08高考数学函数中的综合问题
2008年高考全国卷2理科数学(含解析)
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，【答案】B【解析】{}1,0,1,2--=M ，{}3,2,1,0,1-=N ，∴{}1,0,1-=N M【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别。
【评注】历年来高考数学第一个小题一般都是集合问题，都超简单。
其实集合问题是可以出难题的，但高考中的集合问题比较简单。
需要注意的是：很多复习书都把集合作为高考数学复习的起点，我认为这是不妥当的，高中的集合问题涉及到的集合知识并不多（就是一种表达方式），其难度主要体现在知识的综合性上，学生应当先学习其他知识，再在集合中综合。
建议把“数学的基本运算”作为高考数学复习的起点，学生花1个月的时间温习、强化初等数学的基本运算是必要的，重要的，也是值得的。
数学的基本运算具体包括的内容可以参考本人编写的《高考数学复习专用教材》 2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =【答案】A【解析】i b b a ab a i b ab bi a a bi a )3()3(33)(322332233-+-=--+=+，因是实数且0b ≠，所以2232303a b b b a =⇒=-【高考考点】复数的基本概念、基本运算，立方和公式（基本运算）【评注】很多学生没有学习过立方和公式，不会用立方和公式一步到位地展开，有人按32()()()a bi a bi a bi +=++进行展开，也有人按3()()()()a bi a bi a bi a bi +=+++进行展开，还有人用二项式定理进行展开，这都是可行的思路。
2008年全国各地高考数学试题及解答分类大全(函数的性质及其应用)
C． log 2 3 log3 2 log 2 5
D． log 2 3 log 2 5 log3 2
14．(2008 江西文) 若函数 y f (x) 的定义域是[0, 2] ，则函数 g(x) f (2x) 的定义域是（B ）
x 1
A． [0,1]
B． [0,1)
C． [0,1) (1, 4]
2008 年全国各地高考数学试题及解答分类大全
（函数的性质及其应用）
一、选择题
1．（2008 安徽文）函数 f (x) (x 1)2 1(x 0) 的反函数为（C ）
A． f 1(x) 1 x 1(x 1)
B． f 1(x) 1 x 1(x 1)
C． f 1(x) 1 x 1(x 2)
A．(0，2)
B．(0，8)
C．(2，8)
D．(－∞，0)
18．(2008 江西文) 已知函数 f (x) 2x2 (4 m)x 4 m ，g(x) mx ，若对于任一实数 x ， f (x) 与
g(x) 的值至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是（ C ）
A． [4, 4]
B． (4, 4) C． (, 4) D． (, 4)
A. f 1 (x) x (x 0)
B. f 1 (x) x (x 0)
C. f 1 (x) x (x 0)
D. f 1 (x) x 2 (x 0)
13．(2008 湖南文)下面不等式成立的是( A )
A． log3 2 log2 3 log2 5
B． log3 2 log 2 5 log 2 3
D． (0,1)
15．(2008 江西理)若函数 y
f
(x)
的值域是
1 2
08年全国各地高考数学压轴题解析
08年全国高考压轴题1、（安徽理）（22）．（本小题满分13分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M，且着焦点为1(F（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上22解 (1)由题意：2222222211c a bc a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩，解得224,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y += (2)方法一设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。
由题设知,,,AP PB AQ QB均不为零，记AP AQ PB QBλ==,则0λ>且1λ≠又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=于是 1241x x λλ-=-， 1211y y λλ-=-121x x x λλ+=+， 121y y y λλ+=+从而22212241x x x λλ-=-， （1） 2221221y y y λλ-=-， （2） 又点A 、B 在椭圆C 上，即221124,(3)x y += 222224,(4)x y +=（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB均不为零。
且 PA PB AQ QB=又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是1141,11x yx y λλλλ--==-- （1） 2241,11x yx y λλλλ++==++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y +=整理得222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-= 0,220x y λ≠+-=∵∴即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上2、（上海文）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记 112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1213264a a a a ++++= ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，…，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．21．解：（1）12312a a a a ++++1234(2)56(4)78(6)r r r r r =+++++++++++++++484r =+． ……2分∵48464r +=，∴4r =． ……4分 （2）用数学归纳法证明：当n Z +∈时，124n T n =-．①当1n =时，1213579114T a a a a a a =-+-+-=-，等式成立． ……6分 ②假设n k =时等式成立，即124k T k =-，那么当1n k =+时，12(1)121211231251271291211k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+- ……8分4(81)(8)(84)(85)(84)(88)k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+ 444(1)k k =--=-+，等式也成立．根据①和②可以断定：当当n Z +∈时，124n T n =-． ……10分 （3）124m T m =-（1m ≥）．当121n m =+，122m +时，41n T m =+； 当123n m =+，124m +时，41n T m r =-+-； 当125n m =+，126m +时，45n T m r =+-； 当127n m =+，128m +时，4n T m r =--； 当129n m =+，1210m +时，44n T m =+； 当1211n m =+，1212m +时，44n T m =--．∵41m +是奇数，41m r -+-，4m r --，44m --均为负数，∴这些项均不可能取得100． ……15分 ∴4544100m r m +-=+=，解得24m =，1r =，此时293294297298,,,T T T T 为100． ……18分 3、（重庆理）（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 设各项均为正数的数列{a n }满足321122,(N*)n a a a a aa n ++==∈.（Ⅰ）若214a =，求a 3，a 4，并猜想a 2008的值（不需证明）；（Ⅱ）记12...(N*),n n n b a a a n b =∈≥若对n ≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的通项公式.(22)(本小题12分)解：(Ⅰ)因2122,2,a a -==故3423123824232,2.a a a a a a ---====由此有0223(2)(2)(2)(2)12342,2,2,2a a a a ----====，故猜想n a 的通项为 1(2)*2(N ).n n a n --=∈（Ⅱ）令2log ,2.n Sn n n n n x a S x n b ==表示的前项和，则 由题设知x 1=1且*123(N );2n n n x x x n ++=+∈ ①123(2).2n n S x x x n =+++≥≥ ② 因②式对n =2成立，有1213,12x x x ≤+=又得 21.2x ≥③ 下用反证法证明：2211..22x x ≤>假设由①得21211312()(2).22n n n n n n x x x x x x ++++++=+++因此数列12n n x x ++是首项为22x +，公比为12的等比数列.故*121111()(N ).222n n n x x x n +--=-∈ ④又由①知 211111311()2(),2222n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=--因此是112n n x x +-是首项为212x -，公比为-2的等比数列,所以1*1211()(2)(N ).22n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得1*221511(2)()(2)(N ).222n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得*2215111(2)(2)(2)()(N ).2232n n n x x x n ---=+---∈ ⑦由题设知21231,22k S x +≥>且由反证假设有21*22221*22221121152)(2)()(N ).22341211151()(2)(2)2(N ).23244k k k k x x k x x x k ++++---≥∈+-≤+--<+∈ （从而 即不等式22k +1＜22364112x x +--对k ∈N *恒成立.但这是不可能的，矛盾. 因此x 2≤12,结合③式知x 2=12,因此a 2=2*2将x 2=12代入⑦式得S n =2－112n -(n ∈N*),所以b n =2Sn =22－112n -(n ∈N*)4、（广东理）21．（本小题满分12分）设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ． 21．解：（1）由求根公式，不妨设<αβ，得==αβ∴+==p αβ，==q αβ（2）设112()----=-n n n n x sx t x sx ，则12()--=+-n n n x s t x stx ，由12n n n x px qx --=-得，+=⎧⎨=⎩s t p st q，消去t ，得20-+=s ps q ，∴s 是方程20x px q -+=的根，由题意可知，12,==s s αβ①当≠αβ时，此时方程组+=⎧⎨=⎩s t pst q 的解记为1212==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩s s t t ααββ或 112(),---∴-=-n n n n x x x x αβα112(),----=-n n n n x x x x βαβ即{}11--n n x t x 、{}21--n n x t x 分别是公比为1=s α、2=s β的等比数列， 由等比数列性质可得2121()---=-n n n x x x x ααβ,2121()---=-n n n x x x x ββα, 两式相减，得2212121()()()----=---n n n x x x x x βααββα221,=-= x p q x p ，222∴=++x αβαβ，1=+x αβ22221()--∴-== n n n x x αββββ，22221()---== n n n x x βαααα1()-∴-=-n nn x βαβα，即1--∴=-nnn x βαβα，11++-∴=-n n n x βαβα ②当=αβ时，即方程20x px q -+=有重根，240∴-=p q ， 即2()40+-=s t st ，得2()0,-=∴=s t s t ，不妨设==s t α，由①可知2121()---=-n n n x x x x ααβ，= αβ，2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα即1-∴=+n n n x x αα，等式两边同时除以nα，得111--=+nn nn x x αα，即111---=nn nn x x αα∴数列{}n n xα是以1为公差的等差数列，12(1)111∴=+-⨯=+-=+n n x x n n n αααα∴=+n n n x n αα综上所述，11,(),()++⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩n n nn n x n βααββααααβ（3）把1p =，14q =代入20x px q -+=，得2104-+=x x ，解得12==αβ 11()()22∴=+ n n n x n232311111111()()()...()()2()3()...()22222222n n n S n ⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23111111()()2()3()...()22222n n n ⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭111111()2()()3(3)()2222n n n n n n -=-+--=-+5、（福建理）（22）（本小题满分14分） 已知函数f (x )=ln(1+x )-x （Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）记f (x )在区间[]0,π（n ∈N*）上的最小值为b x 令a n =ln(1+n )-b x . （Ⅲ）如果对一切npc 的取值范围；（Ⅳ）求证：13132******** 1.n na a a a a a a a a a a a -+++-g g g g g g p g g g（22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分. 解法一：（I ）因为f(x)=ln(1+x )-x ，所以函数定义域为（-1,+∞）,且f ′(x)=11x +-1=1x x-+. 由f ′(x )>0得-1<x <0，f (x )的单调递增区间为（-1，0）； 由f ′(x )<0得x >0，f (x )的单调递增区间为（0，+∞）. (II)因为f (x )在[0,n]上是减函数，所以b n =f (n )=ln(1+n )-n , 则a n =ln(1+n )-b n =ln(1+n )-ln(1+n )+n =n .