有趣的分形图

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自然界中的数学

自然界中的数学你是否曾经停下来环顾四周，注意到我们周围世界中的神奇的形状和图案？数学构成了自然世界的基石，并以惊人的方式展现出来。

下面是一些自然界数学的例子。

斐波那契序列(The Fibonacci Sequence)斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。

它是一个简单而深奥的数列。

序列从数字1和1开始，然后每个后续的数字通过将前面的两个数字相加来找到。

因此，在1和1之后，下一个数字是2(1 + 1)。

下一个数字是3(1+ 2) ，然后是5(2 + 3) ，如此类推。

值得注意的是，序列中的数字在自然界中经常可以看到。

一些例子包括松果的螺旋数，菠萝或向日葵的种子数，或一朵花的花瓣数。

上图：向日葵的两条螺旋线符合斐波那契数列的数字规律上图：松果的螺旋数斐波那契数列中的数字还形成了一个独特的形状，被称为斐波那契螺旋，我们在自然界中看到它的形式是贝壳和飓风的形状。

上图：贝壳的形状自然界的分形(Fractals in Nature)：分形是我们在自然界中看到的另一种有趣的数学形状。

分形是一种相似的、重复的形状，这意味着同样的基本形状在形状本身中反复出现。

换句话说，如果你要放大或缩小，整个形状都是一样的。

上图：蕨类植物的叶子分形构成了我们世界的许多方面，包括蕨类植物的叶子、树枝、我们大脑中的神经元分支和海岸线。

上图：神经元分支自然界的六边形(Hexagons in Nature)：自然界的另一个几何奇观是六边形。

跨学科实践活动案例范文精选29篇

跨学科实践活动案例范文精选29篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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各种有趣的分形

各种有趣的分形我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。

但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。

可是，山到底是什么"它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象"分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。

让我们先来熟悉几个典型的分形。

图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。

这美丽的图片是利用分形技术生成的。

在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。

这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体一样，仅仅在尺寸上小了一些。

而枝杈的枝杈也和整体一样，只是变得更加小了。

Sierpinski三角形具有严格的自相似特性Kohn雪花具有严格的自相似特性分维及分形的定义分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。

但用这种方法对分形的层层细节做出测定是不可能的。

曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。

分形的主要几何特征是关于它的构造的不规那么性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规那么性和复杂性程度的度量，这可用"维数〞来表征。

维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的涵。

整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。

这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为"拓扑维〞，记为d。

例如当把一地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维构造。

但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。

生活中的数学——有趣的分形

有趣的分形
让我们动手来画图。

(1)先画一个正三角形，每一边的长度是1；
(2)在每个边的三等份的中间一等份处再凸出造一个正三角形，小三角形在三个边上出现，使原三角形变成六角形；
(3)再在六角形的12条边上重复进行三等份的中间一等份处凸出造一个正三角形的过程，得到4×12=48边形；
……
每边三等分的中间一等分处凸出一个小正三角形，如此至于无穷。

其外缘曲线的构造越
来越精细，它好象是一片理想的雪花。

整体地
看，它仍具有对称性；部分地看，它们每一个
自身内部结构间具有相似性(叫自相似性)，我科克雪片的前三个阶段的构造们把这样的曲线叫做科克曲线(雪花曲线)，它是1904年瑞典科学家科克所描述的。

雪花曲线的产生过程充分展现了它具有自相似的特点。

数学家芒德勃罗创造了一个词“fractal”，中文译为“分形”，来描述这样的图形特点。

留意观察，我们会发现大自然中充满着这种“分形”现象，如，天空中云彩、天体的分布、闪电、雪花……地球的表面、绵延不断的山脉、河流的分布、蜿蜒曲折的海岸线、崎岖的道路、人体肺气管和血管的分布、正常人的脑电脑图……
人们认识分形，在于探索事物的自相似结构，自相似是跨越不同尺度的对称性。

