第6章--弹性体的一维振动题解

第6章--弹性体的一维振动题解

126 习题

6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶

(1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0

,00u x u x ==

(),0u x V =&

由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i

i a

p i l

π==,… ,...3,2,1i ,x 2l

i sin D x)U ~

i

i ==π（

由归一化条件

2

0sin 12l

i i x A D dx l πρ⎛

⎫= ⎪⎝

⎭⎰得2

i

D Al

ρ=

即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l

i sin Al 2x)U ~

i

==

π

ρ（

由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为

()0

0sin 2l

i

i

i AVD xdx l πη

ρ=⎰&2i

l

AVD i ρπ

= ()00i η=，i=1，3，5，…

由式（８－４０）得()0sin i i

i i

p t

p ηη

=

&，进而有：

t 2l a

i sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~

)t ,x (u ,...3,1i 2

2i i ,...

3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞=∞

=∞

===

=πππππρπη

(2)杆的右端突然固定；

127

杆的初始条件为：()()0

,00u x u x ==

(),0u x V =&

由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i

i a

p i l

π==,… ...5,3,1i ,x 2l

i cos C x)U ~

i

i ==π（ 由归一化条件1)2cos

(2

=⎰

dx l

x i C A i l

πρ得Al

C

i

ρ2=

即正则振型为,...5,3,1i ,x 2l

i cos Al 2x)U ~

i

==

π

ρ（

由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为

⎰--==l

i i i i i l

AV C dx l x i AVC 0

2

1

)1(22cos )0(π

ρπρη&

()00i η=，i=1，3，5，…

由式（８－４０）得()0sin i i

i i

p t

p ηη

=

&，进而有：

t

2l a

i sin 2l x i cos i 1)1(a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~

)t ,x (u ,...3,1i 2

2

1

2i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞

=-∞

=∞

=-==

=πππππρπηi

6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。

(1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示； (2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；

128 (3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。

解：

（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变

/2

P

EA

ε= 杆的初始条件为

()()()0000/2

,0{

/2x

x l u x u x l x l x l

εε≤≤==-≤≤

因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为

()()()1,2,sin 1,2,i i i ia P i l

i U x D x i l

E

a π

πρ

=

=⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=

将主振型代入归一化条件，得

题6-2图

129

2

0sin 12l

i i i A D x dx l D Al

πρρ⎛

⎫

= ⎪⎝

⎭

=

⎰

得到正则振型 ()()~21,2,i

i U x x i Al l

πρ=

=⋅⋅⋅

得到以正则坐标表示的初始条件为

()()()()

20022020sin sin

2

1,2,l

i i i i i l i Au x D xdx A D l i x i ππ

ηρρεπη•

====⋅⋅⋅⎰

得到以正则坐标表示的对初始条件的响应

()0cos i

i

i

p t ηη=

于是杆的自由振动

(),u x t =()2~

0221,2,1,2,2sin sin cos 2i i i i i i i i l i U t D x A D p t

l i ππ

ηρεπ∞

∞

=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

=∑∑

=

02

21,2,sin

42sin cos i

i i l

i x p t

i l

π

εππ

∞

=⋅⋅⋅

∑

()1

2

22

1,3,12sin

cos i i pl

i i a x t EA i l l

πππ-∞

=⋅⋅⋅-=

∑

（2） 根据题意 ，0t =时杆内的应变

1

2

2/3/3P P P

EA EA EA

εεε===设 杆的初始条件为