(i)==>1.=又1x ==,因此c <1，即实数c 的取值范围是（-∞，1]. （II ）由（i< 因为[135(21)246(2)n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅ ]23222133557(21)(21)11,2121246(2)n n n n n ⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅⋅++＜L所以135(21)246(2)n n -g g g L g g g g L g＜1∈N *),则113135(21)224246(2)n n -+++g g g g L g L g g g g L g ＜131321122242 1.n n na a a a a a a a a a a a -+-=+++即＜L L L L1(n ∈N *）解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为f (x )在[]0,n 上是减函数，所以()ln(1),n b f n n n ==+- 则ln(1)ln(1)ln(1).n n a n b n n n n =+-=+-++= （i-pn ∈N*恒成立.p n ∈N*恒成立.则2c n +p n ∈N*恒成立.设()2g n n =+ n ∈N*，则c ＜g (n )对n ∈N*恒成立.考虑[)()21,.g x x x =+-∈+∞因为12211()1(2) (22)1121x g x x x x x -+=-++=--+′g p ＝0， 所以[)()1,g x +∞在内是减函数；则当n ∈N*时，g (n )随n 的增大而减小，又因为42lim ()lim(2x x x x g n n →∞→∞+=+==＝1.所以对一切*N ,() 1.n g n ∈>因此c ≤1,即实数c 的取值范围是(-∞，1]. (ⅱ) 由(ⅰ)<下面用数学归纳法证明不等式135(21)N ).246(2)n n n +-<∈g g g L g g g g L g①当n =1时，左边＝12，左边<右边.不等式成立. ②假设当n=k 时,不等式成立.即135(21)246(2)k k -<g g g L g g g g L g当n=k +1时，32122321222122212121)22(2642)12(12531++++=++=++++⋯+⋯∙∙∙∙∙∙k k k k k k k k k k k k k ＜）（）－（=,1)1(2132132148243824++=++++++∙k k k k k k k ＜即n ＝k ＋1时，不等式成立综合①、②得，不等式*)N (121)2(642)12(531∈+⋯-⋯∙∙∙∙∙∙∙∙n n n n ＜成立.所以1212)2(642)12(531--+⋯-⋯∙∙∙∙∙∙∙∙n n n n ＜)2(642)12(531423121n n ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋯-⋯⋯+＋＋.112123513-+=-⋯n n ＋＝－＋－＜ 即*)N (1212421231423121∈-⋯⋯⋯+++-n a a a a a a a a a a a a a n nn ＜＋. 6、（湖北理）21.(本小题满分14分) 已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=λ,a n+1=24,(1)(321),3n n n n a n b a n +-=--+其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a ＜b ,S n 为数列{b n }的前n 项和。
2008年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析
2008年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2008•浙江）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【考点】复数代数形式の混合运算．【分析】化简复数分母为实数，复数化为a+bi（a、b是实数）明确分类即可．【解答】解：由是纯虚数，则且，故a=1故选A．【点评】本小题主要考查复数の概念．是基础题．2．（5分）（2008•浙江）已知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，则（A∩∁U B）∪（B∩∁U A）=（）A．∅B．{x|x≤0} C．{x|x＞﹣1} D．{x|x＞0或x≤﹣1}【考点】交、并、补集の混合运算．【分析】由题意知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，然后根据交集の定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，∴C u B={x|x＞﹣1}，C u A={x|x≤0}∴A∩C u B={x|x＞0}，B∩C u A={x|x≤﹣1}∴（A∩C u B）∪（B∩C u A）={x|x＞0或x≤﹣1}，故选D．【点评】此题主要考查一元二次不等式の解法及集合の交集及补集运算，一元二次不等式の解法及集合间の交、并、补运算布高考中の常考内容，要认真掌握，并确保得分．3．（5分）（2008•浙江）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”の（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件の判断．【专题】常规题型．【分析】首先由于“a2＞b2”不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．故“a2＞b2”是“a＞b”の既不充分也不必要条件．【解答】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．∴“a2＞b2”是“a＞b”の既不充分也不必要条件．故选D．【点评】本小题主要考查充要条件相关知识．4．（5分）（2008•浙江）在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）の展开式中，含x4の项の系数是（）A．﹣15 B．85 C．﹣120 D．274【考点】二项式定理の应用．【分析】本题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题．本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x，其余1个提供常数）の思路来完成．【解答】解：含x4の项是由（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）の5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数∴展开式中含x4の项の系数是（﹣1）+（﹣2）+（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣15．故选A．【点评】本题考查利用分步计数原理和分类加法原理求出特定项の系数．5．（5分）（2008•浙江）在同一平面直角坐标系中，函数（x∈[0，2π]）の图象和直线の交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】函数y=Asin（ωx+φ）の图象变换．【分析】先根据诱导公式进行化简，再由xの范围求出の范围，再由正弦函数の图象可得到答案．【解答】解：原函数可化为：y=cos（）（x∈[0，2π]）=，x∈[0，2π]．当x∈[0，2π]时，∈[0，π]，其图象如图，与直线y=の交点个数是2个．故选C．【点评】本小题主要考查三角函数图象の性质问题．6．（5分）（2008•浙江）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）【考点】等比数列の前n项和．【专题】计算题．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项の特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故选：C．【点评】本题主要考查等比数列通项の性质和求和公式の应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．7．（5分）（2008•浙江）若双曲线の两个焦点到一条准线の距离之比为3：2，则双曲线の离心率是（）A．3 B．5 C．D．【考点】双曲线の定义．【专题】计算题．【分析】先取双曲线の一条准线，然后根据题意列方程，整理即可．【解答】解：依题意，不妨取双曲线の右准线，则左焦点F1到右准线の距离为，右焦点F2到右准线の距离为，可得，即，∴双曲线の离心率．故选D．【点评】本题主要考查双曲线の性质及离心率定义．8．（5分）（2008•浙江）若，则tanα=（）A．B．2 C． D．﹣2【考点】同角三角函数基本关系の运用．【分析】本小题主要考查三角函数の求值问题，需要把正弦和余弦化为正切和正割，两边平方，根据切割の关系进行切割互化，得到关于正切の方程，解方程得结果．【解答】解：∵cosα+2sinα=﹣，∴cosα≠0，两边同时除以cosα得1+2tanα=﹣，∴（1+2tanα）2=5sec2α=5（1+tan2α），∴tan2α﹣4tanα+4=0，∴tanα=2．故选B．【点评】同角三角函数之间の关系，其主要应用于同角三角函数の求值和同角三角函数之间の化简和证明．在应用这些关系式子の时候就要注意公式成立の前提是角对应の三角函数要有意义．9．（5分）（2008•浙江）已知，是平面内两个互相垂直の单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||の最大值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积の坐标表示、模、夹角．【专题】压轴题．【分析】本小题主要考查向量の数量积及向量模の相关运算问题，所给出の两个向量是互相垂直の单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零の条件时要移项变化．【解答】解：．∵，∵，∴，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴の最大值是．故选C．【点评】启发学生在理解数量积の运算特点の基础上，逐步把握数量积の运算律，引导学生注意数量积性质の相关问题の特点，以熟练地应用数量积の性质，本题也可以利用数形结合，，对应の点A，B在圆x2+y2=1上，对应の点C在圆x2+y2=2上即可．10．（5分）（2008•浙江）如图，AB是平面aの斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABPの面积为定值，则动点Pの轨迹是（）A．圆B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线【考点】椭圆の定义；平面与圆柱面の截线．【专题】压轴题；转化思想．【分析】根据题意，因为三角形面积为定值，从而可得P到直线ABの距离为定值，分析可得，点Pの轨迹为一以AB为轴线の圆柱面，与平面αの交线，分析轴线与平面の性质，可得答案．【解答】解：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面の问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线ABの距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线の圆柱面与平面αの交线上，且α与圆柱の轴线斜交，由平面与圆柱面の截面の性质判断，可得Pの轨迹为椭圆；故选：B．【点评】本题考查平面与圆柱面の截面性质の判断，注意截面与圆柱の轴线の不同位置时，得到の截面形状也不同．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）（2008•浙江）已知平面内三点A（2，﹣3），B（4，3），C（5，a）共线，则a= 6【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量坐标の求法求出两个向量の坐标，将三点共线转化为两向量共线，利用向量共线の充要条件列出方程求出a．【解答】解：由已知知所以2（a+3）=6×3解得a=6故答案为：6【点评】本题考查向量坐标の求法、向量共线の坐标形式の充要条件．12．（4分）（2008•浙江）已知F1、F2为椭圆=1の两个焦点，过F1の直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【考点】椭圆の简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线の定义、性质与方程．【分析】运用椭圆の定义，可得三角形ABF2の周长为4a=20，再由周长，即可得到ABの长．【解答】解：椭圆=1のa=5，由题意の定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2の周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：8【点评】本题考查椭圆の方程和定义，考查运算能力，属于基础题．13．（4分）（2008•浙江）在△ABC中，角A、B、C所对の边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．【考点】正弦定理の应用；两角和与差の正弦函数．【专题】计算题．【分析】先根据正弦定理将边の关系转化为角の正弦值の关系，再运用两角和与差の正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosAの值．【解答】解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理、两角和与差の正弦公式の应用．考查对三角函数公式の记忆能力和综合运用能力．14．（4分）（2008•浙江）如图，已知球Oの面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球Oの体积等于π．【考点】球の体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题．【分析】说明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球の直径就是CD，求出CD，即可求出球の体积．【解答】解：AB⊥BC，△ABCの外接圆の直径为AC，AC=，由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，∴CD为球の直径，CD==3，∴球の半径R=，∴V球=πR3=π．故答案为：π．【点评】本题是基础题，考查球の内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出CD是球の直径，是本题の突破口，解题の重点所在，考查分析问题解决问题の能力．15．（4分）（2008•浙江）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上の最大值为2，则t=1．【考点】分段函数の解析式求法及其图象の作法．