通过认识分形，人们能更好地认识事物的结构，还可以指导我们创造出令人赏心悦目的艺术品……。

分形杂色参数

分形杂色参数什么是分形？分形是一种数学概念，指的是具有自相似性质的几何形状。

它们在各个尺度上都呈现出相似的结构，无论是放大还是缩小，都能看到相似的形状。

分形广泛应用于计算机图形学、自然科学、金融等领域，具有许多有趣的特性和应用价值。

分形杂色参数的意义分形杂色参数是指在分形图像中引入杂色的参数。

传统的分形图像通常是单色的，只有黑白灰度。

而引入杂色参数后，图像会呈现出多种颜色，使得分形图像更加丰富多样，更具艺术感。

分形杂色参数的实现方法实现分形杂色参数的方法有很多种，下面介绍几种常见的方法。

1. 随机颜色映射一种简单的方法是通过随机生成颜色，并将颜色与分形图像的不同部分进行映射。

可以使用随机函数生成RGB颜色值，然后将每个像素点的灰度值与颜色映射表进行对应，从而实现分形图像的杂色效果。

2. 色彩渐变另一种方法是通过色彩渐变来实现分形图像的杂色效果。

可以选择两种或多种颜色作为起始色和终止色，然后在图像中的不同部分进行渐变。

可以使用线性插值或其他渐变算法来实现颜色的平滑过渡。

3. 色彩映射函数还可以通过定义一个色彩映射函数来实现分形图像的杂色效果。

色彩映射函数可以根据分形图像的特征来确定颜色的分布规律。

可以根据像素的位置、灰度值等参数来计算对应的颜色值，从而实现分形图像的杂色效果。

4. 着色算法一种更高级的方法是使用着色算法来实现分形图像的杂色效果。

着色算法可以根据分形的几何特征来确定颜色的分布规律。

可以使用光照模型、阴影效果等技术来实现更加逼真的杂色效果。

分形杂色参数的应用分形杂色参数在艺术、设计、科学等领域有广泛的应用。

1. 艺术创作分形杂色参数可以用于艺术创作，使得分形图像更加丰富多样。

艺术家可以根据自己的创作需求，选择合适的杂色参数来实现想要的效果。

分形杂色参数可以帮助艺术家创造出独特的艺术作品，展现出分形图像的美感和神秘感。

2. 设计领域分形杂色参数也可以应用于设计领域，如平面设计、产品设计等。

趣味数学PPT模板

无限多的猴子在无限多的时间里能写出莎士比亚全集吗？
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运用逻辑推理和排除法填写数字的游戏。
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音乐与数学
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通过动手实践，让学生亲身体验数学的奥秘，培养学生的实践能力和创新精神。
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感谢观看
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制作几何模型
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设计一款数学拼图游戏，通过拼接不同形状的拼图块，完成数学公式或图案的拼搭，锻炼空间想象和逻辑思维能力。
自制数学益智玩具
利用废旧物品或简易材料，制作数学益智玩具，如数字华容道、数学迷宫等，激发对数学的兴趣和热情。
计算机科学
数学为计算机科学提供了算法、数据结构和计算理论等基础，推动了人工智能、大数据和云计算等领域的发展。
物理学
数学在物理学中发挥着重要作用，如微积分学在力学和电磁学中的应用，以及群论在量子力学中的应用。
工程学
数学在工程学中广泛应用于建模、优化和控制等方面，提高了工程设计的精度和效率。
数学与经济学、金融学的关系
05
趣味数学实践

