第4章 连续时间信号与系统的复频域分析图文模板
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信号与系统第四章连续系统的频域分析.ppt
2e
j ( 9 t ) 4
4e
j ( 6 t ) 2
6e
j ( 3 t ) 4
16 6e
j (3 t ) 4
4e
j (6 t ) 2
2e
j (9 t ) 4
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0
j ( 9 t ) 4
4e
j ( 6 t ) 2
6e
j ( 3 t ) 4
16 6e
j (3 t ) 4
4e
j (6 t ) 2
2e
j (9 t ) 4
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲， 其周期为T，如图所示。求频谱。
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多， 即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。此时有：
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 jKj
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数 集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:
A0 = a0
An a b
2 n
2 n
an An cosn
bn An sin n
bn n arctan an
A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信 号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n= – n，则上式写为：
A0 1 1 j n jn t j n jn t An e e An e e 2 2 n1 2 n 1
令 A0 A0e
j 0
信号与系统第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
5
第4章 连续系统的复频域分析
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
当函数 f (t ) 乘以收敛因子 e t 后，就有可能满足绝对可积条件。然而，是否一定满足， 还要看 f (t ) 的性质与 值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数 f (t ) ，通常并不是所 有的 值都能使 f (t )e t 为有限值，即并不是对所有的 值 f (t ) 都存在拉普拉斯变换，而只 有在 值的一定范围内， f (t )e t 是收敛的， f (t ) 存在拉普拉斯变换。通常把使 f (t )e t 满足 绝对可积条件的 值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域。在收敛域内，函数 f (t ) 的拉普拉 斯变换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。 对于有始信号 f (t ) ，若存在下列关系
F ( j ) f (t )e e
t jt
dt f (t )e
( j ) t
dt
根据傅里叶逆变换的定义，则
t
f (t )e
1 2
F ( j )e d
3
jt
第4章 连续系统的复频域分析
如果令 s j ，则：
n! t u(t ) n1 s
n
特别是，当 n 1 时
L[tu(t )] 1 s2
而 n 2时
2 L[t u(t )] 3 s
2
9
第4章 连续系统的复频域分析 4. 单位冲激函数
根据单位冲击函数 (t ) 的定义及其抽样性
L[ (t )]
0
(t )e st dt 1
6
第4章 连续系统的复频域分析
4.1.3 常用信号的单边拉普拉斯变换
第4章 连续系统的复频域分析
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
当函数 f (t ) 乘以收敛因子 e t 后，就有可能满足绝对可积条件。然而，是否一定满足， 还要看 f (t ) 的性质与 值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数 f (t ) ，通常并不是所 有的 值都能使 f (t )e t 为有限值，即并不是对所有的 值 f (t ) 都存在拉普拉斯变换，而只 有在 值的一定范围内， f (t )e t 是收敛的， f (t ) 存在拉普拉斯变换。通常把使 f (t )e t 满足 绝对可积条件的 值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域。在收敛域内，函数 f (t ) 的拉普拉 斯变换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。 对于有始信号 f (t ) ，若存在下列关系
F ( j ) f (t )e e
t jt
dt f (t )e
( j ) t
dt
根据傅里叶逆变换的定义，则
t
f (t )e
1 2
F ( j )e d
3
jt
第4章 连续系统的复频域分析
如果令 s j ，则：
n! t u(t ) n1 s
n
特别是，当 n 1 时
L[tu(t )] 1 s2
而 n 2时
2 L[t u(t )] 3 s
2
9
第4章 连续系统的复频域分析 4. 单位冲激函数
根据单位冲击函数 (t ) 的定义及其抽样性
L[ (t )]
0
(t )e st dt 1
6
第4章 连续系统的复频域分析
