量子力学简介

概率密度
0,
( x 0, x a)
2 nπ sin x , (0 x a) a a
2
o
a
x
能量 量子数
2 2 nπ ( x) sin x a a 2 2 h En n 8ma 2 n 1,2,3,
量子物理
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第十五章
物理学
第五版
15-8
nπ ( x) A sin x a n
4
物理学
第五版
15-8
量子力学简介
二
薛定谔方程（1925 年）
2π -i ( Et - px ) h
自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数
上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
Ψ ( x, t ) = 0e
2 2
Ψ 4π p Ψ 2 2 x h
2
自由粒子
(v c)
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
x a, A sin ka 0 sin ka 0 sin ka 0, ka n Ep n k , n 1,2,3, 量子数 a
8π mE k 2 h
2
h , (n 1) 基态能量 E1 2 8ma 2 2 h , (n 2,3,) 激发态能量 En n 2 8ma
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15-8
量子力学简介
.. 薛定谔（Erwin Schrodinger ， 1887~1961）奥地利物理学家.
1926年建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学,并建立了量子 力学的近似方法 . 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等 价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高 速运动的粒子的波动方程 .
2 2
令 k
2
d 2 则 k 0 2 dx
8π mE 2 h
2
o
a
x
( x) A sin kx B cos kx
( x) A sin kx
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波函数的标准条件：单值、有限和连续 .
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x 0, 0, B 0
第十五章
量子物理
物理学
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15-8
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第十五章 量子物理
2 h 2 En 8ma 2
2
o
a
x
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 .
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量子力学简介
Ep
( x) A sin kx
n k , n 1,2,3, 量子数 a nπ ( x) A sin x a x o a a 2 * 归一化条件 dx dx 1
0
2 a 2 A sin 0

2 nπ ( x) sin x , (0 x a ) a a
第十五章 量子物理
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nπ xdx 1 a
2 A a
物理学
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量子力学简介
Ep
d 8π mE 0 波动方程 2 2 dx h
2 2
波函数
( x)
意义
o
a
x
1）是固体物理金属中自由电子的简化模型； 2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理 在其中以简洁的形式表示出来 .
第十五章 量子物理
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物理学
第五版
15-8
2 2
量子力学简介
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程
d 8π m ( E Ep ) ( x) 0 2 2 dx h
第十五章 量子物理
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15-8
量子力学简介
在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程
8π m 2 2 2 ( E Ep ) 0 2 x y z h
2 2 2 2
拉普拉斯算子
定态薛定谔方程
2 2 2 x y z
2 2 2 2
1
2 3
o
a
x
来源于微观粒子的波粒二相性 .
应用 1981年宾尼希和罗雷尔 利用电子的隧道效应制成了扫描遂 穿显微镜 ( STM ), 可观测固体表面 原子排列的状况 . 1986年宾尼希又 量子围栏照片 研制了原子力显微镜.
第十五章 量子物理
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物理学
第五版
15-8
量子力学简介
第十五章
量子物理
第五版
15-8 3）波函数的统计意义
量子力学简介
概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的概率.
Ψ
2
*
正实数
某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子 的概率为 2 *
Ψ dV ΨΨ dV
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为 归一化条件
Ψ dV 1
第十五章 量子物理
2
( 束缚态 )
2
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2 2 nπ ( x) sin x a a 2 n
16E1
n4
n3 n2
n 1 x0
a2
9 E1 4 E1
a
第十五章
x0
量子物理
a2
a
E1
Ep 0
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第五版
15-8 四 一维方势垒 隧道效应
量子力学简介
一维方势垒
Ep ( x)
0, x 0, x a Ep ( x) Ep0, 0 x a 粒子的能量 E Ep0
E Ek p 2mEk h 2 2Ψ h Ψ 2 i 2 8π m x 2π t
量子物理
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Ψ i2π EΨ t h
2
第十五章
物理学
第五版
15-8
量子力学简介
若粒子在势能为 Ep 的势场中运动
E Ek Ep
一维运动粒子的含时薛定谔方程 h 2 2Ψ h Ψ 2 Ep ( x, t )Ψ i 2 8π m x 2π t
x i 2 π (t )
x
y ( x, t ) Re[ Ae
第十五章

]
2
量子物理
物理学
第五版
15-8 2）量子力学波函数（复函数）
量子力学简介
描述微观粒子运动的波函数
微观粒子的波粒二象性
自由粒子能量 E 和动量 p ，其德布罗意频率和 波长均不变 ， 可认为它是一平面单色波 . 经典波为实函数
Ψ( x, y, z , t ) h E p h
i 2 π (t x
y ( x, t ) Re[ Ae

)
]
自由粒子平面波函数
Ψ ( x, t ) = 0e
E p -i2 ( t - x ) h h
= 0e
2π -i ( Et - px ) h
3
第十五章
量子物理
物理学

2
dxdydz 1 可归一化 ;
2）
3）
, , 和 连续 ; x y z
第十五章 量子物理
8
( x, y, z ) 为有限的、单值函数 .
物理学
第五版
15-8 三 一维势阱问题
量子力学简介
粒子势能 Ep 满足的边界条件
Ep
0, 0 x a Ep Ep , x 0, x a
隧道效应
( x)
Ep0
o
2
a x
从左方射入 的粒子，在各区 域内的波函数
第十五章
1
3
o
a
x
量子物理
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物理学
第五版
15-8
( x)
量子力学简介
粒子的能量虽不足以 超越势垒 , 但在势垒中似 乎有一个隧道, 能使少量 粒子穿过而进入 x a 的区域 , 所以人们形象地 称之为隧道效应 . 隧道效应的本质 :
Ep
Ep , ( x 0, x a)
0, ( x 0, x a)
Ep 0, 0 x a
d 8π mE 0 2 2 dx h
2 2
第十五章 量子物理
o
a
x
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物理学
第五版
15-8
量子力学简介
Ep
d 8π mE 0 2 2 dx h
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物理学
第五版
15-8
量子力学简介
德布罗意假设
实物粒子具有波粒二象性 .
E h
p
h
E mc h h 德布罗意公式 p mv h h
xp x h yp y h zp z h
第十五章 量子物理

2
统计解释 在某处德布罗意波的强度是与粒 子在该处邻近出现的概率成正比的 .
质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 Ψ Ψ( x, t )
粒子在恒定势场中的运动
Ep Ep ( x)
i 2 πEt / h
Ψ ( x, t ) ( x) (t ) 0 ( x)e
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程
d 2 8π 2 m ( E Ep ) ( x) 0 2 2 dx h
2 8 π m 2 2 ( E Ep ) 0 h
定态波函数
( x, y, z)
第十五章
量子物理
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物理学
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15-8 定态波函数性质 1）能量 E 不随时间变化；
量子力学简介
2）概率密度

2
不随时间变化 .
波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 . 1）
x, y , z
不确定关系
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第十五章 量子物理
1
物理学
第五版
15-8 一 波函数 概率密度 1）经典的波与波函数 机械波 电磁波
x -i 2 π(νt- ) λ
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Ae
经典波为实函数
y ( x, t ) A cos 2π (t ) x E ( x, t ) E0 cos 2π (t ) x H ( x, t ) H 0 cos 2π (t ) x x = A cos 2 π(νt- ) - iA sin 2 π(νt- ) λ λ