线性规划 ppt课件
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线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
4.2线性规划ppt课件
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
运筹学课件 第二章线性规划
2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)
第1讲线性规划基本概念.ppt
凸集：设集合 X Rn ，如果 X 中任意两点的凸组合 仍然属于X ，则称 X 为凸集.
定义 1 集合 D Rn称为凸的，如果对于任意 x, y D ,有
x (1 ) y D 0 1
则称 D 是Rn中的凸集（convex set）.
结论： （1） 空集和全空间Rn是凸集. （2） 设a Rn,a 0, R，则超平面（hyper plane）
X
x
Rn
g（i x） h（j x）
0 0
i 1,, p j 1,,q
若X是凸集, f 是D上的凸函数,称(MP)为非线性 凸规划,简称凸规划.
凸规划性质：
定理
线性函数
对于非线性规划(MP),
min f（x）
s.t. g（i x） 0
h（j x） 0
第1讲 基本概念 Basic conceptions
一．最优化问题简介
二．凸集和凸函数
三．非线性规划方法概述
一．最优化问题简介.
定义：在一切可能的方案中选择一个最好的方案，以 达到最优目标.
（凡是准求最优目标的数学问题都属于最优化问题， Optimization Problems,OP）.
三要素： （1）目标； （2）方案； （3）限制条件.
指标集.
解：
c1(x)
2 2
2 ( 2 )2 0, 2
c2 (x) 1 (
2 )2 ( 2
2 )2 0, 2
c3(x)
2 0. 2
A {1,2}. x
x2
c2 (x) 0
c3(x) 0
x
O
c1(x) 0
线性规划ppt课件
a11x1+a12x2++a1nxn=b1
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
(*)
am1x1+am2x2++amnxn=bm
x1, x2, , xn≥0
其中，bi≥0 (i=1,2,,m)
或者更简洁的，利用矩阵与向量记为
max z CT x
s.t. Ax b
(**)
x0
其中C和x为n维列向量，b为m维列向量， b≥0,A为m×n矩阵，m<n且rank(A)=m
⑵约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≤b1 加入非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx松n+弛xn+变1=量b1，有
⑶约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≥b1 减去非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx剩n -余xn变+1=量b1，有
⑷变量xj无约束。
令xj= xj - xj，对模型中的进行变量代换。
1.2 线性规划问题的求解——单纯形法 1.2.1 基本概念
可行解 满足约束条件（包括非负条 件）的一组变量值，称可行解。
所有可行解的集合称为可行域。
最优解 使目标函数达到最大的可行解 称为最优解。
基本解 对于有n个变量、m个约束方程的标准 型线性规划问题，取其m个变量。若这些变量在约 束方程中的系数列向量线性无关，则它们组成一组 基变量。确定了一组基变量后，其它n-m个变量称 为非基变量。
x0 必非最优解。
证 （1）显然
线性规划课件ppt
根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
运筹学课件——第2讲 线性规划模型(1)
第1章 线性规划
本章要求： 本章要求： 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问 题 2.掌握线性规划的图解法 2.掌握线性规划的图解法 3.掌握软件求解线性规划 3.掌握软件求解线性规划 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 5.理解有关灵敏度分析内容 5.理解有关灵敏度分析内容
+ = x 1 x 3 4 x 12 2x 2 + 4 = s.t. + 3x 1 + 2 x 2 x 5 = 18 x j ≥ 0( j = 1,2,3,4,5)
max Z = 70 x1 + 120 x 2 9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 4 x + 5 x ≤ 200 1 2 s.t . 3 x1 + 10 x 2 ≤ 300 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
例4：饮料配制计划