【专题】压轴题．【分析】本题应先画出函数の大体图象，利用数形结合の方法寻找解题の思路．画出大体图象后不难发现函数の最大值只能在x=1或x=3处取得，因此分情况讨论解决此题．【解答】解：记g（x）=x2﹣2x﹣t，x∈[0，3]，则y=f（x）=|g（x）|，x∈[0，3]f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方の部分翻折到x轴上方得到，其对称轴为x=1，则f（x）最大值必定在x=3或x=1处取得（1）当在x=3处取得最大值时f（3）=|32﹣2×3﹣t|=2，解得t=1或5，当t=5时，此时，f（0）=5＞2不符条件，当t=1时，此时，f（0）=1，f（1）=2，符合条件．（2）当最大值在x=1处取得时f（1）=|12﹣2×1﹣t|=2，解得t=1或﹣3，当t=﹣3时，f（0）=3＞2不符条件，当t=1此时，f（3）=2，f（1）=2，符合条件．综上t=1时故答案为：1．【点评】本题主要考查二次函数の图象性质和绝对值对函数图象の影响变化．16．（4分）（2008•浙江）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字の奇偶性不同，且1和2相邻．这样の六位数の个数是40（用数字作答）．【考点】分步乘法计数原理．【专题】计算题；压轴题．【分析】欲求可组成符合条件の六位数の个数，只须利用分步计数原理分三步计算：第一步：先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：将1、2放到3、5、4、6形成の空中即可．【解答】解析：可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有A22种排法；第二步：再将4、6插空排列，共有2A22种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成の空中，共有C51种排法．由分步乘法计数原理得共有A22•2A22•C51=40（种）．答案：40【点评】本题考查の是分步计数原理，分步计数原理（也称乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同の方法，做第2步有m2种不同の方法…做第n步有m n 种不同の方法．那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同の方法．17．（4分）（2008•浙江）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a、b为坐标の点P（a，b）所形成の平面区域の面积等于1．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】压轴题；图表型．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域の关系画出其表示の平面区域，再利用求最优解の方法，结合题中条件：“恒有ax+by≤1”得出关于a，b の不等关系，最后再据此不等式组表示の平面区域求出面积即可．【解答】解：令z=ax+by，∵ax+by≤1恒成立，即函数z=ax+by在可行域要求の条件下，z max≤1恒成立．当直线ax+by﹣z=0过点（1，0）或点（0，1）时，0≤a≤1，0≤b≤1．点P（a，b）形成の图形是边长为1の正方形．∴所求の面积S=12=1．故答案为：1【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单の转化思想和数形结合の思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见の问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（12分）（2008•浙江）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当ABの长为何值时，二面角A﹣EF﹣Cの大小为60°？【考点】直线与平面平行の判定；与二面角有关の立体几何综合题．【专题】计算题；证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，证明AE平行平面DCF内の直线DG，即可证明AE∥平面DCF；（Ⅱ）过点B作BH⊥EF交FEの延长线于H，连接AH，说明∠AHB为二面角A﹣EF﹣C の平面角，通过二面角A﹣EF﹣Cの大小为60°，求出AB即可．【解答】（Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，可得四边形BCGE为矩形．又ABCD为矩形，所以AD⊥∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG．因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，所以AE∥平面DCF．（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FEの延长线于H，连接AH．由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣Cの平面角．在Rt△EFG中，因为EG=AD=．又因为CE⊥EF，所以CF=4，从而BE=CG=3．于是BH=BE•sin∠BEH=．因为AB=BH•tan∠AHB，所以当AB=时，二面角A﹣EF﹣Gの大小为60°．【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何．【点评】由于理科有空间向量の知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量の方法解决立体几何问题也有其相对の缺陷，那就是空间向量の运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题の优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题の工具，要注意综合几何法の应用．【点评】本题主要考查空间线面关系、空间向量の概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．19．（14分）（2008•浙江）一个袋中有若干个大小相同の黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球の概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球の概率是．（Ⅰ）若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，记得到白球の个数为ξ，求随机变量ξの数学期望Eξ．（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球の概率不大于．并指出袋中哪种颜色の球个数最少．【考点】离散型随机变量及其分布列；等可能事件の概率；离散型随机变量の期望与方差．【专题】计算题；应用题；证明题；压轴题．【分析】（I）首先根据从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球の概率是，列出关系式，得到白球の个数，从袋中任意摸出3个球，白球の个数为ξ，根据题意得到变量可能の取值，结合对应の事件，写出分布列和期望．（II）设出两种球の个数，根据从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球の概率不大于，得到两个未知数之间の关系，得到白球の个数比黑球多，白球个数多于，红球の个数少于，得到袋中红球个数最少．【解答】解：（Ⅰ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球の个数为x，则，得到x=5．故白球有5个．随机变量ξの取值为0，1，2，3，∴分布列是∴ξの数学期望．（Ⅱ）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得，∴2y＜n，2y≤n﹣1，故．记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则．∴白球の个数比黑球多，白球个数多于，红球の个数少于．故袋中红球个数最少．【点评】本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件の概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生の逻辑思维能力和分析问题以及解决问题の能力．20．（15分）（2008•浙江）已知曲线C是到点和到直线距离相等の点の轨迹，l是过点Q（﹣1，0）の直线，M是C上（不在l上）の动点；A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴（如图）．（Ⅰ）求曲线Cの方程；（Ⅱ）求出直线lの方程，使得为常数．【考点】轨迹方程；直线の一般式方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）设N（x，y）为C上の点，进而可表示出|NP|，根据N到直线の距离和|NP|进而可得曲线Cの方程．（II）先设，直线l：y=kx+k，进而可得B点坐标，再分别表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根据|QA|2=|QM|2﹣|AM|2求得k．【解答】解：（I）设N（x，y）为C上の点，则，N到直线の距离为．由题设得，化简，得曲线Cの方程为．（II）设，直线l：y=kx+k，则B（x，kx+k），从而．在Rt△QMA中，因为=，．所以，∴，．当k=2时，，从而所求直线l方程为2x﹣y+2=0．【点评】本题主要考查求曲线轨迹方程，两条直线の位置关系等基础知识，考查解析几何の基本思想方法和综合解题能力．21．（15分）（2008•浙江）已知a是实数，函数（Ⅰ）求函数f（x）の单调区间；（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上の最小值．（i）写出g（a）の表达式；（ii）求aの取值范围，使得﹣6≤g（a）≤﹣2．【考点】利用导数研究函数の单调性；函数解析式の求解及常用方法；利用导数求闭区间上函数の最值；不等式の证明．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）求出函数の定义域[0，+∞），求出f′（x），因为a为实数，讨论a≤0，（x＞0）得到f′（x）＞0得到函数の单调递增区间；若a＞0，令f'（x）=0，得到函数驻点讨论x取值得到函数の单调区间即可．（Ⅱ）①讨论若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0；若0＜a＜6，f （x）在上单调递减，在上单调递增，所以；若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，所以．得到g（a）为分段函数，写出即可；②令﹣6≤g（a）≤﹣2，代到第一段上无解；若0＜a＜6，解得3≤a＜6；若a≥6，解得．则求出aの取值范围即可．【解答】解；（Ⅰ）解：函数の定义域为[0，+∞），（x＞0）．若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）有单调递增区间[0，+∞）．若a＞0，令f'（x）=0，得，当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0．f（x）有单调递减区间，单调递增区间．（Ⅱ）解：（i）若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0．若0＜a＜6，f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以．若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，所以．综上所述，改天（ii）令﹣6≤g（a）≤﹣2．若a≤0，无解．若0＜a＜6，解得3≤a＜6．若a≥6，解得．故aの取值范围为．【点评】本题主要考查函数の性质、求导数の应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题の能力．22．（16分）（2008•浙江）已知数列{a n}，a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2（n∈N•）．记S n=a1+a2+…+a n．．求证：当n∈N•时，（Ⅰ）a n＜a n+1；（Ⅱ）S n＞n﹣2．（Ⅲ）T n＜3．【考点】不等式の证明；数列の求和；用数学归纳法证明不等式．【专题】证明题；压轴题．【分析】（1）对于n∈N•时の命题，考虑利用数学归纳法证明；（2）由a k+12+a k+1﹣1=a k2，对k取1，2，…，n﹣1时の式子相加得S n，最后对S n进行放缩即可证得．（3）利用放缩法由，得≤（k=2，3，…，n﹣1，n≥3），≤（a≥3），即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．①当n=1时，因为a2是方程x2+x﹣1=0の正根，所以a1＜a2．②假设当n=k（k∈N*）时，a k＜a k+1，因为a k+12﹣a k2=（a k+22+a k+2﹣1）﹣（a k+12+a k+1﹣1）=（a k+2﹣a k+1）（a k+2+a k+1+1），所以a k+1＜a k+2．即当n=k+1时，a n＜a n+1也成立．根据①和②，可知a n＜a n+1对任何n∈N*都成立．（Ⅱ）证明：由a k+12+a k+1﹣1=a k2，k=1，2，…，n﹣1（n≥2），得a n2+（a2+a3+…+a n）﹣（n﹣1）=a12．因为a1=0，所以S n=n﹣1﹣a n2．由a n＜a n+1及a n+1=1+a n2﹣2a n+12＜1得a n＜1，所以S n＞n﹣2．（Ⅲ）证明：由，得：，所以，故当n≥3时，，又因为T1＜T2＜T3，所以T n＜3．【点评】本题主要考查数列の递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．。
2008年高考数学试题分析之集合与函数
内容 ，这类试题大都 是与二次 函数 有关或者是用导数作工具求解。 【 】（ 卷 ， ２ ） 例 湖北 理 ０ 水库 的蓄 水量随时间而变化 ，现用 ｔ 示时间 ，以月 为单位 ， 表 年
初为起点 ， 据历 年数据 ， 根 某水库的蓄水量 （ 单位 ： 亿立方米 ）关于
示不超 斓 最大
故 Ｄ ＝ ２ Ｆ ＝ ｂ ． ．
令 ｘ＝０ 得， ＋Ｆ ＝０又二 次函数 ， Ｙ ＋
厂ｘ＝ ２＋ 的 ｊ过（，） （） ｘ＋ ｘ ｂ 尽 像 ０ｂ点。
良 药 苦 口 利 于 病 ，忠 言 逆 耳 利 于 行 。 一一 汉 ・刘 向 说 苑 ・正 谏 》
高考加油站
即 ｂ 该 程 解 代 得Ｅ －ｂ １． 上 述 圆 ＝ 是 方 的 ， 入 ＝ （＋） 综 所 ，
在平面直 角坐标系
中， 二次函数厂 ＝ ＋ ｘ ６ （ ２＋
记过三个交点的 圆为圆 Ｃ ．
（ ｘ∈Ｒ ）与 两坐 标轴有三个交点
得＝ 等 ． （ 等 【口是函 厂＝ ．＝ 在∈，上 数 （ 则 ， ： 。 】减 ， ） ｙ ） ‘ 口 ２
本 等 于 ≤ ≤ 【２ 上 成 ， 有 题 价 口 口在 ∈口 恒 立因 ，】 此
２０ 年高考试题集合与函数考查的 几 寺 ０８ 点
１ ．通过选择题和填空题，
。
性
质和图像
