第6章--弹性体的一维振动题解
一维简谐振动方程
一维简谐振动方程简谐振动是指物体在沿着直线方向上进行往复运动的一种振动形式。
简谐振动方程是描述简谐振动过程中物体位移与时间的关系的方程。
它可以用数学方式表示为：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，x(t)表示振动物体在时间t时刻的位移；A表示振幅，即位移的最大值；ω表示角频率，它与周期T的关系是ω=2π/T；φ表示初相位，它决定了位移曲线的起始位置。
简谐振动的特点是周期性和对称性。
周期性是指振动物体以一定的时间间隔重复相同的位移值。
对称性是指振动物体出现正向位移和反向位移的时间是对称的。
根据简谐振动方程，我们可以推导出一些重要的物理量和特性。
首先是振动周期T，它表示振动物体完成一个完整振动往复运动所需要的时间。
根据角频率与周期的关系，可以得到T=2π/ω。
其次是振动频率f，它表示振动物体每秒钟振动的次数。
振动频率与角频率的关系是f=ω/2π。
再次是振动速度v和加速度a，它们分别表示振动物体在给定时刻的速度和加速度。
根据位移x关于时间的一阶和二阶导数，可以得到振动速度和加速度的表达式：v(t) = dx(t)/dt = -Aωsin(ωt + φ)a(t) = dv(t)/dt = -Aω²cos(ωt + φ)振动速度和加速度的正负号与振动物体的位置有关。
当x(t)为正时，振动速度为负，即物体向负方向运动；当x(t)为负时，振动速度为正，即物体向正方向运动。
同样地，当x(t)为正时，振动加速度为正；当x(t)为负时，振动加速度为负。
简谐振动还有一个重要的特性是能量守恒。
振动物体由于受到弹力恢复力的作用而具有动能和势能。
动能由振动物体的速度决定，势能由振动物体的位移决定。
在一个振动周期内，动能和势能之间不断转化，但总能量保持不变。
具体地说，简谐振动的总能量等于振动物体的最大势能或动能，可以表示为：E=1/2kA²其中，k表示振动系统的弹性系数，它与物体的质量m和振动频率f之间的关系是k = 4π²mf²。
弹性体的一维振动_图文
就是杆的主振型关于质量的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
Mechanical and Structural Vibration
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率 及主振型函数可写出杆的振动方程为
常数Ai , Bi由初始条件确定。初始条件为
再利用三角函数的正交性可得
Mechanical and Structural Vibration
根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为
第i阶正则振型函数
Mechanical and Structural Vibration
第i阶正则坐标
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
通乘以 并沿杆长l积分
考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为 这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。
杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
即为杆的主振动的一般形式。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
振动力学(高教版)部分课后习题答案
3c 1 2a mk 1 c 2m n l 3
l mgl k 0 a a ， 0 2 2ka2 1.12 面积为 S、质量为 m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图 E1.12 所示。作用于 mg
薄板的阻尼力为 Fd 2Sv ，2S 为薄板总面积，v 为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 T0 ， 在粘性流体中自由振动的周期为 Td 。求系数 。
k2 m x1 k1 c1 m c2 k2 x2 k1
c2
k2 x
m x
m
c2 x
c1 x1
x 1 k1 x x1 c1 x
图 E2.1 解：
答案图 E2.1(a)
答案图 E2.1(b)