大众酒吧自行配制生产甲，乙两种饮料，管 大众酒吧自行配制生产甲，乙两种饮料， 理层决定下月总产量至少达到350 350升 理层决定下月总产量至少达到350升。甲饮料每 升的制造成本为2 制造时间需2小时， 升的制造成本为2元，制造时间需2小时，乙饮 料每升的制造成本为3 制造时间需1小时， 料每升的制造成本为3元，制造时间需1小时， 下月总生产时间为600小时。此外， 600小时 下月总生产时间为600小时。此外，下月有一位 客户已预定甲饮料125升。试为管理层制定满足 客户已预定甲饮料125升 125 客户要求且制作成本最小的生产计划。 客户要求且制作成本最小的生产计划。 线性规划模型？ 线性规划模型？
显然，上述活动所引起的问题是一类有约束的 显然，上述活动所引起的问题是一类有约束的 最优化问题（ 最优化问题（Constrained Optimization）。 ） 线性规划正是解决有约束的最优化问题的一种 线性规划正是解决有约束的最优化问题的一种 常用的方法，其涉及的主要概念包括： 常用的方法，其涉及的主要概念包括： ◆目标（Objective）:所要达到的最优结果（最 所要达到的最优结果（ 目标（ ） 所要达到的最优结果 大或最小）； 大或最小）； ◆约束条件（Constraints）:对所能产生结果的 约束条件（ ） 对所能产生结果的 限制。 限制。
本章要求： 本章要求： 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问 题 2.掌握线性规划的图解法 2.掌握线性规划的图解法 3.掌握软件求解线性规划 3.掌握软件求解线性规划 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 5.理解有关灵敏度分析内容 5.理解有关灵敏度分析内容
+ = x 1 x 3 4 x 12 2x 2 + 4 = s.t. + 3x 1 + 2 x 2 x 5 = 18 x j ≥ 0( j = 1,2,3,4,5)
max Z = 70 x1 + 120 x 2 9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 4 x + 5 x ≤ 200 1 2 s.t . 3 x1 + 10 x 2 ≤ 300 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
例4：饮料配制计划
大众酒吧自行配制生产甲，乙两种饮料，管 大众酒吧自行配制生产甲，乙两种饮料， 理层决定下月总产量至少达到350 350升 理层决定下月总产量至少达到350升。甲饮料每 升的制造成本为2 制造时间需2小时， 升的制造成本为2元，制造时间需2小时，乙饮 料每升的制造成本为3 制造时间需1小时， 料每升的制造成本为3元，制造时间需1小时， 下月总生产时间为600小时。此外， 600小时 下月总生产时间为600小时。此外，下月有一位 客户已预定甲饮料125升。试为管理层制定满足 客户已预定甲饮料125升 125 客户要求且制作成本最小的生产计划。 客户要求且制作成本最小的生产计划。 线性规划模型？ 线性规划模型？
显然，上述活动所引起的问题是一类有约束的 显然，上述活动所引起的问题是一类有约束的 最优化问题（ 最优化问题（Constrained Optimization）。 ） 线性规划正是解决有约束的最优化问题的一种 线性规划正是解决有约束的最优化问题的一种 常用的方法，其涉及的主要概念包括： 常用的方法，其涉及的主要概念包括： ◆目标（Objective）:所要达到的最优结果（最 所要达到的最优结果（ 目标（ ） 所要达到的最优结果 大或最小）； 大或最小）； ◆约束条件（Constraints）:对所能产生结果的 约束条件（ ） 对所能产生结果的 限制。 限制。
线性规划模型 ppt课件
例：求解线性规划问题的最优解
maxz2x23x3x4
x1x2x35 s.t. 2x2x246x3x3x4x5624
x1,x2,x3,x4,x5 0
1 1 1 0 0 0 1 4 1 0
0 2 6 0 1
解：（1）构造初始单纯单纯形表（第1、4 、5列构成的矩阵可逆）所以可取
x0(5,0,0,6,24)
分析和建立模型
（1）确定决策变量：设 x（ i i 1， 2， 3， 4）
为第i种矿石的选取的数量（单位10kg） ； （2）确定目标函数：
目标应该是使得总费用最小，即
f 1 0 x 1 1 5 x 2 3 0 x 3 2 5 x 4
达到最小；
（3）确定约束条件：选定的四种矿石的数量 应该满足铸件对三种成分的需求量，并且矿石数 量应该是非负的，即
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
例 （配料问题）某铸造厂生产铸件 ，每件需要20千克铅，24千克铜和30 千克铁。现有四种矿石可供选购，它们 每10千克含有成分的质量（千克）和 价格（元）如图。问：对每个铸件来说 ，每种矿石各应该选购多少，可以使总 费用最少？试建立数学模型。
x（ i i 1， 2， 3， 4）
具有以上结构特点的模型就是线性规划模型
，记为LP（Linear Programming），具有以 下一般形式：
s.t.
