2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学(课件学案考点集训 ) (1)

合集下载

高2020届理科数学一轮复习课件金太阳新考案第一单元§1.1集合

§1.1集合一集合的有关概念(1)集合中元素的特征:、、无序性.(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作;若b不属于集合A,记作.(3)集合的表示方法:、、图示法.(4)常用数集及记法二集合间的基本关系三集合的基本运算1.集合的运算图形表示2.集合的三种基本运算的常见性质(1)A∩A= ,A∩⌀= ,A∪A= ,A∪⌀= .(2)A∩∁U A= ,A∪∁U A= ,∁U(∁U A)= .三、1.{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}2.(1)A ⌀ A A (2)⌀U A设集合A={2,3,4},B={2,4,6},若x∈A且x∉B,则x=().2 B.3 C.4 D.6【试题解析】因为x∈A且x∉B,所以x=3.【参考答案】B集合A={x∈N|0＜x＜4}的真子集个数为().3 B.4 C.7 D.8【试题解析】因为A={1,2,3},所以其真子集的个数为23－1=7.【参考答案】C已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则A∩∁U B=(). {2,5} B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}【试题解析】因为∁U B={2,5,8},所以A∩∁U B={2,3,5,6}∩{2,5,8}={2,5}.【参考答案】A已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=().{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0＜x＜1}【试题解析】由题意知A∪B={x|x≤0或x≥1},结合数轴可得∁U(A∪B)={x|0＜x＜1}.【参考答案】D题型集合的概念一【例1】(1)已知集合A=＜＜,集合A中至少有3个元素,则().A.k＞8B.k≥8C.k＞16D.k≥16(2)已知集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且①a=1,②b≠1,③c=2,④d≠4四个关系中有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是.【试题解析】(1)因为集合A中至少有3个元素,所以log2k＞4,所以k＞24=16,故选C.(2)若只有①正确,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;若只有②正确,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);若只有③正确,则有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上所述,有序数组(a,b,c,d)的个数是6.【参考答案】(1)C(2)6A.1B.3C.5D.9(2)若集合A={x∈R|ax2－3x＋2=0}中只有一个元素,则a=().A.B.C.0 D.0或【试题解析】(1)∵A={0,1,2},∴B={x－y|x∈A,y∈A}={0,－1,－2,1,2}.∴集合B中有5个元素.(2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2－3x＋2=0只有一个实根或有两个相等的实根.当a=0时,x=,符合题意;当a≠0时,由Δ=(－3)2－8a=0,得a=.所以a=0或a=.【参考答案】(1)C(2)D题型集合间的基本关系二【例2】(1)设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的B的个数是().A.5B.4C.3D.2(2)已知集合A={x|－2≤x ≤7},B={x|m ＋1＜x ＜2m －1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是 . 【试题解析】(1)因为A={1,2}且A ⊆B ,所以B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}或B={1,2,3,4},故选B . (2)当B=⌀时,有m ＋1≥2m －1,则m ≤2.当B ≠⌀时,若B ⊆A ,则＋－－＋＜－解得2＜m ≤4. 综上,实数m 的取值范围是(－∞,4]. 【参考答案】(1)B (2)(－∞,4]2x A .P ⊆QB .Q ⊆PC .∁R P ⊆QD .Q ⊆∁R P(2)设集合A={x|y=lg(－x 2＋x ＋2)},B={x|x －a ＞0},若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是( ). A .(－∞,－1) B .(－∞,－1] C .(－∞,－2)D .(－∞,－2]【试题解析】(1)因为P={y|y=－x 2＋1,x ∈R}={y|y ≤1},所以∁R P={y|y ＞1},又Q={y|y=2x ,x ∈R}={y|y＞0},所以∁R P ⊆Q ,故选C .(2)集合A={x|y=lg(－x 2＋x ＋2)}={x|－1＜x ＜2},B={x|x ＞a },因为A ⊆B ,所以a ≤－1.故选B . 【参考答案】(1)C (2)B题型三集合的运算【例3】(1)已知集合M={x|x 2＜1},N={x|2x ＞1},则M ∩N=( ).A .⌀B .{x|0＜x ＜1}C .{x|x ＜0}D .{x|x ＜1}(2)如图,集合A={x|lo(x －1)＞0},B=－＜ ,则阴影部分表示的集合是( ).A .[0,1]B .[0,1)C .(0,1)D .(0,1]【试题解析】(1)M={x|x 2＜1}={x|－1＜x ＜1},N={x|2x ＞1}={x|x ＞0},则M ∩N={x|0＜x ＜1},故选B . (2)图中阴影部分表示集合B ∩R A.∵A={x|lo (x －1)＞0}={x|1＜x ＜2},B=－＜ = ＜＜,∴R A={x|x ≤1或x ≥2},B ∩R A={x|0＜x ≤1},故选D .【参考答案】(1)B (2)D(1)在进行集合的运算时,要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.2A .[0,1]B .(0,1]C .[0,1)D .(－∞,1](2)已知全集U=R,集合M={x|(x－1)(x＋3)＜0},N={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是().A.[－1,1)B.(－3,1]C.(－∞,－3)∪[－1,＋∞)D.(－3,－1)∪{1}【试题解析】(1)∵M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0＜x≤1},∴M∪N=[0,1].(2)由题意可知,M=(－3,1),N=[－1,1],∴阴影部分表示的集合为集合M∪N去掉M∩N中的元素所得的集合,又∵M∪N=(－3,1],M∩N=[－1,1),∴阴影部分表示的集合为(－3,－1)∪{1}.【参考答案】(1)A(2)D方法以集合为载体的创新问题一以集合为载体的创新问题的命题形式,常见的有新概念、新法则、新运算、新性质等,对于这些试题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.【突破训练1】(1)对于集合M,N,定义M－N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M－N)∪(N－M).设A={y|y=x2－3x,x∈R},B={y|y=－2x,x∈R},则A⊕B等于().A.－B.－C.－－∪[0,＋∞)D.－－∪(0,＋∞)(2)已知集合A={x∈N|x2－2x－3≤0},B={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”:A*B={x|x=x1＋x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中的所有元素之和为().A.15B.16C.20D.21【试题解析】(1)∵A=－,B={y|y＜0},∴A－B={y|y≥0},B－A=＜－,A⊕B=(A－B)∪(B－A)=或＜－.故选C.(2)由x2－2x－3≤0,得(x＋1)(x－3)≤0,又x∈N,故集合A={0,1,2,3}.∵A*B={x|x=x1＋x2,x1∈A,x2∈B},∴A*B中的元素有0＋1=1,0＋3=3,1＋1=2,1＋3=4,2＋1=3(舍去),2＋3=5,3＋1=4(舍去),3＋3=6, ∴A*B={1,2,3,4,5,6},∴A*B中的所有元素之和为21.【参考答案】(1)C(2)D方法数形结合思想在集合中的应用二对于集合的运算,常借助数轴、Venn图求解.【突破训练2】向50名从事地质研究的专家调查对四川省A,B两地在震后原址上重建的态度,有如下结果:赞成A地在震后原址上重建的人数是全体的,其余的不赞成,赞成B地在震后原址上重建的比赞成A地在震后原址上重建的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B两地都不赞成在震后原址上重建的专家人数比对A,B两地都赞成的专家人数的多1人.问:对A,B两地都赞成的专家和都不赞成的专家各有多少人?【试题解析】赞成A地重建的专家人数为50×=30,赞成B地重建的专家人数为30＋3=33.如图,记50名专家组成的集合为U,赞成A地在震后原址上重建的专家全体为集合A;赞成B地在震后原址上重建的专家全体为集合B.设对A,B两地都赞成的专家人数为x,则对A,B两地都不赞成的专家人数为＋1,赞成A地而不赞成B 地的专家人数为30－x,赞成B地而不赞成A地的专家人数为33－x.依题意,(30－x)＋(33－x)＋x＋＋=50,解得x=21.所以对A,B两地都赞成的专家有21人,都不赞成的专家有8人.1.(2018潍坊模拟)已知集合A={x|x2－3x＋2=0,x∈R},B={x|0＜x＜5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数为().A.1B.2C.3D.4【试题解析】由x2－3x＋2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.【参考答案】D2.(2018重庆第二次模拟)已知集合A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|x=1},则A∩B中元素的个数为().A.1个B.1个或2个C.至多1个D.可能2个以上【试题解析】集合A={(x,y)|y=f(x),x∈D},B={(x,y)|x=1}.当1∈D时,直线x=1与函数y=f(x)的图象有一个交点;当1∉D时,直线x=1与函数y=f(x)的图象没有交点.所以A∩B中元素的个数为1或0.【参考答案】C3.(2018河南八市重点高中质检)已知U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},则A∩(U B)等于().A.{4,6}B.{1,8}C.{1,4,6,8}D.{1,4,6,8,9}【试题解析】因为U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},所以U B={1,8,9},因此A∩(U B)={1,8}.【参考答案】B4.(2018湖北襄阳模拟)已知集合A={1,3,},B={1,m},若A∪B=A,则m=().A.0或B.0或3C.1或D.1或3【试题解析】因为A∪B=A,所以B⊆A.由元素的互异性可知m=3或m=,所以m=3或m=0或m=1(舍去).【参考答案】B5.(2018河北唐山模拟)已知集合A⊆{1,2,3,4,5},且A∩{1,2,3}={1,2},则满足条件的集合A的个数是().A.2B.4C.8D.16【试题解析】因为集合A⊆{1,2,3,4,5},且A∩{1,2,3}={1,2},所以由子集和交集的概念可得,A={1,2},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,4,5},所以满足条件的集合A的个数为4,故选B.【参考答案】B6.(2018甘肃天水模拟)已知集合A=－＋＜,B=－＞,则A∩(∁R B)=().A.(3,8)B.[3,8)C.(－2,3]D.(－2,3)【试题解析】由题意可得,A=－＜＜,∁R B=,∴A∩(∁R B)=(－2,3].【参考答案】C7.(2018湖南省东部六校联考)已知集合M={－2,－1,0,1},N=,则M∩N=().A.{－2,－1,0,1,2}B.{－1,0,1,2}C.{－1,0,1}D.{0,1}【试题解析】由≤2x≤4,解得－1≤x≤2.又x∈Z,∴N={－1,0,1,2},∴M∩N={－1,0,1}.【参考答案】C8.(2018石家庄教学质检(二))已知集合M={－1,1},N=＜,则下列结论正确的是().A.N⊆MB.M⊆NC.M∩N=⌀D.M∪N=R【试题解析】∵－2＜0,即－＞0,解得x＜0或x＞,∴N=(－∞,0)∪＋.又∵M={－1,1},∴B正确,A,C,D错误.【参考答案】B9.(2018山东临沂质检)已知全集U=R,集合A={x|x2－3x＋2＞0},B={x|x－a≤0},若U B⊆A,则实数a的取值范围是().A.(－∞,1)B.(－∞,2]C.[1,＋∞)D.[2,＋∞)【试题解析】因为x2－3x＋2＞0,所以x＞2或x＜1,所以A={x|x＞2或x＜1}.因为B={x|x≤a},所以U B={x|x＞a}.因为U B⊆A,借助数轴可知a≥2,所以选D.【参考答案】D10.(2018安徽安庆模拟)已知集合A=－,B=,则A∩B=().A.(0,2)B.[0,2]C.{0,2}D.{0,1,2}【试题解析】∵A=,B=,∴A∩B=.故选D.【参考答案】D11.(2018山东青岛模拟)设集合A=,B={x|y=ln(x2－3x)},则A∩B中元素的个数是().A.1B.2C.3D.4【试题解析】A=={x∈N|－2≤x≤4}={0,1,2,3,4},B={x|y=ln(x2－3x)}={x|x2－3x＞0}={x|x＜0或x＞3},所以A∩B={4},元素个数为1.故A正确.【参考答案】A12.(2018上海市七宝中学模拟)设M={a|a=x2－y2,x,y∈Z},则对任意的整数n,形如4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3的数中,不是集合M中的元素是().A.4nB.4n＋1C.4n＋2D.4n＋3【试题解析】∵4n=(n＋1)2－(n－1)2,∴4n∈M.∵4n＋1=(2n＋1)2－(2n)2,∴4n＋1∈M.∵4n＋3=(2n＋2)2－(2n＋1)2,∴4n＋3∈M.若4n＋2∈M,则存在x,y∈Z使得x2－y2=4n＋2,∴4n＋2=(x＋y)(x－y).∵x＋y和x－y的奇偶性相同,若x＋y和x－y都是奇数,则(x＋y)(x－y)为奇数,而4n＋2是偶数;若x＋y和x－y都是偶数,则(x＋y)(x－y)能被4整除,而4n＋2不能被4整除.∴4n＋2∉M.【参考答案】C13.(2018湖北武汉十校联考)已知集合A={x|0＜x＜2},集合B={x|－1＜x＜1},集合C={x|mx＋1＞0},若(A∪B)⊆C,则实数m的取值范围为().A.{m|－2≤m≤1}B.－C.－D.－【试题解析】由题意得A∪B={x|－1＜x＜2}.已知集合C={x|mx＋1＞0},(A∪B)⊆C,①当m＜0时,x＜－,∴－≥2,∴m≥－,∴－≤m＜0;②当m=0时,满足题意;③当m＞0时,x＞－,∴－≤－1,∴m≤1,∴0＜m≤1.综上可知,实数m的取值范围为－.【参考答案】B14.(改编)设集合A={x,y,x＋y},B={0,x2,xy},若A=B,则实数对(x,y)的取值集合是.【试题解析】由A=B,且0∈B,知集合B中的元素x2≠0,xy≠0,故x≠0,y≠0,那么集合A中只能是x＋y=0,此时就是在条件x＋y=0下,{x,y}={x2,xy},即＋或＋解得－或－【参考答案】{(1,－1),(－1,1)}15.(2018云南模拟)已知集合A={y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0},B=x2－x＋,若A∩B=⌀,则实数a的取值范围是.【试题解析】A={y|y＜a或y＞a2＋1},B={y|2≤y≤4}.当A∩B=⌀时,＋∴≤a≤2或a≤－,∴a的取值范围是(－∞,－]∪[,2].【参考答案】(－∞,－]∪[,2]16.(2018江苏淮安模拟)设集合S n={1,2,3,…,n},若X⊆S n,把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数,则称X为S n的奇(偶)子集.S4的所有奇子集的容量之和为.【试题解析】因为S4={1,2,3,4},所以X=⌀,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}.其中是奇子集的为X={1},{3},{1,3},其容量分别为1,3,3,所以S4的所有奇子集的容量之和为7.【参考答案】7。

