平面汇交力系解析法PPT课件
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平面力系-PPT课件
力偶：两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成 的力系。 记作（F，F′） d 称为力偶臂 力偶所在的平面称为力偶的作用面。
2.4 平面力偶
（1）力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来平衡。因 此，力和力偶是静力学的两个基本要素
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。 力偶对点O的矩为Mo（F，F′）,则 M o (F ,F ) M o (F ) M o (F ) F (x d ) F xF d 力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的 大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的 转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。
合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之 矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
n
MO(FR) MO(Fi) i1
上式适用于任何有合力存在的力系。
2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算
力矩的解析表达式 已知力F，作用点A（x,y）及夹角θ。 力F 对坐标原点O之矩
M O (F ) M O (F y) M O (F x)
Fx 0 FBAF1sin30F2sin60 0 Fy 0 FBC F1co3s0F2co6s0 0
F 1F2P2k0N 4.解方程
F B A 0 .3P 6 6 7 .3k 2N 1F BC 1.36 P 62.3 7k 2N FBC为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同， 即杆BC受压。 FBA为负值，表示这力的假设方向与实际 方向相反，即杆AB也受压力。
结论:平面汇交力系可简化为一合力,其合力的大小与方向
等于各分力的矢量和(几何和),合力的作用线通过汇交点。
特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同一直线，则
此力系称为共线力系它是平面汇交力系的特殊情况，该力
2.4 平面力偶
（1）力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来平衡。因 此，力和力偶是静力学的两个基本要素
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。 力偶对点O的矩为Mo（F，F′）,则 M o (F ,F ) M o (F ) M o (F ) F (x d ) F xF d 力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的 大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的 转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。
合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之 矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
n
MO(FR) MO(Fi) i1
上式适用于任何有合力存在的力系。
2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算
力矩的解析表达式 已知力F，作用点A（x,y）及夹角θ。 力F 对坐标原点O之矩
M O (F ) M O (F y) M O (F x)
Fx 0 FBAF1sin30F2sin60 0 Fy 0 FBC F1co3s0F2co6s0 0
F 1F2P2k0N 4.解方程
F B A 0 .3P 6 6 7 .3k 2N 1F BC 1.36 P 62.3 7k 2N FBC为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同， 即杆BC受压。 FBA为负值，表示这力的假设方向与实际 方向相反，即杆AB也受压力。
结论:平面汇交力系可简化为一合力,其合力的大小与方向
等于各分力的矢量和(几何和),合力的作用线通过汇交点。
特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同一直线，则
此力系称为共线力系它是平面汇交力系的特殊情况，该力
第二章平面汇交力系ppt课件
⑴选箱盖为研究对象， 画它的受力图
⑵三个力必汇交于吊环 中心A。
⑶画力三角形
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
a TAC
30° W 45° c
b
TAB
如果力三角形的几何 关系不复杂，可以选 用数解法，运用三角 公式来计算:
O
F1
A
