第四章 矩阵分析及矩阵函数

k →∞
lim A k B k = AB
推论1 是收敛于A 推论1 令 A 1 , A 2 , L 是收敛于A的 m× n × 矩阵序列， P, Q 分别是 p × m, n × q 矩阵， 矩阵， 矩阵序列， 那么
k →∞
lim PA k Q = PAQ
Fra Baidu bibliotek.1.1.2
定义4 定义 4.1.2
矩阵级数
4.1.3 函数矩阵的积分
定 义 4.1.7 如 果 矩t阵 A( ) 都 是 区[间t1 ] t0 ,
[t 在0 , t1 ]
的 每 个ij元 素 a (t )
上 的 可 积 函 数 ， A(t)定 义 则
∫
上的积分为 t1 A(t )dt = t0
∫
a ij (t )dt t0 m× n
k k =1 ∞
S k = A1 + A 2 + L + A n
收敛，即当且仅当 收敛，
任给 ε > 0 ,存在 N> 0，任意正整数 p , q , > 只要 q > p > N 都有
k =p
∑A
q
k
<ε
定理4.1.4 定理4.1.4 若数项级数 ∑ 阵级数 收敛。 ∑ A 收敛。
k k =1 ∞
0 0
, 以
下性质成立： 下性质成立： 矩阵， （1） 若A(t),B(t) 都是 m × n 矩阵，则
t →t 0
lim[A(t ) + B(t)] = lim A(t ) + lim B(t) = A + B
t →t 0 t →t 0
矩阵， （2） 若 A(t),B(t) 分别是 m × s 和 s × n 矩阵， 则
例 4.1.5
4.2
矩阵函数
4.2.1 矩阵函数的定义及性质 定义4.2.1 定义4.2.1 设一元函数 f (λ ) 能够展开为 λ 的幂函数
f (λ ) =
∑
k =0
∞
c k λk λ < R
(
)
表示该幂级数的收敛半径. 其中 R > 0 表示该幂级数的收敛半径.
当n阶矩阵 A 满足 A < R时，把收敛的矩阵 幂级数
4.1.2.2 函数矩阵的微分 定义4 定义 4.1.6 设函数矩阵 A(t) 中所有元
点或某区间内可微， 素 a ij (t ) 都在 t0 点或某区间内可微 ，则称矩 点或某区间内是可微的, 阵 A(t) 在 t 0 点或某区间内是可微的,若 A(t) 可 微，其导数如下： 其导数如下：
d d A(t) = aij(t) dt dt
[ A(t )B(t )]' = A ' (t )B(t ) + A(t )B ' (t )
特别的， 特别的，如果 A(t) B(t )是常数矩阵 A 或 B , 或 就有
[ AB( t )] = AB ( t )
' '
' '
[ A(t )B]' = A ' (t )B
'
( 4 ) ( t ) A ( t )) = a ( t ) A ( t ) + a ( t ) A ( t ) (a 的可微函数。 a ( t ) 是 t的可微函数。
a
A ′ ( t )dt = A ( b ) − A ( a )
4.1.2.4
如 下：
数量函数关于矩阵的微分
在场论中， 在场论中，对数量函数 u(x, y, z),定义梯度
∂u ∂u ∂u gradu = ( , , ) ∂x ∂y ∂z
可以理解为函数 u(x, y, z)对向量 (x, y, z )的 导数。 导数。
并且
A = (a ij ) .
