第四章矩阵分析及矩阵函数

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矩阵分析

∞
⎤⎞ 0 ⎥⎟ ⎥ ⎟ P −1 ∞ k k ⎥⎟ 5 ⎥⎟ ∑ k k =0 5 ⎦⎠Biblioteka 由于∑ k发散, 所以原级数发散.
k =0
1 k 解：(3)相应的幂级数为∑ (−1) z , k +1 k =0 的收敛半径为 1,
k
∞
1 k (−1) 所以，当ρ ( A) < 1时， A 收敛。 ∑ k +1 k =0
(3) lim PA Q = PAQ
(k ) k →∞
(4)设 lim A
k →∞ ( k ) −1 k →∞
(k )
= A，若A ，A均可逆，则
(k ) −1
lim( A ) = A
例：设A( k )
⎡ k +1 ⎢ 3k =⎢ ⎢ r 1k ⎢ ⎣
⎤ r ⎥ 1 + 1 1⎤ ⎡ (k ) k ⎥ ，B = ⎢ ⎥ 2 k −k⎥ ⎣ 1 1⎦ k2 + k ⎥ ⎦
1 所以，矩阵幂级数∑ 2 k =0 k
∞
∞
⎡1 7⎤ ⎢ −1 −3⎥ 发散。 ⎣ ⎦
k
⎡ 1 －8⎤ 的特征值为 − 3， (2) A = ⎢ 5 ⎥ ⎣ −2 1 ⎦
ρ ( A) = 5,
k k 级数∑ k z 的收敛半径为b， k =0 b
∞
所以，当5 < b时, 原矩阵级数收敛,
当5 > b时, 原矩阵级数发散,
b = 5时,
k ∞ ⎛ k ⎡ 1 −8⎤ k ⎡ −3 0 ⎤ ⎞ −1 ⎟P = P⎜∑ k ⎢ ∑ ⎥ ⎥ k ⎢ ⎜ k =0 5 ⎣ 0 5⎦ ⎟ 1⎦ k = 0 5 ⎣ −2 ⎝ ⎠ ∞ k
⎛ ⎡∞ k k − ( 3) ⎜ ∞ ⎢∑ k k =0 5 ⎜ ⎢ =P ∑ ⎜ k =0 ⎢ 0 ⎜ ⎢ ⎝ ⎣