O
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)平面汇交力系的合成:
应用力的多边形法则:
设刚体上受到F1、F2、F3及F4等许多力的作用， 它们的作用线在同一平面内，正汇交于O点。 (如图所示)
R RX 2 RY2 (417)20(275)20500N0
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
⑵合力的方向:
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
⑴ 按比例先画出封闭的力多边形 ⑵ 用尺和量角器在图上直接量得所要求的
未知量
也可采用数解法，即根据图形的边角关系， 用三角公式计算出所要求的未知量。
例1 起重机吊起的减速箱盖重W＝900 N， 两根钢丝绳AB和AC与沿垂线的夹角分别为 α＝45°， β ＝30°试求箱盖匀速吊起时， 钢丝绳AB和AC的张力。
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
平面汇交力系-精品课件
FR 称为原力系的主矢。
（二）主矩 平面附加力偶系（ M1 ， M 2 ，…， M n ）可合成为一个合力偶，合力偶之矩 M O 等于各附加力偶矩的代数和，即 M O ＝ M1 + M 2 +…+ M n ＝ M O ( F1 )＋ M O ( F2 )＋…＋ M O ( Fn )＝∑ M O ( F ) M O 称为原力系对简化中心 O 的主矩，它等于原力系中各力对 O 点之矩的代 数和。
3．力系平衡
这是指 FR ＝0， Mo ＝0 的情况，在§4-3 中对此将作详细讨论。
三、平面一般力系的合力矩定理
合力矩定理 平面一般力系如果有合力， 则合力对该力系作用面内任一点之矩等于 力系中各分力对该点之矩的代数和。
第三节 平面一般力系的平衡方程
第三节 平面一般力系的平衡方程
一、平衡方程的基本形式
• 2．力的平移定理：作用在刚体上某点的力，可以平 行移动到该刚体上任一点，但必须同时附加一个力偶， 其力偶矩等于原来的力对平移点之矩。
• 3．主矢与主矩。 • 4．平面一般力系平衡方程的基本形式和其他形式。 • 5．平面一般力系平衡方程的应用。
以下各分力在轴或轴上的代数和简记为 或），这就是合力投影定理。
小结
• 1．各力的作用线在同一平面内且相交于一 点的力系，称为平面汇交力系。研究平面 汇交力系重点是讨论平衡问题。研究的方 法有：①几何法（矢量法）；②解析法 （投影法）。
• 2. 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是 该力系的合力为零。
• 三、三力平衡汇交定理
• 若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个 力的作用线相交于一点，则三个力的作用 线必汇交于一点，而且共面。
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法
（二）主矩 平面附加力偶系（ M1 ， M 2 ，…， M n ）可合成为一个合力偶，合力偶之矩 M O 等于各附加力偶矩的代数和，即 M O ＝ M1 + M 2 +…+ M n ＝ M O ( F1 )＋ M O ( F2 )＋…＋ M O ( Fn )＝∑ M O ( F ) M O 称为原力系对简化中心 O 的主矩，它等于原力系中各力对 O 点之矩的代 数和。
3．力系平衡
这是指 FR ＝0， Mo ＝0 的情况，在§4-3 中对此将作详细讨论。
三、平面一般力系的合力矩定理
合力矩定理 平面一般力系如果有合力， 则合力对该力系作用面内任一点之矩等于 力系中各分力对该点之矩的代数和。
第三节 平面一般力系的平衡方程
第三节 平面一般力系的平衡方程
一、平衡方程的基本形式
• 2．力的平移定理：作用在刚体上某点的力，可以平 行移动到该刚体上任一点，但必须同时附加一个力偶， 其力偶矩等于原来的力对平移点之矩。
• 3．主矢与主矩。 • 4．平面一般力系平衡方程的基本形式和其他形式。 • 5．平面一般力系平衡方程的应用。
以下各分力在轴或轴上的代数和简记为 或），这就是合力投影定理。
小结
• 1．各力的作用线在同一平面内且相交于一 点的力系，称为平面汇交力系。研究平面 汇交力系重点是讨论平衡问题。研究的方 法有：①几何法（矢量法）；②解析法 （投影法）。
• 2. 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是 该力系的合力为零。
• 三、三力平衡汇交定理
• 若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个 力的作用线相交于一点，则三个力的作用 线必汇交于一点，而且共面。
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法
第2章平面汇交力系.ppt
112.3 N
17
§2-2 汇交力系合成与平衡的解析法
例题1
合力FR的大小：
FR FR2x FR2y 171.3 N
合力FR的方向：
y
F2
FR
cos FRx 0.754
FR
cos FRy 0.656
FR
则，FR与x，y 轴的夹角分别为：
60o 30o F1
线过各力的汇交点。其大小和方向为力系
中各个力的矢量和。即
FR Fi
7
§2-1 汇交力系合成与平衡的几何法
力多边形
F2