【 】天津卷 ，理 １） 例 （ ６
Ｃ ＠） 为奇函数 ．厂 ＋１
答案 ：Ｃ．
Ｄ ．
＋ 为偶函数 １
４在解答题 的考查中 ， ．
出珊 并
程的数学思想起到了关键作用
【 】 江苏卷 ，理 ） 例 （
ｌ） ｆ １＋５ ，０＜ １， Ｏ（ ～４ ） ０１ ， ２ ３
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08三角函数 三角恒等变换)
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（08三角函数 三角恒等变换）一、选择题：1．（2008安徽文）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ D ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2．（2008安徽理）将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12π D ．(,0)6π3．(2008福建文)函数cos ()y x x R =∈的图像向左平移2π个单位后，得到()y g x =的图像，则()g x 的解析式为（ A ）Ａ．sin x - Ｂ．sin x Ｃ．cos x - Ｄ．cos x4．(2008福建理)函数f (x )=cos x (x ∈R )的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象， 则m 的值可以为（A ）A.2πB.πC.－πD.－2π5．(2008广东文)已知函数R x x x x f ∈+=,sin )2cos 1()(2，则)(x f 是（ D ）A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数6、(2008海南、宁夏文)函数()cos22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ C ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，327、(2008海南、宁夏理)已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ B ） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/38、(2008海南、宁夏理)0203sin 702cos 10--=（ C ）A. 12B. C. 2D.9. (2008湖北文、理)将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′， 若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是（.A ） A .512π B.512π- C.1112π D.1112π-2005年普通高等学校招生全国统一考试数学分类整理- 1 -10. (2008湖南理)函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( C. ) A.1C.3211．(2008江西文)函数sin ()sin 2sin2x f x xx =+是（A ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数12．(2008江西文、理)函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间(2π，23π)内的图象大致是（D ）A B C D13．(2008全国Ⅰ卷文) 2(sin cos )1y x x =--是（ D ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数14．(2008全国Ⅰ卷文)为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ C ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位15．(2008全国Ⅰ卷理)为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位16. (2008全国Ⅱ卷文)．若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ C ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角17．(2008全国Ⅱ卷理)若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ B ）A ．1BCD ．22008年高考数学试题分类选编北大附中广州实验学校 王 生E-mail: wangsheng@第3页 （共15页）18．(2008全国Ⅱ卷文)函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ B ） A ．1 B ．2 C ．3D ．219.(2008山东文、理)函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ A ）20.(2008山东文、理)已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ C ）A． BC ．45-D ．4521.(2008陕西文) sin 330︒等于（ B ） A． B ．12-C ．12D22．(2008四川文、理)()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x23．(2008四川理)若02,sin απαα≤≤，则α的取值范围是：( C ) （Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭23．【解】：∵sin αα>∴sin 0αα>，即12sin 2sin 023πααα⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又∵02απ≤≤ ∴5333πππα-≤-≤，∴03παπ≤-≤ ，即4,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选C ；24．(2008四川理) 设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f =（Ｄ）()'00f=24．【解】：∵()()sin f x x ωϕ=+是偶函数∴由函数()()sin f x x ωϕ=+图象特征可知0x =必是()f x 的极值点， ∴()'00f = 故选D25.(2008天津理)设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是（ B ） (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数xxA ．B ．C ．D ．2005年普通高等学校招生全国统一考试数学分类整理- 1 -(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数26．(2008天津文)把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ C ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，27. (2008天津文)设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ D ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<28.（2008浙江文）函数1)cos (sin 2++=x x y 的最小正周期是（ B ） （A ）2π（B ）π (C)23π (D) 2π29.（2008浙江文、理）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的 图象和直线21=y 的交点个数是（C ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）430.（2008浙江理）若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =（ B ） （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2-31.(2008重庆文)函数f (x≤x ≤2π)的值域是( C )(A)[-11,44] (B)[-11,33] (C)[-11,22] (D)[-22,33]32. (2008重庆理)函数f(x)02x π≤≤) 的值域是 (B )（A ）[-2] (B)[-1,0] （C ）] （D ）]二、填空题：1.（2008北京文）若角α的终边经过点P (1,-2),则tan 2α的值为 43.2008年高考数学试题分类选编北大附中广州实验学校 王 生E-mail: wangsheng@第5页 （共15页）2.（2008北京文、理）已知函数2()cos f x x x =-,对于［－22ππ，］上的任意x 1,x 2,有如下条件： ①x 1>x 2; ②x 21>x 22; ③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)> f (x 2)恒成立的条件序号是 ② .3. (2008广东理)已知函数R x x x x x f ∈-=,sin )cos (sin )(，则)(x f 的最小正周期是__π__.4. (2008江苏)()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= 10 ．5．(2008辽宁文)设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=6．(2008辽宁理)已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝_____143_____．7.(2008上海理)函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 2.8.（2008浙江文）若==+θθπ2cos ,53)2sin(则 257- .三、解答题：1.（2008安徽文、理）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域1.解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =+-+221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 22x x x =- s i n (2)6x π=- 2T 2ππ==周期∴2005年普通高等学校招生全国统一考试数学分类整理- 1 -（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()1222f f ππ-=<=，∴当12x π=-时，()f x 取最小值所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2-2.（2008北京文、理）已知函数2()sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=++的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f (x )在区间[0，23π]上的取值范围. 2.解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=11cos 222x x ωω-+ =1sin(2).62x πω-+因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω＞0，所以22ππω= 解得ω=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）得1()sin(2).62f x x π=-+ 因为0≤x ≤23π， 所以12-≤26x π-≤7.6π所以12-≤(2)6x π-≤1.因此0≤1sin(2)62x π-+≤32，即f (x )的取值范围为[0，32]4．(2008福建文、理) 已知向量(sin ,cos ),(1,2),m A A n ==-且0m n ⋅=。
(精编精校)2008年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 理科数学 解析版
2008年高考北京理科数学详解一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()UA B 等于（ ）A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤【标准答案】: D【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()UA B ＝{}|13x x -≤≤【高考考点】:集合 【易错提醒】: 补集求错 【备考提示】: 高考基本得分点 2．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【标准答案】: A【试题分析】:利用估值法知a 大于1，b 在0与1之间，c 小于0. 【高考考点】: 函数的映射关系，函数的图像。
【易错提醒】: 估值出现错误。
【备考提示】: 大小比较也是高考较常见的题型，希望引起注意。
3．“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【标准答案】: B【试题分析】: 函数()()f x x ∈R 存在反函数，至少还有可能函数()f x 在R 上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。
【高考考点】: 充要条件，反函数，映射关系，函数单调性。
【易错提醒】: 单调性与一一对应之间的关系不清楚 【备考提示】: 平时注意数形结合训练。
4．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【标准答案】: D【试题分析】: 把P 到直线1x =-向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(04导数及其应用)
1.解: (1) f ' (x) ax2 3x (a 1) ，由于函数 f (x) 在 x 1 时取得极值，所以 f ' (1) 0 即 a 3 a 1 0,∴a 1
(2) 方法一：由题设知： ax2 3x (a 1) x2 x a 1 对任意 a (0, ) 都成立 即 a(x2 2) x2 2x 0 对任意 a (0, ) 都成立 设 g(a) a(x2 2) x2 2x(a R) , 则对任意 x R ， g(a) 为单调递增函数 (a R) 所以对任意 a (0, ) ， g(a) 0 恒成立的充分必要条件是 g(0) 0 即 x2 2x 0 ，∴2 x 0
(- b , b ) b
( b ,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
所以，当 b＜0 时，函数 f (x)在（-∞，- b ）上单调递增，在（- b ， b ）上单调递减，在 （ b ，+∞）上单调递增.