【名师导学】高三数学(理)一轮总复习(新课标课件+考点集训)：1章第1讲

【解析】∵B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－ 1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}．而图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的集合，故该集合为{－1，4}．
【知识要点】 1．集合的含义与表示 (1)一般地，我们把研究对象统称为 ________ 元素，把集合，简称集．一些元素组成的总体叫________ 确定性、 (2) 集合中的元素的三个特征： ________
B，我们就说 A 是 B 的真子集．
空集，记作 (2) 不含任何元素的集合 ______ 任何一个集合的子集，是任何一 _______
非空集合的真子集个_______________________ ，即∅⊆A，∅ B(B≠∅)．
【基础检测】 1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( B ) A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D
2．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( C ) A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
【解析】(1)由题意知，A＝(0，1]，B＝ 1 －∞，， 3 ∴A∪B＝(－∞，1]．故选D. (2)U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出 Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁UA)∩B＝{7，9}．
第一章集合、常用逻辑用语、算法初步及框图
第 1 讲集合的含义及运算
【学习目标】 1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性； 2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义； 3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．

[高考数学复习]2020年高考数学第一轮知识点总复习ppt课件

学后反思正确区分和运用两个原理是学好本章的关键.区分“分类〞与“分步〞的根据在于能否“一次性〞完成. 假设能“一次性〞完成，那么不需 “分步〞，只需分类；否那么就分步处置.
举一反三
1. 5位同窗报名参与两个课外活动小组，每位同窗限报其中的一个小组，那么不同的报名方法共有〔〕 A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种
答案: 216
易错警示
【例1】植树节那天，四位同窗植树，现有三棵不同的树，那么不同的植法
结果为〔〕
A. 3！ B. 4！ C.
D3 4.
43
错解 C
错解分析在利用分步计数原理处置此题时，不少同窗搞错了事件的主体，
这里应该是把树植完，对植的树分步，而不是对人分步.有很多同窗分四步，
即得3×3×3×3= 〔种〕，3 4 错选C.
得 4 .3这是由于没有思索到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4
种夺冠能够.
考点演练
10. 某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的能够方式有——种.
解析: 由题意易知每名乘客都有5种不同的下法，根据乘法计数原理共有55...〔5种5〕10.
10个
答案: 5 1 0
学后反思对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理处置时，可以综合运用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步；也可先分步，在某一步中再分类.
举一反三 2. 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000〞到“×××××××9999〞共 10 000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4〞或 “7〞的一概作为“优惠卡〞，那么这组号码中“优惠卡〞的个数为〔〕 A解.析2:01000000个B号.4码0中06不含4、C7.5的9有08 4=4 4 09D6.〔8个3〕20，故这组号码中“优