4.1.3 常用信号的单边拉普拉斯变换
精品文档-信号与系统分析(徐亚宁)-第4章
F1= w0/(s^2+w0^2)
F2= s/(s^2+w0^2)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】, 设τ=1 解 求解的代码如下： %program ch4-10 R=0.02; t=-2:R:2; f=stepfun(t, 0)-stepfun(t, 1); S1=2*pi*5; N=500; k=0:N; S=k*S1/N; L=f*exp(t′*s)*R; L=real(L);
本例中
和
的ROC均为
Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零点，
抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析 4.2.3 复频移(s域平移)特性
【例4-4】
, s0为任意常数 (4-12)
求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函数。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
1. s 借助复平面(又称为s平面)可以方便地从图形上表示 复频率s。如图4-1所示，水平轴代表s Re[s]或σ, 垂直轴代表s的虚部，记为Im[s]或jω, 水平 轴与垂直轴通常分别称为σ轴与jω轴。如果信号f(t)绝 对可积，则可从拉氏变换中得到傅里叶变换：
f= exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-9】 用MATLAB求解【例4-2】 解 求解的代码如下：
%program ch4-9 syms w0t; F1=laplace(sin(w0*t)) F2=laplace(cos(w0*t))
(4-2)
F2= s/(s^2+w0^2)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】, 设τ=1 解 求解的代码如下： %program ch4-10 R=0.02; t=-2:R:2; f=stepfun(t, 0)-stepfun(t, 1); S1=2*pi*5; N=500; k=0:N; S=k*S1/N; L=f*exp(t′*s)*R; L=real(L);
本例中
和
的ROC均为
Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零点，
抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析 4.2.3 复频移(s域平移)特性
【例4-4】
, s0为任意常数 (4-12)
求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函数。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
1. s 借助复平面(又称为s平面)可以方便地从图形上表示 复频率s。如图4-1所示，水平轴代表s Re[s]或σ, 垂直轴代表s的虚部，记为Im[s]或jω, 水平 轴与垂直轴通常分别称为σ轴与jω轴。如果信号f(t)绝 对可积，则可从拉氏变换中得到傅里叶变换：
f= exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-9】 用MATLAB求解【例4-2】 解 求解的代码如下：
%program ch4-9 syms w0t; F1=laplace(sin(w0*t)) F2=laplace(cos(w0*t))
(4-2)
西安电子科技大学信号与系统课件ppt-第4章___连续系统的频域分析(共102张PPT)
n1
1 2
An{[cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
[cos(0t n ) j sin(n0t n )]}
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
1 2
An [cos(0t
n)
j sin(n0t
n )]
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
第4章 连续系统的频域分析
第4章 连续(liánxù)系统的频域分析
4.1 信号的正交分解与傅里叶级数
4.2 信号的频谱
4.3 傅里叶变换的性质
4.4 线性非时变系统的频域分析(fēnxī)
4.5 傅里叶变换计算机模拟举例
《 信号与线性系统》
第一页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
4.1 信号的正交分解(fēnjiě)与傅里叶级数
f (t)sin(2 nf )dt
bn
2 T
2 0
f (t) cos(2 nf )dt
c 2 2 f (t)dt T0
(4―7) (4―8) (4―9)
《 信号与线性系统》
第八页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
根 据 (gēnjù) 三 角 函 数 的 运 算 法 则 , 式 (4―6) 还 可 写 成 式
f (t) 1 F ( )e j td
2
(4―27)
《 信号与线性系统》
第二十六页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
式(4―24)和(4―27)是非常重要的一对式子,重写如
下(rúxià),并称前式为f(t)的傅里叶变换,后式为函数F(ω)的
1 2
An{[cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