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第四章课后习题答案

第四章矩阵分析4-1．(1)对矩阵A 只做初等行变换得到行简化阶梯形矩阵82100-55212311125141010551312114001-5582100-5521211251,0105513114001-55A B C A BC ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦=取于是即为其满秩分解表达式(2)对矩阵A 只做初等行变换得到行简化阶梯形矩阵1101010-10-1011110111123131000001110-10-101,0111123A B C A BC ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=取于是即为其满秩分解表达式(3)对矩阵A 只做初等行变换得到行简化阶梯形矩阵12101212101212213300112124314500000048628100000001112121012,2300112146A B C A BC ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=取于是即为其满秩分解表达式(4)对矩阵A 只做初等行变换得到行简化阶梯形矩阵120111012011036142360011-1024022270000016121757300000010101201103136,0011-1020270000016173A B C A BC ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=取于是即为其满秩分解表达式4-2．解：首先注意到A 的秩为1，同时计算出HAA 的特征值12=6=0λλ，，所以A 的奇异值1=6.σ然后分别计算出属于12λλ，的标准正交特征向量.]] []121211112121,1-1,1,.3111111=[,]T TH HU UV A UVV V VAηηηηη-====⎡⎤⎢⎥=∆==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎤⎥==⎢⎥⎥⎣⎦，记，现在计算取于是r000003333HrA U V⎤⎥⎤=⎥⎥⎢⎣⎦⎥⎦⎥⎢⎥⎣⎦=∆=⎦⎥⎦或者4-3．解：(1)容易验证H H H HAA A A BB B B==,所以A,B是正规矩阵.(2)下面求A的谱分解：[][]21231123232323111(+1)(-2)=2==-1.=2=.==-1=10-1=1-0.=0=.TTTTTH E A A G λλλλλλλξλλααααξξξξ-===故的特征值为：，对于特征值，其对应的特征向量对于特征值，其对应的特征向量，，，，1，将，正交化和单位化得，，于是2223311133311133311133300111110636221210003331110226H H G ξξξξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢=+=+⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎢⎣⎢⎥⎣⎦-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=+--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦122113331213331111236333=2A G G ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-因此即为其谱分解.矩阵B 的谱分解参照矩阵A 的谱分解方法. 4-4．解：已知矩阵024102211042A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦[][][]21231212331231231(+1)(+2),==-1=-2==-1=-2,1,0,4,0,1=-2=4,2,1.244[,,]102011T TTE A A A P P AP λλλλλλλλααλααααααα--==---⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=求得所以其对应的特征值为：，对应于特征值，其对应的特征向量对应于特征值，其对应的特征向量为：，，线性无关，所以矩阵可对角化，所以矩阵是单纯矩阵于是而且有：11231112223311161212100211010,()366002221333122112111=--=-=6331263126322433312263311212632T TTTT TT P G G βββαβαβαβ-⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦==取：，，，，，，，，令122433312263311212632A G G A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-+故即为矩阵的谱分解表达式.4-5．解：[][][]12312i 20000-i 0000500000,=5==0000=51,0,02001,0,0,=1,0,0-i 00100H H H H TT T H HHA A AA AA AA U V A U A V λλλδληηη-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢=∆=⎢⎢⎣⎦，求出的特征值为，所以的奇异值为：求出对应于的特征根：==H⎡⎤⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎣⎦4-6．解：()()()1231212112204002000i ,0100-i 000000(-1)(-4)=4,=1,=02=2,=1,14=1,0,04=0,1,010,0100H H H H T H TH A A AA E AA AA AA AA U λλλλλλλααμμμμ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-=⇒⎡⎤∆=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥==⎢⎢⎣⎦，所以的奇异值为：特征值为的单位特征向量为：特征值为的单位特征向量为：于是1111100-i 102100110-i 00H H H HV A U A U V -⎥⎥⎡⎤=∆=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=∆=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦因此所以4-7．解：(1) 首先求出矩阵A 的特征多项式212322082(+2)(-6)06=-2==6A (6E-A)=14204206E-A=8400000000E A aa a λλλλλλλλλ---=--=---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以其特征值为：，由于是单纯矩阵，从而r 有此可知：a=0;(2) 由上知a=0；()21231212331112223220=820-(+2)(-6)006==6;=-2,==6=0 =001=-2=0125524551TT T H H A E A A G G λλλλλλλλααλαααααα⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⇒⎫⎪⎭⎫⎪⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以，求出对应于的单位正交特征向量为：，，，求出对应于的单位特征向量为：因此，的投影矩阵，31212552455062H A G G α⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=-4-8．解： (1)3i -13i -1-i 0i -i 0i -1-i 0-1-i 0,.HH H A A AA A A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=，所以是正规矩阵 (2)()()())()()()212311223312312314122 1.2==-1=0,-i,1,,=0.8801,0.3251i,0.3251,=0.4597,0.6280i 0.6280,=TTTTTE A λλλλλλλλαλαλααααηηη-=+-+=+==-===求出与求出与求出与对应的特征向量为：将单位化得到单位特征向量为：，111222333112233,,=TH H HG G G A G G G ηηηηηηλλλ⎛ ⎝⎭===++所以4-9．解：对矩阵A 只作初等行变换100071415610290102000147712401525001772655700000310007141102901020077,1245250017726500000.A ABC BC A -⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦= 的秩为，且前三个列向量线性无关，故容易验证：4-10.解：对矩阵A 只作初等行变换110130-331321421=261070013339311100000211012130-3321,210013333.2113210-361,93A A B C BC A A B C ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 的秩为，且第一，第三个列向量线性无关，故容易验证：的秩为，且第二，第三个列向量线性无关，故10992100133.BC A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=容易验证：4-11.