2020版《名师导学》高考理科数学新课标总复习练习：同步测试卷(一) Word版含解析

姓名，年级：时间：2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(一) 【p285】(集合、常用逻辑用语、算法初步及框图)时间：60分钟总分：100分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝｛x|x2＋x－2≤0，x∈R｝，B＝｛x｜x＝2k,k∈Z｝,则A∩B 等于( ）A．{0，1} B．｛－2，0｝C．{－1，0} D．｛－4，－2｝【解析】集合A＝｛x｜x2＋x－2≤0，x∈R｝＝{x|－2≤x≤1}，所以A∩B＝｛－2，0}．【答案】B2．对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，<－1.1〉＝－1，那么“｜x－y|＜1"是“〈x〉＝<y〉”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由已知可得令x＝1.8,y＝0.9，满足｜x－y｜＜1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y>，而<x〉＝〈y>时，必有|x－y|＜1,所以“｜x－y|<1”是“〈x>＝〈y〉”的必要不充分条件．【答案】B3．如图所示，程序框图的功能是( )A．求错误!的前10项和B．求错误!的前10项和C．求错误!的前11项和D．求错误!的前11项和【解析】运行程序如下：S＝0＋错误!，n＝4,k＝2,S＝0＋错误!＋错误!，n＝6，k＝3,…,S＝0＋错误!＋错误!＋…＋错误!，n＝22，k＝11，所以该程序求的是错误!的前10项和．【答案】B4．已知集合A＝｛x|y＝错误!｝，B＝{x｜a≤x≤a＋1｝，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是( )A．(－∞,－3]∪［2，＋∞）B．［－1，2]C．[－2，1] D．[2，＋∞)【解析】函数y＝4－x2有意义,则4－x2≥0，据此可得：A＝{x|－2≤x≤2｝,A∪B＝A，则集合B是集合A的子集，据此有：错误!求解不等式组可得实数a的取值范围是[－2，1］．【答案】C5．下列结论错误的是（)A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题是“若x≠4，则x2－3x －4≠0”B．命题“若m〉0，则方程x2＋x－m＝0有实根"的逆命题为真命题C．“x＝4"是“x2－3x－4＝0"的充分条件D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0"的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0"【解析】逆否命题，条件、结论均否定，并交换,所以命题“若x2－3x－4＝0,则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”,故A正确；命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m〉0”，由Δ＝1＋4m≥0,解得m≥－错误!，推不出m〉0，是假命题,故B 错误;x＝4时，x2－3x－4＝0，是充分条件,故C正确;命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0"的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．【答案】B6．某班有49位同学玩“数字接龙”游戏,具体规则按如图所示的程序框图执行(其中a为座位号）,并以输出的值作为下一轮输入的值．若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（)A．8 B．15C．20 D．36【解析】输入a＝8后，满足条件，则输出a＝2×8－1＝15；输入a＝15，满足条件，则输出a＝2×15－1＝29；输入a＝29，不满足条件，a＝29－25＝4,a＝2×4＝8，输出a＝8，故第三次输出的值为8。

2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学同步测试卷 (1)

法二：由几何意义知，|A→B|就是以O→A，O→B为邻边的正方形的对角线长，所以|A→B|＝2 5.
【答案】2 5
10. 已知△ABC，其中顶点坐标分别为 A－1，1，
B1，2，C－2，－1，点 D 为边 BC 的中点，则向量A→D 在向量A→B方向上的投影为__________.
|a|cos 4 联立方程得2xx2＋＋y22y＝＝1－，2，解得xy＝＝0－1，或xy＝＝－0，1. ∴b＝(－1，0)或 b＝(0，－1).
π (2)∵A，B，C 依次成等差数列，∴B＝ 3 .
∴b＋c＝cos A，2cos2

C2－1＝(cos A，cos C)，
【解析】因为A→B＝2，1，A→C＝(－1，－2)，A→D
＝12A→B＋A→C＝12，－12，故A→B·A→D＝2×12－12＝12，由
于A→B＝ 5，所以向量A→D在向量A→B方向上的投影为
A→BA→·BA→D＝12×
1＝ 5
有：mmax＝1－2 2，nmin＝1＋2 2，(n－m)min＝4 2.
【答案】A
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将各小题的结果填在题中横线上. )
7. 已知复数 z 满足2－iz＝－3＋4i，则 z 的共轭复数是________.
【解析】因为
z
＝
－3＋4i 2－i
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】设 z1＝a＋bi，则 z2＝b＋ai，由 z1z2＝4i，可知 a2＋b2＝4，所以z1＝ a2＋b2＝2.
【答案】A
4. 如图，已知A→B＝a, A→C＝b, D→C＝3B→D， A→E＝ 2E→C，则D→E＝( )
A.34b－13a C.34a－13b