max(or min) f c1x1 c2 x2 cn xn
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段 是在原问题中去除人工变量，并从此可行解（第一阶段的 最优解）出发，继续寻找问题的最优解。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
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线性规划
§2.3 线性规划模型
§2.3.1 线性规划模型的一般形式 线性规划问题有各种不同形式，其目标函
数可以是实现最大化，也可以是实现最小化； 约束条件可以是“”，也可以是“”，还可 以是“=”的形式；决策变量可以非负，也可以 是无符号限制。
线性规划
归纳起来，线性规划问题的数学模型的一 般形式为：
线性规划
第二次世界大战期间，由于战争的需要， 柯勃门(T. C. Koopmans)重行、独立地研究了运 输问题。
后来丹西格(G. B. Dantzig)于 1947 年发现 了单纯形方法，并将其应用于与国防有关的诸 如人员的轮训、任务的分派等问题。
此后，线性规划的理论和方法日渐趋于成 熟。
线性规划
OIL2 110
OIL3 115
最终产品以 150 镑/吨价格出售。
植物油和非植物油需要在不同的生产线上 进行精炼。每月能够精炼的植物油不超过 200吨， 非植物油不超过 250 吨；在精炼过程中，重量 没有损失，精炼费用可忽略不计。
线性规划
最终产品要符合硬度的技术条件。按照硬 度计量单位，它必须在 3~6 之间。假定硬度的 混合是线性的，而原油的硬度见表 2.2.2：
线性规划
或者：
n
max(min) cjxj j1
n
s.t. aijxj (or,)bi j1 xj 0 (j 1,,n)
(i 1,,m)
这里“s.t.”是“subject to”的 缩写，即“满足于”的意思。
线性规划
如果我们设
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
am1
线性规划
线性规划
第二讲 线性规划
线性规划
§2.1 引言
线性规划是运筹学的重要分枝，也是运筹 学最基本的部分。
20 世纪 30 年代末，前苏联学者康托洛维奇 首先研究了线性规划问题。1939 年，他撰写的 《生产组织与计划中的数学方法》一书，是线 性规划应用于工业生产问题的经典著作。
然而这项工作长期不为人们所知。
am2
amn
b1
b
b
2
b
m
c1
C
c
2
c
n
x1
X
x
2
x
n
线性规划一般形式也可用矩阵形式描述为：
max(min)Z CTX s.t. AX(or,)b X 0
线性规划
§2.3.2 线性规划模型的标准形式 为理论研究之便，人们规定线性规划模型
的标准形式为：
max Z C T X s.t. A Z = CTX，则 可化为求 max Z ' = CTX；
若给定问题的约束条件中含有不等式： ai1x1 ai2x2 … ainxn (或 )bi，
则可等价地化为： ai1x1 ai2x2 … ainxn xn+1 = bi，xn+1 0
线性规划所研究的对象属于最优化的范畴， 本质上是一个极值问题。和其它最优化问题一 样，在建立线性规划问题的数学模型时，应首 先明确三个基本要素：
决策变量(decision variables)：它们是决策 者(你)所控制的那些数量，它们取什么数值需 要决策者来决策，问题的求解就是找出决策变 量的最优值。
表 2.2.2
VEG1 VEG2 OIL1 OIL2 OIL3
8.8
6.1
2.0
4.2
5.0
问：为使利润最大，应该怎样制定它的月 采购和加工计划？
线性规划
要建立表述这个问题的数学模型，首先需 要确定它的三个要素。
1．确定决策变量 设 x1, …, x5 分别代表需要采购的 5 种原油 的吨数，y 代表需要加工的成品油的吨数。
线性规划
3．确定目标函数 目标是使利润最大，即出售产品的收入扣 除原油成本之后所得最大：
150y 110x1 120x2 130x3 110x4 115x5 最大
线性规划
显然这是一个线性规划问题，可以用下面的 数学模型来表述这个问题：
max Z = 150y 110x1 120x2 130x3 110x4 115x5 s.t. x1 + x2 200
x3 + x4 + x5 250 8.8x1 + 6.1x2 + 2x3 + 4.2x4 + 5x5 6y 0 8.8x1 + 6.1x2 + 2x3 + 4.2x4 + 5x5 3y 0 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 y = 0 xi 0（i =1, …, 5） y0
max (min) s.t.
