△CEL（HL），∴AK＝AL＝4，CG＝CL＝3，∴AC＝AL+CL＝4+3＝7，∵EK＝EG，∠EKB＝∠B＝∠EGB＝90°，∴四边形BGEK为正方形，∴BG＝BK，不妨设BG＝BK＝x，则AB＝4+x，BC＝3+x，在Rt△ABC中，由勾股定理得，（x+3）2+（x+4）2＝72，解得，x＝，或x＝（舍），∴AB＝4+x＝，BC＝3+x＝，∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝24．【知识点】矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质。

浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形第2讲(正方形)培优讲义(含解析)

特殊平行四边形第2讲（正方形）命题点一：根据相应的判定方法解题例1下列判断错误的是( D )A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形例2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE ＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( D )A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF命题点二：利用性质解决相关问题例3如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( C )A．4个 B．6个 C．8个 D．10个例4如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE＝AC，CF∥AE，则∠BCF 的度数为 105°.命题点三：利用图形的对称性解题例5如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD 2E C．其中正确结论的序号是( A )A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②④ D．①④例6(宁波一中预录题)如图，正方形ABCD，正方形CGEF的边长分别是2,3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则额MF的长为( A)A．22B．1 C． 2 D． 3命题点四：用旋转的方法解决问题例7如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是( B )A． 2 B． 3 C．2 D． 5例8(江西省南昌市竞赛题)如图，P为正方形ABCD内一点，若PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，则∠APB 的度数为( B )A．120°B．135° C．150°D．以上都不对命题点五：利用面积法解有关的问题例9有3个正方形如图所示放置，涂色部分的面积依次记为S1，S2，则S1∶S2等于( D ) A．1∶ 2 B．1∶2 C．2∶3 D．4∶9例10将五个边长都为3 cm的正方形按如图所示的样子摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块涂色面积的和为( C )A．3 cm2 B．6 cm2 C．9 cm2 D．18 cm2命题点六：利用正方形半角模型解题例11(2018·湖北)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是( C )A．1 B．1.5 C．2 D．2.5例12如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，GF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S＝3.其中正确结论的个数是( B )△FGCA．4 B．3 C．2 D．1命题点七：利用弦图模型解题例13如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF ＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( C )A．7 B．8 C．7 2 D．7 3例14按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形(涂色部分)的周长为20 2 .命题点八：正方形内部“线段”垂直必相等；相等不一定垂直例15如图，将边长为12 cm的正方形ABCD折叠，使得A落在边CD上的E点，折痕为FG，连结AE，若FG的长为13 cm，则线段CE的长为 7_cm.例16如图所示，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P，Q .若PQ＝AE，则AP长为( C )A．0.5 B．1 C．1或2 D．0.5或2.5课后练习1．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC 的度数为( A )A．60°B．67.5°C．75°D．54°2．如图所示，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于( B )A．70 B．74 C．144 D．1483．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F在BC上，∠EAF＝∠DAE，则下列结论中正确的是( D )A．∠EAF＝∠FAB B．FC＝13BC C．AF＝AE＋FC D．AF＝BC＋FC4．如图是由三个边长分别为6,9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( D )A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或65．在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用涂色部分表示)，点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是( D )A．3＋318B．3＋118C．3＋36D．3＋166．如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连结GH，则GH的长为1234.7．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQS正方形AEFG＝89.8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连结OC，若AC＝5，OC＝62，则另一直角边BC的长为 7 .9．如图，在正方形ABCD中，点P，P1为正方形内的两点，且PB＝PD，P1B＝AB，∠CBP＝∠P1BP，则∠BP1P＝ 45°.10．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小是 15°或165°.11．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB＋45°，BC＝AB＋3，若AC＝CD，则边AD的长为6.12．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，BP的垂直平分线分别交CD，AB于点E，F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H.(1)求证：HF ＝AP .(2)若正方形ABCD 的边长为12，AP ＝4，求线段EQ 的长．解：(1)∵EF ⊥BP ，EH ⊥AB ，∴∠FEH ＋∠EMQ ＝90°＝∠PBA ＋∠BMH . 又∵∠QME ＝∠BMH ， ∴∠FEH ＝∠PB A ． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝A D ． ∵EH ⊥AB ，∴∠EHA ＝90°＝∠A ＝∠D ． ∴四边形ADEH 是矩形． ∴AD ＝EH . 又∵AB ＝AD ， ∴AB ＝EH .在△ABP 与△HEF 中，∵⎩⎨⎧∠A ＝∠FHE ，AB ＝HE ，∠ABP ＝∠HEF ，∴△ABP ≌△HEF (ASA )． ∴AP ＝FH .(2)如图，连结PF ，PE .