第4章 连续时间信号与系统的复频域分析图文模板

第4章 连续系统的复频域分析
4.2 拉普拉斯变换的性质
1. 线性
设任意两个信号 f1(t) 和 f2 (t) ，其拉普拉斯变换分别为 F1(s) 和 F2 (s) ，若 a1 和 a2 是两个任意常数，则 a1 f1(t) 和 a2 f2 (t) 之和的拉普拉斯变换为 a1F1(s) 和 a2F2 (s) 之 和。可以表示为
t 0
s
(2) 终值定理
若 f (t) F(s) ，且 lim f (t) 存在，则 f (t) 的终值 t
f () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
第4章 连续系统的复频域分析
4.3 拉普拉斯反变换 4.3.1 部分分式展开法
若F(s)为s的有理分式，则可表示为 F (s) B(s) bmsm bm1sm1 b0 A(s) an sn an1sn1 a0
6. 时域微分
若 则
7. 时域积分
f (t) F(s) df (t) sF(s) f (0 )
dt
若 则
f (t) F(s)
t f ( )d F(s) f (1) (0)
s
s
第4章 连续系统的复频域分析
8. 复频域微分
若 则
9. 复频域积分
f (t) F(s)
dF(s) tf (t) ds
K1k
(s
p1)k 1
B0 (s) A0 (s)
(s
p1 )k
1
d i1
K1i (i 1)! dsi1 F0 (s)
s p1
第4章 连续系统的复频域分析
4.3.2 围线积分法
已知拉普拉斯反变换式为
f (t) 1 j F (s)est ds
2πj j
(t 0)
(4.3-18)
根据复变函数理论中的留数定理可知，若函数 f (z) 在区域 D 内除有限
2 j j
(4.1-8)
第4章 连续系统的复频域分析
傅里叶变换和拉普拉斯变换的主要差别在于：傅里叶变换是将时域 函数 f (t) 变换为频域函数 F() ，或作相反变换，时域中的变量 t 和频 域中的变量 都是实数；而拉普拉斯变换是将时域函数 f (t) 变换为 复变函数 F(s) ，或作相反变换，时域变量 t 虽是实数，但 F(s) 的变 量 s 却是复数。与 相比较，变量 s 可称为“复频率”， F(s) 可看成 是 f (t) 的复频谱。概括地说，傅里叶变换建立了时域和频域（ 域） 间的联系，而拉普拉斯变换则建立了时域和复频域（ s 域）间的联系，
f (t)et F 1[F( j)] 1 F( j)e jtd
2
(4.1-6)
将上式两边乘以 et ，得到
f (t) 1
F (
j)e( j)t d
2
(4.1-7)
因为 s j ，则 ds jd ，当 时， s j ，于是：
f (t) 1 j F(s)est ds
F0 (s)
B0 (s) A(s)
第4章 连续系统的复频域分析
1. A(s) 0 的根都是实根且无重根
F(s) 可以表示为
B(s) F(s)
an (s p1)(s p2 )
K1 K2 K3 Kn
s p1 s p2 s p3
s pn
可求得反变换
(s pn )
f
(t)
L1
斯变换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。
对于有始信号 f (t) ，若存在下列关系
lim f (t)et 0
t
0
(4.1-12)
则称 0 为收敛条件，并且根据 0 值可将 s 平面划分为两个区域，如图 4.1-1 所示。通过 0 的垂直线是收敛域的边界，称为收敛轴， 0 称为收敛坐标。凡满足式（4.1-12）的函数 称为“指数阶函数”，就是说此类函数 f (t) 若具有发散特性可借助于指数函数的衰减，使之 成为收敛函数。因此，它们的收敛域都位于收敛轴的右侧。
s
K1 p1
L1
s
K2 p2
L1
s
K3 p3
L 1
s
Kn pn
K1e p1t K2e p2t K3e p3t Kne pnt
第4章 连续系统的复频域分析
2. A(s) 0 的根包含有共轭复根的情况
考虑下面函数的分解
F(s)
B(s)
A0 (s)[(s )2
L[eat ] eat est dt e(as)t 1
0
as
as
0
即
eat u(t) 1
sa
( a)
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3. 幂函数 tnu(t) （ n 是正整数）
特别是，当 n 1 时
t nu(t )
n! sn1
而 n 2时
L[tu(t)]
1 s2
L[t2u(t)] 2 s3
5. 正弦函数
根据欧拉公式
sin t 1 e jt e jt 2j 再根据指数函数的拉普拉斯变换式，有
L
sin
tu(t
)
L
1 2j
e jt e jt
u(t)
1 2j
s
1 j
s
1 j
s2
2
即 同理可求得
sin tu(t ) s2
2
L[cos(t)u(t)] s s2 2
有的 值都能使 f (t)et 为有限值，即并不是对所有的 值 f (t) 都存在拉普拉斯变换，而只
有在 值的一定范围内， f (t)et 是收敛的， f (t) 存在拉普拉斯变换。通常把使 f (t)et 满足 绝对可积条件的 值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域。在收敛域内，函数 f (t) 的拉普拉
n
L1[F(s)] ri i 1
若 pi 为一阶极点，则
ri [(s pi )F (s)est ] |s pi
若 pi 为 k 阶极点，则
ri
(k
1 d k 1
1)!
