第14章 弹簧
《大学物理》第14章 振动
a = - 2A cos (t + ) = 2A cos (t + + )
加速度超前位移 amax = 2A = (k/m)A
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相位和初相
相位 (t 0 ) ：决定简谐运动状态的物理量。
其中v为物体 m 距平衡位置 x 处的速度。 忽略摩擦，总机械能 E 保持不变。随着 物体来回振动，势能和动能交替变化。
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§ 14-3简谐振动的能量
在x = A 和 x = - A处，v = 0,
E = m(0)2/2 + kA2/2 = kA2/2 (14-10a) 简谐振子的总机械能正比于振幅的平方。
dx/dt = - A sin (t + ) d2x/dt2 = - 2 A cos (t + ) = - 2 x
0 = d2x/dt2 + (k/m) x = - 2 x + (k/m) x
(k/m - 2) x = 0 只有当 (k/m - 2) = 0 时，x不为零。因此
a = - (410 m/s2) cos(1650t). (c) 在t = 1.0010-3 s 时刻
x = A cos t
= (1.510-4 m) cos[(1650 rad/s)(1.0010-3 s)]
= (1.510-4 m) cos(1.650 rad/s) = -1.210-5 m.
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§ 14-1 弹簧的振动
例题 14-1 汽车弹簧。当一个质量为200公斤的 一家四口步入一辆总质量为1200公斤的汽车 里，汽车的弹簧压缩了3厘米。(a) 假设汽车 里的弹簧可视为单个弹簧，弹簧劲度系数为 多少？ (b) 如果承载了300公斤而不是200公 斤，则汽车将下降多少厘米？
第14章 虚位移原理_例题
弹簧原长 (600 300 )mm
弹簧后来长
(600
300 cos
)mm
弹簧缩短
(
300 cos
300 )mm
弹簧力 F
k
(
300
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱcos
300 )
由虚 位移原理：
M • F •ra F •rB 0 M Frr 0 0
[M
1.5(
1 cos
1)
0.3
sin cos2
0] 0
解： 对系统：建立坐标系和受力分析 解析法：
yK 6l sin yK 6l cos (1)
虚功方程：M W 6l cos 0 (2)
所以： M 6Wl cos
例6： 书14-5
当OC绕轴O摆动时，滑块A沿曲柄滑动，从而带动杆AB在导槽
内移动，不计各构 件自 重与各处摩擦。OC a，OD l
rB 2a (2)
列虚功方程：
M PrD FBxrB 0
(3)
将（1）（2）代入（3），得：
M Pa FBx 2a 0
FBx
1 M 2 a
P
（2）求B 铰的垂直约束力： 解除B 铰的垂直约束，代之以垂直力 FBy 。 杆BCD 的速度瞬心在A
rD 5a
rB 2a
M PrD
F
、F
给出力
P
、
F
处的虚位移 rD、rB
几何法： rC cos rD
C
rC cos(90 2 ) rB cos
A
θ
θ rC D F
Fθ
rB
B
由虚功原理 PrD FrB 0 0
PrC cos F 2sinrC 0 (P cos 2F sin )rC 0
第14章作业分析2007
(2) a点，；
b点，，；
c点，，；
d点，，；
e点，，
(3)各状态的旋转矢量图
分析：这两个题都是第三小问的图出现问题，大多数同学做错！
14.8一质点作简谐振动的振动曲线即部分数据如图，求质点的振动方程。
从振动曲线可知，振幅A=2cm，
在t=0时，位移，初速度(斜率)，故初相
在t=0.5s时，位移，速度(斜率)，故相位，
在t=0到t=0.5s过程中，由，有
故振动方程为
分析：很多同学最后的结果不带单位
14.11一个小球和轻弹簧组成的系统，按
m
的规律振动。
(1)求振动的最大速度及最大加速度；
(2)分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。
，故最大速度
，故最大加速度
分析：结果书写规范
14.13作简谐振动的小球，速度最大值为vm，加速度最大值为am，若从速度为正的最大值的某时刻开始计算时间，
(1)求振动的周期；
(2)求振动的振幅；
(3)写出振动表达式。
解：(1)振动角频率 ，故周期 ；
(2)ห้องสมุดไป่ตู้动的振幅 ；
(3)按题意
故振动方程为