∵EF 垂直平分BP ， ∴PF ＝BF .设AF ＝x ，则PF ＝BF ＝12－x .∴在△APF 中，42＋x 2＝(12－x )2，解得x ＝163.∴AF ＝163. ∴BF ＝AB －AF ＝203，BH ＝BF －FH ＝83， DE ＝AB －BH ＝283. ∴PE ＝DP 2＋DE 2＝4853. ∵BP ＝AP 2＋AB 2＝410， ∴PQ ＝12BP ＝210.∴EQ ＝PE 2－PQ 2＝10103. 13．(2018·北京) 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上的一动点(不与A ，B 重合)，连结DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连结EF 并延长交BC 于点G ，连结DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连结BH .(1)求证：GF ＝G C ．(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．证明：(1)如图，连结DF . ∵点A ，F 关于DE 对称， ∴AD ＝FD ，AE ＝FE . 在△ADE 和△FDE 中，∵⎩⎨⎧AD ＝FD ，AE ＝FE ，DE ＝DE ，∴△ADE ≌△FDE (SSS )． ∴∠DAE ＝∠DFE .∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠C ＝90°，AD ＝C D ． ∴∠DFE ＝∠A ＝90°.∴∠DFG ＝180°－∠DFE ＝90°. ∴∠DFG ＝∠C ．∵AD ＝DF ，AD ＝CD ，∴DF ＝C D ．在Rt △DCG 和Rt △DFG 中，∵⎩⎨⎧DC ＝DF ，DG ＝DG ，∴Rt △DCG ≌Rt △DFG (HL )． ∴GF ＝G C ． (2)BH ＝2AE .如图，在AD 上取点M 使得AM ＝AE ，连结ME .∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ，∠A ＝∠ADC ＝90°. ∵△ADE ≌△FDE ， ∴∠ADE ＝∠FDE . 同理，∠CDG ＝∠FDG .∴∠EDG ＝∠EDF ＋∠GDF ＝12∠ADF ＋12∠CDF ＝12∠ADC ＝45°. ∵DE ⊥EH ，∴∠DEH ＝90°.∴∠EHD ＝180°－∠DEH －∠EDH ＝45°.∴∠EHD ＝∠EDH .∴DE ＝EH .∵∠A ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝90°.∵∠DEH ＝90°，∴∠AED ＋∠BEH ＝90°.∴∠ADE ＝∠BEH .∵AD ＝AB ，AM ＝AE ，∴DM ＝E B ．在△DME 和△EBH 中，∵⎩⎨⎧ DM ＝EB ，∠MDE ＝∠BEH ，DE ＝EH ，∴△DME ≌△EBH (SAS )．∴ME ＝BH .在Rt △AME 中，∠A ＝90°，AE ＝AM ，∴ME ＝AE 2＋AM 2＝2AE .∴BH ＝2AE . 14．四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连结CE ，以CE 为边，作正方形CEFG (点D ，点F 在直线CE 的同侧)，连结BF .(1)如图①，当点E 与点A 重合时，请直接写出BF 的长．(2)如图②，点E 在线段AD 上，AE ＝1.①求点F 到AD 的距离；②求BF 的长．(3)若BF＝310，请直接写出此时AE的长．解：(1)BF＝4 5.(2)如图，①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，∵四边形CEFG是正方形，∴EC＝EF，∠FEC＝90°.∴∠DEC＋∠FEH＝90°.又∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°.∴∠DEC＋∠ECD＝90°.∴∠ECD＝∠FEH.又∵∠EDC＝∠FHE＝90°，∴△ECD≌△FEH. ∴FH＝E D．∵AD＝4，AE＝1，∴ED＝AD－AE＝4－1＝3. ∴FH＝3，即点F到AD的距离为3.②延长FH交BC的延长线于点K，∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°.∴四边形CDHK为矩形．∴HK＝CD＝4.∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7.∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4.∴AE＝DH＝CK＝1.∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5.在Rt△BFK中，BF＝FK2＋BK2＝72＋52＝74.(3)AE＝2＋41或AE＝1.15．(自主招生模拟题)如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF ＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次回到点E时，小球P所经过的路程为6 5 .16．(自主招生模拟题)图①中，正方形ABDE，CDFI，EFGH的面积分别为17,10,13；图②中，四边形DPQR为矩形，对照图②，计算图①中六边形ABCIGH的面积应为 62 .17．(自主招生模拟题)如图所示，四边形ABCD是正方形，且∠1＝∠2＝∠3.(1)若∠1＝30°，DG＝3，求正方形ABCD的边长．(2)求证：AG－GF＝GE.解：(1)∵∠1＝30°，DG＝3，∴正方形ABCD的边长为3DG＝3.(2)如图，在AG上截取GH＝GF，过点H作HP⊥AD，垂足为P. ∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠1＝∠3，∴∠4＝90°－2∠1.在等腰三角形GFH中，∠GHF＝12(180°－∠4)＝45°＋∠1.又∵∠GHF＝∠1＋∠AFH，∴∠AFH＝45°.∴△PFH为等腰直角三角形，PH＝PF. 由GH＝GF且PH＝PF，得GP⊥FH.∴∠FPG＝45°.∴DP＝DG，AP＝CG.∴△APH≌△GCE，AH＝GE.∴AG＝AH＋HG＝GE＋GF.∴AG－GF＝GE.。

浙教版八年级下册第5章《特殊平行四边形》单元练习题

浙教版八年级下册第5章《特殊平行四边形》单元练习题一．选择题1．设M表示平行四边形，N表示矩形，P表示菱形，Q表示正方形，则它们之间的关系用图形来表示正确的是（）A．B．C．D．2．下列关于四边形的说法，正确的是（）A．四个角相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是矩形C．有两边相等的平行四边形是菱形D．两条对角线相等的菱形是正方形3．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD4．如图，菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长等于（）A．14B．20C．24D．285．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝（）A．20°B．40°C．80°D．100°6．如图，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标为A（0，3），B（4，0），则点D的坐标为（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）7．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣2，0），B （2，b），则正方形ABCD的面积是（）A．34B．25C．20D．168．如图，矩形ABCD由两直角边之比皆为1：2的三对直角三角形纸片甲、乙、丙拼接而成它们之间互不重叠也无缝隙，则的值为（）A．B．C．D．二．填空题9．若菱形的一条对角线长8cm，另一条对角线长为6cm，则它的面积为cm2．10．正方形ABCD的对角线长为，面积为．11．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若菱形ABCD的周长为20，则EF＝．12．