等价于分别为 x1 和 x2 的响应之和。先考虑 x1 ，此时右端固结，系统等价为图（a） ，受力为图（b） ， 故：
考虑到 x2 t 的影响，则叠加后的 xt 为：
xt
i 1
2
k
Ai ki2 ci2i2 k2 m
2 2 i
1
c c c sin it tg 1 1 2 2i tg 1 i i 2 k1 k2 i m ki c1 c2 i2
ax2 x1 a 2 k1 b 2 k2 mg ab a b2 k1k2
a 2 k1 b 2 k2 1 1 x x0 x3 mg mg 2 k0 a b k1k2 k3
则等效弹簧刚度为：
ke
则固有频率为：
a b2 k1k2k3 2 a 2 k1k3 b 2 k2 k3 a b k1k2
振动习题答案
振动习题答案振动习题答案振动是物体在固定轴线附近做往复运动的现象。
它在我们的日常生活中随处可见，比如钟摆的摆动、弹簧的振动等等。
振动习题是学习振动理论的重要一环，通过解答习题可以加深对振动原理的理解和应用。
下面是一些常见的振动习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 一个质点沿直线做简谐振动，振幅为2cm，周期为4s，求该质点的速度和加速度。
解答：简谐振动的速度和加速度与位置的关系可以通过振动的位移方程得到。
位移方程为：x = A * sin(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
根据周期和角频率的关系，可知ω = 2π / T，其中T为周期。
根据题目中的数据，振幅A = 2cm，周期T = 4s。
代入上述公式可得ω = 2π /4 = π / 2。
因此，位移方程可写为：x = 2 * sin(π/2 * t + φ)。
速度v = dx / dt，加速度a = dv / dt。
对位移方程求一次导数得到速度和加速度的表达式：v = d(2 * sin(π/2 * t + φ)) / dt = 2 * (π/2) * cos(π/2 * t + φ) = π * cos(π/2 * t + φ)，a = d(π * cos(π/2 * t + φ)) / dt = - (π/2)^2 * sin(π/2 * t + φ) = - (π^2 / 4) *sin(π/2 * t + φ)。
2. 一个弹簧的振动周期为2s，振幅为5cm，求该弹簧的角频率和振动频率。
解答：角频率ω = 2π / T，振动频率f = 1 / T，其中T为周期。
根据题目中的数据，周期T = 2s。
代入上述公式可得角频率ω = 2π / 2 = π，振动频率f = 1 / 2 = 0.5Hz。
3. 一个质点的振动方程为x = 3sin(2πt + π/4)，求该质点的振幅、周期、角频率、初相位、速度和加速度。
周 一维谐振子问题
[bk2 (k 1)(k 2) 2kbk bk ( 1)] k 0
k
即： bk2 (k 1)(k 2) 2kbk bk ( 1)=0
该式对任意ξ都 成立，故ξ同次
从而导出系数 bk 的递推公式：
幂前的系数均应 为零，
bk 2
2k 1
(k 1)(k 2) bk
由上式可以看出：
a
x
0
V0
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为 标准谐振子势的形式：
V(x)
V ( x) 1 kx2 2
a
x
0
V0
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往 可以用线性谐振动来近似描述。
在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基
本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒 子在稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的 普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。
(II) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数的收敛性
b k2 k2 bk k
2k 1 2 (k 1)(k 2)
k
22 k
为此考察相邻 两项之比：
考察幂级数exp[
exp[ 2 ] 1 2
4
k
k2
展开式的收敛性
1! 2!
(
k 2
)!
(
k 2
1)!