14.18有一轻弹簧，下面挂一质量为10g的物体时，伸长量为4.9cm。将此弹簧和一质量为80g的小球构成一弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后，给予向上的初速度 。试求振动的周期及振动表达式。
(1)求球受的重力。(提示：球只受其所在处的球面以内的地球质量的引力作用。)
(2)证明球在隧道内在重力作用下的运动是简谐振动，并求其周期。
解：(1)小球在地面受重力_ EMBED Equation.3 ___，小球在x处受重力_ EMBED Equation.3 ___
2020版新一线高考物理(人教版)一轮复习教学案：第14章 第1节 机械振动 含答案
第1节机械振动知识点一| 简谐运动的特征1．简谐运动(1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(3)回复力①定义：使物体返回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
2．简谐运动的两种模型[(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。
(×)(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。
(3)做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。
(√)简谐运动的“五个特征”1．动力学特征：F ＝－kx ，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度的大小与物体偏离平衡位置的位移的大小成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x 、F 、a、E p 均增大，v 、E k 均减小，靠近平衡位置时则相反。
3．运动的周期性特征：相隔T 或nT 的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。
4．对称性特征(1)相隔T 2或(2n ＋1)2T (n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P 、P ′(OP ＝OP ′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
(3)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P ′所用时间，即t PO ＝t OP′。
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即t OP ＝t PO 。
5．能量特征：振动的能量包括动能E k 和势能E p ，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
[典例] (多选)如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O 点为中心点，在C 、D 两点之间做周期为T 的简谐运动。
结构力学教案 第14章 结构的稳定计算
P第十四章 结构的稳定计算14.1 两类稳定问题概述一、结构设计应满足三方面的要求1、强度2、刚度3、稳定性。
二、基本概念1、失稳：当荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态转变为不稳定状态，而丧失原始平衡状态的稳定性，简称“失稳”。
工程中由于结构失稳而导致的事故时有发生，如加拿大魁北克大桥、美国华盛顿剧院的倒塌事故，1983年北京某科研楼兴建中的脚手架的整体失稳等，都是工程结构失稳的典型例子。
2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间状态（中性平衡状态）。
3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。
三、结构失稳的两种基本形式1、第一类失稳（分支点失稳）：结构变形产生了性质上的突变，带有突然性。
2、第二类失稳（极值点失稳）：虽不出现新的变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结构不能正常工作。
c rc r14.2 确定临界荷载的静力法和能量法一、静力法1、临界状态的静力特征（1）体系失稳前在弹性阶段工作a 、应力、应变成线性关系。
b 、挠曲线近似微分方程成立。
（2）静力特征临界荷载具有“平衡状态的二重性”，因为它是由稳定平衡状态过渡到不稳定状态的极限状态。
2、定义：假定体系处于微弯失稳的临界状态，列出相应的平衡微分方程，进而求解临界荷载的方法。