如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件（用字母表示只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形．13．矩形ABCD的面积为48，一条边AB的长为6，则矩形的对角线BD＝．14．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠E ＝．15．在矩形ABCD中，已知两邻边AD＝24，AB＝10，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF＝．16．如图，在▱ABCD中，AD＞AB，E，F分别为边AD，BC上的点（E，F不与端点重合），对于任意▱ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE是平行四边形；②至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE菱形；③至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE矩形；④存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE的面积是▱ABCD面积的一半．所有正确结论的序号是．三．解答题17．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：AE＝BF．18．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A 的对称点F落在边CD上，连接EF．求证：四边形ADFE是正方形．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．20．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．（1）求证△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．21．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．22．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，∴正方形应是N的一部分，也是P的一部分，∵矩形、正方形、菱形都属于平行四边形，∴它们之间的关系故选：B．2．解：A、四个角相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；C、有两临边相等的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；D、两条对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；故选：D．3．解：添加AC＝BD，理由如下：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选：D．4．解：设AC与BD交点为O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∴AB＝＝＝5，∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20，故选：B．5．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴OD＝OB＝OA＝OC，∵∠OAD＝40°，∴∠ODA＝∠OAD＝40°，∴∠COD＝∠ODA+∠OAD＝40°+40°＝80°，故选：C．6．解：∵A（0，3），B（4，0），∴OA＝3，OB＝4，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝5．∵3﹣5＝﹣2，∴D（0，﹣2）．故选：D．7．解：作BM⊥x轴于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM，∵∠AOD＝∠AMB＝90°，∴在△DAO和△ABM中，，∴△DAO≌△ABM（AAS），∴OA＝BM，AM＝OD，∵A（﹣2，0），B（2，b），∴OA＝2，OM＝2，∴OD＝AM＝4，∴AD＝＝＝2，∴正方形ABCD的面积＝2×2＝20，故选：C．8．解：如图所示设丙的短直角边为x，乙的短直角边为y，则HG＝2x，DG＝2x+y，CG＝DG＝，∵BF＝DH＝y，FG＝EH＝x，∴CF＝2BF＝2y，CF＝CG+FG＝+x，∴2y＝+x，∴x＝y，∵AB＝DC＝＝＝＝，AD ＝＝＝y，∴＝＝．故选：C．二．填空题9．解：∵菱形的一条对角线长8cm，另一条对角线长为6cm，∴菱形的面积＝×6×8＝24（cm2）．故答案为：24．10．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝BD＝，AC⊥BD，∴正方形ABCD的面积＝×AC×BD＝＝1，故答案为：1．11．解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AB＝5，∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF＝AB＝，故答案为：．12．解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形，故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．13．解：∵该长方形ABCD的一边AB长为6，面积为48，∴另一边BC长为48÷6＝8，∴对角线BD＝＝＝10．故答案为：1014．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AD∥BC，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，∴∠E＝∠ACB＝22.5°，故答案为：22.5°．15．解：如图，过A作AG⊥BD于G．则S△AOD＝×OD×AG，S△AOP+S△POD＝×AO×PF+×DO×PE＝×DO×（PE+PF）．∵S△AOD＝S△AOP+S△POD．∴PE+PF＝AG．∵AD＝24，AB＝10．∴BD＝．∴AG＝＝，∴PE+PF＝．故答案为：．16．解：当AE＝BF时，且AE∥BF，则四边形ABFE是平行四边形，∴存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE是平行四边形，故①正确；当AE＝BF＝AB时，则四边形ABFE是菱形，∴至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE菱形，故②正确；∵∠ABC≠90°，∴不存在四边形ABFE是矩形，故③错误；当EF过对角线的交点时，四边形ABFE的面积是▱ABCD面积的一半，∴存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE的面积是▱ABCD面积的一半，故④正确，故答案为：①②④．三．解答题17．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∵AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F∴∠AEO＝∠BFO＝90°，∵∠AOE＝∠BOF，在△AEO与△BFO中，，∴△AEO≌△BFO（AAS），∴AE＝BF．18．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°．由折叠，得∠A＝∠DFE＝90°∴∠A＝∠ADF＝∠DFE＝90°．∴四边形AEFD是矩形．∵AE＝AD，∴四边形AEFD是正方形．19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10﹣4＝6，在Rt△ABE中，AE＝，在Rt△AEC中，AC＝，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴OE＝AC＝．20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵BE＝DF，∴BF＝DE，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）连接AC，交BD于点O，∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形．