比较二级数可知：
相继两项之比：
k2
V0
若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则
V 1 m2x2
2
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中 运动的粒子。
（2）为什么研究线性谐振子
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平 衡位置附近的小振动，
分子振动 晶格振动 原子核表面振动 辐射场的振动
第六章弹性体的一维振动
T (t) at b
主振动为 :
u(x,t) U (x)T (t) c(at b)
杆的一般形式为: u(x ,t) U (x)b sin( t )
确定简单边界条件下杆的固有频率和主振型
(a) 两端固定
将边界条件代入,得到 :
B2
0,
B1
sin
a
l
0
即: sin l 0,
a
为频率方程
斜拉索就如同一根拉紧的弦，它的自振频率与拉索索力间有着确定的函数关 系，可用动力平衡微分方程表示。当忽略弯曲刚度时，可表示为
W • 2y 2y 0 g t 2 x2 式中 y----垂直于索长度方向的横向坐标； x----纵向坐标； W----索单位长度的重量； g----重力加速度； T----索的拉力； t----时间。
索的边界条件为两端固定时，上述微分方程的解为
4WL 2 n2g
•
fn2
由上式可知，只要测知f1 或 f 2 ，便可计算出索力。 在本文中，索力的计算采用公式
K 4WL2 f n 2 n2g
把重量W mg 代入上式，得
式中
K 4mL2 n2
fn2
T----索的拉力
m---线密度（索单位长度的质量）
U '' x U x
得:
U
'' x
a2
U
x
Байду номын сангаас
0
Tt T t 0
右端固定,有 : ux, t U lT t 0 xl
右端自由,有 : EA u EAU 'lT t 0
x xl
两端固定 :U 0 0,U (l) 0
等直杆的简单边界条件 : 一段固定 :U (0) 0,U ' (0) 0 两端自由:U ' (0) 0,U ' (l) 0
振动理论课后题部分汇总
第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k 则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ =则 k =324EJ h设静平衡位置水平向右为正方向，则有"m x kx =-所以固有频率3n 24mh EJ p =2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ 2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理： ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θαα h l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθθF sin α2θαFhmgθFg h a l ga h l p T n 3π23π2π222=== 2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 和3k ，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kk k k ++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=2-4求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版,全部章节课后答案详解
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
振动力学第六章弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。
同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。
由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在 物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度 是相似的。
解：此系统仍属于复杂边界条件问题。
当杆作纵向振动时，附有集中质 量的一端相当作用有惯性力
M
2u t 2
xl
因此杆的边界条件为
U (0) 0,
EA u x
xl
M
2u t2
xl
U (x) C cos px D sin px
a
a
得到C = 0
U (x) Dsin p x a
a
a
cos p l 0 a
即为一端固定，一端自由杆的频率方程。
解出固有频率为
pi
2i 1π
2l
a
i 1,2,
相应的主振型为
U
i
(x)
Di
sin
2i
1 π
2l
x
i 1,2,
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
3. 杆的两端都是自由的情况 边界条件为
U (x) C cos px D sin px
d2 U (x) d x2
p2 a2
U (x)
0
取特征值问题的两个解 pi2,Ui; p2j ,U j 代入