2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学第六章数列第37讲数列的综合应用

第37讲数列的综合应用夯实基础【p 78】【学习目标】1．会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题．2．掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法．【基础检测】1．执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )A .67B .37C .89D .49【解析】第一次循环后S ＝11×3＝13，i ＝2；第二次循环后S ＝11×3＋13×5＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＝25，i ＝3；第三次循环后S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＝37，此时i ＝4>3，退出循环，输出结果S ＝37. 【答案】B2．我国古代数学著作《九章算术》由如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．7【解析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则⎩⎨⎧2a 1＋d ＝2，2a 1＋17d ＝4，解得a 1＝1516，d ＝18， ∴该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15， ∵48a i ＝5M ，∴48⎣⎡⎦⎤1516＋（i －1）×18＝75，即39＋6i ＝75，解得i ＝6，【答案】A3．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还( )万元．( )A .M 10B .Mp ()1＋p 10()1＋p 10－1C .M ()1＋p 1010D .Mp ()1＋p 9()1＋p 9－1【解析】设每年应还x 万元，则x ＋x ()1＋p ＋x ()1＋p 2＋…＋x ()1＋p 9＝M ()1＋p 10，x []1－()1＋p 101－()1＋p ＝M ()1＋p 10，得x ＝Mp ()1＋p 10()1＋p 10－1.【答案】B4．设y ＝f ()x 是一次函数，若f ()0＝1，且f ()1，f ()4，f ()13成等比数列，则f ()2＋f ()4＋…＋f ()2n ＝________.【解析】由题意可设f ()x ＝kx ＋1()k ≠0，则()4k ＋12＝()k ＋1()13k ＋1，解得k ＝2，f ()2＋f ()4＋…＋f ()2n ＝()2×2＋1＋()2×4＋1＋…＋()2×2n ＋1＝2n 2＋3n.【答案】2n 2＋3n【知识要点】1．数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数．(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程．(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究．(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．2．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n ＋1的递推关系，还是S n 与S n ＋1之间的递推关系．典例剖析【p 78】考点1 等差、等比数列的综合问题例1已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这3n 个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列，所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5，即2a 6－3a 5＋a 4＝0，所以2q 2－3q ＋1＝0.因为q ≠1，所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n . (2)由题意得b n ＝a n ＋a n ＋12·3n ＝34·⎝⎛⎭⎫32n， T n ＝34·32－⎝⎛⎭⎫32n ＋11－32＝94⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1. 【点评】等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．考点2 数列与不等式的综合问题例2已知数列{}a n 中，a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋3()n ∈N *. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)数列{}b n 满足b n ＝()3n－1·n 2n ·a n ，数列{}b n 的前n 项和为T n ，若不等式()－1n λ<T n ＋n 2n －1对一切n ∈N *恒成立，求λ的取值范围．【解析】(1)由a n ＋1＝a n a n ＋3()n ∈N *，得1a n ＋1＝a n ＋3a n ＝3a n ＋1， 1a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫1a n ＋12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是以3为公比，以32为首项的等比数列，从而1a n ＋12＝32×3n －1a n ＝23n －1. (2)由(1)可知b n ＝n 2n －1. T n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋()n －1×12n －2＋n ×12n －1， T n 2＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋()n －1×12n －1＋n ×12n ，两式相减得T n 2＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n ×12n ＝2－n ＋22n ， ∴T n ＝4－n ＋22n －1，∴()－1nλ<4－22n －1，若n 为偶数，则λ<4－22n －1，∴λ<3；若n 为奇数，则－λ<4－22n －1，∴－λ<2，∴λ>－2， ∴－2<λ<3. 考点3 数列与函数的综合问题例3设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )(n ∈N *)在函数f (x )＝2x 的图象上．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .【解析】(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n . (2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的通项公式为a n b n ＝n 2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n . 【点评】数列与函数的综合的两个方面(1)以数列的特征量n ，a n ，S n 等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．考点4 数列模型及应用例4《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为( )A.6766B.3733C.72D.1011【解析】由题设⎩⎨⎧S 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4d ＝766，故由等差数列的性质可得a 5＝a 8－3d ＝6766. 【答案】A例5某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2016年年底分红后的资金为1 000万元．(1)求该企业2020年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．【解析】设a n 为(2016＋n )年年底分红后的资金，其中n ∈N *，则a 1＝2×1 000－500＝1 500，a 2＝2×1 500－500＝2 500，…，a n ＝2a n －1－500(n ≥2)．∴a n －500＝2(a n －1－500)(n ≥2)，即数列{a n －500}是首项为a 1－500＝1 000，公比为2的等比数列．∴a n －500＝1 000×2n －1， ∴a n ＝1 000×2n －1＋500.(1)a4＝1 000×24－1＋500＝8 500，∴该企业2020年年底分红后的资金为8 500万元．(2)由a n>32 500，即2n－1>32，得n>6，∴该企业从2022年开始年底分红后的资金超过32 500万元．【点评】解数列应用题的建模思路：从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：方法总结【p80】1．数列模型应用问题的求解策略(1)认真审题，准确理解题意．(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、数列性质和前n项和公式求解，或通过探索、归纳、构造递推数列求解．(3)验证、反思结果与实际是否相符．2．数列综合问题的求解程序(1)数列与函数综合问题或应用函数思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列理论求解．(2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征，建立数列的递推关系式，然后求解问题．走进高考【p80】1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：x ×（1－27）1－2＝381，解得x ＝3，即塔的顶层共有灯3盏．【答案】B2．(2017·山东)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n ＋1(x n ＋1, n ＋1)得到折线P 1 P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T .【解析】(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知q >0，因为⎩⎨⎧x 1＋x 2＝x 1（1＋q ）＝3，x 3－x 2＝x 1q （q －1）＝2，所以q ＝2，x 1＝1，因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1. (2)过P 1，P 2，P 3，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，Q 3，…，Q n ＋1，由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1. 记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n .由题意b n ＝（n ＋n ＋1）2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2，① 又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1，② ①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2（1－2n －1）1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝（2n －1）×2n ＋12. 考点集训【p 217】A 组题1．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－2【解析】∵曲线的顶点是(1，2)，∴b ＝1，c ＝2，又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.【答案】B2．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数量为{a n }，则⎩⎨⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2，∴数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n －1＝1×2n －1，a n ＝2n －1＋1，故6小时后细胞的存活数是a 7＝27－1＋1＝65. 【答案】B3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)( )A ．2021年B ．2020年C ．2019年D ．2018年【解析】设第n 年开始超过200万元，则130×()1＋12%n －2 015>200，化为(n －2015)lg1.12>lg 2－lg 1.3，n －2 015>0.30－0.110.05＝3.8，取n ＝2 019，因此开始超过200万元的年份是2019年．【答案】C4．已知函数f (x )＝cos x ，x ∈()0，2π有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m ()m ≠0有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32【解析】由题意可知：x 1＝π2，x 2＝3π2，且x 3，x 4只能分布在x 1，x 2的中间或两侧，若x 3，x 4分布在x 1，x 2的中间，则公差d ＝3π2－π23＝π3，故x 3，x 4分别为5π6、7π6，此时可求得m ＝cos 5π6＝－32；若x 3，x 4分布在x 1，x 2的两侧，则公差d ＝3π2－π2＝π，故x 3，x 4分别为－π2、5π2，不合题意．【答案】D5. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最大的一份为__________．【解析】设每人所得面包数构成等差数列{a n } ，公差d <0.由题意得⎩⎨⎧17()a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，5a 1＋5×()5－12d ＝100，即⎩⎨⎧11a 1＋46d ＝0，a 1＋2d ＝20，解得a 1＝1153 . 【答案】11536．设数列{a n }中， a 1＝2, a n ＋1＝2a n ＋1， b n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1， n ∈N *，则数列{}b n 的通项公式为b n ＝__________．【解析】因为b n ＋1b n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1＋2a n ＋1－1⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a n ＋1＋22a n ＋1－1⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a n ＋41－a n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1＝2，所以数列{}b n 为以b 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋22－1＝4为首项，2为公比的等比数列，即b n ＝b 1·2n －1＝2n ＋1. 【答案】2n ＋1 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，并求a n ；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和为T n ，求证：T n <4. 【解析】(1)因为S n ＝－12n 2＋kn ＝－12(n －k )2＋k 22，又因为k ∈N *，所以当n ＝k 时，(S n )max ＝S k ＝k 22＝8，解得k ＝4，这时S n ＝－12n 2＋4n ；所以a 1＝S 1＝－12×12＋4×1＝72，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n ＋92，又a 1＝S 1＝72也适合这个公式，所以a n ＝－n ＋92. (2)设b n ＝9－2a n 2n ＝n 2n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n 2n －1，① 所以12T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，② ①－②得12T n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n 2n ＝2－22n －n 2n ＝2－n ＋22n ，所以T n ＝4－n ＋22n －1. 8．设正数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)若数列b n ＝a n ＋32，设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项的和，求T n .(3)若T n ≤λb n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．【解析】(1)∵正数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1， ∴a 1＝1，S n ＝S n －1＋a n ＝S n －1＋2S n －1，∴S n －1＝(S n －1)2， ∴S n －S n －1＝1， ∴S n ＝1＋n －1＝n ，∴S n ＝n 2，∴a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，2n －1＝1＝a 1，∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝a n ＋32＝2n －1＋32＝n ＋1， ∴1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4. (3)T n ≤λb n ＋1对一切n ∈N *恒成立，∴n 2n ＋4≤λ(n ＋2)， ∴λ≥n 2（n 2＋4n ＋4）＝12×1n ＋4n＋4恒成立， ∵12×1n ＋4n ＋4≤12×12n ·4n ＋4＝116，当且仅当n ＝2时取等号，故实数λ的最小值为116. B 组题1．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(2，2n ＋1)处的切线与x 轴交点的横坐标为a n ，则数列{(n ＋1)a n }的前n 项和为( )A ．n 2－1B ．n 2＋1C ．n 2－nD ．n 2＋n【解析】y ＝x n ＋1，则y ′＝(n ＋1)x n ，所以曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(2，2n ＋1)处的切线斜率为(n ＋1)2n ，则切线方程为y ＝(n ＋1)2n (x －2)＋2n ＋1，即y ＝(n ＋1)2n x －n ·2n ＋1.令y ＝0，可得x ＝2n n ＋1，所以a n ＝2n n ＋1，则(n ＋1)a n ＝2n ，所以数列{(n ＋1)a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，则其前n 项和为2＋2n 2×n ＝n 2＋n . 【答案】D2．设等比数列{a n }满足公比q ∈N *，a n ∈N *，且{a n }中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a 1＝281，则q 的所有可能取值的集合为________．【解析】根据题意得对任意n 1，n 2∈N *有n ∈N *，使a n ＝an 1an 2281q n －1＝281qn 1－1·281qn 2－1，即q ＝281n －n 1－n 2＋1，因为q ∈N *，所以81n －n 1－n 2＋1是正整数1、3、9、27、81，q 的所有可能取值的集合为{2，23，29，227，281}．【答案】{2，23，29，227，281}3．已知正项等比数列{a n }的公比q >1，且满足a 2＝6, a 1a 3＋2a 2a 4＋a 3a 5＝900，设数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式λa n ≤1＋S n 对一切n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．【解析】由等比数列的性质可得a 22＋2a 2a 4＋a 24＝900，即a 2＋a 4＝30，再结合a 2＝6可得a 4＝24，则公比q ＝a 4a 2＝2，所以a n ＝6·2n －2＝3·2n －1，S n ＝3()2n －12－1＝3·2n －3，故原不等式可化为3λ·2n －1≤3·2n －2，即λ≤2－23·2n －1，又因为F ()n ＝2－23·2n －1≥2－23＝43，所以λ≤43. 【答案】43 4．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *，点()a n ，S n 都在函数f ()x ＝12x 2＋12x 的图象上． (1)求数列{a n }的首项a 1和通项公式a n ；(2)若数列{}b n 满足log 2b n ＝n ＋log 2()2a n －1()n ∈N *，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(3)已知数列{}c n 满足c n ＝4n －6T n －6－1a n a n ＋1()n ∈N *.若对任意n ∈N *，存在x 0∈⎣⎡⎦⎤－12，12，使得c 1＋c 2＋…＋c n ≤f (x )－a 成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由题知，当n ＝1时， S 1＝12a 21＋12a 1，所以a 1＝1. S n ＝12a 2n ＋12a n ，所以S n ＋1＝12a 2n ＋1＋12a n ＋1，两式相减得到 (a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0，因为正项数列{a n }，所以a n ＋1－a n ＝1，数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，所以b n ＝(2n －1)·2n ，n ∈N *，因此T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －1)×2n ，① 2T n ＝1×22＋3×23＋…＋(2n －1)×2n ＋1，② 由①－②得到－T n ＝1×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1 ＝2＋2×22（1－2n －1）1－2－(2n －1)×2n ＋1 ＝－6＋(3－2n )×2n ＋1 所以T n ＝6＋(2n －3)×2n ＋1. (3)由(2)知T n ＝6＋()2n －3×2n ＋1，所以c n ＝4n －6T n －6－1a n a n ＋1＝12n －1n ()n ＋1 ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1. 令M n 为{}c n 的前n 项和，易得M n ＝1n ＋1－12n . 因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时， c n ＝1n ()n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ()n ＋12n －1，而n ()n ＋12n －()n ＋1()n ＋22n ＋1＝()n ＋1()n －22n ＋1>0，得到()n ＋1n2n ≤5×()1＋525<1，所以当n ≥5时， c n <0，所以M n ≤M 4＝14＋1－124＝15－116. 又x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12， f ()x －a ＝12x 2＋12x －a 的最大值为38－a . 因为对任意的n ∈N *，存在x 0∈⎣⎡⎦⎤－12，12，使得M n ≤f ()x －a 成立．所以15－116≤38－a ，由此a ≤1980.。