21．解：（1）EF2＝AF2+BF2．理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠EOF＝∠AOB＝90°，∴∠EOA＝∠FOB，在△EOA和△FOB中，，∴△EOA≌△FOB（ASA），∴AE＝BF，在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；（2）在BC上取一点H，使得BH＝AE．∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，在△OAE和△OBH中，∴△OAE≌△OBH（SAS），∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，∵∠EOF＝45°，∴∠AOE+∠BOF＝45°，∴∠BOF+∠BOH＝45°，∴∠FOE＝∠FOH＝45°，在△FOE和△FOH中•，，∴△FOE≌△FOH（SAS），∴EF＝FH，∵∠FBH＝90°，∴FH2＝BF2+BH2，∴EF2＝BF2+AE2，22．（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．在△PGB和△PHE中，，∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB＝PE．（2）解：PE的长度不变．连接BD，如图2．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP＝90°，∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，∴∠BOP＝∠PFE，在△BOP和△PFE中，，∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO＝PF．∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴BC＝OB．∵BC＝2，∴OB＝，∴PF＝OB＝．∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为．。

浙教版八年级数学下册《第5章特殊的平行四边形》优生辅导训练

2021年度浙教版八年级数学下册《第5章特殊的平行四边形》优生辅导训练（附答案）1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线平分一组对角C．对角线互相垂直D．对角线相等2．菱形的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的面积是（）A．12B．6C．16D．123．四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边形ABCD 是矩形，①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC＝BD，则正确的选法是（）A．①②B．①③C．②③D．以上都可以4．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是（）A．4≥x＞2.4B．4≥x≥2.4C．4＞x＞2.4D．4＞x≥2.45．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是（）A．B．3C．D．6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P 分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（）A．10B．9.6C．4.8D．2.47．如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A，点B在线段DG上．（1）判断DG与BE的位置关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，正方形AEFG的边长为，求BE的长．8．如图，在▱ABCD中，BA⊥AC，延长DC至E，使得DC＝CE，连接BE，连接AE交BC 于O．（1）求证：△COE≌△BOA；（2）当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABEC是正方形？请说明理由．9．已知菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为边AD上一点，点A关于BE的对称点G 位于对角线BD上．（1）求证：△EGD为直角三角形；（2）若AB＝4，求线段EG的长．10．已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．（1）如图①，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F，若DF⊥CE，求证：OE＝OG；（2）如图②，若CE平分∠BCO，DH⊥CE于点F，交BC于点H，交AC于点G，求证：OG＝BH．11．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）直接写出GF与GC的数量关系：；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．12．四边形ABCD是矩形，点P在边CD上，∠P AD＝30°，点G与点D关于直线AP对称，连接BG．（1）如图，若四边形ABCD是正方形，求∠GBC的度数；（2）连接CG，设AB＝a，AD＝b，探究当∠CGB＝120°时，a与b的数量关系．13．如图，正方形纸片ABCD中，E为BC的中点，折叠正方形，使点A与点E重合，压平后，得折痕MN，设梯形ADMN的面积为S，梯形BCMN的面积是T，求S：T的值．14．如图，已知在矩形ABCD中，AD＝5，DC＝7，点H为AD上一点，并且AH＝2，点E 为AB上一动点，以HE为边长作四条边相等的平行四边形HEFG，并且使点G在CD边上，连接CF．（1）如图，当DG＝5时，求△CGF的面积；（2）当DG的长度为何值时，△CGF的面积最小，并求出△CGF面积的最小值．15．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线BG交AD于F；④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；⑤连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝8，AD＝10，∠ABC＝60°，求△APD的面积．16．如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：△BOE≌△COD；（2）当∠BOD＝°时，四边形BECD是菱形．17．如图，在△ABC中，AE∥BC，AB＝AC，D为BC中点，AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形．（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求FG的长．18．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．19．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；（2）若OE＝5，AC＝8，求菱形ABCD的面积．20．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF＝CE＝1，求AC长．21．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P是对角线AC上的一个由A往C方向运动的动点，且运动速度为cm/s，设点P运动时间为t（s）．（1）求AC的长；（2）问t为何值时，△PCD为等腰三角形？22．如图1，已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝6，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→B→C运动，设P运动的时间为t秒．（1）当△APE是以EP为腰的等腰三角形时，求t的值；（2）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APE的周长最小？