6天津大学机械振动课件弹性体的一维振动
第6章 弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向振动
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动 6.1.2固有频率和主振型 6.1.3主振型的正交性
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
即为杆的主振动的一般形式。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
2 2u u 2 a 2 t x2
振型函数
代入
振动规律
u ( x , t ) U ( x ) ( A c o s p tB s i n p t )
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
ia π p i l
( i 1 , 2 , )
2 2 d U ( x ) p 2U ( x ) 0 2 d x a
杆有无穷多个自由度系统，振型 不再是折线而变成一条连续曲线。
当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下， 求解值 p2及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问题。 p2为特征值，U(x)又称为特征函数或主振型；而p是固有频 率。
2 u u A 2 ( EA) q ( x ,t ) t x x
2 2 u E u 1 ( ) q ( x ,t ) EA是常数，可写成 2 2 A t x
这是杆作纵向受迫振动方程， 常称为波动方程。
Mechanical and Structural Vibration
第6章 弹性体的一维振动
机械与结构振动
一维简谐振动方程
一维简谐振动方程x = A cos(ωt + φ)其中，x表示质点的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
在这个方程中，振幅A表示质点离开平衡位置的最大位移量。
角频率ω表示单位时间内振动的次数，单位为弧度/秒。
初相位φ表示在t=0时刻的初始相位。
一维简谐振动的运动方程可以通过引入受力分析得到。
假设质点的质量为m，弹簧的劲度系数为k，那么质点在弹簧的作用下受到恢复力的作用。
根据胡克定律，恢复力与质点的位移成正比，方向与位移方向相反。
恢复力的大小可以表示为F = -kx。
根据牛顿第二定律，质点的加速度a与受力F成正比，且方向与受力方向相同。
根据定义，加速度a等于位移x对时间t的二阶导数。
所以，如果我们用F = -kx和F = ma结合，可以得到以下方程：m(d^2x/dt^2) = -kx这就是简谐振动的运动方程。
为了求解这个微分方程，我们可以假设解为x = Acos(ωt + φ)，然后将它代入方程中验证。
根据两边的积分运算得到：-mω^2Acos(ωt + φ) = -kAcos(ωt + φ)根据三角函数性质，如果两个角度相等，则它们的余弦值也相等。
所以，我们可以得到两个方程：-mω^2A=-kAω^2=k/m从第一个方程我们可以看出，质点振动的角频率与质点的质量和劲度系数成正比。
从第二个方程我们可以看出，角频率的平方等于弹簧劲度系数与质点的质量比值。
根据以上的分析，我们可以得到简谐振动的一维运动方程：x = Acos(ωt + φ)其中，振幅A和初始相位φ可以由初始条件确定。
角频率ω可以根据弹簧劲度系数k和质点质量m计算得到。
简谐振动方程的求解可以帮助我们理解振动的特性，如振动频率、振动周期等。
它也为我们的工程应用提供了理论基础，如在建筑结构设计中用于减震、在机械工程中用于设计自由摆、在电子工程中用于设计电路等等。
总之，一维简谐振动方程是一种重要的物理方程，在物理学和工程学中有着广泛的应用。
§1.1 一维振动方程
第一章、数学物理方程导出
数学物理方程，是指从物理学或其他自然学科中所给出 的偏微分方程、积分方程、微分方程和常微分方程。例如在 物理学中常碰到的：
1、静电势或引力势满足的Laplace及Poisson方程。 2、波在空间传输所满足的Helmhotz波动方程。 3、热传导所满足的热传导方程。 4、电磁波所满足的Maxwell方程。
第四章、球函数
§4.1、Legendre方程及Legendre多项式 §4.2、Legendre多项式的母函数 §4.3、按Legendre多项式展开 §4.4、连带Legendre多项式 §4.5、球形区域的Dirichlet问题的解
第五章、柱函数，Bessel函数
§5.1、Bessel函数 §5.2、Bessel函数的母函数 §5.3、半奇数Bessel函数 §5.4、按Bessel函数展开 §5.5、第二、三类Bessel函数 §5.6、球Bessel函数 §5.7、虚宗量Bessel函数 §5.8、Bessel函数的渐近式
(1)用均质材料做成细圆锥杆，试验推导其纵振动方程。 (2) 弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦受阻力为F=-Rut (R
为阻尼常数) ，试推导弦振动方程。
最后得：x
2u t 2
T
2u x2
x
0
所以一维弦振动方程为： 2u t 2
k2
2u x2
0
这里：k T ，为弦振动传播的速度.
