数学题：九宫空格里填数

数学题：九宫空格里填数

最近辅导儿子学习是遇到了九宫空格里填数的数学题：九宫空格里填数，无论横竖斜(行、列、斜行)相加,三个数的和都相等.

九宫格填数古代就有了，要诀就是：“九宫者，戴九履一、左三右七、二四为肩、八六为足、五十居中。”

就是说个位数字为“1、2、3、4、5、6、7、8、9”的九个数字分成三行，九、一分别在第一行和第三行的中央，七、三分别在中间行的左边和右边，二、四分别在第一行的左边和右边，六、八分别在第三行的左右两边。五在正中。

中间格的的数字可以用和值三等分（和值除以3）来确定

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【原创】四年级奥数解析（二十八）巧填幻方

转载自：

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《奥赛天天练》第25讲《巧填幻方》。

概念：如果一个n?n

矩阵（教材中表现为方格图）的每行，每列及两条对角线的元素之和都相等，且这些元素都是从1到n?n

的自然数，这样的矩阵就称为n阶幻方。有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数字问题。本讲主要介绍比较简单的三阶幻方的填写，三阶幻方就是n=3时的幻方。

三阶幻方的填法：三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书”

，在北周的甄弯注《数术记遗》一书中记有三阶幻方的填法：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。

三阶幻方的构造方法：我国南宋时期杰出的数学家杨辉，是最早系统研究幻方的数学家。他曾将幻方命名为“纵横图”

(三阶幻方也叫络书或九宫图)，

并给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。杨辉在在《续古摘奇算法》中，总结出了三阶幻方构造的方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”意思是：先把l～9九个数依次斜排（如下图一），再把上l下9两数对调（如下图二），左7右3两数对调（如下图三），最后把四面的2、4、6、8向外面挺出（如下图四），这样就构造了一个三阶幻方。

1

9

9

4

2

4

2

4

2

4

9

7 5 3 3 5 7 3 5 7 3 5 7

8 6 8 6 8 6 8

6

9

1

1

图一

图二

图三

图四

三阶幻方的填法不是唯一的，矩阵的第一行与第三行对调，或第一列与第三列对调，可以得出4种填法，将其中的任意一种填法旋转90?，又可以得到另外的4种填法。例如，将上面图四的第一列与第三列对调，就可以得出前面口诀中的填法。

三阶幻方的构造原理：通常我们把幻方中每行3个数的和称为幻方的幻和，幻方正中心的那个数叫做中心数，中心数也就是这9个数的中位数。从1到9这9个数的和为：

1+2+3+…8+9=45；则三阶幻方每行3个数字之和即幻和为：

45?3=15。在1到9这9个数中，和为15的3个数，只能是：9+5+1、9+4+2、8+6+1、8+5+2、8+4+3、7+6+2、7+5+3、6+5+4。因此每行、每列、每条对角线上3个数只能是其中某个算式中的3个数。

仔细分析九宫格，经过中心数的有一行、一列和两条对角线，即这个数必须在4个不同的算式中出现，在上面的算式中只有5符合要求。同理，经过九宫格四个角上的数字都有一行、一列和一条对角线，即四个角上的数字必须同时在3个不同的算式中出现，只有2、4、6、8符合要求。先填好中心数

和四个角上数字，再完成其它填空，就完成幻方填写了。

幻方不仅是有趣的数学游戏，而且有很重要的实用价值，应用前景广泛，相关介绍请查阅

在教学时，可引导孩子发现三阶幻方中数字有趣的排列顺序，如四个偶数在四角，从某个方向看奇偶数的是按大小有序排列的等等；让孩子在了解构造方法的基础上熟记简单三阶幻方的填法口诀，填写三阶幻方的9个数，不论如何变化，只要将它们按大小的顺序排列编号，均可按口诀“对号入座”完

成填空；理解并掌握幻方中的两个公式：幻和＝中心数?3；幻和＝总数?3，可以在已知幻和的情况下，先求出中心数，

或在已知中心数的情况下，先求出幻和，以便继续求出其它的数；让孩子初步了解幻方的构造原理，这种推理方法在学习其它问题时可以迁移使用。

《奥赛天天练》第25讲，模仿训练，练习2

【题目】：

将下面左边方格中的9个数填入右边幻方中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和相等。

【解析】：

解法一：把这九个数按从小到大的顺序依次编号，1、2、3号为“6”，4、5、6号为“8”，7、8、9号为“10”。按口诀：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。对号入座，如下图可以填好表格。

解法二：这个三阶幻方的幻和为：10+8+6=24；中心数为：24?3=8。如上图：首先可以填好中心数8。因为幻和为24，任意行列如果有2个6，3个数的和必定小于24，所以任意行列不可能有2个6，根据这点，第二步可以确定3个6的位置，保证任意2个6不同行不同列，不在同一条对角线上。第三步根据已填好的四个数，及幻和为24，可以完成余下的填空。

《奥赛天天练》第25讲，巩固训练，习题1

【题目】：

将9个连续自然数填入3?3的方格内，使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之和都等于60。

【解析】：

由已知条件可知，这个幻方，幻和为60，中心数为：60?3=20。所以这9个连续的自然数为：16、17、18、19、20、21、22、23、24。把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对号入座，可完成表格。如下图：

《奥赛天天练》第25讲，巩固训练，习题2

【题目】：

下图中，要使每一行，每一列，两条对角线上三个数的和都是27，A，B，C，D，E，F，G应各是多少？