[cos(0t n ) j sin(n0t n )]}
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
1 2
An [cos(0t
n)
j sin(n0t
n )]
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
第4章 连续系统的频域分析
第4章 连续(liánxù)系统的频域分析
4.1 信号的正交分解与傅里叶级数
4.2 信号的频谱
4.3 傅里叶变换的性质
4.4 线性非时变系统的频域分析(fēnxī)
4.5 傅里叶变换计算机模拟举例
《 信号与线性系统》
第一页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
4.1 信号的正交分解(fēnjiě)与傅里叶级数
f (t)sin(2 nf )dt
bn
2 T
2 0
f (t) cos(2 nf )dt
c 2 2 f (t)dt T0
(4―7) (4―8) (4―9)
《 信号与线性系统》
第八页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
根 据 (gēnjù) 三 角 函 数 的 运 算 法 则 , 式 (4―6) 还 可 写 成 式
f (t) 1 F ( )e j td
2
(4―27)
《 信号与线性系统》
第二十六页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
式(4―24)和(4―27)是非常重要的一对式子,重写如
下(rúxià),并称前式为f(t)的傅里叶变换,后式为函数F(ω)的
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析v11.01
（9）共轭特性 p226 ）
若f (t ) ← F ( s ), ROC : R → 则f (t ) ← F ( s ), ROC : R →
∗ ∗ ∗
4.2 单边拉普拉斯变换
4.2.1定义 定义
定义：f (t ) ↔ F ( s ), σ : (α , ∞) 正变换L[ f (t )] = ∫ − f (t )e − st dt = F ( s ), σ : (α , ∞)
（3）尺度变换特性 ）尺度变换特性p225 则：
若f (t ) ↔ F ( s ), σ : (α , β ), 1 s f (at ) ↔ F ( ), σ : a a 推论：
{
( aα , aβ ), a > 0 ( aα , aβ ), a < 0
，a为常数。
f (−t ) ↔ F (− s ), σ : (− β ,−α )
即：
∫
∞
-∞
δ (t ) e − st dt = 1
δ (t ) ↔ 1
σ：（-∞，∞）
（3）指数信号 ）
∞
F ( s ) = L[e u (t )] = ∫ e e dt
0
− at
− at − st
σ > −α
1 s +α
即：
1 e u (t ) ↔ , σ : (−α , ∞) s +α
− at
（7）时域卷积特性 ）时域卷积特性p227
若f1 (t ) ↔ F1 ( s ), σ : (α1 , β1 ), f 2 (t ) ↔ F2 ( s ), σ : (α 2 , β 2 ), 则 f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ↔ F1 ( s ) ⋅ F2 ( s ), σ : (公共部分 )
第四章 连续时间信号与系统的复频域表示与分析
北京理工大学珠海学院信息学院
信号与系统 2
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
单边指数信号 e at ut
1 e ut , sa
at
Res a
说明
知道 e at u( t ) 的 L 变换可以推导出其他许多函数 的 L 变换。
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信号与系统
e
at
1 ( a j ) t costu( t ) (e e ( a j ) t )u( t ) 2 1 1 1 sa ( s a )2 2 j2 s a j s a j
北京理工大学珠海学院信息学院
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信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
一
1
常用信号的拉普拉斯变换
t 和 t
L t 1,
L t s,
推广 :
Res Res
L n t s n
北京理工大学珠海学院信息学院
信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
例题
求下列信号的Laplace变换的收敛域
1ut ut 2ut 3sin0 tut 4tut , t n ut 5e 3t ut 6t t ut , e t ut
记作 f t L 1 F s
北京理工大学珠海学院信息学院
信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
f t F s
L
注意
信号 f(t) 必须是单边信号，即 t <0, f (t)=0。 积分下线的选取。 为了可以从 s域分析在0时刻包含冲激的信号，以 及由s域分析系统的零输入响应，所以采用 0- 定义。 习惯上把下线简写为0，其含义于 0- 相同。
信号与系统 2
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
单边指数信号 e at ut
1 e ut , sa
at
Res a
说明
知道 e at u( t ) 的 L 变换可以推导出其他许多函数 的 L 变换。