定理4 定理4.1.1 m× n矩阵序列 A 1 , A 2 , L 收敛 × 于 m× n 矩阵A的充分必要条件是 × 矩阵A
k →∞
成立。 lim a ij( k ) = a ij 对所有i, j 成立。
关于矩阵序列极限的性质，考虑其中二个。 关于矩阵序列极限的性质，考虑其中二个。 定理4 定理4.1.2 令A 1 , A 2 , L和B 1 , B 2 , L是 m× s × 和 s× n矩阵，并且分别收敛到A和B, × 矩阵，并且分别收敛到A 那么： 那么：
定义4 定义 4.1.4
t →t 0
如果对任意
1 1 ≤ i ≤ m，≤ j ≤ m 都
有 lim a ij (t ) = a ij，则称矩阵 A(t ) = (a ij (t ))m×n 在
t → t0
时极限为 A = (a ij ) 。 m×n
lim 性质1 性质1 如果 t A(t ) = A, tlim B(t ) = B t→ →t
k=0 ∞
A <R
例4.1.2
4.1.2
矩阵的微分和积分
4.1.2.1 函数矩阵及其极限 定义4 定义4.1.3 如果矩阵 A 的每一个元素 a ij 都是变量 t 的函数，则 的函数，
a11 ( t ) a12 (t ) a 21 (t ) a 22 (t ) A( t ) = L L a (t ) a (t ) m2 m1 a1n (t ) L a 2n ( t ) L L L a mm (t ) L
(1) e kA ⋅ e lA = e ( k + l ) A
( 2) ) (e
A −1
=e
−A
( 3) 当AB = BA时 e ⋅ e = e ⋅ e = e
第四章 矩阵分析及矩阵函数
4.1 矩阵分析 4.2 矩阵函数 4.3 线性常系数微分方程 4.4 变系数微分方程组
4.1 矩阵分析
4.1.1基本概念 4.1.1基本概念 定义4 定义 4.1.1 令 A 1 , A 2 , L 是 m× n的矩阵序 × 列 ， 假 如 存 在 一 个 ×n m×
k →∞
∑
∞
ck A k
的和称为矩阵函数，记
∞
为 f (A) ,即
k=0
f (A ) =
∑
ck A k
k=0
如下函数: 如下函数:
eλ = 1 +
λ
1!
+
λ2
2! +
+
λ3
3!
+L
cos λ = 1 −
λ2
2!
λ4
4!
−L
sin λ = λ −
λ3
3!
+
λ5
5!
−L
在整个复平面上都是收敛的. 在整个复平面上都是收敛的.
性质2 性质2 设函数矩阵 A(t),B(t) 都可微 为常数， (1) 若 k 为常数，则
[kA(t )]' = kA ' (t )
是同型矩阵， （2）若A(t) B(t ) 是同型矩阵，则 与
[ A(t ) + B(t )]' = A ' (t ) + B ' (t )
B (3)若 是 矩阵， 矩阵， (3)若A(t) m × n 矩阵，(t )是 n × s 矩阵，则
上连续时， (4) 当 a ij (t ) 对所有 i , j 在 [t0 , t1 ]上连续时， 上连续, 就称 A(t ) [t0 , t1 ] 上连续,且有 在
(
∫
t1
t0
A ( s )ds ) ′ = A ( t )
上连续时， 当 a′ij (t ) 都在 [a , b ]上连续时，则
∫
b
A
1 2 1 4 cos A = I − A + A − LL 2! 4!
1 3 1 5 sin A = A − A + A − LL 3! 5!
分别称以上三式是矩阵的指数函数， 分别称以上三式是矩阵的指数函数， 余弦函数和正弦函数。 余弦函数和正弦函数。
定理4.2.1 定理4.2.1 对于方阵 A 的函数e A , cos A, sin A 容易验证以下性质： 容易验证以下性质：
∞
Ak
收敛， 收敛，则矩
k =1
特别地，对于方阵 A ，如果级数 ∑ 特别地， 收敛， 收敛，则矩阵幂级数 收敛. ∑ A 收敛.
k
∞
Ak
∞
k =1
k =1
定理4 定理 4.1.5
设幂级数
∑
∞
a k λk
的收敛半径 时 ， 矩阵
k =0
是 R ， 则当方阵 A 的范数 幂级数 ∑ a k A k 收敛。 收敛。
同样， 同样，A(t) 的高阶导数可以定义为
d2 dn dn A(t) = 2 aij (t) ,LL, n A(t) = n aij (t) dt dt dt2 dt d2
类似于数量函数的导数记法， 类似于数量函数的导数记法，可以 (k ) (k ) (0 将上式记成 A (t) = (a ij (t)) ≤ i, j ≤ n)
令 A 1 , A 2 , L是 m× n 矩阵序列 ， × 矩阵序列，
构造部分和序列 A 1 , A1 + A 2 , A 1 + A 2 + A 3 ,L 假如其收敛到 A , 记
∞
∑A
∞
k
= A
k =1
则级数∑ A k ,收敛到 A .