= F1
F3
=
F4 FR
A
FR
几何意义：平面汇交力系的合力即为力多边形的封闭边。
注意：在力多边形中，各分力矢首尾相接，环绕同一 方向，而合力矢则反向封闭力多边形。
8
§2-1 汇交力系合成与平衡的几何法
45o O 45o
x
F3
F4
40.99
49.01
18
§2-2 汇交力系合成与平衡的解析法
例题2
连杆机构OABC受力P和力F作用而在图示位置平 衡。已知P=4kN，不计杆自重，求力F的大小。
B
解：“B”
FA
P
Fy =0
1200
O
C 600
P ·cos600 - FAB·cos600 = 0
静力学
第二章 力系的等效与简化
1
第二章 力系的等效与简化
基本内容： 1、平面汇交力系的合成 2、平面力偶系的合成 3、平面任意力系的合成
2
第二章 力系的等效与简化
基本要求：
理论力学课件-平面汇交力系
o
9
（2）确定合力的大小和方向 ）
FR = FRx 2 + FRy 2 = 129.32 + 112.32 N = 171.3N
FRx ∑ Fix 129.3 cos α = = = = 0.7548 FR FR 171.3
cos β =
FRy FR
∑F =
FR
ix
112.3 = = 0.6556 171.3
FAC
2 4 = P−F⋅ 5 3
FBC
3 1 4 = F− P−F⋅ 5 5 3
为使两根绳索保持张紧， 为使两根绳索保持张紧，则 FAC > 0，且 FBC > 0 由此得到F 的取值范围为: 由此得到 的取值范围为 290.34 N < F < 667.5 N
17
y
：（1） 解：（ ）计算合力的投影 由合力投影定理，得合力的投影 由合力投影定理，
F2
60 45o
o
FR F 1
30o
45o
x
F4
F3
o o o
FRx = F1 cos 30 − F2 cos 60 − F3 cos 45 + F4 cos 45 = 129.3N
FRy = F1 sin 30o + F2 sin 60o − F3 sin 45o − F4 sin 45o = 112.3N
F = Fx + Fy = Fx i + Fy j
6
二、合力投影定理
y
d2 c2 e2 b2 a2
d
c
F2
F3
F4
e
FR
FR x = F x + F2x + F x + F4x 1 3
平面汇交力系与平面力偶系精品PPT课件
四块相同的均质板，各重P，长2b，叠放如图示。 在板I右端点A挂着重物B，其重2P。欲使各板都平衡， 求每块板可伸出的最大距离。
3P
P
N3
4P
P
N4
P 2P
求图示结构AB杆与AC杆所受的力，已知F力位于AD 的中点E且垂直AD。
FA FAB
A FA
FAC
45 o 45 o
F
FA
FD
450
F
B
C
D
W3
F
W2
W1
塔吊及所受荷载如图。自重P=200kN，中心 通过塔基中心。起重量W=25kN，距右轨B为 15m.平衡物重Q，距左轨A为6m，在不考虑风 荷载时， 求： （1）满载时，为了保证塔
身不至于倾覆，Q至 少应多大？ （2）空载时，Q又应该不 超过多大，才不至于 使塔身向另一侧倾覆？
如图示，一钢筋混凝土梁BC置于砖墙上，挑出1.5m， 顶端C作用一集中力P=1kN，梁自重q=1.2kN/m，取 抗倾覆安全系数κ=1.5，试求BA段的长度a。
的力矩。
抗倾覆力矩（Mk）：抵抗结构或构件倾覆
的力矩。
K=抗倾覆安全系数
K MK Mq
规范规定：钢筋砼构件的抗倾覆安全系数 K≥1.5
带有雨蓬的钢筋混凝土门顶过梁，尺寸如图示，梁 和板的长度均为4m。设在此梁上的砖砌至3m高时， 便欲将雨篷下的木支撑拆除。试验算此时雨蓬会不 会绕A点倾覆。已知钢筋混凝土容重为25kN／m3 ， 砖砌体容重为19kN/m3 ，验算时应考虑雨蓬最外边 缘B上作用有施工荷载F=1kN。
3 如果力F通过矩心O，则mo(F)=0，此时力对物体
的作用效应为移动。
4 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。
平面汇交力系与平面力偶理论(精品资料)PPT
一、力在坐标轴上的投影
设力F作用于物体的A点。在力F作用线 所在的平面内任取直角坐标系Oxy。 力在轴上的投影是个代数量，并规定其 投影的指向与轴的正向相同时为正值， 反之为负值。那么有：
α、β分别是力F与X、Y轴的夹角
假设把力F沿X、Y轴分解，得到两个正交分力Fx、Fy。 显而易见，投影X的绝对值等于分力Fx的大小，投影X的 正负号指明力Fx是沿X轴的正向还是负向。可见利用力在 轴上的投影，可以同时说明力沿直角坐标轴分解时分力 的大小和方向。
F2= 50 N ，力的作用线也通过点A，尺寸如图。 平面汇交力系解析法作题的主要步骤：
例 如图 2-2a 所示，固定在墙壁上的圆环受3 条绳索的拉力作用，力F1 沿水平方向，力F3 沿铅直方向，力F2 与水平线成40°角。
二、平面汇交力系合成与平，F2，…，Fn个力作用的平面汇交力系同样成立。
〔1〕由几何关系数解
根据平面汇交力系平衡的几何条件P、NB和F三个力组成一 个封闭的力三角形，如下图。从图中可知，力三角形是一个 直角三角形，应用三角公式求得
由几何关系，可得
F=Ptanα NB=P/cosα
代入上式可得：
由作用力和反作用力关系可知，碾子对障碍物的压力N’B也等
于23.1kN。
〔2〕图解法
将啮合力P平正交面分解为汇圆周交力P和力径向系力Pr合，(图成(b))，的结果是一个合力，合力的作