解：()()1231231231231===0=00=0004400TTTH A Schmidt U R U A R ααααααυυυυυυ-⎛ ⎝⎛⎝⎛⎝⎡⎢⎢⎢==⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦将，，的列向量，，用方法标准正交化得，命，，，则111335---1444420111==-=--2222-1131=.H x R U b Ax b -⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦不难验证4-12.解：5000000005,0,0A H H AA AA ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为的特征值为，故4-13.解：2123111111202000202(-4),=4==0A=2=2.=4==,10111012HH HT T HHHAAE AA AAAA UV A Uλλλλλλαλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=∆=⎡⎤=∆=∙=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥所以的特征值，，的奇异值为，的特征值的单位特征向量u u因此：不难验1122124.3.443301001HHHHH HA U VAAUA AU A A VU=∆=⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎢⎢=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=证这是定理表达形式.下面介绍定理..表述形式.又的零特征值所对应的次酉矩阵的零特征值所对应的次酉矩阵V于是AA的酉矩阵与的酉矩阵分别为V⎤⎥⎥=⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎥⎦⎥⎦，且2000000HD A UDV ⎡⎤∆⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=不难验证4-14. 解：()()()12312111121111400010(1)(4),000=4=1=02=2=1=14=1001=01010==010010010=U V 010H HH H H H H H AA E AA AA A AA u AA u U u u V A U i A λλλλλλλαα-⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤∆⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=∆=⎢⎥⎣⎦∆=，的特征值，，所以的奇异值，，的特征值为的单位特征向量的特征值为的单位特征向量于是因此所以3222121010043300=0=110010(,)=010,V=V 0001100201001001000100HH Hi AA u U U U U i A UDV i ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦若要写成定理..形式还得计算U,V.特征值为的单位特征向量故所以4-15.解：242-24-2422-4-2-2-2252-2-5H i i A i i i i A i i i i -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦由于所以A 是反Hermite 矩阵.2123121233111222-424+22==(+6i)(-3i)-22A ==-6i =3i.==-6i =0==3i 221=i -33354i2i -999-TTT H H iE A i i iA G λλλλλλλλλλλααλααααα+-=⎛ ⎝⎛⎫ ⎪⎝⎭=+= 的特征值，属于特征值的正交单位特征向量，属于特征值的正交单位特征向量，，因此的正交投影矩阵为233124i529992i 2899944i 2i 9994i 429992i 219996i 3i H G A A G G αα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦=-所以的谱分解式为：+4-16..解：130i 2202031-i 022HA A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于所以A 是Hermite 矩阵.()21231212331112213--i 220-20==(-2)(+1)31-i 0-22A ==2=-1.==2=010=0=-1=01i 022010i 1-022TTTH H E A A G G λλλλλλλλλλλααλααααα-=⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 的特征值，属于特征值的正交单位特征向量，，，属于特征值的正交单位特征向量因此的正交投影矩阵为233121i 0-22010i 10222-H A A G G αα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=所以的谱分解式为：4-17. . .解：先求A 的特征值和特征向量，由21234-603+50=(-1)(+2)36-1==1=-2.E A A λλλλλλλλλ--=故的特征值为：，()()()()1231212331123=1-3-60360=0360=2-1,0=0,0,1=-2-3-60360=0360=-11,1201111,,101()=122011010TTT Tx x x x x x P P λααλαααα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣当时，由方程组求得特征向量为：，，当时，由方程组求得特征向量为：，所以，()()()1231112223312=1,1,0,=-1,-2,1,=1,2,022*******,1201211202TTTT TT G G A A G G βββαβαβαβ⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦=-因此于是所求投影矩阵为的谱分解表达式为4-18.解：因为()()1122r r 1122r 20112012012r 11122r r 1122r r 220111011201=+++=++++=++++=(G +G ++G )+()++()=(++++)G +(++++)G ++(+k k k k r s s ss s s s s s A G G G A G G G f a a a a f A a E a A a A a A a a G G G a G G G a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ=+++++++++ 若则()()()211122+++)=G +G ++s s r ra a f f f G λλλλλ 4-19.解：方法一：A 是单纯矩阵()()()()()31234123123441234-1-11-11-1=(-1)(+3)-11-11-1-1===1=-3.===1=1100=101,0=-100,1=-3=1-1-1,111-11100-1,,,=010-10011T T TTE A A P λλλλλλλλλλλλλλαααλααααα-=⎡⎤⎢⎢=⎢⎢⎣故的特征值为：，属于特征值的正交单位特征向量，，，，，，，，，属于特征值的正交单位特征向量，，所以1123411122331111-44443111--4444,()=1311--44441131444413111131=-=-4444444411131111=-=--44444444314+T TTT TT TT P A G ββββαβαβαβ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=因此，，，，，，，，，，，，，，因此的正交投影矩阵为11444131144441131444411134444⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦244121111-4444111144441111--444411114444-3H G A A G G αβ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦=所以的谱分解式为：方法二：A 是正规矩阵.由方法一中已知A 的特征值1234===1=-3λλλλ，，把1234αααα，，，Schmidt 方法标准正交化得123441112233244=00=0=1111=--22223111444413114444+113144441113444411-44T T TTT T TH G G υυυαυυυυυυυυυ⎫⎫⎛⎪⎪ ⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦-==，，，把单位化得，，，正交投影矩阵121144111144441111--444411114444-3A A G G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦=所以的谱分解式为：。

