第一章函数与极限复习提纲

第一章函数与极限复习提纲

一、函数

知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立

如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ）

A. x x y sin +=；

B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？ （1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3

2

1-=

x y 解：3

1u y =，12-=x u

（5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2=

3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。

解 0,

0.2(20), 2050

0.3(50)6, 50

x y x x x x ≤≤⎧⎪

=-<≤⎨⎪-+>⎩

4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2

25x

P -=,求x 为多少时公司总利润最大？

解 成本函数C （x ）=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+=

收入函数x x x x x p x R 2521

)225()(2+-=⋅-

=⋅= 利润函数200152

1)10200(2521)()()(2

2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L

令015)('=+-=x x L 得15=x

因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，()

L x

取得最大值，即每天生产15单位时，才能获得最大利润。

二、极限

知识点：1、)(lim x f x ∞

→存在⇔)(lim x f x +∞

→与)(lim x f x -∞

→存在且相等。

)(lim 0

x f x x →存在⇔)(lim 0

x f x x +→与)(lim 0

x f x x -→都存在且相等。

2、函数在一点的极限存在与否与函数在这点有无定义无关；即使函数在此点

由定义，函数在此点极限存在与否也和它的函数值无关；还要知道极限符号的含义

3、极限的四则运算：六种结论

4、电子系的同学还应该注意求极限中还有第二章的洛必达法则哟

（1）若多项式n n x c x c x c c x P ++++=2210)(，则对于任意实数a 有)()(lim a P x P a

x =→

（2）若)(x P ，)(x Q 表示多项式函数，且0)(0≠x Q ，则有)

()

()()(lim

000x Q x P x Q x P x x =

→。 （3）对于)()

(lim

0x Q x P x x →，若0)(lim ,)

0()(lim 0

=≠=→→x Q a a x P x x x x ，则∞=→)

()

(lim

0x Q x P x x

即

0a

型的极限为0 （4）对于0

型的，此时先约去零因子,再求极限，对于有理式消零因子的办法是用平方

差或立方差、立方和公式；对于无理式消零因子的办法是分母或分子有理化 （5）当∞→x 时，有理分式函数的极限有以下结果。

=++++++--∞→m m m n n n x b x b x b a x a x a 110110lim 00

0,,,

n m a n m b n m ⎧<⎪

⎪=⎨⎪⎪∞>⎩。 利用上面的结果求有理分式当∞→x 时的极限非常方便。

4、两个重要极限的 （1）1sin lim

0=→x x x 类型0

0型 等价形式1sin lim 0=→x x

x

推广形式：0lim ,1sin lim

==αα

α

在某过程

在某过程

x x （2）e 11lim =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞→x

x x 类型∞

1型 等价形式()e 1l i m 1

0=+→x x x

推广形式：()e 1lim 1

=+αα在某过程

x ，0lim =α在某过程

x

如1、)(x f 在点0x 处有定义是它在该点处存在极限的（D ）条件

A. 充分；

B. 必要； C . 充要； D. 无关。 2、下列变量中（ D ）是无穷小量 A.cos(x-1) (x →1) B.)(1∞→-

x e

x

C.lnx (+

→0x ) D.ln(x+1) (x →0) 3、=+-++∞

→7

345

23

2lim

x x x x x （ A ） A.

0; B. ;∞ C.

1

;4

D. 4. 4、

x

x x 25sin lim

→=（ C ） A .

1 ； B .

2

5； C .

5

2； D .

0.

5、

x

x x 20

)

1(lim -→=（ C ）

A . e ；

B .

e 1； C . 21e

； D .

2e

6、说明()2

lim 5x f x →=的含义：当2→x 时，函数)(x f 无限趋近5 .

7、331)3(sin lim sin )3(lim 00=⨯=+=+→→x x x x

x x x x

8、计算 x

x x

x 2)3(

lim +∞

→。 6

322)31(lim )31(lim )3(lim ⨯∞→∞→∞→+=+=+x

x x x x x x

x x x 663])31(lim [e x x

x =+=∞→

9、计算 2

lim(1)x

x x →-。

1

1

2(2)2

2()

()0

lim(1)lim[1()]

[lim[1()]

]x x x

x x x x x x e ⨯-----→→→-=+-=+-=

10、计算 3

1

lim

3

x x →-

3

313x x x →→=-