高三数学(理科)一轮复习全套导学案(完整版)

高三数学理科复习1----集合的概念及运算【高考要求】：集合及其表示（A ）；子集（B ）；交集、并集、补集（B ）. 【教学目标】: 1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集（不要求证明集合的相等关系、包含关系）.了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义；会求两个简单集合的并集与交集. 理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集. 会用Venn 图表示集合的关系及运算. 课前预习:1、用适当的符号（),,,,⊃⊂=∉∈填空：{}{}{}.,12___,12;___;____14.3;___*z k k x x Z k k x x N N Q Q ∈-=∈+=π2、用描述法表示下列集合：（1）由直线y=x+1上所有点的坐标组成的集合； . （2）{}49,36,25,16,9,4,1,0------- . 3、集合A={}c b a ,,的子集个数为_____________,真子集个数为 . 4、若,B B A = 则A____B; 若A B=B,则A______B; A B_____A B.5、已知集合A={}a ,3,1,B={}1,12+-a a ，且B ⊆A,则a =_________________. 6、设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M 与N 的关系是___. 例题评析:例1、已知集合{}620≤+<=ax x A ，{}421≤<-=x x B （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）A,B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由.例2、（1）已知R 为实数集，集合{}0232≤+-=x x x A .若 B R A C R =，{}0123R B C A x x x =<<<<或，求集合B;(2)已知集合{}0,a M =,{}Z x x x x N ∈<-=,032,而且{}1=N M ，记,N M P =写出集合P 的所有子集.例3、已知集合(){}02,2=+-+=y mx x y x A ，(){}20,01,≤≤=+-=x y x y x B ，如果φ≠B A ，求实数m 的范围.课后巩固：1、已知集合{}a a a A ++=22,2，若3A ∈，则a 的值为 .2、已知A={}R x x x y y A ∈--==,122,{}82<≤-=x x B ,则集合A 与B 的关系是____.3、设{}0962=+-=x ax x M 是含一个元素的集合，则a 的值为__________________.4、设{}03522=--=x xx M ，{}1==mx x N .若M N ⊂，则实数m 的取值集合为_____. 5、设集合{}Z x x x I ∈<=,3，{}2,1=A ，{}2,1,2--=B ，则()=B C A I ___________. 6、已知集合{}3<=x x M ，{}1log 2>=xx N ，则N M =_______________________.7、设集合(){}32log ,5+=a A ，集合{}b a B ,=.若{}2=B A ，则B A =_______________. 8、设集合{}30≤-≤=m x x A ，{}30><=x x x B 或分别求满足下列条件的实数m 的取值范围.(1);φ=B A (2)A B A = .9、设{}042=+=x x x A ，{}01)1(222=-+++=a x a x x B (1)若B B A = ，求a 的值；（2）若B B A = ，求a 的值.矫正反馈:高三数学理科复习2----函数的概念【高考要求】：函数的有关概念(B).【教学目标】理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则）,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. 【教学重难点】：函数概念的理解. 【知识复习与自学质疑】1、设集合M= {}02x x ≤≤，N= {}02y y ≤≤，从M 到N 有五种对应如下图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有 ____. 2、函数0y=的定义域 ____________.3、函数21()lg()1f x x R x =∈+的值域为 _. 4、若函数(1)f x +的定义域为[]0,1，则函数(31)f x -的定义域为 _. 5、已知2(2)443()f x x x x R +=++∈，则函数()f x 的值域为 . 【交流展示与互动探究】例1、求下列函数的定义域:(1) 12y x =-y = （3）已知()f x 的定义域为[]0,1，求函数24()()3y f x f x =++的定义域.例2、若函数y =R ，求函数a 的取值范围.例3、求下列函数的值域：(1) 242y x x =-+- [)0,3x ∈ (2) y x =+221223x x y x x -+=-+【矫正反馈】(A)1、从集合{}0,1A =到集合{},,B a b c =的映射个数共有个.(A)2、函数y 的值域为 ____________. (A)3、函数(32)(21)log x x y --=的定义域为 ________________.(A)4、设有函数组：①211()x x f x --=，()1g x x =+；②()f x =()g x =③()f x ()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-。

2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学第二章第5讲

)
A．(－1，1) C．[－1，1)
B．[－1，1] D．(－1，1]
【解析】由题意可得x－＋x12－>03，x＋4>0，解得－1 ＜x＜1，
所以函数 y＝－f（xx2－＋31x）＋4的定义域为(－1，1)．
【答案】A
(3)已知函数 y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]，则函数 y＝f(x)的定义域为________．
考点 3 函数的解析式
例3(1)已知函数 f(x)＝x2＋2x－1，函数 y＝g(x)为一次函数，若 g(f(x))＝2x2＋4x＋3，则 g(x)＝________．
【解析】由题意，函数 y＝g(x)为一次函数，由待定系数法，设 g(x)＝kx＋b (k≠0)，g(f(x))＝k(x2＋2x－ 1)＋b＝kx2＋2kx＋b－k＝2x2＋4x＋3，
第二章函数
第 5 讲函数及其表示
【学习目标】 1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式； 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数； 3．了解简单的分段函数，并能简单应用； 4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．
【解析】因 f(－2)＝－2－1＝3，故 f(f(－2))＝ f(3)＝33＝27；当 a>1 时， f(a)＝3a＝2⇒a＝log32<1，不合题设；当 a≤1 时， f(a)＝a－1＝2⇒a＝－1 或 a＝3(舍去) ．
【答案】27；－1
(2)已知函数 f(x)＝2xx＋，1x，>x0≤，0，若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等于( )
(3)下列各组函数中，fx与 gx相等的是( ) A．fx＝x－1，gx＝xx2－1 B．fx＝ x2，gx＝x C．fx＝x，gx＝ x2 D．fx＝ln x2，gx＝2ln x

2020年高考人教A版理科数学一轮复习(全册PPT课件 1520张)

人教A版数学（理科）一轮
2020版高考全册精品 PPT课件
第1章集合与常用逻辑用语第一节集合第二节命题及其关系、充分条件与必要条件第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2章函数、导数及其应用第一节函数及其表示第二节函数的单调性与最值第三节函数的奇偶性与周期性第四节二次函数与幂函数第五节指数与指数函数第六节对数与对数函数第七节函数的图象
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
23 答案
2 ． ( 教材改编 ) 若集合 A ＝ D [由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ {x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结 2，知 a∉A.] 论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解2析4 答案
22
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
第8章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第二节两条直线的位置关系第三节圆的方程第四节直线与圆、圆与圆的位置关系第五节椭圆
第1课时椭圆的定义、标准方程及其性质第2课时直线与椭圆的位置关系
第六节双曲线第七节抛物线第八节曲线与方程第九节圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题高考大题增分课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
第9章算法初步、统计与统计案例第一节算法与程序框图第二节随机抽样第三节用样本估计总体第四节变量间的相关关系与统计案例

2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学第六章数列 (3)

为非零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列. (2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0 且 a2n＋1＝an·an＋2(n
∈N*)，则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q
均是不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列. (4)前 n 项和公式法：若数列{an}的前 n 项和 Sn＝k·qn－
＝2. 故 an＝(－2)n－1 或 an＝2n－1. (2)若 an＝(－2)n－1，则 Sn＝1－（3－2）n. 由 Sm＝63 得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解. 若 an＝2n－1，则 Sn＝2n－1.由 Sm＝63 得 2m＝64，
解得 m＝6.
综上，m＝6.
A 组题 1. 在等比数列{an}中，a1＝12，q＝12，an＝614，则项数 n 为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
4. 各项都是实数的等比数列{an}中，其前 n 项和记为 Sn，若 S10＝10，S20＝30，则 S30 等于( )
A. 50 B. 60 C. 70 D. 90
【解析】∵在等比数列中，S10＝10，S20＝30，由等比数列的性质，得： S10，S20－S10，S30－S20 成等比数列， ∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)， ∴(30－10)2＝10(S30－30)，解得 S30＝70.
1. (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记 Sn 为{an}的前 n 项和. 若 Sm＝63，求 m.
【解析】(1)设{an}的公比为 q，由题设得 an＝qn－1. 由已知得 q4＝4q2，解得 q＝0(舍去)，q＝－2 或 q