若弦在同时受到外加横向力F(x,t) 的作用，则横向受力方程为：
x
2u t 2
T
2u x2
x
F ( x, t )
整理得受外力弦振动方程为： 2u t 2
弹性力学部分习题解决方案
弹性力学部分习题解决方案1. 弹性力学基本概念弹性体的定义弹性体是一种在外力作用下可以发生形变，而在外力撤销后又能恢复原状的物质。
弹性体受到外力作用时，其形变可分为弹性形变和塑性形变两种。
弹性形变是指物体在外力作用下形变后，外力撤销后即能恢复原状的形变，而塑性形变则是指物体在外力作用下形变后，外力撤销后不能恢复原状的形变。
弹性体的应力-应变关系弹性体的应力-应变关系描述了物体在受到外力作用下的应变情况。
一般来说，当物体受到外力作用时，会发生应力，导致物体发生应变。
弹性体的应力-应变关系可以通过应力-应变曲线表示。
弹性体的应变能弹性体在形变过程中会储存一定的能量，这部分能量称为弹性体的应变能。
应变能的大小与物体的形变量和物体的弹性常数有关。
2. 弹性力学习题解决方案习题1问题描述：一个钢材球体的半径为5cm，受到外力作用下被压缩了1mm。
试计算该钢材球体的应变。
解决方案：首先，我们需要知道弹性体的应变定义为：应变=形变/初始长度。
钢材球体的形变为1mm，初始长度为球体的半径，即5cm。
将以上数值代入公式，可得：应变=1mm/5cm=0.01。
所以该钢材球体的应变为0.01。
习题2问题描述：一根弹簧的劲度系数为100 N/m，受到外力作用下被拉长了20 cm。
试计算该弹簧存储的应变能。
解决方案：首先，我们需要知道弹性体的应变能定义为：应变能=0.5劲度系数形变^2。
该弹簧的劲度系数为100 N/m，形变为20 cm。
将以上数值代入公式，可得：应变能=0.5100 N/m(20cm)^2=200 J。
所以该弹簧存储的应变能为200 J。
3. 弹性力学习题解决思路在解决弹性力学习题时，我们首先需要理解弹性体的基本概念和应力-应变关系。
其次，我们需要掌握一些基本的求解公式，如弹性体的应力-应变关系公式和弹性体的应变能计算公式。
最后，根据题目给出的条件和要求，将所给数据代入公式进行计算，并得出最终的结果。
对于一些复杂的弹性力学习题，还可能需要应用牛顿力学的知识，如受力分析和平衡条件等。
振动理论习题答案汇总
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。
6 第六章 弹性体的一维振动《振动理论及工程应用(第2版)》教学课件
sin p l 0 a
即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为
pi
iaπ l
(i 0,1,2,)
相应的主振型为
Ui
(x)
Di
s in
iπ l
x
(i 0,1,2,)
由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去
pi
ia π l
(i 1,2,)
Ui
(x)
Di
sin
iπ l
x
(i 1,2,)
x N q(x,t)dx
Adx
2u t 2
0
变形为：
Adx
2u t 2
(N
N x
dx)
N
q( x, t )dx
q( x, t )
0 x dx l
x u(x,t) 为杆上距原点 x 处截 面在时刻 t 的纵向位移
横截面上内力： N EA EA u
x
N (EA u ) x x x
达朗贝尔原理：
第6章 弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向自由振动 6.2 杆的纵向受迫振动 6.3 梁的横向自由振动 6.4 梁的横向受迫振动 6.5 转动惯量、剪切变形和轴向力对梁横向振 动的影响 6.6 梁横向振动的近似解法
－实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统
－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此 连续体是具有无限多自由度的系统
－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程 组，它是偏微分方程
－在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差 别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度 系统是完全类似的
弹性理论基础答案
弹性理论基础答案【篇一：弹性力学基础习题答案nnnn1】/p> 2.1计算：(1)?pi?iq?qj?jk，(2)epqieijkajk，(3)eijpeklpbkiblj。
解：(1)?pi?iq?qj?jk(2)epqieijkajk2.2证明：若aij(3)eijpeklpbkiblj??pq?qj?jk??pj?jk??pk;?(?ik?jl??il?jk)bkiblj?biibjj?bjibij。
?(?pj?qk??pk?qj)ajk?apq?aqp;?aji，则eijkajk?0。
证：2eijkajk?eijkajk?eikjakj?eijkajk?eijkakj?eijkajk?eijkajk?0。
2.3设a、b和c是三个矢量，试证明：a?aa?ba?cb?ab?bb?c?[a,b,c]2 c?ac?bc?ca?aa?ba?caiaiaibiaicia1a2a3a1b1c12证：b?ab?bb?c?biaibibibici?b1b2b3a2b2c2?[a,b,c]。
c?ac?bc?cciaicibicicic1c2c3a3b3c32.4设a、b、c和d是四个矢量，证明：(a?b)?(c?d)?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c)证：(a?b)?(c?d)?aibjeijkek?cldmelmnen?aibjcldmeijkelmk ?aibjcld m(?il?jm??im?jl)?(aici)(bjdj)?(aidi)(bjcj) ?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c )。