3、步骤：（1）建立坐标系、取隔离体、绘受力图。
（2）列静力平衡方程。
（3）将挠曲线方程代入平衡方程后，利用边界条件求稳定方程。
（4）解稳定方程，求临界荷载。
4、举例 试求图示结构的临界荷载。
x解“超越方程”的两种方法： 1、逐步逼近法（试算法）：2、图解法：以αl 为自变量，分别绘出z= αl 和 z=tg αl 的图形，求大于零的第一个交点， 确定αl 。
取最小根αl =4.493例14−1 图14−6（a ）所示一端固定、一端自由的杆件，BC 段为刚性，A B 段弯曲刚度为EI 。
试建立临界荷载的稳定方程。
解：任一截面的弯矩为稳定方程为展开次行列式得((二、能量法1、用能量原理建立的能量准则（适用于单自由度体系）（1）三种平衡状态a 、稳定平衡： 偏离平衡位置，总势能增加。
第十四章 弹簧
F D2/2
压缩弹簧最大切应力
max
8CF K d 2
F D2 2
T'' N
M A
Q F B
T=F D2 2 m d F n
剖面B-B
K——曲度系数
4C 1 0.615 K 4C 4 C
A
F
max=K =F+T T F
BB
m
n
三、弹簧的刚度计算
有关因素
许用应力
弹簧类型、材料、钢丝直径、载荷性质
注: 弹簧材料的许用扭转切应力 [] 和许用弯曲应力 [b] 的大 小和载荷性质有关，静载荷时的 [] 和 [b] 较变载荷时的大。
二、弹簧制造
弹簧是由板材、棒材、线材或者管材经过各种塑性加工而形 成所需要的形状。 螺旋弹簧是用弹簧丝卷绕制成的，由于制造简便，所以应用 最广。在一般机械中，最常用的是圆柱螺旋弹簧。 螺旋弹簧的制造过程主要包括：
解： （1） 选材料，确定许用应力 [τ]。根据弹簧所受的载荷特性在表14-5中选用
C级碳素弹簧钢丝，则由表14-5可知[τ]=0.5σb 。弹簧钢丝的抗拉强度σb与弹簧钢丝 直径d有关 。先假设d=6mm，查表14-6，则对应的σb=1420MPa。
[τ] = 0.5σb = 0.5×1420MPa = 710MPa
F F1 O 1 d p
D1 D2 D
H0 H1 H2 F3 F max U 2 max 3 H3
等节距圆柱螺旋弹簧的特性曲线
第五节
圆柱螺旋压缩、拉伸弹簧的设计
一、基本参数及其选择
圆柱螺旋弹簧的主要参数有： 弹簧丝直径d、弹簧圈外径D、内径D1、中径D2、弹簧节距p和 螺旋升角α、弹簧指数C（旋绕比） C D2 d 簧工作 圈数 n和自由高度H0、 弹
人教版《第14章_压强和浮力》计算题分类总结及强化练习
压强和浮力计算题分类总结及强化练习【1】固体压强涉及到的公式主要为：F 压=G=mg (水平面) P=F/S m=Ρv f=F 牵（匀速直线运动） V=S/t一、与人或者动物有关的题目，注意：受力面积是一只脚还是两只脚，无论是单脚站立还是双脚站立对地面的压力都不变例1、小理同学的质量为50kg ，他站立在承平地面时，双脚鞋底与地面接触面积约为0．04m 2．求：（1)小理同学的重力；(2)小理同学对地面的压强。
（3）小理同学单脚站立时对地面的压强。
解：已知：m=50kg S 双=0．04m 2 S 单=1/2 S 双=0．02m 2 g=10N/kg (1)G=mg=50kg ×10N/kg=500N(2)F=G=500N P=F/S=500N/0．04m 2=1.25×104 Pa(3)方法一： 由于小理同学单脚站立时，重力未变，压力也没变即F=500N/ 0．02m 2 =2.5×104 Pa 方法二：由于小理同学单脚站立时，重力未变对地面的压力也没变，即：P 单/P 双=S 双/S 单 P 单/1.25×104 Pa =0．04m 2//0．02m 2 P 单=2.5×104 Pa例2、一头大象的质量为3t ，大象一只脚掌与地面接触面积为0.2 m 2，求：（1)该大象的重力（2）大象抬起一只脚对地面的压力和压强二，与物体有关的考题例1、建设工地的压桩机常会用到一种如图12所示长方体混凝土块。
求：(1)混凝土块的体积。
(2)混凝土块的质量。
（3）混凝土块受到的重力。
(4)混凝土块平放时对地面的压强。
(混凝土的密度为2.8×103kg/m 3)例2、杨丹同学对实验室的显微镜发生了浓厚的兴趣，他用台秤测量出它的质量为2kg ，用直尺测量并经过简单计算得出它的底面积为0.04m 2，当显微镜放在水平桌面上时．求：(1)显微镜所受的重力多大?(2)它对水平桌面的压强有多大?三、与车辆有关的题目，注意题目中车轮的受力面积是否是全部车轮的面积例1、我国自行研发的纯电动中巴车的质量约为2000kg ，静止时轮胎与路面接触的总面积约0.2m 2，以30m/s 的速度沿水平路面匀速行驶时牵引力为2400N 。
第14章 虚位移原理_例题
，
b
b kb x d (1) 故弹簧力 T k x d a a a
当 AC 有： x x a , l b