23种分型

23种分型分型是一种用于描述图形或数学对象的分类系统，它们具有类似的形状和性质。

在数学和科学中，有许多不同的分型，每一种都有其独特的特征和应用。

本文将介绍23种常见的分型，并讨论它们在自然界、工程学和艺术领域的应用。

1.科赫曲线：科赫曲线是一条无限长的曲线，由不断迭代的拆分和连接形成。

它展示了无限重复的美妙和无限细节的可能性。

2.曼德勃罗集合：曼德勃罗集合是一个由复数空间中的点组成的集合，通过迭代方程产生。

它展示了对复数的无限迭代可以产生令人惊叹的几何形状。

3.希尔伯特曲线：希尔伯特曲线是一条连续的曲线，以一种非常复杂的方式填充了一个二维空间。

它具有大量的细节和自相似的特征。

4.罗伦茨吸引子：罗伦茨吸引子是一种非线性动力学系统的轨迹，在三维空间中形成了奇异的图案。

它的形状是由一组微分方程决定的。

5.曼德尔布里特集合：曼德尔布里特集合是一个由复数组成的集合，它以一种迭代方程的方式生成。

它展示了对复数的无限迭代可以产生复杂而美丽的几何形状。

6.斐波那契数列：斐波那契数列是一个无限序列，其中每个数都是前两个数的和。

它在自然界中的许多地方都能找到，如植物的分支和海洋生物的螺旋壳。

7.帕斯卡三角：帕斯卡三角是一个由数字组成的三角形，数在每一行由相邻两个数字之和确定。

它展示了一个有趣的组合模式，被广泛用于计算和概率论中。

8.曼德勃罗特分形：曼德勃罗特分形是由复数平面中的点组成的集合，通过迭代方程生成。

它以其非线性特性和美丽的几何形状而闻名。

9.新勃朗斯维克螺旋：新勃朗斯维克螺旋是一种由相同的比例因子和角度迭代构造得到的曲线。

它的形状类似于贝壳的螺旋结构。

10.棉花糖分型：棉花糖分型是一种由一系列圆弧组成的曲线，形状类似于棉花糖。

它的特点是曲线在每个点的切线方向都是相同的。

11.曼德勃罗卡兰根集合：曼德勃罗卡兰根集合是一个由复数组成的集合，通过特定的迭代方程生成。

它展示了对复数的迭代可以产生多样化和复杂的几何形状。

美丽奇妙的勾股树

化学反应的本质和规律。
生物领域应用
Байду номын сангаас
生物形态学
勾股定理在生物形态学中用于描述生物体的形态和结构特征，如植物叶片的排列角度、动物骨骼的比例关系等。
生物运动学
在生物运动分析中，勾股定理可用于计算生物体的运动轨迹、速度和加速度等参数，有助于揭示生物运动的规律和机制。
生物医学工程
勾股定理在生物医学工程中应用于医疗器械的设计和优化，如手术导航系统的精度计算、医学影像的三维重建等。
3
交互式勾股树
利用计算机技术和交互设计，制作出可以与用户互动的勾股树图案，让观众在参与中感受数学的魅力。
04
勾股树在数学领域应用
解决数学问题
勾股定理证明
勾股树可用于直观展示勾股定理，通过图形与数值的对应关系，为勾股定理提供几何解释。
复杂数学运算
利用勾股树可进行复杂的数学运算，如开方、求三角函数值等，简化计算过程。
通过不断迭代，可以构造出一个由无数直角三角形组成的勾股树。
勾股树性质与特点
01
勾股树中的每个直角三角形都满足勾股定理，体现了数学中的和谐与美感。
02
勾股树的构造过程具有自相似性，即局部与整体在形状、结构等方面具有相似性。
03
勾股树可以无限扩展，其复杂性和精细程度随着迭代次数的增加而增加。
在勾股树中，每个直角三角形的两条直角边和斜边都满足勾股定理，即直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股树构造方法
选择一个基础直角三角形，其直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。
对于新构造的两个直角三角形，再以它们的斜边为边长构造正方形，并重复上述过程。
以c为边长构造一个新的正方形，并在正方形的一边构造两个直角三角形，其直角边长度分别为a和b。

有趣的图形(数学)