2020新课标高考第一轮总复习数学(课件课时规范练) (7)

新课标高考第一轮总复习•数学(文)
题型二简单的线性规划问题简单的线性规划问题在实际生活、生产中的应用非常广泛，是历年高考必考的内容之一．高考中三种题型都有出现，主要以选择题、填空题为主，试题多为低中档题目，命题的重点主要有四个：一是不等式组所表示的平面区域问题；二是简单的线性规划问题的最优解问题，即求解目标函数的最值问题，这也是历年高考命题的热点；三是简单的线性规划在实际中的应用；四是简单线性规划与其他知识模块的综合．
新课标高考第一轮总复习•数学(文)
跟踪训练 (2018·成都检测)若关于 x 的不等式 x2＋2ax＋1≥0 在[0，＋∞)上恒成立，
则实数 a 的取值范围为( )
A ．(0，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．[－1,1]
D ．[－1，＋∞)
新课标高考第一轮总复习•数学(文)
解析：当x＝0时，不等式x2＋2ax＋1≥0，显然对任意a∈R恒成立；当x>0时，a≥ －1＋2xx2＝－12x＋1x恒成立，因为－12x＋1x≤－12×2＝－1(当且仅当x＝1时不等式取等号)，所以a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1，＋∞)．故)
题型三推理与证明逻辑推理是数学六大核心素养之一，推理论证能力是高考考查的基本能力之一，它渗透在高中数学的每个模块中，每个知识点的形成、每道试题的分析与解答都是一个严密的推理论证过程．高考命题的重点主要有三个方面：一是演绎推理，主要考查其推理的思维过程，常以现实生活中的一些推理为背景的形式出现；二是归纳推理，根据已知的结论归纳相应的规律，并写出对应的结果；三是考查证明，以函数、数列、立体几何等知识为背景，主要以解答题的形式出现．
两点，O是坐标原点．
(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；

2020高考全国卷一轮复习理科数学(所有内容)

集合的并集!$# 集合的交集!## 集合的补集0*!
图形表示
知识梳理
一集合与元素 !$集合中元素的三个特性&! ! ! !'! ! ! !' !!!!$
意义 !""")!或")#" !""")!且")#" !""")* 且"*!"
四常见结论与等价关系 !##$!1!!!!(!$#$!1!!!!( $0*!%$!$!!!!(0* $0*!%$!!!!$
$#%#(!0佛山调研若集合!$!!##"##$!$"#+%"")
!#+)!"#则集合# 中元素的个数为
$!!%
)!*!!!!!!+!*!#! !!!!,!*!&! !!!!-*'
$&%#(!0全国卷!已知集合 !$!$"#+%""#2+#(&#
"))#+))"#则! 中元素的个数为
$!!%
等价转换常使较复杂的集合运算变的简单$
4
4
!!"
222222222222222222222 第一章!集合与常用逻辑用语
#!!! 命题及充要条件
激活思维
!" 选修! !"'练习#改编下列命题中#真命题是 $!!% )* 命题)若(0&10#则(&1* +* 命题)若"$&#则"#$3*的逆命题 ,* 命题)若"&##则"#%&"2#&(*的否命题 -* 命题)相似三角形的对应角相等*的逆否命题

2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学同步测试卷 (15)

2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(十) 【p 303】(不等式的性质、解法及线性规划) 时间：60分钟总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列不等式中，正确的是( ) A ．若a>b ，c>d ，则a ＋c>b ＋d B ．若a>b ，则a ＋c<b ＋c C ．若a>b ，c>d ，则ac>bdD ．若a>b ，c>d ，则a c >bd【解析】若a>b ，则a ＋c>b ＋c ，故B 错，设a ＝3，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac<bd ，a c <bd，所以C 、D 错，故选A .【答案】A2．若关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a<0)的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，且x 2－x 1＝52，则a ＝( )A ．－ 2B ．－ 5C ．－52D ．－32【解析】x 2－x 1＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝a 2＋24a 2＝52，又a<0，∴a ＝－ 2.【答案】A3．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y ＋1的最小值是( )A ．－14B ．1C ．－5D ．－9【解析】作出不等式组⎩⎨⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0表示的平面区域，如图所示的阴影部分，由z ＝2x ＋4y ＋1可得y ＝－12x ＋z 4－14，则z 4－14表示直线y ＝－12x ＋z 4－14在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当y ＝－12x ＋z 4－14经过点A 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0，x －y ＝0可得A ⎝⎛⎭⎫－52，－52，此时z ＝－2×52－4×52＋1＝－14. 【答案】A4．若a>1，b>1，ab ＝a ＋b ＋1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．32＋3 B ．32－3 C ．3＋13 D ．7【解析】由ab ＝a ＋b ＋1得a ＝b ＋1b －1＝1＋2b －1，所以a ＋2b ＝1＋2b －1＋2b ＝3＋2b －1＋2(b －1)≥3＋22b －1×2（b －1）≥3＋2×2＝7(当a ＝3，b ＝2时取等号)，即最小值为7.【答案】D5．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元【解析】设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为 4 m 3，高为 1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x·4x ＝160(当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号)．所以该容器的最低总造价为160元．【答案】C6．点M(x ，y)在曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0上运动，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ，且t 的最大值为b ，若a ，b ∈R ＋，则1a ＋1＋1b的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】曲线C ：x 2－4y ＋y 2－21＝0可化为(x －2)2＋y 2＝25，表示圆心为A (2，0)，半径为5的圆．t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ＝(x ＋6)2＋(y －6)2－222－a ，(x ＋6)2＋(y －6)2可以看作点M 到点N (－6，6)的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为|AN |＋5，即点M 是直线AN 与圆C 的离点N 最远的交点，所以直线AN 的方程为y ＝－34(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34（x －2），（x －2）2＋y 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝6，y 1＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 1＝3(舍去)，∴当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－3时，t 取得最大值，且t max ＝(6＋6)2＋(－3－6)2－222－a ＝b ，∴a ＋b ＝3，∴(a ＋1)＋b ＝4， ∴1a ＋1＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b [(a ＋1)＋b ]＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋1＋a ＋1b ＋2≥1，当且仅当ba ＋1＝a ＋1b ，且a ＋b ＝3，即a ＝1，b ＝2时等号成立．【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．不等式1－2xx ＋3≥1的解集为________．【解析】不等式1－2x x ＋3≥1⇔3x ＋2x ＋3≤0⇔(3x ＋2)(x ＋3)≤0且x ≠－3⇔－3＜x ≤－23，即不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－3，－23. 【答案】⎝⎛⎦⎤－3，－23 8．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则(x ＋1)2＋y 2的最大值为________．【解析】根据约束条件画出可行域，z ＝(x ＋1)2＋y 2表示(－1，0)到可行域内的点的距离的平方，当在区域内点A 时，距离最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0，x ＝3，可得A(3，8)，此时最大距离4 5. 即(x ＋1)2＋y 2的最大值为(45)2＝80. 【答案】809．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[]1，5上有解，则a 的取值范围是__________．【解析】由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[]1，5上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－235.【答案】⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 10．如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0，kx －my ≤0，y ≥0表示的平面区域的面积是________．【解析】∵M ，N 两点关于直线x ＋y ＝0对称， ∴直线y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直，∴k ＝1，且圆心⎝⎛⎭⎫－k 2，－m2在直线x ＋y ＝0上， ∴－k 2－m2＝0，∴m ＝－1，∴原不等式组变为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域，△AOB 为不等式所表示的平面区域，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝x ＋1，解得B ⎝⎛⎭⎫－12，12，A(－1，0)，所以S △AOB ＝12×|－1|×12＝14.【答案】14三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)已知f(x)＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f(x)<0的解集为(0，5)． (1)求实数b ，c 的值；(2)若对任意的x ∈[－1，1]，不等式f(x)＋t ≤2恒成立，求实数t 的取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝2x 2＋bx ＋c ，所以不等式f(x)<0即2x 2＋bx ＋c<0，因为不等式2x 2＋bx ＋c<0的解集为(0，5)，所以方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根为0和5，所以⎩⎨⎧0＋5＝－b2，0×5＝c 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10，c ＝0.(2)法一：由(1)知：f(x)＝2x 2－10x ，所以“对任意的x ∈[－1，1]，不等式f(x)＋t ≤2恒成立”等价于“对任意的x ∈[－1，1]，不等式2x 2－10x ＋t ≤2恒成立”，即对任意的x ∈[－1，1]，不等式t ≤－2x 2＋10x ＋2恒成立，所以t ≤(－2x 2＋10x ＋2)min ，x ∈[－1，1]，令g(x)＝－2x 2＋10x ＋2，x ∈[－1，1]，则g(x)＝－2⎝⎛⎭⎫x －522＋292，所以g(x)＝－2x 2＋10x ＋2在x ∈[－1，1]上为增函数，所以g(x)min ＝g(－1)＝－10，所以t ≤－10，故实数t 的取值范围是(－∞，－10]．法二：由(1)知：f(x)＝2x 2－10x ，所以“对任意的x ∈[－1，1]，不等式f(x)＋t ≤2恒成立”等价于“对任意的x ∈[－1，1]，不等式2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立”，令g(x)＝2x 2－10x ＋t －2，x ∈[－1，1]，则g(x)max ≤0，x ∈[－1，1]，因为g(x)＝2x 2－10x ＋t －2在[－1，1]上为减函数，所以g(x)max ＝g(－1)＝10＋t ≤0，所以t ≤－10.故实数t 的取值范围是(－∞，－10]．12．(16分)甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．【解析】(1)根据题意，200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3，10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500.13．(16分)在平面直角坐标系中，已知射线y ＝3x(x ≥0)与射线y ＝－3x(x ≥0)，过点M(1，0)作直线l 分别交两射线于点A ，B(不同于原点O)．(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l 的方程； (2)求|MA|2＋|MB|2的最小值．【解析】(1)设A(a ，3a)，B(b ，－3b)(a ，b>0)，因为A ，B ，M 三点共线，所以MA →与MB →共线，因为MA →＝(a －1，3a)，MB →＝(b －1，－3b)，所以－3b(a －1)－3a(b －1)＝0，得a ＋b ＝2ab ，即1a ＋1b＝2，|OA|＋|OB|＝2a ＋2b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba ≥4，当且仅当a ＝b ＝1时取得等号，此时直线l 的方程为x ＝1.(2)|MA|2＋|MB|2＝(a －1)2＋3a 2＋(b －1)2＋3b 2＝4(a 2＋b 2)－2(a ＋b)＋2＝4(a ＋b)2－2(a ＋b)－8ab ＋2＝4(a ＋b)2－6(a ＋b)＋2＝4⎝⎛⎭⎫a ＋b －342－14，因为由a ＋b ＝2ab ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时取得等号，所以当a ＋b ＝2时，|MA|2＋|MB|2取最小值6.。