例 物体重 P=20 kN，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另1 端接在绞车D 上，如图a 所示。
用线通过力系的汇交点，其大小和方向可由力多 3 个力的大小分别为F1=2 000 N，F2=2 500 N，F3=1 500 N。
定 义：是指各力的作用线位于同一平面内且汇交于同一点的力系
设力F作用于物体的A点。在力F作用线 所在的平面内任取直角坐标系Oxy。 力在轴上的投影是个代数量，并规定其 投影的指向与轴的正向相同时为正值， 反之为负值。那么有：
α、β分别是力F与X、Y轴的夹角
假设把力F沿X、Y轴分解，得到两个正交分力Fx、Fy。 显而易见，投影X的绝对值等于分力Fx的大小，投影X的 正负号指明力Fx是沿X轴的正向还是负向。可见利用力在 轴上的投影，可以同时说明力沿直角坐标轴分解时分力 的大小和方向。
F2= 50 N ，力的作用线也通过点A，尺寸如图。 平面汇交力系解析法作题的主要步骤：
例 如图 2-2a 所示，固定在墙壁上的圆环受3 条绳索的拉力作用，力F1 沿水平方向，力F3 沿铅直方向，力F2 与水平线成40°角。
二、平面汇交力系合成与平，F2，…，Fn个力作用的平面汇交力系同样成立。
〔1〕由几何关系数解
根据平面汇交力系平衡的几何条件P、NB和F三个力组成一 个封闭的力三角形，如下图。从图中可知，力三角形是一个 直角三角形，应用三角公式求得
由几何关系，可得
F=Ptanα NB=P/cosα
代入上式可得：
由作用力和反作用力关系可知，碾子对障碍物的压力N’B也等
于23.1kN。
〔2〕图解法
将啮合力P平正交面分解为汇圆周交力P和力径向系力Pr合，(图成(b))，的结果是一个合力，合力的作
例 物体重 P=20 kN，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另1 端接在绞车D 上，如图a 所示。
用线通过力系的汇交点，其大小和方向可由力多 3 个力的大小分别为F1=2 000 N，F2=2 500 N，F3=1 500 N。
定 义：是指各力的作用线位于同一平面内且汇交于同一点的力系
第二节平汇交力系 16页PPT文档
平面汇交力系合成与平衡的解析法
平面汇交力系合成解析法 平面汇交力系的平衡方程及其应用
谢谢！
xiexie!
若n个力汇交一点，则： FR=F1+F2+…+Fn=∑F
注意： 力的多边形法则的合力大小和方向与各 力相加的顺序无关。
多个共点力合成的多边形法则
FR=F1+F2+F3+F4=∑F
力的多边形法则的应用
例8-1：固定环上套有三根绳索，它们分别受 拉 F法3=力则15F确01、N定，F该2各、力力F系3方作的向用合如，力图若大。F1小=3试和0N用作，力用F2的位=6多置0N边。，形
两个共点力合成的三角形法则
2 力的多边形法则
在并 形刚汇合体交成某于法平则O点面来，上求其有得合一，力汇即F交R可力连系续F1使、用F2、上F述3、力F三4作角用 FR=F1+F2+F3+F4=∑F
若 后连求其合封力闭FR只边需，将从各共力同F的1、始…端、O指F4向首末尾端相所接形，成最 的 多边矢形量法即则为。合力FR的大小和方向，此法称为力的
Rx
Ry
∑Fx=0 ∑Fy=0
用方程解题时，因坐标轴可任意选取，则可 列出无数个投影方程，独立的方程。因此对 于平面汇交力系，只能求解两个未知量。
例8-2：曲柄连杆机构。活塞受气体压力为 Fp=100kN，当а=30°时，试计算连杆和气缸壁 所受的力。
活塞连杆受力图
解： (1)取活塞为研究对象。
注意：①当力与轴平行时， 力在轴上的投影绝对值等 于力的大小；
②当力与轴垂直时，力在轴上的投影为零； ③分力是矢量，而力在坐标轴上的投影是代数量。
若已知Fx、Fy的值，可求出力F的大小和方向。
平面汇交力系合成解析法 平面汇交力系的平衡方程及其应用
谢谢！
xiexie!
若n个力汇交一点，则： FR=F1+F2+…+Fn=∑F
注意： 力的多边形法则的合力大小和方向与各 力相加的顺序无关。
多个共点力合成的多边形法则
FR=F1+F2+F3+F4=∑F
力的多边形法则的应用
例8-1：固定环上套有三根绳索，它们分别受 拉 F法3=力则15F确01、N定，F该2各、力力F系3方作的向用合如，力图若大。F1小=3试和0N用作，力用F2的位=6多置0N边。，形
两个共点力合成的三角形法则
2 力的多边形法则
在并 形刚汇合体交成某于法平则O点面来，上求其有得合一，力汇即F交R可力连系续F1使、用F2、上F述3、力F三4作角用 FR=F1+F2+F3+F4=∑F
若 后连求其合封力闭FR只边需，将从各共力同F的1、始…端、O指F4向首末尾端相所接形，成最 的 多边矢形量法即则为。合力FR的大小和方向，此法称为力的
Rx
Ry
∑Fx=0 ∑Fy=0
用方程解题时，因坐标轴可任意选取，则可 列出无数个投影方程，独立的方程。因此对 于平面汇交力系，只能求解两个未知量。
例8-2：曲柄连杆机构。活塞受气体压力为 Fp=100kN，当а=30°时，试计算连杆和气缸壁 所受的力。
活塞连杆受力图
解： (1)取活塞为研究对象。
注意：①当力与轴平行时， 力在轴上的投影绝对值等 于力的大小；
②当力与轴垂直时，力在轴上的投影为零； ③分力是矢量，而力在坐标轴上的投影是代数量。
若已知Fx、Fy的值，可求出力F的大小和方向。
平面汇交力系课件PPT
物体在平面上匀速运动
当物体在平面上匀速运动时，受到的 牵引力和阻力可以构成一个平面汇交 力系。
02
平面汇交力系的合成与平衡
合成法则
平面汇交力系合成的几何法