矩阵分析第4章课件

矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n

第4讲(1)矩阵序列与矩阵级数、矩阵函数

设A为方阵，且当k趋于无穷时，Ak趋于0，则称A为收敛矩阵. 定理2：A是收敛矩阵的充要条件是(A)<1.
定理3：A是收敛矩阵的充要条件是存在某种矩阵范数满足||A||<1.
5
2. 矩阵级数
矩阵级数 A( k ) 收敛到S，是指它的部分和序列
S N A 收敛，且极限为S.
(k ) k 0 N k 0
0 e 2t 0
0 0 1 1 2t te 0 1 0 1 1 1 e 2t
0 1 0 2t e t 1 t t t t 1 t
32
例
设
2 0 0 A 1 1 1 , 1 1 3

阵A满足(A)<r，则矩阵幂级数 ck A 绝对收敛；
k
k 0

若(A)>r，则矩阵幂级数发散.
k 0
10
3. H 矩阵
引理 1：设 r 阶方阵 H 为
0 1 H 1 0 则当 k r 时, H k O, 当 k r 时,
1 2!
f (i )
1 ( r 1 )!
f ( r 1 ) ( i ) 1 2! f ( i ) f ( i ) f (i )
15
1 k 1 J ik (i E H )k ik E Ck i H Ckk 1i H k 1 H k
22
矩阵函数的性质
性质：设A, B为 n 阶方阵，则 d At (1) e e At A dt
( 2) (e A )1 e A
23
e
At

矩阵函数的定义与性质

矩阵函数的定义与性质矩阵函数是一类涉及矩阵运算的多元函数，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

矩阵函数的定义与性质对于深入理解矩阵运算非常重要，本文将介绍矩阵函数的基本定义以及一些常见的性质。

矩阵函数的定义矩阵函数通常可以表示为f(A)，其中A是一个矩阵，$f(\\cdot)$是一个函数。

对于一个$n \\times n$的矩阵A，其矩阵函数可以通过泰勒级数展开来定义：$$f(A) = c_0I + c_1A + c_2A^2 + \\cdots + c_kA^k + \\cdots$$其中，I是单位矩阵，c i是函数f(x)在点i处的导数。

矩阵函数的性质1. 线性性质若f(A)和g(A)是矩阵A的函数，c1和c2为常数，则有：$$ \\begin{aligned} & f(A) + g(A) = g(A) + f(A) \\\\ & c_1f(A) = f(c_1A)\\end{aligned} $$2. 矩阵的幂运算对于矩阵函数f(A)=A k，其性质如下：•若A是可对角化的矩阵，则f(A)也可对角化。