(课标通用)2020版高考数学大一轮复习第一章 1 第一节集合课件理

A∩B= {x|x∈A,且x∈B}
∁UA= {x|x∈U,且x∉A}
4.集合的运算性质
并集的性质: A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔ B⊆A . 交集的性质: A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔ A⊆B . 补集的性质: A∪(∁UA)= U ;A∩(∁UA)= ⌀ ;∁U(∁UA)= A .
第一节集合
1.元素与集合
教 2.集合间的基本关系材研 3.集合的基本运算读 4.集合的运算性质
考考点一集合的概念
点突
考点二集合间的基本关系
破考点三集合的基本运算
教材研读
1.元素与集合
(1)集合元素的特性:① 确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系:若a属于集合A,记作② a∈A ;若b不属于集合 A,记作③ b∉A . (3)集合的表示方法:④ 列举法、描述法、图示法.
1-2
已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则log2
018
m
的 52值为
.
答案 0
解析因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3.
此时集合A中有重复元素3,所以m=1不符合题意,舍去.
当2m2+m=3时,解得m=-3 或m=1(舍去).
2
当m=-32
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”) (1)若{x2,1}={0,1},则x=0,1. ( ✕ ) (2){x|x≤1}={t|t≤1}. ( √ ) (3){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}. ( ✕ ) (4)任何一个集合都至少有两个子集. ( ✕ ) (5)若A⫋B,则A⊆B且A≠B. ( √ ) (6)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立. ( √ ) (7)若A∩B=A∩C,则B=C. ( ✕ )

2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学同步测试卷 (3)

A.32 B.94 C.3112 D.3118
ห้องสมุดไป่ตู้
【解析】∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n，① 当 n≥2 时， a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(2n－3)·3n－1，② 由①－②得 nan＝4n·3n－1，即 an＝4·3n－1. 当 n＝1 时，a1＝3≠4，
2 S1＝a1＋1 a1＝1，an＝2n－1，由 b1，b2，bm 成等差数列，可得 bm＝2b2－b1，2m2m－－1＋1 t＝3＋6 t－1＋1 t，分离 m 化简得 m＝3＋t－4 1，故(t，m)＝(2，7)，(3，5)，(5，4)， mt max＝54.
【答案】D
6. 已知数列{an}满足 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n －1)·3n.设 bn＝4ann ，Sn 为数列{bn}的前 n 项和. 若 Sn＜ λ (常数)，n∈N*，则 λ 的最小值是( )
＝1－2×22n－－11＋(2n－1)·2n，
∴Tn＝3＋(2n－3)·2n，n∈N*.
13. (18 分)设函数 f(x)＝x2－(3k＋2k)x＋3k·2k，x∈
R. (1)若 f(1)≤0，求实数 k 的取值范围； (2)若 k 为正整数，设 f(x)≤0 的解集为[a2k－1，a2k]，
求 a1＋a2＋a3＋a4 及数列{an}的前 2n 项和 S2n；
【解析】等差数列的首项为 a1＝2，设公差为 d，由 a8＝a1＋7d，a10＝a1＋9d， ∵a8＋a10＝28，即 4＋16d＝28，得 d＝32，那么 S9＝2×9＋9×2 8×32＝72.
【答案】B
3. “今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚 7.875 尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”，两鼠相逢需要的天数为( )

2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学第二章第12讲

4．在图象变换中，写函数解析式，也要分步进行，每经过一个变换，对应一个函数解析式．
5．合理处理好识图题：对于给定的函数图象，要从图象的左右、上下范围，端点、特殊点情况，以及图象所反映出的定义域、值域、极值、单调性、奇偶性、对称性、周期性等函数性质多方面进行观察分析，结合题给条件，进行合理解答．
－3x＋15，（3<x≤5）. 画出图象如选项 A 所示．
【答案】A
【点评】函数图象的识别可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
【解析】∵x≠0，f(－x)＝e－xx－2 ex＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，舍去 A； ∵f(1)＝e－e－1>0，∴舍去 D； ∴f′(x)＝（ex＋e－x）x2－x4 （ex－e－x）2x ＝（x－2）ex＋x3（x＋2）e－x， ∴当 x>2，f′(x)>0，所以舍去 C；因此选 B.
【答案】C
(2)函数 y＝(3x2＋2x)ex 的图象大致是( )
【解析】f(x)＝(3x2＋2x)ex，则函数 f(x)只有两个零点，x＝－23和 x＝0，故排除 B、D．
f′(x)＝(3x2＋8x＋2)ex，由 f′(x)＝0 可知函数有两个极值点，故排除 C．
【答案】A
(3)如图所示，在直角梯形 ABCD 中，∠A＝90°，∠B ＝45°，AB＝5，AD＝3，点 E 由 B 沿折线 B－C－D 向点 D 移动，EM⊥AB 于 M，EN⊥AD 于 N，设 BM＝x，矩形 AMEN 的面积为 y，那么 y 与 x 的函数关系图象大致是如图所示的( )

2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学同步测试卷 (13)