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信号与系统
e
at
1 ( a j ) t costu( t ) (e e ( a j ) t )u( t ) 2 1 1 1 sa ( s a )2 2 j2 s a j s a j
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信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
一
1
常用信号的拉普拉斯变换
t 和 t
L t 1,
L t s,
推广 :
Res Res
L n t s n
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信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
例题
求下列信号的Laplace变换的收敛域
1ut ut 2ut 3sin0 tut 4tut , t n ut 5e 3t ut 6t t ut , e t ut
记作 f t L 1 F s
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信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
f t F s
L
注意
信号 f(t) 必须是单边信号，即 t <0, f (t)=0。 积分下线的选取。 为了可以从 s域分析在0时刻包含冲激的信号，以 及由s域分析系统的零输入响应，所以采用 0- 定义。 习惯上把下线简写为0，其含义于 0- 相同。
信号与系统 王明泉 课件第4章
+∞
傅里叶逆变换
x( t ) e
−σ t
1 ∞ = X (σ + jω) ejωt dω 2π ∫−∞
以 两边同乘 eσ t
1 ∞ (σ + jω)t x( t ) = ∫−∞ X (σ + jω) e dω 2π
令 s = σ + jω ; d s = jdω 拉普拉斯逆变换
ω: ∫ ⇒s : ∫
L[ ax1(t) + bx2 (t)] = aX1(s) + bX2 (s)
−2 t 例4.2.1 求 x(t ) = (1 − e )u (t ) 拉普拉斯变换
L [ x(t ) ] = L u (t ) − e −2t u (t ) = L [u (t ) ] − L e −2t u (t ) 1 1 = − s s+2
信号与系统
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
11 /85
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛性
根据定义：选择适当的σ才使得x(t)的拉氏变换存在。 由于x(t)e-σt的傅里叶变换就是拉氏变换，当σ> σ0区域内 的任意一点时，若x(t)e-σt绝对可积，则拉氏变换的收敛 域就是σ> σ0，而σ= σ0这条垂线就是收敛域的边界，称 为收敛轴。
jω0t
(σ > 0) (σ > 0)
信号与系统
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
17 /85
正弦信号
ω0 1 1 1 L[sinω0tu(t)] = − = 2 2 j s − jω0 s + jω0 s +ω02
1 1 1 s L[ cosω0tu(t)] = + = 2 2 s − jω0 s + jω0 s +ω02
第04章 连续时间信号与系统的频域分析 课件
送信号而进行数据压缩，也需要先将信号
用三角函数展开式表示，然后只发送那些
振幅较大的正弦分量，较小振幅的正弦分
量对信号没有实质性贡献就不用发送，从 而可以加快信号传输的速度。
4.1.2周期信号的傅里叶级数 1.傅里叶级数的三角形式 2.频谱 3.傅里叶级数的复指数形式 4.两种形式间的关系
图4.9 直流信号及其频谱
3.单边指数信号
图4.10 单边指数信号及其频谱
4. 矩形脉冲
图4.11 矩形脉冲信号及频谱
5. 符号函数
图4.12 符号函数及其频谱
6. 单位阶跃信号
图4-13 阶跃信号及其频谱
4.3 傅里叶变换的性质
通过前面的学习我们知道，任一信号 可以有两种表示方法：时域表示x(t)和频域 表示 X(ω) 。对信号的时域与频域之间的对 应关系以及转换规律有一个深入的理解， 将会对实际的信号分析带来方便。为此， 我们有必要讨论一下傅里叶变换的基本性 质及其应用。
4.1 周期信号的傅里叶分析
4.1.1 周期信号表示为正弦信号的
线性组合
如果一个信号是周期的，那么对一切t， 存在某个正值的T1，有
x(t)=x(t+T1)
正弦信号就是一个典型的周期信号
x(t)=sin(ω1t)
其中 ω1=2π/T1 称为基波角频率。以此 为基础的一个正弦信号集可表示为
n(t)=sin(nω1t) n=0，1，2，…
第4章 连续时间信号与系统的频域分析
4.1 周期信号的傅里叶分析 4.2 非周期信号的傅里叶变换 4.3 傅里叶变换的性质 4.4 周期信号的傅里叶变换 4.5 系 统 的 频 域 分 析 4.6 连续时间信号的时域抽样 4.7 用MATLAB进行连续时间信号与系统的频域分析
信号与系统张晔版第四章ppt
L[u(t)] est dt est 1
0
s
s
0
u(t) 1 s
(2) 单边指数信号 f (t) eatu(t)
延时信号
→ 对比傅里叶变换？ 双边
L[eat ] eat est dt e(as)t 1
0
as
as
0
eat u(t) 1 sa
( a)
哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
L f (t t0 )u(t t0 ) F (s)est0
→
L
f
(at
t0 )u(at
t0 )
