切比雪夫I型低通滤波器设计解读

*******************实践教学*******************兰州理工大学计算机与通信学院2013年春季学期信号处理课程设计题目：切比雪夫I型低通滤波器设计专业班级：通信工程三班姓名：学号：指导教师：蔺莹成绩：摘要本次课程设计将完成一个数字切比雪夫低通IIR 滤波器的设计，利用双线性变换和冲激响应不变法完成设计，并利用MATLAB 进行仿真。

已知数字滤波器的性能指标为：通带截止频率为:0.4,1,0.45,15p p s P R dB R dB ω=π=ω=π=通带波动为阻带波动为，要求设计满足以上技术指标的切比雪夫I 型低通滤波器。

绘制出理想冲激响应和实际冲激响应结果图。

并且给出幅度响应结果图。

关键字：数字滤波器 切比雪夫 双线性变换 冲激响应不变前言 (1)一．数字滤波器 (2)1．1 数字滤波器的概念 (2)1．2数字滤波器的分类 (2)1．3 IIR数字滤波器设计原理 (3)二．切比雪夫滤波器 (5)三．双线性变换法 (8)四．脉冲响应不变法 (12)五．切比雪夫低通滤波器的设计 (15)5．1 程序流程图 (15)5．2 设计步骤 (15)六．总结 (18)七．参考文献 (19)致谢 (20)附录 (21)随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科和技术领域。

目前数字信号处理在通信、语音、图像、自动控制、雷达、军事、航空航天、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。

在数字信号处理中起着重要的作用并已获得广泛应用的是数字滤波器（DF，Digital Filter），根据其单位冲激响应函数的时域特性可分为两类：无限冲激响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限冲激响应FIR（Finite Impulse Response）滤波器。

与FIR 滤波器相比，IIR的实现采用的是递归结构，极点须在单位圆内，在相同设计指标下，实现IIR滤波器的阶次较低，即所用的存储单元少，从而经济效率高。

MATLAB是英文MATrix LABoratory(矩阵实验室)的缩写。

它是美国的MathWorks公司推出的一套用于科学计算和图形处理可视化、高性能语言与软件环境。

MATLAB的信号处理工具箱是专门应用于信号处理领域的专用工具箱，它的两个基本组成就是滤波器的设计与实现部分以及谱分析部分。

工具箱提供了丰富而简便的设计，使原来繁琐的程序设计简化成函数的调用。

只要以正确的指标参数调用相应的滤波器设计程序或工具箱函数，便可以得到正确的设计结果，使用非常方便。

一．数字滤波器1．1 数字滤波器的概念滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。

数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。

数字滤波器可以理解为是一个计算程序或算法，将代表输入信号的数字时间序列转化为代表输出信号的数字时间序列，并在转化过程中，使信号按预定的形式变化。

数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。

数字滤波器和模拟滤波器相比，因为信号的形式和实现滤波的方法不同，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配等优点。

输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。

描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。

时域离散系统的频域特性:)()()(ωωωj j j e H e X e Y = （1-1） 其中)(ωj e Y 、)(ωj e X 分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）, )(ωj e H 是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。

输入序列的频谱)(ωj e X 经过滤波后)()(ωωj j e H e X ,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择)(ωj e H ，使得滤波后的)()(ωωj j e H e X 满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。

1．2数字滤波器的分类按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，但总起来可以分成两大类：经典滤波器和现代滤波器。

经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波的目的。

但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器不能有效地滤除干扰，最大限度地恢复信号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。

现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地回复信号，从而达到最佳滤波的目的。

经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分为：低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器。

图1 各种理想滤波器的幅频特性数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。

IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为：∑∑==-+-=Ni Ni i i i n y b i n x a n y 01)()()(（1-2） 系统函数为：kN k i Mr rr Z a Zb z H -==-∑∑+=11)( （1-3）设计IIR 滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。

1．3 IIR 数字滤波器设计原理IIR 数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为)()(1)(10z x z n z a z b Z H Nk kk Mk k k=-=∑∑=-=- （1-4）假设M ≤N ，当M ＞N 时,系统函数可以看作一个IIR 的子系统和一个(M-N)的FIR 子系统的级联。

IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和 ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。

如果在S 平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z 平 面上去逼近，就得到数字滤波器。

设计高通、带通、带阻等数字滤波器通常可以归纳为如图所示的两种常用方法。

方法 方法图2.数字滤波器设计的两种方法方法1： 首先设计一个模拟原型低通滤波器，然后通过频率变换成所需要的模拟高通、带通或带阻滤波器，最后再使用冲激不变法或双线性变换成相应的数字高通、带通或带阻滤波器。

方法2 ：先设计一个模拟原型低通滤波器，然后采用冲激响应不变法或双线性变换法将它转换成数字原型低通滤波器，最后通过频率变换把数字原型低通滤波器变换成所需要的数字高通、带通或带阻滤波器。

方法一的缺点是，由于产生混叠是真，因此不能用冲激不变法来变换成高通或阻带滤波器，故一般采用第二种方法进行设计。

二．切比雪夫滤波器目的：构造一个模拟低通滤波器。

为了从模拟滤波器出发设计IIR 数字滤波器，必须先设计一个满足技术指标的模拟滤波器，亦即要把数字滤波器的指标转换成模拟滤波器的指标，因此必须先设计对应的模拟原型滤波器。

模拟滤波器的理论和设计方法己发展得相当成熟，且有一些典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些典型的滤波器各有特点。

这里介绍切比雪夫滤波器。

切比雪夫滤波器特点：误差值在规定的频段上等波纹变化。

巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次N 很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式来逼近所希望的。

切比雪夫滤波器的在通带范围内是等幅起伏的，所以在同样的通常内衰减要求下，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。

切比雪夫滤波器的振幅平方函数为)(11)()(2222εεΩΩ+=Ω=ΩN V j H A (2-1) 式中Ωc 为有效通带截止频率，表示与通带波纹有关的参量，值越大通带不动愈大。

V N （x ）是N 阶切比雪夫多项式，定义为=)(x V N 22011)(1)cosh cosh(1)cos cos(ε+=Ω⎪⎩⎪⎨⎧>≤=Ωj H x x Nar x x Nar a (2-2)切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图所示：N 为偶数，cos 2()=1，得到min ，220a 11)(ε+=Ω=Ωj H （2-3）N 为奇数，cos 2(，得到max ，1)(20=Ω=Ωj H a（2-4）图3 切比雪夫滤波器的振幅平方特性有关参数的确定: a 、通带截止频率：预先给定;b 、与通带波纹有关的参数,通带波纹表示成10=δlg 2minmax 2min2max 111lg20)()(lg20)()(ε+=ΩΩ=ΩΩj H j H j H j H a a a a（2-5）所以, ()21lg 10εδ+=, 1101.02-=δε 给定通带波纹值分贝数后，可求得2ε。

ｃ、阶数N:由阻带的边界条件确定。

s Ω、2A 为事先给定的边界条件,即在阻带中的频率点s Ω处,要求滤波器频响衰减到1/A 2以上。

s Ω=Ω时，221)(A j H a ≤Ω (2-6)2221)(11A V cs N≤Ω+ε(2-7)ε12-≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩA V csN(2-8)1>X 时，()()x Nar x V N cosh cosh =得()c s ar A ar N ΩΩ-≥cosh 1cosh 2ε（2-9）因此，要求阻带边界频率处衰减越大，要求N也越大，参数N ，给定后，查阅有关模拟滤波器手册，就可求得系统函数Ha(s)。

三．双线性变换法为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从S 平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。

为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T ～π/T 之间，再用z =e sT 转换到Z 平面上。

也就是说，第一步先将整个S 平面压缩映射到S 1平面的-π/T ～π/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系z =e s 1T 将此横带变换到整个Z 平面上去。

这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3图4双线性变换的映射关系为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到S1平面j Ω1轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以下的正切变换实现⎪⎭⎫⎝⎛Ω=Ω2tan 21T T （3-1）式中,T 仍是采样间隔。