利用力的平行四边形法则，通过几何作图将多个力合成一个 或几个力的过程。
平面汇交力系合成的解析法
通过数学解析的方式，将多个力的矢量合成表示为一个或几 个矢量的过程。
比较测力计读数与理 论值，分析误差产生 的原因。
THANKS
感谢观看
03
平面汇交力系的应用
工程实例分析
桥梁受力分析
通过平面汇交力系分析桥 梁在不同负载下的受力情 况，确保桥梁安全。
建筑结构稳定性
利用平面汇交力系分析建 筑结构的稳定性，预防因 受力不均导致的结构破坏 。
机械零件强度评估
通过平面汇交力系分析机 械零件在各种工况下的受 力情况，确保零件的强度 和可靠性。
特点
01
02
03
力系平衡
平面汇交力系可以处于平 衡状态，即所有力的矢量 和为零。
力的方向
平面汇交力系的各个力的 方向都在同一平面内，且 相交于一点。
力的作用点
平面汇交力系的各个力的 作用点都在同一平面内， 且相交于一点。
实例
物体在平面上静止
当物体在平面上静止时，受到的重力 和支持力可以构成一个平面汇交力系 。
力的分解与合成
力的正交分解
将一个力分解为两个相互垂直的分力 ，便于分析受力情况。
力的合成
根据力的作用效果，将多个分力合成 一个合力，简化受力分析。
力矩的计算
力矩的定义
力矩的计算公式
力矩是力和力臂的乘积，表示力对物 体转动效果的量度。
当物体在平面上匀速运动时，受到的 牵引力和阻力可以构成一个平面汇交 力系。
02
平面汇交力系的合成与平衡
合成法则
平面汇交力系合成的几何法
利用力的平行四边形法则，通过几何作图将多个力合成一个 或几个力的过程。
平面汇交力系合成的解析法
通过数学解析的方式，将多个力的矢量合成表示为一个或几 个矢量的过程。
比较测力计读数与理 论值，分析误差产生 的原因。
THANKS
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03
平面汇交力系的应用
工程实例分析
桥梁受力分析
通过平面汇交力系分析桥 梁在不同负载下的受力情 况，确保桥梁安全。
建筑结构稳定性
利用平面汇交力系分析建 筑结构的稳定性，预防因 受力不均导致的结构破坏 。
机械零件强度评估
通过平面汇交力系分析机 械零件在各种工况下的受 力情况，确保零件的强度 和可靠性。
特点
01
02
03
力系平衡
平面汇交力系可以处于平 衡状态，即所有力的矢量 和为零。
力的方向
平面汇交力系的各个力的 方向都在同一平面内，且 相交于一点。
力的作用点
平面汇交力系的各个力的 作用点都在同一平面内， 且相交于一点。
实例
物体在平面上静止
当物体在平面上静止时，受到的重力 和支持力可以构成一个平面汇交力系 。
力的分解与合成
力的正交分解
将一个力分解为两个相互垂直的分力 ，便于分析受力情况。
力的合成
根据力的作用效果，将多个分力合成 一个合力，简化受力分析。
力矩的计算
力矩的定义
力矩的计算公式
力矩是力和力臂的乘积，表示力对物 体转动效果的量度。
汇交力系教学课件PPT
FRx = F1x + F2x + F3x + F4x FRy = F1y + F2 y + F3y + F4 y
§2-3 平面汇交力系的合成与平衡——解析法
以此类推，可得：
FRx F1x + F2x + FRy F1y + F2 y +
n
+ Fnx Fix i 1
n
+ Fny Fiy i 1 ——合力投影定理
Fix 0 Fiy 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个 坐标轴上投影的代数和等于零。
例 题 2 已知：P，a
求：A、B处约束反力。
PC
2a
D
a
解： （1）取刚架为研究对象
A
B
（2）画受力图
FA
FB
（3）建立坐标系，列方程求解
y
Fx 0, P FA cos 0
Fy 0, FB FA sin 0
由图中的几何关系得
FB P tan 0.5P
FA
P2 FB2
5P 2
A
B
FB
FA
FB
P
§2-3 平面汇交力系的合成与平衡——解析法
Fy
1.力的投影与力的分解
y
j Oi
Fy
ABF源自FxFx力在坐标轴上的投影
Fx F cos
Fy
F
cos
F
sin
力沿坐标轴的分解
Fx Fxi, Fy Fy j F Fx Fy Fxi Fy j
y Fy
B
F
Fy
A
Fx
O
Fx
x
第2章1 平面汇交力系和平面力偶系PPT课件
第二章 平面汇交力系和平面力偶系
力系：
平面力系 空间力系
平行力系
汇交力系 任意力系
本章主要介绍： ❖ 平面汇交力系的合成与平衡问题（几何法；解析法） ❖ 平面力偶系的合成与平衡问题
重点：
1、力在坐标轴上的投影，求解平面汇交力系平衡问题 的几何法和解析法
2、力偶矩的概念，平面力偶的性质和力偶等效条件
Fx Fcoθs Fy Fcoβs
2、力沿轴的分解 （矢量）
FF xF y
思考：力的合成、分解是否唯一？
二、平面汇交力系合成的解析法
FRFi
由合矢量投影定理，得合力投影定理
FRx Fix FRy Fiy
合力的大小为：
FR FRx2FRy2
方向为：
cosF(R,i)
Fix FR
cosF(R,
12
解得： FBA7.32k1N
Fiy 0
F F c3 o F 0 s c6 o 0 s
BC1
2
解得： FBC2.73k2N
例2-5 已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm.忽略自重； 求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力.