b a 时，弹簧长度为l ：
l b a b xdFra bibliotek 3、给虚位移 x C 、 求各虚位移间的关系(解析法简单)
2、正确进行受力分析： 画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦
力和待求的约束反力或内力。
3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。 可以用几何法(几何或物理关系、瞬心法、虚位移投影法)； 也可以用解析法(写出坐标约束方程进行变分)。
4、应用虚位移原理建立方程。
5、解虚功方程求出未知数。
选择AB杆、CD杆和滑套D的系统为研究对象。
re
300 cos
300 sin cos
2
rr re tan
ra re
rB
F
rr
去掉弹簧，暴露出弹簧力 F 和 F
弹簧原长 ( 600 300 ) mm 300 弹簧后来长 ( 600 cos ) mm 300 弹簧缩短 ( cos 300 ) mm
C A θ
θ D F Fθ
rD
rC
B
rB
P
应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点： 1、正确选取研究对象： 以理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。 若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计
入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。
若要求解约束反力(或内力)，需解除相应的约束，代之以 约束反力，并计入主动力(或暴露出内力) 。应逐步解除约束， 每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动 力，增加一个自由度。
第14章 流变学基础
第十四章流变学基础第一节概述一、流变学的基本概念（一）流变学研究内容流变学—Rheology来源于希腊的Rheos=Sream（流动）词语，是Bingham和Crawford 为了表示液体的流动和固体的变形现象而提出来的概念。
流变学主要是研究物质的变形和流动的一门科学。
对某一物体外加压力时，其内部各部分的形状和体积发生变化，即所谓的变形。
对固体施加外力，固体内部存在一种与外力相对抗的内力使固体保持原状。
此时在单位面积上存在的内力称为内应力（stress）。
对于外部应力而产生的固体的变形，当去除其应力时恢复原状的性质称为弹性（elasticity）。
把这种可逆性变形称为弹性变形（elastic deformation）,而非可逆性变形称为塑形变形（plastic deformation）。
流动是液体和气体的主要性质之一，流动的难易程度与流体本身的粘性（viscosity）有关，因此流动也可视为一种非可逆性变形过程。
实际上，多数物质对外力表现为弹性和粘性双重特性，称为粘弹性物质。
（二）剪切应力与剪切速度观察河道中流水，水流方向一致，但水流速度不同，中心处的水流最快，越靠近河岸的水流越慢。
因此在流速不太快时可以将流动着的液体视为互相平行移动的液层，叫层流，如图14-1。
由于各层的速度不同，便形成速度梯度du/dy，或称剪切速度。
这反映流体流动的特征。
由于流动阻力便产生速度梯度，流动较慢的液层阻滞着流动较快液层的运动。
使各液层间产生相对运动的外力叫剪切力，在单位液层面积（A）上所需施加的这种力称为剪切应力，简称剪切力（shearing force），单位为N·m-2，以S表示。
剪切速度（rate of shear），单位为s-1，以D表示。
剪切应力与剪切速度是表征体系流变性质的两个基本参数。
图14-1 流动时形成的速度梯度二、流变学在药剂学中的应用流变学在药学研究中的重要意义在于可以应用流变学理论对乳剂、混悬剂、半固体制剂等的剂型设计、处方组成以及制备、质量控制等进行评价。
理论力学第十四章 拉格朗日方程 [同济大学]
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动力学
韋林教授
第十四章拉格朗日方程(第二类方程) §14-1动力学普遍方程
达朗伯原理 虚位移原理
例14-1 一套滑轮系统悬挂两个重物.设:绳,滑轮质量不计.求重 为P1的物体上升的加速度a1。 解:
(P 1F 1 g )δS1 ( P 2 F2 g )δS 2 0
(F F
i
r
r i δq j j 1 q j
广义力 r r r i i i q j, (1) vi r t j 1 q j
r
d T T )δq j 0, j q j dt q
Qj
δq j 0
V q j
广义 速度
ri
d T T Qj, j q j dt q