有趣的图形（数学）数学中有很多有趣的图形，它们不仅具有美学价值，还能帮助我们理解数学概念和现象。

以下我将介绍几个有趣的图形及其背后的数学原理。

1. 波浪线波浪线是一种连续的曲线，它的形状像波浪一样起伏。

数学上，波浪线可以通过正弦函数或余弦函数来描述。

我们可以通过改变正弦函数或余弦函数的参数，如振幅和频率，来调整波浪线的形状和大小。

波浪线在自然界中很常见，比如海浪、声波等都具有波浪线的形态。

在艺术和设计中，波浪线也被广泛应用，它能够给人一种舒适、柔和的感觉。

2. 分形图形分形图形是一种特殊的几何图形，它具有自相似性。

简单来说，分形图形的一部分或一小段可以看作整体的缩小版。

例如，分形树是一种常见的分形图形，它的树枝可以看作整个树的缩小版。

分形图形具有无限的细节，无论我们放大还是缩小它，都能够发现新的图案。

这使得分形图形在艺术、科学和计算机图形学等领域中有广泛的应用。

3. 曲线拟合曲线拟合是一种数学方法，用于找出最适合一组数据点的曲线。

在实际应用中，我们经常会遇到一组散点数据，而需要找到一个函数曲线来描述这些数据的趋势。

常见的曲线拟合方法包括线性拟合和多项式拟合。

线性拟合使用一条直线来逼近数据，而多项式拟合则使用多项式函数来逼近。

通过曲线拟合，我们可以更好地理解数据的分布规律，并进行预测和分析。

4. 网格图形网格图形由平行的水平线和垂直线组成，形成了一个方格状的结构。

网格图形在计算机图形学和几何学中具有重要的作用。

例如，网格图形可以用于定义三维空间中的网格模型，进而用于建模和渲染复杂的物体。

网格图形还可以用于离散化数学模型，将连续的数学问题转化为离散的问题。

这种离散化的处理方法在数值方法和计算数学中得到广泛应用。

5. 几何图形的运动几何图形的运动是一种令人着迷的数学现象。

通过对几何图形进行平移、旋转、缩放等操作，我们可以观察到图形的形态和位置的变化。

几何图形的运动在几何学、动画和计算机图形学中有广泛应用。

有趣的分形图教学设计

教学设计山东省潍坊市高新区北海学校戴璐璐无止境知识拓展如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物在某种程度上存在着这种自相似特性。

下图是一棵蕨类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些.而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。

那么枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言.二、闪电奇观据英国《每日邮报》2009年12月3日报道，美国伊利诺伊州雕刻家波特·赫克曼，用500万伏的粒子加速器对着玻璃板轰出完美分形图案，如同将闪电冻结在冰块中似的。

赫克曼用500万伏的粒子加速器轰击玻璃板，在玻璃中创造出如同冰雕一样的闪电奇观。

这些玻璃上的图案，就好像闪电被突然冻结一样，赫克曼称这一过程为“捕捉闪电”。

三、其它图形除了闪电外形外，赫克曼还可以制造出星星、蝴蝶、橡树以及太极八卦的阴阳图制造太极闪电图时，首先要将电流注入玻璃板内部，然后按照赫克曼先前雕刻好的路径突然爆发。

案。

三、月球表面图片除了自相似以外，分形具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性.不管你信不信，上面的这张月球表面的照片是用分形技术生成的.如果你把图片放大观看，也可以看到更加细致的东西.因为，分形能够保持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么放大，最终，还是可以看见清晰的细节.3．学生跟同伴交流体会数学的神奇美学生感到有趣感到震撼让学生去看去欣赏学生换个角度去欣赏去思考借助网络：展示生活中的分形，体会数学的美、神奇的数学世界，小小组学生完成小结，并请两名学生到讲台上展示总结的过程。

可以利用老师的课件。

教学反思开始设计这节课的时候，学生的活动只有作品展示，而涉及到课本58页“席尔宾斯基三角形”有关的四个问题的探究时采用教师讲解法。

后来，我认为在学生的潜力应该是无限的，你把他估计成什么水平，他就是什么水平。

鉴于此，我把探究活动改为学生代替教师，让学生讲给学生听的方式。

结果收到了很理想的效果。

我在不断的思考中，干脆将反馈训练这个题目也放手给学生，在课堂上，让他们先独立思考，再小组讨论，然后推出代表展示小组成果。

课题学习有趣的分形图_黄正祥

请你借助网络学习类植物等等
蓝天白云，高山流水，红花绿草，大自然的美丽和神奇是难以描绘的可是伽利略却说：
“自然界这本伟大的书是用数学语言写成的。”热爱数学吧！数学里趣味横生，其乐无穷！
第1次 2
新树枝的条数
新树枝的长度
假设第一条线段的长是单位1 3 4 ……
n
2
1
4
8
16
2n 1\2n
0.5
0.2 0.125 5
用类似的画法设计一棵与它形状不同的分形树
• 请你用手中的笔和
纸画自己喜欢的图形吧！ • 先独立思考，再小组合作! • 5分钟后请每个小组推XNTE1Njc3MDE2.html
（1）（3）
（2）
图1 • ①在图1（2）中有没有全等三角形？有没有不全等的相似三角形？图1（3）呢？ • ②如果把图1（1）中的三角形的面积作为1，那么图1（2）中的中点三角形的面积等于多少？ • ③图1（2）中的中点三角形的周长与图1（1）中的周长面积之比等于多少？ • ④图1（3）中所有涂色三角形的面积之和是多少？涂色三角形的周长与图1（1）中三角形的周长之比等于多少?
用以上方法画出的图形叫分形图【百科】/view/2072306.htm338。 2、再画两条线段，都为基础线条的一半，与第一条的夹角都是120度。 3、依次再画。
《课题学习有趣的分形图》教学软件设计
课件制作默是赵本山这个 “医生 ”与“病人”范伟一样都得了相似的“心病”。对于身外之物的“钱”的“心病”上，“医生”治好了“病人”的“心病”，他自己却是同样的“心病”大发，而且更为甚之。这就是我们现实中的相似。
• • （1）根据图①②③的规律，图④的三角形的个数为 . • （2）图②中，四个三角形是三角形（填全等或相似）；图③中的所有不涂色三角形是三角形.所有涂色三角形是三角形.