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．23．如图，矩形ABCD中，直线MN是对角线AC的垂直平分线，垂足为O，MN交BC于点M，交AD于点N，交CD的延长线于点P．（1）△AON≌△COM；（2）已知AB＝6，BC＝8，求的值．24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．25．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC 的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．26．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE 绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝CF+AE；（2）当AE＝2时，求EF的长．27．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）求证：AE⊥DE．28．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的角平分线与AB相交于点F，与CB 的延长线相交于点E连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形．（2）若四边形ABCD是菱形，DC＝10，则菱形AEBD的面积是．（直接填空，不必证明）29．如图，已知平行四边形ABCD中，EF垂直平分线段BD，连接BE，DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若AB＝3，AD＝6，∠BAD＝135°，求AE的长．30．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．（1）求证：四边形AMCN是矩形；（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．31．如图所示，平行四边形ABCD，对角线BD平分∠ABC；（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）已知AE⊥BC于E，若CE＝2BE＝4，求BD．32．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC绕原点O逆时针旋转30°后得到矩形ODEF，若A（3，0），C（0，），则点E的坐标为．33．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，OC＝2cm，∠ABO＝30°，则菱形ABCD的面积是．34．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有．（只填写序号）35．如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE的另一侧作正方形BEFG，连接CG，若AB＝12，BE＝13，则△BCG的面积为．36．正方形ABCD，∠DEC＝90°，EC＝6，则阴影△CBE面积是．37．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是，依据是．38．如图，小华剪了两条宽为3的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为．39．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为．参考答案1．解：A．因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的两组对边分别平行，故A不符合题意；B．菱形的对角线平分对角，而矩形不是，故B不符合题意；C．菱形的对角线对角线互相垂直，而矩形不是，故C不符合题意；D．矩形的对角线相等，而菱形不是，故D符合题意；故选：D．2．解：x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x1＝3，x2＝4，∵菱形的一条对角线长为6，∴菱形对角线的一半为3，∵菱形两条对角线的一半，菱形的边长组成以边长为斜边的直角三角形，∴AB＝4，∴菱形另一对角线的一半为＝，∴菱形另一对角线长为，∴菱形面积为×6×2＝6，故选：B．3．解：当具备①③两个条件，能得到四边形ABCD是矩形．理由如下：∵对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．故选：B．4．解：连接AP．∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2+AC2＝36+64＝100，BC2＝100，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝∠BAC＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝EF＝AP，当AP⊥BC时，AP值最小，此时S△BAC＝×6×8＝×10×AP，AP＝4.8，即AP的范围是AP≥4.8，∴2AM≥4.8，∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4．故选：D．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，∠B＝90°．∵PE⊥BC，PQ⊥AB，∴∠PQB＝∠PEB＝90°．∴∠PQB＝∠PEB＝∠B＝90°．∴四边形PQBE为矩形．∴PE＝BQ．∵PQ⊥AB，∠CAB＝45°，∴△P AQ为等腰三角形．∴PQ＝AQ．∴PE+PQ＝BQ+AQ＝AB＝3．故选：B．6．解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF＝＝4.8．故选：C．7．解：（1）DG⊥BE，理由如下：∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝∠GAE，AE＝AG，∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠DAG＝∠BAE，在△DAG和△BAE中，，∴△DAG≌△BAE（SAS）．∴DG＝BE，∠ADG＝∠ABE＝45°，∴∠ABD+∠ABE＝90°，即∠GBE＝90°．∴DG⊥BE；（2）连接GE，∵正方形ABCD的边长为1，正方形AEFG的边长为，∴BD＝，GE＝2，设BE＝x，则BG＝x﹣，在Rt△BGE中，利用勾股定理可得：x2+（x﹣）2＝22，∴x＝（+），∴BE的长为（）．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABO＝∠D，AB＝DC，AB∥DC，∴AB∥DE，∴∠CEO＝∠BAO，∵DC＝CE，∴AB＝CE，在△COE和△BOA中，，∴△COE≌△BOA（AAS）；（2）解：当BC＝AB时，四边形ABEC是正方形，理由如下：由（1）知，AB＝CE，AB∥CE，∴四边形ABEC是平行四边形，∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴四边形ABEC是矩形，在Rt△ABC中，∵BC2＝AB2+AC2，BC＝AB，∴（AB）2＝AB2+AC2，∴AB2＝AC2，∴AB＝AC，∴四边形ABEC是正方形．9．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∵点A关于BE的对称点G位于对角线BD上．∴AE＝DE，∠BAE＝∠BGE＝120°，∴∠EGD＝60°，∴∠GED＝90°，∴△EGD为直角三角形；（2）∵∠GED＝90°，∠ADB＝30°，∴DE＝EG＝AE，∵AB＝4，∴AE+AE＝4，∴AE＝2﹣2，∴EG＝2﹣2．10．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，∴∠DOG＝∠COE＝90°，∴∠OEC+∠OCE＝90°，∵DF⊥CE，∴∠OEC+∠ODG＝90°，∴∠ODG＝∠OCE，在△DOG与△COE中，，∴△DOG≌△COE（ASA），∴OE＝OG；（2）过点B作BM∥AC交DH的延长线于点M，∵CE平分∠BCO，DH⊥CE，∴∠ECH＝∠OCE，∠CFH＝∠CFG＝90°，在△CFG与△CFH中，，∴△CFG≌△CFH（ASA），∴∠CGF＝∠CHF，∵BM∥AC，∴∠M＝∠CGF，∵∠CHF＝∠BHM，∴∠BHM＝∠M，∴BM＝BH，∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OD，∵BM∥AC，∴DG＝MG，∴OG＝．