Z = c1x1 c2x2 … cnxn， a11x1 a12x2 … a1nxn ( =, ) b1 a21x1 a22x2 … a2nxn ( =, ) b2 ………………………………
am1x1 am2x2 … amnxn ( =, ) bm xi 0（i =1, …, n）
线性规划
约束条件(constraints)：它们是决策者在现 实世界中所受到的限制，或者说决策变量在这 些限制范围之内才有意义。
目标函数(objective function)：它代表决策 者希望对其进行优化的那个指标。目标函数是 决策变量的函数。
线性规划问题的特征是目标函数和约束条 件中的函数都是决策变量的线性函数，并且约 束是必不可少的(否则不存在有实际意义的解)。
线性规划
2．确定约束条件 生产能力限定：
x1 + x2 200(植物油 200 吨) x3 + x4 + x5 250 (非植物油 250 吨) 技术指标(硬度)限定：
8.8x1 + 6.1x2 + 2x3 + 4.2x4 + 5x5 6y 8.8x1 + 6.1x2 + 2x3 + 4.2x4 + 5x5 3y 连续性(均衡性)：x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = y 非负性：xi 0(i =1, …, 5)，y 0
线性规划
§2.2 引例：食用油加工计划
加工一种食用油需要精炼若干种原油并把 它们混合起来。原油来源有两类共 5 种：
植物油：VEG1，VEG2 非植物油：OIL1，OIL2，OIL3 购买每种原油的价格(镑/吨)见表 2.2.1：
线性规划
表 2.2.1： VEG1 VEG2 110 120
OIL1 130
§2.3 线性规划模型
§2.3.1 线性规划模型的一般形式 线性规划问题有各种不同形式，其目标函
数可以是实现最大化，也可以是实现最小化； 约束条件可以是“”，也可以是“”，还可 以是“=”的形式；决策变量可以非负，也可以 是无符号限制。
线性规划
归纳起来，线性规划问题的数学模型的一 般形式为：
线性规划
第二次世界大战期间，由于战争的需要， 柯勃门(T. C. Koopmans)重行、独立地研究了运 输问题。
后来丹西格(G. B. Dantzig)于 1947 年发现 了单纯形方法，并将其应用于与国防有关的诸 如人员的轮训、任务的分派等问题。
此后，线性规划的理论和方法日渐趋于成 熟。
线性规划
OIL2 110
OIL3 115
最终产品以 150 镑/吨价格出售。
植物油和非植物油需要在不同的生产线上 进行精炼。每月能够精炼的植物油不超过 200吨， 非植物油不超过 250 吨；在精炼过程中，重量 没有损失，精炼费用可忽略不计。
线性规划
最终产品要符合硬度的技术条件。按照硬 度计量单位，它必须在 3~6 之间。假定硬度的 混合是线性的，而原油的硬度见表 2.2.2：
线性规划
或者：
n
max(min) cjxj j1
n
s.t. aijxj (or,)bi j1 xj 0 (j 1,,n)
(i 1,,m)
这里“s.t.”是“subject to”的 缩写，即“满足于”的意思。
线性规划
如果我们设
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
am1
线性规划
线性规划
第二讲 线性规划
线性规划
§2.1 引言
线性规划是运筹学的重要分枝，也是运筹 学最基本的部分。
20 世纪 30 年代末，前苏联学者康托洛维奇 首先研究了线性规划问题。1939 年，他撰写的 《生产组织与计划中的数学方法》一书，是线 性规划应用于工业生产问题的经典著作。
然而这项工作长期不为人们所知。
am2
amn
b1
b
b
2
b
m
c1
C
c
2
c
n
x1
X
x
2
x
n
线性规划一般形式也可用矩阵形式描述为：