当 b＞0 时，f′(x)＞0.所以函数 f (x)在（-∞，+∞）上单调递增.
4．（2008
(0，4)，(2，0)，(6，4) ，则 f ( f (0))
lim f (1 x) f (1) —2
x0
x
2； ．（用数字作答）
y
4A
C
3
2
3.
(2008
湖南理)
lim
x1
x2
x 1 3x
4
______
.
1 5
1 B
O 1 234 5 6 x
第 2 页 （共 29 页）
4. (2008 江苏)直线 y 1 x b 是曲线 y ln x x 0 的一条切线，则实数 b＝ ln2－1 ．
高考数学中的函数与导数综合运用技巧
高考数学中的函数与导数综合运用技巧高考数学作为考生们最重要的科目之一，函数与导数是其中重要的考点。
在解决实际问题时，合理地运用函数与导数的综合技巧能够帮助我们更好地理解、分析和求解数学题目。
本文将针对高考数学中的函数与导数综合运用技巧进行探讨，帮助考生们更好地应对相关考题。
一、函数与导数的基本概念在开始探讨函数与导数的综合运用技巧之前，首先需要了解函数与导数的基本概念。
函数是自变量与因变量之间的关系，用符号y = f(x)表示，其中x为自变量，y为因变量。
函数的图象可以用曲线或者折线来表示。
导数是函数在某一点处的变化率，用符号f'(x)表示。
导数可以表示函数在某一点的斜率，即切线的斜率。
二、函数与导数的综合运用技巧1. 极值问题在解决极值问题时，考生可以使用导数的概念。
首先求出函数的导数，然后将导数置零，求出使函数取得极值的自变量值。
根据导数的正负性，可以判断极值点的类型（极大值或极小值）。
2. 函数的单调性判断函数的单调性判断也是常见的考点。
对于给定的函数，可以通过求导数的方式来判断函数的单调区间。
当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。
3. 求曲线与直线的位置关系在求解曲线与直线的位置关系时，可以结合函数与导数的性质进行分析。
首先求出函数的导数，然后比较曲线与直线斜率的大小关系，根据导数的正负性和零点位置，可以判断曲线与直线的位置关系。
4. 求变化率与速率函数与导数的综合运用还可以用于求解变化率与速率的问题。
对于给定的函数，可以通过求导数来表示函数在某一点的变化率。
当自变量表示时间时，导数就代表了函数的瞬时变化率，即速率。
5. 求函数的极限与渐近线函数的极限与渐近线也可以通过函数与导数的综合运用来解决。
对于给定的函数，可以通过求导数的方式来求解函数的极限。
当导数趋于无穷时，可以判断函数是否有垂直渐近线；当导数趋于有界数时，可以判断函数是否有水平渐近线。
三、综合练习与答案解析为了帮助考生更好地掌握函数与导数的综合运用技巧，以下列举了两道高考数学综合题目及其答案解析，供考生练习参考。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编2.4函数的综合应用
第二章 函数四 函数的综合应用【考点阐述】 函数的综合应用 【考试要求】应用函数知识思想解决一些简单的实际问题。
【考题分类】（一）选择题（共5题）1.（江西卷理12文12）．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A ． (0,2) B ．(0,8) C ．(2,8) D ． (,0)-∞ 解：当0m ≤时，显然不成立 当0m >时，因(0)10f =>当4022b ma --=≥即04m <≤时结论显然成立； 当4022b ma --=<时只要24(4)84(8)(2)0m m m m ∆=--=--<即可 即48m <<，则08m <<，选B2.（全国Ⅰ卷理2文2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）解：A ． 根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图像可知；3.（山东卷理3文3）函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是sA ．sssB ．C ．D ．解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。
ln cos ()22y x x ππ=-<<是偶函数，可排除B 、D ，由cos 1lncos 0x x ≤⇒≤排除C,选A.4.（陕西卷理11）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y x y+=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ ） A ．2B ．3C ．6D ．9解：令0(0)0x y f ==⇒=，令1(2)2(1)26x y f f ==⇒=+=；令2,1(3)(2)(1)412x y f f f ==⇒=++=，再令3,3x y ==-得0(33)(3)(3)18(3)18(3)6f f f f f =-=+--⇒-=-=5.（陕西卷文11）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y x y+=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(2)f -等于（ ） A ．2B ．3C ．6D ．9解：令0(0)0x y f ==⇒=，令1(2)2(1)26x y f f ==⇒=+=；令2,2x y ==-得0(22)(2)(2)8(2)8(2)862f f f f f =-=+--⇒-=-=-= （二）填空题（共3题）1.（湖北卷文13）方程223x x -+=的实数解的个数为 . 解：画出2xy -=与23y x=-的图象有两个交点，故方程223x x -+=的实数解的个数为2个。
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(06数列)
an
4n
5 2
， a1
a2
an
an2
bn
，n
N*
,其
中 a, b 为常数，则 ab －1
2．（2008
安徽理）在数列 {an } 在中，
an
4n
5 2
， a1
a2
an
an2
bn
，n
N*
,其
an bn
中
a,
b
为常数，则
lim
n
an
bn
的值是
1
3．(2008 海南、宁夏文)已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则 a5 = ___15__
∴0 c 1
2．（2008 安徽理）设数列an 满足 a0 0, an1 can3 1 c, c N *, 中 中 c 为实数
（Ⅰ）证明： an [0,1] 对任意 n N * 成立的充分必要条件是 c [0,1]；
（Ⅱ）设 0
c
1 3
，证明： an
1 (3c)n1, n
N* ;
（Ⅲ）设
3．解：（Ⅰ）由于 an1 (n2 n )an (n 1, 2,), 且 a1=1， 所以当 a2=-1 时，得 1 2 , 故 3.
从而 a3 (22 2 3) (1) 3.