趣味数学图形

趣味数学图形趣味数学图形数学图形是数学研究中必不可少的一部分，而其中许多图形不仅具有美丽的外观，还有趣味性。

下面就让我们一起来探究一些趣味数学图形吧！1、菱形菱形是一种非常简单的几何图形，它由四条相等的线段组成。

菱形由于具有四个对称面，因此非常适合用来进行平移对称。

我们常用带有菱形的图形来设计华丽的地毯、壁纸以及服装等。

2、斐波那契螺线在斐波那契数列中，第一个数是0，第二个数是1，之后的每个数都是前面两个数的和。

这个数列是由一位公元数学家得出的。

斐波那契螺线就是在矩形中不断画斐波那契数列的单位矩形，并将这些矩形逆时针旋转90度。

最终，我们得到的图形就是斐波那契螺线。

3、三角形三角形也是一种基本图形，它是由三条线段组成的。

三角形不仅可以通过平移变换来生成新的图形，还可以通过其内角度数的不同而具有不同的性质。

例如，等边三角形的内角都是60度，而直角三角形一边的内角是90度。

4、梅比乌斯环梅比乌斯环是一种非常有趣的图形，它的特点是仅有一个面，并且它的面积是无限长的。

梅比乌斯环是由一条长带子围成的，将这条带子折叠成一个圆圈，并将其中一侧反转。

当然，这需要大量的数学技巧来进行证明和构造，但是这个图形确实非常神奇。

5、Klein瓶Klein瓶也是一种只有一个面的图形，但它与梅比乌斯环的不同之处在于它是一个立体图形而不是平面图形。

Klein瓶由一条带子折叠而成，但是与梅比乌斯环不同的是，它的一条边不是反转的，而是穿过了带子的中心。

6、Mandelbrot集合Mandelbrot集合是一种非常有趣的复数图形，它的形状类似于分形。

Mandelbrot集合由一系列的点组成，这些点将复平面分为两部分：属于Mandelbrot集合的点和不属于Mandelbrot集合的点。

Mandelbrot集合的形状非常复杂，但是它的构造却非常简单。

7、双曲线双曲线是一种非常有趣的曲线，它具有两个渐进线和两个顶点。

双曲线通常用于建模椭圆体表面的形状，比如在相对论中。

分形几何超级介绍

分数维
现在我们从测量的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数。即：如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的ｋ个图形所组成，有：ｋ= λ^D D即维数 D = logｋ/logλ 其中：（ λ 为线度的放大倍数ｋ为“体积”的放大倍数）
Sierpinski垫圈的分数维
• 如右下角的垫圈，它是由原图缩小1/2的相似的3个图形组成。 • 故其维数为D=log3/log2
分维数的多种定义
• 分数维可用于定量描述分形集的复杂性。 • 分维数已有多种定义。 • 豪斯道夫维数是基于豪斯道夫测度而建立起来的一种分形维数，它是分形几何的维数理论的基础； • 盒维数或称盒计数维数是一个具有广泛应用的维数，计算一个分形的盒维数是相对简单的。 • 其他分维数有：柯尔莫哥诺夫熵、熵维数、容量维数、对数维数和信息维数等。
•
自相似性
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。
分形几何
数理基础试验班李道坚范宇航
分形几何的起源
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1975年，他创立了分形几何学。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。

什么是分形几何？

什么是分形几何？1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。

分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。

由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。

分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

分形几何与传统几何相比有什么特点⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。

例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。

⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。

上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。

当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。

其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

什么是分维？在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。

也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。

分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。

为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。

将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。

其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。

一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b, D=logb/loga的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。