•若A是对称矩阵，则f(A)也是对称矩阵。

•若A是幂等矩阵（即A2=A），则f(A)也是幂等矩阵。

3. 矩阵函数的微分对于矩阵函数f(A)，其微分形式如下：df(A)=f′(A)dA其中，f′(A)表示f(A)的导数，dA表示矩阵A的微小变化。

4. 特征值与特征向量矩阵函数f(A)的特征值与特征向量也与矩阵A的特征值与特征向量有密切联系。

若$\\lambda$是矩阵A的特征值，v是对应的特征向量，则$f(\\lambda)$是矩阵f(A)的特征值，v是对应的特征向量。

结语通过以上介绍，我们对矩阵函数的定义与性质有了初步了解。

矩阵函数的研究不仅有助于理解矩阵运算的复杂性，还在实际问题中有着广泛的应用。

希望本文的介绍能够对读者有所帮助。

矩阵的函数

矩阵的函数
矩阵的函数指的是对矩阵进行操作或者变换得到新的矩阵的过程。

常见的矩阵函数包括：
1. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

2. 矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。

矩阵B称为A的逆矩阵。

3. 矩阵的迹：矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素的和。

4. 矩阵的行列式：行列式是一个标量值，用于判断矩阵是否可逆。

若行列式为0，则矩阵不可逆。

5. 矩阵的特征值和特征向量：矩阵A的特征值是一个标量λ，特征向量是指一个非零向量x，使得Ax = λx。

6. 矩阵的幂：将矩阵A自乘n次得到的新矩阵。

7. 矩阵的加法和减法：对应位置上的元素相加或相减得到新矩阵。

除了以上常见的矩阵函数，还有许多其他的矩阵函数，如矩阵的行列变换、矩阵的分解（如LU分解、QR分解等）、矩阵的范数（如F范数、L1范数、L2范数等）等。

这些函数在矩阵计算和应用中都有广泛的应用。

第4章矩阵分解-1

3 1 2
H2H1A
0
1
1
R
0
0
0
矩阵分析简明教程
Q
H
H 1
21
1 3
1
2 2
2 1 2
2
2 1
所求的QR分解为
A QR
8
0 1 1
矩阵分析简明教程
1 5
x1 2x2 x3 5x2 3x3
0 1
12 5
x3
4 5
(
5 12
)
3 5
x1
2x2 x2
1 3 0
x3
1 3
(2)
x1 x2
1 3 0
x3 1 3
(II )
矩阵分析简明教程
用矩阵形式表示，系数矩阵
1 2 1 r12 (3) 1 2 1
角方阵 R ，使得
A QR
当 m = n 时，Q 就是酉矩阵或正交矩阵。
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例 1 将下列矩阵进行QR分解：
1 2 2
A
1 0
0 1
2 1
4
矩阵分析简明教程
解： 1 (1,1，0, )T， 1 1 (1,1，0)T
1
||
1 1
||
1 (1,1, 0)T 2
定理4.2.3 设 e1 1, 0,, 0T C n ,
x1 , x2 ,, xn T C n , 0
令
x1
x1 ,
,
x1
0 ，u
e1
x1 0
e1
H E 2uuH是n 阶Householder矩阵，且
H -e1
矩阵分析简明教程
定理4.2.4（QR分解）设 A为任一 n 阶矩阵则必存在 n 阶酉矩阵 Q 和 n 阶上三角方

《矩阵分析》课件

Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵，从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。
Jordan标准型及其性质
Jordan标准型定义：设A是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP为 Jordan矩阵，则称A 可以相似对角化为 Jordan标准型。
Jordan标准型的性质
Jordan标准型是唯一的，即对于给定的方阵A，其Jordan标准型是唯一的。
Jordan标准型中的每个Jordan块对应A的一个特征值。
非零行的首非零元所在列在上一行的首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不能由其中的部分向量线性表示出来。换句话说，只有当这组向量中任何一个向量都不能由其余向量线性表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
初等变换和行阶梯形式
初等变换：对矩阵进行以下三种变换称为初等变换对调两行（列）。
以数k≠0乘某一行（列）中的所有元。
初等变换和到另一行（列）的对应元上去。
02
行阶梯形式：一个矩阵经过初等行变换可以化为行阶梯形式，
其特点是
非零行在零行的上面。
03
初等变换和行阶梯形式
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。