（Ⅱ）数列{an}不可能为等差数列.证明如下：
由 a1=1， an1 (n2 n )an 得
1 2
Sn
(1)2 2
2(1 )3 2
n( 1 )n1 2
∴1 2
Sn
1 2
(1)2 2
(1)n 2
n( 1 )n1 2
∴ Sn
2008高考山东数学理科试卷含详细解答（全word版）
2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）参考公式：球的表面积公式：24πSR ，其中R 是球的半径．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：()(1)(012)k k n kn n P k C p p kn ，，，，．如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B ．如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B ．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足1234Ma a a a ，，，，且12312Ma a a a a ，，，的集合M 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。
集合M 中必含有12,a a ,则12,Ma a 或124,,M a a a .选B.2．设z 的共轭复数是z ，若4z z，8z z，则z z等于（）A ．iB ．iC ．1D ．i解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。
可设2z bi ，由8z z 得248, 2.bb2222.88i zz i z选D.3．函数ππln cos 22y xx的图象是（）y x π2π2Oyx π2π2Oy x π2π2Oyx π2π2OA ．B ．C ．D ．解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。
ln cos ()22yx x是偶函数，可排除B 、D ，由cos 1ln cos 0x x 排除C,选A. 4．设函数()1f x x x a 的图象关于直线1x 对称，则a 的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．1解：1x、x a 在数轴上表示点x 到点1、a 的距离，他们的和()1f x x x a 关于1x 对称，因此点1、a 关于1x对称，所以3a（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以）5．已知π4cossin365，则7πsin6的值是（）A ．235B ．235C ．45D ．45解：：334cos()sincossin 36225，134cossin225，7314sin()sin()sincos.662256．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为22411221312.S 7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（）A ．151B ．168C ．1306D ．1408解：古典概型问题，基本事件总数为31817163C 。
重难点08 导数在研究函数图像与性质中的综合应用—2023年高考数学(原卷版)
重难点08 导数在研究函数图像与性质中的应用一.导数的计算二.切线方程的求法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求切线方程，可先求该点处的导数值f ′(x 0)，再根据y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)求解．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可． 3.求切点坐标已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标． 三.求参数的值(范围)1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 四.解决两曲线的公切线问题的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)是设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f (x 1)－g (x 2)x 1－x 2.2023年高考仍然重点考查利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题.（建议用时：40分钟）一、单选题1．已知曲线y ＝24x －3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．122．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则 A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-3．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+4．曲线y=x 3+11在点P （1，12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ） A ．﹣9B ．﹣3C ．9D ．155．曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒6．已知f (x )＝x ln x ，若0()2f x '=，则x 0＝（ ） A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln27．若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +128．若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<9．曲线sin 1y sin cos 2x x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．210．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-11．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则=a A ．2B ．12C ．12-D ．2-12．曲线2e 1x y -=+在点 ()0,2处的切线与直线0y =和 y x =围成的三角形的面积为 A ．13B ．12C ．23D ．1二、填空题 13．曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 14．若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 15．曲线3y x =在点3(,)(0)a a a ≠处的切线与x 轴、直线x a =所围成的三角形的面积为16，则=a ________.16．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为______，切线的斜率为______．三、解答题17．设函数32()33f x x ax bx =-+的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点（1，－11）． (1)求a 、b 的值．(2)讨论函数f （x ）的单调性．18．已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．。
专题08 解决数列的综合问题-2021年高考数学二轮复习核心考点微专题(苏教版)(原卷版)
【真题感悟】1．已知函数f (x )＝6(3)3,7,7x a x x a x ---≤⎧⎨>⎩，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．2.数列{a n }满足a n ＝n ＋λ2n －17(其中λ为实常数)，n ∈N *，且a 8数列{a n }的最小项， a 9数列{a n }的最大项，则实数λ的取值范围为________．3.已知数列{b n }满足b n ＝2λ⎝⎛⎭⎫－12n －1－n 2，若数列{b n }是单调递减数列，则实数λ的取值范围为________．4.数列{a n }满足a n ＝n ＋c n(其中c 为实常数)，n ∈N *，且a 3为数列{a n }的最小项，则实数λ的取值范围为________．【考向分析】数列问题一直以来是高考的重点且位于压轴题的位置，而数列的特点是方法灵活，难度较大，本专题就数列中的单调性问题，奇偶性问题，存在性问题等热点问题加以探究，以便学生能更好的理解数列.【典例导引】（一）数列中的单调性问题变式2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2n －1.(1)求证：数列{a n ＋n }为等比数列；(2)记b n ＝a n ＋(1－λ)n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T 3为数列{T n }中的最小项，求λ的取值范围．（二）数列中的奇偶性问题例2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑i ＝1n (－1)·a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围．变式1 设函数f (x )＝2x ＋33x (x ＞0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1(n ∈N *，且n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围． 变式2 已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n .（三）数列中的存在性问题例3. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和为S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 变式1 已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2a n ＋p ，n ∈N *.(1)若a 1＝－1，p ＝1，①求a 4的值；②求数列{a n }的前n 项和S n .(2) 若数列{a n }中存在三项，a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1p的取值范围． 变式2 已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意给定的k ∈N *，是否存在p ，r ∈N *(k ＜p ＜r )使1a k ，1a p ，1a r成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r (只要写出一组)；若不存在，请说明理由．【跟踪演练】1．已知数列{a n }为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为3227，则这个数列的公差为________．2．等比数列{a n }的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为________．3．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a 2n b n为整数的正整数n 的个数是________．4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *，设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，则数列{b n }的前2n 项和为________．1.已知数列{a n }，a n ＝n 2＋λn ＋3(其中λ为常实数)，且a 3为数列{a n }的最小项，则实数λ的取值范围是________．2．若数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，当n 为奇数时；4n ＋9，当n 为偶数时.则数列{c n }的前19项的和T 19＝________. 3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，满足a 1＝1，S 6＝36，且a m ，a m ＋2，a k 成等比数列，则m ＋k 的值为________．4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n ·n ，若对任意正整数n ，(a n ＋1－p )(a n －p )＜0恒成立，则实数p 的取值范围是________．5. 已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1－a n ＝3n －1－nq ，n ∈N *，p ，q ∈R .a 4为数列{a n }的最小项，求q 的取值范围．6.已知{a n }是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝40，S 4＝26.(1)求数列{a n }的通项公式；①求证：数列{b n }是等比数列；②求满足S n >T n 的所有正整数n 的值．7. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a ，(a n ＋1)(a n ＋1＋1)＝6(S n ＋n )，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对于∀n ∈N *，都有S n ≤n (3n ＋1)成立，求实数a 取值范围．8. 已知n ∈N *，数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a 2n －1＋a 2n .(1)若数列{b n }是公比为3的等比数列，求S 2n ；(2)若S 2n ＝3(2n －1)，数列{a n a n ＋1}也为等比数列，求数列的{a n }通项公式．9.若数列{a n }中的项都满足a 2n －1＝a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)，则称{a n }为“阶梯数列”．(1)设数列{b n }是“阶梯数列”，且b 1＝1，b 2n ＋1＝9b 2n －1(n ∈N *)，求b 2 016；(2)设数列{c n }是“阶梯数列”，其前n 项和为S n ，求证：{S n }中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；(3)设数列{d n }是“阶梯数列”，且d 1＝1，d 2n ＋1＝d 2n －1＋2(n ∈N *)，记数列⎝⎛⎭⎫1d n d n ＋2的前n 项和为T n .问是否存在实数t ，使得(t －T n )⎝⎛⎭⎫t ＋1T n<0对任意的n ∈N *恒成立？若存在，请求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．10.已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，令b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .(1)求数列{a n }的通项公式及数列{b n }的前n 项和为T n ；(2)是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．11.设公差不为零的等差数列{a n }的各项均为整数，S n 为其前n 项和，且满足a 2a 3a 1＝－54，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式；12. 已知数列{a n }中，a 2＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝n a n －a 12. (1)求a 1；(2)证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；(3)设lg b n ＝a n ＋13n ，试问是否存在正整数p ，q (其中1＜p ＜q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．。
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（08三角函数 三角恒等变换）一、选择题：1．（2008安徽文）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ D ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2．（2008安徽理）将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ）A ．(,0)12π- B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π3．(2008福建文)函数cos ()y x x R =∈的图像向左平移2π个单位后，得到()y g x =的图像，则()g x 的解析式为（ A ）Ａ．sin x - Ｂ．sin x Ｃ．cos x - Ｄ．cos x4．(2008福建理)函数f (x )=cos x (x ∈R )的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象， 则m 的值可以为（A ）A.2π B.π C.－π D.－2π5．(2008广东文)已知函数R x x x x f ∈+=,sin )2cos 1()(2，则)(x f 是（ D ） A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数6、(2008海南、宁夏文)函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ C ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，327、(2008海南、宁夏理)已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ B ）A. 1B. 2C. 1/2D. 1/38、(2008海南、宁夏理)0203sin 702cos 10--=（ C ）A.12B.2C. 2D.29. (2008湖北文、理)将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是（.A ）A.512π B.512π-C.1112π D.1112π-10. (2008湖南理)函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( C. )A.1B.12+ C.32D.1+11．(2008江西文)函数sin ()sin 2sin2x f x x x =+是（A ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数12．(2008江西文、理)函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间(2π，23π)内的图象大致是（D ）A B C D13．(2008全国Ⅰ卷文) 2(sin cos )1y x x =--是（ D ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数14．(2008全国Ⅰ卷文)为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ C ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位15．