1 a
F
s a
e
s a
t0
(2) 先尺度、后平移
L
f
(at)u(at)
1 a
F
s a
→
L
f
(at
t0 )u(at
t0 )
1 a
F
s a
e
s a
t0
哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
4.2.6 时域微分特性
推而广之：
L
d n f (t)
dt n
sn F (s)
n 1 r 0
snr 1
f
(r) (0)
式中
f
(r)
(0)是r阶导数
d
r f (t) dt r
在0-时刻的取值。特别是，如果它们都为0，则
L
df (t dt
)
sF
(s)
L
d
2f dt
(t
2
)
s2F(s)
i 1
i 1
在应用中，可实现复杂信号的分解。
4.2.2 时域平移特性
信号与系统第四章__连续系统的复频域分析
L[et
sin 0t ]
L{ 1 2j
[e (
j0 )t
e( j0 )t ]}
1( 1 1 )
2 j s j0 s j0
(s
0 )2
02
即
eat
sin
0t
L
(s
0
a)2
02
8.冲激偶信号 ' (t)
3.阶跃信号u（t），则根据定义其拉普拉斯变换为
L[u(t)] u(t)est dt 1
0
s
1L 1
s
即
A L A
s
4. 余弦信号cosω0t
因为
cos0t
1 2
(e j0t
e
) j0t
L[cos0t]
1 2
L[e
] j0t
1 2
L[e
] j0t
j0
)
0 s2 02
即
sin
0t
L
s2
0 02
6.衰减余弦信号e-αt·cosω0t
因为
et
cos0t
1 (e( j0 )t 2
e( j0 )t )
L[et
cos0t]
L{1 2
[e (
j0 )t
e( j0 )t ]}
2j
j
F
(S
)est
ds
(t
)
（4-6）
式（4-5）、（4-6）称为单边拉普拉斯变换对。实际系统中
的信号都有原始信号，即t<0时， f(t)=0，所以我们只需要
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
在实际中，信号是有始(因果)信号，即t<0 时，f(t)=0，因此
F ( s ) f (t )e st dt
0
上式称为f(t)的单边拉氏变换。积分下限 t=0- ，是将起始状态考虑进去，并且用拉氏 变换求解微分方程，无需专门计算0- 到0+ 的 跳变。 而拉氏反变换的积分限并不改变。
信号f(t)可分解为复指数函数est=eσtejωt 的线性组合。在这里由于σ可正、可负， 也可为零，因此这些复指数函数可以是增 幅的、减幅的或等幅的振荡信号，这与傅 里叶分析中作为基本信号的等幅振荡信号 ejωt相比，具有更普遍的意义。 复频率函数F(s)与傅里叶变换F(jω)相似， 是一个频谱密度函数，它反映了信号的基 本特征，因此可以利用拉普拉斯变换在复 频域对信号进行分析。
4.1.3单边拉普拉斯变换的收敛域
若满足
0
| f (t )e t | dt
则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在 的σ取值范围，称为f(t)的单边拉普拉斯变换F(s) 的收敛域。 单边拉普拉斯变换收敛域与因果信号双边拉普拉斯 变换的收敛域是相同的，即单边拉普拉斯变换的收 敛域为 Re[s]=σ>σ0(σ0为某一确定的实数) 它是以收敛轴Re[s]=σ0为收敛边界的S平面的右边 区域。σ0与信号f(t)在t≥0时的特性有关，信号 一经给定，则σ0就是确定的。
f ( t ) e at ( t ) lim f ( t )e t ] 0 [
t
( a 0)
若f ( t )乘以e t，并满足 a，就可以得到 即信号f ( t )e t 满足绝对可积条件，其傅里叶变换存在。
《信号与系统》第4章 连续系统的复频域分析 PPT课件
Re[ s] 0
4.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换
4.2 单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性
2. 时移性
3. 复频移
例 4.2-3 f1(t)=cos(ω0t)ε(t), f2(t)=sin(ω0t)ε(t)，求f1(t)和f2(t)的象函数。
例 4.2-4 f (t) et cos(0t) (t), a为实数.求f (t)的象函数.
d dt
e
2t
(t
)],
解
(1) 求f1(t)的单边拉氏变换。由于
f1(t)
d dt
[e2t (t)]
(t)
2e2t (t)
故根据线性得
F1(s)
L[
f1(t)]
1
s
2
2
s
s
2
若应用时域微分性质求解，则有
F1(s)
sL[e2t (t)] e2t (t)
eat (t)estdt
例 4.1-3 求反因果信号f3(t)=-e-βtε(-t)(β＞0)的双边拉氏变换及其收敛域。
j
j
j
－ o
－ o
o
(a)
(b)
(c)
图 4.1-1 双边拉氏变换的收敛域 (a) F2(s)的收敛域； (b) F3(s)的收敛域； (c) F4(s)的收敛域
t
f ( )d
0
f (1) (0 ) t f ( )d 0
单边拉普拉斯变换为
L[ f (1) (0 )] L[ f (1) (0 ) (t)] f (1) (0 )
4.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换
4.2 单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性
2. 时移性
3. 复频移
例 4.2-3 f1(t)=cos(ω0t)ε(t), f2(t)=sin(ω0t)ε(t)，求f1(t)和f2(t)的象函数。
例 4.2-4 f (t) et cos(0t) (t), a为实数.求f (t)的象函数.