2.5设有矢量u?uiei。
原坐标系绕z轴转动?系，如图2.4所示。
试求矢量u在新坐标系中的分量。
解：?1?1?cos?，?1?2?sin?，?1?3?0，?2?1??sin?，?2?2?cos ?，?2?3?0，?3?1?0，?3?2?0，?3?3?1。
u1???1?iui?u1cos??u2sin?，图2.41u2???2?iui??u1sin??u2cos?，u3???3?iui?u3。
第6章--弹性体的一维振动题解
126习题6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。
解；(1)杆的左端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… 由归一化条件20sin 12li i x A D dx l πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2li sin Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：(2)杆的右端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… 由归一化条件1)2cos(2=⎰dx lx i C A i lπρ得AlC i ρ2= 即正则振型为,...5,3,1i ,x 2li cos Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。
(1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示；(2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；127(3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。
解：（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动（2） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动（3） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动6-3 如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力lF p 00=的作用，求分布力突然移去时杆的响应。
弹性体的振动
l 0
l 0
EA U iU j dx 0
i 当： j
2
i
j
l
l 0
AU j dx M
2
pj
K M
pj pj
EA (U j ) dx U j ( EA U j ) dx K
0
pj
采用正则振型归一化：
l 0
AU j dx M
X (l ) 0
a
l 0
频率方程
a
i l
i 1, 2 ,
振型函数： X i ( x ) B i sin 各阶固有频率为： i i
a l
i l
x
i l T0
初始张力 线分布密度
i 1, 2 ,
各阶主振动：y i ( x , t ) X i ( x ) T i ( t ) ( A i 1 sin i t A i 2 cos i t ) sin 自由振动解：y ( x , t )
a
B 2 sin
a
l 0
i 0 ,1, 2 ,
i 0 ,1, 2 ,
sin
a
l 0
i
i a l
相应的主振型： U i ( x ) B i cos 当 i 0
0
i l
x
刚体振型
杆的纵向自由振动可以叠加为：
u( x, t)
U
i 1
i
( x ) A i sin( i t i )
振型函数
a
解一维谐振子
解一维谐振子一维谐振子是物理学中一个重要的概念，常常被用来描述弹簧的振动和原子的振动。
解一维谐振子可以帮助我们更好地理解振动的规律和能量的转换。
一维谐振子的运动方程可以用如下的形式表示：x(t)=A*cos(ωt +φ)，其中x(t)代表位移，A代表振幅，ω代表角频率，t代表时间，φ代表相位常数。
这个方程描述了一个周期性振动的过程，振幅和角频率决定了振动的幅度和频率。
解一维谐振子需要考虑到初始条件，也就是确定振动的初相位。
相位常数φ的值可以通过给定初始位移和初始速度来求解。
这个过程可以通过应用牛顿第二定律来实现。
一维谐振子的运动是受到一个恢复力的作用，该力与位移成正比，方向与位移方向相反。
这个恢复力可以用F=-kx表示，其中k是弹簧常数。
解一维谐振子可以得到振动的频率和周期。
频率可以用ω=√(k/m)表示，其中m是振子的质量。
周期可以用T=2π/ω表示，即振子完成一个完整周期所需要的时间。
一维谐振子还可以通过能量的角度来进行解释。
在振子的运动过程中，动能和势能是相互转换的。
当振子位移最大时，势能最大，动能为零；当振子通过平衡位置时，动能最大，势能为零。
这种能量的转换是周期性的，能量守恒。
解一维谐振子在物理学研究和工程应用中具有重要的意义。
它可以用来描述弹簧的振动、音叉的振动以及原子的振动等现象。
通过解一维谐振子，我们可以更好地理解振动的规律，预测振动的行为，并在实际应用中进行设计和控制。
总之，解一维谐振子是物理学中一个基础而重要的概念。
它的运动方程、振动频率和周期以及能量转换的规律都可以通过数学方法进行解析求解。
通过解一维谐振子，我们可以更加深入地了解振动现象，并应用于实际问题中。
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第6章--弹性体的一维振动题解126 习题6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶(1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。