矩阵函数的计算方法

矩阵函数的计算方法
矩阵函数是数学和物理学中的重要方面，它的用途涉及广泛，其中包括电路设计、信号处理、数值分析、控制理论等方面。

矩阵函数是一种重要的数学概念，它可以被用来对更复杂的问题进行求解。

它能为我们提供准确的结果，它涉及到许多领域，以解决这些难题。

矩阵函数主要涉及矩阵的表示，以及这些矩阵相互之间的数学关系，例如逆、伴随矩阵，还可以进行一些复杂的计算，例如行列式展开、特征值计算以及两个或更多的矩阵的乘积，等等。

矩阵的使用极其广泛，不仅涉及数学，在工程科学等领域中也有着非常重要的作用。

矩阵函数的计算方法具有很高的复杂性，可以分为离散和连续，离散可以使用向量和矩阵之间的关系来求解，而连续可以使用矩阵微积分以及矩阵的可延性等来完成求解。

此外，也可以使用求解矩阵函数的软件工具来完成计算，常见的矩阵函数计算软件有MATLAB、Scilab等。

矩阵函数的计算方法目前应用在电子设计自动化技术（EDA）中，其技术应用范围遍布电路、信号处理、系统集成、数据分析、计算机程序设计，数学建模等领域，从而改善整个EDA系统的效率和可靠性。