(2008全国Ⅰ卷理)为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位16. (2008全国Ⅱ卷文)．若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ C ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角17．(2008全国Ⅱ卷理)若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ B ）A ．1 B． CD ．218．(2008全国Ⅱ卷文)函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ B ）A ．1B ． 2C ．3D ．219.(2008山东文、理)函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭的图象是（ A ）20.(2008山东文、理)已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ C ）A．5-B．5C ．45-D ．4521.(2008陕西文) sin 330︒等于（ B ）A．2-B ．12-C ．12D222．(2008四川文、理)()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x23．(2008四川理)若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( C ) （Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭23．【解】：∵sin αα>∴sin 0αα->，即12sin 2sin 0223πααα⎛⎫⎛⎫-=->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又∵02απ≤≤ ∴5333πππα-≤-≤，∴03παπ≤-≤ ，即4,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选C ；24．(2008四川理) 设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f =（Ｄ）()'00f=24．【解】：∵()()sin f x x ωϕ=+是偶函数∴由函数()()sin f x x ωϕ=+图象特征可知0x =必是()f x 的极值点， ∴()'00f = 故选D25.(2008天津理)设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是（ B ）(A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数26．(2008天津文)把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上xxA ．B ．C ．D ．所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ C ）A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，27. (2008天津文)设5sin7a π=，2cos7b π=，2tan7c π=，则（ D ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<28.（2008浙江文）函数1)cos (sin 2++=x x y 的最小正周期是（ B ） （A ）2π（B ）π (C)23π (D) 2π29.（2008浙江文、理）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（C ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）430.（2008浙江理）若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =（ B ） （A ）21 （B ）2 （C ）21-（D ）2-31.(2008重庆文)函数f (x(0≤x ≤2π)的值域是( C )(A)[-11,44](B)[-11,33] (C)[-11,22] (D)[-22,33]32. (2008重庆理)函数f(x)02x π≤≤) 的值域是 (B )（A ）[-02] (B)[-1,0] （C ）0] （D ）0]二、填空题：1.（2008北京文）若角α的终边经过点P (1,-2),则tan 2α的值为 43.2.（2008北京文、理）已知函数2()cos f x x x =-,对于［－22ππ，］上的任意x 1,x 2,有如下条件： ①x 1>x 2; ②x 21>x 22; ③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)> f (x 2)恒成立的条件序号是 ② .3. (2008广东理)已知函数R x x x x x f ∈-=,sin )cos (sin )(，则)(x f 的最小正周期是__π__.4. (2008江苏)()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= 10 ．5．(2008辽宁文)设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=6．(2008辽宁理)已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝_____143_____．7.(2008上海理)函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 2.8.（2008浙江文）若==+θθπ2cos ,53)2sin(则 257- .三、解答题：1.（2008安徽文、理）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域1.解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+221cos 2sin 2sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+-s i n (2)6x π=- 2T 2ππ==周期∴ （2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈-因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又 1()()12222f f ππ-=-<=，∴当12x π=-时，()f x 取最小值2-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2-2.（2008北京文、理）已知函数2()sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=++的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f (x )在区间[0，23π]上的取值范围.2.解：（Ⅰ）1cos 2()222xf x x ωω-=+=11sin cos 2222x x ωω-+=1sin(2).62x πω-+因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω＞0，所以22ππω=解得ω=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）得1()sin(2).62f x x π=-+因为0≤x ≤23π， 所以12-≤26x π-≤7.6π所以12-≤(2)6x π-≤1. 因此0≤1sin(2)62x π-+≤32，即f (x )的取值范围为[0，32]3.（2008北京理）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．3．解：（Ⅰ）1cos 2()222xf x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫--⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 4．(2008福建文、理) 已知向量(sin ,cos ),(1,2),m A A n ==-且0m n ⋅= 。
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08三角函数__三角恒等变换)
2008年高考数学试题及解答分类汇编大全（08三角函数 三角恒等变换）一、选择题：1．（2008安徽文）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ D ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2．（2008安徽理）将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π3．(2008福建文)函数cos ()y x x R =∈的图像向左平移2π个单位后，得到()y g x =的图像， 则()g x 的解析式为（ A ）Ａ．sin x - Ｂ．sin x Ｃ．cos x - Ｄ．cos x4．(2008福建理)函数f (x )=cos x (x ∈R )的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象， 则m 的值可以为（A ）A.2πB.πC.－πD.－2π5．(2008广东文)已知函数R x x x x f ∈+=,sin )2cos 1()(2，则)(x f 是（ D ）A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数6、(2008海南、宁夏文)函数()cos22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ C ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，327、(2008海南、宁夏理)已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ B ）A. 1B. 2C. 1/2D. 1/38、(2008海南、宁夏理)0203sin 702cos 10--=（ C ）A. 12B. 2C. 2D. 29. (2008湖北文、理)将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′， 若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是（.A ） A .5π B.5π- C.11π D.11π-10. (2008湖南理)函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( C. ) A.1C.3211．(2008江西文)函数sin ()sin 2sin2x f x xx =+是（A ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数12．(2008江西文、理)函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间(2π，23π)内的图象大致是（D ）A B C D13．(2008全国Ⅰ卷文) 2(sin cos )1y x x =--是（ D ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数14．(2008全国Ⅰ卷文)为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ C ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位15．(2008全国Ⅰ卷理)为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位16. (2008全国Ⅱ卷文)．若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ C ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角17．(2008全国Ⅱ卷理)若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ B ）A ．1 BCD ．218．(2008全国Ⅱ卷文)函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ B ） A ．1 B ．2 C ．3D ．219.(2008山东文、理)函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ A ）20.(2008山东文、理)已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ C ）A． BC ．45-D ．4521.(2008陕西文) sin 330︒等于（ B ） A． B ．12-C ．12D22．(2008四川文、理)()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x23．(2008四川理)若02,sin απαα≤≤，则α的取值范围是：( C ) （Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭23．【解】：∵sin αα>∴sin 0αα>，即12sin 2sin 023πααα⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又∵02απ≤≤ ∴5333πππα-≤-≤，∴03παπ≤-≤ ，即4,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选C ；24．(2008四川理) 设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f =（Ｄ）()'00f=24．【解】：∵()()sin f x x ωϕ=+是偶函数∴由函数()()sin f x x ωϕ=+图象特征可知0x =必是()f x 的极值点， ∴()'00f = 故选D25.(2008天津理)设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是（ B ） (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数xxA ．B ．C ．D ．26．(2008天津文)把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ C ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，27. (2008天津文)设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ D ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<28.（2008浙江文）函数1)cos (sin 2++=x x y 的最小正周期是（ B ） （A ）2π（B ）π (C)23π (D) 2π29.（2008浙江文、理）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的 图象和直线21=y 的交点个数是（C ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）430.（2008浙江理）若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =（ B ） （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2-31.(2008重庆文)函数f (x≤x ≤2π)的值域是( C )(A)[-11,44] (B)[-11,33] (C)[-11,22] (D)[-22,33]32. (2008重庆理)函数f(x)02x π≤≤) 的值域是 (B )（A ）[-2] (B)[-1,0] （C ）] （D ）]二、填空题：1.（2008北京文）若角α的终边经过点P (1,-2),则tan 2α的值为 43.2.（2008北京文、理）已知函数2()cos f x x x =-,对于［－22ππ，］上的任意x 1,x 2,有如下条件： ①x 1>x 2; ②x 21>x 22; ③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)> f (x 2)恒成立的条件序号是3. (2008广东理)已知函数R x x x x x f ∈-=,sin )cos (sin )(，则)(x f 的最小正周期是__π__.4. (2008江苏)()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= 10 ．5．(2008辽宁文)设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=6．(2008辽宁理)已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝_____143_____．7.(2008上海理)函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 2.8.（2008浙江文）若==+θθπ2cos ,53)2sin(则 257- .三、解答题：1.（2008安徽文、理）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域1.解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+- s i n (2)6x π=- 2T 2ππ==周期∴ （2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2.（2008北京文、理）已知函数2()sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=++ 的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f (x )在区间[0，23π]上的取值范围.2.解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-==11cos 2222x x ωω-+ =1sin(2).62x πω-+因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω＞0，所以22ππω= 解得ω=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）得1()sin(2).62f x x π=-+ 因为0≤x ≤23π， 所以12-≤26x π-≤7.6π所以12-≤(2)6x π-≤1.因此0≤1sin(2)62x π-+≤32，即f (x )的取值范围为[0，32]4．(2008福建文、理) 已知向量(sin ,cos ),(1,2),m A A n ==-且0m n ⋅= 。
高考数学中的函数与导数与指数对数的综合运用方法
高考数学中的函数与导数与指数对数的综合运用方法高考数学是中学生最重要的考试之一，涉及到各种数学概念和运算方法。
其中，函数与导数、指数与对数是高考数学中常见且重要的知识点。
本文将介绍函数与导数、指数与对数在高考数学中的综合运用方法。
一、函数与导数的综合运用在高考数学中，函数与导数经常被用来解决实际问题。
下面以一个例子来说明函数与导数的综合运用。
例题：某物体的运动方程为S(t) = 0.5t^2 + 2t + 1，其中S(t)表示物体的位移，t表示时间。
求物体在t = 3时的瞬时速度。
解析：给定物体的运动方程S(t)，我们需要求出物体在t = 3时的瞬时速度。
根据导数的定义，瞬时速度即位移函数S(t)的导数S'(t)。
首先计算位移函数S(t)的导数S'(t)。