11．证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠ADE＝∠EDF，∠FDG＝∠GDC，∵∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠EDF+∠FDG+∠GDC＝90°，∴2∠EDF+2∠FDG＝90°，∴∠EDF+∠FDG＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，∴△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠ADE＝90°，DE＝EH，∴∠ADE＝∠BEH，在△DME和△EBH中，，∴△DME≌△EBH（SAS），∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．12．解：（1）连接DG，交AP于点E，连接AG，如图1，∵点G与点D关于直线AP对称，∴AP垂直平分DG，∴AD＝AG．∵在△ADG中，AD＝AG，AE⊥DG，∴∠P AG＝∠P AD＝30°，又∵在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴AG＝AB，∠GAB＝∠DAB﹣∠P AD﹣∠P AG＝30°，∴在△GAB中，∠ABG＝∠AGB＝＝75°，∴∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝15°；（2）连接DG，AG．由（1）可知，在△ADG中，AD＝AG，∠DAG＝∠P AD+∠P AG＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴DG＝AG＝AD，∠DAG＝∠ADG＝∠DGA＝60°，又∵在矩形ABCD中，AB＝DC，∠DAB＝∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠DAB﹣∠DAG＝∠ADC﹣∠ADG，即∠GAB＝∠GDC＝30°，∴△GAB≌△GDC（SAS），∴GB＝GC．当∠CGB＝120°时，点G可能在矩形ABCD的内部或外部．若点G在矩形ABCD的内部，∵在△BGC中，GB＝GC，∠CGB＝120°，∴∠GBC＝＝30°，∴∠GBA＝∠ABC﹣∠GBC＝90°﹣30°＝60°，在△ABG中，∠AGB＝180°﹣∠GAB﹣∠GBA＝90°，∴a＝b，若点G在矩形ABCD的外部，在△BGC中，∠GBC＝30°，∴∠ABG＝120°，又∵∠GAB＝30°，∴∠AGB＝180°﹣30°﹣120°＝30°．∴BA＝BG，过点B作BH⊥AG，垂足为H，∴AH＝AG＝b．在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠HAB＝30°，∴a＝b，在Rt△ADP中，∠ADP＝90°，∠P AD＝30°，∴DP＝b．所以无论点G在矩形ABCD内部还是点G在矩形ABCD外部，都有DP≤DC，均符合题意．综上，当∠CGB＝120°时a与b的数量关系为a＝b或a＝b．13．解：连接MA，ME，由翻折可得，AN＝NE，AM＝ME，设AB＝2x，AN＝a，在Rt△BEN中，a2＝（2x﹣a）2+x2，4xa＝5x2，a＝，∴在Rt△ADM，设DM＝b，Rt△ADM中，AM2＝（2x）2+b2，在Rt△EMC中，CM＝2x﹣b，（2x﹣b）2+x2＝（2x）2+b2，则DM＝b＝x，∴＝＝＝．14．解：（1）如图所示，连接GE，过F作FP⊥DC，交DC的延长线于点P．∵四边形ABCD为矩形，∴AB||CD，∴∠1+∠2＝∠3+∠4．∵四边形EFGH为菱形，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠4．又∵FP⊥DC，∴∠A＝∠P＝90°，在△AEH和△PGF中，，∴△AEH≌△PGF（AAS），∴PF＝AH＝2．又∵GC＝DC﹣DG＝7﹣5＝2，∴S△CGF＝×CG×PF＝×2×2＝2；（2）由（1）知，点F到DC的距离为定值，即FP＝2恒成立．∴当DG取得最大值时，△CGF的面积取得最小值，设DG＝x，∵DH＝AD﹣AH＝5﹣2＝3，∴HG2＝DG2+DH2＝x2+9．又∵HE2＝AH2+AE2≤AH2+AB2＝22+72＝53且HG＝HE，∴x2+9≤53．又∵x≥0，∴0≤x≤2，∴GC的最小值为GC＝7﹣2，此时S△CGF＝×CG×PF＝×2×（7﹣2）＝7﹣2．15．证明：（1）由作图，∠ABF＝∠EBF，AE⊥BF，∴AB＝EB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝8，∴AB＝AF＝8，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，∴AP＝AB＝4，∴PH＝2，∴．16．证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO＝CO，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）当∠BOD＝90°时，四边形BECD是菱形；理由：∵四边形BECD是平行四边形，∴当∠BOD＝90°时，四边形BECD是菱形．故答案为：90．17．（1）证明：∵AE∥BC，∴AE∥BD，∵AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形；（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∴∠AEB＝∠DBE＝90°，BD＝AE＝2，∵∠ABE＝30°，∴BE＝AE＝2，BC＝2BD＝4，∴EC＝＝＝2，∵AE∥BC，∴EF＝EC＝，∵AE∥BC，∴∠AEG＝∠CDG，∵D为BC中点，∴BD＝DC，∵AE＝BD，∴AE＝DC，在△AEG和△CDG中，，∴△AEG≌△CDG（AAS），∴EG＝CG＝EC＝，∴FG＝EG﹣EF＝﹣＝．18．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE，∵点E是AD边的中点，∴AE＝DE，∴在△NDE和△MAE中，△NDE≌△MAE（AAS），∴NE＝ME，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）①当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝6，∵点E是AD边的中点，∴AE＝AD＝3，∴AM＝AE＝3，∵∠DAB＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴EM＝AE，∵NE＝EM＝MN，∴MN＝AD，∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是矩形．故答案为：3；②当AM的值为6时，四边形AMDN是菱形．理由如下：∵AB＝AD＝6，AM＝6，∴AD＝AM，∵∠DAB＝60°，∴△AMD是等边三角形，∴ME⊥AD，∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是菱形．故答案为：6．19．解：（1）四边形AEBO是矩形，理由如下：∵BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO是平行四边形．又∵菱形ABCD对角线交于点O∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，∵四边形AEBO是矩形，∴AB＝OE＝5，∴OB＝＝＝3，∴BD＝2OB＝6，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24．20．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，∴∠DOC＝90°，∵DE∥AC，DE＝AC，∴OC＝DE，∴四边形OCED为平行四边形，又∵∠DOC＝90°，∴四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）得：四边形OCED是矩形，∴OD∥CE，∠OCE＝90°，∵O是AC中点，∴F为AE中点，∴CF＝AF＝EF，∵CF＝CE＝1，∴EF＝1，∴AE＝2，∴AC＝＝＝．