ds
k
1
(s
pi )k
F (s)est
s pi
(4.3-21) (4.3-22)
2]
A0 (s)(s
B(s)
j )(s
j)
共轭复数极点有关部分的反变换以 fC (t) 表示，则
fC (t)
L 1
K1
s
j
Fra Baidu bibliotek
K2
s
j
eat (K1e jt
K1*e jt )
2eat [R cos(t) I sin(t)]
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3. A(s) 0 的根为重根
式中，系数 ai 和 bi 都为实数， m 和 n 是正整数
如果分子多项式 B(s) 的阶次低于分母多项式 A(s) 的阶次，即 m n ，则为真分式。
若 m n ，则可用长除法将 F(s) 化成多项式与真分式之和。即
B(s) F(s) A(s) B0 B0s
Bmn smn
B0 (s) A(s)
d nF(s) dsn
(t)n
f
(t)
若 则
f (t) F(s)
F()d
f (t)
s
t
第4章 连续系统的复频域分析 10. 初值和终值定理 (1) 初值定理
若 f (t) F(s) ，且 lim sF (s) 存在，则 f (t) 的初值为 s
f (0 ) lim f (t) lim sF(s)
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4.1.3 常用信号的单边拉普拉斯变换
1. 单位阶跃函数
单位阶跃信号 f (t) u(t) 的拉普拉斯变换为
L[u(t)]
est dt
e st
1
0
s
s
0
即
u(t) 1
s
第4章 连续系统的复频域分析 2. 指数函数
指数信号 f (t) eatu(t) 的拉普拉斯变换为
个奇点外处处解析， C 为 D 内包围诸多奇点的一条正向简单封闭曲线，则 有
C f (z)dz 2 jRe s f (z), zi
现在以 F(s)est 作为封闭曲线积分的被积函数，则有
1
2 j
n
F(s)est ds
C
Re spi
i 1
(4.3-19)
其中 F(s)est 为被积函数， C 为闭合曲线， pi 为 C 内的被积函数的极点。
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4. 单位冲激函数
根据单位冲击函数 (t) 的定义及其抽样性
L[ (t)]
(t)est dt
1
0
即
(t) 1
如果冲激出现在 t t0 时刻（ t0 0 ），有
L[ (t t0 )]
0
(t
t0 )est dt
e st0
第4章 连续系统的复频域分析
F ( j ) f (t)ete jtdt f (t)e( j )tdt
根据傅里叶逆变换的定义，则
f (t)et 1 F ( j)e jtd
2
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如果令 s j ，则：
F(s) f (t)estdt
F(s) 的傅里叶反变换为
(4.1-5)
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为应用留数定理计算拉普拉斯反变换的积分，可把积分限从0 j 到0 j 补足一条积分路径以构 成一条闭合围线。现取积分路径是半径为无限大的圆弧，如图 4.3-1 所示，这样闭合围线积分
j
C R 0
A
0 B
图 4.3-1 F(s) 的围线积分路径
1
F (s)est ds 1 0 j F (s)est ds 1 F (s)est ds
过程中，函数 f (t) 不趋于零所致。
为了使所求的函数 f (t) 满足绝对可积的变换条件，如果我们用一个实指数函数 et 去乘函数 f (t) ，
这样只要 的数值选择的足够大，就可以解决函数 f (t)et 的绝对可积问题，通常 et 称为收敛因子。
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设有信号f(t)e-σt(σ为实数)，并且能选择适当的σ使 f(t)e-σt绝对可积，则该信号的傅里叶变换存在。 若用F(σ+jω) 表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义， 则有
若 f1(t) F1(s) f2 (t) F2 (s)
则 a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
第4章 连续系统的复频域分析 2. 时移性
若 则
f (t) F(s) f (t t0 )u(t t0 ) F (s)est0
3. 复频移
若 则
f (t) F(s)
2 j ACBA
2 j 0 j
2 j ACB
如果在补充的路径 ACB 上能满足
F(s)estds 0 ACB
则式(4.3-19)积分式等于围线中被积函数 F(s)est 所有极点的留数之和，可表示为
L1[F(s)] [F(s)est的留数] 极点
第4章 连续系统的复频域分析
如果在极点 s pi 处的留数为 ri ，并设 F(s)est 在围线中共有 n 个极点，则
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
由第三章傅立叶变换可知，当函数 f (t) 满足狄里赫利条件时，可以构成一对傅里叶变换，
F() f (t)e jt dt
（4.1-1）
f (t) 1 F()e jtd
2
（4.1-2）
在实际应用中，有些函数 f (t) 不能满足绝对可积的条件，那是由于当时间 t 或 t 的
考虑下面函数的分解
B(s)
B(s)
F(s)
A(s) (s p1)k A0 (s)
将 F(s) 展开为
F(s)
K11 (s p1)k
(s
K12 p1)k 1
引入符号
K1k B0 (s) (s p1) A0 (s)
F0 (s) (s p1)k F(s)
于是
F0 (s) K11 K12 (s p1) 其一般形式为
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第4章 连续系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质 4.3 拉普拉斯逆变换 4.4 连续系统的复频域分析 4.5 系统的零极点分布与系统特性 4.6 系统的因果性与稳定性 4.7 线性系统的S域模拟
第4章 连续系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换
第4章 连续系统的复频域分析
4. 尺度变换
若 f (t) F (s), Re[ s] 0, 则
f (at) 1 F s
式中，a 为
a0a a
常5数. ，时域卷积
若
f1(t) F1(s)
f2 (t) F2 (s)
则
f1(t) f2 (t) F1(s)F2 (s)
第4章 连续系统的复频域分析
当取 0 时， s j ，则拉普拉斯变换就变为傅里叶变换。从这一
点，拉普拉斯变换又称为广义傅里叶变换，而傅里叶变换是拉普拉 斯变换的一个特例。
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4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
当函数 f (t) 乘以收敛因子 et 后，就有可能满足绝对可积条件。然而，是否一定满足， 还要看 f (t) 的性质与 值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数 f (t) ，通常并不是所