综合以上，矩阵函数在当今科技领域扮演着至关重要的角色。

它为电子行业和快速发展的IT行业提供了一种成熟的复杂的计算方法，以解决许多复杂的问题。

它的广泛应用为科技进步和社会发展提供了可行性解决方案。

矩阵函数的原理与应用

矩阵函数的原理与应用1. 矩阵函数的基本概念矩阵函数是指将一个矩阵作为输入，并输出另一个矩阵的函数。

矩阵函数的输入和输出可以是任意维数的矩阵，且可以进行各种运算。

矩阵函数的原理主要基于线性代数的理论。

2. 矩阵函数的推导与定义矩阵函数的推导过程涉及到矩阵的特征值和特征向量的计算。

通过分析矩阵的特征值和特征向量，可以得到矩阵函数的定义和性质。

常见的矩阵函数包括指数函数、对数函数、幂函数等。

3. 矩阵函数的应用领域矩阵函数在科学研究和工程应用中具有广泛的应用。

以下列举几个典型的应用领域：•线性方程组求解：矩阵函数可以通过求解线性方程组来解决实际问题，如物理模拟、数据拟合等。

•信号处理：矩阵函数可以用于处理信号，如图像处理、音频处理等。

•优化问题：矩阵函数可以用于求解优化问题，如最小二乘法、最大似然估计等。

•自动控制：矩阵函数可以用于设计和分析控制系统，如PID控制、模糊控制等。

•机器学习：矩阵函数在机器学习算法中有着重要的应用，如主成分分析、支持向量机等。

4. 矩阵函数的算法与实现矩阵函数的求解算法有多种，常见的有幂法、矩阵对角化等。

矩阵函数的实现可以通过各种编程语言和数值计算库来完成，如MATLAB、Python的NumPy库和SciPy库等。

5. 矩阵函数的性质与扩展矩阵函数具有一些基本性质，如可逆性、对角化等。

此外，还存在一些特殊的矩阵函数，如矩阵的广义逆、矩阵的广义特征值等。

6. 总结矩阵函数作为线性代数的一个重要分支，在科学研究和工程应用中具有广泛的应用。

通过对矩阵函数的理解和应用，可以更好地解决实际问题，并推动科学技术的发展。

以上是矩阵函数的原理与应用的简要介绍，希望对读者有所帮助。

深入学习和掌握矩阵函数的原理和应用，将有助于扩展自己的专业知识和提升解决实际问题的能力。

矩阵分析课件

初等变换及其性质
初等行变换
01
对矩阵进行某行乘以非零常数、交换两行、某行加上另一行的
若干倍的操作。
初等列变换
02
对矩阵进行某列乘以非零常数、交换两列、某列加上另一列的
若干倍的操作。
初等变换的性质
03
不改变矩阵的秩，且任意多次初等变换可用一个初等变换表示
。
矩阵等价性判断方法
1 2
矩阵等价的定义
若两个矩阵经过有限次初等变换可以相互转化，则称这两个矩阵等价。
对角化条件及判别方法
对角化条件
n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
判别方法
计算A的特征多项式，求出全部特征值。对于每个特征值，求解(A-λE)x=0得到对应的特征向量。如果所有特征向量线性无关，则A可对角化。
应用案例：动力学系统稳定性分析
01
系统稳定性定义
动力学系统的稳定性是指系统在受到微小扰动后，能否恢复到原来的平
06
CATALOGUE
矩阵函数与微分运算
常见矩阵函数类型及性质介绍
指数函数
矩阵指数函数具有类似于标量指数函数的性质，如可微性、可积性等。
三角函数
矩阵三角函数与标量三角函数有类似的性质，如周期性、奇偶性等。
ABCD
对数函数
矩阵对数函数在某些条件下可以定义为矩阵指数函数的反函数，具有一些独特的性质。
标准型转化过程
通过正交变换或配方法，可以将二次型转化为标准型，即$f = lambda_1y_1^2 + lambda_2y_2^2 + ... + lambda_ny_n^2$，其中$lambda_i$为特征值。
正定、负定和半正定矩阵判别方法

矩阵分析理论的基础知识

前言 1、自我介绍2、矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的3、矩阵分析理论的组成：四部分：基础知识（包括书上的前三章内容）难点：约当标准形与移项式矩阵矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）矩阵特征值的估算（第五章）非负矩阵（第六章）第一部：矩阵分析理论的基础知识§1 线性空间与度量空间一、线性空间：1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？2．线性空间—设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。

即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素。

存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应，称δ为k 与α的乘积。

记为αδk = 并满足：①αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量，负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯ 同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。

《矩阵分析》课件

行列式的计算方法
代数余子式法
01
利用代数余子式展开行列式，将行列式化为三角形或对角线形
式，从而简化计算。
递推法
02
根据行列式的性质和展开定理，利用递推关系式计算行列式的
值。
公式法
03
对于一些特殊的行列式，可以利用已知的公式直接计算其值。
如三阶行列式公式、范德蒙德公式等。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
逆矩阵的求法
高斯-约当消元法是求逆矩阵的一种常用方法，通过一系列行变换将矩阵变为单位矩阵，其伴随矩阵即为所求的逆矩阵。
行列式的定义与性质
行列式的定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)或|A|，是一个标量，其值是所有n阶排列的代数和，每个排列对应一个二项式系数。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分配律等。此外，行列式的值也可以通过对角线元素、主子式、余子式等计算得到。
04
矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义与性质
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在一个标量λ和相应的非零向量v，使得A×v=λ×v成立，则称λ为矩阵A的特征值，v为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
特征向量的性质
特征向量与特征值是对应的，不同的特征值对应的特征向量是线性无关的，特征向量与特征值之间满足特定的关系式。
高斯消元法
通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵，从而求解线性方程组。
迭代法
通过迭代的方式逼近方程组的解，常用的方法有雅可比迭代法和SOR方法等。
共轭梯度法
一种用于求解大规模稀疏线性方程组的方法，通过迭代寻找方程组的解。
最小二乘法

矩阵分析引论--第四章--矩阵的奇异值分解-矩阵函数

其中f (Ji (i )) (1 i k)由本节定理4 10给出.
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第四章第五节矩阵函数
1
3. A P
2
P
1
,
n
f (1t )
则 f ( At ) P
f (2t)
P
1
.
f (nt )
函数矩阵At的矩阵函数f ( At )
目录上页下页返回结束
0
0
sin
2 sin
2 2
;
cos A P cos 0 0
0 P 1 cos 2
1 0
cos 2
2 cos
2
1
;
目录上页下页返回结束
第四章第五节矩阵函数
f ( At ) P f (0t) 0 P 1 , 0 f (2t)
e At
P
e0t 0
0 e2t
P
1
1 0
e
2t
第四章第五节矩阵函数
J1(1 )
4. A P
J2(2 )
P
1
,
Jk (k )
f (J1t ) 则f ( At ) P
f (J2t)

P
1
.
f (Jkt )
其中f (Js (s )t ) (1 s k)第i行第j列的元为：
当i
j时，aij
(t
)
(i
1
d(i j) f (t j)! d(i j)
1
1.P,使得 A P
2
P
1
,
n
f (1 )
则
f
(
A)
P