21．解：（1）在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：；（2）△PCD为等腰三角形，分类讨论：当CD＝CP时，△CPD为等腰三角形，∴CD＝CP＝6，则AP＝AC﹣PC＝10﹣6＝4，∴（s）；当PC＝PD时，△PCD为等腰三角形，此时P是对角线的交点，∴PC＝PD＝5，则AP＝AC﹣PC＝10﹣5＝5，∴（s），当DP＝DC时，△DPC为等腰三角形，过点D作DQ⊥AC，则PQ＝QC，又，∴，∴，同理勾股定理得：，∴，则∴（s），∴t＝8，t＝10，t＝5.6时，△CPD为等腰三角形．22．解：（1）当AE＝PE时，∴点E是AP的垂直平分线上，∵四边形ABCD是矩形，E为CD边的中点，∴CE＝DE＝2，点E是AB的垂直平分线上，∴点P与点B互相重合，∴AP＝AB＝4，∴t＝＝2，当EP＝AP时，点P在BC上，∴AB2+BP2＝EC2+CP2，∴16+BP2＝4+（6﹣BP）2，∴BP＝2，∴t＝＝3，综上所述：当t＝2或3时，△APE是以EP为腰的等腰三角形；（2）如图，延长EC到E'，使得E'C＝EC，连接AE'，交BC于点P，此时△APE周长最短；∵E'C＝EC＝2＝DE，∴DE'＝6＝AD，∴∠DAE'＝45°，∴∠BAP＝∠BP A＝45°，∴AB＝BP＝4，∴t＝＝4．23．（1）证明：∵AC的垂直平分线是MN，∴AO＝CO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠NAO＝∠MCO，在△AON和△COM中，，∴AON≌△COM（ASA）；（2）解：连接CN，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠NDC＝90°，AD∥BC，∵AC的垂直平分线是MN，∴AN＝CN，设DN＝x，则AN＝CN＝8﹣x，在Rt△NDC中，由勾股定理得：DN2+DC2＝CN2，即x2+62＝（8﹣x）2，解得：x＝，即DN＝，AN＝8﹣＝，∵△AON≌△COM，∴CM＝AN＝，∵AD∥BC，∴＝＝＝．24．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．25．（1）解：相等；理由是：∵直线l∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OF＝OC，∴OE＝OF．（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，理由是：∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵OE＝OF＝OC＝OA，∴平行四边形AECF是矩形．26．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，∴F、C、M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，∵，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，∴EF＝CF+AE；（2）解：设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，则EF＝5．27．证明：（1）设AC，EF的交点为O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∠OAF＝∠OCE．∵点E与点F关于AC对称，∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF．在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA，∵AB⊥AC，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE＝CE，∵BC＝2AB，∴AB＝AE＝BE，∴△ABE是等边三角形．∴∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，∵CE＝BE＝BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．28．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠ADE＝∠DEB，∵DE平分∠ADB∴∠ADE＝∠BDE∴∠BED＝∠BDE∴BE＝BD，且BD＝DA∴AD＝BE，且AD∥BE∴四边形ADBE是平行四边形且AD＝BD∴四边形AEBD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD＝CD＝10，且AD＝BD∴△ABD是等边三角形∴∠BAD＝60°∵四边形AEBD是菱形∴AF＝BF，AB⊥DE，EF＝DF，∴∠ADF＝30°∴AF＝5，DF＝5∴DE＝10∴菱形AEBD的面积＝×10×10＝50故答案为：5029．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，AD＝BC，∴∠ODE＝∠OBF，在△ODE和△OBF中，，∴△ODE≌△OBF（ASA），∴DE＝BF，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点B作BM⊥AD于M，∵∠BAD＝135°，∴∠BAM＝45°，且BM⊥AD，AB＝3，∴BM＝AM＝3，∵四边形BEDF是菱形，∴BE＝DE，∵BE2＝BM2+EM2，∴（6﹣AE）2＝（AE+3）2+9，∴AE＝1故答案为：130．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形；（2）由（1）可知，四边形AMCN为矩形，∴只需AM＝MC，则矩形AMCN为正方形，∵O为AC中点，M在BO上，∴BO⊥AC，时，AM＝MC，在△BOA与△BOC中，，∴△BOA≌△BOC（SAS），∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形，故△ABC为等腰三角形时，四边形AMCN是正方形．31．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：连接AC，如图所示：∵CE＝2BE＝4，∴BE＝2，∴BC＝BE+CE＝6，由（1）得：四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝6，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝4，∴AC＝＝＝4，∵菱形ABCD的面积＝AC×BD＝BC×AE，∴BD＝＝＝4．32．解：如图所示：连接OB、OE，在Rt△OAB中，OB＝＝2，∴OB＝2＝2AB，∵∠A＝90°，∴∠AOB＝30°，∵∠BOE＝30°，∴∠AOE＝60°，过E作EM⊥OA交OA于M，在Rt△OEM中，OE＝2，∠MOE＝60°，∴OM＝OE＝，EM＝3，∴E（，3）．故答案为（，3）．33．解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∠BOC＝90°，∵OC＝2cm，∴OB＝2cm，∴＝cm2．∴菱形ABCD的面积为2cm2．故答案为：8cm2．34．解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是矩形，故②错误；∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故③正确；∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形，不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；故答案为：①③．35．解：延长GB交CO于点H，∵正方形ABCD，∴BA＝AC，∠BCH＝∠BAE＝90°，∵正方形BEFG，∴∠EBG＝90°，BE＝BG，∴∠ABE+∠GBC＝180°，∵∠HBC+∠GBC＝180°，∴∠ABE＝∠CBH，在△ABE与△CBH中，，∴△ABE≌△CBH（ASA），∴BH＝BE，S△ABE＝S△CBH，∴BE＝BG，∴BH＝BG，∴S△BCG＝S△CBH＝S△ABE，在Rt△ABE中，AE＝，∵，∴S△BCG＝30，故答案为：30．