d dt
e
2t
(t
)],
解
(1) 求f1(t)的单边拉氏变换。由于
f1(t)
d dt
[e2t (t)]
(t)
2e2t (t)
故根据线性得
F1(s)
L[
f1(t)]
1
s
2
2
s
s
2
若应用时域微分性质求解，则有
F1(s)
sL[e2t (t)] e2t (t)
eat (t)estdt
例 4.1-3 求反因果信号f3(t)=-e-βtε(-t)(β＞0)的双边拉氏变换及其收敛域。
j
j
j
－ o
－ o
o
(a)
(b)
(c)
图 4.1-1 双边拉氏变换的收敛域 (a) F2(s)的收敛域； (b) F3(s)的收敛域； (c) F4(s)的收敛域
t
f ( )d
0
f (1) (0 ) t f ( )d 0
单边拉普拉斯变换为
L[ f (1) (0 )] L[ f (1) (0 ) (t)] f (1) (0 )
《信号与系统》第四章 连续时间系统的复频域分析
第四章：连续时间系统的复频域分析
本章目录
F 拉普拉斯变换 F 拉普拉斯变换的性质 F 拉普拉斯反变换 F 连续时间系统的复频域分析 F 系统函数 F 系统函数的零、极点分布与系统的时域和频域特性 F 双边拉普拉斯变换 F 连续时间系统的s域模拟 F 系统的稳定性
引言
由第四章学习，知连续时间系统的频域分析为
f (t)dt 时，
其付里叶变换积分式
F ( j) f (t)e jt dt 收 敛 。
我 们 说 信 号f (t)的 付 里 叶 变 换 存 在 。
当 lim f (t ) 0时 ，f (t )不 存 在 付 里 叶 变 换 t 或t
但 若 lim f (t )e t (为 实 数)收 敛 。 t 或t
条件
④f (t)拉氏变换存在的充分条件：f (t)在t 0时
分段连续，且满足下式 f (t )e t dt 0
⑤拉氏正反变换的简记形式
F (s) L[ f (t)] 或 f (t) F (s)
f (t) L1[F (s)] 或 F (s) f (t)
例1、求L[ (t)]
解：L[ (t)] (t)est dt est dt
0
0
1 est 1
s
0
s
例2、求L[ (t)]
解：L[ (t)]
(t)est dt
1
0
例3、 求L[et (t)]， 并 讨 论 收 敛 域 。
解 ：L[et (t )] e t (t )est dt e(s )t dt
0
0
1
e(s )t 1 [1 lim e(s )t ]
1、定义 拉氏正变换
拉氏反变换
F (s) f (t)est dt 0－
本章目录
F 拉普拉斯变换 F 拉普拉斯变换的性质 F 拉普拉斯反变换 F 连续时间系统的复频域分析 F 系统函数 F 系统函数的零、极点分布与系统的时域和频域特性 F 双边拉普拉斯变换 F 连续时间系统的s域模拟 F 系统的稳定性
引言
由第四章学习，知连续时间系统的频域分析为
f (t)dt 时，
其付里叶变换积分式
F ( j) f (t)e jt dt 收 敛 。
我 们 说 信 号f (t)的 付 里 叶 变 换 存 在 。
当 lim f (t ) 0时 ，f (t )不 存 在 付 里 叶 变 换 t 或t
但 若 lim f (t )e t (为 实 数)收 敛 。 t 或t
条件
④f (t)拉氏变换存在的充分条件：f (t)在t 0时
分段连续，且满足下式 f (t )e t dt 0
⑤拉氏正反变换的简记形式
F (s) L[ f (t)] 或 f (t) F (s)
f (t) L1[F (s)] 或 F (s) f (t)
例1、求L[ (t)]
解：L[ (t)] (t)est dt est dt
0
0
1 est 1
s
0
s
例2、求L[ (t)]
解：L[ (t)]
(t)est dt
1
0
例3、 求L[et (t)]， 并 讨 论 收 敛 域 。
解 ：L[et (t )] e t (t )est dt e(s )t dt
0
0
1
e(s )t 1 [1 lim e(s )t ]
1、定义 拉氏正变换
拉氏反变换
F (s) f (t)est dt 0－
第四章 连续时间系统的频域分析
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间， 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信 号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线 性组合。
第4-7页
■
©西南林学院 鲁莹
信号与系统电子教案
4.1 信号分解为正交函数
8
二、信号正交与正交函数集
1. 定义：
定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足
(1
2
T
)
4
T
T 2 0
2Et T
c os n1tdt
8E T2
[
t
n1
sin
n1t
T
2 0
T 2 0
1
n1
s
in
1tdt]
2E [(1)n 1]
(n )2
4E
(n )2
(n为奇数)
0
(n为偶数)
f (t) E 4E 1 cos 2n t
■
©西南林学院 鲁莹
信号与系统电子教案
4.1 信号分解为正交函数
10
三、信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为
f(t)≈C1Βιβλιοθήκη 1+ C22+…+ Cnn
信号与系统电子教案