谢尔宾斯基三角形

谢尔宾斯基三角形在数学的奇妙世界中，有一种图形令人着迷，那就是谢尔宾斯基三角形。

要理解谢尔宾斯基三角形，咱们得先从它的外观说起。

它看起来就像是一个不断被细分、镂空的三角形。

最开始，我们有一个实心的大三角形。

然后，把这个大三角形分成四个完全相同的小三角形，接着把中间那个小三角形去掉，剩下的就是一个由三个小三角形组成的图形。

接下来，对这三个小三角形重复同样的操作，不断细分下去，就形成了谢尔宾斯基三角形。

谢尔宾斯基三角形的特点十分有趣。

首先，它具有自相似性。

啥叫自相似性呢？就是说无论你把它放大或者缩小，它的形状看起来都差不多。

就好像是一个无限复制的图案，无论怎么看，都能在局部找到和整体相似的结构。

这种图形不仅仅是看起来好看，它在数学里还有着重要的意义。

比如说，在分形几何中，谢尔宾斯基三角形可是个典型的例子。

分形几何是研究那些不规则、复杂但又具有某种内在规律的图形和结构的学科。

谢尔宾斯基三角形通过不断重复的细分过程，展现了分形的基本特征。

而且，谢尔宾斯基三角形还和数学中的递归概念紧密相关。

递归就是在一个函数或者操作中，不断地调用自己来完成更复杂的任务。

在构建谢尔宾斯基三角形的过程中，我们就是通过一次次地递归操作，从一个大三角形逐步得到越来越复杂的图形。

在实际应用中，谢尔宾斯基三角形也有着不少用途。

在计算机图形学中，它可以用来生成有趣的图像和特效。

比如，一些游戏或者动画中的场景，可能就会用到基于谢尔宾斯基三角形的算法来创造出独特的视觉效果。

在物理学中，谢尔宾斯基三角形的结构也能帮助我们理解一些复杂的现象。

比如在研究材料的微观结构或者某些复杂的物理系统时，谢尔宾斯基三角形的模型可以提供一些有用的思路。

再来说说谢尔宾斯基三角形的数学性质。

它的面积和周长都有着独特的规律。

随着细分次数的增加，它的面积会逐渐趋近于零，而周长却会趋向于无穷大。

这听起来是不是有点不可思议？但这正是它奇妙的地方。

如果我们从数学计算的角度来看，要计算谢尔宾斯基三角形的面积和周长，需要用到一些高等数学的知识。

有趣的形变换 hadroncfy's notebook

有趣的形变换 hadroncfy'snotebook简单的例子我们下面来看一些简单的变换例子，看一下图片在各种基本函数变换下的形态。

这个变换叫做复反演变换，影片里面也介绍过了。

我们知道，复数的除法就是它的模长相除，幅角相减，所以对于靠近原点的复数变换后模就会变得很大，原点本身被映射到了复无穷上，远离原点的点被压缩到了原点附近。

我们看到最终原点以外的点都被图片充满了，只有原点附近的点是空的，这就是那些远离原点的点的像。

这也是影片里面出现过的变换，正是因为它是平方映射，所以直线会被变换成抛物线：不过，注意照片的左下角，它和原点是重合的，与它相邻的两条边是相互垂直的，而在变换之后这个直角却成了平角！这似乎违背了共形变换的保角性。

但看其他地方又是正常的，比如那些变换前后的坐标网格，似乎例外只发生在原点处。

其实，我们知道复数的乘法就是模长相乘，幅角相加，那么顶点位于原点处的角在变换后就会变为以前的两倍；而除了原点以外的其他点仍然有保角性。

像平方变换这样的保角性不是在全平面成立的变换称为亚纯变换。

其实，数学上保角性只是共形变换的一个必要条件，共形变换的这是一个很有意思的变换，称为指数映射。

影片中数学家的照片在变换后成了一个圆，而且被压得很小，还说“用显微镜就能看到我的头”。

为什么这个变换会有这种性质呢？我们设平面上的一点z为，代入变换公式，我们得到像点也就是说，像的模长为，幅角为b。

由于照片是矩形的，边界上a或b为常数，所以变换后它就会变成同心扇形，如果照片的左右边界的实部（横坐标）分别为和，上下边界的虚部（纵坐标）分别为和，那么大半径和小半径就分别为和，扇形的角度范围是到。