36．解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，则∠ENC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴；CB＝CDCB＝CD，∠DCB＝90°．∵∠DEC＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠CDE＝∠BCE，又∵ENC＝90°，∴EN＝，∴．故答案为：18．37．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图所示：∵两把完全一样的直尺叠放在一起，∴AB∥CD，AD∥BC，两把直尺的宽度相等，∴四边形ABCD是平行四边形，DE＝DF，又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形，故答案为：菱形，邻边相等的平行四边形是菱形．38．解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝3，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠BCD＝120°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AB＝2AE，BC＝2CF，∵AB2＝AE2+BE2，∴AB＝，同理：BC＝2，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AD＝2，∴S菱形ABCD＝AD•BE＝6．故答案为：6．39．解：连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，∴AC＝，由折叠性质得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，故答案为：8．。

浙教版八年级下第五章特殊平行四边形复习试卷初二数学试题

第五章特别平行四边形复习姓名班级一、选择题1．以下性质中正方形拥有而矩形没有的是（）A ．对角线相互均分；B．对角线相等；C．对角线相互垂直；D．四个角都是直角2．以下说法正确的选项是A 、对角线垂直的四边形是菱形B 、对角线相互均分的四边形是菱形C、菱形的对角线相等且相互均分 D 、菱形的对角线相互垂直且均分3．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框能否为矩形，下边是某合作学习小组的 4 位同学制定的方案，此中正确的选项是（）A ．丈量对角线能否相互均分B ．丈量两组对边能否分别相等C．丈量对角线能否相等 D ．丈量此中三个角能否都为直角4． E、 F、 G、 H 是四边形ABCD 四条边的中点，若EFGH 为菱形，四边形应具备的条件是（）A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相互均分C. 对角线相互垂直D. 对角线相等5．如图，方格图中小正方形的边长为1．将方格图中暗影部分图形剪下来，再把剪下的暗影部分从头剪拼成一个正方形(不重叠无空隙)，那么所拼成的这个正方形的边长等于（）．A．3;B．2;C．5;D． 6.6．梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， E 是 BC 上一点，且∠EAD =∠ C， AD = 5，△ ABE 的周长是18 ，则梯形 ABCD 的周长为（）A．23B．26C．28D．297．已知四边形ABCD 中，∠ A=∠ B=∠ C=90°，假如增添一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件能够是（▲ ）A. AC=BDB. BC=CDC. AD=BCD. AB=CD8．若菱形两条对角线的长分别为 6 和 8，则这个菱形的边长为( ▲ )A ． 5 B．10 C． 20 D． 149．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设 a 1，则 b （）5 1 5 1 5 3D、21A 、B 、C、22 212 aa bb 3 13 4 42ab（第 9题）（第 10 题）10．如图，梯形ABCD 中， AD ∥ BC，点E在 BC 上， AE BE，点F是 CD 的中点，且AF AB，若 AD ，AFA 4， B 6，则 CE 的长为A ．2 2 B. 2 3 1 C. D.二、填空题11．一个菱形的两条对角线长分别为3cm， 4cm，这个菱形的面积 S=______ ．12．已知等腰梯形的中位线长为6cm,腰长 5cm,则它的周长是 ____________ cm。

浙教版八年级下册数学第五章特殊平行四边形含答案培优

浙教版八年级下册数学第五章特殊平行四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在菱形ABCD中，对角线BD=4 ，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长是（）A.15B.16C.18D.202、如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A.△AFD≌△DCEB.AF＝ADC.AB＝AFD.BE＝AD﹣DF3、下列命题中，错误的是A.矩形的对角线互相平分且相等B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.等腰梯形的两条对角线相等 D.对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形4、矩形的一个角的平分线分矩形的一边长为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积是（）A.4cm²B.6cm²C.12cm²D.4cm²或12cm²5、下列叙述，错误的是( )A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是矩形6、正方形具有而矩形不具有的性质是（）A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直7、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（）A.4B.6C.8D.108、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：= AB2①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9、如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=5π．分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F，则图中阴影部分的面积为（）A.4πB.5πC.8πD.10π10、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP=x，AE=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.11、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH等于( )A. B. C.5 D.4512、如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；② ＝PB•EF；③PF•EF＝2 ；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.③④13、下面性质中，菱形不一定具备的是（）A.四条边都相等B.每一条对角线平分一组对角C.邻角互补D.对角线相等14、下列四个命题中的假命题是( )A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形：D.对角线相等的四边形是平行四边形15、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离为________．17、如图,E是正方形ABCD内一点，若ABE是等边三角形,那么∠BCE=________。