2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(五) 【p 293】(导数及其应用)时间：60分钟总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数y ＝x sin x ＋x 的导数是( )A ．y′＝sin x ＋x cos x ＋12xB ．y′＝sin x －x cos x ＋12xC ．y′＝sin x ＋x cos x －12xD ．y′＝sin x －x cos x －12x【解析】f′(x)＝(x)′sin x ＋x(sin x)′＋()x 12′＝sin x ＋x cos x ＋12x －12＝sin x ＋x cos x ＋12x. 【答案】A2．已知a 为函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．4D ．2【解析】f′()x ＝3x 2－12＝3()x ＋2()x －2，令f′()x ＝0得x ＝－2或x ＝2，易得f ()x 在()－2，2上单调递减，在()2，＋∞上单调递增，故f ()x 的极小值点为2，即a ＝2.【答案】D3．定积分⎠⎛－a a a 2－x 2d x 等于( ) A .14πa 2 B .12πa 2 C ．πa 2 D ．2πa 2【解析】由题意可知定积分表示半径为a 的半个圆的面积，所以S ＝12(πa 2)＝12πa 2. 【答案】B4．直线y ＝kx ＋1与曲线f(x)＝a ln x ＋b 相切于点P(1，2)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．4C ．3D ．2【解析】由f(x)＝a ln x ＋b ，得f′(x)＝a x， ∴f′(1)＝a.再由直线y ＝kx ＋1与曲线f(x)＝a ln x ＋b 相切于点P(1，2)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝a ，k ＋1＝b ，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，a ＝1，b ＝2，∴a ＋b ＝3.【答案】C5．已知函数y ＝f(x)是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f （x ）x>0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】由已知得f ′（x ）·x ＋f （x ）x >0，得（xf （x ））′x>0，得(xf (x ))′与x 同号，令g (x )＝xf (x )．则可知g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且g (0)＝0，又由xf (x )＋1x ＝0，即g (x )＝－1x ，显然y ＝g (x )的图象与y ＝－1x的图象只有一个交点，选B.【答案】B6．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)<x 2－1成立的实数x 的取值范围是( )A ．{x |x ≠±1}B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－1，0)∪(0，1)【解析】f (x )是R 上的偶函数，则函数g (x )＝x 2f (x )－x 2也是R 上的偶函数，对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )－2]．当x ≥0时，g ′(x )<0，当x <0时，g ′(x )>0，即偶函数g (x )在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减，不等式x 2f (x )－f (1)<x 2－1即x 2f (x )－x 2<12f (1)－12，据此可知g (x )<g (1)，则x <－1或x >1.即实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x(千台)的函数y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x(千台)的函数y 2＝2x 3－x 2，已知x>0，为使利润最大，应生产________(千台)．【解析】由题意，利润y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3(x ＞0)．y′＝36x －6x 2，由y′＝36x －6x 2＝6x(6－x)＝0，得x ＝6(x ＞0)，当x ∈(0，6)时，y′＞0，当x ∈(6，＋∞)时，y′＜0.∴函数在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数．则当x ＝6(千台)时，y 有最大值为216(万元)．【答案】68．曲线y ＝2x 与直线y ＝－x ＋3及x 轴围成的图形的面积为________．【解析】由曲线y ＝2x 与直线y ＝－x ＋3及x 轴围成的图形的面积为⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(－x ＋3)d x ＝43x 32|10＋⎝⎛⎭⎫－12x 2＋3x |31＝43＋2＝103.【答案】1039．若函数f(x)＝x 3－ax 2＋3x －4a 3在(－∞，－1)，(2，＋∞)上都是单调增函数，则实数a 的取值集合是________．【解析】由f′(x)＝3x 2－2ax ＋3，(1)当Δ＝4a 2－36≤0⇒－3≤a ≤3时，f(x)在R 上为增函数，满足条件；(2)当Δ＝4a 2－36>0⇒a <－3或a >3时，由⎩⎪⎨⎪⎧－1<a 3<2⇒－3<a <6，f ′（－1）≥0⇒a ≥－3，f ′（2）≥0⇒a ≤154，∴3<a ≤154， ∴综合得a 的取值集合是⎣⎡⎦⎤－3，154. 【答案】⎣⎡⎦⎤－3，15410．若不等式|mx 3－ln x |≥1(m >0)，对∀x ∈(0，1]恒成立，则实数m 的取值范围是__________________．【解析】不等式|mx 3－ln x |≥1(m >0)，对∀x ∈(0，1]恒成立，等价为mx 3－ln x ≥1或mx 3－ln x ≤－1，即m ≥1＋ln x x 3或m ≤ln x －1x 3，记f (x )＝1＋ln x x 3，g (x )＝ln x －1x 3，则f ′(x )＝1x ·x 3－3x 2（1＋ln x ）x 6＝－2－3ln x x 4，由f ′(x )＝－2－3ln x x 4＝0，解得ln x ＝－23，即x ＝e －23，由f (x )>0，解得0<x <e －23，此时函数单调递增，由f (x )<0，解得x >e －23，此时函数单调递减，即当x ＝e －23时，函数f (x )取得极大值，同时也是最大值f (e －23)＝1＋ln e －23（e －23）3＝1－23e －2＝13e 2，此时m ≥13e 2；由g (x )＝ln x －1x 3， ∵当x ＝1时，ln x －1x 3＝0， ∴当m >0时，不等式m ≤ln x －1x 3不恒成立，综上，m ≥13e 2.【答案】⎣⎡⎭⎫e 23，＋∞三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)已知函数f(x)＝e x －2x.(1)求曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－a ，x ∈[－1，1]恰有2个零点，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵f(x)＝e x －2x ，∴f′(x)＝e x －2.∴f′(0)＝－1，又f(0)＝1，∴曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.(2)由题意得g(x)＝e x －2x －a ，∴g′(x)＝e x －2，由g′(x)＝e x －2＝0解得x ＝ln 2，故当－1≤x<ln 2时，g′(x)<0，g(x)在[－1，ln 2)上单调递减；当ln 2<x ≤1时，g′(x)>0，g(x)在(ln 2，1]上单调递增．∴g(x)min ＝g(ln 2)＝2－2ln 2－a ，又g(－1)＝e －1＋2－a ，g(1)＝e －2－a ，结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝e －1＋2－a ≥0，g （1）＝e －2－a ≥0，g （ln 2）＝2－2ln 2－a<0，解得2－2ln 2<a ≤e －2.∴实数a 的取值范围是(2－2ln 2，e －2]．12．(16分)已知定义在正实数集上的函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x.(1)若函数g(x)＝f(x)－ax 2＋1，在其定义域上g(x)≤0恒成立，求实数a 的最小值；(2)若a>0时，f(x)在区间[1，e ]上的最小值为－2，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由g(x)＝ln x －(a ＋2)x ＋1≤0在其定义域上恒成立，因为x>0，∴a ＋2≥ln x ＋1x，设h(x)＝ln x ＋1x (x>0)，h′(x)＝1－ln x －1x 2＝－ln x x 2，所以0<x<1时，h′(x)>0，h(x)递增，x>1时，h′(x)<0，h(x)递减，因此h(x)max ＝h(1)＝1，∴a ＋2≥1可得a ≥－1，综上实数a 的最小值是－1.(2)f′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x ＝（ax －1）（2x －1）x(x>0，a>0)， f′(x)＝0，x 1＝12，x 2＝1a，当a ≥1，1a≤1，x ∈(1，e )，f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)min ＝f(1)＝－2符合题意，当1e<a<1，x ∈[1，e ]，x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a ，f(x)单调递减，x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e ，f(x)单调递增； f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a <f(1)＝－2舍去，当0<a ≤1e，x ∈(1，e )，f(x)单调递减，f(x)min ＝f(e )<f(1)＝－2舍去，综上实数a 的取值范围是[1，＋∞)．13．(18分)已知函数f(x)＝－x －m x＋2ln x ，m ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：f (x 2)>1－x 2.【解析】(1)由f (x )＝－x －m x＋2ln x ，得 f ′(x )＝－1＋m x 2＋2x ＝－x 2＋2x ＋m x 2＝－x 2－2x －m x 2，x ∈(0，＋∞)．设g (x )＝x 2－2x －m ，x ∈(0，＋∞)．当m≤－1时，即Δ＝4＋4m≤0时，g(x)≥0，f′(x)≤0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当m>－1时，即Δ＝4＋4m>0时，令g(x)＝0，得x1＝1－1＋m，x2＝1＋1＋m，x1<x2.当－1<m<0时，0<x1<x2，在(0，x1)∪(x2，＋∞)上，f′(x)<0，在(x1，x2)上，f′(x)>0，∴f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，在(x2，＋∞)上单调递减．当m≥0时，x1≤0＜x2，在(0，x2)上，f′(x)>0，在(x2，＋∞)上，f′(x)<0，∴f(x)在(0，x2)上单调递增，在(x2，＋∞)上单调递减．综上，当m≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<m<0时，f(x)在(0，1－1＋m)，(1＋1＋m，＋∞)上单调递减，在(1－1＋m，1＋1＋m)上单调递增；当m≥0时，f(x)在(0，1＋1＋m)上单调递增，在(1＋1＋m，＋∞)上单调递减．(2)∵f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，∴由(1)知g(x)＝x2－2x－m有两个不同的零点x1，x2，x1＝1－1＋m，x2＝1＋1＋m，且－1<m<0，此时，x22－2x2－m＝0，要证明f(x2)＝－x2－mx2＋2ln x2>1－x2，只要证明2ln x2－mx2>1.∵m＝x22－2x2，∴只要证明2ln x2－x2>－1成立．∵m∈(－1，0)，∴x2＝1＋1＋m∈(1，2)．设h(x)＝2ln x－x，x∈(1，2)，则h′(x)＝2x－1，当x∈(1，2)时，h′(x)>0，∴h(x)在x∈(1，2)上单调递增，∴h(x)>h(1)＝－1，即2ln x2－x2>－1，∴f(x)有两个极值点x1，x2，且x1>x2时，f(x2)>1－x2.。