k =1
定理4 (Cauchy收敛准则 收敛准则) 定理4.1.3 (Cauchy收敛准则) 收敛， ∑ A 收敛，当且仅当矩阵序列
t1
性质3 性质3 若 A(t),B(t)是 [t0 , t1 ] 上的可积函数矩 阵，则
(1（ )
∫
t1
t0
( A ( t ) + B ( t ))dt =
∫
t1
t0
A ( t )dt +
∫
t1
B ( t )dt
t0
A(t),B(t) 都是 m × n 矩阵 ；
( （ （ A ( t )Bdt = ( ２ )
定义4 定义4.1.8 设 y = f (x) = f (x1 , x2 ,L, xn ) 对 有偏导数， x 1 , x 2 , L , x n 有偏导数，定义 y = f (x)
x = (x1 , x2 ,L, xn )T 导数为
对向量
df ∂f ∂f ∂f T , ,L , ) = gradf =( dx ∂x 1 ∂x 2 ∂x n
的矩阵 时 A Ak ， 与 无
A ，d( A k , A) = 0 lim
， 即当 k→∞
限制的靠近,则称序列收敛到A,记为: 限制的靠近,则称序列收敛到A,记为: A,记为
k →∞
lim A k = A
矩阵序列收敛
m× n 个一般序列收敛 ×
A k 表示成 A k = (a ij( k ) ) , 每一个矩阵
t0
∫
t1
∫
t1
A ( t )dt )B
t0
A(t),B(t) 分别是 m × s 和 s × n 矩阵，并且 B 与 矩阵， t 无关. 无关.
( 3（ )
∫
t1
t0
AB ( t )dt = A (
∫
t1
B ( t )dt )
t0
A, B(t) 分别是 m × s 和 s × n 矩阵，并且 A 与 矩阵， t 无关。 无关。
y = f (X)
对矩阵 X = (x ij )m×n的导数为
df = dX ∂f ∂ x 11 ∂f ∂ x 21 M ∂f ∂x m1 ∂f ∂ x 12 ∂f ∂ x 22 M ∂f ∂x m 2 L L L L ∂f ∂ x 1n ∂f ∂x 2n M ∂f ∂ x mn
y = f (x)
对向量 xT = (x1, x2 ,L, xn )的导数为
∂f ∂f ∂f df , ,L , )= =( ∂x 1 ∂x 2 ∂x n dx
T
df dx T
一般地， 一般地，假如 y = f (X) = f (x11, x12,L, x1n , x21,L, xmn) 都有偏导数， 对每个 x ij 都有偏导数，则定义数量函数
t →t 0
lim A(t )B(t) = lim A(t) lim B(t ) = AB
t →t 0 t →t 0
（3） 设 k 是常数，则 是常数，
t→t0
lim [kA(t )] = k lim A( t ) = kA
t→t 0
定义4 定义 4.1.5
设函数矩阵 A(t)中所有元素
处连续， 处连续， 在 a ij (t ) 处连续 ， 则称 A(t) 在 t0 处连续 ， 如 内每一点连续, 果所有元素 a ij (t ) 在 (a, b) 内每一点连续,称 内连续， A(t) 在 (a, b) 内连续，如果 A(t) 在 (a, b) 内连 点右连续， 续，并且所有的 a ij (t ) 在 a 点右连续，在 b 点左连续， 上连续. 点左连续，则称 A(t) 在 [a, b] 上连续.
于是矩阵幂级数
1 1 2 1 3 I + A + A + A + LL 1! 2! 3!
1 2 1 4 I − A + A − LL 2! 4! 1 3 1 5 A − A + A − LL 3! 5!
都是绝对收敛的。 都是绝对收敛的。
因此它们有和并且有
1 1 2 1 3 e = I + A + A + A + LL 1! 2! 3!