max(min)Z CTX s.t. AX(or,)b X 0
线性规划
§2.3.2 线性规划模型的标准形式 为理论研究之便，人们规定线性规划模型
的标准形式为：
max Z C T X s.t. A Z = CTX，则 可化为求 max Z ' = CTX；
若给定问题的约束条件中含有不等式： ai1x1 ai2x2 … ainxn (或 )bi，
则可等价地化为： ai1x1 ai2x2 … ainxn xn+1 = bi，xn+1 0
线性规划所研究的对象属于最优化的范畴， 本质上是一个极值问题。和其它最优化问题一 样，在建立线性规划问题的数学模型时，应首 先明确三个基本要素：
决策变量(decision variables)：它们是决策 者(你)所控制的那些数量，它们取什么数值需 要决策者来决策，问题的求解就是找出决策变 量的最优值。
表 2.2.2
VEG1 VEG2 OIL1 OIL2 OIL3
8.8
6.1
2.0
4.2
5.0
问：为使利润最大，应该怎样制定它的月 采购和加工计划？
线性规划
要建立表述这个问题的数学模型，首先需 要确定它的三个要素。
1．确定决策变量 设 x1, …, x5 分别代表需要采购的 5 种原油 的吨数，y 代表需要加工的成品油的吨数。
线性规划
3．确定目标函数 目标是使利润最大，即出售产品的收入扣 除原油成本之后所得最大：
150y 110x1 120x2 130x3 110x4 115x5 最大
线性规划
显然这是一个线性规划问题，可以用下面的 数学模型来表述这个问题：
max Z = 150y 110x1 120x2 130x3 110x4 115x5 s.t. x1 + x2 200
x3 + x4 + x5 250 8.8x1 + 6.1x2 + 2x3 + 4.2x4 + 5x5 6y 0 8.8x1 + 6.1x2 + 2x3 + 4.2x4 + 5x5 3y 0 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 y = 0 xi 0（i =1, …, 5） y0
max (min) s.t.
Z = c1x1 c2x2 … cnxn， a11x1 a12x2 … a1nxn ( =, ) b1 a21x1 a22x2 … a2nxn ( =, ) b2 ………………………………
am1x1 am2x2 … amnxn ( =, ) bm xi 0（i =1, …, n）
线性规划
约束条件(constraints)：它们是决策者在现 实世界中所受到的限制，或者说决策变量在这 些限制范围之内才有意义。
目标函数(objective function)：它代表决策 者希望对其进行优化的那个指标。目标函数是 决策变量的函数。
线性规划问题的特征是目标函数和约束条 件中的函数都是决策变量的线性函数，并且约 束是必不可少的(否则不存在有实际意义的解)。
线性规划
2．确定约束条件 生产能力限定：
x1 + x2 200(植物油 200 吨) x3 + x4 + x5 250 (非植物油 250 吨) 技术指标(硬度)限定：
8.8x1 + 6.1x2 + 2x3 + 4.2x4 + 5x5 6y 8.8x1 + 6.1x2 + 2x3 + 4.2x4 + 5x5 3y 连续性(均衡性)：x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = y 非负性：xi 0(i =1, …, 5)，y 0
线性规划
§2.2 引例：食用油加工计划
加工一种食用油需要精炼若干种原油并把 它们混合起来。原油来源有两类共 5 种：
植物油：VEG1，VEG2 非植物油：OIL1，OIL2，OIL3 购买每种原油的价格(镑/吨)见表 2.2.1：
线性规划
表 2.2.1： VEG1 VEG2 110 120
OIL1 130