解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==(),0u x V =&由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52ii ap i lπ==,… ,...3,2,1i ,x 2li sin D x)U ~ii ==π（由归一化条件20sin 12li i x A D dx l πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰得2iD Alρ=即正则振型为,...3,2,1i ,x 2li sin Al 2x)U ~i==πρ（由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00sin 2liii AVD xdx l πηρ=⎰&2ilAVD i ρπ= ()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i ii ip tp ηη=&，进而有：t 2l ai sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~)t ,x (u ,...3,1i 22i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞=∞=∞====πππππρπη(2)杆的右端突然固定；127杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==(),0u x V =&由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52ii ap i lπ==,… ...5,3,1i ,x 2li cos C x)U ~ii ==π（ 由归一化条件1)2cos(2=⎰dx lx i C A i lπρ得AlCiρ2=即正则振型为,...5,3,1i ,x 2li cos Al 2x)U ~i==πρ（由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为⎰--==li i i i i lAV C dx l x i AVC 021)1(22cos )0(πρπρη&()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i ii ip tp ηη=&，进而有：t2l ai sin 2l x i cos i 1)1(a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~)t ,x (u ,...3,1i 2212i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞=-∞=∞=-===πππππρπηi6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。
(1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示； (2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；128 (3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。
解：（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变/2PEAε= 杆的初始条件为()()()0000/2,0{/2xx l u x u x l x l x lεε≤≤==-≤≤因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为()()()1,2,sin 1,2,i i i ia P i li U x D x i lEa ππρ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=将主振型代入归一化条件，得题6-2图12920sin 12li i i A D x dx l D Alπρρ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎰得到正则振型 ()()~21,2,ii U x x i Al lπρ==⋅⋅⋅得到以正则坐标表示的初始条件为()()()()20022020sin sin21,2,li i i i i l i Au x D xdx A D l i x i ππηρρεπη•====⋅⋅⋅⎰得到以正则坐标表示的对初始条件的响应()0cos iiip t ηη=于是杆的自由振动(),u x t =()2~0221,2,1,2,2sin sin cos 2i i i i i i i i l i U t D x A D p tl i ππηρεπ∞∞=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∑∑=0221,2,sin42sin cos ii i li x p ti lπεππ∞=⋅⋅⋅∑()12221,3,12sincos i i pli i a x t EA i l lπππ-∞=⋅⋅⋅-=∑（2） 根据题意 ，0t =时杆内的应变122/3/3P P PEA EA EAεεε===设 杆的初始条件为130()()()1020/3,0{/3xx l u x u x l x l x lεε≤≤==-≤≤()0020/33{1/33x x l l x l x l εε≤≤=-≤≤因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为()()()1,2,sin1,2,i i i ia P i li U x D x i lππ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅将主振型代入归一化条件，得20sin 12li i i A D x dx l D Alπρρ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎰得到正则振型 ()()~21,2,ii U x x i Al lπρ==⋅⋅⋅得到以正则坐标表示的初始条件为()()()()2002200sin sin31,2,li i i i i l i Au