解：AB、BC杆为二力杆.
取销钉B.
用解析法
j)
Fiy FR
作用点为力的汇交点.
三、平面汇交力系的平衡方程
平衡条件
FR 0
平衡方程
Fx 0
Fy 0
说明：平面汇交力系沿任意轴投影的代数和为零， 则该力系平衡。
例2-2
已知：图示平面共点力系； 求：此力系的合力. 解：用解析法
F R x F i x F 1 c 3 o F 2 c 0 6 s o F 3 c 0 4 s o F 4 c 5 4 s o 1 . 5 3 N s F R y F i y F 1 s 3 i F 2 n 0 s 6 i F 3 n 0 s 4 i F 4 n 5 s 4 i 1 n 5 . 3 N 1
力系：
平面力系 空间力系
平行力系
汇交力系 任意力系
本章主要介绍： ❖ 平面汇交力系的合成与平衡问题（几何法；解析法） ❖ 平面力偶系的合成与平衡问题
重点：
1、力在坐标轴上的投影，求解平面汇交力系平衡问题 的几何法和解析法
2、力偶矩的概念，平面力偶的性质和力偶等效条件
Fx Fcoθs Fy Fcoβs
2、力沿轴的分解 （矢量）
FF xF y
思考：力的合成、分解是否唯一？
二、平面汇交力系合成的解析法
FRFi
由合矢量投影定理，得合力投影定理
FRx Fix FRy Fiy
合力的大小为：
FR FRx2FRy2
方向为：
cosF(R,i)
Fix FR
cosF(R,
12
解得： FBA7.32k1N
Fiy 0
F F c3 o F 0 s c6 o 0 s
BC1
2
解得： FBC2.73k2N
例2-5 已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm.忽略自重； 求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力.
解：AB、BC杆为二力杆.
取销钉B.
用解析法
j)
Fiy FR
作用点为力的汇交点.
三、平面汇交力系的平衡方程
平衡条件
FR 0
平衡方程
Fx 0
Fy 0
说明：平面汇交力系沿任意轴投影的代数和为零， 则该力系平衡。
例2-2
已知：图示平面共点力系； 求：此力系的合力. 解：用解析法
F R x F i x F 1 c 3 o F 2 c 0 6 s o F 3 c 0 4 s o F 4 c 5 4 s o 1 . 5 3 N s F R y F i y F 1 s 3 i F 2 n 0 s 6 i F 3 n 0 s 4 i F 4 n 5 s 4 i 1 n 5 . 3 N 1
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co sF R ,jF F R yF R F iy1 1 1 7 2 1 ..3 30 .6 5 5 6
.
9
• 例 如图所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已 知三力均通过圆心。试求此力系合力的大小和方向。
解析法 取如图所示的直角坐标系Oxy
则合力的投影分别为
RxF 1co3s 0F 2F 3co6s 04.1k6N RyF 1si3n 0F 3si6n 01.6k5N
由合力投影定理有：
Rx=X1+Xa2+c…- +Xn=X Ry=Y1+Yb2c+…=a+Ybn=Y
R
F2
F1 a b cx
合力：
合力的投影
R R x2 R y2 X 2 Y2 y
tan Ry Y
Rx
Rx X
Ry
R
x
表示合力R与 x轴所夹的锐角，
合力的指向由∑X、∑Y的符.号判定。
6
合力投影定理
RD =10 kN
.
15
例题 井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B 的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC 支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢 的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。
600
C
B
150
由 ∑Y = 0 ，建立平衡方程：
NBCsin300P0
解得： N B C2P60K N
负号表示假设的指向与真实指向相反。
NBA
由 ∑X = 0 ，建立平衡方程：
NBC
P
N B Ccos300N B A0
解得： N B AN B C2 3( 60)0.86652K N
.