T 1 1 1 2 m2v 2 (m1 m2 ) R 2 2 J 0 2 2 2
1 1 2 kR 2 2 L T V (m1 m2 )R 2 2 2
m1
V
1 l k k 2 2 mg θ (δ0 bθ )2 δ0 θ b 2 2 2 2 2
3
v0 v
x
L R 2 k1 k 2 ( y R )( R ),
d L L ( ) 0 dt y y L , m2 y y L ( y R )k 2 y
R 2 k1 ( y R)k 2 ( R) 0 m1 R 2
R 2 (k1 k 2 ) k 2 Ry m1 R 2
k 2 y k 2 R m2 y
r 1 3 3 xc x r sin 1 , c x r cos θ1θ x 1 v0 1 2 2 c 3 3 , v0 rθ x c r sin 1 yc r cos 1 , y 2 1 2 2 2 2 r 2 9 r 2θ 2 3θ θ 2 r 2 ( 3 r cos 2 3 2 3 r 2 cos θ vc2 2 1 2 1 cos θ1r 2 1 1 ) ( r sin 11 ) 2 2 1 1 4 2 2 2
工程力学第14章答案
习题14-2图习题14-3图P F P F P F P F 0PF P -F 2F -2F 2F -2F 0000000P F P F PF P -F P-F P -F P F P F P F P F 0P F P -F 2F -2F 2F -2F 0000P F PF P F P-F P -F P -F 00习题11-2解图 第14章 压杆的平衡稳定性分析与压杆设计14－1 关于钢制细长压杆受力达到分叉载荷之后，还能不能继续承载，有如下四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A ）不能，因为载荷达到临界值时，屈曲位移将无限制地增加； （B ）能，压杆一直到折断时为止都有承载能力； （C ）能，只要横截面上的最大应力不超过一定限度； （D ）不能，因为超过分叉载荷后变形不再是弹性的。
正确答案是 C 。
14－2 图示a 、b 、c 、d 四桁架的几何尺寸、杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。
关于四桁架所能承受的最大外力F Pmax 有如下四种结论，试判断哪一种是正确的。
（A ）)d ()b ()c ()a (max P max P max P max P F F F F =<=； （B ）)d ()b ()c ()a (max P max P max P max P F F F F ===； （C ）)c ()b ()d ()a (max P max P max P max P F F F F =<=；（D ）)d ()c ()()a (max P max P max P max P F F b F F =<=。
正确答案是 A 。
解：各杆内力如解图所示，由各受杆内力情况可知，应选答案（A ）。
14－3 图示四压杆均为圆截面直杆，杆长相同，且均为轴向加载。
关于四者分叉载荷大小有四种解答，试判断哪一种是正确的（其中弹簧的刚度较大）。
（A ）)d ()c ()b ()a (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F <<<； （B ）)d ()c ()b ()a (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>； （C ）)a ()d ()c ()b (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>；（D ）)d ()c ()a ()b (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>。
第14章第2单元动量定理
一、冲量
1、定义：力和力的 作用时间 的乘积．
2、表达式：I＝Ft.单位：牛秒(N·s) 3、矢量性：冲量是矢量，它的方向由 力的方向决定． 4、物理意义：表示力对 时间的积累． 5、作用效果：使物体的 动量发生变化．
二、动量定理
1．内容：物体所受合力的 冲量等于物体的 动量的变化．
图4
解析 对系统运动的全过程，由动量定理有：
(m 1＋m 2)a(t1＋t2)＝m 1v A
解出
v
A＝(m
1＋m 2)(t1＋t2)a. m1
1、（6分）（2014•福建理综，30（2））一枚火箭搭载着卫星以速率
v0进入太空预定位置，由控制系统使箭体与卫星分离。已知前部分的卫 星质量为m1，后部分的箭体质量为m2，分离后箭体以速率v2沿火箭原 方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星