第4章矩阵函数及其应用

ynn ，范数为
a
现证明它是 , xn 的函数，
取向量 y1 1 y22 有
a
( y1 , y2 ,
a
, yn )
( y1 ,

, yn ) ( x1 ,
, xn )
n

a

n a
( y
i 1
n
i
xi )i
a
( yi xi )i
与向量的情形一样，矩阵也可以有很多的范数，而且大多数情况下，矩阵范数常和向量范数混合在一起使用，因此考虑一些矩阵范数应当与向量范数联系起来. 下面的概念就反映这种联系．
定义 4-3 若对任意的矩阵 A P 范数 A 能与某种向量范数
n n
及 n 维列向量 P ，方阵
n
a 满足关系式
满足式(4-1)的两个不等式的两个向量范数称为等价的. 定理 4-1 亦可叙述为：有限维向量空间上的不同向量范数是等价的.
证明为简单起见，仅就实数域 R 上的 n 维线性空间 V 中来证明这一定理. 其实对于复空间(如酉空间 C )，证明也是类似的.
n
设 1 , 2 ,
, n 是 V 的一个基，于是 V 中任意向量可以表示为
；
；
(4) 对任意的 , V ，．
酉空间或实的内积空间的向量范数并不都是上面所说的向量的长度. 例 4-1 若对酉空间 C 的每个向量 ( x1 , x2 ,
n
, xn )T , 定义

n

max xi ，
1 i n
函数矩阵的微分、积分，并以这些矩阵分析方面

矩阵函数计算

矩阵函数计算
矩阵函数计算是一项重要的数学研究，旨在从矩阵的结构推断出其中的函数关系。

它有助于我们更好理解和利用矩阵的性质。

本文将详细介绍矩阵函数计算的基础理论，以及其中的一些重要概念和应用技术。

矩阵函数计算可以被认为是一种矩阵代数技术，它利用矩阵的性质和结构建立函数关系，从而实现矩阵计算。

矩阵函数计算的基本思想是，矩阵被分解成多个矩阵，每个矩阵可以用函数表示，组合在一起的这些函数就是矩阵的函数计算。

矩阵函数计算有三种基本方法：统计学矩阵函数计算、几何矩阵函数计算和微分矩阵函数计算。

统计学矩阵函数计算是一种利用统计技术来推断函数关系的方法，其中涉及到回归方程和极大似然估计等。

几何矩阵函数计算是一种基于空间几何的方法，它利用几何的性质来推断函数关系。

微分矩阵函数计算是利用微分方程确定函数关系的方法。

矩阵函数计算的应用非常广泛，它可以用于数值计算、科学计算、图像处理、信息处理等领域。

例如，在数值计算中，矩阵函数计算可以用来求解非线性方程组；在图像处理中，矩阵函数计算可以用来实现图像的锐化和变形；在信息处理中，矩阵函数计算可以用来估计信号的强度和抑制噪声。

此外，矩阵函数计算还可以用于模式识别，比如，机器学习领域中的神经网络就使用矩阵函数计算来实现特征抽取，从而实现模式识
别。

综上所述，矩阵函数计算是一项重要的数学研究，它具有广泛的应用前景，能够实现精确的数值计算和科学计算，在图像处理、信息处理、模式识别等领域都有重要的应用价值。

研究者可以结合实际应用，运用矩阵函数计算技术，为人们的工作和生活提供更加便捷的服务。

第四章 矩阵分析及矩阵函数

矩阵分析

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第四章课后习题答案

矩阵分析第4章课件

第4讲(1)矩阵序列与矩阵级数、矩阵函数

矩阵函数的定义与性质

矩阵的函数

第4章 矩阵分解-1

《矩阵分析》课件

矩阵函数的计算方法

矩阵函数的原理与应用

矩阵分析课件

矩阵分析理论的基础知识

《矩阵分析》课件

矩阵分析引论--第四章--矩阵的奇异值分解-矩阵函数

第4章 矩阵函数及其应用

矩阵函数计算

第四章矩阵分析及矩阵函数

第4章矩阵分解-1

第4章矩阵函数及其应用