11
例 图(a)所示体系，物块重 P = 20 kN ，不计滑轮的 自重和半径，试求杆AB 和BC 所受的力。
解：1. 取滑轮B 的轴销作为研究对象，画出其受力图。
.
12
2、列出平衡方程： 由 ∑Y = 0 ，建立平衡方程：
N B C c o s 6 0 P P c o s 3 0 0
解得：
NBC74.5kN
由 ∑X = 0 ，建立平衡方程：
N B C c o n 3 0 N B A P s in 3 0 0
.
14
2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系： y
3、列平衡方程并求解： B
P
X = 0 P +RA cos = 0 RA = - 22.36 kN A
负号说明它的实际方向 和假设的方向相反。
Y= 0 RA sin +RD = 0
C
x
RA
2m
D
4m
RD
tg = 0.5 cos = 0.89 sin = 0.447
300
D
E A
B
TBC
150150 300
TBD
TBD=G
FAB E G
解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：
.
16
2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解：
讨论：α=00 α=900时，X、Y的大小
.
α为F与x轴所夹的锐角
4
y
F
y
F
Y x
X
O
讨论：力的投影与分量
可见， 力 F在垂直坐标轴 x、y上的投影分量与沿轴 分解的分力大小相等。
力 F在相互不垂直的轴 x、y'上的投影分 量与沿轴分解的分力大小是不相等的
。
.
5
二、合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分 力在该轴上之投影的代数和。
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
RxX1X2X4X
即：
RyY1Y2Y3Y4 Y
Rx X Ry Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
.
7
合力的大小： RR x2R y2 X2 Y2
方向：
tg
Ry Rx
∴
tg1
Ry Rx
tg1
Y X
作用点： 为该力系的汇交点
.
1
课前提问
从图中所示的平面汇交力系各力多边形中，判断哪 个力系是平衡的？哪个力系有合力？哪个力是合力？
F1
F2
F3 (a)
F2
F1
F2 F1
F3
F4
(b)
(c)
F4 F3
F3
F2 F1
(d)
F4
F3
F1
F4 F3
F2
F1
F2
(e)
(f.)
2
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、 力在坐标轴上的投影 二、合力投影定理 三、平面汇交力系合成的解析法 四、平面汇交力系平衡的解析条件
三、平面汇交力系合成的解析法及平衡的解析条件
Rx X 0 R y Y 0
.
平衡方程
8
【例】 已知：
F 1 = 200 N， F 2 = 300 N， F 3
F = 250 N，求图所示平面汇交力系的合力。 4 【解】
= 100 N，
4
F ix F 1 c o s 3 0 o F 2 c o s 6 0 o F 3 c o s 4 5 o F 4 c o s 4 5 o 1 2 9 .3 N
i 1 4
F iy F 1 c o s 6 0 o F 2 c o s 3 0 o F 3 c o s 4 5 o F 4 c o s 4 5 o 1 1 2 .3 N
i 1
F R F x 2 F y 2( F ix )2 ( F iy )2
129.32112.32N 171.3N
co sF R ,iF F R xF R F ix1 1 2 7 9 1 ..3 30 .7 5 4 8
则合力R的大小为 R R x 2 R y 24.1 1 2 6 1.6 6 25 4.4 4 k0N
合力R的方向为
tan Ry 16.65
Rx 41.16
arctanRy arctan16.65 21.79
Rx
41.16
.
10
例 图示三角支架，求两杆所受的力。 解：取B节点为研究对象，画受力图
解得：
NBA54.5kN
反力NBA 为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相
反。即杆AB 实际上受拉力。
.
13
例题
如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。 在 B点作用一水平力 P ,设P = 20kN。 求支座A和D的约束反力。
B P
A
C P
2m
B RA
D
A
4m
C
D RD
解: 1、取平面钢架ABCD为研究对象, 画出受力图。
.
3
解析法—定量计算合力的大小和方向的方法 一、力在直角坐标轴上的投影
a a2
F
y
α b2
Fx x
a1
α、β为力与x轴和y轴所
Fy
夹的锐角，
若已知力F在x、y轴上的投影
b
X、Y，那么力的大小及方向
就可以求得
x
b1
投影： X=Fcosα Y=-Fsinα
分力大小： FX=Fcosα FY=Fsinα
.
9
• 例 如图所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已 知三力均通过圆心。试求此力系合力的大小和方向。
解析法 取如图所示的直角坐标系Oxy
则合力的投影分别为
RxF 1co3s 0F 2F 3co6s 04.1k6N RyF 1si3n 0F 3si6n 01.6k5N
由合力投影定理有：
Rx=X1+Xa2+c…- +Xn=X Ry=Y1+Yb2c+…=a+Ybn=Y
R
F2
F1 a b cx
合力：
合力的投影
R R x2 R y2 X 2 Y2 y
tan Ry Y
Rx
Rx X
Ry
R
x
表示合力R与 x轴所夹的锐角，
合力的指向由∑X、∑Y的符.号判定。
6
合力投影定理
RD =10 kN
.