如图2所示，一铁块压着一纸条放在水平桌面上，当以速度v
抽出纸条后，铁块掉在地上的P点．若以2v速度抽出纸条，则铁
块落地点为
(B)
A．仍在P点
B．在P点左边
C．在P点右边不远处
D．在P点右边原水平位移的两倍处
图2
解析 纸条抽出的过程，铁块所受的滑动摩擦力一定，以v的速度抽出 纸条，铁块所受滑动摩擦力的作用时间较长，由I＝Fft＝mv0得铁块获 得速度较大，平抛运动的水平位移较大．以2v的速度抽出纸条的过程， 铁块受滑动摩擦力作用时间较短，铁块获得速度较小，平抛运动的位 移较小，故B选项正确．
的速率v1为 A. v0 — v2
（D） B. v0 + v2
C. v0 — m2v2/m1
D. v0 +m2(v0-v2)/m1
机械设计试题及答案第十四章 弹簧
14—26 有一定刚度的圆柱形螺旋弹簧，最大工作载荷P2=300N时，变治 量2＝240mm，求其刚度KP；当变形量 1 =40mm时，弹簧所受的载荷 P1又是多少？ 解： 当变形－27 一个调节阀用弹簧所受载荷P＝460N，弹簧丝直径d＝4mm，工 作圈数 n ＝＝ 6，材料为60 SiZMn，受变载荷作用次数为104，试计算弹 簧的变形量和刚度K P，并验算该弹簧的强度及稳定性。选取弹簧的自由 高度H0＝ 90mm。 解1）．校核弹簧强度 根据表16－7，当 d=4mm时，选取弹簧的弹簧指数 c＝ 7，则中径为
14－13当弹簧丝直径一定时，弹簧指数C选得过大所带来的缺点是下 列中哪个？
（1）弹簧的刚度太小．易发生颤动，影响正常工作；（2）弹簧卷制很困难； （3）弹簧受载时，内侧应力较大；（4）弹簧易产生失稳现象。 答案：弹簧的刚度太小，易发生颤动，影响正常工作。 14－14设计圆柱形螺旋弹簧时，弹簧指数可参考下列哪个数值的大小来初步选择？ （1）弹簧丝的直径d；（2）弹簧的螺旋角a； （3）节距t； （4）弹簧的自由高度H0 答案：弹簧丝的直径八 14－15圆柱形 拉——压螺旋弹簧工作高度H w与自由高度H 0的差值，取决 于下列中的哪个？ （1）端部形式；（2）轴向间隙；
14－20圆柱形扭转螺旋弹簧．在扭矩作用下．弹簧丝法向剖面内的最大 弯曲应力出现在什么地方？ （1）剖面的圆心O点处；（2）剖面远离弹簧轴线一侧的一点； （3）剖面靠近弹簧轴线一侧的一点；（4）剖面圆周上的其它点。 答案：剖面靠近弹簧轴线一侧的一点。 14－21圆柱形扭转螺旋弹簧，若中径D2和弹簧材料不变，仅把弹簧丝直径 d和工作圈数n都增大到2倍，则它受载后的最大弯曲应力 max为多大？ （1）略小于原来的1／8；（2）原来的1／8； （3）略大于原来的1／8；（4）原来的1／4。 答案：略大于原来的1／8。 14－22 一圆柱形扭转螺旋弹簧，其簧丝直径 d＝4.5 mm，外径 D＝31.5 mm，若材料的许用弯曲应力「 b」＝ 875MPa，则弹簧所能承受的最大工 作扭矩T max为多少N· m？ （1） 6．9；（2） 7．2；（3）7．5；（4） 7．8 答案：6．9 14－23离合器中的圆柱形压缩螺旋弹簧，其外径 D＝ 30 mm，弹簧丝直 径 d＝3 mm，最大工作载荷F=100N，若弹簧工作圈数 n＝ 6，弹簧材料 的剪切弹性模量G＝ 80000MPa，则弹簧在载荷下的变形量为多少mm？ （1） 14．58；（2） 15．13；（3） 15．62；（4） 16．31 答案：14.58。
理论力学 第十四章 动荷载解析
三、动荷载的分类
1.惯性荷载 2.冲击荷载 3.振动荷载 4.交变荷载
实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且 E静 = E动。
四、本章讨论的动载荷问题：
（1）构件作等加速直线运动和等速转动时的动应力计算； （2）构件在受冲击的动应力计算；
§14-2 等加速直线运动时构件的应力计算
P d
d2 2 st d 2h st 0
d 2 st d st ( 1
42st
2
8h st
st (1
1
2h
st
)
Kd st
1 2h )
st
其中 Kd 1
Fd d P st
1 Kd
2h
st
d Kd st
为冲击动荷系数
Fd Kd P
解决冲击问题,关键在于如何确定动荷系数Kd
图示装有飞轮的轴,飞轮的转速n=100r/min,转动惯
量I=0.5kN.m.s2.轴的直径d=100mm.刹车时使轴在
10秒内均匀减速至停止.求:轴内最大动应力
飞轮与轴的转动角速度:
0
n
30
10
3
角加速度: 1 0
角加速度与角速度方向相反, 按动静y法在飞轮上加惯性力:
Md
10
I
动静法：
达朗伯原理 达朗伯原理认为 处于不平衡状态的物体,存在惯性力,惯性力
的方向与加速度方向相反,惯性力的数值等于加速度与质量的乘 积.只要在物体上加上惯性力,就可以把动力学问题在形式上作为
静力学问题来处理,这就是动静法.