如果照片的宽度超过了那么它变换之后就会是一个同心圆，这就是影片里面的情形。

仔细看它的变换动画我们发现照片的右边界是固定的，左边界迅速被压小成一个“点”，也就是说，变换前右边界和y轴是重合的，左边界的横坐标是负的，这样变换后得到的小半径就会被指数映射压得很小。

有意思的闭合曲线

有意思的闭合曲线
1. 莫比乌斯带：这是一种单侧、无间断的闭合曲面，由德国数学家莫比乌斯发现。

它只有一面，但可以通过扭曲一个纸条来制作。

2. 克莱因瓶：这是一种无定向的二维图形，看起来像一个瓶子。

在三维空间中，克莱因瓶是一个无底的、自身相交的曲面。

3. 曼德布罗集：这是一组无穷的复杂分形集合，其形状像一个树状的分形。

它可以产生一些美丽的图案和形状。

4. 康托尔集：这是另一种无穷的复杂分形集合，由德国数学家康托尔发现。

它可以产生一些有趣的视觉效果。

5. 玫瑰线：这是一种几何图形，表示平面上的某些点按照一定的规律连接所形成的曲线。

因为这些曲线在极坐标下呈现出玫瑰花般的形状，所以被称为玫瑰线。

哈森曼曲线

哈森曼曲线哈森曼曲线（Hilbert Curve）是一种分形曲线，于1891年由德国数学家大卫·哈森曼首次提出。

这条曲线的特点是将一维的线条纵向卷曲后变成了二维的图形，而且可以无限地进行迭代。

哈森曼曲线不仅在数学领域具有重要意义，还被广泛应用于计算机科学、物理学、信号处理等领域。

首先，从正方形的角度来看哈森曼曲线。

我们可以先将一个正方形切分成四个小正方形，然后在中央放置一条连接四个小正方形的曲线。

然后，将每个小正方形都再次切分成四个更小的正方形，重复上述步骤，直到无限迭代。

最后，我们可以得到一条充满规则的曲线。

这个过程可以用递归函数来实现。

其次，从空间曲线的角度来看哈森曼曲线。

我们可以先将一个立方体切分成八个小立方体，然后通过连线构成一条连续的曲线。

同样地，我们不断地重复这个过程，直到曲线充满整个空间。

这个过程可以用四叉树和递归函数来实现。

haosenman_curve哈森曼曲线的重要性在于它具有自相似性和分形特性。

自相似性指的是曲线的某些部分和整个曲线具有相似的形状和结构。

而分形特性则指的是曲线的形态和结构可以在不同的尺度上重复出现。

这些特性让哈森曼曲线在很多领域都有广泛的应用。

在计算机科学中，哈森曼曲线被用来表示数据的空间编码，例如用于减小存储空间和快速搜索。

在物理学领域中，哈森曼曲线被用来表示空间时间的曲率，或者描述物质的形态和结构。

在信号处理领域中，哈森曼曲线被用来表示数字信号的频率分布和相位关系。

哈森曼曲线不仅具有数学上的重要性，而且由于其规则、美丽和神秘的形状，还被广泛应用于设计和艺术领域。

很多设计师和艺术家都喜欢用哈森曼曲线来创造独特的图案和形态。

总的来说，哈森曼曲线是一条非常重要且充满美感的分形曲线。

它不仅仅是数学研究的领域，也被广泛应用于计算机科学、物理学、信号处理、设计和艺术领域。

哈森曼曲线的研究和应用，将为我们带来诸多有趣而有意义的事情，为人类的进步和发展提供了强大而有力的支持。

谢尔宾斯基四边形python

谢尔宾斯基四边形python谢尔宾斯基四边形（Sierpinski quadrilateral）是一个由波兰数学家谢尔宾斯基（Waclaw Sierpinski）提出的几何图形，它是谢尔宾斯基三角形的二维扩展。