对S(t)进行求导，得到S'(t) = t+ 2。
然后将t = 3代入导数S'(t)，得到S'(3) = 3 + 2 = 5。
因此，物体在t= 3时的瞬时速度为5。
通过这个例题，我们可以看到函数与导数在求解实际问题中的应用。
在高考数学中，类似的题目还有很多，学生可以通过理解函数的概念和导数的计算方法，灵活运用解决各种问题。
二、指数与对数的综合运用指数与对数也是高考数学中的重要知识点，常常用于解决与增长和衰减相关的问题。
下面以一个例子来说明指数与对数的综合运用。
例题：某家庭每年生活费增长10%，现在的生活费为10000元。
问经过多少年后，生活费会达到20000元？解析：假设经过x年后，生活费会达到20000元。
根据题目中的信息，我们可以列出方程10%的增长公式：10000 * (1 + 0.1)^x = 20000。
接下来，我们需要解这个方程来求解x的值。
为了简化计算，我们可以利用对数的性质将指数转化为对数形式。
对两边同时取对数，得到 log(10000 * (1 + 0.1)^x) = log 20000。
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08高考数学函数中的综合问题函数综合咨询题是历年高考的热点和重点内容之一，一样难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课要紧关心考生在把握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，把握差不多解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.●难点磁场(★★★★★)设函数f(x)的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f(x+y)=f (x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=－4.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)在区间［－9，9］上，求f(x)的最值. ●案例探究［例1］设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0,21］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.(1)求f(21)、f(41); (2)证明f(x)是周期函数； (3)记an=f(n+n21),求).(ln lim n n a ∞→命题意图：本题要紧考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力.知识依靠：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)=f(x 1)·f(x2)找到咨询题的突破口.错解分析：可不能利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形. 技巧与方法：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为)2()2()2()22()(xf x f x f x x f x f ⋅⋅=+=是解决咨询题的关键.解：因为对x1,x2∈［0,21］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),因此f(x)=)2()22(xf x x f =+≥0, x ∈［0,1］又因为f(1)=f(21+21)=f(21)·f(21)=［f(21)］2f(21)=f(41+41)=f(41)·f(41)=［f （41）］2 又f(1)=a>0∴f(21)=a 21,f(41)=a 41(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x ∈R.又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x),x ∈R ∴f(－x)=f(2－x),x ∈R.将上式中－x 以x 代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R 上的周期函数，且2是它的一个周期.(3)解：由(1)知f(x)≥0,x ∈［0,1］ ∵f(21)=f(n ·n 21)=f(n 21+(n －1) n 21)=f(n 21)·f((n －1)·n21) =……=f(n 21)·f(n 21)·……·f(n21) =［f(n 21)］n=a 21∴f(n21)=a n 21. 又∵f(x)的一个周期是2∴f(2n+n 21)=f(n21),因此an=a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n［例2］甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数，并指出那个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际咨询题的能力.知识依靠：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法. 错解分析：可不能将实际咨询题抽象转化为具体的函数咨询题，易忽略对参变量的限制条件.技巧与方法：四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评判.解法一：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时刻为vS ,全程运输成本为y=a ·v S+bv2·v S=S(va+bv)∴所求函数及其定义域为y=S(va +bv),v ∈(0,c ].(2)依题意知，S 、a 、b 、v 均为正数 ∴S(va +bv)≥2Sab①当且仅当va =bv,即v=ba 时，①式中等号成立.若ba ≤c 则当v=ba 时，有ymin ；若ba >c,则当v ∈(0,c ]时，有S(va +bv)－S(ca +bc) =S ［(va－ca)+(bv －bc)］=vcS(c －v)(a －bcv)∵c －v ≥0,且c>bc2,∴a －bcv ≥a －bc2>0∴S(va +bv)≥S(ca +bc),当且仅当v=c 时等号成立，也即当v=c 时，有ymin ；综上可知，为使全程运输成本y 最小，当bab ≤c 时，行驶速度应为v=bab ,当bab >c 时行驶速度应为v=c.解法二：(1)同解法一.(2)∵函数y=x+xk (k>0),x ∈(0,+∞),当x ∈(0,k)时，y 单调减小，当x∈(k,+∞)时y 单调增加，当x=k时y 取得最小值，而全程运输成本函数为y=Sb(v+v b a ),v ∈(0,c ].∴当ba≤c时，则当v=ba时，y 最小，若ba >c 时，则当v=c 时，y最小.结论同上.●锦囊妙计在解决函数综合咨询题时，要认真分析、处理好各种关系，把握咨询题的主线，运用有关的知识和方法逐步化归为差不多咨询题来解决，专门是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合咨询题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面把握有关的函数知识，同时严谨审题，弄清题目的已知条件，专门要挖掘题目中的隐含条件.●消灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)函数y=x+a 与y=logax 的图象可能是( )2.(★★★★★)定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g (x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式：①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b) ③f(a)－f (－b)>g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)其中成立的是( ) A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④二、填空题3.(★★★★)若关于x 的方程22x+2xa+a+1=0有实根，则实数a 的取值范畴是_________.三、解答题4.(★★★★)设a 为实数，函数f(x)=x2+|x －a|+1,x ∈R. (1)讨论f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的最小值.5.(★★★★★)设f(x)=xxx +-++11lg11. (1)证明：f(x)在其定义域上的单调性； (2)证明：方程f-1(x)=0有惟一解； (3)解不等式f ［x(x －21)］<21.6.(★★★★★)定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x 、y ∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f(xy yx ++1);②当x ∈(－1,0)时，有f(x)>0.求证：)21()131()111()51(2f n n f f f >+++++Λ. 7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地势限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建筑单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建筑单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.8.(★★★★★)已知函数f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)］,设M={m|上是增函数，f(1)=0,又g(θ)=sin2θ－mcosθ－2m,θ∈［0,2g(θ)<0,m∈R},N={m|f［g(θ)］<0},求M∩N.［学法指导］如何样学好函数学习函数要重点解决好四个咨询题：准确深刻地明白得函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特点和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识.(一)准确、深刻明白得函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最要紧的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点能够从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种专门表现形式.所谓函数观点，实质是将咨询题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面：(1)原始意义上的函数咨询题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为专门的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为差不多语言和工具显现在试题中.(三)把握数形结合的特点和方法函数图象的几何特点与函数性质的数量特点紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等差不多属性，体现了数形结合的特点与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观看图形、绘制图形，又要熟练地把握函数图象的平移变换、对称变换.(四)认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质确实是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特点，建立函数关系，求得咨询题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法专门是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识.参考答案难点磁场(1）证明：令x=y=0,得f(0)=0令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x) ∴f(x)是奇函数(2）解：1°,任取实数x1、x2∈［－9,9］且x1＜x2,这时，x2－x1>0,f (x1)－f(x2)=f ［(x1－x2)+x2］－f(x2)=f(x1－x2)+f(x2)－f(x1)=－f(x2－x1)因为x>0时f(x)＜0,∴f(x1)－f(x2)>0 ∴f(x)在［－9，9］上是减函数故f(x)的最大值为f(－9),最小值为f(9). 而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12.∴f(x)在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12. 消灭难点训练一、1.解析：分类讨论当a>1时和当0＜a ＜1时. 答案：C2.解析：用特值法，按照题意，可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1, 则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3.g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1.∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1.又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b). 即①与③成立. 答案：C二、3.解析：设2x=t>0，则原方程可变为t2+at+a+1=0①方程①有两个正实根，则⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>-=+≥+-=∆0100)1(421212a t t a t t a a解得：a ∈(－1,2－22]. 答案：(－1，2－22]三、4.解：(1)当a=0时，函数f(－x)=(－x)2+|－x|+1=f(x),现在f(x)为偶函数；当a ≠0时，f(a)=a2+1,f(－a)=a2+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a).现在函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)①当x ≤a 时，函数f(x)=x2－x+a+1=(x －21)2+a+43,若a ≤21,则函数f(x)在(－∞,a ]上单调递减，从而，函数f(x)在(－∞,a ]上的最小值为f(a)=a2+1.若a>21,则函数f(x)在(－∞,a ]上的最小值为f(21)=43+a,且f(21)≤f(a).②当x ≥a 时，函数f(x)=x2+x －a+1=(x+21)2－a+43;当a ≤－21时，则函数f(x)在［a,+∞)上的最小值为f(－21)=43－a,且f(－21)≤f(a).若a>－21,则函数f(x)在［a,+∞)上单调递增，从而，函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当a ≤－21时，函数f(x)的最小值是43－a,当－21＜a ≤21时，函数f(x)的最小值是a2+1;当a>21时，函数f(x)的最小值是a+43.5.(1)证明：由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+-02011x x x 得f(x)的定义域为(－1，1)，易判定f(x)在(－1，1)内是减函数.(2)证明：∵f(0)=21,∴f-－1(21)=0,即x=21是方程f-－1(x)=0的一个解.若方程f-－1(x)=0还有另一个解x0≠21,则f-－1(x0)=0,由反函数的定义知f(0)=x0≠21,与已知矛盾，故方程f-－1(x)=0有惟一解.(3)解：f ［x(x －21)］＜21,即f ［x(x －21)］＜f(0). .415121041510)21(1)21(1+<<<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<-∴x x x x x x 或6.证明：对f(x)+f(y)=f(xy y x ++1)中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=－x,又得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),∴f(x)在x ∈(－1,1)上是奇函数.设－1＜x1＜x2＜0,则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f(21211x x x x --),∵－1＜x1＜x2＜0,∴x 1－x2＜0,1－x1x2>0.∴21211x x x x --＜0,因此由②知f(21211x x x x --)>0,从而f(x1)－f(x 2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在x ∈(－1,0)上是单调递减函数.按照奇函数的图象关于原点对称，知f(x)在x ∈(0,1)上仍是递减函数，且f(x)＜0. 111,0)21(,1210),21()21()]21()11([)]41()31([)]31()21([)131()111()51()21()11()211112111(])2)(1(11)2)(1(1[]1)2)(1(1[)131(22有时n f n n f f n f n f f f f f n n f f f n f n f n n n n f n n n n f n n f n n f <+<+<+-=+-+++-+-=+++++∴+-+=+⋅+-+-+=++-++=-++=++ΘΛΛΘ7.解：(1)因污水处理水池的长为x 米，则宽为x200米，总造价y=400(2x+2×x 200)+248×x 200×2+80×200=800(x+x 324)+1600,由题设条件⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<162000,160x x 解得12.5≤x ≤16,即函数定义域为［12.5，16］. (2)先研究函数y=f(x)=800(x+x324)+16000在［12.5,16］上的单调性，关于任意的x1,x2∈［12.5,16］,不妨设x1＜x2,则f(x2)－f(x1)=800［(x2－x1)+324(1211x x -)］=800(x2－x1)(1－21324x x ),∵12.5≤x1≤x2≤16.∴0＜x1x2＜162＜324,∴21324x x >1,即1－21324x x ＜0.又x2－x1>0,∴f(x2)－f(x1)＜0,即f(x2)＜f(x1),故函数y=f(x)在［12.5,16］上是减函数.∴当x=16时，y 取得最小值，现在，ymin=800(16+16324)+16000=45000(元)，16200200=x=12.5(米）综上，当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低为45000元.8.解：∵f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞,0)上也是增函数.又f(1)=0,∴f(－1)=－f(1)=0,从而，当f(x)＜0时，有x ＜－1或0＜x ＜1, 则集合N={m|f ［g(θ)］＜θ＝}={m|g(θ)＜－1或0＜g(θ)＜1}, ∴M ∩N={m|g(θ)＜－1}.由g(θ)＜－1,得cos2θ>m(cos θ－2)+2,θ∈［0,2π］,令x=cos θ,x ∈［0,1］得：x2>m(x －2)+2,x ∈［0,1］，令①：y1=x2,x ∈［0,1］及②y2=m(m －2)+2,明显①为抛物线一段，②是过(2，2)点的直线系，在同一坐标系内由x ∈［0,1］得y1>y2.∴m>4－22,故M ∩N={m|m>4－22}.。