15
例题 井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B 的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC 支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢 的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。
600
C
B
150
由 ∑Y = 0 ，建立平衡方程：
NBCsin300P0
解得： N B C2P60K N
负号表示假设的指向与真实指向相反。
NBA
由 ∑X = 0 ，建立平衡方程：
NBC
P
N B Ccos300N B A0
解得： N B AN B C2 3( 60)0.86652K N
.
11
例 图(a)所示体系，物块重 P = 20 kN ，不计滑轮的 自重和半径，试求杆AB 和BC 所受的力。
解：1. 取滑轮B 的轴销作为研究对象，画出其受力图。
.
12
2、列出平衡方程： 由 ∑Y = 0 ，建立平衡方程：
N B C c o s 6 0 P P c o s 3 0 0
解得：
NBC74.5kN
由 ∑X = 0 ，建立平衡方程：
N B C c o n 3 0 N B A P s in 3 0 0
.
14
2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系： y
3、列平衡方程并求解： B
P
X = 0 P +RA cos = 0 RA = - 22.36 kN A
负号说明它的实际方向 和假设的方向相反。
Y= 0 RA sin +RD = 0
C
x
RA
2m
D
4m
RD
tg = 0.5 cos = 0.89 sin = 0.447
300
D
E A
B
TBC
150150 300
TBD
TBD=G
FAB E G
解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：
.
16
2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解：
讨论：α=00 α=900时，X、Y的大小
.
α为F与x轴所夹的锐角
4
y
F
y
F
Y x
X
O
讨论：力的投影与分量
可见， 力 F在垂直坐标轴 x、y上的投影分量与沿轴 分解的分力大小相等。
力 F在相互不垂直的轴 x、y'上的投影分 量与沿轴分解的分力大小是不相等的
。
.
5
二、合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分 力在该轴上之投影的代数和。
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
RxX1X2X4X
即：
RyY1Y2Y3Y4 Y
Rx X Ry Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
.
7
合力的大小： RR x2R y2 X2 Y2
方向：
tg
Ry Rx
∴
tg1
Ry Rx
tg1
Y X
作用点： 为该力系的汇交点
.
1
课前提问
从图中所示的平面汇交力系各力多边形中，判断哪 个力系是平衡的？哪个力系有合力？哪个力是合力？
F1
F2
F3 (a)
F2
F1
F2 F1
F3
F4
(b)
(c)
F4 F3
F3
F2 F1
(d)
F4
F3
F1
F4 F3
F2
F1
F2
(e)
(f.)
2
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、 力在坐标轴上的投影 二、合力投影定理 三、平面汇交力系合成的解析法 四、平面汇交力系平衡的解析条件
三、平面汇交力系合成的解析法及平衡的解析条件
Rx X 0 R y Y 0
.
平衡方程
8
【例】 已知：
F 1 = 200 N， F 2 = 300 N， F 3
F = 250 N，求图所示平面汇交力系的合力。 4 【解】
= 100 N，
4
F ix F 1 c o s 3 0 o F 2 c o s 6 0 o F 3 c o s 4 5 o F 4 c o s 4 5 o 1 2 9 .3 N
i 1 4
F iy F 1 c o s 6 0 o F 2 c o s 3 0 o F 3 c o s 4 5 o F 4 c o s 4 5 o 1 1 2 .3 N
i 1
F R F x 2 F y 2( F ix )2 ( F iy )2
129.32112.32N 171.3N
co sF R ,iF F R xF R F ix1 1 2 7 9 1 ..3 30 .7 5 4 8
则合力R的大小为 R R x 2 R y 24.1 1 2 6 1.6 6 25 4.4 4 k0N
合力R的方向为
tan Ry 16.65
Rx 41.16
arctanRy arctan16.65 21.79
Rx
41.16
.
10
例 图示三角支架，求两杆所受的力。 解：取B节点为研究对象，画受力图
解得：
NBA54.5kN
反力NBA 为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相
反。即杆AB 实际上受拉力。
.
13
例题
如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。 在 B点作用一水平力 P ,设P = 20kN。 求支座A和D的约束反力。
B P
A
C P
2m
B RA
D
A
4m
C
D RD
解: 1、取平面钢架ABCD为研究对象, 画出受力图。
.
3
解析法—定量计算合力的大小和方向的方法 一、力在直角坐标轴上的投影
a a2
F
y
α b2
Fx x
a1
α、β为力与x轴和y轴所
Fy
夹的锐角，
若已知力F在x、y轴上的投影
b
X、Y，那么力的大小及方向
就可以求得
x
b1
投影： X=Fcosα Y=-Fsinα
分力大小： FX=Fcosα FY=Fsinα