x D xdx A D l i x i ππηρρεπη•====⋅⋅⋅⎰得到以正则坐标表示的对初始条件的响应()0cos iiip t ηη=于是杆的自由振动131(),u x t =()2~0221,2,1,2,sin sin cos 3i i i i i i i i l i U t D x A D p tl i ππηρεπ∞∞=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∑∑=0221,2,sin23sin cos ii i li x p ti lπεππ∞=⋅⋅⋅∑22121sin cos i pl i i ax t EA i l lπππ∞==∑（3） 根据题意 ，0t =时杆内的应变PEA ε=杆的初始条件为()()()()00000/4,0{/2/43/43/4xx l u x u x l x l x l l x l x lεεε≤≤==-≤≤-≤≤因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为()()()1,2,sin 1,2,i i i ia P i li U x D xi lππ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅将主振型代入归一化条件，得20sin 12li i i A D x dx l D Alπρρ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎰132 得到正则振型 ()()~2sin 1,2,ii U x x i Al lπρ==⋅⋅⋅得到以正则坐标表示的初始条件为()()()()20022030sin sin sin 4401,2,li i i i i l i i Au x D xdx A D l i x i πππηρρεπη•⎛⎫==- ⎪⎝⎭==⋅⋅⋅⎰得到以正则坐标表示的对初始条件的响应()0cos iiip t ηη=于是杆的自由振动(),u x t =()2~0221,2,1,2,3sin sin sincos 44i i i i i i i i l i i U t D x A D p t l i πππηρεπ∞∞=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑=0221,2,3sin sin244sin cos ii i i l i x p ti lππεππ∞=⋅⋅⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭∑()24222,6,1014sincos i i pli i a x t EA i l lπππ-∞=⋅⋅⋅-=∑6-3 如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力lF p 0=的作用，求分布力突然移去时杆的响应。
解：杆左端固定端，右端为自由端题6-3图133())sin cos )((,pt B pt A x U t x u +=apx D a px C x U sin cos)(+= 边界条件)0(=U==lx dxdU得固有频率，主振型a li p i 2)12(π-=x li D x U ii2)12(sin )(π-= i=1,2,…… )2sin 2cos (2sin),(,3,1t lai B t l a i A l x i t x u i i i πππ+=∑∞⋯⋯=杆在x 处的应变⎰=x dx EAx l F 00εEAl xF 220=初始条件⎪⎩⎪⎨⎧=====••0)()0,(2)()0,(03000x u x u EAl x F x x u x u ε由0)()0,(0==••x u x u ，得=i Bt lai A l x i t x u i i 2cos 2sin),(,3,1ππ∑∞⋯⋯==再利用三角函数正交性⎰⎰==l li dx lx i x dx l x i A 00022sin )2(sin πεπ⎰=l dx l x i EAl x F 032sin 2π得EAi lF Ai33016π=t l a i A l x i t x u i i 2cos 2sin ),(,3,1ππ∑∞⋯⋯==t l ai l x i i EA i l F i 2cos 2sin 116,3,13330πππ∑∞⋯⋯==134解二：用直接法。
因为ε=x p dx p x000=⎰ 其中，lF p 00=杆的初始条件为 ()()⎰==xx u x u 000,EAεdx =EAl x F 220 ()()00,0==x u x u &&由于此题为一端自由一端固定，则由公式可直接得出杆的固有频率及主振型(1,3,5......)2()sin (1,3,5......)2i i i i ap i li U x D x i l ππ====将主振型代入归一化条件得得2(sin)122li i i A D x dx lD Alπρρ==⎰得到正则振型为()x li Al x U i 2sin 2~πρ=i=1,3,5… 则得到正则坐标表示的初始条件为()()xdx l i Al EAl x F A dx U x Au l i li 2sin 22~002000πρρρη⎰⎰===⎪⎭⎫⎝⎛-ππρπρi i Al Ei l F 22sin 242220 i η&()00= i=1,3,5…以正则坐标表示对初始条件的响应为(0)cos i i i p t ηη=得到杆对初始条件的总响应()()()t lai i i Al Ei l F x l i Al x U t x u i i i i 2cos22sin 242sin 2~,2220...5,3,1...3,2,1πππρπρπρη⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∑∞=∞= 即 t l ai l x i i EA l F t x u i 2πcos 2πsin 1π16),(,3,1330∑∞=⋅=Λ1356-4 假定一轴向常力F 突然作用于题6-2的等直杆的中点处，初始时刻杆处于静止平衡状态，求杆的响应。