惯性力大小等于质点的质量m与加速度a的乘积,方向与a 的
习题第14章答案
第14章 轴向拉伸与压缩14-1 用截面法求图14-1（a ）（b ）（c ）所示各杆指定截面的内力。
（a ） （b ）（c ）图14-1解：（a ）1. 用截面1-1将杆截开，取左段为研究对象，作受力图，由平衡方程 0X =∑得 10N =2. 用截面2-2将杆截开，取左段为研究对象，作受力图，由平衡方程 0X =∑，20N P -=得 2N P =3. 用截面3-3将杆截开，取左段为研究对象，作受力图，由平衡方程 0X =∑，30N P -=得 3N P =（b ）1. 用截面1-1将杆截开，取左段为研究对象，作受力图，由平衡方程 0X =∑，12202N kN ⨯-= 得 12N k N = 2. 用截面2-2将杆截开，取左段为研究对象，作受力图，由平衡方程 0X =∑，220N kN -=得 12N k N =（c ）1. 用截面1-1将杆截开，取右段为研究对象，作受力图，由平衡方程 0X =∑，130N P P --+=得 12N P =-2. 用截面2-2将杆截开，取右段为研究对象，作受力图，由平衡方程 0X =∑，20P N -=得 2N P =14-2 试计算图14-2（a ）所示钢水包吊杆的最大应力。
已知钢水包及其所盛钢水共重90kN ，吊杆的尺寸如图（b ）所示。
（b ） （c ）图14-2解：吊杆的轴力90N kN =。
吊杆的危险截面必在有圆孔之处，如图14-2（c ）所示，它们的截面积分别为22321(656520) 2.92510A mm m -=-⨯=⨯2322(104606018) 5.1610A m m m -=⨯-⨯=⨯ 2323[11860(6018)2] 4.9210A m m m -=⨯-⨯⨯=⨯ 显然，最小截面积为321 2.92510A m -=⨯，最大应力产生在吊杆下端有钉空处 3max 31190102215.382.92510P N MPa A A σ-⨯====⨯14-3 一桅杆起重机如图14-3所示，起重杆AB 为一钢管，其外径20D mm =，内径18d mm =；钢绳CB 的横截面积为20.1cm 。
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14.2 弹簧的材料和制造
14.2.1 弹簧材料
材料要求——具有较高的弹性极限、疲劳极限、冲击韧性、 塑性和良好的热处理工艺性等，冷拔钢有均匀的硬度和良 好的塑性。
SEU-QRM
14.3.6 受静载荷弹簧的设计计算
① 选择簧丝材料，弹性模量G就确定了。 ② 根据弹簧的空间条件初步选择弹簧的中径D2 。 ③ 参考表14.6初步确定弹簧指数C与弹簧丝直径d 。
注意两点：第一，C 、d 两个参数是同时确定的， 第二，初步选择弹簧指数C时，宜在表14.6中取居中的数值。 ④ 计算弹簧工作圈数n，继而算出 其他参数。 ⑤ 如果算出的弹簧圈数n符合产品的空间条件，弹簧参数的选 择即告完成； 若出现矛盾，适当调整弹簧指数C等参数，再试算一二次， 即可符合要求。
曲率和切向力对扭应力的影响。
K 0.615 4C 1 C 4C 4
一定条件下簧丝直径
KFC d 1.6
SEU-QRM[ T ]
A
D2/2
14.3.4 弹簧的变形和刚度
8FD23n 8FC 3n
Gd 4
Gd
n——弹簧的有效圈数； G——弹簧的切变模量，表14.2
弹簧的圈数及刚度分别为
SEU-QRM
14.3.5 弹簧的稳定性计算
长径比b(=H0/D2)小于下述值时 视为稳定： 弹簧两端均为回转端时b≤2.6； 均为固定端时b≤5.3； 一端固定而另一端回转时b≤3.7。
nt (n0 n 1)d ground
nt (2n 1)d 两端并紧不磨平
H0 td
D D2
D1
弹簧螺旋升角(pitch angle)——
通常取=5~9
弹簧丝长度(entire length)——
SEU-QRM
tan1
t
D2
L D2n0 cos
21
14.3.2 弹簧特性曲线 按照结构型式不同，常见的弹簧特性曲线有四种。
弹簧的特性曲线应绘制在弹簧的工作图上，作为检验与试 验的依据之一。同时还可在设计弹簧时，利用特性曲线进22 行载荷与变形关系的分析。
SEU-QRM
压 缩 弹 簧 的 特 性 曲 线
