线性规划 ppt课件

线性规划所研究的对象属于最优化的范畴， 本质上是一个极值问题。和其它最优化问题一 样，在建立线性规划问题的数学模型时，应首 先明确三个基本要素：
决策变量(decision variables)：它们是决策 者(你)所控制的那些数量，它们取什么数值需 要决策者来决策，问题的求解就是找出决策变 量的最优值。
表 2.2.2
VEG1 VEG2 OIL1 OIL2 OIL3
Hale Waihona Puke Baidu
8.8
6.1
2.0
4.2
5.0
问：为使利润最大，应该怎样制定它的月 采购和加工计划？
线性规划
要建立表述这个问题的数学模型，首先需 要确定它的三个要素。
1．确定决策变量 设 x1, …, x5 分别代表需要采购的 5 种原油 的吨数，y 代表需要加工的成品油的吨数。
X 0
线性规划
若给定问题的目标函数是求 min Z = CTX，则 可化为求 max Z ' = CTX；
若给定问题的约束条件中含有不等式： ai1x1 ai2x2 … ainxn (或 )bi，
则可等价地化为： ai1x1 ai2x2 … ainxn xn+1 = bi，xn+1 0
max (min) s.t.
Z = c1x1 c2x2 … cnxn， a11x1 a12x2 … a1nxn ( =, ) b1 a21x1 a22x2 … a2nxn ( =, ) b2 ………………………………
am1x1 am2x2 … amnxn ( =, ) bm xi 0（i =1, …, n）
线性规划
约束条件(constraints)：它们是决策者在现 实世界中所受到的限制，或者说决策变量在这 些限制范围之内才有意义。
目标函数(objective function)：它代表决策 者希望对其进行优化的那个指标。目标函数是 决策变量的函数。
线性规划问题的特征是目标函数和约束条 件中的函数都是决策变量的线性函数，并且约 束是必不可少的(否则不存在有实际意义的解)。
线性规划
3．确定目标函数 目标是使利润最大，即出售产品的收入扣 除原油成本之后所得最大：
150y 110x1 120x2 130x3 110x4 115x5 最大
线性规划
显然这是一个线性规划问题，可以用下面的 数学模型来表述这个问题：
max Z = 150y 110x1 120x2 130x3 110x4 115x5 s.t. x1 + x2 200
线性规划
§2.3 线性规划模型
§2.3.1 线性规划模型的一般形式 线性规划问题有各种不同形式，其目标函
数可以是实现最大化，也可以是实现最小化； 约束条件可以是“”，也可以是“”，还可 以是“=”的形式；决策变量可以非负，也可以 是无符号限制。
线性规划
归纳起来，线性规划问题的数学模型的一 般形式为：
am2
amn
b1
b
b
2
b
m
c1
C
c
2
c
n
x1
X
x
2
x
n
线性规划一般形式也可用矩阵形式描述为：
max(min)Z CTX s.t. AX(or,)b X 0
线性规划
§2.3.2 线性规划模型的标准形式 为理论研究之便，人们规定线性规划模型
的标准形式为：
max Z C T X s.t. AX b
线性规划
第二次世界大战期间，由于战争的需要， 柯勃门(T. C. Koopmans)重行、独立地研究了运 输问题。
后来丹西格(G. B. Dantzig)于 1947 年发现 了单纯形方法，并将其应用于与国防有关的诸 如人员的轮训、任务的分派等问题。
此后，线性规划的理论和方法日渐趋于成 熟。
线性规划
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§2.2 引例：食用油加工计划
加工一种食用油需要精炼若干种原油并把 它们混合起来。原油来源有两类共 5 种：
植物油：VEG1，VEG2 非植物油：OIL1，OIL2，OIL3 购买每种原油的价格(镑/吨)见表 2.2.1：
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表 2.2.1： VEG1 VEG2 110 120
OIL1 130
OIL2 110
OIL3 115
最终产品以 150 镑/吨价格出售。
植物油和非植物油需要在不同的生产线上 进行精炼。每月能够精炼的植物油不超过 200吨， 非植物油不超过 250 吨；在精炼过程中，重量 没有损失，精炼费用可忽略不计。
线性规划
最终产品要符合硬度的技术条件。按照硬 度计量单位，它必须在 3~6 之间。假定硬度的 混合是线性的，而原油的硬度见表 2.2.2：
x3 + x4 + x5 250 8.8x1 + 6.1x2 + 2x3 + 4.2x4 + 5x5 6y 0 8.8x1 + 6.1x2 + 2x3 + 4.2x4 + 5x5 3y 0 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 y = 0 xi 0（i =1, …, 5） y0
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2．确定约束条件 生产能力限定：
x1 + x2 200(植物油 200 吨) x3 + x4 + x5 250 (非植物油 250 吨) 技术指标(硬度)限定：
8.8x1 + 6.1x2 + 2x3 + 4.2x4 + 5x5 6y 8.8x1 + 6.1x2 + 2x3 + 4.2x4 + 5x5 3y 连续性(均衡性)：x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = y 非负性：xi 0(i =1, …, 5)，y 0
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第二讲 线性规划
线性规划
§2.1 引言
线性规划是运筹学的重要分枝，也是运筹 学最基本的部分。
20 世纪 30 年代末，前苏联学者康托洛维奇 首先研究了线性规划问题。1939 年，他撰写的 《生产组织与计划中的数学方法》一书，是线 性规划应用于工业生产问题的经典著作。
然而这项工作长期不为人们所知。
线性规划
或者：
n
max(min) cjxj j1
n
s.t. aijxj (or,)bi j1 xj 0 (j 1,,n)
(i 1,,m)
这里“s.t.”是“subject to”的 缩写，即“满足于”的意思。
线性规划
如果我们设
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
am1