3.1.1平均变化率及其求法资料讲解

第三类问题
求已知函数的最大最小值。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角 发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题，但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线长、曲面面积、物体重心及物体之间的引力 （求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、
时间的改变量 Δt=t2- t1
路程的改变量Δs=S2-S1
路程差/时间差(Δs/Δt) 路程变化快慢
9-0=9(s)
11-9=2(s)
60-0=60(m)
100-60=40(m)
< 60/9 6.7(m/s) 40/2=20(m/s)
慢
快
两个变化率（快慢）问题
(1)成交额［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题：
（4）求14s-20s的速度平均变化率？
提示： (1)av1204(m/s2)
t 30
16
(2)av16121(m/s2)
12
t 73
8
(3 )a v8 1 6= 8 1 .1 4 (m /s2 )
6
t 1 4 7 7
03 7
(4 )a v6 8= 1 0 .3 3 (m /s2 ) t 2 0 1 4 3
亦即：y / x.
思 考 ： 平 均 变 化 率 ： y f( x 2 ) f( x 1 )表 示 的 几 何 意 义 ？ x x 2 x 1
割线斜率 ky2y1f(x2)f(x1)
x2x1
x2x1
f(x2 )
这是平均变化率的几何意义
f(x1 )
x2-x1
f(x2 )-f(x1 ) （ x2 ， f(x2 ) ）
成交额变化快慢
快
慢
问题2 为什么该人的运动s-t图不是直线段？ 如何从该s-t图分析他路程随时间的变化快慢？
S(t2) S(t1)
B（24,100） A（21,70）
O（0,0）
t1 t2
问：为什么0---t1图像比t1---t2“平缓”？
如何量化图象“平缓（变化慢）” “陡峭（变化快）”？
路程随时间变化关系S= S（t ）
(图象陡峭)、慢(图象平缓)？
成交额随时间变化关系 Q = Q（t）
时间的改变量 t2- t1
2-0=2(小时)
21-2=19(小时)
成交额的改变量Q2-Q1 成交额差/时间差
100-0=100(亿元)
300-100=200(亿元)
> 100/2 = 50(亿元/小时) 200/19 10.53(亿元/小时)
100
50
2013年11月11日淘宝天猫成交额随时间变 化趋势图如下： 问0—2时与2—21时，
哪段时间的成交额变化快,为什么?
C(21,300)
A(0,0) t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
问：怎么量化0—2时与 2—21时成交额变化快
Q (t2 ) Q (t1 ) t2 t1
(2)路程在［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题：
S (t2 ) S (t1 ) t2 t1
Leabharlann Baidu
如何刻画一般的函数f(x)在区间[x1，x2]上 随x变化（增加或减少）的“快”与“慢”？
三 平均变化率的定义
平均变化率等于函数的增量与自变量的增量之比值。
第二类问题
求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问 题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体 在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。
困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个 没有解决的问题。
古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接 触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对 于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。
时间的改变量 Δt=t2- t1
路程的改变量Δs=S2-S1
路程差/时间差(Δs/Δt) 速度变化快慢
21-0=21(s)
24-21=3(s)
70-0=70(m)
100-70=30(m)
< 70/21=3.3 (m/s) 30/3= 10 (m/s)
慢
快
问题1
成交额随时间变化关系 Q = Q（t）
（ x1 ， f(x1 ) ）
x1
x2
求函数f(x)平均变化率的步骤：
一、求自变量的增量Δx=x2-x1 二、求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
已知f(x)=2x2+1，求：
例题1
(1)从x=1到x=2的平均变化率；
(2)从x1到x2的平均变化率。
变式训练:求函数 f(x)2x2 1在下列区间的平均变化率
3.1.1平均变化率及其求法
微积分创立背景
微积分的创立主要与四类问题处理有关： 瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何求积
第一类问题
求物体瞬时速度、加速度及运动距离 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体 任意时刻的速度和加速度；以及已知物体的加速度 作为困时难间在的于函：数十，七求世速纪度和所路涉程及。的速度和加速度每时 每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算 平均速度那样，用运动的距离除以运动的时间，因为 在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在 它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。
时间的改变量 t2- t1 成交额的改变量T2-T1 成交额差/时间差
成交额变化快慢
2-0=2(小时)
21-2=19(小时)
100-0=100(亿元)
300-100=200(亿元)
> 100/2 = 50(亿元/小时) 200/19 10.53(亿元/小时)
快
慢
问题2
路程随时间变化关系S= S（t ）
(1) [1,1.0003] 4.0006 (2) [1,1.0002] 4.0004 (3) [1,1.0001] 4.0002
某物体的运动速度随时间的变化情况如下图所示
(1)求0s-3s的速度平均变化率？
例题2
（2）求3s-7s的速度平均变化率？
（3）求7s-14s的速度平均变化率？
V(m/s)
一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。）
困难在于：欧y 多克斯的穷竭法虽然被阿基米德熟
练地用来求出了很多图形的面积及几何体的体积，但
它毕竟是一种有限且相当复杂的几何方法，已不能解
决第四类问题。 oa
bx
二 变化率问题
成交额Q(t) (亿元)
400
问题1
350
300
250
200
150
B(2,100)