SEU-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱRM
螺
旋
拉
伸
弹
簧
的
特
性
曲
线
SEU-QRM
14.3.3 弹簧的受力和应力
T WT
FQ A
FD2 / 2 F
钢是最常用的弹簧材料。
当受力较小而又要求防腐蚀、防磁等特性时，可以采用有 色金属。
此外，还有用非金属材料制做的弹簧，如橡胶、塑料、软 木及空气等。
SEU-QRM
16
20.2.3 弹簧制造
螺旋弹簧的制造工艺过程——①绕制；②钩环制造；③端部 的制作与精加工；④热处理；⑤工艺试验等，重要的弹簧还 要进行强压处理。
螺旋弹簧的绕制方法——冷卷法与热卷法 冷卷——簧丝直径d8mm。卷成后只须低温回火以消除内 应力。 热卷——簧丝直径较大(d>8mm)。卷成后必须进行淬火、中 温回火等处理。
为提高弹簧的承载能力，可强压处理(受载6～48h)。
对于重要的弹簧，还要进行工艺检验和冲击疲劳等试验。
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SEU-QRM
D D2
D1
SEU-QRM
H0 td
H0 td
D2
D1 D
弹簧的自由长度(free length) ——
H0 n n0 0.5d
nt (n0 n 0.5)d nt (2n 0.5)d
Both ends closed and ground
两端并紧磨平
H0 n n0 1d
Closed ends, not
主要弹簧材料及其使用性能——表14.2 许用应力与B有关
实践中应用最广泛的材料——弹簧钢，其品种又有碳素弹 簧钢、低锰弹簧钢、硅锰弹簧钢和铬钒钢等。
碳素弹簧钢丝的抗拉强度极限, B——表14.3 与弹簧丝直
径d有关
SEU-QRM
14.2.1 材料选择
应考虑的因素——弹簧的用途、重要程度与所受的载荷性 质、大小、循环特性、工作温度、周围介质等使用条件， 以及加工、热处理和经济性等，以便使选择结果与实际要 求相吻合。
圆柱压簧端部形式
A variety of end treatments or Types of ends——
Plain ends ground. 磨平
(端部并紧不磨平)
Both ends squared.
Closed and
ground ends. 端部并紧磨平
SEU-QRM
14.3 圆柱螺旋压缩和拉伸弹簧的设计
n Gd 4 Gd
8FD
3 2
8FC 3
k F Gd 4 Gd
8D23n 8C 3n
SEU-QRM
讨论： ① 在D2 、d相同时，弹簧刚度k与有效圈数n成反比，即圈数越少 弹簧越“有劲”，而圈数越多 的弹簧越“软”。 ② 在D2 、n相同时，弹簧刚度k与簧丝直径的四次方d4成正比。因 此，簧丝直径只有少许增加，弹簧刚度就有相当大的提高。 ③ 在d 、n相同时，弹簧刚度k与弹簧中径的三次方D23成反比。因 此，弹簧中径略有增加，弹簧刚度就会有可观的下降。
14.3.1 圆柱弹簧的参数及几何尺寸
圆柱弹簧的主要尺寸——
弹簧丝直径(wire dia.), d 弹簧圈外径(outside dia.), D 弹簧圈内径(inside dia.), D1 弹簧圈中径(mean dia.), D2 节距(pitch), t
螺旋升角(pitch angle),
自由长度(free length), H0
d 3 / 16 d 2 / 4
8FD2
d 3
1
1 K 2C
8FD2
d 3
[ T ]
C=D2/d ——旋绕比是最重要的参数之一。
max
C愈小，其刚度愈大，弹簧愈硬，弹簧内 外侧的应力相差愈大，材料利用率低；反 之弹簧愈软。常用弹簧指数的选取参见表 14.6。
引入曲度系数K——考虑了弹簧丝
第14章 弹簧
Springs
14.1 14.2 14.3
概述 弹簧的材料及制造 圆柱拉簧的设计
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14.1 概述
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SEU-QRM
SEU-QRM
弹簧在产品中的应用示例
a)汽车底盘上的叠板弹簧 b)气门弹簧 c)棘轮机构里的片簧 d)条盒转动式发条弹簧 e)电表中的测量弹簧 f)弯片弹簧触点 g)压注油杯 h)油路阀门 i)弹簧夹子