4.1 信号分解为正交函数
7 由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集
如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。
第4-7页
■
©西南林学院 鲁莹
信号与系统电子教案
4.1 信号分解为正交函数
8
二、信号正交与正交函数集
1. 定义：
定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足
(1
2
T
)
4
T
T 2 0
2Et T
c os n1tdt
8E T2
[
t
n1
sin
n1t
T
2 0
T 2 0
1
n1
s
in
1tdt]
2E [(1)n 1]
(n )2
4E
(n )2
(n为奇数)
0
(n为偶数)
f (t) E 4E 1 cos 2n t
■
©西南林学院 鲁莹
信号与系统电子教案
4.1 信号分解为正交函数
10
三、信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为
f(t)≈C1Βιβλιοθήκη 1+ C22+…+ Cnn
信号与系统电子教案
4.1 信号分解为正交函数
7 由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集
如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。
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第4章 连续系统的复频域分析
4. 尺度变换
若 f (t) F (s), Re[ s] 0, 则
f (at) 1 F s
式中，a 为
a0a a
常5数. ，时域卷积
若
f1(t) F1(s)
f2 (t) F2 (s)
则
f1(t) f2 (t) F1(s)F2 (s)
第4章 连续系统的复频域分析
第4章 连续系统的复频域分析
4.1.3 常用信号的单边拉普拉斯变换
1. 单位阶跃函数
单位阶跃信号 f (t) u(t) 的拉普拉斯变换为
L[u(t)]
est dt
e st
1
0sຫໍສະໝຸດ s0即u(t) 1
s
第4章 连续系统的复频域分析 2. 指数函数
指数信号 f (t) eatu(t) 的拉普拉斯变换为
2]
A0 (s)(s
B(s)
j )(s
j)
共轭复数极点有关部分的反变换以 fC (t) 表示，则
fC (t)
L 1
K1
s
j
K2
s
j
eat (K1e jt
K1*e jt )
2eat [R cos(t) I sin(t)]
第4章 连续系统的复频域分析
3. A(s) 0 的根为重根
当取 0 时， s j ，则拉普拉斯变换就变为傅里叶变换。从这一
点，拉普拉斯变换又称为广义傅里叶变换，而傅里叶变换是拉普拉 斯变换的一个特例。
第4章 连续系统的复频域分析
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
当函数 f (t) 乘以收敛因子 et 后，就有可能满足绝对可积条件。然而，是否一定满足， 还要看 f (t) 的性质与 值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数 f (t) ，通常并不是所
f (t)et F 1[F( j)] 1 F( j)e jtd
2
(4.1-6)
将上式两边乘以 et ，得到
f (t) 1
F (
j)e( j)t d
2
(4.1-7)
因为 s j ，则 ds jd ，当 时， s j ，于是：
f (t) 1 j F(s)est ds
若 f1(t) F1(s) f2 (t) F2 (s)
则 a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
第4章 连续系统的复频域分析 2. 时移性
若 则
f (t) F(s) f (t t0 )u(t t0 ) F (s)est0
3. 复频移
若 则
f (t) F(s)
L[eat ] eat est dt e(as)t 1
0
as
as
0
即
eat u(t) 1
sa
( a)
第4章 连续系统的复频域分析
3. 幂函数 tnu(t) （ n 是正整数）
特别是，当 n 1 时
t nu(t )
n! sn1
而 n 2时
L[tu(t)]
1 s2
L[t2u(t)] 2 s3
过程中，函数 f (t) 不趋于零所致。
为了使所求的函数 f (t) 满足绝对可积的变换条件，如果我们用一个实指数函数 et 去乘函数 f (t) ，
这样只要 的数值选择的足够大，就可以解决函数 f (t)et 的绝对可积问题，通常 et 称为收敛因子。
第4章 连续系统的复频域分析
设有信号f(t)e-σt(σ为实数)，并且能选择适当的σ使 f(t)e-σt绝对可积，则该信号的傅里叶变换存在。 若用F(σ+jω) 表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义， 则有
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
由第三章傅立叶变换可知，当函数 f (t) 满足狄里赫利条件时，可以构成一对傅里叶变换，
F() f (t)e jt dt
（4.1-1）
f (t) 1 F()e jtd