与谢尔宾斯基三角形一样，谢尔宾斯基四边形也具有自相似性和分形特征。

在本文中，我们将探讨谢尔宾斯基四边形的构造方法和一些有趣的性质。

谢尔宾斯基四边形的构造方法非常简单。

首先，我们从一个正方形开始，将其分成四个相等的小正方形。

然后，我们在每个小正方形的中心位置画一个小正方形，再将原始正方形删去。

接下来，我们重复这个过程，不断地在每个新生成的小正方形中继续构造更小的正方形。

经过无限次的迭代，我们将得到一个具有分形结构的谢尔宾斯基四边形。

谢尔宾斯基四边形具有许多有趣的性质。

首先，它是一个无限细分的几何图形，即使在无限次迭代后，我们仍然可以找到更小的四边形。

其次，谢尔宾斯基四边形是自相似的，即每个较大的四边形都由四个较小的四边形组成，这种自相似性质使得谢尔宾斯基四边形展现出美妙的几何美感。

谢尔宾斯基四边形还具有一些有趣的数学特性。

首先，它的维度是介于一维和二维之间的，即分形维度。

其次，谢尔宾斯基四边形的面积为零，但是它的边界长度却是无穷大的。

这种有趣的数学特性使得谢尔宾斯基四边形成为了研究分形几何学的重要对象。

除了数学上的研究，谢尔宾斯基四边形还有一些实际应用。

例如，在计算机图形学中，谢尔宾斯基四边形可以用来生成逼真的纹理和景深效果。

此外，谢尔宾斯基四边形还可以用来设计迷宫游戏和艺术品，给人们带来视觉上的享受和思考的乐趣。

谢尔宾斯基四边形是一个具有迷人美学和丰富数学特性的几何图形。

它的构造简单而有趣，展现了分形几何学的魅力。

通过研究谢尔宾斯基四边形，我们可以更好地理解分形结构和自相似性，同时也能够应用它在计算机图形学和艺术创作中。

谢尔宾斯基四边形的研究不仅展示了数学的美妙之处，也为我们带来了无限的思考和探索的空间。

谢尔宾斯基曲线

谢尔宾斯基曲线谢尔宾斯基曲线，又称Sierpinski Curve，是一种基于谢尔宾斯基三角形变形而来的曲线。

谢尔宾斯基三角形是可重复分割、无限精细的几何图形，这种图形宛如一个平面中的漏斗，尖端朝上，下面被三条边等分。

谢尔宾斯基曲线则是将这个几何图形中的三条边变成曲线，从而形成一条无限缠绕的分形曲线。

谢尔宾斯基曲线最早由波兰数学家瓦迪斯瓦夫·谢尔宾斯基(1876-1969)提出。

他提出了谢尔宾斯基三角形，谢尔宾斯基曲线则是建立在这个基础之上的。

谢尔宾斯基曲线的生成过程十分有趣，它是通过不断地将谢尔宾斯基三角形中的三个角切除部分曲线得到的。

具体包括以下几个步骤：1. 将谢尔宾斯基三角形的三条边都变成曲线。

2. 再将三个角的部分切除，使得每个角只剩下一个等于180度的弧度，从而形成了三段切断的曲线。

3. 将三段切断的曲线按照一定的顺序和方向缠绕在一起，使其形成一条连续的曲线。

4. 将缠绕曲线的终点和起点相连，即可得到谢尔宾斯基曲线。

谢尔宾斯基曲线的生成过程可以用递归算法来实现。

例如，对于一个谢尔宾斯基三角形，我们可以将它递归地分成四个子三角形，然后将每个子三角形的三个角切除曲线生成谢尔宾斯基曲线，并将这四个谢尔宾斯基曲线分别绕成一个缠绕曲线，最后将这四个缠绕曲线拼接在一起，即得到原始谢尔宾斯基曲线。

谢尔宾斯基曲线的特性和应用十分广泛。

它是一种自相似和无限精细的分形曲线，具有较好的数据压缩能力和密码学应用。

这种曲线可以通过对其进行不同的变形来应用于图像识别、模式识别及其它各种数据处理领域。

此外，一些艺术家还将谢尔宾斯基曲线运用在他们的作品中。

谢尔宾斯基曲线的独特几何美感，以及其自相似、无限精细的属性，为艺术创作提供了广泛的想象空间。

总之，谢尔宾斯基曲线是一种神奇的分形曲线，它的独特特性和广泛应用使得它成为了数学、计算机科学、密码学和艺术领域的重要研究对象和创作素材。