任意角、弧度制及三角函数定义练习题

任意角、弧度制及三角函数定义

基础训练题

1．296

π-

所在象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

2．下列各命题正确的是

A ．终边相同的角一定相等

B ．第一象限角一定是锐角

C ．小于90︒的角都是锐角

D ．锐角都是第一象限角

3．圆的半径是6 cm ，则15︒的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是

A ．2cm 2π

B ．23cm 2π

C ．2cm π

D ．23cm π 4．已知角α的终边经过点(5,12)P -，则sin cos αα+= 13 ．

5．已知[0,2]απ∈，且角α的正切线的长度为1，则角α的取值集合为 ．

6．已知sin α，cos α是关于x 的方程220x x m --=的两个根，则m = ．

解：依题意有140,1sin cos ,2sin cos .2

m m ∆αααα⎧⎪=+≥⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩因为2(sin cos )12sin cos αααα+=+，所以114m =-，解得34m =，这时40∆=>，故34m =．

例题解析

例1 已知扇形的周长是6 cm ，面积是22cm ，试求扇形的中心角的弧度数．

例2 已知角θ终边上一点(,3)(0)P

x x ≠，且cos

θ，求sin θθ的值．

例3

求下列函数的定义域：（1）y =

（2）lg cos 2y x =

例4 设1sin ,,2()1(1)1,.2x x f x f x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩求1746f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

的值．

解：因为1sin 44f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，7713111sin 166662f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，所以173462f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．

巩固训练

1．在直角坐标系中，终边落在直线y x =上的角集合是 D

A ．54π⎧⎫⎨⎬⎩⎭

B ．4π⎧⎫⎨⎬⎩⎭

C ．2()4k k ππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z

D ．()4k k ππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩

⎭Z 2．若cos 0θ>，且sin 20θ<，则角θ的终边所在象限是 D

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．若集合{|,}25

k M k ππαα==

-∈Z ，{|}N απαπ=-<<，则M N = C A ．3,510ππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．47,510ππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．347,,,510510ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ D ．73,1010ππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 4．角α的终边上的一点的坐标是(3,3)-，则角α的集合是 ．{|2,}4

k k πααπ=-+∈Z 5．若sin cos 0θθ⋅>，则θ是第 一或三 象限角．

6．满足1sin()42

x π-≥的x 的集合是 513{|22,}1212x k x k k ππππ+≤≤+∈Z ．

参考例题

1

．写出终边在直线y =

上的角集合．

解：以射线(0)y x ≥为终边的角集合为1{|2,}6

S k k παπ=+∈Z ．

以射线(0)y x <为终边的角集合为17{|2,}6

S k k παπ=+∈Z ．

所以终边在直线y 上的角集合为7{|2,}{|2,}{|,}666S k k k k k k πππαπαπαπ=+∈+∈=+∈Z Z Z ．

2．已知cos 0θ>，且sin 20θ<，确定角θ的终边所在象限．

解：因为sin 20θ<，则2θ为三、四象限的角．

因为cos 0θ>，则θ为一、四象限的角．

所以有22,22222(),k k k k k πππθπππθπ⎧-<<+⎪⎨⎪-<<∈⎩Z 即22,22().2

k k k k k πππθπππθπ⎧-<<+⎪⎪⎨⎪-<<∈⎪⎩Z 所以角θ是第四象限的角．

3．利用三角函数线，求满足1sin 2x ≤

的角x 的集合． 解：作直线12y =交单位圆于A ，B 两点，则射线OA ，OB 为终边的角集合分别为{|2,}6x k k ππ+∈Z ，5{|2,}6x k k ππ+∈Z ．因此，满足不等式1sin 2x ≤的角x 的集合为7{|22,}66

x k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ．

自我测试（3选3填2答）

1．若集合{M =第二象限角}，{N =钝角}，{P =大于90︒的角}，则下列关系中正确的是D

A ．M N P ==

B ．M P N =

C ．N M P ⊆⊆

D ．N M

P ⊆

2．若角α的终边在直线2y x =上，则sin α= B

A ．15± B

． C

． D ．12± 3．设角α属于第二象限，且|cos |cos 22

α

α=-，则角2α属于 C A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

4．与34

π终边相同的角集合中，最大值负角是 54π

- ． 5

．函数y =

的定义域为 {|22,}2x k x k k πππ<<+∈Z ． 6．终边落在图中阴影区域里的角集合分别为S = ，P = ．

解：图1中，边界角集合为{|45360,}x k k ︒+⨯︒∈Z ，{|135360,}x k k ︒+⨯︒∈Z ．

所以阴影区域表示的角集合为{|45360135360,}x k x k k ︒+⨯︒≤<︒+⨯︒∈Z ．

图2中，边界角集合为{|60180,}x k k -︒+⨯︒∈Z ，{|30180,}x k k ︒+⨯︒∈Z ．

所以阴影区域表示的角集合为{|6018030180,}x k x k k -︒+⨯︒≤<︒+⨯︒∈Z ．

7．利用三角函数线比较大小：2sin

5π，6cos 5π，7tan 5

π． 结果：627cos sin tan 555πππ<<．

8．若α，β是关于x 的一元二次方程222(cos 1)cos 0x x θθ+++=

的两根，且||αβ-≤求θ的取值范围．

解：因为方程有解，所以224(cos 1)4cos 0∆θθ=+-≥，解得1cos 2

θ≥-．