2
（4.1-2）
在实际应用中，有些函数 f (t) 不能满足绝对可积的条件，那是由于当时间 t 或 t 的
K1k
(s
p1)k 1
B0 (s) A0 (s)
(s
p1 )k
1
d i1
K1i (i 1)! dsi1 F0 (s)
s p1
第4章 连续系统的复频域分析
4.3.2 围线积分法
已知拉普拉斯反变换式为
f (t) 1 j F (s)est ds
2πj j
(t 0)
(4.3-18)
根据复变函数理论中的留数定理可知，若函数 f (z) 在区域 D 内除有限
第4章 连续系统的复频域分析
第4章 连续系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质 4.3 拉普拉斯逆变换 4.4 连续系统的复频域分析 4.5 系统的零极点分布与系统特性 4.6 系统的因果性与稳定性 4.7 线性系统的S域模拟
第4章 连续系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换
式中，系数 ai 和 bi 都为实数， m 和 n 是正整数
如果分子多项式 B(s) 的阶次低于分母多项式 A(s) 的阶次，即 m n ，则为真分式。
若 m n ，则可用长除法将 F(s) 化成多项式与真分式之和。即
B(s) F(s) A(s) B0 B0s
Bmn smn
B0 (s) A(s)
第4章 连续系统的复频域分析
4.2 拉普拉斯变换的性质
1. 线性
设任意两个信号 f1(t) 和 f2 (t) ，其拉普拉斯变换分别为 F1(s) 和 F2 (s) ，若 a1 和 a2 是两个任意常数，则 a1 f1(t) 和 a2 f2 (t) 之和的拉普拉斯变换为 a1F1(s) 和 a2F2 (s) 之 和。可以表示为
斯变换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。
对于有始信号 f (t) ，若存在下列关系
lim f (t)et 0
t
0
(4.1-12)
则称 0 为收敛条件，并且根据 0 值可将 s 平面划分为两个区域，如图 4.1-1 所示。通过 0 的垂直线是收敛域的边界，称为收敛轴， 0 称为收敛坐标。凡满足式（4.1-12）的函数 称为“指数阶函数”，就是说此类函数 f (t) 若具有发散特性可借助于指数函数的衰减，使之 成为收敛函数。因此，它们的收敛域都位于收敛轴的右侧。
n
L1[F(s)] ri i 1
若 pi 为一阶极点，则
ri [(s pi )F (s)est ] |s pi
若 pi 为 k 阶极点，则
ri
(k
1 d k 1
1)!
ds
k
1
(s
pi )k
F (s)est
s pi
(4.3-21) (4.3-22)
d nF(s) dsn
(t)n
f
(t)
若 则
f (t) F(s)
F()d
f (t)
s
t
第4章 连续系统的复频域分析 10. 初值和终值定理 (1) 初值定理
若 f (t) F(s) ，且 lim sF (s) 存在，则 f (t) 的初值为 s
f (0 ) lim f (t) lim sF(s)
有的 值都能使 f (t)et 为有限值，即并不是对所有的 值 f (t) 都存在拉普拉斯变换，而只
有在 值的一定范围内， f (t)et 是收敛的， f (t) 存在拉普拉斯变换。通常把使 f (t)et 满足 绝对可积条件的 值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域。在收敛域内，函数 f (t) 的拉普拉
2 j j
(4.1-8)
第4章 连续系统的复频域分析
傅里叶变换和拉普拉斯变换的主要差别在于：傅里叶变换是将时域 函数 f (t) 变换为频域函数 F() ，或作相反变换，时域中的变量 t 和频 域中的变量 都是实数；而拉普拉斯变换是将时域函数 f (t) 变换为 复变函数 F(s) ，或作相反变换，时域变量 t 虽是实数，但 F(s) 的变 量 s 却是复数。与 相比较，变量 s 可称为“复频率”， F(s) 可看成 是 f (t) 的复频谱。概括地说，傅里叶变换建立了时域和频域（ 域） 间的联系，而拉普拉斯变换则建立了时域和复频域（ s 域）间的联系，
个奇点外处处解析， C 为 D 内包围诸多奇点的一条正向简单封闭曲线，则 有
C f (z)dz 2 jRe s f (z), zi
现在以 F(s)est 作为封闭曲线积分的被积函数，则有
1
2 j
n
F(s)est ds
C
Re spi
i 1
(4.3-19)
其中 F(s)est 为被积函数， C 为闭合曲线， pi 为 C 内的被积函数的极点。
第4章 连续系统的复频域分析
4. 单位冲激函数
根据单位冲击函数 (t) 的定义及其抽样性
L[ (t)]
(t)est dt
1
0
即
(t) 1
如果冲激出现在 t t0 时刻（ t0 0 ），有
L[ (t t0 )]
0
(t
t0 )est dt
e st0
第4章 连续系统的复频域分析
2 j ACBA
2 j 0 j
2 j ACB
如果在补充的路径 ACB 上能满足
F(s)estds 0 ACB
则式(4.3-19)积分式等于围线中被积函数 F(s)est 所有极点的留数之和，可表示为
L1[F(s)] [F(s)est的留数] 极点
第4章 连续系统的复频域分析
如果在极点 s pi 处的留数为 ri ，并设 F(s)est 在围线中共有 n 个极点，则